PENERAPAN ANALISIS REGRESI SPASIAL DURBIN UNTUK...

PENERAPAN ANALISIS REGRESI SPASIAL DURBIN UNTUK

MENGANALISIS FAKTOR-FAKTOR YANG BERHUBUNGAN DENGAN

PERSENTASE PENDUDUK MISKIN

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Matematika Program Studi Matematika

Oleh:

Yulita Putri Lokang

NIM 153114028

PROGRAM STUDI MATEMATIKA, JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2019

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ii

APPLICATION OF DURBIN SPATIAL REGRESSION ANALYSIS TO

ANALYZE FACTORS WHICH IS RELATED TO

THE PERCENTAGE OF POOR PEOPLE

THESIS

Presented as Partial Fulfilment of the Requirements

To Obtain Sarjana Sains Degree in Mathematics

By:

Yulita Putri Lokang

Student Number: 153114028

MATHEMATICS STUDY PROGRAM, MATHEMATICS DEPARTEMENT

FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

2019


PENERAPAN ANALISIS REGRESI SPASIAL DURBIN UNTUKMENGANALISIS FAKTOR.FAKTOR YANG BERHUBUNGAN DENGAN


/*,

(k.Ig. Aris :11Juni 2019

osnJJroFr&,\'

-4t

Ill


SKRIPSI

PENERAPAN ANALISIS REGRESI SPASIAL DURBIN UNTUK



Disiapkan dan ditulis oleh:

Yulita Putri Lokang

NIM: 153114028

Panitia Pengrrji

Nama Len

Ketua: YG.

Sekretaris: Dr.

Anggota: Ir. Ig.

Fakultas Sains dan Teknologi

Universitas Sanata Dharma

udi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph. D.)

IV

tanggal 18 Juli

Srrstrriart l)an ttia Pcrrgtrj i

oeynKesS


v

HALAMAN PERSEMBAHAN

Skripsi ini dipersembahkan untuk

Tuhan Yesus Kristus dan Bunda Maria yang senantiasa menyertai segala proses

dalam hidup terutama proses penyelesaian skripsi ini.

Kedua orang tua, yaitu Andreas Leu Lokang dan Maria Lusia Ngaga

Saudari Yustina Lastri Lokang dan Roswita N. L. Lokang

Semua orang yang selalu mendoakan dan menyemangati saya

Serta almamater yang saya banggakan.

“Kerjakan apa yang bisa kamu kerjakan hari ini, karena menunda pekerjaan 1 hari

sama dengan menunda kesuksesan 1 minggu”


PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahr.r,a skripsi yang saya turis ini

tidak memuat karya atau bagian karva orang lain, kecuali yang telah disebutkan

dalam kutipan dan daftar pustaka. sebagaimana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta, 05 iuni 2019

Penulis

O*/\,Yulita Putri Lokang

VI


vii

ABSTRAK

Persentase penduduk miskin adalah persentase penduduk yang memiliki rata-rata

pengeluaran perkapita perbulan di bawah garis kemiskinan (GK). Garis

kemiskinan merupakan penjumlahan garis kemiskinan makanan (GKM) dengan

garis kemiskinan non makanan (GKNM). Berdasarkan data Badan Pusat Statistik

(BPS) pada bulan maret 2018, persentase penduduk miskin di Jawa Tengah sebesar

11.32% dan merupakan provinsi dengan persentase penduduk miskin terbesar

kedua di pulau Jawa. Metode yang dapat digunakan untuk memodelkan masalah

persentase penduduk miskin ini adalah analisis regresi Spasial Durbin. Dalam

penelitian ini, digunakan metode kemungkinan maksimum untuk pendugaan

parameternya. Metode ini digunakan karena dapat memaksimumkan probabilitas

kejadian dari masing-masing parameter yang diduga. Dari 6 variabel independen

yang berhubungan dengan persentase penduduk miskin, hanya ada 4 variabel

independen yang dapat dimodelkan menggunakan regresi spasial Durbin yaitu

angka partisipasi sekolah usia 16-18 tahun, inflasi, usia harapan hidup saat lahir,

dan indeks pembangunan manusia. Hal ini dikarenakan terdapat autokorelasi

spasial pada 4 variabel independen tersebut. Uji Indeks Moran merupakan uji yang

digunakan untuk mengetahui ada tidaknya autokorelasi spasial. Berdasarkan

analisis regresi Spasial Durbin diperoleh variabel independen yang berpengaruh

signifikan pada 𝛼 = 5% adalah usia harapan hidup dan indeks pembangunan manusia. Kebaikan model menggunakan analisis regresi spasial Durbin yang

dihitung dengan mencari nilai 𝑅2 adalah sebesar 68.4%. Dengan 𝑅2yang cukup tinggi ini menunjukkan bahwa usia harapan hidup dan indeks pembangunan

manusia dapat menjadi indikator yang cukup baik untuk menganalisis persentase

penduduk miskin di provinsi Jawa Tengah.

Kata Kunci: persentase penduduk miskin, regresi spasial Durbin, Uji Indeks

Moran, Kemungkinan maksimum.


viii

ABSTRACT

The poor people are residents who have an average monthly per capita expenditure

below the poverty line (GK). The poverty line is the sum of the food poverty line

(FPL) with the non-food poverty line (NFPL). Based on data from the Central

Statistics Agency (BPS) in March 2018, the percentage of poor people in Central

Java was 11.32% and was the province with the second largest percentage of poor people on the island of Java. The method that can be used to model the percentage

problem of poor people is Spatial Durbin regression analysis. In this study, the

maximum likelihood method for estimating parameters is used. This method is used

because it can maximize the probability of occurrence of each parameter that is

suspected. From the 6 independent variables related to the percentage of poor

people, there are only 4 independent variables that can be modeled using the

Durbin spatial regression, that are school participation rates aged 16-18 years,

inflation, life expectancy at birth, and the human development index. This is

because there are spatial autocorrelations in the 4 independent variables. The

Moran Index test is a test used to determine whether there is spatial

autocorrelation. Based on the Spatial Durbin regression analysis, the independent

variables that have a significant effect on 𝛼 = 5% are life expectancy and human development index. The goodness of the model using Durbin spatial regression

analysis which is calculated by finding the value of 𝑅2 is 68.4%. With a relatively

high 𝑅2, it shows that life expectancy and the human development index can be quite good indicators for analyzing the percentage of poor people in the province

of Central Java.

Keywords: percentage of poor people, Spatial Durbin regression, Moran Index test,

maximum likelihood.


LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAHUI.{TUK KEPENTINGAN AKADEMIS

Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma :

Nama : Yulita Putri Lokang

NIM : 153114028Demi pengembangan ilmu pengetahuan. saya memberikan kepada perpustakaanUniversitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang beriudul:

PENERAPAN ANALISIS REGRESI SPASIAL DURBIN UNTUKMENGANALISIS FAKTOR-FAKTOR YANG BERHUBUNGAN DENGAN


Beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikankepada perpustakaan Universitas Sanata Dharma hak untuk menyimpan,mengalihkan dalam bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan data.

mendistribusikannya secara terbatas, dan mempubikasikannya di internet ataumedia lain untuk kepentingan akademis tanpa meminta iiin dari saya maupunmemberikan royalti kepada saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagaupenulis.

Dernikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya'

Dibuat di Yogyakarta

Pada tanggal 23 Juli 2019

Yang menyatakan

(Yulita Putri Lokang)

lx


x

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis haturkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa atas segala

berkat dan penyertaanNya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi dengan

baik. Skripsi yang berjudul “Penerapan Analisis Regresi Spasial Durbin untuk

Menganalisis Faktor-Faktor yang Berhubungan dengan Persentase Penduduk

Miskin” ini adalah salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana Matematika

pada Fakultas Sains dan Teknologi. Dalam penulisan skripsi ini, penulis telah

menerima bantuan baik secara moril maupun materil dari berbagai pihak. Oleh

karena itu, penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada:

1. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., selaku dosen pembimbing yang dengan

penuh kesabaran telah memberikan bimbingan, nasihat, dan arahan kepada

penulis.

2. Bapak Sudi Mungkasi, Ph. D. selaku Dekan Fakultas Sains dan Tekonlogi

sekaligus Dosen Pembimbing Akademik yang telah memberikan semangat dan

motivasi kepada penulis.

3. Bapak Hartono, Ph. D. selaku Ketua Program Studi yang telah memberikan

banyak bimbingan dalam hal akademik dan perkuliahan.

4. Bapak dan ibu dosen yang telah memberikan banyak ilmu pengetahuan kepada

penulis selama masa perkuliahaan di Universitas Sanata Dharma.

5. Perpustakaan Universitas Sanata Dharma dan staf sekretariat Fakultas Sains

dan Teknologi yang telah memberikan fasilitas dan kemudahan pembelajaran,

serta admisnistratif bagi penulis selama masa perkuliahan.


xi

6. Bapa dan Mama yang penulis cintai dan banggakan, kakak Yustina Lastri

Lokang dan adik Roswita N.L. Lokang yang telah memberikan dukungan dan

selalu mendoakan penulis dalam menyelesaikan studi dengan baik.

7. Teman-teman angkatan 2015 Program Studi Matematika yang telah

memberikan dukungan dan semangat dalam perkuliahaan terlebih dalam

penyusunan skripi ini.

8. Saudara dan sahabat tercinta: Ulfia, Rista, Ansi, Lita, Selly, Meme, Ica, Micu,

Riska, Sari, yesi, Meri yang telah memberikan semangat dalam penyelesaian

skripsi ini.

9. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu persatu yang telah banyak

memberikan doa, bantuan, dorongan, dan motivasi sehingga skripsi ini dapat

terselesaikan.

Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari kesempurnaan, maka

saran dan kritik yang konstruktif dari semua pihak sangat diharapkan demi

penyempurnaan selanjutnya. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua

pihak, khususnya bagi penulis dan para pembaca pada umumnya.

Yogyakarta, 05 Juni 2019

Penulis

(Yulita Putri Lokang)


xii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL .......................................................................................................... i

HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ..................................................... ii

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ............................................................ iii

HALAMAN PENGESAHAN .......................................................................................... iv

HALAMAN PERSEMBAHAN ....................................................................................... v

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA .......................................................................... vi

ABSTRAK ....................................................................................................................... vii

ABSTRACT .................................................................................................................... viii

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI ........................................ ix

KATA PENGANTAR ....................................................................................................... x

DAFTAR ISI.................................................................................................................... xii

DAFTAR TABEL ........................................................................................................... xv

DAFTAR GAMBAR ...................................................................................................... xvi

BAB I PENDAHULUAN .................................................................................................. 1

1.1 Latar Belakang Masalah .................................................................................. 1

1.2 Rumusan Masalah ............................................................................................ 2

1.3 Tujuan Penulisan .............................................................................................. 3

1.4 Manfaat Penulisan ............................................................................................ 3

1.5 Batasan Masalah ............................................................................................... 4

1.6 Metode Penulisan .............................................................................................. 4

1.7 Sistematika Penulisan ....................................................................................... 4

BAB II LANDASAN TEORI ........................................................................................... 7

2.1 Teori Dasar Statistika ....................................................................................... 7

2.2 Matriks ............................................................................................................. 13

2.3 Turunan Matriks ............................................................................................ 14

2.4 Analisis Regresi ............................................................................................... 17

2.4.1. Model Regresi linear sederhana ................................................................ 17

2.4.2. Model Regresi Linear Berganda ............................................................... 18

2.5 Pendugaaan Parameter .................................................................................. 18

2.5.1. Definisi ...................................................................................................... 19


xiii

2.5.2. Macam-macam penduga: .......................................................................... 19

2.5.3. Sifat Penduga ............................................................................................ 20

2.6 Metode Maximum Likelihood (Kemungkinan Maksimum) ........................ 24

2.6.1. Fungsi Likelihood ...................................................................................... 25

2.6.2. Penduga Kemungkinan Maksimum .......................................................... 26

2.7 Estimasi Parameter Regresi Linear Menggunakan Metode Kemungkinan maksimum ................................................................................................................... 27

