PERILAKU DINAMIK SISTEM AUTOPARAMETRIK DENGAN

EKSITASI EKSTERNAL

Budi Priyo Prawoto1, Erna Apriliani

1, Abadi

2

1Jurusan Matematika FMIPA ITS

2Jurusan Matematika FMIPA UNESA

E-mail: budiprawoto@ymail.com

Abstrak

Persamaan diferensial banyak dijumpai sebagai model matematika dalam

berbagai kasus di berbagai disiplin ilmu. Salah satu contohnya adalah

persamaan osilasi yang dipakai untuk memperoleh solusi dari suatu masalah.

Dalam penelitian ini dibahas mengenai perilaku dinamika sistem autoparametrik

dengan eksitasi eksternal yang meliputi kestabilan sistem, kestabilan di titik-titik

tetap dan bifurkasi yang terjadi di titik tersebut. Metode yang digunakan untuk

menentukan penyelesaian adalah metode Averaging.

Dari hasil analisa didapat12 titik tetap yang simetris. Dari semua titik tetap

yang ada, hanya pada titik tetap p3,4 dan p11,12 yang mengalami percabangan atau

perubahan kestabilan dengan merubah nilai parameter κ1 dengan syarat stabil

κ1>2κ2.

Kata kunci : bifurkasi, eksitasi eksternal, metode Averaging, perilaku dinamik,

sistem autoparametrik

PENDAHULUAN

Sistem autoparametrik adalah sistem getaran yang memuat setidaknya dua

subsistem. Subsistem sekunder digabung secara tak linier ke subsistem utama,

sedemikian hingga subsistem sekunder dapat pada posisi diam selama subsistem

utama sedang bergetar. Hal ini disebut sebagai solusi semitrivial atau normal

mode (A. Tondl, 2000).

Secara umum bahasan mengenai sistem tersebut ada tiga yang masing-masing

memiliki sistem utama yang berbeda, yaitu external excitation, parametric

excitation, dan self-excitation. Yang akan dibahas dalam penelitian ini adalah

sistem autoparametrik dengan external excitation dengan bentuk 2 2

1 1 cos ,x x x y a 2

2 2 0y y q y xy (1)

Selanjutnya digunakan metode Averaging untuk mencari penyelesaian dari sistem.

PENYELESAIAN SEMITRIVIAL dan KESTABILANNYA

Penyelesaian semitrivial didefinisikan sebagai penyelesaian dari sistem (1) dengan

mengambil y=0. 2

1( cos )x x x a (2)

( , '),x x f x x dengan 2

1( , ') ( cos )f x x x a

sehingga saat ε = 0, penyelesaian dari (2) adalah

( ) ( )x Rcos . (3)

dengan R dan ψ adalah konstan.

Untuk ε ≠ 0, penyelesaian dari (2) tetap bisa ditulis dalam bentuk (3) dengan R

dan ψ adalah fungsi dalam τ. selanjutnya

'( ) sin( )x R

( )x Rcos , dengan

'( ) sinx R

Dengan melakukan diperoleh

1

1' ( sin )

2R R a

1' cos

2a

R

Karena R dan ψ konstan maka R’ =0 dan ψ’=0, kemudian didapat

0

1

sinaR R

dan

/ 2

Sehingga didapat

0

1

aR

(4)

Untuk menyelidiki kestabilan dari penyelesaian semitrivial 0 ( )x x dalam sistem

(1), diberikan suatu pertubasi kecil terhadap penyelesaian sedemikian hingga:

0 ( ) , 0x x u y v

Dengan u pertubasi terhadap x dan v pertubasi terhadap y.

Sehingga

0 0cos( ) , 0x R u y v

Dengan mensubsitusikan persamaan (4.4) ke dalam persamaan (4.3) didapat

1

2

2 2 0 0

'' ' 0

'' ' ( cos( ) 0

u u u

v v q R v

(5)

Persamaan pertama pada sistem di atas adalah osilasi teredam sehingga pada saat

tak hingga (t=∞) menuju ke nol maka lim ( ) 0t

u t

.

