BAB I

PENDAHULUAN

A. Tujuan Percobaan

Agar mahasiswa dapat menyelesaikan bentuk penyelesaian differensial ordiner simultan

menggunakan penyelesaian numerik.

B. Dasar Teori

Jika dijumpai bentuk;

dydx

=f (x , y , z )........................................................................................(5.1)

dzdx

=f ( x , y , x )...........................................................................................(5.2)

I.C.; x = x0; y= y0; z= z0

Maka cara range kutta untuk mencari xI+1, Yi+1, zi+1 berdasarkan harga xi, yi, zi, adalah;

k1= f ( xi , yi , zi ) ∆x...................................................................................(5.3)

l1= f ( xi , yi , zi ) ∆x....................................................................................(5.4)

k2= f ( xi + ∆x/2 , yi + k1/2 , zi + k1/2 ) ∆x.................................................(5.5)

l2= f ( xi + ∆x/2 , yi + k1/2 , zi + k1/2 ) ∆x..................................................(5.6)

k3= f ( xi + ∆x/2 , yi + k2/2 , zi + k2/2 ) ∆x.................................................(5.7)

l3= f ( xi + ∆x/2 , yi + k2/2 , zi + k2/2 ) ∆x..................................................(5.8)

k4= f ( xi + ∆x , yi + k3 , zi + k3 ) ∆x..........................................................(5.9)

l4= f ( xi + ∆x , yi + k3 , zi + k3 ) ∆x.........................................................(5.10)

diperoleh;

Xi+1 = xi + ∆x............................................................................................(5.11)

YI+1 = Yi ((k1+2k2+2k3+k4)/6)..................................................................(5.12)

ZI+1 = Yi ((l1+2l2+2l3+l4)/6)......................................................................(5.13)

Algoritma penyelesaiannya yaitu:

1. Menentukan persamaan yang akan diselesaikan

dydx

=f (x , y , z )

dzdx

=f ( x , y , z )

2. Menentukan nilai X0, Y0, Z0, Xn, n, dan ∆X

3. Menghitung nilai K1L1, K2L2, K3L3, K4L4 dengan Runge Kutta

k1= f 1( x i , y i , zi )Δx

l1=f 2 ( xi , y i , zi)Δx

k 2=f 1( x i+Δx2, y i+

k 1

2, zi+

l12

)Δx

l2=f 2 ( xi+Δx2, y i+

k1

2, zi+

l12

)Δx

k 3=f 1( xi+Δx2, yi+

k2

2, zi+

l22

)Δx

l3=f 2( x i+Δx2, yi+

k2

2, zi+

l22

)Δx

k 4=f 1( xi+Δx , y i+k3 , zi+l3)Δx

l4=f 2 (x i+Δx , y i+k3 , zi+l3)Δx

4. Menghitung harga X, Y, Z baru

x i+1=x i+Δx

y i+1= y i+16 (k1+2k2+2k3+k 4)

zi+1=z i+16 ( l1+2l2+2l3+l4 )

BAB II

PERSOALAN DAN PENYELESAIAN

A. Persoalan

Latihan 1Diketahui : Carilah penyelesaian persamaan differensial

Xo=1,5Yo=1,2Zo=1,1Xn=2N=10∆x=0,05

B. Penyelesaian

Algoritma penyelesaian:

1.Menentukan penyelesaian persamaan yang akan diselesaikan.

2. menentukan nilai

Xo=1,5

Yo=1,2

Zo=1,1

Xn=2

N=10

∆x=0,05

3. menghitung nilai K1L1:K2,L2; K3,L3: K4,L4 dengan range kutta

dzdx

=√x+( yz )0. 2dydx

=( xy )0. 25+√z

dzdx

=√x+( yz )0. 2dydx

=( xy )0. 25+√z

4. menghitung nilai X,Y,Z yang baru

Xi+1= Xi+ ∆x

yi+1 = Yi +{ (K1 +2.K2 + 2. K3 + K4)/6}

Zi+1 = Zi + {(L1 + 2L2 +2L3 + 4)/6}

n xo Yo zo K1 L1 K2 L2 K3 L3 K4 L4 y z0 1,5 1,2 1,1 0,110 0,114 0,113 0,116 0,113 0,116 0,115 0,117 1,313 1,216

11,5

5 1,313 1,216 0,115 0,117 0,117 0,119 0,117 0,119 0,119 0,120 1,430 1,3342 1,6 1,430 1,334 0,119 0,120 0,121 0,122 0,121 0,122 0,124 0,123 1,551 1,456

31,6

5 1,551 1,456 0,124 0,123 0,126 0,125 0,126 0,125 0,128 0,126 1,677 1,5804 1,7 1,677 1,580 0,128 0,126 0,130 0,127 0,130 0,127 0,132 0,129 1,807 1,708

51,7

5 1,807 1,708 0,132 0,129 0,134 0,130 0,134 0,130 0,136 0,132 1,941 1,8386 1,8 1,941 1,838 0,136 0,132 0,138 0,133 0,138 0,133 0,140 0,134 2,079 1,971

