Rumus Reduksi

RUMUS REDUKSI MAKALAH KALKULUS

(KELOMPOK 18)

DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTROFAKULTAS TEKNIKUNIVERSITAS SUMATERA UTARA

DOSEN : BAPAK YULIANTA

DISUSUN OLEH : MONIKA CATHARINA SIHOMBING (140402067)

M. A. FATTAH RAMBE (140402094)

44.1 Pengertian

Bila menggunakan integrasi bagian demi bagian di Bab 43, seperti ∫ x2 ex dx membutuhkan integrasi dengan bagian dua kali. Demikian pula, ∫ x3 ex dx membutuhkan integrasi dengan bagian 3 kali. Dengan demikian, integral seperti ∫ x5 ex dx , ∫ x6 cos x dx, ∫ x8 sin 2 x dx membutuhkan waku yang lama untuk mengintegralkannya. rumus reduksi menyediakan metode cepat untuk menentukan integral tersebut dan metode ini ditunjukkan bagian di bawah ini.

44.2 Menggunakan rumus reduksi untuk integral dari bentuk ∫ xn ex dx

Misalkan, u = xn dimana

dudx = nxn−1 dan du = nxn−1 dx

Dan dv = ex dx dimana,

v = ∫ ex dx=ex

demikian ∫ xn ex dx=xne x - ∫ xn ex dx=ex nxn−1

dx

menggunakan integrasi dengan rumus bagian

= xn ex- n ∫ xn−1 ex dx

Integral di paling kanan dipandang sama bentuk dengan integral di sisi kiri, kecuali bahwa n telah digantikan oleh n - 1.Dengan demikian, ∫ xn ex dx= I n dan ∫ xn−1 ex dx=¿ I n−1 ¿

∫ xn ex dx= xn ex−¿n ∫ xn−1 ex dx

Dapat ditulis : (1)

dimana n dalam rumus reduksi ini adalah n-1 .

Dengan menggunakan rumus 1, dengan n = 2 ,

∫ x2 ex dx= I 2 = x2e x- 2I 1

dan

I 1 = x1e x- 1I 0

I n=xn ex−n I n−1

Masalah 1. Tentukan ∫ x2 ex dxdengan menggunakan Rumus Reduksi

I 0 = ∫ x0 ex dx= ∫ ex dx= ex+ c1

Sehingga I 1 = x2e x - 2[xex- 1I 0

x2e x - 2[xex- 1(ex+ c1 ¿]

i.e ∫ x2 ex dx= x2e x- 2 xex- 2ex+ 2c1

= ex(x2−2x – 2) + c dimana ( c = 2 c1)

Dari rumus 1 I n=xn ex−n I n−1

∫ x3 ex dx= I 3 = x3 ex- 3I 2

I 2 = x2e x- 2I 1

I 1 = x1e x- 1I 0

Dan

I 0 = ∫ x0 ex dx= ∫ ex dx= ex

jadi, ∫ x3 ex dx= x3 ex- 3[x2e x- 2I 1¿

= x3 ex- 3[x2e x- 2(xex- I 0)]

= x3 ex- 3[x2e x- 2(xex- ex)]

= x3 ex- 3x2e x+ 6(xex- ex)

= x3 ex- 3x2e x+ 6 xex- 6ex

i.e ∫ x3 ex dx= ex(x3- 3x2 + 6x -6) + cLatihan 170 Integralkan dengan menggunakan rumus reduksi dalam bentuk ∫ xn ex dx

1. Tentukan ∫ x4 ex dxdengan menggunakan rumus reduksi !

Penyelesaian : Dengan rumus I n=xn ex−n I n−1 Maka,

I 4 = x4 ex- 4I 3

I 3 = x3 ex- 3I 2

I 2 = x2e x- 2I 1

Masalah 2. Gunakan rumus reduksi untuk menetukan ∫ x3 ex dx

I 1 = x1e x- 1I 0

I 0 = x0 ex = ex

Jadi dapat disusun

= x4 ex- 4(x3 ex- 3I 2)

= x4 ex- 4(x3 ex- 3(x2e x- 2I 1)

= x4 ex- 4(x3 ex- 3(x2e x- 2(x1e x- 1I 0)

= x4 ex- 4(x3 ex- 3(x2e x- 2(x1e x- ex)

= x4 ex- 4(x3 ex- 3(x2e x- 2x1e x+ 2ex)

= x4 ex- 4(x3 ex- 3x2e x+ 6x1e x- 6ex)

= x4 ex- 4x3 ex+ 12x2e x- 24xex+ 24 ex)

= ex(x4- 4x3+ 12x2 - 24 x + 24)