2.7.1. Estimasi Parameter 𝛽 ................................................................................ 29

2.7.2. Estimasi Parameter 𝜎2 .............................................................................. 30

2.8 Uji Asumsi Klasik ........................................................................................... 31

2.8.1. Uji Multikolinearitas ................................................................................. 31

2.8.2. Uji Heteroskedastisitas .............................................................................. 32

2.8.3. Uji Normalitas ........................................................................................... 32

2.8.4. Uji Autokorelasi ........................................................................................ 34

2.9 Menentukan Faktor-faktor yang Berpengaruh Signifikan ......................... 35

2.10 Teori Ekonomi ................................................................................................. 36

2.10.1. Persentase Penduduk Miskin .................................................................... 36

2.10.2. Hubungan angka partisipasi sekolah dengan persentase penduduk miskin

36

2.10.3. Hubungan Tingkat Partisipasi Angkatan Kerja dengan Persentase

Penduduk Miskin ...................................................................................................... 37

2.10.4. Hubungan Inflasi dengan Persentase Penduduk Miskin ........................... 39

2.10.5. Hubungan Rata-rata Lama Sekolah dengan Persentase Penduduk Miskin40

2.10.6. Hubungan Usia Harapan Hidup Saat Lahir dengan Persentase Penduduk

Miskin 40

2.10.7. Hubungan Indeks Pembangunan Manusia dengan Persentase Penduduk

Miskin 41

BAB III MODEL REGRESI SPASIAL DURBIN DAN ESTIMASINYA ................ 43

3.1. Latar Belakang Analisis Regresi Spasial Durbin ......................................... 43

3.2. Model Regresi Spasial Durbin ....................................................................... 43

3.3. Estimasi parameter dengan Metode Maksimum Likelihood ...................... 46

3.3.1. Estimasi Parameter 𝜷 ................................................................................ 48

3.3.2. Estimasi Parameter 𝜎2 .............................................................................. 53

3.3.3. Estimasi parameter 𝜌 ................................................................................. 54


xiv

3.4. Matriks Pembobot Spasial ............................................................................. 56

3.5. Autokorelasi Spasial ....................................................................................... 67

BAB IV PENERAPAN ANALISIS REGRESI SPASIAL DURBIN UNTUK


PERSENTASE PENDUDUK MISKIN ......................................................................... 74

4.1. Deskripsi Data ................................................................................................. 74

4.2. Langkah-langkah analisis............................................................................... 74

4.3. Hasil .................................................................................................................. 75

4.3.1. Matriks Pembobot Spasial ........................................................................ 75

4.3.2. Uji Autokorelasi Spasial ........................................................................... 79

4.3.3. Peta Persebaran ......................................................................................... 81

4.3.4. Uji Asumsi Klasik ..................................................................................... 88

4.3.5. Estimasi Parameter yang berkaitan ........................................................... 90

4.3.6. Menghitung Nilai Kebaikan Model .......................................................... 96

4.3.7. Uji Signifikansi Variabel .......................................................................... 96

4.4. Pembahasan ..................................................................................................... 97

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN ........................................................................ 100

5.1. Kesimpulan ..................................................................................................... 100

5.2. Saran ............................................................................................................... 101

DAFTAR PUSTAKA .................................................................................................... 102

LAMPIRAN................................................................................................................... 104


xv

DAFTAR TABEL

Tabel 4. 1 Daerah yang Bertetangga ..................................................................... 77

Tabel 4. 2 Uji Indeks Moran ................................................................................. 81

Tabel 4. 3 Tabel VIF ............................................................................................. 88

Tabel 4. 4 Nilai Galat untuk 35 Kabupaten/Kota .................................................. 94

Tabel 4. 5 Signifikansi Parameter ......................................................................... 97


xvi

DAFTAR GAMBAR

Gambar 4. 1 Peta Provinsi Jawa Tengah ............................................................... 76

Gambar 4. 2 Peta Persebaran Persentase Penduduk Miskin Tahun 2017 ............. 82

Gambar 4. 3 Peta Persebaran Angka Partisipasi Sekolah Tahun 2017 ................. 83

Gambar 4. 4 Peta Persebaran Inflasi Tahun 2017 ................................................. 84

Gambar 4. 5 Peta Persebaran Usia Harapan Hidup Tahun 2017 .......................... 85

Gambar 4. 6 Peta Persebaran indeks pembangunan manusia tahun 2017 ............ 86


1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Statistika adalah cabang dari ilmu matematika yang mempelajari tentang

bagaimana merencanakan, mengumpulkan, menganalisis, menginterpretasi

dan mempresentasikan suatu data. Dalam statistika, banyak metode yang

digunakan untuk menganalisis data. Salah satu yang paling sering digunakan

adalah analisis regresi.

Analisis regresi spasial adalah metode untuk mendapatkan informasi dari

pengamatan yang dipengaruhi oleh lokasi. Sebagai ilustrasi, data produk yang

dihasilkan oleh suatu perusahaan berdasarkan banyaknya karyawan merupakan

contoh data yang tidak dipengaruhi oleh lokasi, sedangkan banyaknya orang

yang bertahan dari suatu penyakit di berbagai daerah dalam suatu negara

merupakan contoh data yang dipengaruhi oleh lokasi. Data yang digunakan

dalam analisis regresi spasial adalah data cross section atau data panel. Data

cross section adalah data yang merupakan hasil pengukuran dari obyek yang

berbeda pada waktu yang sama. Data panel merupakan data gabungan data

cross section dan data runtun waktu. Data runtun waktu adalah data yang

dipetakan dalam lebih dari satu waktu pada satu obyek. Pada regresi spasial,

pengaruh spasial lag, yaitu nilai seberapa pengaruh suatu daerah terhadap

daerah lain yang berdekatan, hanya pada variabel terikat.


2

Pada kenyataannya, dalam beberapa persoalan statistika, pengaruh daerah

yang berdekatan tidak terjadi hanya pada variabel terikat, melainkan pada

variabel bebas juga. Adapun kasus khusus dari analisis regresi spasial adalah

analisis regresi spasial Durbin.

Dalam bidang Ekonomi, ilmu statistik sangat sering digunakan. Metode

analisis regresi spasial Durbin merupakan salah satu metode statistik yang

dapat diterapkan untuk memodelkan permasalahan di bidang Ekonomi. Salah

satu permasalahan Ekonomi yang masih menjadi persoalan besar di Indonesia

adalah kemiskinan. Berdasarkan data Badan Pusat Statistik (BPS) pada bulan

Maret 2018, Jawa Tengah merupakan provinsi dengan persentase penduduk

miskin terbesar kedua di pulau Jawa, yaitu jumlah penduduk miskin yang

mencapai 3.9 juta orang dengan tingkat kemiskinan yang cukup besar yaitu

11.32%. Oleh karena itu, dalam skripsi ini penulis mengangkat judul

“Penerapan Regresi Spasial Durbin untuk Menganalisis Faktor-Faktor yang

Berhubungan dengan Persentase Penduduk Miskin di Jawa Tengah”.

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang yang telah diuraikan, maka rumusan masalah

yang akan dibahas adalah

1. Bagaimana kerangka teori analisis regresi spasial Durbin?

2. Bagaimana pengaruh dependensi spasial terhadap masing-masing faktor

yang berhubungan dengan kemiskinan?

3. Berapa nilai dugaan parameter 𝜌, 𝜷?


3

4. Bagaimana persamaan model regresi spasial Durbin untuk data kemiskinan

di Jawa Tengah tersebut?

5. Faktor apa saja yang secara spasial memengaruhi persentase penduduk

miskin di Jawa Tengah?

1.3 Tujuan Penulisan

Berdasarkan rumusan masalah di atas, tujuan dari penulisan skripsi ini

adalah sebagai berikut:

1. Mengetahui kerangka teoritis model regresi spasial Durbin

2. Mengetahui ada tidaknya pengaruh spasial terhadap masing-masing faktor

yang berhubungan dengan kemiskinan.

3. Memperoleh nilai dugaan parameter 𝜌 dan 𝛽.

4. Memperoleh persamaan model regresi spasial Durbin untuk data

kemiskinan di Jawa Tengah.

5. Mengetahui faktor-faktor yang secara spasial memengaruhi persentase

penduduk miskin di Jawa Tengah.

1.4 Manfaat Penulisan

Manfaat dari penulisan skripsi ini adalah sebagai berikut:

1. Memperluas wawasan penulis mengenai penerapan analisis regresi spasial

Durbin dalam menganalisis faktor-faktor yang berhubungan dengan

persentase penduduk miskin di Jawa Tengah.


4

2. Menambah pengetahuan pembaca tentang penerapan analisis regresi

spasial Durbin dan salah satu penerapannya dalam bidang ekonomi.

3. Mengetahui faktor-faktor yang secara spasial memengaruhi persentase

penduduk miskin di Jawa Tengah agar dapat ditindak lanjut.

1.5 Batasan Masalah

Dalam skripsi ini, penulis hanya membahas salah satu penerapan regresi

spasial Durbin yaitu mengenai faktor-faktor yang behubungan dengan

persentase penduduk miskin di Jawa Tengah dengan mencari nilai dugaan

parameter 𝜌, 𝜷 serta dengan melakukan uji t untuk mengetahui faktor-faktor

apa saja yang berpengaruh signifikan terhadap persentase penduduk miskin di

Jawa Tengah. Teori-teori yang terdapat dalam skripsi ini juga hanya teori-teori

yang berkaitan langsung dengan skripsi.

1.6 Metode Penulisan

Metode penulisan dalam skripsi ini adalah metode studi pustaka yaitu

dengan membaca dan mempelajari buku-buku atau jurnal-jurnal yang

berkaitan dengan analisis regresi spasial Durbin, serta proses perhitungan

menggunakan program R.

1.7 Sistematika Penulisan

Sistematika penulisan skripsi ini adalah sebagai berikut:

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah


5

1.2 Rumusan Masalah

1.3 Tujuan Penulisan

1.4 Manfaat Penulisan

1.5 Batasan Masalah

1.6 Metode Penulisan

1.7 Sistematika penulisan

BAB II LANDASAN TEORI

2.1 Teori Dasar Statistika

2.2 Matriks

2.3 Turunan Matriks

2.4 Analisis Regresi

2.5 Pendugaan Parameter

2.6 Metode Maksimum Likelihood

2.7 Estimasi Parameter Regresi Linear Menggunakan Metode Maksimum

Likelihood

2.8 Uji Asumsi Klasik

2.9 Menentukan Faktor-faktor yang Berpengaruh Signifikan

2.10 Teori Ekonomi

BAB III MODEL REGRESI SPASIAL DURBIN DAN ESTIMASINYA

3.1 Latar Belakang Analisis Regresi Spasial Durbin

3.2 Model Regresi Spasial Durbin

3.3 Estimasi Parameter dengan Metode Maksimum Likelihood

3.4 Matriks Pembobot Spasial


6

3.5 Autokorelasi Spasial

BAB IV PENERAPAN ANALISIS REGRESI SPASIAL DURBIN UNTUK

MENGANALISIS FAKTOR-FAKTOR YANG BERHUBUNGAN

DENGAN PERSENTASE PENDUDUK MISKIN

4.1 Deskripsi Data

4.2 Langkah-langkah Analisis

4.3 Hasil Penelitian

4.4 Pembahasan

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

5.2 Saran

DAFTAR PUSTAKA

LAMPIRAN


7

BAB II

LANDASAN TEORI

2.1 Teori Dasar Statistika

A. Variabel acak

Definisi 2.1

Variabel acak adalah fungsi bernilai rill dimana domainnya adalah ruang

sampel.

Definisi 2.2

Variabel acak 𝑌 disebut diskrit jika nilai-nilainya berhingga atau tak

berhingga terbilang. Selain dari itu, disebut variabel acak kontinu.

B. Distribusi Probabilitas

1. Distribusi Probabilitas Diskrit

Definisi 2.3

Himpunan pasangan terurut (𝑦, 𝑝(𝑦)) adalah fungsi probabilitas atau

distribusi probabilitas dari variabel acak diskrit jika untuk setiap

kemungkinan nilai 𝑦:

1) 𝑝(𝑦) ≥ 0

2) ∑𝑦𝑝(𝑦) = 1

2. Distribusi Probabilitas Kontinu

Definisi 2.4

Fungsi 𝑓(𝑦) adalah fungsi kepadatan probabilitas (densitas) untuk variabel

acak kontinu 𝑌, jika:


8

1) 𝑓(𝑦) ≥ 0, ∀𝑦 ∈ ℝ

2) ∫ 𝑓(𝑦)𝑑𝑦 = 1∞

−∞

Definisi 2.5

Dua kejadian 𝐴 dan 𝐵 disebut saling bebas jika memenuhi salah satu dari

3 sifat di bawah ini:

1) Peluang bersyarat A yang diberikan oleh B sama dengan peluang

bersyarat A. Secara matematis, ditulis:

𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐴)

2) Peluang bersyarat B yang diberikan oleh A sama dengan peluang

bersyarat B. Secara matematis, ditulis:

𝑃(𝐵|𝐴) = 𝑃(𝐵)

3) Peluang irisan A dan B sama dengan peluang A dikalikan peluang B.

