PENENTUAN PREMI TAHUNAN KONSTAN DAN CADANGAN …

PENENTUAN PREMI TAHUNAN KONSTAN DAN

CADANGAN BENEFIT UNTUK EMPAT ORANG

DALAM ASURANSI JIWA GABUNGAN

SKRIPSI

Nindita Nadilia

11150940000036

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UIN SYARIF HIDAYATULLAH JAKARTA

2019 M / 1441 H

ii

PENENTUAN PREMI TAHUNAN KONSTAN DAN

CADANGAN BENEFIT UNTUK EMPAT ORANG

DALAM ASURANSI JIWA GABUNGAN

Skripsi

Diajukan kepada

Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta

Fakultas Sains dan Teknologi

Untuk Memenuhi Salah Satu Persyaratan dalam

Memperoleh Gelar Sarjana Matematika (S.Mat)

Oleh:

Nindita Nadilia

11150940000036

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UIN SYARIF HIDAYATULLAH JAKARTA

2019 M / 1441 H

iii

PERNYATAAN

DENGAN INI SAYA MENYATAKAN BAHWA SKRIPSI INI BENAR-BENAR

HASIL KARYA SENDIRI YANG BELUM PERNAH DIAJUKAN SEBAGAI

SKRIPSI ATAU KARYA ILMIAH PADA PERGURUAN TINGGI ATAU

LEMBAGA MANAPUN.

Jakarta, Oktober 2019

Nindita Nadilia

NIM. 11150940000036

iv

LEMBAR PENGESAHAN

Skripsi ini berjudul “Penentuan Premi Tahunan Konstan dan Cadangan

Benefit untuk Empat Orang dalam Asuransi Jiwa Gabungan” yang ditulis oleh

Nindita Nadilia NIM. 11150940000036 telah diuji dan dinyatakan lulus dalam

sidang Munaqosah Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Syarif

Hidayatullah Jakarta pada hari Selasa, 19 November 2019. Skripsi ini telah diterima

untuk memenuhi salah satu persyaratan dalam memperoleh gelar sarjana strata satu

(S1) Program Studi Matematika.

Menyetujui,

Pembimbing I Pembimbing II

Dr. Nina Fitriyati, M.Kom Irma Fauziah, M.Sc

NIP. 19760414 200604 2 001 NIP. 19800703 201101 2 005

Penguji I Penguji II

Mahmudi, M.Si Madona Yunita Wijaya, M.Sc

NIDN. 2029048801 NIP. 19850624 201903 2 007

Mengetahui,

Dekan Fakultas Sains dan Teknologi Ketua Program Studi Matematika

Prof. Dr. Lily Surayya E.P., M.Env.Stud

Dr. Suma’inna, M.Si

NIP. 19690404 200501 2 005 NIP. 19791208 200701 2 015

v

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN

PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS

Yang bertanda tangan di bawah ini:

Nama : Nindita Nadilia

NIM : 11150940000036

Program Studi : Matematika Fakultas Sains dan Teknologi

Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya menyetujui untuk memberikan Hak

Bebas Royalti Non-Eksklusif (Non-Exclusive-Free Right) kepada Program Studi

Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Syarif Hidayatullah Jakarta atas

karya ilmiah saya yang berjudul:

“PENENTUAN PREMI TAHUNAN KONSTAN DAN CADANGAN

BENEFIT UNTUK EMPAT ORANG DALAM ASURANSI JIWA

GABUNGAN”

beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan Hak Bebas Royalti Non-

Eksklusif ini, Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Syarif

Hidayatullah Jakarta berhak menyimpan, mengalihmedia/formatkan, mengelolanya

dalam bentuk pangkalan data (database), mendistribusikannya, dan

menampilkan/mempublikasikannya di internet dan media lain untuk kepentingan

akademis tanpa perlu meminta izin dari saya selama tetap mencantumkan nama

saya sebagai penulis/pencipta dan sebagai pemilik Hak Cipta. Segala bentuk

tuntutan hukum yang timbul atas pelanggaran Hak Cipta karya ilmiah ini menjadi

tanggung jawab saya sebagai penulis.

Demikian pernyataan ini yang saya buat dengan sebenarnya.

Dibuat di Depok

Pada tanggal: 15 Oktober 2019

Yang membuat pernyataan

(Nindita Nadilia)

vi

PERSEMBAHAN

For my beloved family

MOTTO

“Janganlah kamu bersikap lemah dan janganlah pula kau bersedih

hati, padahal kamulah orang-orang yang paling tinggi derajatnya jika

kamu beriman” (QS. Al-Imran: 139)

vii

KATA PENGANTAR

Assalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh

Alhamdulillahirabbil’alamin puji dan syukur kehadirat Allah Subhanahu

wa Ta’ala yang telah memberikan rahmat dan karunia-Nya sehingga penulis dapat

menyelesaikan skripsi yang berjudul “Penentuan Premi Tahunan Konstan dan

Cadangan Benefit untuk Empat Orang Dalam Asuransi Jiwa Gabungan”. Shalawat

serta salam semoga tercurah kepada junjungan kita Nabi besar Muhammad

Shallallah ‘Alayhi wa Sallam, serta keluarga dan para sahabatnya, yang telah

memberikan tauladan yang baik kepada kita semua, semoga kita termasuk umatnya

yang kelak mendapatkan syafa’at dalam menuntut ilmu.

Dalam penyusunan skripsi ini, penulis mendapat banyak bantuan, saran dan

bimbingan dari berbagai pihak. Untuk itu, penulis menyampaikan terimakasih

kepada:

1. Ibu Prof. Dr. Lily Surayya Eka Putri, M.Env.Stud selaku Dekan Fakultas

Sains dan Teknologi UIN Syarif Hidayatullah Jakarta.

2. Ibu Dr. Suma’inna, M.Si, selaku Ketua Program Studi Matematika dan Ibu

Irma Fauziah M.Sc selaku Sekretaris Program Studi Matematika Fakultas

Sains dan Teknologi UIN Syarif Hidayatullah Jakarta

3. Ibu Dr. Nina Fitriyati, M.Kom selaku pembimbing I yang sudah

membimbing, dan memberikan saran kepada penulis selama proses

penyusunan skripsi ini hingga selesai.

4. Ibu Irma Fauziah M.Sc selaku pembimbing II yang telah memberikan

bimbingan dan arahan kepada penulis dalam penyusunan skripsi.

5. Kedua orang tua penulis Bapak Budi dan Ibu Lia, serta adik-adik penulis

Najla dan Naflah yang selalu memberikan doa, dukungan semangat dan

kasih sayang kepada penulis dari awal hingga tahap sekarang ini.

6. Sahabat seperjuangan skripsi penulis Diaz Farahdiba yang sering diajak

untuk berdiskusi, membantu dalam materi serta penulisan dan juga

memberikan saran.

viii

7. Anak Gadis sahabat kuliah penulis Agil Istiqomah, Firda Rizkia Rahma,

Sefilla Ghilda Ikhsani, dan Rizki Dini Febri Anggraini yang juga telah

memberikan semangat serta bantuan dalam pengerjaan skripsi.

8. Teman-teman matematika 2015 yang telah berjasa dalam penulisan skripsi

ini, Diaz Elprana, Herianti, Aldilah, Khusnul, Dino dll yang tidak bisa

disebutkan satu persatu dan juga Ka Trias yang membantu penulis dalam

revisi penulisan skripsi.

9. Seluruh mahasiswa Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Syarif

Hidayatullah Jakarta yang telah memberikan dukungan kepada penulis.

10. Semua pihak yang telah membantu penulis yang tidak dapat disebutkan satu

persatu.

Penulis menyadari masih terdapat banyak kekurangan dalam menyusun

skripsi ini. Oleh karena itu, penulis menerima kritik dan saran yang bersifat

membangun agar lebih baik untuk kedepannya. Semoga skripsi ini dapat

bermanfaat dan menambah wawasan bagi para pembaca.

Wassalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh

Ciputat, Oktober 2019

Penulis

ix

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ............................................................................................. ii

PERNYATAAN .................................................................................................... iii

LEMBAR PENGESAHAN ................................................................................. iv

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI ............................. v

PERSEMBAHAN DAN MOTTO ....................................................................... vi

KATA PENGANTAR ......................................................................................... vii

DAFTAR ISI ......................................................................................................... ix

DAFTAR GAMBAR ............................................................................................ xi

DAFTAR TABEL ............................................................................................... xii

DAFTAR NOTASI ............................................................................................. xiii

ABSTRAK ........................................................................................................... xv

ABSTRACT ........................................................................................................ xvi

BAB I PENDAHULUAN ...................................................................................... 1

1.1 Latar Belakang ............................................................................................ 1

1.2 Rumusan Masalah ....................................................................................... 2

1.3 Batasan Masalah .......................................................................................... 2

1.4 Tujuan Penulisan ......................................................................................... 3

1.5 Manfaat Penulisan ....................................................................................... 3

BAB II TINJAUAN PUSTAKA ........................................................................... 4

2.1 Bunga Majemuk .......................................................................................... 4

2.2 Peluang Kematian dan Peluang Hidup ........................................................ 4

2.3 Anuitas Jiwa ................................................................................................ 4

2.4 Anuitas Jiwa Awal Seumur Hidup Diskrit .................................................. 5

2.5 Anuitas Jiwa Seumur Hidup yang Ditunda 𝑛-Tahun .................................. 5

2.6 Teori Multiple Life ...................................................................................... 5

2.7 Peluang Hidup Status Joint Life dan Peluang Meninggal Status Last

Survivor ..................................................................................................... 6

2.8 Anuitas Jiwa Seumur Hidup Status Joint Life ............................................. 6

2.9 Anuitas Jiwa Seumur Hidup Ditunda 𝑛-Tahun Status Joint Life ................ 7

2.10 Anuitas Jiwa Berjangka 𝑛-Tahun Status Joint Life ..................................... 7

x

2.11 Asuransi Endowment Murni Berjangka 𝑛-Tahun Status Joint Life ............ 8

2.12 Asuransi Jiwa Berjangka 𝑛-Tahun Dengan Benefit Meningkat Pada Status

Joint Life ................................................................................................... 8

2.13 Tabel Mortalita ............................................................................................ 8

2.14 Premi Tahunan Konstan .............................................................................. 9

2.15 Cadangan benefit ....................................................................................... 11

BAB III ASURANSI JIWA GABUNGAN UNTUK EMPAT ORANG ......... 13

3.1 Rumus Premi Tahunan Konstan ................................................................ 13

3.2 Rumus Cadangan Benefit Asuransi Joint Life Untuk Empat Orang ......... 16

3.3.1 Cadangan Benefit Jika Satu Orang Meninggal dan Tiga Orang

Lainnya Hidup .................................................................................... 17

3.3.2 Cadangan Benefit Jika Dua Orang Meninggal dan Dua Orang Lainnya

Hidup .................................................................................................. 19

3.3.3 Cadangan Benefit Jika Tiga Orang Meninggal dan Satu Orang

Lainnya Hidup .................................................................................... 23

3.3.4 Cadangan Benefit Semua Peserta Asuransi Tetap Hidup Sampai Akhir

Waktu Kontrak ................................................................................... 25

BAB IV SIMULASI ............................................................................................ 26

4.1 Perhitungan Premi Tahunan Konstan ........................................................ 26

4.2 Perhitungan Cadangan Benefit .................................................................. 32

4.2.1 Perhitungan Cadangan Benefit Jika Satu Orang Meninggal dan Tiga

Orang Lainnya Hidup ......................................................................... 32

4.2.2 Pehitungan Cadangan Benefit Jika Dua Orang Meninggal dan Dua

Orang Lainnya Hidup ......................................................................... 36


Lainnya Hidup .................................................................................... 40


Waktu Kontrak ................................................................................... 43

BAB V PENUTUP ............................................................................................... 45

5.1 Kesimpulan ................................................................................................ 45

5.2 Saran .......................................................................................................... 45

REFERENSI ........................................................................................................ 46

LAMPIRAN ......................................................................................................... 47

xi

DAFTAR GAMBAR

Gambar 4.1. Grafik Premi Tahunan Konstan Asuransi Joint Life untuk Empat

Orang dengan Besar Benefit 1 Satuan ........................................... 27


Orang dengan Besar Benefit yang Berdeda untuk 𝑄 = Rp

10.000.000, 𝑅 = Rp 20.000.000, 𝑅2 = Rp 30.000.000 dan 𝑅3 =

Rp 40.000.000 ............................................................................... 30


Orang dengan Besar Benefit yang Berdeda untuk 𝑄 = Rp

40.000.000, 𝑅 = Rp 30.000.000, 𝑅2 = Rp 20.000.000 dan 𝑅3 =

Rp 10.000.000 ............................................................................... 31

Gambar 4.4. Grafik Cadangan Benefit jika 𝑤 Meninggal dan 𝑥, 𝑦, 𝑧 Hidup

untuk 𝑅𝑥𝑦𝑧 = 1 ............................................................................. 34

Gambar 4.5. Grafik Cadangan Benefit jika 𝑥 Meninggal dan 𝑤, 𝑦, 𝑧 Hidup

untuk 𝑅𝑤𝑦𝑧 = 1 ............................................................................ 34

Gambar 4.6. Grafik Cadangan Benefit jika 𝑦 Meninggal dan 𝑤, 𝑥, 𝑧 Hidup

untuk 𝑅𝑤𝑥𝑧 = 1 ............................................................................ 35

Gambar 4.7. Grafik Cadangan Benefit jika 𝑧 Meninggal dan 𝑤, 𝑥, 𝑦 Hidup

untuk 𝑅𝑤𝑥𝑦 = 1 ............................................................................ 35

Gambar 4. 8. Grafik Cadangan Benefit jika 𝑤, 𝑥 Meninggal dan 𝑦, 𝑧 Hidup

untuk 𝑅𝑦𝑧 = 1 ............................................................................... 37

Gambar 4.9. Grafik Cadangan Benefit jika 𝑤, 𝑦 Meninggal dan 𝑥, 𝑧 Hidup

untuk 𝑅𝑥𝑧 = 1 ............................................................................... 37

Gambar 4.10. Grafik Cadangan Benefit jika 𝑤, 𝑧 Meninggal dan 𝑥, 𝑦 Hidup

untuk 𝑅𝑥𝑦 = 1 ............................................................................... 38

Gambar 4.11. Grafik Cadangan Benefit jika 𝑥, 𝑦 Meninggal dan 𝑤, 𝑧 Hidup

untuk 𝑅𝑤𝑧 = 1 .............................................................................. 38

Gambar 4.12. Grafik Cadangan Benefit jika 𝑥, 𝑧 Meninggal dan 𝑤, 𝑦 Hidup

untuk 𝑅𝑤𝑦 = 1 .............................................................................. 39

Gambar 4.13. Grafik Cadangan Benefit jika 𝑦, 𝑧 Meninggal dan 𝑤, 𝑥 Hidup

untuk 𝑅𝑤𝑥 = 1 .............................................................................. 39

Gambar 4.14. Grafik Cadangan Benefit jika 𝑤, 𝑥, 𝑦 Meninggal dan 𝑧 Hidup

untuk 𝑅𝑧 = 1 ................................................................................. 41

Gambar 4.15. Grafik Cadangan Benefit jika 𝑤, 𝑥, 𝑧 Meninggal dan 𝑦 Hidup

untuk 𝑅𝑦 = 1 ................................................................................ 41

Gambar 4. 16 Grafik Cadangan Benefit jika 𝑤, 𝑦, 𝑧 Meninggal dan 𝑥 Hidup

untuk 𝑅𝑥 = 1 ................................................................................. 42

Gambar 4.17. Grafik Cadangan Benefit jika 𝑥, 𝑦, 𝑧 Meninggal dan 𝑤 Hidup

untuk 𝑅𝑤 = 1 ................................................................................ 42

Gambar 4.18. Grafik Cadangan Benefit Jika Semua Peserta Asuransi Tetap

Hidup Sampai Akhir Waktu Kontrak ............................................ 43

xii

DAFTAR TABEL

Tabel 4.1. Premi Tahunan Konstan Asuransi Joint Life untuk Empat Orang

dengan Besar Benefit 1 Satuan........................................................... 27