2. Tentukan ∫ t 3 e2 t dt dengan menggunakan rumus reduksi !

Penyelesaian : Dengan rumus I n=xn ex−n I n−1

Maka,

I 3 = t 3 12

e2 t - 3I 2 = t3

2e2 t - 3I 2

I 2 = t 3 14

e2 t - 2I 1 = t2

4e2 t - 2I 1

I 1 = t 3 18

e2 t - I 0 = t1

8e2 t - I 0

I 0 = e2 t

16

Jadi, dapat disusun

= t3

2e2 t – 3( t2

4e2 t - 2I 1)

= t3

2e2 t – 3( t2

4e2 t – 2( t1

8e2 t - I 0)

= t3

2e2 t – 3( t2

4e2 t – 2( t1

8e2 t- e

2 t

16)

= t3

2e2 t – 3( t2

4e2 t – t

4e2 t + e

2 t

8)

= t3

2e2 t – 3t 2

4e2 t + 3t

4e2 t - 3 e2 t

8

= e2 t( t3

2 - 3t 2

4 + 3t

4 -

38 ) + c

3. Dengan menggunakan masalah ke-2 untuk menentukan ∫0

1

5 t 3 e2 t dt

Penyelesaian :Dengan menggunakan rumus I n=xn ex−n I n−1 Maka,

I 3 = 5t 3

2e2 t - 3I 2

I 2 =5t 2

4e2 t- 2I 1

I 1 = 5t 1

8e2 t - I 0

I 0 = 516

e2 t

Jadi, dapat disusun

= 5t 3

2e2 t - 3(5t 2

4e2 t- 2I 1)

= 5t 3

2e2 t - 3(5t 2

4e2 t– 2(5t 1

8e2 t - I 0)

= 5t 3

2e2 t - 3(5t 2

4e2 t– 2(5t 1

8e2 t-

516

e2 t)

= 5t 3

2e2 t - 3(5t 3

4e2 t– 5t 1

4e2 t +

58

e2 t)

= 5t 3

2e2 t - 15t3

4e2 t + 15t1

4e2 t -

158

e2 t

= 52

e2 t(t 3 - 32

t 2 + 3t2 -

34 ) batas atas =1 dan batas bawah 0

= ¿ - [ 52

.−34 ]

= 52

e2(14 ) +

158

= 58 (2,71)2 +

158

= 6, 493

44.3 Menggunakan Rumus Rumus Reduksi untuk integral bentuk ∫ xn cos x dx dan

∫ xn sin xdx

(a) ∫ xn cos x dx

I n = ∫ xn cos x dx lalu, gunakan integral bagian

Jika u = xn maka dudx = nxn−1

Dan jika dv = cos x dx dan

v = ∫cos xdx= sin x

jika I n= xnsin x – ∫¿¿

= xnsin x – n ∫ xn−1 sin x dx

Dengan menggunakan integral bagian lagi, dengan

u = xn−1 dudx = (n-1)xn−2 dan dv = sin x dx

yang mana v = ∫sin x dx= -cos x

hence I n= xnsin x – n[xn−1(-cos x) - ∫¿¿]

= xnsin x +n xn−1cos x – n(n-1) ∫ xn−2 cos xdx

i.e (2)

dengan menggunakan rumus ke 2 :

∫ x2 cos x dx = I 2

= x2sin x +2x1cos x - 2(1)I 0

dan I 0 = ∫ x0 cos x dx

= ∫cos x dx= sin x

Jadi

∫ x2 cos xdx = x2sin x +2 x cos x– 2 sin x + c

I n= xnsin x + n xn−1cos x - n(n-1)I n−2

Masalah 3. Gunakan Rumus reduksi untuk menentukan ∫ x2 cos xdx

Pertama, temukan rumus reduksi untuk ∫ t 3 cos t dt

Dengan rumus 2 :

∫ t 3 cos t dt = I 3 = t 3sin t+ 3t 2cos t - 3(2)I 1

Dan I 1= t 1sin t+ 1t 0cos t - 1(0)I n−2

= t sin t + cos t

∫ t 3 cos t dt= t 3sin t+ 3t 2cos t - 3(2)[ t sin t + cos t]

= t 3sin t+ 3t 2cos t - 6t sin t - 6 cos t

Sehingga

∫1

2

4 t 3cos t dt

= [4(t 3sin t+ 3t 2cos t - 6t sin t - 6 cos t)¿12

= [4(8 sin 2 + 12 cos 2 -12 sin 2 – 6 cos 2)] - [4(sin 1 + 3 cos 1 – 6 sin 1 – 6 cos 1]

= (-24.53628) – (-23.31305)

= - 1.223

Dari rumus (2)

