BAB IV

IMPLEMENTASI DAN PEMBAHASAN

4.1 Spesifikasi Program

Spesifikasi program merupakan penjelasan secara detail mengenai menu-

menu yang telah dibuat. Dengan adanya penjelasan mengenai spesifikasi program

tersebut, diharapkan user dapat memahami struktur dan fungsi dari setiap menu

program yang dibuat. Spesifikasi program yang dibuat terdiri dari Form Utama,

Form Pilihan, Form Trapesium, Form Simpson dan Form Info.

4.2 Menjalankan program

Untuk menjalankan program Peyelesaian Integral dengan Metode Luas

Trapesium dan Metode Simpson, program utama cukup dengan mengklik ganda

pada shortcut atau file executablenya. Maka muncul tampilan utama sebagai

berikut:

Gambar 4.1 Tampilan awal aplikasi

22

4.3 Form-form dalam program aplikasi

4.3.1 Form Pilihan

Form ini digunakan untuk memilih salah satu fungsi yang ada

dalam daftar pilihan fungsi dan memilih metode yang akan digunakan

untuk menyelesaikan fungsi pilihan tersebut.

Gambar 4.2 Tampilan Form pilihan

4.3.2 Form Trapesium

Form ini digunakan untuk menyelesaikan pesoalan integral dengan

menggunakan metode luas trapesium. Form ini terdiri dari beberapa

masukan yaitu Batas awal (a), Batas Akhir (b), Batasan Error, Iterasi

Maksimal, dan Set Desimal. Dengan tombol Proses maka akan

menampilkan tabel hasil perhitungan luas dari tiap iterasi. Dari Form ini

juga akan menampilkan perhitungan secara detail dari tiap iterasi dan juga

menampilkan grafik fungsi persamaan.

23

Gambar 4.3 Tampilan Form Trapesium

4.3.3 Form Simpson

Form ini secara kegunaannya sama dengan Form Trapesium, hanya

saja metode yang digunakan adalah Metode Simpson.

Gambar 4.4 Tampilan Form Simpson

24

4.3.4 Form Info

Form ini digunakan untuk memberikan informasi kepada pemakai

dan juga memberikan informasi tentang pembuat program.

Gambar 4. 5 Tampilan Form Info

4.4 Penyelesaian integral dari fungsi persamaan secara manual

Untuk menguji program ini, berikut ini akan dibahas penyelesaian secara

manual, berikut adalah contoh penyelesaian integral dari suatu fungsi dengan

menggunakan Metode Luas Trapesium dan Metode Simpson.

4.4.1 Perhitungan manual dengan Metode Luas Trapesium

Contoh 1.

Fungsi : y=

Batas Awal (a) = 1

25

Batas Akhir (b) = 3

Batasan Error = 0.5

Iterasi Maksimal = 10

Iterasi 1:

i=1

n=i=1

h=(b-a)/1=(3-1)/1=2

f(x)=

f(a)=f(1)= =2.71

f(b)=f(3)= =20.08

=

=

= =22.79

iterasi 1 tanpa mengecek error.

Iterasi 2:

i = 2

n = i =2

h = (b-a)/n = (3-1)/2 = 1

f(x)=

26

f( ) = f(2) = =7.38

=

karena 4.01>0.5 dan 2<10 bernilai salah, maka melanjutkan iterasi

berikutnya.

Iterasi 3:

i=3

n=i=3

h=(b-a)/3=(3-1)/3=0.67

27

karena 0.89>0.5 dan 3<10 bernilai salah, maka melanjutkan iterasi

berikutnya.

Iterasi 4:

i=4

n=i=4

h=(b-a)/3=(3-1)/4=0.5

0.16<0.5 dan 4<10 bernilai benar, maka proses berhenti di Iterasi 4 dengan

hasil luas I= 17.72.