Tabel 4.2. Koefisien Pengali untuk Premi Tahunan Konstan Asuransi Joint Life

untuk Empat Orang ............................................................................ 28


dengan Besar Benefit yang Berdeda untuk 𝑄 = Rp 10.000.000, 𝑅 =

Rp 20.000.000, 𝑅2 = Rp 30.000.000 dan 𝑅3 = Rp 40.000.000 ........ 29


dengan Besar Benefit yang Berdeda untuk 𝑄 = Rp 40.000.000, 𝑅 =

Rp 30.000.000, 𝑅2 = Rp 20.000.000 dan 𝑅3 = Rp 10.000.000 ........ 31

Tabel 4.5. Cadangan Benefit jika 𝑤 Meninggal dan 𝑥, 𝑦, 𝑧 Hidup untuk

𝑅𝑥𝑦𝑧 = 1 ........................................................................................... 33

xiii

DAFTAR NOTASI

𝑎 (𝑡) : Fungsi akumulasi pada waktu ke-𝑡 tahun. 4

𝑣𝑡 : Faktor diskonto suku bunga pada waktu ke-t 𝑡 tahun. 4

𝑖 : Tingkat bunga tahunan. 4

𝑇(𝑥) : Sisa waktu hidup seseorang saat mengikuti produk

asuransi jiwa. 4

𝑞𝑡.

𝑥 : Peluang seseorang berusia 𝑥 akan meninggal mencapai

usia 𝑥 + 𝑡. 4

𝑝𝑡.

𝑥 : Peluang seseorang berusia 𝑥 akan bertahan hidup

mencapai usia 𝑥 + 𝑡. 4

|𝑞𝑡.

𝑥 : Peluang seseorang berusia 𝑥 dan hidup sampai 𝑡 tahun

akan meninggal antara usia 𝑥 + 𝑡 + 1. 4

��𝑥

: Nilai sekarang dari anuitas awal seumur hidup dengan

pembayaran di awal periode bagi seseorang berusia 𝑥

tahun.

5

|𝑛. ��𝑥

: Nilai sekarang dari anuitas awal jiwa seumur hidup

dengan pembayaran di awal periode bagi seseorang

berusia 𝑥 tahun dan ditunda selama 𝑛-tahun.

5

𝑝𝑡.

𝑥𝑦 : Peluang seseorang berusia 𝑥 dan 𝑦 akan bertahan hidup

berturut-turut mencapai usia 𝑥 + 𝑡 dan 𝑦 + 𝑡. 6

𝑝𝑡.

𝑥𝑦𝑧…….(𝑚) : Peluang seseorang berusia 𝑥, 𝑦, 𝑧, … sebanyak 𝑚 orang

dalam 𝑡 tahun kemudian semuanya hidup. 6

𝑞𝑡.

𝑥𝑦 : Peluang seseorang berusia 𝑥 dan 𝑦 meninggal berturut-

turut mencapai usia 𝑥 + 𝑡 dan 𝑦 + 𝑡. 6

𝑞𝑡.

𝑥𝑦𝑧 …….(𝑚) : Peluang seseorang berusia 𝑥, 𝑦, 𝑧, … sebanyak 𝑚 orang

dalam 𝑡 tahun meninggal semua. 6

��𝑥𝑦


pembayaran di awal periode bagi seseorang berusia 𝑥

dan 𝑦 tahun.

6

��𝑥𝑦𝑧……(𝑚)


pembayaran di awal periode bagi seseorang berusia 𝑥, 𝑦,

𝑧…. tahun sebanyak 𝑚 orang.

7

|𝑛. ��𝑥𝑦



berusia 𝑥 dan 𝑦 tahun dan ditunda selama 𝑛-tahun.

7

|𝑛. ��𝑥𝑦𝑧……(𝑚)


dengan pembayaran di awal periode bagi seseorang 7

xiv

berusia 𝑥,𝑦, 𝑧 … tahun sebanyak m orang dan ditunda

selama 𝑛-tahun.

��𝑥𝑦:𝑛| : Nilai sekarang dari anuitas awal berjangka 𝑛 tahun


berusia 𝑥 dan 𝑦 tahun.

7

��𝑥𝑦𝑧……(𝑚):𝑛| : Nilai sekarang dari anuitas awal berjangka 𝑛 tahun


berusia 𝑥,𝑦, 𝑧 … tahun sebanyak sebanyak 𝑚 orang. .

8

𝐴𝑥𝑦:��| 1

: Nilai sekarang aktuaria asuransi jiwa endowment murni

selama 𝑛 tahun seseorang berusia 𝑥 dan 𝑦 tahun. 8

𝐴𝑥𝑦𝑧……(𝑚):��| 1

: Nilai sekarang aktuaria asuransi jiwa endowment murni

selama 𝑛 tahun seseorang berusia 𝑥,𝑦, 𝑧 …. tahun

sebanyak 𝑚 orang.

8

(𝐼𝐴)1𝑥𝑦:��|

: Nilai sekarang aktuaria untuk asuransi jiwa berjangka

𝑛 tahun dengan manfaat meningkat bagi seseorang

berusia 𝑥 dan 𝑦 tahun.

8

(𝐼𝐴)1𝑥𝑦𝑧….(𝑚):��|

: Nilai sekarang aktuaria untuk asuransi jiwa berjangka

𝑛 tahun dengan manfaat meningkat bagi seseorang

berusia 𝑥, 𝑦, 𝑧 …. tahun sebanyak 𝑚 orang.

8

𝑙𝑥 : Banyaknya orang yang bertahan hidup berumur 𝑥 tahun. 9

𝑙𝑥𝑦 : Banyaknya orang yang bertahan hidup berumur 𝑥 tahun

dan 𝑦 tahun. 9

𝑃 : Premi tahunan konstan. 10

𝑉𝑡.

𝑥 : Cadangan benefit pada waktu ke-𝑡. 11

𝐴𝑥+𝑡 : Nilai sekarang aktuaria asuransi jiwa seumur hidup

seseorang berusia 𝑥 + 𝑡. 11

��𝑥+𝑡 : Nilai sekarang dari anuitas awal dengan pembayaran di

awal periode bagi seseorang berusia 𝑥 + 𝑡. 12

xv

ABSTRAK

Nindita Nadilia, Penentuan Premi Tahunan Konstan dan Cadangan Benefit untuk

Empat Orang dalam Asuransi Jiwa Gabungan. Di bawah bimbingan Dr. Nina

Fitriyati M.Kom dan Irma Fauziah, M.Sc.

Penelitian ini membahas mengenai penurunan rumus untuk menghitung

premi tahunan konstan dan cadangan benefit untuk asuransi gabungan yang terdiri

dari empat orang. Jenis asuransi yang digunakan adalah kombinasi antara asuransi

endowment murni, asuransi seumur hidup dan asuransi berjangka n-tahun.

Diasumsikan bahwa benefit ditetapkan di awal kontrak asuransi dan pembayaran

premi berhenti jika salah seorang dari keempat peserta meninggal dunia. Jika

seluruh peserta hidup sampai dengan akhir kontrak maka benefit dibayarkan secara

sekaligus, namun jika salah satu dari peserta telah meninggal dunia maka benefit

yang dibayarkan pada akhir tahun kontrak dalam bentuk anuitas seumur hidup.

Rumus yang diperoleh untuk menghitung cadangan benefit dibagi menjadi empat

kasus yaitu cadangan benefit jika satu orang meninggal dan tiga orang lainnya

hidup, cadangan benefit jika dua orang meninggal dan dua orang lainnya hidup,

cadangan benefit jika tiga orang meninggal dan satu orang lainnya hidup, dan

cadangan benefit jika semua peserta tetap hidup sampai akhir masa kontrak. Pada

akhir penelitian, disajikan simulasi perhitungan premi tahunan konstan untuk empat

peserta yang terdiri dari ayah (berusia 50 tahun), ibu (45 tahun), anak laki-laki (20

tahun), dan anak perempuan (15 tahun). Dari simulasi diperoleh bahwa semakin

lama kontrak asuransi maka premi yang dibayakan cenderung semakin kecil.