I n= xnsin x + n xn−1cos x - n(n-1)I n−2

Sehingga ∫0

π

xn cos x dx = [xnsin x + n xn−1cos x ¿0π - n(n-1)I n−2

= [(πn sin π + n πn−1 cos π)] – 0(0+0)] - n(n-1)I n−2

= -nπn−1 – n(n-1)I n−2

∫0

π

x4 cos x dx = I 4

= - 4 π3 - 4(3)I 2 dimana n = 4

Ketika n = 2

Masalah 4. Temukan ∫1

2

4 t 3cos t dt dalam 4 bilangan bulat

Masalah 5. Tentukan rumus reduksi untuk ∫0

π

xn cos x dx dan temukan

∫0

π

x2 cos xdx = I 2 = -2π1 - 2(1)I 0

Dan

I 0 = ∫0

π

x0 cos x dx = ∫0

π

cos x dx

= [sin x ¿0π = 0

Jadi,

∫0

π

x4 cos x dx = -4 π3 – 4(3)[ -2π1 - 2(1)(0)]

= -4 π3 + 24π atau - 48.63

(b) ∫ xn sin x dx

I n = ∫ xn sin xdx lalu, gunakan integral bagian

Jika u = xn maka dudx = nxn−1 dan jika dv = sin x dx

Lalu v = ∫sin x dx= -cos x . sehingga

∫ xn sin xdx

I n = xn¿ – ∫¿¿

= -xncos x + n ∫ xn−1 cos x dx

Dengan menggunakana integral bagian lagi, dengan u = xn−1 , dimana d udx = (n-1) xn−2

dan dv = cos x ,dimana v = ∫cos xdx = sin x

hence I n = -xncos x + n[xn−1(sin x) – ∫¿¿]

= -xncos x + n xn−1(sin x) – n(n-1)∫ xn−2 sin x dx

i.e (3)I n=¿-xncos x + n xn−1sin x - n(n-1)I n−2

Masalah 6. Gunakan rumus reduksi untuk menentukan ∫ x3 sin x dx

dengan menggunakan rumus (3)

∫ x3 sin x dx = I 3 = -x3cos x + 3 x2sin x - 3(2)I 1

Dan I 1 = -x1cos x + 1 x0sin x

= -x cos x + sin x

sehingga

∫ x3 sin x dx= -x3cos x + 3 x2sin x – 6[-x cos x + sin x]

= -x3cos x + 3 x2sin x + 6 x cos x – 6 sin x + c

Dari rumus (3)

I n=¿-¿cos π2 + n( π

2)

n−1

sinπ2 - n(n-1)I n−2) – (0) ] - n(n-1)I n−2

= n( π2)

n−1

- n(n-1)I n−2

Jadi

∫0

π2

3θ4 sin θ dθ = 3∫0

π2

θ4 sin θ dθ

= 3I 4

= 3¿ 4¿ – 4(3)I 2 ] I 2 = 2¿ – 2(1)I 0 dan I 0 = ∫

0

π2

θ0sin θ dθ = [-cos x ¿0

π2 = [-0 – (-1)] = 1

Jadi

3∫0

π2

θ4sin θ dθ

Masalah 7. Temukan ∫0

π2

3θ4 sin θ dθ , dengan hasil dua angka dibelakang koma.

= 3I 4

= 3¿ 4¿ – 4(3){ 2¿ – 2(1)I 0 }] = 3¿ 4¿ – 4(3){ 2¿ – 2(1)(1) }] = 3¿ 4¿ – 24 ¿ + 24 ] = 3(15.503 – 37.699 + 24)

= 3(1.8039) = 5.41

Exercise 171 Dengan Rumus Reduksi tentukan Integral dari bentuk ∫ xn cos x dx dan ∫ xn sin x dx!1. Dengan menggunakan rumus reduksi,tentukanlah ∫ x5 cos x dx!

Penyelesaian :

Dengan menggunakan rumus I n= xnsin x + n xn−1cos x - n(n-1)I n−2 maka,

I 5 = x5sin x+ 5x4 cos x - 5(4)I 3 = x5sin x+ 5x4 cos x - 20I 3

I 3 = x3sin x+ 3x2cos x - 3(2)I 1 = x3sin x+ 3x2cos x - 6I 1

I 1 = x1sin x + cos x

Jadi,dapat disusun

= x5sin x+ 5x4 cos x – 20(x3sin x+ 3x2cos x - 6I 1)

= x5sin x+ 5x4 cos x – 20(x3sin x+ 3x2cos x – 6(x1sin x + cos x)

= x5sin x+ 5x4 cos x – 20(x3sin x+ 3x2cos x – 6xsin x - 6 cos x )

= x5sin x+ 5x4 cos x – 20x3sin x– 60 x2cos x + 120xsin x + 120 cos x + c

2. Tentukanlah ∫0

π

x5 cos x dx dalam bentuk 2 angka dibelakang koma !