71,8

5 2,079 1,971 0,140 0,134 0,142 0,136 0,142 0,136 0,144 0,137 2,221 2,1068 1,9 2,221 2,106 0,144 0,137 0,146 0,138 0,146 0,138 0,148 0,140 2,367 2,245

91,9

5 2,367 2,245 0,148 0,140 0,150 0,141 0,150 0,141 0,152 0,142 2,518 2,38610 2 2,518 2,386 0,152 0,142 0,154 0,144 0,154 0,144 0,156 0,145 2,672 2,529

Jadi nilai x= 2,00 ; y=2,672 ; z=2,529

2. Latihan 2

Diketahui : Carilah penyelesaian persamaan differensial

Xo=1Yo=1Zo=1Xn=1,5N=5∆x=0,1

B. Penyelesaian

dydx

=x1.5+ y √z dydx

=√ x+ 3 yz

Algoritma penyelesaian:

1.Menentukan penyelesaian persamaan yang akan diselesaikan.

2. menentukan nilai

Xo=1Yo=1Zo=1Xn=1,5N=5∆x=0,1

3. menghitung nilai K1L1:K2,L2; K3,L3: K4,L4 dengan range kutta

4. menghitung nilai X,Y,Z yang baru

Xi+1= Xi+ ∆x

yi+1 = Yi +{ (K1 +2.K2 + 2. K3 + K4)/6}

Zi+1 = Zi + {(L1 + 2L2 +2L3 + 4)/6}

n Xo Yo zo K1 L1 K2 L2 K3 L3 K4 L4 y Z

0 1 1 1 0,2 0,4 0,228 0,377 0,229 0,384 0,260 0,371 1,229 1,382

1 1,1 1,229 1,382

0,26

0 0,372 0,293 0,367 0,295 0,371 0,333 0,370 1,524 1,752

2 1,2 1,524 1,752

0,33

3 0,371 0,375 0,374 0,378 0,377 0,426 0,382 1,902 2,128

3 1,3 1,902 2,128

0,42

6 0,382 0,479 0,390 0,483 0,393 0,544 0,402 2,384 2,519

4 1,4 2,384 2,519

0,54

4 0,402 0,613 0,413 0,619 0,417 0,698 0,429 3,002 2,934

5 1,5 3,002 2,934

0,69

8 0,429 0,788 0,444 0,796 0,447 0,901 0,463 3,796 3,380

dydx

=√ x+ 3 yz

dydx

=x1. 5+ y √z

Jadi nilai x= 1,5 ; y= 3,769 dan z=3,380

TUGAS

Diketahui : Carilah penyelesaian persamaan differensial

Xo= 0,5Yo=1Zo=1,5Xn=3N=25∆x=0,1

B. Penyelesaian

Algoritma penyelesaian:

1.Menentukan penyelesaian persamaan yang akan diselesaikan.

2. menentukan nilai

Xo= 0,5Yo=1Zo=1,5Xn=3N=25∆x=0,1

3. menghitung nilai K1L1:K2,L2; K3,L3: K4,L4 dengan range kutta

4. menghitung nilai X,Y,Z yang baru

Xi+1= Xi+ ∆x

yi+1 = Yi +{ (K1 +2.K2 + 2. K3 + K4)/6}

dzdx

=( xy )13+√ z

dydx

=√ xy+z2

dzdx

=( xy )13+√ z

dydx

=√ xy+z2

Zi+1 = Zi + {(L1 + 2L2 +2L3 + 4)/6}

n X0 Y0 Z0 K1 L1 K2 L2 K3 L3 K4 L4 Y Z0 0,500 1,000 1,500 0,296 0,202 0,336 0,212 0,338 0,213 0,383 0,224 1,338 1,7131 0,600 1,338 1,713 0,383 0,224 0,433 0,235 0,435 0,236 0,491 0,247 1,773 1,9482 0,700 1,773 1,948 0,491 0,247 0,552 0,259 0,556 0,260 0,624 0,272 2,328 2,2073 0,800 2,328 2,207 0,624 0,272 0,699 0,284 0,703 0,285 0,786 0,298 3,030 2,4924 0,900 3,030 2,492 0,786 0,298 0,878 0,311 0,882 0,312 0,984 0,325 3,911 2,8035 1,000 3,911 2,803 0,983 0,325 1,094 0,339 1,100 0,340 1,222 0,354 5,010 3,1426 1,100 5,010 3,142 1,222 0,354 1,356 0,368 1,362 0,369 1,510 0,384 6,372 3,5117 1,200 6,372 3,511 1,509 0,384 1,670 0,400 1,677 0,401 1,854 0,417 8,048 3,9118 1,300 8,048 3,911 1,853 0,416 2,045 0,433 2,054 0,434 2,264 0,450 10,101 4,3459 1,400 10,101 4,345 2,264 0,450 2,492 0,467 2,502 0,468 2,751 0,486 12,601 4,813

