PENGOLAHAN SINYAL DIGITAL •Overview Sistem Waktu Diskrit •System Properties (Shift Invariance,...
51
PENGOLAHAN SINYAL DIGITAL Modul 5. Sistem Waktu Diskret dan Aplikasi TZ
Transcript of PENGOLAHAN SINYAL DIGITAL •Overview Sistem Waktu Diskrit •System Properties (Shift Invariance,...
PENGOLAHAN SINYAL DIGITAL
Modul 5.
Sistem Waktu Diskret dan Aplikasi TZ
Content
• Overview Sistem Waktu Diskrit
• System Properties (Shift Invariance, Kausalitas, Stabilitas) dikaitkan dengan TZ
• Transformasi sistem dari persamaan difference ke respon impuls dan sebaliknya
• Realisasi Sistem dg adder minimal dan delay minimal
• Mencari Respon Steady State
• Struktur : kaskade, paralel
Fungsi Sistem dari Sistem LTI
)(
)()()()()()(*)()(
zX
zYzHzXzHzYnxnhny
)()( zHnh Respon impuls Fungsi sistem
Persamaan beda dari sistem LTI :
)()()(01
knxbknyanyM
k
k
N
k
k
kM
k
kk
N
k
k zzXbzzYazY
)()()(01
kM
k
kk
N
k
k zzXbzzYazY
)()()(01
kM
k
kk
N
k
k zbzXzazY
01
)(]1)[(
)(
1)(
)(
1
0 zH
za
zb
zX
zY
kN
k
k
kM
k
k
Fungsi sistem rasional
)(
1)(
)(
1
0 zH
za
zb
zX
zY
kN
k
k
kM
k
k
Hal khusus I : ak = 0, 1 k N
kMM
k
kM
kM
k
k zbz
zbzH
00
1)( All-zero system
Hal khusus II : bk = 0, 1 k M
1
1
)(
01
o
kN
k
k
o
kN
k
k
o a
za
b
za
bzH
All-pole system
Pole-Zero system
Tentukan fungsi sistem dan respon impuls sistem LTI :
Jawab:
)(2)(2
1)( 1 zXzYzzY
)(2)1(2
1)( nxnyny
)(2)2
11)(( 1 zXzzY
1
2
11
2)(
z
zH )(2
12)( nunh
n
Contoh 1:
Tentukan respon impuls dari suatu sistem LTI (Linear Time Invariant) yang dinyatakan oleh persamaan beda :
Jawab:
)(5,9)(5,4)(2)(3)( 121 zXzzXzYzzYzzY
)5,95,4)(()231)(( 121 zzXzzzY
21
1
231
5,95,4
)(
)()(
zz
z
zX
zYzH
)1(5,9)(5,4)2()1(3)( nxnxnynyny
Contoh 2:
21
1
231
5,95,4)(
zz
zzH
23
5,95,4)(2
zz
z
z
zH
2
5,0
1
5
21
)( 21
zzz
A
z
A
z
zH
11 )2(1
5,0
)1(1
5)(
zzzH
)(])2(5,0)1(5[)( nunh nn
Tentukan output dari suatu sistem LTI (Linear Time Invariant) yang dinyatakan oleh persamaan beda :
Jawab:
)z(Xz5,9)z(X5,4)z(Yz2)z(Yz3)z(Y 121
)1(5,9)(5,4)2()1(3)( nxnxnynyny
0)2(0)1( yy
dan mendapat input x(n) = (-3)nu(n) )()( nyny zs
)z5,95,4)(z(X)z2z31)(z(Y 121
Contoh 3:
11 31
1
)3(1
1)()()3()(
zzzXnunx n
)()5,95,4()231)(( 121 zXzzzzY
1
121
31
1)5,95,4()231)((
zzzzzY
)31)(231(
)5,95,4()(
121
1
zzz
zzY
)31)(231(
)5,95,4()(1213
12
zzzz
zz
z
zY
)3)(2)(1(
)5,95,4(
)3)(23(
)5,95,4()( 2