Penyelesaian :

Dengan menggunakan rumus I n= xnsin x + n xn−1cos x - n(n-1)I n−2

maka, I 5 = x5sin x+ 5x4 cos x - 5(4)I 3 = x5sin x+ 5x4 cos x - 20I 3

I 3 = x3sin x+ 3x2cos x - 3(2)I 1 = x3sin x+ 3x2cos x - 6I 1

I 1 = x1sin x + cos x Jadi,dapat disusun = x5sin x+ 5x4 cos x – 20(x3sin x+ 3x2cos x - 6I 1)= x5sin x+ 5x4 cos x – 20(x3sin x+ 3x2cos x – 6(x1sin x + cos x)= x5sin x+ 5x4 cos x – 20(x3sin x+ 3x2cos x – 6xsin x - 6 cos x )= x5sin x+ 5x4 cos x – 20x3sin x– 60 x2cos x + 120xsin x + 120 cos x Batas atas ¿ π Batas akhir = 0

= ¿ - [ 120 ]

= -486.05 +591.576 – 120 -120= 134.474

3. Dengan menggunakan rumus reduksi,tentukanlah ∫ x5 sin x dx !

Penyelesaian :Dengan menggunakan rumus I n=¿-xncos x + n xn−1sin x - n(n-1)I n−2

Maka,

I 5 = −x5cos x + 5x4sin x – 5(4)I 3 = −x5cos x + 5x4sin x – 20I 3

I 3 = −x3cos x + 3x2sin x - 3(2)I 1 = −x3cos x + 3x2sin x - 6I 1

I 1 = −x1cos x + sin x

Jadi, dapat disusun

= −x5cos x + 5x4sin x – 20(−x3cos x + 3x2sin x - 6I 1)= −x5cos x + 5x4sin x – 20(−x3cos x + 3x2sin x – 6(−x1cos x + sin x)= −x5cos x + 5x4sin x – 20(−x3cos x + 3x2sin x + 6x cos x- 6 sin x)

= −x5cos x + 5x4sin x + 20x3cos x - 60x2sin x -120x cos x + 120 sin x + c

4. Tentukanlah ∫0

π

x5 sin x dx dalam bentuk 2 angka dibelakang koma !

Penyelesaian :

Dengan menggunakan rumus I n=¿-xncos x + n xn−1sin x - n(n-1)I n−2

Maka, I 5 = −x5cos x + 5x4sin x – 5(4)I 3 = −x5cos x + 5x4sin x – 20I 3

I 3 = −x3cos x + 3x2sin x - 3(2)I 1 = −x3cos x + 3x2sin x - 6I 1

I 1 = −x1cos x + sin x

Jadi, dapat disusun= −x5cos x + 5x4sin x – 20(−x3cos x + 3x2sin x - 6I 1)= −x5cos x + 5x4sin x – 20(−x3cos x + 3x2sin x – 6(−x1cos x + sin x)= −x5cos x + 5x4sin x – 20(−x3cos x + 3x2sin x + 6x cos x- 6 sin x)= −x5cos x + 5x4sin x + 20x3cos x - 60x2sin x -120x cos x + 120 sin x

Batas atas = π dan Batas akhir = 0

= ¿ - [ 0 ]

=¿

= 305.2447 – 619.183 +376.8

= 62.86

44.4 Menggunakan rumus reduksi untuk integral dari bentuk ∫sinn x dx dan ∫cosn xdx

(a)∫sinn x dx

Rubah I n=∫sinn x dx≡∫sinn−1 xsin x dx berdasarkan hukum perpangkatan.

Dengan menggunakan integral dengan bagian, misalkan ¿ sinn−1 x , yang mana,

dudx

=(n−1 ) sinn−2 x cos x dan

du=(n−1 )sinn−2 x cos xdx

Dan rubah dv=sin x dx, yang mana, v=∫ sin xdx=−cos x. Lalu,

I n=∫sinn−1 x sin x dx

¿ (sinn−1 x )¿

¿−sin n−1 xcos x+ (n−1 )∫ cos2 x sinn−2 xdx

¿−sinn−1 x cos x+(n−1 )∫ (1−sin2 x ) sinn−2 xdx

¿−sinn−1 x cos x+(n−1 ) {∫ sinn−2 x dx−∫sinn x dx } Jadi,

I n=−sin n−1 xcos x+(n−1 ) I n−2−(n−1) I n

I n+ (n−1 ) I n=−sinn−1 x cos x+(n−1 ) I n−2

¿n=−sinn−1 xcos x+(n−1 ) I n−2

Yang mana,

∫sinn x dx=¿

(4)

I n=−1n

sinn−1 xcos x+ n−1n

I n−2

Masalah 8. Gunakan rumus reduksi untuk menentukan ∫sin 4 xdx .