Contoh 2:

28

Fungsi : y=cos (x) +1

Batas Awal (a) = 1

Batas Akhir (b) = 4

Batasan Error = 0.2

Iterasi Maksimal = 10

Iterasi 1:

i=1

n=i=1

h=(b-a)/1=(4-1)/1=3

f(x)=cos (x)+1

f(a)=f(1)= cos (1) +1=0.54+1=1.54

f(b)=f(4)= cos (4)+1= -0.65+1=0.35

=

=

= =2.83

iterasi 1 tanpa mengecek error.

Iterasi 2:

i = 2

n = i =2

h = (b-a)/n = (4-1)/2 = 1.5

29

f( ) = f(2.5) = cos (2.5) +1 =0.19

=

karena 1.13>0.2 dan 2<10 bernilai salah, maka melanjutkan iterasi

berikutnya.

Iterasi 3:

i=3

n=i=3

h=(b-a)/3=(4-1)/3=1

30

karena 0.17<0.2 dan 3<10 bernilai benar, maka maka proses berhenti di

Iterasi 3 dengan hasil luas I= 1.53

4.4.2 Perhitungan manual dengan Metode Simpson

Contoh 1.

Fungsi : y=

Batas Awal (a)=1

Batas Akhir (b)=3

Batasan Error=0.5

Iterasi Maksimal= 10

Iterasi 1:

i=1

n=i=1

h = (b-a)/2n = (3-1)/(2*1) = 1

f(x)=

f(a)=f(1)= =2.79

f(b)=f(3)= =20.09

31

f( ) = f(2) = =7.38

=

iterasi 1 tanpa mengecek error.

Iterasi 2:

i=2

n=i=2

h=(b-a)/2n=(3-1)/(2*2)=2/4=0.5

32

karena 0.09<0.5 dan 2<10 bernilai benar, maka proses berhenti di Iterasi 2

dengan hasil luas I= 17.35.

Contoh 2:

Fungsi : y=

Batas Awal (a)=1

Batas Akhir (b)=4

Batasan Error=0.2

Iterasi Maksimal= 10

Iterasi 1:

i=1

n=i=1

h = (b-a)/2n = (4-1)/(2*1) = 1.5

f(x)=

f(a)=f(1)= =1.54

f(b)=f(3)= =0.35

33

f( ) = f(2.5) = =0.19

=

iterasi 1 tanpa mengecek error.

Iterasi 2:

i=2

n=i=2

h=(b-a)/2n=(4-1)/(2*2)=3/4=0.75

34

karena 0.06<0.5 dan 2<10 bernilai benar, maka proses berhenti di Iterasi 2

dengan hasil luas I= 1.39

4.5 Pengujian program

Hasil Perhitungan manual diatas dapat diselesaikan dengan program

dengan melalui dua metode yaitu Luas Trapesium dan Simpson.

4.5.1 Pengujian Metode Luas Trapesium

Contoh 1:

Fungsi : y=

Batas Awal (a)=1

Batas Akhir (b)=3

Batasan Error=0.5

Iterasi Maksimal= 10

35

Gambar 4.6 Pengujian fungsi y=exp(x) dengan Metode Luas

Trapesium.

Hasil Perhitungan:

===============================================

=====

PENYELESAIAN INTEGRAL DENGAN METODE LUAS TRAPESIUM

===============================================

=====

FUNGSI F(X)=exp(X)