Perhitungan cadangan benefit tidak memiliki kecenderungan tertentu, namun pada

umumnya meningkat selama masa asuransi berlangsung (pembayaran premi masih

dilakukan) kemudian menurun setelahnya. Hal ini berlaku untuk seluruh kasus yang

telah dibahas pada perhitungan rumus cadangan premi.

Kata kunci: joint life, premi, cadangan benefit, metode prospektif.

xvi

ABSTRACT

Nindita Nadilia, Determination of Constant Annual Premiums and Benefit

Reserves for Four People in Joint Life Insurance. Supervised by Dr. Nina Fitriyati

M.Kom dan Irma Fauziah, M.Sc.

This research discusses about derivation of formula to calculate the constant

annual premiums and the benefit reserves for joint insurance consisting of four

people. We combine the pure endowment insurance, lifetime insurance and n-year

term insurance. Assumed that the benefits are set at the beginning of the insurance

contract, the benefit reserves are calculated using prospective method, and the

premium payment stops if one of those four participants dies. If all participants live

until the end of the contract, the benefits are paid at once but if one of the

participants dies, the benefits paid at the end of the contract in the form of a lifetime

annuity. The formula to calculate the benefit reserves is divided into four cases i.e.

the benefit reserves if one of four participants dies, the benefit reserves if two of

four participants die, the benefit reserves if three of four participants die, and the

benefit reserves if all participants are still alive until at the end of the contract. In

addition, we also present a simulation to calculate the constant annual premium for

four participants consist of fathers (50 years old), mothers (45 years old), boys (20

years old), and daughter (15 years old). From the simulation, we conclude that the

longer of insurance contract, the premium tends to be smaller. The benefit reserve

calculation does not have a certain tendency, however generally increases during

the insurance period (the premium is still paid) and then decreases thereafter. This

is valid for all cases above.

Keyword: joint life, premium, benefit reserve, prospective method.

1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Kehidupan manusia tidak lepas dari kejadian seperti kecelakaan, kerusakan

harta benda atau bahkan kematian. Dalam hidup berkeluarga risiko akibat kematian

dari salah satu anggota keluarga perlu dipersiapkan, apalagi jika kematian tersebut

terjadi pada tulang punggung keluarga yang mencari nafkah. Allah SWT berfirman

dalam Surat An-Nisa ayat 9:

ية ضعافا خافوا عليهم فليتقوا الل وليقولوا قول سديدا وليخ ش الذين لو تركوا من خلفهم ذر

Artinya: Dan hendaklah takut kepada Allah orang-orang yang seandainya

meninggalkan dibelakang mereka anak-anak yang lemah, yang mereka khawatir

terhadap (kesejahteraan) mereka. Oleh sebab itu hendaklah mereka bertakwa

kepada Allah dan hendaklah mereka mengucapkan perkataan yang benar.

Berdasarkan ayat tersebut dikatakan bahwa seseorang yang meninggal harus

memperhatikan kesejahteraan orang yang ditinggal. Oleh karena itu, untuk

mengurangi risiko dari suatu kejadian yang dialami sebuah keluarga salah satunya

dengan mengikuti asuransi. Menurut Dr. Sentosa Sembiring, fungsi asuransi tidak

lagi semata-mata sebagai lembaga proteksi atau memberikan perlindungan terhadap

objek asuransi, melainkan juga sebagai sarana investasi khususnya untuk asuransi

sejumlah uang [1]. Terdapat beberapa macam jenis asuransi salah satunya yaitu

asuransi jiwa.

Asuransi jiwa adalah asuransi yang menanggung risiko finansial akibat

kematian seseorang atau kehidupan seseorang yang terlalu lama. Kontrak asuransi

jiwa tidak hanya memberi proteksi kepada satu orang saja, tetapi juga bisa

menanggung dua orang atau lebih. Asuransi jiwa gabungan (joint life) adalah

asuransi yang menanggung dua jiwa atau lebih dimana manfaatnya dibayarkan jika

salah seorang tertanggung meninggal dunia [2].

Dalam mengikuti asuransi, peserta asuransi atau pihak yang tertanggung

diwajibkan membayar iuran atau yang biasa disebut premi sesuai dengan kontrak

2

asuransi (polis), dan perusahaan asuransi atau pihak yang menanggung juga harus

menyiapkan dana cadangan untuk membayar kewajiban yang akan datang.

Pada penelitian sebelumnya di tahun 2001, Andrejs Matvejevs dan Aleksandars

Matvejevs merumuskan premi tahunan konstan untuk asuransi joint life kasus dua

orang. Lalu penelitian tersebut dilanjutkan oleh Tri Yana Buana pada tahun 2015

dengan menambah jumlah peserta asuransi menjadi tiga orang dan pada Mei 2018

Ni Komang Sukanasih meneliti mengenai cadangan benefit asuransi joint life

menggunakan metode prospektif dengan suku bunga tetap dan berubah secara

stokastik. Berdasarkan latar belakang diatas, penulis akan membahas mengenai

rumusan premi tahunan dan cadangan benefit apabila peserta dalam kontrak

asuransi jiwa adalah keluarga yang terdiri dari empat orang dan penulis juga

melakukan simulasi perhitungan berdasarkan kontrak asuransi yang telah

ditentukan.

1.2 Rumusan Masalah

Rumusan masalah dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Bagaimana rumus premi tahunan konstan dan rumus cadangan benefit

asuransi gabungan untuk empat orang?

2. Berapa besar premi tahunan konstan yang harus dibayarkan oleh peserta

asuransi gabungan untuk empat orang?

3. Berapa cadangan benefit yang harus disiapkan oleh perusahaan asuransi

untuk asuransi gabungan empat orang?

1.3 Batasan Masalah

1. Penentuan besarnya premi tahunan pada asuransi gabungan dibatasi

empat orang yang terdiri dari pasangan suami istri dengan dua orang anak

(laki-laki dan perempuan).

2. Suku bunga yang digunakan adalah suku bunga konstan untuk setiap

tahun.

3

3. Untuk menentukan peluang kematian dan peluang hidup dalam

perhitungan premi tahunan konstan dan cadangan benefit menggunakan

Tabel Mortalita Indonesia 2011.

4. Probabilitas kematian anggota keluarga diasumsikan saling bebas.

5. Perhitungan premi tidak melibatkan biaya operasional perusahaan.

6. Jenis asuransi yang digunakan yaitu kombinasi antara asuransi

endowment murni, asuransi seumur hidup dan asuransi berjangka n-

tahun.

7. Benefit ditetapkan diawal.

8. Cadangan benefit dihitung perkasus.

1.4 Tujuan Penulisan

1. Memperoleh rumus premi tahunan konstan dan rumus cadangan benefit

asuransi gabungan untuk empat orang.

2. Menentukan besar premi tahunan konstan yang harus dibayarkan oleh

peserta asuransi jenis tersebut.

3. Menentukan cadangan benefit yang harus disiapkan oleh perusahaan

asuransi dengan produk asuransi jenis tersebut.

1.5 Manfaat Penulisan

1. Bagi penulis dapat bermanfaat untuk menambah wawasan dengan

mempelajari cara menentukan besar premi tahunan dan cadangan benefit

asuransi gabungan dan juga bermanfaat untuk memenuhi salah satu

syarat menyelesaikan pendidikan sarjana di Program Studi Matematika

Fakultas Sains dan Teknologi UIN Syarif Hidayatullah Jakarta.

2. Bagi pembaca dapat memperoleh informasi dan memprakirakan

besarnya premi jika ingin mengikuti sebuah asuransi. Bagi perusahan

asuransi semoga dapat bermanfaat sebagai salah satu referensi dalam

mempersiapkan cadangan benefit bagi peserta asuransi.