Menggunakan persamaan (4),

∫sin4 xdx=I 4=−14

sin3 cos x+ 34

I 2

¿ I 2=−12

sin2 cos x+ 12

I 0

¿ I 0=sin0 x dx=∫ 1dx=x

Jadi,

∫sin4 xdx=I 4=−14

sin3 cos x+ 34 [−1

2sin2 cos x+ 1

2( x )]

¿−14

sin3 cos x−38

sin x cos x+ 38

x+c

Masalah 9. Hitung ∫0

1

4sin5 t dt , tepat 3 angka signifikan.


∫sin5 t dt=I5=−15

sin4 t cos t + 45

I3

I 3=−13

sin2 t cos t +23

I1

dan I 1=−11

sin0 t cos t +¿0=−cos t ¿

Jadi,

∫sin5t dt=I5=−15

sin4 t cos t + 45 [−1

3sin2 t cos t + 2

3(−cos t )]

¿−15

sin4 t cos t− 415

sin2t cos t− 815

cos t +c

Dan ∫0

1

4sin5 t dt

¿4 [−15

sin4 t cos t− 415

sin2t cos t− 815

cos t ]01

¿4 [(−15

sin4 1cos 1− 415

sin2 1cos 1− 815

cos1)−(−0−0− 815 )]

¿4 [ (−0.054178−0.1020196−0.2881612 )− (−0.533333 ) ]

¿4 (0.0889745 )=0.356


π2

sinn x dx dan hitung ∫0

π2

sin 6 x dx.

Dari persamaan (4),

∫sinn x dx=I n=−1n


I n−2

Lalu,

∫0

π2

sinn x dx=[−1n

sinn−1 xcos x]0

π2 + n−1

nI n−2

¿ [ 0−0 ]+n−1n

I n−2

Jadi,

I n=n−1

nI n−2

Yang mana,

∫0

π2

sin6 x dx=I 6=56

I 4

I 4=34

I 2 , I 2=12

I 0

dan I 0=∫0

π2

sin0 x dx=∫0

π2

1 dx=π2

Jadi,

∫0

π2

sin6 x dx=I 6=56

I 4=56 [ 3

4I 2]

¿ 56 [ 3

4 {12

I0}] ¿

56 [ 3

4 {12 [ π

2 ]}]=1596 π

(b)∫cosn xdx

Rubah I n=∫cosn x dx ≡∫ cosn−1 xcos x dx berdasarkan hukum perpangkatan.

Dengan menggunakan integral dengan bagian, misalkan ¿cosn−1 x , yang mana,

dudx

=(n−1 ) cosn−2 x (−sin x ) dan

du=(n−1 )cosn−2 x (−sin x )dx

Dan rubah d v=cos x dx, yang mana, v=∫ cos x dx=sin x. Lalu,

I n=(cosn−1 x )¿

¿ (cosn−1 x )¿

¿ (cosn−1 x )¿

¿ (cosn−1 x )¿

Jadi,

I n=(cosn−1 x )¿

I n+ (n−1 ) I n=(co sn−1 x )¿

¿n=(cosn−1 x )¿

Sehingga (5)

Masalah 11. Gunakan rumus reduksi untuk menentukan ∫cos4 x dx .

Dari persamaan (5),

∫cos4 x dx=I 4=14

cos3 x sin x+ 34

I 2

dan I 2=12

cos x sin x+ 12

I 0

dan I 0=∫cos0 x dx

¿∫1dx=x

I n=1n

cosn−1 x sin x+ n−1n

In−2

Jadi ∫cos4 x dx

¿ 14

cos3 x sin x+ 34 (1

2cos xsin x+ 1

2x )

¿ 14

cos3 x sin x+ 38

cos x sin x+ 38

x+c


π2

cosn xdx dan hitung ∫0

π2

cos5 x dx.

Dari persamaan (5),

∫cosn xdx=1n

cosn−1 x sin x+ n−1n

I n−2

Lalu

∫0

π2

cosn xdx=[ 1n

cosn−1 xsin x ]0

π2 + n−1

nI n−2

¿ [ 0−0 ]+n−1n

I n−2

Jadi

∫0

π2

cosn xdx=n−1n

I n−2 (6)

(Catatan bahwa ini merupakan rumus reduksi yang sama untuk ∫0

π2

sin n x dx ( Lihat Masalah

10) dan hasil ini biasa dikenal dengan Wallis’s formula (Rumus Wallis).

