Penurunan Rumus-Rumus ReduksiWikaria GazaliUniversitas Bina NusantaraIntisariSampai saat ini masih banyak buku tentang Kalkulus yang belum mengemukakan penurunan rumus-rumus reduksi, oleh karena itu penulis ingin membantu para dosen Matematika dan mahasiswa dalam hal pembuktian rumus-rumus integral reduksi tersebut.PendahuluanPenurunan rumus-rumus reduksi pada buku-buku Kalkulus jarang dibahas, maka penulis ingin menurunkan rumus-rumus reduksi tersebut agar para dosen Matematika dan mahasiswa dapat memanfaatkannya.Penurunan Rumus :1. Buktikan:

sin n x dx

1 sin n 1 x n

cos x

n 1 n

sin n 2 x dx

Bukti:sin n x dx

sin n 1 x

sin x dx

sin n 1 xsin n 1 x

d cos xcos x

cos x

d sin n 1 x

sin n 1 x

cos x

cos x

n 1 sin x n 1 1

d sin x

sin n 1 x

cos x

n 1 cos x

sin n 2 x

cos x dx

sin n 1 x

cos x

n 1 sin n 2 x

cos2 x dx

sin n x dx

sin n 1 xsin n 1 x

cos xcos x

n 1 sin n 2 xn 1 sin n 2 x

1 sin 2 xdx n

dx1 sin n x dx

sin n x dx1

n 1 sin n x dxn 1 sin n x dx

sin n 1 xsin n 1 x

cos xcos x

n 1 sin n 2 x dxn 1 sin n 2 x dx

n sin n x dx

sin n 1 x

cos x

n1 sin n 2 x dx 1 n

Terbukti bahwa:

sin n x dx

1 sin n 1 x n

cos x

n 1 n

sin n 2 x dx

2. Buktikan:

cosn x dx

1 cos n 1 x n

sin x

n 1 n

cosn 2 x dx

Bukti:cosn x dx

cos n 1 x cos n 1 xcosn 1 x

cos x dx d sin xsin x

sin x

d cos n 1 x

cosn 1 x

sin x

sin x

n 1 cos x

n 1 1

d cos x

cosn 1 x

sin x

n 1 sin x

cosn 2 x

sin x dx

cosn 1 x

sin x

n 1 cos n 2 x

sin 2 x dx

cosn x dx

cosn 1 xcosn 1 x

sin xsin x

n 1 cos n 2 xn 1 cos n 2 x

1 cos 2 xdx n

dx1 cos n x dx

cosn x dx1

n 1 cos n x dx n 1 cos n x dxn cos n x dx

cosn 1 x cosn 1 x cos n 1 x

sin x sin x sin x

n 1 cos n 2 x dx n 1 cos n 2 x dxn1 cos n 2 x dx 1 n

Terbukti bahwacosn x dx

1 cos n 1 x n

sin x

n 1 n

cosn 2 x dx

cosecn x dx

1 cosecn 2 x

cotg x

n 2

cosecn 2 x dx

n 1 n 1Petunjuk:

1cotg 2 x cotg 2 x

cosec 2 x cosec 2 x 1

Bukti:cosecn x dx

cosecn 2 x

cosec 2 x dx

cosecn 2 x d

cotg x

cosecn 2 x

cotg x

cotg x

d cosec n 2 x

cos ecn 2 x

cotg x

cotg x

n 2 cosec x

n 2 1

d cosec x

cos ecn 2 x

cotg x

n 2 cotg x

cosecn 3 x

cosec x

cotg x dx

cos ecn 2 xcos ecn 2 x

cotg xcotg x

n 2 cosec n 2 xn 2 cosec n 2 x

cotg 2 x dxcosec 2 x 1 dx

cosecn x dx

cos ecn 2 x

cotg x

n 2 cosec n x dx

n 2 cosecn 2 x dx

cosecn x dx n 21 n 2

cosec n x dxcosec n x dx

cos ec n 2 xcos ec n 2 x

cotg xcotg x

n 2 cosec n 2 x dxn 2 cosec n 2 x dx

n 1 cosec n x dx

cos ec n 2 x

cotg x

n 2 cosecn 2 x dx 1n 1

Terbukti bahwacosecn x dx

1 cosecn 2 x

cotg x

n 2

cosecn 2 x dx

n 1 n 1

4. Buktikan:

sec n x dx

1 s ecn 2 x

tg x

n 2

secn 2 x dx

n 1 n 1Petunjuk:

1tg 2 x tg 2 x

sec2 xsec2 x 1

Bukti:sec n x dx

secn 2 x secn 2 xsec n 2 x

sec2 x d tg xtg x

dxtg x

d sec n 2 x

sec n 2 x

tg x

tg x n 2

sec x

n 2 1

d sec x

sec n 2 x

tg x

n 2 tg x

sec n 3 x

sec x

tg x dx

sec n 2 xsec n 2 x

tg xtg x

n 2 sec n 2 xn 2 sec n 2 x

tg 2 x dxsec 2 x 1 dx

sec n x dx

sec n 2 x

tg x

n 2 sec n x dx

n 2 secn 2 x dx

sec n x dx n 21 n 2

secn x dxsecn x dx

secn 2 xsecn 2 x

tg xtg x

n 2 secn 2 x dxn 2 secn 2 x dx

n 1 sec n x dx

sec n 2 x

tg x

n 2 sec n 2 x dx 1n 1

Terbukti bahwasec n x dx

1 s ecn 2 x

tg x

n 2

secn 2 x dx

n 1 n 1

cotg n x dx

1 cotg n 1 x

cotg n 2 x dx

n 1Petunjuk:

1cotg 2 x cotg 2 x

cosec 2 x cosec 2 x 1

Bukti:cotg n x dx

cotg n 2 xcotg n 2 x

cotg 2 x dxcosec2 x 1 dx

cotg n 2 x

cosec 2 x dx

cotg n 2 x dx

cotg n 2 x d

cotg x

cotg n 2 x dx

cotg n 2 x

d cotg x

cotg n 2 x dx

cotg n x dx

1 cotg n 2 1 x

cotg n 2 x dx

n 2 1Terbukti bahwacotg n x dx

1 cotg n 1 x

cotg n 2 x dx

n 1

tg n x dx

1 tg n 1 x

tg n 2 x dx

n 1Petunjuk:

1tg 2 x tg 2 x

sec2 xsec2 x 1

Bukti:tg n x dx

tg n 2 xtg n 2 x

tg 2 x dxsec 2 x 1 dx

tg n 2 x

sec 2 x dx

tg n 2 x dx

tg n 2 x

d tg x

tg n 2 x dx

tg n x dx

1 tg n 2 1 x

tg n 2 x dx

n 2 1Terbukti bahwatg n x dx

1 tg n 1 x

tg n 2 x dx

n 1

Kesimpulan :Kesimpulan :Telah diturunkan rumus-rumus Reduksi di bawah ini.sin n x dx

1 sin n 1 x n

cos x

n 1n

sin n 2 x dx

cosn x dx

1 cos n 1 x n

sin x

n 1n

cosn 2 x dx

cosecn x dx

1 cosecn 2 x

cotg x

n 2

cosecn 2 x dx

n 1 n 1sec n x dx

1 s ecn 2 x

tg x

n 2

secn 2 x dx

n 1 n 1cotg n x dx

1 cotg n 1 x

cotg n 2 x dx

n 1tg n x dx

1 tg n 1 x

tg n 2 x dx

n 1Daftar PustakaSusanto,Gunawan. Soal dan Penyelesaian Analisa I , edisi 8. Delta Teknik GroupJakarta,1981.Soemartojo,N. Kalkulus I . Karunika Jakarta, 1986.Varberg, Purcell . Calculus , seventh edition. Prentise-Hall,Inc, 1997.