Batas Awal(a)=1

Batas Akhir(b)=3

Batas erorr=0.5000000000

Batas Iterasi MAKS=10

===============================================

====

Iterasi Ke 1

Jumlah sub Interval=1

h=2.0000000000

------------------------------------------------

| X | f(X) |

------------------------------------------------

| 1.0000000000 | 2.7182818285 |

| 3.0000000000 | 20.0855369232 |

------------------------------------------------

LUAS=22.8038177490

Iterasi Ke 2

Jumlah sub Interval=2

36

h=1.0000000000

-----------------------------------------------

| X | f(X) |

------------------------------------------------

| 1.0000000000 | 2.7182818285 |

| 2.0000000000 | 7.3890560989 |

| 3.0000000000 | 20.0855369232 |

------------------------------------------------

Error=4.0128536224

LUAS=18.7909641266

Iterasi Ke 3

Jumlah sub Interval=3

h=0.6666666865

------------------------------------------------

| X | f(X) |

------------------------------------------------

| 1.0000000000 | 2.7182818285 |

| 1.6666667461 | 5.2944904712 |

| 2.3333334923 | 10.3122601404 |

------------------------------------------------

Error=0.7851924896

LUAS=18.0057716370

Iterasi Ke 4

Jumlah sub Interval=4

h=0.5000000000

------------------------------------------------

| X | f(X) |

------------------------------------------------

| 1.0000000000 | 2.7182818285 |

| 1.5000000000 | 4.4816890703 |

| 2.0000000000 | 7.3890560989 |

| 2.5000000000 | 12.1824939607 |

| 3.0000000000 | 20.0855369232 |

------------------------------------------------

Error=0.2781982422

LUAS=17.7275733948

Dari fungsi diatas, program dapat menampilkan kedalam bentuk grafik.

37

Gambar 4.7 Grafik luas fungsi y=exp(x) dengan Metode Luas Trapesium

Contoh 2:

Fungsi : y=

Batas Awal (a)=1

Batas Akhir (b)=4

Batasan Error=0.2

Iterasi Maksimal= 10

38

Gambar 4.8 Pengujian fungsi y=cos(x)+1 dengan Metode Trapesium.

Hasil Perhitungan:

===============================================

=====

PENYELESAIAN INTEGRAL DENGAN METODE LUAS TRAPESIUM

===============================================

=====

FUNGSI F(X)=cos(x)+1

Batas Awal(a)=1

Batas Akhir(b)=4

Batas erorr=0.2000000030

Batas Iterasi MAKS=10

===============================================

====

Iterasi Ke 1

Jumlah sub Interval=1

h=3.0000000000

------------------------------------------------

| X | f(X) |

------------------------------------------------

| 1.0000000000 | 1.5403023059 |

| 4.0000000000 | 0.3463563791 |

------------------------------------------------

LUAS=2.8299880028

Iterasi Ke 2

Jumlah sub Interval=2

h=1.5000000000

------------------------------------------------

| X | f(X) |

------------------------------------------------

| 1.0000000000 | 1.5403023059 |

| 2.5000000000 | 0.1988563845 |

| 4.0000000000 | 0.3463563791 |

------------------------------------------------

39

Error=1.1167094707

LUAS=1.7132785320

Iterasi Ke 3

Jumlah sub Interval=3

h=1.0000000000

------------------------------------------------

| X | f(X) |

------------------------------------------------

| 1.0000000000 | 1.5403023059 |

| 2.0000000000 | 0.5838531635 |

| 3.0000000000 | 0.0100075034 |

| 4.0000000000 | 0.3463563791 |

------------------------------------------------

Error=0.1760885715

LUAS=1.5371899605

Dari fungsi diatas, program dapat menampilkan kedalam bentuk grafik.

40

Gambar 4.9 Grafik luas fungsi y=cos(x)+1 dengan Metode Luas

Trapesium

Daerah terarsir merupakan daerah dibawah kurva fungsi f(x)=cos(x)+1

yang dicari nilai luasnya.

Hasil pengujian program dengan metode Luas Trapesium memberikan

hasil yang tidak jauh dari perhitungan secara manual. Terjadi Sedikit

perbedaan angka disebabkan karena pada perhitungan manual banyak

terjadi pembulatan angka.