Jadi, dari persamaan (6),

∫0

π2

cos5 x dx=45

I 3 , I 3=23

I 1

danI 1=∫0

π2

cos1 x dx

¿ [ sin x ]0π2= (1−0 )=1

Sehingga ∫0

π2

cos5 x dx=45

I 3=45 [2

3I 1]

¿ 45 [ 2

3(1 )]= 8

15

Sekarang kita coba latihan berikut.

Latihan 172 Masalah yang lebih jauh tentang rumus reduksi untuk integral dalam bentuk (a)∫sin n x dx dan (b)∫cosn x dx

1. Gunakan rumus reduksi untuk menentukan ∫sin7 x dx .

Penyelesaian :


∫sin7 x dx=I 7=−17

sin6 xcos x+ 67

I 5

I 5=−15

sin4 x cos x+ 45

I 3

I 3=−13

sin2 xcos x+ 23

I 1

I 1=−11

sin0 xcos x+0=−cos x

Jadi,

∫sin7 x dx=−17

sin6 xcos x+ 67 [−1

5sin4 xcos x+ 4

5 {−13

sin2 x cos x+ 23

(−cos x )}] ¿−1

7sin6 xcos x− 6

35sin4 xcos x− 8

35sin2 x cos x−16

35cos x+c

2. Evaluasi ∫0

π

3sin3 x dx menggunakan rumus reduksi.

Penyelesaian :


∫sinn x dx=I n=−1n


I n−2

Jadi,

∫0

π

sinn x=¿ [−1n

sinn−1 x cos x ]0

π

+ n−1n

I n−2¿

¿ [ 0−0 ]+n−1n

I n−2

I n=n−1

nI n−2

Jadi,

∫0

π

sin3 x dx=I 3=23

I 1

I 1=∫0

π

sin1 x dx= [−cos x ]0π= {1−(−1 ) }=2

Sehingga ∫0

π

3sin3 x dx=3∫0

π

sin3 x dx=3 I 3=2 I 1=2.2=4

3. Evaluasi ∫0

π2

sin 5 x dx menggunakan rumus reduksi.

Dari persamaan Wallis [persamaan (6)],

I n=n−1

nI n−2

∫0

π2

sin5 x dx=45

I3 , I3=23

I1

danI 1=∫0

π2

sin1 x dx

¿ [−cos x ]0π2 =[0−(−1 ) ]=1

Jadi ∫0

π2

sin 5 x dx=45

I3=45 [ 2

3I1]

¿ 45 [ 2

3(1 )]= 8

15

4. Tentukan, dengan menggunakan rumus reduksi, ∫cos6 xdx.

Penyelesaian :


I 6=16

cos5 x sin x+ 56

I 4

I 4=14

cos3 x sin x+ 34

I 2

I 2=12

cos x sin x+ 12

I 0

I 0=∫cos0 x dx=∫1 dx=x

Jadi ∫cos6 xdx

¿ 16

cos5 x sin x+ 56 [ 1

4cos3 x sin x+ 3

4 ( 12

cos x sin x+ 12

x )] ¿ 1

6cos5 x sin x+ 5

24cos3 x sin x+ 5

16cos x sin x+ 5

16x+c

5. Evaluasi ∫0

π2

co s7 x dx.

Penyelesaian :

Dari persamaan Wallis [persamaan (6)],

I n=n−1

nI n−2

∫0

π2

cos7 xdx=67

I 5

I 5=45

I3

I 3=23

I 1

I 1=∫0

π2

sin1 x dx

¿ [−cos x ]0π2 =[0−(−1 ) ]=1

Jadi ∫0

π2

cos7 xdx=67

I 5=67 ( 4

5I 3)=6

7 ( 45 [ 2

3I 1])=6

7 (45 [2

3{1 }])=16

35

44.5 Rumus Reduksi Lebih Lanjut

Masalah yang sudah dikerjakan berikut mendemonstrasikan contoh yang lebih lanjut dimana integral dapat ditentukan melalui rumus reduksi.

Masalah 13. Tentukan rumus reduksi untuk ∫ tann xdx dan carilah ∫ tan7 xdx.

Andaikan I n=∫ tann x dx ≡∫ tann−2 x tan2 x dx berdasarkan hukum perpangkatan.

¿∫ tann−2 x ( sec2 x−1 ) dx karena 1+ tan2 x=sec2 x

¿∫ tann−2 x sec2 x dx−¿∫ tann−2 x dx¿

¿∫ tann−2 x sec2 x dx−¿ I n−2¿

Kesimpulannya,

I n=tann−1 x

n−1−I n−2

Ketika n=7 ,

I 7=∫ tan7 x dx= tan6 x6

−I5

I 5=tan4 x

4−I 3dan I 3=

tan2 x2

−I 1

I 1=∫ tan x dx=ln (sec x) dari Masalah 9, Bab 39, Halaman 393

Lalu

∫ tan7 xdx= tan6 x6

−[ tan4 x4

−( tan2 x2

−ln (sec x ))] Jadi

∫ tan7 xdx=16

tan6 x−14

tan4 x+ 12

tan2 x−ln (sec x )+c

Masalah 14. Evaluasi, menggunakan rumus reduksi,∫0

π2

sin2t cos6 t dt .