10 1,500 12,601 4,813 2,751 0,486 3,021 0,504 3,032 0,505 3,327 0,523 15,632 5,31711 1,600 15,632 5,317 3,327 0,523 3,646 0,542 3,659 0,543 4,006 0,562 19,289 5,85912 1,700 19,289 5,859 4,006 0,562 4,381 0,582 4,395 0,583 4,803 0,603 23,683 6,44213 1,800 23,683 6,442 4,802 0,603 5,242 0,624 5,259 0,625 5,735 0,646 28,939 7,06614 1,900 28,939 7,066 5,735 0,646 6,248 0,668 6,267 0,669 6,822 0,691 35,203 7,73515 2,000 35,203 7,735 6,821 0,691 7,418 0,714 7,440 0,715 8,086 0,738 42,640 8,44916 2,100 42,640 8,449 8,085 0,738 8,777 0,762 8,802 0,763 9,550 0,787 51,439 9,211

17 2,200 51,439 9,211 9,549 0,787 10,350 0,81210,37

8 0,813 11,242 0,839 61,814 10,024

18 2,300 61,814 10,02411,24

0 0,839 12,165 0,86412,19

6 0,866 13,191 0,892 74,006 10,889

19 2,400 74,006 10,88913,19

0 0,892 14,254 0,91914,28

9 0,920 15,432 0,948 88,291 11,809

20 2,500 88,291 11,80915,43

1 0,948 16,652 0,97616,69

1 0,978 18,002 1,006104,97

7 12,786

21 2,600 104,977 12,78618,00

0 1,006 19,398 1,03519,44

2 1,037 20,940 1,067124,41

4 13,822

22 2,700 124,414 13,82220,93

8 1,067 22,535 1,09722,58

4 1,099 24,293 1,130146,99

2 14,921

23 2,800 146,992 14,92124,29

1 1,130 26,110 1,16226,16

5 1,163 28,111 1,196173,15

0 16,083

24 2,900 173,150 16,08328,10

8 1,196 30,177 1,22930,23

8 1,231 32,447 1,264203,38

1 17,313

25 3,000 203,381 17,31332,44

5 1,264 34,791 1,29934,86

0 1,300 37,364 1,335238,23

3 18,613Jadi nilai x=3,000; y=238,233; dan z=18,613

BAB III

PENUTUP

A. Kesimpulan

1. Persamaan diferensial ordiner simultan merupakan perluasan dari metode persamaan

ordiner Runge kutta orde 4, dimana persamaan simultan ini terdiri dari dua buah

persamaan yang harus diselesaikan secara bersama-sama

2. Dapat menyelesaikan bentuk persamaan differensial ordiner simultan dengan runge

kutta.

3. Dengan menggunakan program excel, dapat mempermudah dalam perhitungan dan

penyelesaian bentuk differensial.

4. Dari latihan yang dilakukan, didapatkan hasil untuk persamaan:

a.

dydx

=( xy )0. 25+√ z

dzdx

=√x+( yz )0 .2

pada saat x=2, nilai y nya =2.672 dan z nya= 2.529

b.

dydx

=x1.5+ y √z

dzdx

=√x+ 3 yz

pada saat x = 1.5, nilai y nya = 3.796 dan z nya = 3.380

5. Dari tugas yang telah diselesaikan, didapatkan hasil untuk persamaan :

dydx

=√ xy+z2

dzdx

=( xy )13+√ z

pada saat X = 3, nilai y nya = 738,623 dan z nya = 20,890

6. Algoritma penyelesaiannya:

a. Menentukan persamaan yang akan diselesaikan

dydx

=f (x , y , z )

dzdx

=f ( x , y , z )

b. Menentukan nilai X0, Y0, Z0, Xn, n, dan ∆X

c. Menghitung nilai K1L1, K2L2, K3L3, K4L4 dengan Runge Kutta

k1= f 1( x i , y i , zi )Δx

l1=f 2 ( xi , y i , zi)Δx

k 2=f 1( x i+Δx2, y i+

k 1

2, zi+

l12

)Δx

l2=f 2 ( xi+Δx2, y i+

k1

2, zi+

l12

)Δx

k 3=f 1( xi+Δx2, yi+

k2

2, zi+

l22

)Δx

l3=f 2( x i+Δx2, yi+

k2

2, zi+

l22

)Δx

k 4=f 1( xi+Δx , y i+k3 , zi+l3)Δx

l4=f 2 (x i+Δx , y i+k3 , zi+l3)Δx

d. Menghitung harga X, Y, Z baru

x i+1=x i+Δx

y i+1= y i+16 (k1+2k2+2k3+k 4)

zi+1=z i+16 ( l1+2l2+2l3+l4 )

B. Saran

1. Dalam penyelesaiannya persamaan differensial ordiner simultan dengan runge

kutta, memerlukan ketelitian yang tinggi sebab dalam penggunaan microsoft excel

apabila proses input data ke dalam formula tidak sesuai atau ada penempatan

kurung buka dan tutup maupun posisi angka yang tidak pas, maka program bisa

salah mengartikan solusinya dan harga penyelesaian yang dicapai akan berbeda

dari yang seharusnya

2. Tingkat ketelitian hasil akhir adalah tiga angka di belakang koma.

DAFTAR PUSTAKA

Kalab komputasi.2006.Modul Praktikum Komputasi Proses.Yogyakarta.