4

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Bunga Majemuk

Bunga majemuk didefinisikan sebagai suatu perhitungan bunga dimana besar

pokok jangka investasi selanjutnya adalah besar pokok sebelumnya ditambah

dengan besar bunga yang diperoleh. Bunga majemuk mengasumsikan bahwa bunga

yang diperoleh diinvestasikan kembali. Sehingga fungsi akumulasi bunga majemuk

pada akhir periode 𝑡 adalah 𝑎(𝑡) = (1 + 𝑖)𝑡, 𝑡 ≥ 0. Faktor Diskon (𝑣𝑡)

didefinisikan oleh [3]:

𝑎−1(𝑡) = 𝑣𝑡 =1

(𝑖+𝑖)𝑡 , 𝑡 ≥ 0 (2.1)

2.2 Peluang Kematian dan Peluang Hidup

Misalkan 𝑥 adalah usia seseorang saat mengikuti asuransi. Sisa hidup

seseorang berusia x dinotasikan dengan 𝑇(𝑥) = 𝑋 − 𝑥. Notasi ini dapat digunakan

dalam pernyataan berikut: peluang seseorang berusia 𝑥 akan meninggal dalam

waktu 𝑡 tahun dinotasikan dengan 𝑞𝑡.

𝑥 dan peluang seseorang berusia 𝑥 akan tetap

hidup mencapai umur 𝑥 + 𝑡 tahun dinotasikan dengan 𝑝𝑡.

𝑥 dapat ditulis dengan [4]:

𝑞𝑡.

𝑥 = Pr[𝑇(𝑥) ≤ 𝑡] , 𝑡 ≥ 0

𝑝𝑡.

𝑥 = Pr[𝑇(𝑥) > 𝑡] = 1 − 𝑞𝑡.

𝑥, 𝑡 ≥ 0 (2.2)

Selanjutnya, peluang seseorang berusia 𝑥 dan hidup sampai 𝑡 tahun akan

meninggal antara usia 𝑥 + 𝑡 + 1 dinotasikan dengan [4]:

|𝑞𝑡.

𝑥 = Pr[𝑡 < 𝑇(𝑥) ≤ 𝑡 + 1] = 𝑞𝑡+1.

𝑥 − 𝑞𝑡.

𝑥 = 𝑝𝑡.

𝑥 − 𝑝𝑡+1.

𝑥 (2.3)

2.3 Anuitas Jiwa

Anuitas jiwa atau life annuity adalah serangkaian pembayaran dalam interval

waktu (pembayaran bulanan, empat bulanan, tahunan) yang dilakukan seseorang

dan berlangsung selama orang tersebut masih hidup. Pembayaran anuitas dapat

dilakukan di awal interval (annuities- due) atau di akhir (annuities-immediate).

Besar pembayaran anuitas bisa tetap atau berubah-ubah [4].

5

2.4 Anuitas Jiwa Awal Seumur Hidup Diskrit

Nilai sekarang aktuaria dengan pembayaran sebesar 1 satuan di awal periode

bagi orang berusia x tahun selama umur hidupnya dinotasikan dengan [4]:

��𝑥 = ∑ 𝑣𝑘 𝑝𝑘.

𝑥

∞

𝑘=0

(2.4)

2.5 Anuitas Jiwa Seumur Hidup yang Ditunda 𝒏-Tahun


bagi orang berusia x tahun, dan ditunda selama 𝑛 tahun di notasikan dengan [4]:

|𝑛. ��𝑥 = ∑ 𝑣𝑘 𝑝𝑘

.𝑥

∞

𝑘=𝑛

(2.5)

2.6 Teori Multiple Life

Dalam teori multiple life melibatkan dua kehidupan atau lebih, misalkan

untuk dua kehidupan peluang gabungan dari distribusi (𝑇(𝑥), 𝑇(𝑦)) dibagi menjadi

dua, yaitu:

a. Status Joint Life

Status ini terjadi apabila terdapat kematian petama kali pada salah satu

peserta. Sehingga sisa waktu hidup (𝑇1) sampai status terjadi diberikan

oleh:

𝑇1 = min{𝑇(𝑥), 𝑇(𝑦) atau 𝑇(𝑥, 𝑦) = min{𝑇(𝑥), 𝑇(𝑦)}

Statusnya bertahan 𝑡 tahun dari sekarang jika 𝑇1 > 𝑡.

b. Status Last Survivor

Status ini terjadi apabila terdapat kematian sampai peserta terakhir

meninggal. Sehingga sisa waktu hidup (𝑇2) sampai status terjadi

diberikan oleh:

𝑇1 = max{𝑇(𝑥), 𝑇(𝑦) atau 𝑇(𝑥, 𝑦 ) = max {𝑇(𝑥), 𝑇(𝑦)}

Status ini terjadi dalam 𝑡 tahun berikutnya jika 𝑇2 ≤ 𝑡 (semua peserta

telah meninggal dalam 𝑡 tahun). Statusnya bertahan dalam 𝑡 tahun jika

𝑇2 > 𝑡 (kematian peserta terakhir belum terjadi saat t) [5].

6

2.7 Peluang Hidup Status Joint Life dan Peluang Meninggal Status Last

Survivor

Peluang usia 𝑥 dan 𝑦 berturut-turut mencapai umur 𝑥 + 𝑡 dan 𝑦 + 𝑡 tahun

dimana sisa waktu hidup 𝑥 dan 𝑦 saling bebas dinotasikan dengan [4]:

𝑝𝑡.

𝑥𝑦 = Pr{min[𝑇(𝑥), 𝑇(𝑦)] > 𝑡}

= 𝑃[𝑇(𝑥) > 𝑡, 𝑇(𝑦) > 𝑡]

= 𝑃[𝑇(𝑥) > 𝑡] 𝑃[𝑇(𝑦) > 𝑡]

= 𝑝𝑡.

𝑥 𝑝 𝑡.

𝑦 (2.6)

Sehingga, peluang hidup seseorang berusia 𝑥, 𝑦, 𝑧 …. sebanyak 𝑚 orang dalam t

tahun dinotasikan dengan [6]:

𝑝𝑡.

𝑥𝑦𝑧…….(𝑚) = 𝑝𝑡.

𝑥 𝑝 𝑡.

𝑦 𝑝𝑡.

𝑧 … …. (2.7)

Peluang usia 𝑥 dan 𝑦 meninggal dalam 𝑡 tahun dimana sisa waktu 𝑥 dan 𝑦

saling bebas dinotasikan dengan:

𝑞𝑡.

𝑥𝑦 = Pr{max[𝑇(𝑥), 𝑇(𝑦) ≤ 𝑡]}

= 𝑃[𝑇(𝑥) ≤ 𝑡] 𝑃[𝑇(𝑦) ≤ 𝑦]

= 𝑞𝑡.

𝑥 𝑞𝑡.

𝑦

= (1 − 𝑝𝑡.

𝑥)(1 − 𝑝𝑡.

𝑦) (2.8)

Sehingga, peluang usia 𝑥, 𝑦, 𝑧 …. sebanyak 𝑚 orang meninggal semua dalam t tahun

dinotasikan dengan [6]:

𝑞𝑡.

𝑥𝑦𝑧 …….(𝑚) = 𝑞𝑡.

𝑥 𝑞 𝑡.

𝑦 𝑞𝑡.

𝑧 … ….

= (1 − 𝑝𝑡.

𝑥)(1 − 𝑝𝑡.

𝑦)(1 − 𝑝𝑡.

𝑧) … …. (2.9)

2.8 Anuitas Jiwa Seumur Hidup Status Joint Life


bagi dua orang berusia 𝑥 dan 𝑦 tahun selama umur hidupnya dinotasikan dengan

[4]:

��𝑥𝑦 = ∑ 𝑣𝑘 𝑝𝑘.

𝑥𝑦

∞

𝑘=0

(2.10)

7


bagi tiga orang atau lebih berusia 𝑥, 𝑦, 𝑧 … … (𝑚) tahun selama umur hidupnya


��𝑥𝑦𝑧……(𝑚) = ∑ 𝑣𝑘 𝑝𝑘.