∫0

π2

sin2 t cos6 t dt=∫0

π2

(1−cos2 t ) cos6 t dt

¿∫0

π2

cos6t dt−∫0

π2

cos8 t dt

Jika I n=∫0

π2

cosnt dt

Maka,

∫0

π2

sin2 t cos6 t dt=I 6−I 8

Dan dari persamaan (6),

I 6=56

I 4=56 [ 3

2I 2]

¿ 56 [3

2 ( 12

I 0)] Dan I 0=∫

0

π2

cos0t dt

¿∫0

π2

1 dt=[ t ]0π2=π

2

Sehingga I 6=56

∙ 34

∙ 12

∙ π2

¿ 15 π96

atau 5 π32

I 8=78

I 6=78

∙ 5π32

Jadi,

∫0

π2

sin2 t cos6 t dt=I 6−I 8

¿ 5 π32

−78

∙ 5 π32

¿ 18

∙ 5 π32

= 5 π256

Masalah 15. Gunakan integral per bagian untuk menentukan rumus reduksi untuk ∫ ( ln x )n dx . Lalu tentukan ∫ ( ln x )3 dx .

Misalkan I n = ∫ ( ln x )n dx .

Dengan menggunakan integral perbagian, u=(ln x )n, dimana

dudx

=n ( ln x )n−1( 1x )

Dan du=n ( ln x )n−1(1x )dx

dv=dx, dimana v=∫ dx=x

Lalu I n=∫ ( ln x )n dx .

¿ ( ln x )n (x )−∫ (x ) n (ln x )n−1( 1x )dx

¿ x ( ln x )n−n∫ ( ln x )n−1 dx

Kesimpulannya,

I n=x ( ln x )n−nI n−1

Ketika n = 3,

∫ ( ln x )3 dx=I 3=x ( ln x )3−3 I 2

I 2=x ( ln x )2−2 I 1

I 1=∫ ln xdx=x ( ln x−1 ) dari Masalah 7 Halaman 420.

Jadi,

∫ ( ln x )3 dx=x (ln x )3−3 [ x ( ln x )2−2 I1 ]+c

¿ x ( ln x )3−3 [ x ( ln x )2−2 [x ( ln x−1 ) ] ]+c

¿ x ( ln x )3−3 [ x (ln x )2−2 x ln x+2 x ]+c

¿ x ( ln x )3−3 x ( ln x )2+6 x ln x−6 x+c

¿ x [ ( ln x )3−3 (ln x )2+6 ln x−6 ]+c

Sekarang kita coba latihan berikut.

Latihan 173 Masalah yang lebih jauh tentang rumus reduksi

Evaluasi ∫0

π2

cos2 x sin5 xdx.

Penyelesaian :

∫0

π2

cos2 x sin5 xdx=∫0

π2

( 1−sin2 x ) sin 5 x dx

∫0

π2

cos2 x sin5 xdx=∫0

π2

sin5 x dx−∫0

π2

sin7 x dx

Jika I n=∫0

π2

cosn x dx

Lalu

∫0

π2

cos2 x sin5 xdx=I 5−I 7

Dan dari persamaan (6),

I 5=45

I3=45 [ 2

3I1]

Dan I 1=∫0

π2

cos1 x dx=∫0

π2

cos x dx=[ sin x ]0π2=1

Sehingga I 5=45

∙ 23

∙ 1

¿ 815

Dan I 7=67

I 5=67

∙ 815

Jadi

∫0

π2

cos2 x sin5 xdx=I 5−I 7

¿ 815

−67

∙ 815

¿ 17

∙ 815

= 8105

Tentukan ∫ tan6 xdx menggunakan rumus reduksi dan evaluasi ∫0

π4

tan6 xdx.