Secara matematis, ditulis:

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)

C. Nilai Harapan

Definisi 2.6

Misalkan 𝑌 adalah variabel acak. Nilai harapan dari 𝑌, dinotasikan dengan

𝐸(𝑌) didefinisikan sebagai


9

𝐸(𝑌) =

{

∑𝑦𝑃(𝑦)

𝑦

∫ 𝑦𝑓(𝑦)𝑑𝑦∞

−∞

; Jika 𝑌 adalah variabel acak diskrit

; Jika 𝑌 adalah variabel acak kontinu

D. Variansi

Definisi 2.7

Jika 𝑌 adalah sebuah variabel acak dengan rata-rata 𝐸(𝑌) = 𝜇, variansi

dari sebuah variabel acak 𝑌 didefinisikan sebagai:

𝑉(𝑌) = 𝐸[(𝑌 − 𝜇)2]

Standar deviasi dari 𝑌 adalah akar dari 𝑉(𝑌).

Teorema 2.1

𝑉(𝑌) = 𝐸(𝑌2) − 𝜇2

Bukti:

𝑉(𝑌) = 𝐸[(𝑌 − 𝜇)2]

= 𝐸(𝑌2 − 2𝜇𝑌 + 𝜇2)

= 𝐸(𝑌2) − 2𝜇𝐸(𝑌) + 𝐸(𝜇2)

= 𝐸(𝑌2) − 2𝜇2 + 𝜇2

= 𝐸(𝑌2) − 𝜇2


10

Contoh 2.1

Misalkan diberikan distribusi probabilitas dari variabel acak diskrit 𝑌

seperti pada tabel di bawah ini. Carilah rata-rata, variansi, dan standar

deviasi dari 𝑌

𝑦 𝑝(𝑦)

0 1/8

1 1/4

2 3/8

3 1/4

Penyelesaian:

Berdasarkan definisi 2.6 dan 2.7,

𝜇 = 𝐸(𝑌) = ∑𝑦𝜌(𝑦)

3

𝑦=0

= (0) (1

8) + (1) (

1

4) + (2) (

3

8) + (3) (

1

4) = 1.75

𝑉(𝑌) = 𝐸[(𝑌 − 𝜇)2] = ∑(𝑦 − 𝜇)2𝑝(𝑦)

3

𝑦=0

= (0 − 1.75)2 (1

8) + (1 − 1.75)2 (

1

4) + (2 − 1.75)2 (

3

8) + (3 − 1.75)2 (

1

4)


11

= 0.9375

𝑆𝑑 = +√𝑉(𝑌) = 0.97

Teorema 2.2

Jika 𝑌 adalah variabel acak dan 𝑐 adalah sebuah konstanta, maka 𝐸(𝑐) = 𝑐

Bukti:

Untuk variabel acak diskrit dengan fungsi probabilitas 𝑝(𝑦)

𝐸(𝑐) =∑𝑐𝑝(𝑦) = 𝑐∑𝑝(𝑦) = 𝑐(1) = 𝑐

𝑦𝑦

Untuk variabel acak kontinu dengan probabilitas 𝑓(𝑦)

𝐸(𝑐) = ∫ 𝑐𝑓(𝑦) 𝑑𝑦∞

−∞

= 𝑐(1) = 𝑐

Teorema 2.3

Jika 𝑌 adalah variabel acak, 𝑔(𝑌) adalah fungsi dari 𝑌, dan 𝑐 adalah suatu

konstanta, maka:

𝐸[𝑐𝑔(𝑌)] = 𝑐𝐸[𝑔(𝑌)]

Bukti:

Untuk variabel acak diskrit

𝐸[𝑐𝑔(𝑌)] =∑𝑐𝑔(𝑦)𝑝(𝑦) = 𝑐∑𝑔(𝑦)𝑝(𝑦) = 𝑐𝐸[𝑔(𝑌)]

𝑦𝑦


12

Untuk variabel acak kontinu

𝐸[𝑐𝑔(𝑌)] = ∫ 𝑐𝑔(𝑦)𝑓(𝑦)𝑑𝑦 = 𝑐∫ 𝑔(𝑦)𝑓(𝑦)𝑑𝑦 = 𝑐𝐸[𝑔(𝑌)]∞

−∞

∞

−∞

Teorema 2.4

Jika 𝑌 adalah variabel acak dan 𝑔1(𝑌), 𝑔2(𝑌), …𝑔𝑘(𝑌) adalah 𝑘 fungsi

dari 𝑌, maka:

𝐸[𝑔1(𝑌) + 𝑔2(𝑌) + ⋯+ 𝑔𝑘(𝑌)] = 𝐸[𝑔1(𝑌)] + 𝐸[𝑔2(𝑌)] +⋯+ 𝐸[𝑔𝑘(𝑌)]

Bukti:

Untuk Variabel acak diskrit:

𝐸[𝑔1(𝑌) + 𝑔2(𝑌) + ⋯+ 𝑔𝑘(𝑌)] = ∑[𝑔1(𝑦) + 𝑔2(𝑦) + ⋯+ 𝑔𝑘(𝑦)]𝑝(𝑦)

𝑦

= ∑𝑔1(𝑦)𝑝(𝑦) +∑𝑔2(𝑦)𝑝(𝑦)

𝑦

+⋯

𝑦

+∑𝑔𝑘(𝑦)𝑝(𝑦)

𝑦

= 𝐸[𝑔1(𝑌)] + 𝐸[𝑔2(𝑌)] + ⋯+ 𝐸[𝑔𝑘(𝑌)]

Untuk Variabel acak kontinu:

𝐸[𝑔1(𝑌) + 𝑔2(𝑌) + ⋯+ 𝑔𝑘(𝑌)] = ∫ [𝑔1(𝑌) + 𝑔2(𝑌) +⋯+ 𝑔𝑘(𝑌)]∞

−∞

𝑓(𝑦)𝑑𝑦


13

= ∫ 𝑔1(𝑦)𝑓(𝑦)𝑑𝑦 + ∫ 𝑔2(𝑦)𝑓(𝑦)𝑑𝑦

∞

−∞

+⋯∞

−∞

+∫ 𝑔𝑘(𝑦)𝑓(𝑦)𝑑𝑦∞

−∞

= 𝐸[𝑔1(𝑌)] + 𝐸[𝑔2(𝑌)] + ⋯+ 𝐸[𝑔𝑘(𝑌)]

2.2 Matriks

Definisi 2.8

Matriks adalah suatu kumpulan bilangan (sering disebut elemen-elemen)

yang disusun menurut baris dan kolom sehingga berbentuk persegi panjang,

yang panjang dan lebarnya ditunjukkan oleh banyaknya kolom dan baris

(Supranto, 2014).

Apabila suatu matriks 𝐴 terdiri dari 𝑚 baris dan 𝑛 kolom, maka matriks

𝐴 dapat ditulis sebagai berikut:

𝐴𝑚𝑥𝑛 =

[ 𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑗 𝑎1𝑛𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑗 𝑎2𝑛⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮𝑎𝑖1 𝑎𝑖2 … 𝑎𝑖𝑗 𝑎𝑖𝑛⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 … 𝑎𝑚𝑗 𝑎𝑚𝑛]

dengan 𝑖 = 1,2, … ,𝑚 dan 𝑗 = 1,2, … , 𝑛

Matriks transpose adalah matriks yang diperoleh dengan cara menukar elemen

pada baris dengan elemen pada kolom. Transpose matriks 𝐴 disimbolkan

dengan 𝐴𝑡 .


14

2.3 Turunan Matriks

Misalkan ada dua matriks A dan X, 𝑨 = [

𝑎1𝑎2⋮𝑎𝑛

] dan 𝑿 = [

𝑥1𝑥2⋮𝑥𝑛

]

maka

𝑨𝒕𝑿 = [𝑎1 𝑎2 … 𝑎𝑛] [


] = 𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2 +⋯ 𝑎𝑛𝑥𝑛

Selanjutnya, turunan parsial dari 𝑨𝑻𝑿 masing-masing terhadap 𝑥𝑖 adalah

sebagai berikut:

𝜕(𝑨𝒕𝑿)

𝜕𝑥1= 𝑎1

𝜕(𝑨𝒕𝑿)

𝜕𝑥2= 𝑎2

⋮

𝜕(𝑨𝒕𝑿)

𝜕𝑥𝑛= 𝑎𝑛

Dari hasil di atas, dapat dilihat bahwa turunan parsial tersebut merupakan

elemen-elemen dari vektor 𝑨. Secara matematis, dapat ditulis:

𝜕(𝑨𝒕𝑿)

𝜕𝒙= 𝑨 = [𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛 ]

Untuk mencari turunan dari bentuk kuadrat 𝑿𝒕𝑨𝑿, sebagai berikut:


15

𝑿𝒕𝑨𝑿 = [𝑥1 𝑥2 … 𝑥𝑛] [

𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛⋮

𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 … 𝑎𝑛𝑛

] [


]

= 𝑎11𝑥12 + 2𝑎12𝑥1𝑥2 + 2𝑎13𝑥1𝑥3 +⋯+ 2𝑎1𝑛𝑥1𝑥𝑛

+𝑎22𝑥22 + 2𝑎23𝑥2𝑥3 + …+ 2𝑎2𝑛𝑥2𝑥𝑛

⋮

+ 𝑎𝑛𝑛𝑥𝑛2

Keterangan: A adalah matriks simetris, yang mana 𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖

Oleh karena itu, diperoleh:

𝜕(𝑿𝒕𝑨 𝑿)

𝜕𝑥1=

2(𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + 𝑎13𝑥3 +⋯+ 𝑎1𝑛𝑥𝑛)


𝜕𝑥2=

2(𝑎12𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + 𝑎23𝑥3 +⋯+ 𝑎2𝑛𝑥𝑛)

⋮


𝜕𝑥𝑛=

2(𝑎1𝑛𝑥1 + 𝑎2𝑛𝑥2 + 𝑎3𝑛𝑥3 +⋯+ 𝑎𝑛𝑛𝑥𝑛)

Secara umum, dapat ditulis:


𝜕𝒙= 2𝑨𝑿


16

atau


𝜕𝒙= 2𝑿𝒕𝑨

Contoh 2.2

Misalkan diketahui matriks-matriks di bawah ini:

𝑨 = [

𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑎33

] , 𝑿 = [

𝑥1𝑥2𝑥3]

𝑨 merupakan matriks simetris, yaitu 𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖 dengan 𝑖 = 𝑗 = 1, 2, 3

𝑿𝒕𝑨𝑿 = [𝑥1 𝑥2 𝑥3] [

𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑎33

] [

𝑥1𝑥2𝑥3]

sehingga,

𝑿𝒕𝑨𝑿 = 𝑎11𝑥12 + 2𝑎12𝑥1𝑥2 + 2𝑎13𝑥1𝑥3 + 𝑎22𝑥2

2 + 2𝑎23𝑥2𝑥3

+ 𝑎33𝑥32


𝜕𝑥1= 2(𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + 𝑎13𝑥3)


𝜕𝑥2= 2(𝑎12𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + 𝑎23𝑥3)


𝜕𝑥3= 2(𝑎13𝑥1 + 𝑎23𝑥2 + 𝑎33𝑥3)


17

Dapat ditulis:


𝜕𝒙= 2 [

𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑎33

] [

𝑥1𝑥2𝑥3] = 2𝑨𝑿

2.4 Analisis Regresi

Definisi 2.9

Analisis regresi adalah analisis pengaruh satu atau lebih variabel independen

(𝑋) terhadap satu variabel dependen (𝑌).