2
2
zzz
zz
zzz
zz
z
zY
)3)(2)(1(
)5,95,4(
)3)(23(
)5,95,4()( 2
2
2
zzz
zz
zzz
zz
z
zY
)3()2()1()3)(2)(1(
)5,95,4( 3212
z
A
z
A
z
A
zzz
zz
)3)(2)(1(
)23()34()65()( 23
22
21
zzz
zzAzzAzzA
z
zY
0236
5,9345
5,4
321
321
321
AAA
AAA
AAA
2
236
345
111
D
5,22
5230
345,9
115,4
1
D
A 12
2206
35,95
15,41
2 D
A
65,415,2 33 AA
)31(
6
)21(
1
)1(
5,2)(
)3(
6
)2(
1
)1(
5,2)(
111
zzzzY
zzzz
zY
)(])3(6)2()1(5,2[)( 2 nuny nnzs
Jawab:
Tentukan zero-state response dari suatu sistem LTI yang mendapat input x(n) = u(n) dan dinyatakan oleh persamaan beda :
)2(8)1(28)(5)2(8)1(6)( nxnxnxnynyny
)(8)(28)(5)(8)(6)( 2121 zXzzXzzXzYzzYzzY
121
21
1
1
861
)8285()(
zzz
zzzY11
1)(
zzX
142)1)(86(
)8285()( 3212
2
z
A
z
A
z
A
zzz
zz
z
zY
Contoh 4:
142)1)(4)(2(
)8285()( 3212
z
A
z
A
z
A
zzz
zz
z
zY
146
84
)3)(2(
85620
)1)(4(
8285)()2(
2
2
1
zzz
zz
z
zYzA
2010
200
)5)(2(
811280
)1)(2(
8285)()4(
4
2
2
zzz
zz
z
zYzA
115
15
)5)(3(
8285
)4)(2(
8285)()1(
1
2
3
zzz
zz
z
zYzA
1
1
4
20
2
14)(
zzzz
zY111 1
1
41
20
21
14)(
zzzzY
)(]1)4(20)2(14[)( nuny nnzs
Tentukan output dari suatu sistem LTI (Linear Time Invariant) yang dinyatakan oleh persamaan beda :
Jawab:
0])2()1()([2
])1()([3)(
22
1
zyzyzYz
zyzYzzY
)1(5,9)(5,4)2()1(3)( nxnxnynyny
5,7)2(5,8)1( yy
dengan input x(n) = 0 )()( nyny zi
Contoh 5:
21)2)(1(
175,10
23
175,10)( 212
z
A
z
A
zz
z
zz
z
z
zY
41
4
1
175,10)()2(
5,61
5,6
2
175,10)()1(
22
11
z
z
z
z
z
zYzA
z
z
z
zYzA
11 21
4
1
5,6
2
4
1
5,6)(
zzz
z
z
zzY
nnzi ny )2(4)1(5,6)(
Jawab:
Tentukan output dari suatu sistem LTI yang mendapat input x(n) = u(n) dan dinyatakan oleh persamaan beda :
3)2(4)1(
)2(8)1(28)(5)2(8)1(6)(
yy
nxnxnxnynyny
])2()1()([8])1()([28
)(5])2()1()([8
])1()([6)(
221
22
1
zxzxzXzzxzXz
zXzyzyzYz
zyzYzzY
]8285)[(
243224]861)[(
21
121
zzzX
zzzzY
Contoh 6:
]8285)[(
243224]861)[(
21
121
zzzX
zzzzY
1
21121
1
828532]861)[(
z
zzzzzzY
)1)(861(
82853232)(
121
2121
zzz
zzzzzY
)1)(861(
2445)(
121
21
zzz
zzzY
)1)(86(
2445)(2
2
zzz
zz
z
zY
)1z)(4z)(2z(
24z4z5
)1z)(8z6z(
24z4z5
z
)z(Y 2
2
2
4z
A
2z
A
1z
A
)1z)(4z)(2z(
24z4z5 321
2
115
15
)5)(3(
2445
)4z)(2z(
24z4z5A
1z
2
1
26
12
)3)(2(
24820
)1z)(4z(
24z4z5A
2z
2
2
410
40
)5)(2(
241680
)1z)(2z(
24z4z5A
4z
2
3
4z
4
2z
2
1z
1
z
Y
111 z41
4
z21
2
z1
1Y
)n(u])4(4)2(21[)n(y 2n
Deskripsi Input-Output
Ekspresi matematik :
Hubungan antara input dan output