Penyelesaian :

Seperti yang kita ketahui,

I n=tann−1 x

n−1−I n−2

∫ tan6 xdx=I 6=tan5 x

5−I 4

I 4=tan3 x

3−I 2

I 2=tan1 x

1−I 0

I 0=∫ tan0 x dx=x

Sehingga,

∫ tan6 xdx= tan5 x5

−[ tan 3 x3

−( tan1 x1

−x)] Jadi

∫ tan6 xdx=15

tan5 x−13

tan3 x+tan x−x+c

∫ tan6 xdx= tann−1 xn−1

−I n−2

Untuk menyelesaikan ∫0

π4

tan6 xdx, ada dua cara untuk menyelesaikan persamaan ini. Cara

yang pertama dengan cara konvensional, yaitu memasukkan nilai batas ke dalam persamaan yang sudah diintegralkan terlebih dahulu. Cara yang kedua yaitu memasukkan nilai batas langsung ke rumus reduksinya. Kedua cara ini menghasilkan jawaban yang sama. Namun disini hanya akan ditampilkan cara yang kedua.

∫ tann xdx= tann−1 xn−1

−I n−2

∫0

π4

tann xdx=[ tann−1 xn−1 ]

0

π4 −I n−2

¿ [ 1n−1

− 0n−1 ]−I n−2

∫0

π4

tann xdx=I n=1

n−1−In−2

Lalu,

∫0

π4

tan6 xdx=I 6=15−I 4

I 4=13−I 2

I 2=11−I 0=1−I 0

I 0=∫0

π4

tan0 x dx=∫0

π4

1dx=[ x ]0π4 =π

4

Jadi,

∫0

π4

tan6 xdx=I 6=15−I 4

¿ 15−( 1

3−I 2)

¿ 15−( 1

3−[1−I 0 ])

¿ 15−( 1

3−[1−π

4 ]) ¿ 1

5−1

3+1− π

4

¿ 1315

−π4

Tentukan ∫0

π2

cos5 x sin4 x dx.

∫0

π2

cos5 x sin4 x dx=∫0

π2

cos5 x (sin2 x )2 dx

¿∫0

π2

cos5 x ( 1−cos2 x )2 dx

¿∫0

π2

cos5 x ( 1−2cos2 x+cos4 x ) dx

¿∫0

π2

cos5 x dx−2∫0

π2

cos7 xdx+∫0

π2

cos9 x dx

Jika I n=∫0

π2

cosn x dx

Lalu

∫0

π2

cos5 x sin4 x dx=I 5−2 I 7+ I 9

Dari persamaan (6),

I 5=45

I3=45 ( 2

3I 1)

I 1=∫0

π2

cos1 x dx=[ sin x ]0π2 =1

Sehingga I 5=45

∙ 23

∙ 1= 815

I 7=67

I 5=67

∙ 815

I 9=89

I 7=89

∙ 67

I 5=1621

∙ 815

Jadi ∫0

π2

cos5 x sin4 x dx=I 5−2 I 7+ I 9

¿ 815

−2( 67

∙ 815 )+16

21∙ 815

¿ 815

−3235

+ 128315

¿ 168315

−288315

+ 128315

¿ 8315

Gunakan rumus reduksi untuk menentukan ∫ ( ln x )4 dx .

Penyelesaian :

Seperti yang kita ketahui,

∫ ( ln x )n dx=I n=x ( ln x )n−n In−1

∫ ( ln x )4 dx=I 4=x ( ln x )4−4 I3

I 3=x ( ln x )3−3 I 2

I 2=x ( ln x )2−2 I 1

I 1=∫ ln xdx=x ( ln x−1 )

Jadi ∫ ( ln x )4 dx=I 4=x ( ln x ) 4−4 (x ( ln x )3−3 [ x ( ln x )2−2 {x ( ln x−1 ) }] )

¿ x ( ln x )4−4 x ( ln x )3+12x ( ln x )2−24 x ln x+24 x+c

Tunjukkan ∫0

π2

sin 3θ cos4 θ dθ= 235

Penyelesaian :

∫0

π2

sin3θ cos4 θ dθ=∫0

π2

sin3θ (1−sin2 θ )2 dθ

¿∫0

π2

sin3 θ (1−2sin2 θ+sin4 θ ) dθ

¿∫0

π2

sin3 θ dθ−2∫0

π2

sin 5θ dθ+∫0

π2

sin7θ dθ

Jika I n=∫0

π2

sinn x dx

Lalu

∫0

π2

sin3θ cos4 θ dθ=I 3−2 I 5+ I7

Dari persamaan (6),

I 3=23

I 1; I 1=∫0

π2

sin1 x dx=[−cos x ]0π2=1

Sehingga

I 3=23

I 1=23

∙1=23

I 5=45

I3=45

∙ 23= 8

15

I 7=67

I 5=67

∙ 45

I3=2435

∙ 23=16

35

Jadi

∫0

π2

sin3θ cos4 θ dθ=I 3−2 I 5+ I7

¿ 23−2( 8

15 )+ 1635

¿ 23−16

15+ 16

35

¿ 70−112+48105

¿ 6105

= 235

TERIMA KASIH

Rumus Reduksi

Documents

Transcript of Rumus Reduksi