Dengan 2 21

4q , v1=v, v2=v’, dan 0 0 maka

1 2

2

2 1 2 2 1 2 0 1

'

1' ( cos )

4

v v

v v v v R v

Aplikasikan metode averaging dengan permisalan sebagai berikut

1 1 1( ), ' sin( )2 2 2

v Rcos v R

v Rcos ,1

' sin2

v R dengan 1

2

sehingga

2 2 0

2 0

1' ( sin 2 )

2

1 1' ( cos 2 )

2

R R R R

R

(6)

Dari (6) bisa didapat

2

2 2 2 2 2

2 0

1 10

4 4R (7)

dan setelah dengan pendekatan response-oriented didapat: 1

2 2 2 20 2

2

1(4 ) ( )cR R

(8)

Plotting Rc(η) bersamaan dengan amplitudo R0(η) dari penyelesaian semitrivial.

ANALISA PENYELESAIAN NONTRIVIAL

Untuk menganalisa penyelesaian nontrivial dari sistem (4.1) tetap akan digunakan

metode averaging. Untuk itu, di buat permisalan sebagai berikut

1 1 2 2

1( ) ( ), ( ) cos( )

2x R cos y R

1 1 2 2

1 1' sin( ), ' sin( )

2 2x R y R misal 1 1 dan

2 2

1

2

dengan mengaplikasikan metode averaging didapat

2 21 1 1 1 1 2 1 2

2 21 1 1 2 1 2

1

2 2 2 2 1 2 1 2

2 2 1 1 2

1 1' sin sin( 2 )

2 2

1 1' cos cos( 2 )

2 2

1' sin( 2 )

2

1 1' cos( 2 )

2

R R a R

a RR

R R R R

R

setelah menghilangkan faktor rescale ε, diperoleh

η

q=0.5 q=0.75 q=1

R

0

Rc

η

2 21 1 1 1 1 2 1 2

2 21 1 1 2 1 2

1

2 2 2 2 1 2 1 2

2 2 1 1 2

1 1' sin sin( 2 )

2 2

1 1' cos cos( 2 )

2 2

1' sin( 2 )

2

1 1' cos( 2 )

2

R R a R

a RR

R R R R

R

(9)

Untuk menganalisa sistem (9), akan dibahas resonansi eksak ( 0 ) dan

resonansi hampiran ( 0 ). Pertama, diasumsikan bahwa ' ' ' '

1 1 2 2, , ,R R adalah

konstan. Kemudian dicari titik tetap dengan memberikan nilai pada parameter

2 1 2, , dan membiarkan nilai 1 berubah-ubah. Sete;ah itu dilakukan analisa

bifurkasi yang terjadi pada titik tetap.

RESONANSI EKSAK

Diberikan 0 dan diasumsikan 1 20, 0 , sistem (4.18) menjadi

2 21 1 1 1 1 2 1 2

2 21 1 1 2 1 2

1

2 2 2 2 1 2 1 2

2 2 1 1 2

1 1' sin sin( 2 )

2 2

1 1' cos cos( 2 )

2 2

1' sin( 2 )

2

1' cos( 2 )

2

R R a R

a RR

R R R R

R

(10)

TITIK TETAP dan KESTABILANNYA

Penentuan titik tetap dari sistem dilakukan dengan mencari penyelesaian dari

sistem (10). Karena 1 1 2 2' 0, ' 0, ' 0,dan ' 0R R maka

1 1 1 2 2 2 1 1 2 2( , , , ) 0, ( , , , ) 0,f R R f R R

3 1 1 2 2 4 1 1 2 2( , , , ) 0, ( , , , ) 0f R R f R R , dengan 1 2 3 4, , ,f f f f adalah ruas kanan

dari sistem (10), dan diperoleh titik tetap p sebagai berikut

untuk 1 22 / 2

1 1 1 2 2

1

( , , , ) ( , ,0,0)2

ap R R

2

1

( , ,0, )2 2

ap

22 1 2 2

3,4

2 1 2

2 ( )( , , ,0)

2

ap

22 1 2 2

5,6

2 1 2

2 ( )( , , , )

2 2

ap

untuk 1 22 / 2

7

1

( , ,0, )2 2

ap

8

1

( , ,0,0)2

ap

22 1 2 2

9,10

2 1 2

2 ( )( , , , )

2 2

ap

22 1 2 2

11,12

2 1 2

2 ( )( , , ,0)

2

ap

Matrik Jacobian dari sistem (4.9) adalah

2 2 211 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 21 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 22

1 1 11

1 1 1 1cos cos( 2 ) sin( 2 ) cos( 2 )

2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1cos cos( 2 ) sin sin( 2 ) cos( 2 ) sin( 2 )