𝑥𝑦𝑧……(𝑚)

∞

𝑘=0

(2.11)

2.9 Anuitas Jiwa Seumur Hidup Ditunda 𝒏-Tahun Status Joint Life


bagi dua orang berusia 𝑥 dan 𝑦 tahun, dan ditunda selama 𝑛 tahun di notasikan

dengan [4]:

|𝑛. ��𝑥𝑦 = ∑ 𝑣𝑘 𝑝𝑘

.𝑥𝑦

∞

𝑘=𝑛

(2.12)


bagi tiga orang atau lebih berusia 𝑥𝑦𝑧 … … (𝑚) tahun, dan ditunda selama 𝑛 tahun

di notasikan dengan [6]:

|𝑛. ��𝑥𝑦𝑧……(𝑚) = ∑ 𝑣𝑘 𝑝𝑘

.𝑥𝑦𝑧……(𝑚)

∞

𝑘=𝑛

(2.13)

2.10 Anuitas Jiwa Berjangka 𝒏-Tahun Status Joint Life


bagi dua orang berusia 𝑥 dan 𝑦 tahun selama 𝑛-tahun dinotasikan dengan [4]:

��𝑥𝑦:𝑛| = ∑ 𝑣𝑘 𝑝𝑘.

𝑥𝑦

𝑛−1

𝑘=0

(2.14)

Nilai sekarang aktuaria dengan pembayaran sebesar 1 satuan di awal

periode bagi tiga orang atau lebih berusia 𝑥𝑦𝑧 … … (𝑚) tahun selama 𝑛-tahun


8

��𝑥𝑦𝑧……(𝑚):𝑛| = ∑ 𝑣𝑘 𝑝𝑘.

𝑥𝑦……(𝑚)

𝑛−1

𝑘=0

(2.15)

2.11 Asuransi Endowment Murni Berjangka 𝒏-Tahun Status Joint Life

Nilai sekarang aktuaria dari endowment murni berjangka 𝑛-tahun dengan

status joint life yang dibayarkan apabila peserta asuransi 𝑥 dan 𝑦 masih hidup

sampai kontrak asuransi berakhir dirumuskan dengan [4]:

𝐴𝑥𝑦:��| 1 = 𝑣𝑛 𝑝𝑛

.𝑥𝑦

Nilai sekarang aktuaria dari endowment murni berjangka 𝑛-tahun dengan

status joint life yang dibayarkan apabila peserta asuransi berusia 𝑥, 𝑦, 𝑧 …. sebanyak

𝑚 orang masih hidup sampai kontrak asuransi berakhir dapat dirumuskan dengan

[6]:

𝐴𝑥𝑦𝑧……(𝑚):��| 1 = 𝑣𝑛 𝑝𝑛

.𝑥𝑦𝑧……(𝑚) (2.16)

2.12 Asuransi Jiwa Berjangka 𝒏-Tahun Dengan Benefit Meningkat Pada

Status Joint Life

Nilai sekarang aktuaria dari asuransi jiwa berjangka 𝑛-tahun dengan benefit

yang meningkat sebanyak 1 satuan setiap tahun pada status joint life peserta yang

usia 𝑥, 𝑦 dapat dinotasikan dengan [4]:

(𝐼𝐴)1𝑥𝑦:��|

= ∑(𝑘 + 1)

𝑛−1

𝑘=0

𝑣𝑘+1( 𝑝𝑘.

𝑥𝑦 − 𝑝𝑘+1.

𝑥𝑦)

Nilai sekarang aktuaria dari asuransi jiwa berjangka 𝑛-tahun dengan benefit

yang meningkat sebanyak 1 satuan setiap tahun pada status joint life peserta yang

berusia 𝑥, 𝑦, 𝑧 …. sebanyak 𝑚 orang dapat dinotasikan dengan [6]:

(𝐼𝐴)1𝑥𝑦𝑧….(𝑚):��|

= ∑ (𝑘 + 1)𝑛−1

𝑘=0 𝑣𝑘+1( 𝑝𝑘.

𝑥𝑦𝑧……(𝑚) − 𝑝𝑘+1.

𝑥𝑦𝑧……(𝑚)) (2.17)

2.13 Tabel Mortalita

Hasil obsevasi tingkat kematian berdasarkan kelompok umur sering disebut

sebagai tabel mortalita. Fungsi dasar dalam tabel mortalita diantaranya

𝑙𝑥, 𝑑𝑥, 𝑞𝑥 dan 𝑝𝑥. Dalam tabel mortalita banyaknya orang yang berhasil hidup tepat

9

pada usia 𝑥 tahun dinotasikan dengan 𝑙𝑥. Banyaknya orang yang meninggal antara

usia 𝑥 sampai 𝑥 + 1 tahun dinotasikan dengan 𝑑𝑥. Peluang individu berusia 𝑥 tahun

meninggal dalam kurun waktu 1 tahun dinotasikan dengan 𝑞𝑥 dan peluang individu

berusia 𝑥 tahun hidup dalam kurun waktu 1 tahun dinotasikan dengan 𝑝𝑥. Hubungan

fungsi dasar tabel mortalita antara lain sebagai berikut:

𝑝𝑥 =𝑙𝑥+1

𝑙𝑥

𝑞𝑥 =𝑙𝑥 − 𝑙𝑥+1

𝑙𝑥

𝑝𝑥 = 1 − 𝑞𝑥

Tabel mortalita joint life merupakan tabel tingkat kematian gabungan antara

dua orang atau lebih. Misalkan fungsi gabungan untuk menyatakan banyaknya

orang berusia 𝑥 tahun yang masih hidup dikalikan dengan banyaknya orang yang

berumur 𝑦 tahun masih hidup dinotasikan dengan:

𝑙𝑥𝑦 = 𝑙𝑥 𝑙𝑦

Peluang orang berusia 𝑥 dan 𝑦 tahun akan tetap hidup berturut-turut selama

𝑥 + 𝑡 dan 𝑦 + 𝑡 tahun dinotasikan dengan:

𝑝𝑡.

𝑥𝑦 = 𝑝𝑡.

𝑥 𝑝𝑡.

𝑦 =𝑙𝑥+𝑡

𝑙𝑥 𝑙𝑦+𝑡

𝑙𝑦=

𝑙𝑥𝑦+𝑡

𝑙𝑥𝑦 (2.18)

Peluang salah satu di antara orang berusia 𝑥 dan 𝑦 tahun akan meninggal

berturut-turut dalam jangka waktu 𝑥 + 𝑡 dan 𝑦 + 𝑡 tahun dinotasikan dengan [6]:

𝑞𝑡.

𝑥𝑦 = 1 − 𝑝𝑡.

𝑥𝑦 = 1 − (𝑙𝑥𝑦+𝑡

𝑙𝑥𝑦) =

𝑙𝑥𝑦−𝑙𝑥𝑦+𝑡

𝑙𝑥𝑦 (2.19)

2.14 Premi Tahunan Konstan

Premi tahunan konstan adalah besar premi dengan pembayaran tetap dari

awal dimulainya asuransi sampai akhir kontrak asuransi. Di bawah prinsip

ekivalensi/kesetaraan, premi bersih ditetapkan sedemikian sehingga nilai

ekspektasi dari kerugian di masa depan adalah nol pada awal kontrak, artinya [7]:

𝐸(𝐿) = 0

atau dapat ditulis dengan,

𝐸 [𝑃𝑉 𝑏𝑒𝑛𝑒𝑓𝑖𝑡 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑘𝑒𝑙𝑢𝑎𝑟 − 𝑃𝑉 𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑚𝑎𝑠𝑢𝑘] = 0

10

dibawah prinsip kesetaraan berlaku,

𝐸𝑃𝑉 𝐵𝑒𝑛𝑒𝑓𝑖𝑡 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑘𝑒𝑙𝑢𝑎𝑟 = 𝐸𝑃𝑉 𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑚𝑎𝑠𝑢𝑘.

dimana,

𝑃𝑉: Present Value / Nilai Sekarang

Prinsip ini berlaku pada saat polis asuransi dikeluarkan. Prinsip dasar ini

adalah suatu pedoman yang sehat dan adil. Tidak merugikan juga menguntungkan

tertanggung atau perusahaan asuransi [8].

Sehubungan dengan kontrak asuransi joint life yang melibatkan seseorang

berumur 𝑥 dan 𝑦, dengan rincian kontrak sebagai berikut [9]:

1. Apabila peserta asuransi dengan usia 𝑥 dan 𝑦 masih hidup pada akhir

kontrak asuransi akan mendapat benefit sebesar Q dan kontrak asuransi

berakhir.