x(n) = input (masukan, eksitasi)
y(n) = output (keluaran, respon)
= Transformasi (operator)
Sistem dipandang sebagai black box
)()(
)]([)(
nynx
nxTny
T
lainnyan
nnnx
,0
33,)(
Tentukan respon dari sistem-sistem berikut terhadap input :
)1()()1(3
1)()
)1()()
)()()
nxnxnxnyc
nxnyb
nxnya
Contoh 7:
Jawab :
,0,3,2,1,0,1,2,3,0)( nx
)()() nxnya Sistem identitas
)1()() nxnyb
,0,3,2,1,0,1,2,3,0)( ny
)1()10()0( xxy
)1()()1(3
1)() nxnxnxnyc
)1()0()1(3
1)0( xxxy
,0,1,3
5,2,1,
3
2,1,2,
3
5,1,0)(ny
,0,3,2,1,0,1,2,3,0)( nx
n
k
kxny )()(
Akumulator
)()()(1
nxkxnyn
k
)()1()( nxnyny
y(n) tidak hanya tergantung pada input x(n) tapi juga pada respon sistem sebelumnya
y(n-1) initial condition (kondisi awal)
y(n-1) = 0 sistem relaks
Tentukan respon dari akumulator dengan input x(n) = n u(n) bila :
n
kk
n
k
kxkxkxny0
1
)()()()(
a) y(- 1) = 0 (sistem relaks)
b) y(- 1) = 1
Jawab :
n
k
kxyny0
)()1()(
Contoh 8:
n
k
kxyny0
)()1()(2
)1()(
00
nnkkx
n
k
n
k
02
)1()(0)1()
n
nnnyya
02
2
2
)1(1)(1)1()
2
nnn
nnnyyb
Representasi Diagram Blok
Penjumlah (adder)
Pengali dengan konstanta (constant muliplier)
Pengali sinyal (signal multiplier)
Elemen tunda (unit delay element)
Adder :
+
x1(n)
x2(n) y(n) = x1(n) + x2(n)
x(n) a
y(n) = a x(n)
Constant multiplier :
Signal multiplier :
Unit delay element :
x
x1(n)
x2(n) y(n) = x1(n)x2(n)
z - 1 x(n) y(n) = x(n –1)
z x(n) y(n) = x(n +1)
Buat diagram blok dari sistem waktu diskrit dimana :
)1(2
1)(
2
1)1(
4
1)( nxnxnyny
Jawab :
+
0,25
x(n) +
0,5
z - 1 0,5
y(n)
z - 1
black box
Contoh 9:
)1(2
1)(
2
1)1(
4
1)( nxnxnyny
)]1()([2
1)1(
4
1)( nxnxnyny
black box
+
0,25
x(n) +
0,5
z - 1
y(n)
z - 1
Klasifikasi Sistem
Sistem statik dan dinamik
Time-invariant & time-variant system
Sistem linier dan sistem nonlinier
Sistem kausal dan sistem nonkausal
Sistem stabil dan sistim tak stabil
Sistem Statik (memoryless) :
Output pada setiap saat hanya tergantung input pada saat yang sama
Tidak tergantung input pada saat yang lalu atau saat yang akan datang
)()()(
)()(
3 nxbnxnny
nxany
]),([)( nnxTny
Sistem Dinamik :
Outputnya selain tergantung pada input saat yang sama juga tergantung input pada saat yang lalu atau saat yang akan datang
0
0
)()(
)()(
)1(3)()(
k
n
k
knxny
knxny
nxnxny Memori terbatas
Memori terbatas
Memori tak terbatas
Sistem Time-Invariant (shift-invariant) :