2.4.1. Model Regresi linear sederhana

Definisi 2.10

Model regresi linear sederhana adalah model regresi linear yang melibatkan

hanya satu variabel independen. Bentuk umum persamaan regresi linear

sederhana adalah:

𝑦𝑖 = 𝛽0 + 𝛽𝑥𝑖 + 𝜀𝑖, 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 (2.1)

Keterangan:

𝑦𝑖 = nilai pengamatan ke −𝑖 variabel dependen

𝛽0 = intersep (intercept) yaitu parameter yang menunjukkan besarnya nilai

variabel dependen ketika nilai variabel independen sama dengan nol


18

𝛽 = parameter regresi (slope) yaitu parameter yang menunjukkan besarnya

nilai perubahan variabel dependen karena perubahan satu satuan

variabel independen

𝑥𝑖 = nilai pengamatan ke −𝑖 variabel independen

𝜀𝑖 = galat (error) pengamatan ke – 𝑖

2.4.2. Model Regresi Linear Berganda

Definisi 2.11

Model regresi linear berganda adalah model regresi linear yang melibatkan

lebih dari satu variabel independen. Bentuk umum persamaan regresi linear

berganda, adalah:

𝑦𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋𝑖1 + 𝛽2𝑋𝑖2 +⋯+𝛽𝑘𝑋𝑖𝑘 + 𝜀𝑖 (2.2)

dengan 𝑘 menyatakan banyaknya variabel independen.

2.5 Pendugaaan Parameter

Pendugaan parameter merupakan salah satu pokok bahasan dalam

statistika yang berhubungan dengan pendugaan nilai-nilai parameter yang tidak

diketahui berdasarkan data yang berasal dari sampel random.


19

2.5.1. Definisi

Penduga (estimator) adalah suatu aturan, yang biasanya dinyatakan dengan

rumus yang memberitahukan bagaimana cara menghitung nilai suatu penduga

𝑥 berdasarkan pengukuran sampel. Sebagai contoh,

�̅� =1

𝑛∑𝑦𝑖

𝑛

𝑖=1

adalah salah satu kemungkinan penduga dari rata-rata populasi 𝜇.

2.5.2. Macam-macam penduga:

Adapun 2 macam penduga, yaitu:

1) Penduga Titik

Penduga titik adalah penduga dari sebuah parameter populasi 𝜃 yang

dinyatakan dengan sebuah bilangan tunggal. Sebagai contoh, akan dicari

nilai penduga 𝜃, kemudian berdasarkan data sampel yang digunakan,

diperoleh nilai 𝜃 = 0.25. Artinya, 𝜃 merupakan penduga titik dari 𝜃.

2) Penduga Interval

Penduga interval adalah penduga dari sebuah parameter populasi

yang dinyatakan dengan dua buah bilangan yang merupakan batas bawah

dan batas atas interval. Sebagai contoh, parameter 𝜃 diduga dengan

interval 0.05 ≤ 𝜃 ≤ 0.5.


20

2.5.3. Sifat Penduga

Penduga yang baik adalah penduga yang memenuhi sifat-sifat di bawah

ini:

1) Tak bias

Tujuan dalam melakukan pendugaan adalah memperoleh nilai penduga

yang mendekati nilai sebenarnya atau dengan kata lain, penduga yang

diperoleh bersifat tak bias.

Definisi 2.12

Misalkan 𝜃 adalah sebuah penduga dari parameter 𝜃, maka 𝜃 adalah

penduga tak bias dari 𝜃 jika 𝐸(𝜃) = 𝜃. Jika 𝐸(𝜃) ≠ 𝜃, maka 𝜃 adalah

penduga bias.

Definisi 2.13

Bias dari penduga titik 𝜃 didefinisikan sebagai 𝐵(𝜃) = 𝐸(𝜃) − 𝜃

Contoh 2.3

Misalkan 𝑌1, 𝑌2, … , 𝑌𝑛 adalah sampel acak dengan 𝐸(𝑌𝑖) = 𝜇 dan 𝑉(𝑌𝑖) =

𝜎2. Tunjukkan bahwa

𝑆2 =1

𝑛∑ (𝑌𝑖 − �̅�)

2

𝑛

𝑖=1

adalah penduga bias dari 𝜎2 dan

𝑆∗2 =1

𝑛 − 1∑(𝑌𝑖 − �̅�)

2

𝑛

𝑖=1


21

adalah penduga tak bias dari 𝜎2. Keterangan: �̅� =1

𝑛∑ 𝑌𝑖 𝑛𝑖=1

Jawab:

∑(𝑌𝑖 − �̅�)2

𝑛

𝑖=1

= ∑(𝑌𝑖2 − 2𝑌𝑖�̅� + �̅�

2)

𝑛

𝑖=1

= ∑𝑌𝑖2 − 2∑𝑌𝑖�̅�

𝑛

𝑖=1

+ ∑ �̅�2𝑛

𝑖=1

𝑛

𝑖=1

= ∑𝑌𝑖2 − 2�̅�

𝑛

𝑖=1

∑𝑌𝑖

𝑛

𝑖=1

+ 𝑛�̅�2

= ∑𝑌𝑖2 − 2�̅�

𝑛

𝑖=1

. 𝑛�̅� + 𝑛�̅�2

= ∑𝑌𝑖2 − 𝑛�̅�2

𝑛

𝑖=1

𝐸 [∑(𝑌𝑖 − �̅�)2

𝑛

𝑖=1

] = 𝐸 (∑𝑌𝑖2 − 𝑛�̅�2

𝑛

𝑖=1

)

= 𝐸 (∑𝑌𝑖2

𝑛

𝑖=1

) − 𝐸(𝑛�̅�2)

= ∑ 𝐸(𝑌𝑖2)𝑛𝑖=1 − 𝐸(𝑛�̅�

2) (2.3)

Dengan menggunakan rumus variansi variabel acak, yaitu:

𝑉(𝑌) = 𝐸(𝑌2) − [𝐸(𝑌)]2,


22

diperoleh:

𝑉(𝑌𝑖) = 𝐸(𝑌𝑖2) − [𝐸(𝑌𝑖)]

2 dan 𝑉(�̅�) = 𝐸(�̅�2) − [𝐸(�̅�)]2

atau

𝐸(𝑌𝑖2) = 𝑉(𝑌𝑖) + [𝐸(𝑌𝑖)]

2 = 𝜎2 + 𝜇2

𝐸(�̅�2) = 𝑉(�̅�) + [𝐸(�̅�)]2 =𝜎2

𝑛+ 𝜇2

sehingga:

∑𝐸(𝑌𝑖2)

𝑛

𝑖=1

− 𝐸(𝑛�̅�2) = ∑(𝜎2 + 𝜇2) − 𝑛 (𝜎2

𝑛+ 𝜇2)

𝑛

𝑖=1

= 𝑛(𝜎2 + 𝜇2) − 𝜎2 − 𝑛𝜇2

= 𝑛𝜎2 − 𝜎2

= (𝑛 − 1)𝜎2

Oleh karena itu, persamaan (2.3) dapat ditulis menjadi:

𝐸 [∑(𝑌𝑖 − �̅�)2

𝑛

𝑖=1

] =∑𝐸(𝑌𝑖2)

𝑛

𝑖=1

− 𝐸(𝑛�̅�2) = (𝑛 − 1)𝜎2

Untuk 𝑆2 =1

𝑛∑ (𝑌𝑖 − �̅�)

2 𝑛𝑖=1

𝐸(𝑆2) =1

𝑛𝐸 [∑(𝑌𝑖 − �̅�)

2

𝑛

𝑖=1

] =1

𝑛(𝑛 − 1)𝜎2

Karena 𝐸(𝑆2) ≠ 𝜎2, maka terbukti bahwa 𝑆2 =1

𝑛∑ (𝑌𝑖 − �̅�)

2 𝑛𝑖=1 adalah

penduga bias bagi 𝜎2.

Untuk 𝑆∗2 =1

𝑛−1∑ (𝑌𝑖 − �̅�)

2 𝑛𝑖=1


23

𝐸(𝑆∗2) =1

𝑛 − 1𝐸 [∑(𝑌𝑖 − �̅�)

2

𝑛

𝑖=1

] =1

𝑛 − 1(𝑛 − 1)𝜎2 = 𝜎2

Karena 𝐸(𝑆∗2) = 𝜎2, maka terbukti bahwa 𝑆∗2 =1

𝑛−1∑ (𝑌𝑖 − �̅�)

2 𝑛𝑖=1

adalah penduga tak bias bagi 𝜎2.

Definisi 2.14

Rata-rata kuadrat galat (Mean Square Error) dari penduga titik 𝜃 adalah

𝑀𝑆𝐸(𝜃) = 𝐸 [(𝜃 − 𝜃)2]

Rata-rata kuadrat galat dari sebuah penduga titik 𝜃 adalah fungsi dari

variansi dan biasnya.

Teorema 2.5

𝑀𝑆𝐸(𝜃) = 𝑉(𝜃) + [𝐵(𝜃)2]

Bukti

𝐸 [(𝜃 − 𝜃)2] = 𝐸[𝜃

2 + 𝜃2 − 2𝜃𝜃]

= 𝐸(𝜃2) + 𝐸(𝜃2) − 2𝜃𝐸(𝜃)

= 𝐸(𝜃2) − [𝐸(𝜃)]2+ [𝐸(𝜃)]

2+ 𝐸(𝜃2) − 2𝜃𝐸(𝜃)

= 𝐸(𝜃2) − [𝐸(𝜃)]2+ [𝐸(𝜃)]

2+ 𝜃2 − 2𝜃𝐸(𝜃)

= 𝑉(𝜃) + [𝐸(𝜃) − 𝜃]2

= 𝑉(𝜃) + [𝐵(𝜃)]2


24

2) Efisien atau Variansinya Minimum

Definisi 2.15

Diberikan 2 penduga tak bias dari parameter 𝜃, yaitu 𝜃1 dan 𝜃2 dengan

variansi berturut-turut 𝑉(𝜃1) dan 𝑉(𝜃2), maka efisiensi 𝜃1 terhadap 𝜃2

dinotasikan dengan 𝑒𝑓𝑓(𝜃1, 𝜃2) didefinisikan sebagai berikut:

𝑒𝑓𝑓(𝜃1, 𝜃2) =𝑉(𝜃2)

𝑉(𝜃1)

Jika 𝜃1 dan 𝜃2 adalah penduga tak bias dari parameter 𝜃, 𝑒𝑓𝑓(𝜃1, 𝜃2) >

1 hanya jika 𝑉(𝜃2) > 𝑉(𝜃1). Hal ini menunjukkan bahwa 𝜃1 lebih

efisien dibandingkan 𝜃2 karena variansinya lebih kecil. Dengan kata lain,

dapat dikatakan bahwa penduga yang baik adalah penduga yang

variannya paling minimum. Misalkan, 𝑒𝑓𝑓(𝜃1, 𝜃2) = 1.8. Hal ini

menunjukkan bahwa 𝑉(𝜃2) > 𝑉(𝜃1). Artinya, 𝜃1 lebih efisien

dibandingkan 𝜃2 karena variansinya lebih kecil.

2.6 Metode Maximum Likelihood (Kemungkinan Maksimum)

Metode kemungkinan maksimum adalah suatu metode yang digunakan

untuk mencari koefisien regresi sehingga probabilitas kejadian dari variabel

dependen semaksimum mungkin. Dalam metode ini, diasumsikan probabilitas

galatnya berdistribusi normal.


25

2.6.1. Fungsi Likelihood

Definisi 2.16

Fungsi likelihood dari 𝑛 variabel random 𝑋1, 𝑋2, …𝑋𝑛 didefinisikan sebagai

fungsi kepadatan bersama dari 𝑛 variabel random. Jika 𝑋1, 𝑋2, …𝑋𝑛 adalah

sampel acak dari fungsi kepadatan 𝑓(𝑋; 𝜃), maka fungsi likelihoodnya

adalah 𝑓(𝑥1; 𝜃)𝑓(𝑥2; 𝜃) …𝑓(𝑥𝑛; 𝜃)

Definisi 2.17

Variabel acak 𝑋 dikatakan berdistribusi normal jika dan hanya jika untuk 𝜎 >

0 dan −∞ < 𝜇 < ∞, fungsi densitas dari 𝑋 adalah

𝑓(𝑋) =1

𝜎√2𝜋𝑒−

12(𝑥−𝜇𝜎)2

, −∞ < 𝑥 < ∞

Contoh 2.4

Misalkan 𝑋1, 𝑋2, …𝑋𝑛 adalah sampel random dari distribusi normal dengan

rata-rata 𝜇 dan variansi 𝜎2. Carilah fungsi likelihoodnya.