2. Apabila salah satu peserta asuransi meninggal misalkan 𝑥 atau

𝑦 meninggal selama masa kontrak asuransi, maka premi selanjutnya tidak

perlu dibayar dan peserta asuransi yang hidup akan mendapat benefit

sebesar 𝑅𝑥 atau 𝑅𝑦 pada akhir kontrak selama seumur hidup.

3. Apabila semua peserta meninggal sebelum masa kontrak asuransi, maka

ahli waris akan mendapatkan uang pertanggungan sejumlah premi yang

telah dibayarkan dan kontrak berakhir.

Sehingga, nilai tunai premi yang masuk dan nilai benefit yang keluar dapat

dirumuskan dengan:

1. Nilai tunai pendapatan premi tahunan konstan yang akan datang

dinyatakan dengan:

𝑃(1 + 𝑣 ∙ 𝑝𝑥𝑦 + 𝑣2 ∙ 2 𝑝𝑥𝑦+…+ 𝑣𝑛−1 ∙ 𝑛−1 𝑝𝑥𝑦) = 𝑃(��𝑥𝑦:𝑛| )

2. Nilai tunai benefit yang akan datang dinyatakan dengan:

𝑄 ∙ 𝐴𝑥𝑦:𝑛| 1 + 𝑅𝑥 ∙ 𝑛 |��𝑥 ∙ 𝑛𝑞𝑦 + 𝑅𝑦 ∙ 𝑛 |��𝑦 ∙ 𝑛𝑞𝑥 + 𝑃(𝐼𝐴)1

𝑥𝑦:��|

3. Dengan menggunakan prinsip ekivalensi, besarnya premi adalah

𝑃(��𝑥𝑦:𝑛| ) = 𝑄 ∙ 𝐴𝑥𝑦:𝑛| 1 + 𝑅𝑥 ∙ 𝑛 |��𝑥 ∙ 𝑛𝑞𝑦 + 𝑅𝑦 ∙ 𝑛 |��𝑦 ∙ 𝑛𝑞𝑥 + 𝑃(𝐼𝐴)1

𝑥𝑦:��|

Maka, besar premi tahunan konstan asuransi joint life untuk peserta asuransi

dengan umur 𝑥 dan 𝑦 dirumuskan dengan:

11

𝑃 =𝑄∙𝐴𝑥𝑦:𝑛|

1 +𝑅𝑥∙𝑛|��𝑥 ∙ 𝑛𝑞𝑦+𝑅𝑦∙𝑛|��𝑦 ∙ 𝑛𝑞𝑥

��𝑥𝑦:𝑛| −(𝐼𝐴)1𝑥𝑦:��| (2.20)

Jumlah peserta asuransi gabungan menentukan besar kecil premi yang dibayarkan,

semakin banyak jumlah peserta asuransi yang tergabung dalam satu polis asuransi

maka semakin besar juga premi yang dibayar [10].

2.15 Cadangan benefit

Cadangan benefit adalah dana yang dicadangkan untuk membayar kewajiban

yang akan datang suatu perusahaan asuransi. Cara perhitungan cadangan benefit

ada 2 macam, dengan berdasarkan waktu yang telah lalu (retrospektif) dan

berdasarkan waktu yang akan datang (prospektif). Cadangan prospektif adalah

besar cadangan yang berorientasi pada pengeluaran di waktu yang akan datang atau

dengan pengertian lain yaitu perhitungan cadangan dengan berdasarkan nilai

sekarang dari semua pengeluaran di waktu yang akan datang dikurangi dengan nilai

sekarang total pendapatan di waktu yang akan datang untuk setiap pemegang polis

[11].

Misalkan suatu asuransi seumur hidup dengan pertanggungan sebesar 1

satuan dengan premi sebesar 𝑃 didefinisikan dengan:

𝑉𝑡. = 𝐴𝑥+𝑡 − 𝑃��𝑥+𝑡

berdasarkan rincian kontrak sebelumnya, maka cadangan benefit dengan

menggunakan metode perhitungan prospektif dari persamaan di atas dimodifikasi

dengan kasus sebagai berikut [12]:

1. Kasus pertama, cadangan apabila 𝑥 hidup dan 𝑦 meninggal pada tahun ke-𝑡

untuk t ≤ 𝑛, dengan 𝑛 lama kontrak asuransi maka:

𝑉𝑡. = 𝑅𝑥 × |��𝑥+𝑡𝑛−𝑡

. (2.21)

2. Kasus kedua, cadangan apabila 𝑦 hidup dan 𝑥 meninggal pada tahun ke-𝑡 untuk

t ≤ 𝑛, dengan 𝑛 lama kontrak asuransi maka:

𝑉𝑡. = 𝑅𝑦 × |��𝑦+𝑡𝑛−𝑡

. (2.22)

3. Kasus ketiga, cadangan apabila 𝑥 dan 𝑦 hidup pada akhir tahun ke-𝑡 dengan 𝑛

lama kontrak asuransi maka:

12

Vt. = {

𝑄 ∙ 𝐴𝑥+𝑡,𝑦+𝑡:𝑛−𝑡| 1 − 𝑃 ∙ ��𝑥+𝑡,𝑦+𝑡:𝑛−𝑡| , 𝑡 < 𝑛

1 , 𝑡 = 𝑛 (2.23)

4. Kasus keempat, cadangan apabila 𝑥 hidup dan 𝑦 meninggal pada tahun ke-𝑡 +

1 untuk t > 𝑛, dengan 𝑛 lama kontrak asuransi dimana sudah tidak ada

pembayaran premi maka:

𝑉𝑡. = 𝑅𝑥 × ��𝑥+𝑡 (2.24)

5. Kasus kelima, cadangan apabila 𝑦 hidup dan 𝑥 meninggal pada tahun ke-𝑡 +

1 untuk t > 𝑛, dengan 𝑛 lama kontrak asuransi dimana sudah tidak ada

pembayaran premi maka:

𝑉𝑡. = 𝑅𝑦 × ��𝑦+𝑡 (2.25)

13

BAB III

ASURANSI JIWA GABUNGAN UNTUK EMPAT ORANG

Dalam sebuah asuransi, perusahaan asurasi dan peserta asuransi memiliki

kontrak asuransi yang saling disepakati. Kontrak tersebut mencakup pernyataan

bahwa peserta asuransi harus melakukan rangkaian pembayaran premi dan

perusahaan asuransi akan membayar sejumlah uang pertanggungan. Besarnya

premi ditentukan dengan memenuhi prinsip kesetaraan seperti persamaan berikut:

𝐸(𝐿) = 0,

dengan 𝐿 menyatakan besarnya kerugian pihak penanggung.

3.1 Rumus Premi Tahunan Konstan

Kontrak asuransi joint life ini melibatkan pasangan suami, istri dan dua anak

(laki-laki dan perempuan) dengan usia berturut-turut 𝑤, 𝑥, 𝑦 dan 𝑧 tahun. Premi

asuransi dibayarkan selama 𝑛 tahun, selama semua peserta asuransi masih hidup.

Rincian kontrak dari uang pertanggungan sebagai berikut:

1. Apabila semua peserta asuransi masih hidup sampai kontrak asuransi

berakhir atau mencapai umur 𝑤 + 𝑛, 𝑥 + 𝑛, 𝑦 + 𝑛 dan 𝑧 + 𝑛 tahun, maka

peserta mendapatkan uang pertanggungan sebesar 𝑄 di akhir masa kontrak

asuransi dan kontrak asuransi berakhir.

2. Apabila salah satu orang dari peserta meninggal dunia sebelum masa

kontrak berakhir dan peserta lainnya tetap hidup sampai waktu kontrak,

misalnya 𝑤 meninggal sebelum masa kontrak, maka pembayaran premi

dihentikan dan apabila 𝑥, 𝑦, dan 𝑧 tetap hidup hingga masa kontrak asuransi

berakhir maka pada tahun ke-𝑛 akan mendapatkan benefit sebesar 𝑅𝑥𝑦𝑧

seumur hidupnya. Begitu pula jika 𝑥 meninggal akan mendapatkan benefit

sebesar 𝑅𝑤𝑦𝑧, apabila 𝑦 meninggal akan mendapatkan benefit sebesar 𝑅𝑤𝑥𝑧

dan jika 𝑧 meninggal sebelum akhir kontrak maka akan mendapatkan

benefit sebesar 𝑅𝑤𝑥𝑦.