2 2 2 2 22

1

a R R R

a R a R R RR R RR

J

2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2

2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2

1 1 1sin( 2 ) cos( 2 ) sin( 2 ) cos( 2 )

2 2 2

1 1 1cos( 2 ) sin( 2 ) 0 sin( 2 )

2 2

R R R R R R

R R

di dalam manifold invariant R2=0, di mana titik tetap berada, matrik Jacobian 3x3

yang sesuai adalah

2 2 211 1 2 1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 21 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 22

1 11

2 1 2 2 1 1 2

1 1 1cos cos( 2 ) cos( 2 )

2 2 2 2

1 1 1 1 1cos cos( 2 ) sin sin( 2 ) sin( 2 )

2 2 2 22

1 1 1cos( 2 ) sin( 2 )

2 2

a R R

J a R a R RR RR

R

2 1 1 2sin( 2 )R

Dengan memasukkan nilai titik tetap pada J,

Untuk 1

1

( , ,0,0)2

ap

, didapat

11,2

32

1

20

a

stabil.

Untuk 2

1

( , ,0, )2 2

ap

, didapat

11,2

2

1

3

02

0a

tidak stabil.

Untuk 2

2 1 2 23,4

2 1 2

2 ( )( , , ,0)

2

ap

, didapat

11

22 1 2 1 2 2

23 1 2 1 2 2

02

12 ( 2 ) 8

4

12 ( 2 ) 8

4

a

a

agar bersifat stabil maka Re(λ2,3) < 0, haruslah 1 22 , nilai itu bisa

menyebabkan λ2,3 berupa bilangan komplek saat 22 1 28 ( 2 )a .

Untuk 2

2 1 2 25,6

2 1 2

2 ( )( , , , )

2 2

ap

, didapat

11

22 1 2 1 2 2

23 1 2 1 2 2

02

12 ( 2 ) 8 0

4

12 ( 2 ) 8 0

4

a

a

tidak stabil.

Untuk 7

1

( , ,0, )2 2

ap

, didapat

11,2

2

1

3

12

0

0

a

tidak stabil.

Untuk 8

1

( , ,0,0)2

ap

, didapat

11,2

2

1

3

02

0a

tidak stabil.

Untuk 2

2 1 2 29,10

2 1 2

2 ( )( , , , )

2 2

ap

, didapat

11

22 1 2 1 2 2

23 1 2 1 2 2

02

12 ( 2 ) 8 0

4

12 ( 2 ) 8 0

4

a

a

tidak stabil

Untuk 2

2 1 2 211,12

2 1 2

2 ( )( , , ,0)

2

ap

, didapat

11

22 1 2 1 2 2

23 1 2 1 2 2

02

12 ( 2 ) 8

4

12 ( 2 ) 8

4

a

a

sama dengan nilai igen pada p3,4

ANALISA BIFURKASI

Titik tetap p3,4 dan p11,12 mempunyai nilai eigen yang sama dengan persamaan

karakteristik

1 1 1 2 22( - )(( )( ) ( )) 0

2 2 2

a

Untuk selanjutnya 1( - )2

tidak diperhatikan, yang akan dibahas adalah bagian

1 1 2 22( )( ) ( )

2 2

a

. Untuk selanjutnya

1 1 2 21 2( , ) ( )( ) ( )

2 2

af

.

1 1 2 22

2 1 22

( )( ) ( ) 02 2

( ) 02 2

a

a

untuk i , maka 1( , ) 0f

2 2 12( ) 0

2 2

ai

2 1 22( ) ( ) 0

2 2

ai i

2 2 02

a dan 1

2( ) 02

Didapat

2

2

a dan 1 22

Untuk 1 22 , maka 1( , ) 0f memiliki sepasang akar imajiner yaitu

2

2

a .

Selanjutnya akan ditunjukkan syarat tranversal terpenuhi, yaitu

1

1

Re ( ) 0d

d

, dengan differensiasi total 1( , )f didapat

1

1

0

0

df

f fd d

1

1

112

12

22

f

d

fd

d

d

1 2

1

1 2

1( ) 0

4

d

d

Dengan demikian, saat 1 22 terjadi bifurkasi Hopf.