Hubungan antara input dan output tidak tergantung pada waktu
)]([)( nxTny
Time-invariant
Time-variant
)]([)( knxTkny
)]([),( knxTkny
)(),( knykny
)(),( knykny
Umumnya :
Tentukan apakah sistem-sistem di bawah ini time-invariant atau time-variant
+ x(n)
y(n) = x(n) - x(n-1)
z - 1
-
Differentiator a)
)1()()(
)1()()]([),(
)1()()]([)(
knxknxkny
knxknxknxTkny
nxnxnxTny
Jawab :
)(),( knykny Time-invariant
Contoh 10:
Jawab :
x
n
x(n) y(n) = n x(n) Time multiplier
b)
)()()()()(
)()]([),(
)()]([)(
knkxknnxknxknkny
knnxknxTkny
nnxnxTny
)(),( knykny Time-variant
Jawab :
c)
)()]([)(
)()]([),(
)()]([)(
knxknxkny
knxknxTkny
nxnxTny
Time-variant
T y(n) = x(-n)
x(n)
Folder
)(),( knykny
Jawab :
d)
)](cos[)()(
)cos()()]([),(
)cos()()]([)(
knknxkny
nknxknxTkny
nnxnxTny
o
o
o
Time-variant )(),( knykny
x
cos(on)
x(n) y(n) = x(n)cos(on) Modulator
Sistem Linier :
Prinsip superposisi berlaku
)]()([)( 22111 nxanxaTny
+
x1(n)
x2(n)
y1(n)
a1
a2
T
)]([)]([)( 22112 nxTanxTany
+
x1(n)
x2(n)
y2(n)
a1
a2
T
T
)()( 21 nyny Linier
Tentukan apakah sistem-sistem di bawah ini linier atau nonlinier
BnAxnyd
nxnyc
nxnyb
nnxnya
)()()
)()()
)()()
)()()
2
2
Contoh 11:
Sistem Kausal :
Outputnya hanya tergantung pada input sekarang dan input yang lalu
• x(n), x(n-1), x(n-2), …..
Outputnya tidak tergantung pada input yang lalu
• x(n+1), x(n+2), …..
]),2(),1(),([)( nxnxnxFny
Tentukan kausalitas dari sistem-sistem di bawah ini :
)()()
)2()()
)()()
)4(3)()()
)()()
)()()
)1()()()
2
nxnyg
nxnyf
nxnye
nxnxnyd
knxanyc
kxnyb
nxnxnya
n
k
a, b dan c kausal
d, e dan f nonkausal
g kausal
Contoh 12:
Sistem Stabil :
Setiap input yang terbatas (bounded input) akan menghasilkan output yang terbatas (bounded output) BIBO
xMnx )( yMny )(
Tentukan kestabilan dari sistem di bawah ini
nCny
Cy
Cy
Cy
2
4
2
)(
)2(
)1(
)0(
Jawab :
0)1()()1()( 2 ynxnyny
bila mendapat input x(n) = C (n), 1 < C <
Tidak stabil
Contoh 13:
Hubungan Antar Sistem
Sistem-sistem kecil dapat digabungkan menjadi sistem yang lebih besar
Hubungan seri dan paralel
T1 x(n) y(n)
T2 y1(n)
)]([)]([)(
)]([)(
1212
11
nxTTnyTny
nxTny
)]([)(12 nxTnyTTT cc
2112 TTTT
Umumnya :
Sistem linier dan time-invariant :
2112 TTTT
+ x1(n)
y(n)
y1(n)
T2
T1
y2(n)
Hubungan paralel :
)]([)]([)()()( 2121 nxTnxTnynyny
)]([)]()[()( 21 nxTnxTTny p
)( 21 TTTp