Jawab:

Karena diasumsikan bahwa 𝑋1, 𝑋2, … 𝑋𝑛 berdistribusi normal, maka:

𝑓(𝑥𝑖|𝜇, 𝜎2) =

1

√2𝜋𝜎2exp [−

1

2𝜎2(𝑥𝑖 − 𝜇)

2]

Oleh karena itu, fungsi likelihoodnya adalah

𝐿(𝜇, 𝜎2) = 𝑓(𝑥1, 𝑥2, … 𝑥𝑛|𝜇, 𝜎2)


26

= 𝑓(𝑥1|𝜇, 𝜎2)𝑓(𝑥2|𝜇, 𝜎

2) …𝑓(𝑥𝑛|𝜇, 𝜎2)

= {1


1

2𝜎2(𝑥1 − 𝜇)

2]}… {1


1

2𝜎2(𝑥𝑛 − 𝜇)

2]}

= (1

2𝜋𝜎2)

𝑛2exp [−

1

2𝜎2∑(𝑥1 − 𝜇)

2

𝑛

𝑖=1

]

Jadi, fungsi likelihoodnya adalah

𝐿(𝜇, 𝜎2) = (1

2𝜋𝜎2)

𝑛

2exp [−

1

2𝜎2∑ (𝑥1 − 𝜇)

2𝑛𝑖=1 ].

2.6.2. Penduga Kemungkinan Maksimum

Penduga kemungkinan maksimum merupakan salah satu cara untuk

mengestimasi parameter-parameter yang tidak diketahui dengan cara

memaksimumkan fungsi likelihood. Memaksimumkan fungsi tersebut

dilakukan dengan cara melakukan diferensiasi atau mencari turunan fungsi

likelihood terhadap setiap parameter yang tidak diketahui dan setiap

turunannya disamakan dengan nol. Untuk mempermudah perhitungan, fungsi

likelihood ditransformasi ke bentuk logaritma natural. Hal ini dapat

dilakukan karena transformasi logaritma natural adalah menaik. Oleh karena

itu, memaksimumkan fungsi likelihood sama saja dengan memaksimumkan

fungsi likelihood yang telah ditransformasi ke bentuk logaritma natural.


27

2.7 Estimasi Parameter Regresi Linear Menggunakan Metode

Kemungkinan maksimum

Berdasarkan persamaan (2.2), diperoleh:

𝑦𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋𝑖1 + 𝛽2𝑋𝑖2 +⋯+𝛽𝑘𝑋𝑖𝑘 + 𝜀𝑖

Bentuk umum model regresi linear tersebut dapat diuraikan menjadi:

𝑦1 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋11 + 𝛽2𝑋12 +⋯+𝛽𝑘𝑋1𝑘 + 𝜀1

𝑦2 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋21 + 𝛽2𝑋22 +⋯+𝛽𝑘𝑋2𝑘 + 𝜀2

⋮

𝑦𝑛 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋𝑛1 + 𝛽2𝑋𝑛2 +⋯+𝛽𝑘𝑋𝑛𝑘 + 𝜀𝑛

Dalam notasi matriks dapat ditulis menjadi:

[

𝑦1𝑦2⋮𝑦𝑛

] = [

1 𝑋11 𝑋12 … 𝑋1𝑘1 𝑋21 𝑋22 … 𝑋2𝑘11

⋮𝑋𝑛1

⋮ ⋮ ⋮𝑋𝑛2 … 𝑋𝑛𝑘

] [

𝛽0𝛽1⋮𝛽𝑘

] + [

𝜀1 𝜀2⋮𝜀𝑛

] (2.3)

Misalkan

𝒀 = [

𝑦1𝑦2⋮𝑦𝑛

] , 𝑿 = [

1 𝑋11 𝑋12 … 𝑋1𝑘1 𝑋21 𝑋22 … 𝑋2𝑘11

⋮𝑋𝑛1

⋮ ⋮ ⋮𝑋𝑛2 … 𝑋𝑛𝑘

] , 𝜷 = [

𝛽0𝛽1⋮𝛽𝑘

], dan 𝜺 = [

𝜀1 𝜀2⋮𝜀𝑛

]

Maka persamaan (2.3) dapat ditulis menjadi

𝒀 = 𝑿𝜷 + 𝜺 (2.3.1)

atau dapat ditulis


28

𝜺 = 𝒀 − 𝑿𝜷 (2.3.2)

Keterangan:

𝒀 = Vektor variabel dependen berukuran 𝑛x1

𝑿 = Matris variabel independen berukuran 𝑛x(𝑘 + 1), dengan 𝑘 adalah

banyaknya variabel independen

𝜷 = vektor parameter regresi berukuran (𝑘 + 1)x1

𝜺 = Vektor galat berukuran 𝑛x1

Karena diasumsikan probabilitasnya berdistribusi normal, maka dapat ditulis:

𝑓(𝒀|𝜷, 𝜎2) = (1

√2𝜋𝜎2)n

exp [−1

2𝜎2(𝒀 − 𝑿𝜷)𝑡(𝒀 − 𝑿𝜷)]

= (1

√2𝜋𝜎2)n

exp [−1

2𝜎2(𝒀𝒕𝒀 − 𝒀𝒕𝑿𝜷 − 𝜷𝒕𝑿𝒕𝒀 + 𝜷𝒕𝑿𝒕𝑿𝜷)]

= (1

√2𝜋𝜎2)n

exp [−1

2𝜎2(𝒀𝒕𝒀 − 2𝜷𝒕𝑿𝒕𝒀 + 𝜷𝒕𝑿𝒕𝑿𝜷)] (2.4)

Karena 𝒀𝒕𝑿𝜷 merupakan matriks berukuran 1𝑥1, maka berlaku:

𝒀𝒕𝑿𝜷 = (𝒀𝒕𝑿𝜷)𝒕 = 𝜷𝒕𝑿𝒕𝒀.

Berdasarkan persamaan (2.4), diperoleh fungsi likelihoodnya adalah sebagai

berikut:

𝐿(𝛽, 𝜎2|𝑌) = (1

√2𝜋𝜎2)n

exp [−1

2𝜎2(𝒀𝒕𝒀 − 2𝜷𝒕𝑿𝒕𝒀 + 𝜷𝒕𝑿𝒕𝑿𝜷)]


29

= (1

(2𝜋)𝑛2(𝜎2)

𝑛2

) exp [−1


maka log likelihoodnya adalah

𝑙𝑛 𝐿(𝜷, 𝜎2|𝒀)

= 𝑙𝑛 {(1

(2𝜋)𝑛2(𝜎2)

𝑛2

) exp [−1

2𝜎2(𝒀𝒕𝒀 − 2𝜷𝒕𝑿𝒕𝒀 + 𝜷𝒕𝑿𝒕𝑿𝜷)]}

= 𝑙𝑛 (1

(2𝜋)𝑛2(𝜎2)

𝑛2

) 𝑙𝑛 exp [−1


= −𝑙𝑛 ((2𝜋)𝑛

2(𝜎2)𝑛

2)+ 𝑙𝑛 exp [−1


= −𝑙𝑛(2𝜋)𝑛2 − 𝑙𝑛(𝜎2)

𝑛2 + 𝑙𝑛 exp [−

1


= −𝑛

2ln(2𝜋) −

𝑛

2ln (𝜎2) −

1

2𝜎2(𝒀𝒕𝒀 − 2𝜷𝒕𝑿𝒕𝒀 + 𝜷𝒕𝑿𝒕𝑿𝜷)

= −𝑛

2ln(2𝜋) −

𝑛

2ln (𝜎2) −

1

2𝜎2𝒀𝒕𝒀 +

1

2𝜎22𝜷𝒕𝑿𝒕𝒀 −

1

2𝜎2𝜷𝒕𝑿𝒕𝑿𝜷 (2.5)

2.7.1. Estimasi Parameter 𝛽

Parameter 𝜷 dapat diestimasi dengan memaksimumkan persamaan

(2.5) yaitu dengan cara mencari turunan persamaan (2.5) terhadap 𝜷

kemudian menyamakan dengan nol, diperoleh:

𝜕𝑙𝑛 𝐿

𝜕𝜷= 0 − 0 − 0 +

1

𝜎2𝑿𝒕𝒀 −

1

2𝜎22𝑿𝒕𝑿𝜷

= 1


1

𝜎2𝑿𝒕𝑿𝜷 (2.6)


30

Selanjutnya persamaan (2.6) disamakan dengan nol, diperoleh:

𝜕𝑙𝑛 𝐿

𝜕𝜷= 0

1


1

𝜎2𝑿𝒕𝑿𝜷 = 0

1

𝜎2𝑿𝒕𝑿𝜷 =

1

𝜎2𝑿𝒕𝒀

𝜷 = (𝑿𝒕𝑿)−𝟏𝑿𝒕𝒀 (2.7)

Jadi, estimasi untuk parameter 𝜷 adalah

�̂� = (𝑿𝒕𝑿)−𝟏𝑿𝒕𝒀

2.7.2. Estimasi Parameter 𝜎2

Parameter 𝜎2 dapat diestimasi dengan memaksimumkan persamaan

(2.5) yaitu dengan cara mencari turunan persamaan (2.5) terhadap 𝜎2

kemudian menyamakan dengan nol, diperoleh:

𝜕𝑙𝑛 𝐿

𝜕𝜎2= 0 −

𝑛

2𝜎2+

1

2(𝜎2)2𝒀𝒕𝒀 −

1

(𝜎2)2𝜷𝒕𝑿𝒕𝒀 +

1

2(𝜎2)2𝜷𝒕𝑿𝒕𝑿𝜷

𝑛

2𝜎2=

1

2(𝜎2)2𝒀𝒕𝒀 −

1

(𝜎2)2𝜷𝒕𝑿𝒕𝒀 +

1


𝑛𝜎2

2(𝜎2)=

1

2(𝜎2)2𝒀𝒕𝒀 −

1

2(𝜎2)22𝜷𝒕𝑿𝒕𝒀 +

1


𝑛𝜎2 = 𝒀𝒕𝒀 − 2𝜷𝒕𝑿𝒕𝒀 + 𝜷𝒕𝑿𝒕𝑿𝜷


31

𝑛𝜎2 = (𝒀 − 𝑿𝜷)𝒕(𝒀 − 𝑿𝜷)

𝜎2 = 1

𝑛[(𝒀 − 𝑿𝜷)𝒕(𝒀 − 𝑿𝜷)]

Jadi, estimasi untuk parameter 𝜎2 adalah

𝜎2̂ =1

𝑛[(𝒀 − 𝑿𝜷)𝒕(𝒀 − 𝑿𝜷)]

2.8 Uji Asumsi Klasik

2.8.1. Uji Multikolinearitas

Definisi 2.18

Multikolinearitas adalah hubungan linear antarvariabel bebas

(Kurniawan, 2016). Hal ini mengakibatkan apabila nilai suatu variabel bebas

berubah, maka nilai variabel bebas yang lain ikut berubah.

Menurut Widarjono (2013), salah satu cara yang dapat dilakukan

untuk mendeteksi ada tidaknya multikolinearitas adalah dengan melihat nilai

VIF (Variance Inflation Factor) data yang akan diolah. Secara matematis,

𝑉𝐼𝐹 =1

(1 − 𝑟122 )

dengan 𝑟12 menyatakan besarnya korelasi antara variabel bebas yang satu

dengan variabel bebas yang lain, yang mana 0 ≤ 𝑟12 ≤ 1 . Apabila data

tersebut memiliki kolinearitas yang tinggi, maka nilai 𝑟12 mendekati 1.

Namun apabila data tersebut memiliki kolinearitas yang kecil, maka nilai

𝑟12 mendekati 0. Dari rumus di atas, dapat dilihat hubungan antara 𝑉𝐼𝐹 dan

𝑟12, yaitu apabila nilai 𝑟12 makin besar menuju 1, maka nilai 𝑉𝐼𝐹 juga


32

semakin besar dan apabila nilai 𝑟12 makin kecil menuju 0, maka nilai 𝑉𝐼𝐹

juga semakin kecil. Oleh karena itu, data yang baik adalah data yang nilai

kolinearitasnya kecil. Dengan kata lain, Menurut Widarjono (2013) jika

nilai 𝑉𝐼𝐹 > 10 maka dapat disimpulkan bahwa ada gejala multikolinearitas

pada data tersebut.