Simulasi I ( 1 22 )

diambil nilai 1 1 2 20.1, 0.5, 0.7, 0.1, 0.2, 0.01a q

0 200 400 600 800 1000 1200-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

x()

y()

-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

x()

y(

)

(a) (b)

Gambar 4.3 (a) Grafik Penyelesaian x(τ) dan y(τ)

(b) Grafik Hubungan x(τ) dan y(τ)

diambil nilai 1 1 2 20.1, 0.5, 30, 0.1, 0.1, 0.01a q

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

x()

y()

-0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

x()

y(

)

(a) (b)

Gambar 4.4 (a) Grafik Penyelesaian x(τ) dan y(τ)

(b) Grafik Hubungan x(τ) dan y(τ) dengan

Gambar 4.3 dan gambar 4.4 merupakan simulasi perilaku sistem pada saat

1 22 , yaitu dengan mengambil nilai parameter 1 20.7, 0.2 pada

Gambar 4.3 dan 1 230, 0.1 pada Gambar 4.4. Dapat di lihat bahwa osilasi

akan lebih cepat menuju ke titik setimbang dengan mengambil nilai 1 yang jauh

lebih besar.

Simulasi II ( 1 22 )

diambil nilai 1 1 2 20.1, 0.5, 0.4, 0.1, 0.2, 0.01a q

0 200 400 600 800 1000 1200-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

x()

y()

-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

x()

y(

)

(a) (b)

Gambar 4.5 (a) Grafik Penyelesaian x(τ) dan y(τ)

(b) Grafik Hubungan x(τ) dan y(τ) dengan

Simulasi III ( 1 22 )

diambil nilai 1 1 2 20.1, 0.5, 0.1, 0.1, 0.2, 0.01a q

0 500 1000 1500

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x()

y()

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

x()

y(

)

(a) (b)

Gambar 4.6 (a) Grafik Penyelesaian x(τ) dan y(τ)

(b) Grafik Hubungan x(τ) dan y(τ) dengan

diambil nilai 1 1 2 20.1, 2.5, 0.1, 0.1, 30, 0.1a q

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x()

y()

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

x()

y(

)

(a) (b)

Gambar 4.7 (a) Grafik Penyelesaian x(τ) dan y(τ)

(b) Grafik Hubungan x(τ) dan y(τ) dengan

Gambar 4.6 dan gambar 4.7 merupakan simulasi perilaku sistem pada saat

1 22 , yaitu dengan mengambil nilai parameter 1 20.1, 0.2 pada

Gambar 4.6 dan 1 20.1, 30 pada Gambar 4.7. Dapat di lihat bahwa

amplitudo bertambah besar dari amplitudo awal sampai pada angka 1. Amplitudo

tidak akan melebihi angka 1 karena itu adalah nilai maksimal suatu amplitudo.

KESIMPULAN

Berdasarkan uraian dari bab-bab sebelumnya, dapat diambil kesimpulan sebagai

berikut:

1. Pada model sistem autoparametrik dengan eksitasi eksternal diperoleh 12 nilai

titik tetap 1 1 2 2( , , , )p R R . Titik tetap yang stabil hanya titik tetap p1, sedang

untuk titik tetap p2,5,6,7,8,9,10 tidak stabil.

Dari semua titik tetap yang ada, hanya titik tetap 2

2 1 2 23,4

2 1 2

2 ( )( , , ,0)

2

ap

dan

22 1 2 2

11,12

2 1 2

2 ( )( , , ,0)

2

ap

yang merupakan titik percabangan.

Artinya, di titik tersebut terjadi perubahan kestabilan.

2. Pada model sistem autoparametrik dengan eksitasi eksternal terjadi bifurkasi

Hopf pada titik tetap p3,4 dan p11,12 pada saat nilai 1 22 .

REFERENSI

[1]. A.Tondl, 2000, Autoparametric Resonance in Mechanical Systems,

Cambridge University: USA

[2]. Abadi, 2003, Nonlinear Dynamics of Self-Excittation in Autoparametris

Systems, Utrecht University: Netherland

[3]. Mickens Ronald E, 1996, Oscillations in Planar Dynamic Sistems, World

Scientific: Singapore

[4]. Morris, W, 2003, Differential Equations, Dynamical Sistems & An

Introduction to Chaos, Second Edition, Elsevier: USA

[5]. Nayfeh & Mook, 1979, Nonlinear Oscillations, John Wiley & Sons, Inc: USA

[6]. S. Wiggins, 1990, Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Sistems and

Chaos, Springer-Verlag: USA

[7]. Taoufik Bakri, 2007, Averaged Behaviour of Nonconservative Coupled

Oscillators, Utrecht University: Netherland