4.5.2 Pengujian Metode Simpson

Contoh 1:

Fungsi : y=

Batas Awal (a)=1

Batas Akhir (b)=3

Batasan Error=0.5

Iterasi Maksimal= 10

41

Gambar 4.10. Pengujian fungsi y=exp(x) dengan Metode Simpson

Hasil Perhitungan:

=============================================

PENYELESAIAN INTEGRAL DENGAN METODE SIMPSON

=============================================

FUNGSI F(X)=exp(X)

Batas Awal(a)=1

Batas Akhir(b)=3

Batas erorr=0.5000000000

Batas Iterasi MAKS=10

============================================

Iterasi Ke 1

Jumlah sub Interval=2

h=1.0000000000

------------------------------------------------

| X | f(X) |

------------------------------------------------

| 1.0000000000 | 2.7182818285 |

| 2.0000000000 | 7.3890560989 |

| 3.0000000000 | 20.0855369232 |

------------------------------------------------

LUAS=17.4533481598

Iterasi Ke 2

Jumlah sub Interval=4

h=0.5000000000

------------------------------------------------

| X | f(X) |

------------------------------------------------

| 1.0000000000 | 2.7182818285 |

| 1.5000000000 | 4.4816890703 |

| 2.0000000000 | 7.3890560989 |

| 2.5000000000 | 12.1824939607 |

| 3.0000000000 | 20.0855369232 |

------------------------------------------------

Error=0.0802383423

LUAS=17.3731098175

42

Dari fungsi diatas, program dapat menampilkan kedalam bentuk grafik.

Gambar 4.11 Grafik Luas fungsi y=exp(x) dengan Metode Simpson

Daerah terarsir merupakan daerah dibawah kurva fungsi f(x)= yang

dicari nilai luasnya.

Contoh 2:

Fungsi : y=

Batas Awal (a)=1

Batas Akhir (b)=4

Batasan Error=0.2

Iterasi Maksimal= 10

43

Gambar 4.12 Pengujian fungsi y=cos(x)+1 dengan Metode Simpson.

Hasil Pehitungan:

=============================================

PENYELESAIAN INTEGRAL DENGAN METODE SIMPSON

=============================================

FUNGSI F(X)=cos(x)+1

Batas Awal(a)=1

Batas Akhir(b)=4

Batas erorr=0.2000000030

Batas Iterasi MAKS=10

============================================

Iterasi Ke 1

Jumlah sub Interval=2

h=1.5000000000

------------------------------------------------

| X | f(X) |

------------------------------------------------

| 1.0000000000 | 1.5403023059 |

| 2.5000000000 | 0.1988563845 |

| 4.0000000000 | 0.3463563791 |

------------------------------------------------

LUAS=1.3410421610

Iterasi Ke 2

Jumlah sub Interval=4

h=0.7500000000

------------------------------------------------

| X | f(X) |

------------------------------------------------

| 1.0000000000 | 1.5403023059 |

| 1.7500000000 | 0.8217539444 |

| 2.5000000000 | 0.1988563845 |

| 3.2500000000 | 0.0058703239 |

| 4.0000000000 | 0.3463563791 |

------------------------------------------------

Error=0.0576750040

LUAS=1.3987171650

Dari fungsi diatas, program dapat menampilkan kedalam bentuk grafik.

44

Gambar 4.13. Grafik Luas fungsi y=cos(x)+1 dengan Metode Simpson

Daerah terarsir merupakan daerah dibawah kurva fungsi f(x)=cox(x)+1

yang dicari nilai luasnya.

Hasil Pengujian program dengan metode Simpson memberikan hasil yang

tidak jauh dari perhitungan secara manual. Terjadi Sedikit perbedaan

angka disebabkan karena pada perhitungan manual banyak terjadi

pembulatan angka.

4.6 Analisis hasil perhitungan program.

Dari hasil perhitungan diatas maka dapat dilihat bahwa pencapaian nilai

dilakukan dengan pendekatan secara iterasi. Iterasi perhitungan akan berhenti jika

hasil error yang dicapai kurang dari batasan error yang telah ditentukan. Jika

batasan yang dinginkan tidak tercapai selama perhitungan, maka proses akan

dihentikan dari sejumlah iterasi maksimal yang dinginkan. Jadi jumlah iterasi

maksimal yang diinginkan adalah untuk menghentikan proses perhitungan

sehingga kondisi akan terpenuhi. Nilai hasil yang didapat adalah nilai dari

45

perhitungan iterasi yang terakhir dan grafik yang dihasilkan diambil dari hasil

perhitungan iterasi terakhir tersebut.

46