2.8.2. Uji Heteroskedastisitas

Definisi 2.19

Heteroskedastisitas merupakan masalah regresi yang dikarenakan variansi

galat tidak konstan.

Salah satu uji yang dapat digunakan untuk mendeteksi ada tidaknya

heteroskedastisitas pada suatu data adalah uji Breusch-Pagan (BP). Nilai BP

dapat diperoleh dengan bantuan program 𝑅. Selanjutnya nilai BP yang

diperoleh dibandingkan dengan nilai pada tabel chi-square (𝓍2), dengan

tingkat signifikansi(𝛼) yang telah ditentukan dengan derajat df, yaitu nilai

yang menyatakan banyaknya variabel bebas. Apabila nilai BP < nilai chi-

square maka dapat dikatakan bahwa tidak terdapat gejala heteroskedastisitas.

Data yang baik adalah data yang tidak ada gejala heteroskedastisitas.

2.8.3. Uji Normalitas

Menurut Gujarati (2003), data yang baik adalah data yang galatnya

berdistribusi normal. Salah satu uji yang digunakan untuk mendeteksi apakah


33

galat berdistribusi normal atau tidak adalah uji Jarque-Bera. Uji Jarque-Bera

dapat dinyatakan sebagai:

𝐽𝐵 =𝑛

6(𝑆2 +

(𝑘 − 3)2

4)

dengan

𝑆 =

1𝑛∑ (𝑥𝑖 − �̅�)

3𝑛𝑖=1

(1𝑛∑ (𝑥𝑖 − �̅�)2𝑛𝑖=1 )

32

𝐾 =

1𝑛∑ (𝑥𝑖 − �̅�)

4𝑛𝑖=1

(1𝑛∑ (𝑥𝑖 − �̅�)2𝑛𝑖=1 )

2

𝑥 = data yang akan diuji kenormalan

𝑛 = ukuran sampel

Pengujian menggunakan uji Jarque-Bera dengan hipotesis sebagai berikut:

𝐻0: Galat berdistribusi normal

𝐻1: Galat tidak berdistribusi normal

Selanjutnya, nilai JB dibandingkan dengan nilai pada tabel chi-square dengan

derajat bebas dua. Jika nilai JB lebih besar dari nilai chi-square, maka 𝐻0

ditolak yang berarti galat tidak berdistribusi normal dan jika sebaliknya maka

berarti galat berdistribusi normal. Penentuan 𝐻0 ditolak atau diterima juga


34

dapat dilakukan dengan melihat nilai 𝑝 − 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒, yaitu apabila 𝑝 − 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 >

𝛼 (yang telah ditentukan) maka 𝐻0 diterima.

2.8.4. Uji Autokorelasi

Definisi 2.20

Autokorelasi adalah hubungan antar nilai-nilai yang berurutan dari variabel

yang sama.

Salah satu cara yang digunakan untuk mendeteksi ada tidaknya

autokorelasi pada data yang digunakan adalah uji Durbin-Watson (DW). Nilai

DW dapat diperoleh dengan bantuan program 𝑅.

Pengujian menggunakan uji Durbin-Watson dengan hipotesis sebagai

berikut:

𝐻0: Tidak ada autokorelasi

𝐻1: Ada autokorelasi

Adapun kaidah keputusan Durbin-Watson, sebagai berikut:

1) Jika 0 < 𝐷𝑊 < 𝐷𝐿 maka keputusan yang diambil adalah 𝐻0 ditolak yang

artinya tidak ada autokorelasi positif.

2) Jika 𝐷𝐿 ≤ 𝐷𝑊 ≤ 𝐷𝑈 maka keputusan tidak dapat diambil

3) Jika 4 − 𝐷𝐿 < 𝐷𝑊 < 4 maka keputusan yang diambil adalah 𝐻0 ditolak

yang artinya tidak ada autokorelasi negatif.

4) Jika 4 − 𝐷𝑈 ≤ 𝐷𝑊 ≤ 4 − 𝐷𝐿 maka keputusan tidak dapat diambil.


35

5) Jika 𝐷𝑈 < 𝐷𝑊 < 4 − 𝐷𝑈 maka keputusan yang diambil adalah 𝐻0

diterima yang artinya tidak ada autokorelasi positif atau negatif.

Keterangan: 𝐷𝐿 merupakan batas bawah dan 𝐷𝑈 merupakan batas atas yang

dapat dilihat pada tabel Durbin-Watson yang terdapat pada lampiran.

2.9 Menentukan Faktor-faktor yang Berpengaruh Signifikan

Untuk menentukan apakah suatu faktor variabel independen

berpengaruh signifikan terhadap variabel dependen, digunakan uji t dengan

langkah-langkah sebagai berikut:

1) Menentukan Hipotesis awal (𝐻0)

2) Menentukan Hipotesis akhir (𝐻1)

3) Menentukan Tingkat Signifikansi (𝛼)

4) Menghitung nilai statistik uji yang secara matematis dirumuskan:

𝑡 =�̂�𝑖

𝑠𝑒(�̂�𝑖)

Dengan 𝑠𝑒(�̂�𝑖) = √𝑣𝑎𝑟(�̂�𝑖) dan �̂�𝑖 menyatakan penduga parameter

ke- 𝑖.

5) Menentukan keputusan yang akan diambil, berdasarkan kriteria

sebagai berikut: 𝐻0 ditolak apabila |𝑡| > 𝑡𝛼2(𝑑𝑓)

dengan, nilai 𝑡𝛼2(𝑑𝑓) ditentukan dengan melihat tabel 𝑡, dengan

𝑑𝑓 = 𝑛 − 𝑘

6) Mengambil Kesimpulan


36

2.10 Teori Ekonomi

2.10.1. Persentase Penduduk Miskin

Menurut badan pusat statistik, penduduk miskin adalah penduduk yang

memiliki rata-rata pengeluaran perkapita perbulan dibawah garis

kemiskinan

[(https://jateng.bps.go.id/subject/23/kemiskinan.html#subjekViewTab1)

diakses pada tanggal 18 april 2019]. Nilai garis kemiskinan diperoleh

dengan menjumlahkan nilai garis kemiskinan makanan (GKM) dan garis

kemiskinan non makanan (GKNM). Secara matematis, dapat ditulis:

𝐺𝐾 = 𝐺𝐾𝑀 + 𝐺𝐾𝑁𝑀

Garis Kemiskinan Makanan (GKM) merupakan nilai pengeluaran

kebutuhan minimum makanan yang disetarakan dengan 2100 kilokalori

perkapita perhari. Garis Kemiskinan Non Makanan (GKNM) adalah

kebutuhan minimum untuk perumahan, sandang, pendidikan dan kesehatan.

Persentase penduduk miskin di suatu daerah dihitung dengan rumus:

Persentase penduduk miskin =𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑢𝑑𝑢𝑘 𝑚𝑖𝑠𝑘𝑖𝑛

𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑢𝑑𝑢𝑘𝑥100%

2.10.2. Hubungan angka partisipasi sekolah dengan persentase penduduk miskin

Menurut Badan Pusat Statistik (BPS), Angka Partisipasi sekolah

didefinisikan sebagai Proporsi dari semua anak yang masih sekolah pada

suatu kelompok umur tertentu terhadap penduduk dengan kelompok umur

yang sesuai [(https://sirusa.bps.go.id/index.php?r=indikator/view&id=10)


https://jateng.bps.go.id/subject/23/kemiskinan.html#subjekViewTab1https://sirusa.bps.go.id/index.php?r=indikator/view&id=10

37

diakses pada tanggal 18 april 2019]. Sejak Tahun 2009, Pendidikan Non

Formal (Paket A, Paket B, dan Paket C) turut diperhitungkan. Badan Pusat

Statistik mengklasifikasi angka partisipasi sekolah ke dalam 4 kelompok,

yaitu APS 7-12 tahun, APS 13-15 tahun, APS 16-18 tahun, dan APS 19-24

tahun. Perhitungan nilai APS adalah sebagai berikut:

APS usia tertentu =𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑢𝑑𝑢𝑘 𝑢𝑠𝑖𝑎 𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑏𝑢𝑡 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑏𝑒𝑟𝑠𝑒𝑘𝑜𝑙𝑎ℎ

𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑢𝑑𝑢𝑘 𝑢𝑠𝑖𝑎 𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑏𝑢𝑡𝑥100%

Sebagai contoh,

APS 16-18 tahun =𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑢𝑑𝑢𝑘 𝑢𝑠𝑖𝑎 16−18 𝑡𝑎ℎ𝑢𝑛 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑏𝑒𝑟𝑠𝑒𝑘𝑜𝑙𝑎ℎ

𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑢𝑑𝑢𝑘 𝑢𝑠𝑖𝑎 16−18 𝑡𝑎ℎ𝑢𝑛𝑥100%

Angka partisipasi sekolah merupakan salah satu indikator yang

digunakan untuk mengukur pendidikan di suatu daerah. Semakin tinggi

angka partisipasi sekolah semakin besar pula jumlah penduduk yang

berkesempatan mengenyam pendidikan. Hal ini dapat meningkatkan

pengetahuan penduduk. Dengan peningkatan pengetahuan, diharapkan

semakin banyak penduduk yang bekerja atau berpeluang membuka

lapangan kerja agar semakin banyak penduduk yang mempunyai

pendapatan. Pendapatan yang layak dapat menurunkan persentase

penduduk miskin suatu daerah.

2.10.3. Hubungan Tingkat Partisipasi Angkatan Kerja dengan Persentase Penduduk

Miskin

Badan Pusat Statistik mendefinisikan tingkat partisipasi angkatan

kerja sebagai persentase penduduk usia 15 tahun ke atas yang merupakan

angkatan kerja. Sukirno (2007:18) menyatakan bahwa angkatan Kerja

adalah jumlah tenaga kerja yang terdapat dalam suatu perekonomian pada


38

suatu waktu tertentu. Secara matematis tingkat partisipasi angkatan kerja

dapat dihitung menggunakan rumus:

𝑇𝑃𝐴𝐾 =𝑎𝑛𝑔𝑘𝑎𝑡𝑎𝑛 𝑘𝑒𝑟𝑗𝑎

𝑝𝑒𝑛𝑑𝑢𝑑𝑢𝑘 𝑢𝑠𝑖𝑎 𝑘𝑒𝑟𝑗𝑎 𝑥 100%

Faktor-faktor yang mempengaruhi besar TPAK menurut Simanjuntak

(2001:45) adalah sebagai berikut :

1) Penduduk yang masih sekolah dan mengurus rumah tangga. Semakin

banyak penduduk yang bersekolah dan mengurus rumah tangga, maka

semakin kecil jumlah angkatan kerja, sehingga semakin kecil pula

TPAKnya.

2) Jenis kelamin. TPAK antara laki-laki dan perempuan berbeda, biasanya

TPAK perempuan lebih rendah dibandingkan dengan TPAK laki-laki,

hal ini erat kaitanya dengan sistem nilai masyarakat, bahwa laki-laki

memikul kewajiban utama untuk mencari nafkah.

3) Tingkat umur. Penduduk yang berumur muda umumnya tidak

mempunyai tanggung jawab sebagai pencari nafkah untuk keluarga,

karena mereka pada umumnya bersekolah.

4) Tingkat upah. Semakin tinggi tingkat upah dalam masyarakat, semakin

banyak anggota keluarga yang tertarik masuk pasar kerja, maka semakin

banyak jumlah angkatan kerja yang mengakibatkan semakin tinggi juga

TPAKnya.

5) Tingkat pendidikan. Semakin banyak penduduk yang bersekolah maka

jumlah angkatan kerja semakin kecil sehingga TPAKnya rendah. Selain

itu, semakin tinggi tingkat pendidikan semakin banyak peluang yang


39

disediakan untuk bekerja dan nilai waktunya semakin mahal. Secara

umum tingginya partisipasi angkatan kerja salah satunya disebabkan oleh

rendahnya pendapatan, sehingga masyarakat lebih memilih bekerja dari

pada bersekolah dan mengurus rumah tangga.

Berdasarkan rumus TPAK, dapat dilihat bahwa TPAK berbanding lurus

dengan angkatan kerja. Artinya semakin tinggi angkatan kerja maka

semakin tinggi pula nilai TPAK. Semakin tinggi angkatan kerja, diharapkan

masyarakat memperoleh pendapatan untuk memenuhi kebutuhan hidupnya.

Semakin banyak masyarakat yang dapat memenuhi kebutuhan hidupnya

erat kaitannya dengan penurunan persentase penduduk miskin.

2.10.4. Hubungan Inflasi dengan Persentase Penduduk Miskin

Menurut Badan Pusat Statistik, inflasi adalah kecenderungan naiknya

harga barang dan jasa pada umumnya yang berlangsung secara terus

menerus. Jika harga barang dan jasa di dalam negeri meningkat, maka

inflasi mengalami kenaikan. Naiknya harga barang dan jasa tersebut

menyebabkan turunnya nilai uang. Dengan demikian, inflasi dapat juga

diartikan sebagai penurunan nilai uang terhadap nilai barang dan jasa secara

umum. Peningkatan harga barang dan jasa dapat menyebabkan turunnya

daya beli masyarakat. Turunnya daya beli masyarakat ini dapat menjadi

indikator naiknya persentase penduduk miskin. Hal ini menunjukkan

semakin tinggi inflasi, maka persentase penduduk miskin naik.


40

2.10.5. Hubungan Rata-rata Lama Sekolah dengan Persentase Penduduk Miskin

Badan Pusat Statistik mendefinisikan rata-rata lama sekolah sebagai

jumlah tahun belajar penduduk usia 15 tahun ke atas yang telah diselesaikan

dalam pendidikan formal (tidak termasuk tahun yang mengulang)

[(https://sirusa.bps.go.id/index.php?r=indikator/view&id=11) diakses pada

tanggal 18 april 2019]. Secara matematis, rata-rata lama sekolah dihitung

menggunakan rumus:

Rata-rata lama sekolah =1

𝑃15+∑ (𝑙𝑎𝑚𝑎 𝑠𝑒𝑘𝑜𝑙𝑎ℎ 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑢𝑑𝑢𝑘 𝑘𝑒 − 𝑖)𝑃15+𝑖=1

dengan 𝑃15+ = jumlah penduduk berusia 15 tahun ke atas

Tobing (dalam Atmanti, 2005), mengemukakan bahwa orang yang

memiliki tingkat pendidikan lebih tinggi (diukur dengan lamanya waktu

untuk sekolah) akan memiliki pekerjaan dan upah yang lebih baik dibanding

dengan orang yang pendidikannya lebih rendah. Upah yang lebih baik inilah

yang diharapkan dapat menurunkan persentase penduduk miskin.

2.10.6. Hubungan Usia Harapan Hidup Saat Lahir dengan Persentase Penduduk

Miskin

Usia harapan hidup saat lahir didefinisikan sebagai perkiraan rata-rata

lamanya hidup akan dicapai oleh seseorang yang dihitung sejak ia lahir

[(https://jateng.bps.go.id/subject/26/indeks-pembangunan-

manusia.html#subjekViewTab1) diakses pada tanggal 18 april 2019].


https://sirusa.bps.go.id/index.php?r=indikator/view&id=11https://jateng.bps.go.id/subject/26/indeks-pembangunan-manusia.html#subjekViewTab1https://jateng.bps.go.id/subject/26/indeks-pembangunan-manusia.html#subjekViewTab1

41

Menurut Badan Pusat Statistik, usia harapan hidup digunakan untuk

mengevaluasi kinerja pemerintah dalam meningkatkan kesejahteraan

penduduk pada umumnya, dan meningkatkan derajat kesehatan pada

khususnya. Usia Harapan Hidup yang rendah di suatu daerah harus diikuti

dengan program pembangunan kesehatan, dan program sosial lainnya

termasuk kesehatan lingkungan, kecukupan gizi dan kalori termasuk

program pemberantasan kemiskinan.

Berdasarkan penelitian yang dilakukan oleh Kumalasari (2011)

diperoleh hasil bahwa usia harapan hidup berbanding terbalik dengan

persentase penduduk miskin yaitu apabila usia harapan hidup meningkat

maka persentase penduduk miskin turun. Hal ini dapat dijelaskan bahwa

usia harapan hidup yang tinggi mempunyai peluang besar seseorang dalam

meningkatkan produktivitas untuk memperoleh pendapatan yang tinggi. Hal

inilah yang dapat menurunkan persentase penduduk miskin.

2.10.7. Hubungan Indeks Pembangunan Manusia dengan Persentase Penduduk

Miskin

Indeks Pembangunan Manusia (IPM) nilai yang dibentuk oleh tiga

dimensi dasar yaitu umur panjang dan hidup sehat, pengetahuan, dan

standar hidup layak. Secara matematis, perhitungan nilai indeks

pembangunan manusia adalah sebagai berikut:

𝐼𝑃𝑀 = √𝐼𝑘𝑒𝑠𝑒ℎ𝑎𝑡𝑎𝑛𝑥𝐼𝑃𝑒𝑛𝑑𝑖𝑑𝑖𝑘𝑎𝑛𝑥𝐼𝑝𝑒𝑛𝑔𝑒𝑙𝑢𝑎𝑟𝑎𝑛3


42

𝐼𝑘𝑒𝑠𝑒ℎ𝑎𝑡𝑎𝑛 =𝐴𝐻𝐻 − 𝐴𝐻𝐻𝑚𝑖𝑛

𝐴𝐻𝐻𝑚𝑎𝑘𝑠 − 𝐴𝐻𝐻𝑚𝑖𝑛

𝐼𝑃𝑒𝑛𝑑𝑖𝑑𝑖𝑘𝑎𝑛 =𝐼𝐻𝐿𝑆 + 𝐼𝑅𝐿𝑆

2

𝐼𝐻𝐿𝑆 =𝐻𝐿𝑆 − 𝐻𝐿𝑆𝑚𝑖𝑛

𝐻𝐿𝑆𝑚𝑎𝑘𝑠 − 𝐻𝐿𝑆𝑚𝑖𝑛

𝐼𝑅𝐿𝑆 =𝑅𝐿𝑆 − 𝑅𝐿𝑆𝑚𝑖𝑛

𝑅𝐿𝑆𝑚𝑎𝑘𝑠 − 𝑅𝐿𝑆𝑚𝑖𝑛

𝐼𝑝𝑒𝑛𝑔𝑒𝑙𝑢𝑎𝑟𝑎𝑛 =𝐼𝑛(𝑝𝑒𝑛𝑔𝑒𝑙𝑢𝑎𝑟𝑎𝑛) − 𝐼𝑛(𝑝𝑒𝑛𝑔𝑒𝑙𝑢𝑎𝑟𝑎𝑛min)

𝐼𝑛(𝑝𝑒𝑛𝑔𝑒𝑙𝑢𝑎𝑟𝑎𝑛maks) − 𝐼𝑛(𝑝𝑒𝑛𝑔𝑒𝑙𝑢𝑎𝑟𝑎𝑛min)

Keterangan:

𝐴𝐻𝐻 = Angka Harapan Hidup

𝐻𝐿𝑆 = Harapan Lama Sekolah

𝑅𝐿𝑆 = Rata-rata Lama Sekolah

Menurut Badan Pusat Statistik indeks pembangunan manusia

menjelaskan bagaimana penduduk dapat mengakses hasil pembangunan

dalam memperoleh pendapatan, kesehatan, pendidikan. Indeks

pembangunan manusia dijadikan tolak ukur kualitas sumber daya manusia.

Rendahnya IPM menunjukkan rendahnya produktivitas kerja

yang berimbas pada rendahnya perolehan pendapatan. Sehingga dengan

rendahnya pendapatan menyebabkan tingginya persentase penduduk

miskin.


43

BAB III

MODEL REGRESI SPASIAL DURBIN DAN ESTIMASINYA

3.1. Latar Belakang Analisis Regresi Spasial Durbin

Hukum pertama tentang geografi dikemukakan oleh W Tobler dalam

Schanbenberger dan Gotway (2005), yaitu: “Everything is related to

everything else, but near thing are more related than distant thing”. Yang

berarti : segala sesuatu saling berhubungan satu dengan yang lainnya, tetapi

sesuatu yang dekat lebih mempunyai pengaruh daripada sesuatu yang jauh.

Pemikiran ini yang mendasari munculnya teori spasial. Teori spasial

menjelaskan bahwa data spasial dari suatu daerah dipengaruhi oleh daerah lain

di sekitarnya. Data spasial adalah data yang memuat adanya informasi lokasi

atau geografis dari suatu wilayah. Nilai pengaruh suatu wilayah terhadap

wilayah lain disekitarnya dapat dinyatakan dalam suatu matriks yang

dinamakan matriks pembobot spasial.

3.2. Model Regresi Spasial Durbin

Definisi 3.1

Model regresi spasial Durbin adalah model regresi yang memperhatikan

pengaruh spasial baik pada variabel dependen maupun pada variabel

independennya. Secara matematis, model umum dari regresi spasial Durbin

adalah:


44

𝑦𝑖 = �̂�∑ 𝑤𝑖𝑗𝑦𝑗 + 𝛽0𝑖 + ∑ 𝛽1𝑘𝑥𝑘𝑖 + ∑ 𝛽2𝑘 ∑ 𝑤𝑖𝑗𝑥𝑘𝑗 + 𝜀𝑖𝑛𝑗=1

𝑙𝑘=1

𝑙𝑘=1

𝑛𝑗=1 (3.1)

dengan:

𝑦𝑖 = nilai variabel dependen pada daerah ke-i

𝑦𝑗 = nilai variabel dependen pada daerah ke-j

�̂� = penduga parameter pengaruh spasial variabel dependen, yang

menunjukkan tingkat pengaruh spasial dari suatu daerah terhadap daerah

lain di sekitarnya

𝑤𝑖𝑗 = nilai pembobot spasial yang menyatakan hubungan antara daerah i

dengan daerah j

𝛽0𝑖 = Intersep

𝛽1𝑘 = nilai parameter regresi tanpa pembobot spasial untuk variabel

independen ke- k

𝛽2𝑘 = nilai parameter regresi dengan pembobot spasial untuk variabel

independen ke- k

𝑥𝑘𝑖 = nilai variabel independen ke-k untuk daerah ke-i

𝑥𝑘𝑗 = nilai variabel independen ke-k untuk daerah ke-j

Dalam notasi matriks, persamaan (3.1), dapat ditulis menjadi:

𝒀 = 𝝆𝑾𝒀 + 𝜷𝟎 +𝑿𝜷𝟏 +𝑾𝑿𝜷𝟐 + 𝜺 (3.2)


45

Keterangan:

𝒀 = Vektor variabel terikat berukuran 𝑛𝑥1

𝝆 = Parameter spasial lag variabel dependen, yang menunjukkan tingkat

korelasi pengaruh spasial dari suatu wilayah terhadap wilayah lain di

sekitarnya

𝑾 = Matriks pembobot spasial berukuran 𝑛𝑥𝑛

𝜷𝟎 = Vektor intersep berukuran 𝑛𝑥1

𝑿 = Matriks variabel bebas berukuran 𝑛𝑥𝑘

𝜷𝟏 = Vektor parameter regresi tanpa mariks spasial terbobot berukuran 𝑘𝑥1

𝜷𝟐 = Vektor parameter regresi dengan matriks spasial terbobot berukuran 𝑘𝑥1

𝜺 = Vektor galat berukuran 𝑛𝑥1

𝑛 = banyaknya daerah yang diamati

𝑘 = banyaknya variabel independen

Untuk mempermudah perhitungan, persamaan (3.2) ditulis menjadi:

𝒀 = 𝝆𝑾𝒀 + 𝒁𝜷 + 𝜺 (3.3.1)

atau

𝒀 − 𝝆𝑾𝒀 = 𝒁𝜷 + 𝜺

(𝑰 − 𝝆𝑾)𝒀 = 𝒁𝜷 + 𝜺


46

𝒀 = (𝑰 − 𝝆𝑾)−𝟏(𝒁𝜷 + 𝜺) (3.3.2)

Keterangan:

𝒁 = Matriks berukuran [𝑛x(2𝑘 + 1)], yang mana elemen-elemennya

merupakan gabungan vektor satu, matriks 𝑋, dan matriks WX yaitu

matriks yang merupakan hasil kali matriks 𝑊 dan matriks 𝑋. Secara

matematis dapat ditulis sebagai berikut:

𝒁 = [𝑨 𝑿 𝑾𝑿]

dengan A adalah vektor satu yaitu vektor yang seluruh elemennya

bernilai satu yang berukuran (𝑛x1).

𝜷 = Vektor berukuran (2𝑘 + 1)x1, dengan 𝜷 = [

𝜷𝟎𝜷𝟏𝜷𝟐

]

3.3. Estimasi parameter dengan Metode Maksimum Likelihood

Tujuan dari analisis regresi adalah menduga parameter regresi. Dalam

model regresi spasial Durbin, ada 3 parameter yang harus diduga yaitu parameter

𝜌, 𝛽. Metode Maksimum Likelihood adalah salah satu metode yang dapat

digunakan untuk mengestimasi parameter-parameter tersebut. Dengan

menggunakan metode ini juga akan diduga parameter 𝜎2 yang akan digunakan

untuk mencari variansi masing-masing variabel yang dibutuhkan untuk uji

signifikansi parameter. Metode ini mengasumsikan galat berdistribusi normal


47

dengan nilai harapan galat sama dengan nol. Berdasarkan persamaan (3.3.1),

dapat ditulis:

𝜺 = 𝒀 − 𝝆𝑾𝒀 − 𝒁𝜷

𝜺 = (𝑰 − 𝝆𝑾)𝒀 − 𝒁𝜷 (3.4)

Fungsi likelihood untuk model regresi spasial Durbin adalah:

𝐿(𝜌, 𝜷, 𝜎2|𝒀) = (1

2𝜋𝜎2)

𝑛

2 (𝐽)𝑒𝑥𝑝 (−1

2𝜎2(𝜀𝑡𝜀)) (3.5)

Dengan 𝐽 = |𝜕𝜀

𝜕𝑦| = |𝑰 − 𝝆𝑾|

Selanjutnya, persamaan (3.4) disubstitusi ke persamaan (3.5) sehingga

diperoleh:

𝐿(𝜌, 𝜷, 𝜎2|𝒀) = (1

2𝜋𝜎2)

𝑛

2 (|𝑰 − 𝝆𝑾|)𝑒𝑥𝑝 (−1

2𝜎2[(𝑰 − 𝝆𝑾)𝒀 −

𝒁𝜷]𝒕[(𝑰 − 𝝆𝑾)𝒀 − 𝒁𝜷] ) (3.6)

maka, logaritma natural dari persamaan (3.6), dapat ditulis sebagai berikut:

ln(𝐿) =𝑛

2𝑙𝑛 (

1

2𝜋𝜎2) + ln|𝑰 − 𝝆𝑾| −

1

2𝜎2[(𝑰 − 𝝆𝑾)𝒀 − 𝒁𝜷]𝒕

[(𝑰 − 𝝆𝑾)𝒀 − 𝒁𝜷] (3.7)

atau

ln(𝐿) = −𝑛

2𝑙𝑛(2𝜋) −

𝑛

2𝑙𝑛(𝜎2) + ln|𝑰 − 𝝆𝑾| −

1

2𝜎2[(𝑰 − 𝝆𝑾)𝒀 − 𝒁𝜷]𝒕

[(𝑰 − 𝝆𝑾)𝒀 − 𝒁𝜷] (3.8)


48

3.3.1. Estimasi Parameter 𝜷

Parameter pertama yang perlu dilakukan estimasi adalah 𝜷 . Estimasi

parameter ini, dapat ditunjukkan dengan memaksimumkan logaritma natural

pada persamaan (3.8) dengan menurunkan persamaan tersebut terhadap 𝜷 dan

menyamakan dengan nol. Secara matematis, dapat ditulis:

𝜕(ln(𝐿))

𝜕𝜷= 0

𝜕(ln(𝐿))

𝜕𝜷=

𝜕 (−𝑛2ln (2𝜋) −

𝑛2ln (𝜎2) + ln|𝑰 − 𝝆𝑾| −

12𝜎2

[(𝑰 − 𝝆𝑾)𝒀 − 𝒁𝜷]𝒕[(𝑰 − 𝝆𝑾)𝒀 − 𝒁𝜷])

𝜕𝜷

0 =𝜕(−

𝑛

2ln (2𝜋)−

𝑛

2ln (𝜎2)+ln|𝑰−𝝆𝑾|−

1

2𝜎2[(𝑰−𝝆𝑾)𝒀− 𝒁𝜷]𝒕[(𝑰−𝝆𝑾)𝒀− 𝒁𝜷])

𝜕𝜷

0 =𝜕(−

1

2𝜎2[(𝑰−𝝆𝑾)𝒀− 𝒁𝜷]𝒕[(𝑰−𝝆𝑾)𝒀− 𝒁𝜷])

𝜕𝜷 (3.9)

Perhatikan pada pembilang ruas kanan

[(𝑰 − 𝝆𝑾)𝒀 − 𝒁𝜷]𝒕[(𝑰 − 𝝆𝑾)𝒀 − 𝒁𝜷]

= [((𝑰 − 𝝆𝑾)𝒀)𝒕− 𝜷𝒕𝒁𝒕] [(𝑰 − 𝝆𝑾)𝒀 − 𝒁𝜷]

= ((𝑰 − 𝝆𝑾)𝒀)𝒕((𝑰 − 𝝆𝑾)𝒀) − 𝜷𝒕𝒁𝒕((𝑰 − 𝝆𝑾)𝒀) − ((𝑰 − 𝝆𝑾)𝒀)

𝒕𝒁𝜷 +

𝜷𝒕𝒁𝒕𝒁𝜷 (3.10)

Karena 𝜷𝒕𝒁𝒕((𝑰 − 𝝆𝑾)𝒀) merupakan matriks berukuran 1𝑥1, sehingga

diperoleh:


49

((𝑰 − 𝝆𝑾)𝒀)𝑻𝒁𝜷 = [𝜷𝑻𝒁𝑻((𝑰 − 𝝆𝑾)𝒀)]𝑻 = [𝜷𝑻𝒁𝑻((𝑰 − 𝝆𝑾)𝒀)]

Oleh karena itu, persamaan (3.10) dapat ditulis menjadi

[(𝑰 − 𝝆𝑾)𝒀 − 𝒁𝜷]𝒕[(𝑰 − 𝝆𝑾)𝒀 − 𝒁𝜷] =

((𝑰 − 𝝆𝑾)𝒀)𝒕((𝑰 − 𝝆𝑾)𝒀) − 𝟐𝜷𝒕𝒁𝒕((𝑰 − 𝝆𝑾)𝒀) + 𝜷𝒕𝒁𝒕𝒁𝜷 (3.11)

Selanjutnya, berdasarkan persamaan (3.9) dan (3.11), diperoleh:

0 = −1

2𝜎2(−2 𝒁𝒕((𝑰 − 𝝆𝑾)𝒀) + 2𝒁𝒕𝒁𝜷 )

0 =1

𝜎2 (𝒁𝒕((𝑰 − 𝝆𝑾)𝒀) − 𝒁𝒕𝒁𝜷 )

atau

𝒁𝒕𝒁𝜷 = 𝒁𝒕((𝑰 − 𝝆𝑾)𝒀)

𝜷 = (𝒁𝒕𝒁)−𝟏𝒁𝒕((𝑰 − 𝝆𝑾)𝒀)

Jadi, estimasi untuk parameter 𝜷 adalah

�̂� = (𝒁𝒕𝒁)−𝟏𝒁𝒕(𝑰 − �̂�𝑾)𝒀 (3.12.1)

atau

�̂� = (𝒁𝒕𝒁)−𝟏𝒁𝒕𝒀 − 𝝆(𝒁𝒕𝒁)−𝟏𝒁𝒕𝑾𝒀 (3.12.2)

Berdasarkan persamaan (3.3.2), diperoleh:

𝐸(𝒀) = 𝐸[(𝑰 − 𝝆𝑾)−𝟏(𝒁𝜷 + 𝜺)]

𝐸(𝒀) = 𝐸((𝑰 − 𝝆𝑾)−𝟏)𝐸((𝒁𝜷 + 𝜺)) = 𝐸[(𝑰 − 𝝆𝑾)−𝟏][𝐸(𝒁𝜷) + 𝐸(𝜺)]


50

Karena 𝐸(𝜺) = 0, diperoleh:

𝐸(𝒀) = (𝑰 − 𝝆𝑾)−𝟏𝒁𝜷 (3.13)

Teorema 3.1

Penduga tak bias dari �̂� adalah 𝜷, dengan �̂� = (𝒁𝒕𝒁)−𝟏𝒁𝒕(𝑰 − �̂�𝑾)𝒀. Secara

matematis, dapat ditulis:

𝐸(�̂�) = 𝜷

Bukti:

𝐸(�̂�) = 𝐸((𝒁𝒕𝒁)−1𝒁𝒕(𝑰 − �̂�𝑾)𝒀)

= 𝐸((𝒁𝒕𝒁)−1𝒁𝒕(𝑰 − �̂�𝑾))𝐸(𝒀)

= 𝐸((𝒁𝒕𝒁)−1𝒁𝒕(𝑰 − �̂�𝑾))𝐸((𝑰 − 𝝆𝑾)−𝟏𝒁𝜷)

= 𝜷 (3.14)

Terbukti bahwa penduga �̂� tak bias.

Teorema 3.2

Variansi �̂� adalah variansi yang paling minimum diantara penduga tak bias

linear yang lain. Secara matematis, dapat ditulis:

𝑣𝑎𝑟 �̂� ≤ 𝑣𝑎𝑟 �̂�∗

Bukti:

Karena berdasarkan persamaan (3.14), 𝐸(�̂�) = 𝜷, maka:


51

𝑣𝑎𝑟 �̂� = 𝐸 ((�̂� − 𝑬(�̂�)) (�̂� − 𝑬(�̂�))𝑡

) = 𝐸 ((�̂� − 𝜷)(�̂� − 𝜷)𝒕)

= 𝐸 (((𝒁𝒕𝒁)−𝟏𝒁𝒕(𝑰 − �̂�𝑾)𝒀) − 𝜷)((𝒁𝒕𝒁)−𝟏𝒁𝒕(𝑰 − �̂�𝑾)𝒀) − 𝜷)𝑡)

Berdasarkan persamaan (3.3.2), 𝑌 = (𝑰 − 𝝆𝑾)−𝟏(𝒁𝜷 + 𝜺), maka:

𝑣𝑎𝑟 �̂� = 𝐸 (((𝒁𝒕𝒁)−𝟏𝒁𝒕(𝑰 − �̂�𝑾)(𝑰 − 𝝆𝑾)−𝟏(𝒁𝜷 + 𝜺)

− 𝜷)((𝒁𝒕𝒁)−𝟏𝒁𝒕(𝑰 − �̂�𝑾)(𝑰 − 𝝆𝑾)−𝟏(𝒁𝜷 + 𝜺) − 𝜷)𝒕)

𝑣𝑎𝑟 �̂� = 𝐸(((𝒁𝒕𝒁)−𝟏𝒁𝒕𝒁𝜷 + (𝒁𝒕𝒁)−𝟏𝒁𝒕𝜺

− 𝜷)((𝒁𝒕𝒁)−𝟏𝒁𝒕𝒁𝜷 + (𝒁𝒕𝒁)−𝟏𝒁𝒕𝜺 − 𝜷)𝒕)

= 𝐸 (((𝒁𝒕𝒁)−𝟏𝒁𝒕𝜺)((𝒁𝒕𝒁)−𝟏𝒁𝒕𝜺)𝒕)

= 𝐸 ((𝒁𝒕𝒁)−𝟏𝒁𝒕𝜺𝜺𝒕(𝒁𝒕)𝒕((𝒁𝒕𝒁)−𝟏)𝒕)

= 𝐸((𝒁𝒕𝒁)−𝟏𝒁𝒕𝜺𝜺𝒕𝒁(𝒁𝒕𝒁)−𝟏)

= (𝒁𝒕𝒁)−𝟏𝒁𝒕𝑬(𝜺𝜺𝒕)𝒁(𝒁𝒕𝒁)−𝟏

= (𝒁𝒕𝒁)−𝟏𝒁𝒕�̂�2𝒁(𝒁𝒕𝒁)−𝟏

= (𝒁𝒕𝒁)−𝟏�̂�2 (3.15)

Akan ditunjukkan 𝑣𝑎𝑟 �̂� ≤ 𝑣𝑎𝑟 �̂�∗

Misalka

PENERAPAN ANALISIS REGRESI SPASIAL DURBIN UNTUK...

Documents

Transcript of PENERAPAN ANALISIS REGRESI SPASIAL DURBIN UNTUK...