14

3. Apabila dua orang dari peserta meninggal dunia sebelum masa kontrak

berakhir dan peserta lainnya tetap hidup sampai waktu kontrak berakhir,

misalnya 𝑤 dan 𝑥 meninggal sebelum masa kontrak dan apabila 𝑦 dan 𝑧

tetap hidup hingga masa kontrak asuransi berakhir, maka pada tahun ke-𝑛

akan mendapatkan benefit sebesar 𝑅𝑦𝑧 seumur hidupnya. Begitu pula jika

𝑤 dan 𝑦 meninggal akan mendapatkan benefit sebesar 𝑅𝑥𝑧, apabila 𝑤 dan 𝑧

meninggal akan mendapatkan benefit sebesar 𝑅𝑥𝑦, apabila 𝑥 dan 𝑦

meninggal akan mendapatkan benefit sebesar 𝑅𝑤𝑧, apabila 𝑥 dan 𝑧

meninggal akan mendapatkan benefit sebesar 𝑅𝑤𝑦 dan jika 𝑦 dan 𝑧

meninggal sebelum akhir kontrak maka akan mendapatkan benefit sebesar

𝑅𝑤𝑥.

4. Apabila tiga orang dari peserta meninggal dunia sebelum masa kontrak

berakhir dan peserta lainnya tetap hidup sampai waktu kontrak berakhir,

misalnya 𝑤, 𝑥 dan 𝑦 meninggal sebelum masa kontrak dan apabila 𝑧 tetap

hidup hingga masa kontrak asuransi berakhir maka pada tahun ke-n akan

mendapatkan benefit sebesar 𝑅𝑧 seumur hidupnya. Begitu pula jika 𝑤, 𝑥

dan 𝑧 meninggal akan mendapatkan benefit sebesar 𝑅𝑦, apabila 𝑤, 𝑦 dan 𝑧

meninggal akan mendapatkan benefit sebesar 𝑅𝑥 dan jika 𝑥, 𝑦 dan 𝑧

meninggal sebelum akhir kontrak maka akan mendapatkan benefit sebesar

𝑅𝑤.

5. Apabila semua peserta asuransi meninggal sebelum kontrak asuransi

selesai, maka ahli waris akan mendapatkan benefit sejumlah premi yang

telah dibayarkan pada akhir tahun kematian terakhir dari peserta asuransi

dan kontrak asuransi berakhir.

Berdasarkan kontrak asuransi tersebut nilai tunai dari pendapatan premi dan

nilai benefit yang dibayarkan oleh pihak penanggung dirumuskan sebagai berikut:

1. Nilai tunai dari pendapatan premi tahunan empat orang pada joint life

dinyatakan sebagai berikut:

𝑃(1 + 𝑣 ∙ 𝑝𝑤𝑥𝑦𝑧 + 𝑣2 ∙ 2 𝑝𝑤𝑥𝑦𝑧+…+ 𝑣𝑛−1 ∙ 𝑛−1 𝑝𝑤𝑥𝑦𝑧) = 𝑃(��𝑤𝑥𝑦𝑧:𝑛| ) (3.1)

16

Dengan menggunakan prinsip ekuivalensi, besar premi tahunan sebagai berikut:

𝑃(��𝑤𝑥𝑦𝑧:𝑛| )= 𝑄 ∙ 𝐴𝑤𝑥𝑦𝑧:�� 1 + 𝑅𝑥𝑦𝑧 ∙𝑛 |��𝑥𝑦𝑧 ∙ 𝑛𝑞𝑤 + 𝑅𝑤𝑦𝑧 ∙𝑛 |��𝑤𝑦𝑧 ∙ 𝑛𝑞𝑥 +

𝑅𝑤𝑥𝑧 ∙ 𝑛 |��𝑤𝑥𝑧 ∙ 𝑛𝑞𝑦 + 𝑅𝑤𝑥𝑦 ∙ 𝑛 |��𝑤𝑥𝑦 ∙ 𝑛𝑞𝑧 +

𝑅𝑦𝑧 ∙ 𝑛 |��𝑦𝑧 ∙ 𝑛𝑞𝑤𝑥 + 𝑅𝑥𝑧 ∙ 𝑛 |��𝑥𝑧 ∙ 𝑛𝑞𝑤𝑦 + 𝑅𝑥𝑦 ∙ 𝑛 |��𝑥𝑦 ∙

𝑛𝑞𝑤𝑧 + 𝑅𝑤𝑧 ∙ 𝑛 |��𝑤𝑧 ∙ 𝑛𝑞𝑥𝑦 + 𝑅𝑤𝑦 ∙ 𝑛 |��𝑤𝑦 ∙ 𝑛𝑞𝑥𝑧 +

𝑅𝑤𝑥 ∙ 𝑛 |��𝑤𝑥 ∙ 𝑛𝑞𝑦𝑧 + 𝑅𝑧 ∙ 𝑛 |��𝑧 ∙ 𝑛𝑞𝑤𝑥𝑦 + 𝑅𝑦 ∙ 𝑛 |��𝑦 ∙

𝑛𝑞𝑤𝑥𝑧 + 𝑅𝑥 ∙ 𝑛 |��𝑥 ∙ 𝑛𝑞𝑤𝑦𝑧 + 𝑅𝑤 ∙ 𝑛 |��𝑤 ∙ 𝑛𝑞𝑥𝑦𝑧 +

𝑃(𝐼𝐴)1𝑤𝑥𝑦𝑧:��|

(3.5)

Sehingga besarnya premi tahunan asuransi joint life untuk empat orang yang harus

dibayarkan oleh peserta asuransi dinyatakan dengan rumus sebagai berikut:

𝑃 =1

��𝑤𝑥𝑦𝑧:𝑛| −(𝐼𝐴)1𝑤𝑥𝑦𝑧:��| (𝑄 ∙ 𝐴𝑤𝑥𝑦𝑧:��

1 + 𝑅𝑥𝑦𝑧 ∙𝑛 |��𝑥𝑦𝑧 ∙ 𝑛𝑞𝑤 +

𝑅𝑤𝑦𝑧 ∙𝑛 |��𝑤𝑦𝑧 ∙ 𝑛𝑞𝑥 + 𝑅𝑤𝑥𝑧 ∙ 𝑛 |��𝑤𝑥𝑧 ∙ 𝑛𝑞𝑦 + 𝑅𝑤𝑥𝑦 ∙ 𝑛 |��𝑤𝑥𝑦 ∙ 𝑛𝑞𝑧 +

𝑅𝑦𝑧 ∙ 𝑛 |��𝑦𝑧 ∙ 𝑛𝑞𝑤𝑥 + 𝑅𝑥𝑧 ∙ 𝑛 |��𝑥𝑧 ∙ 𝑛𝑞𝑤𝑦 + 𝑅𝑥𝑦 ∙ 𝑛 |��𝑥𝑦 ∙ 𝑛𝑞𝑤𝑧 +

𝑅𝑤𝑧 ∙ 𝑛 |��𝑤𝑧 ∙ 𝑛𝑞𝑥𝑦 + 𝑅𝑤𝑦 ∙ 𝑛 |��𝑤𝑦 ∙ 𝑛𝑞𝑥𝑧 + 𝑅𝑤𝑥 ∙ 𝑛 |��𝑤𝑥 ∙ 𝑛𝑞𝑦𝑧 +

𝑅𝑧 ∙ 𝑛 |��𝑧 ∙ 𝑛𝑞𝑤𝑥𝑦 + 𝑅𝑦 ∙ 𝑛 |��𝑦 ∙ 𝑛𝑞𝑤𝑥𝑧 + 𝑅𝑥 ∙ 𝑛 |��𝑥 ∙ 𝑛𝑞𝑤𝑦𝑧 +

𝑅𝑤 ∙ 𝑛 |��𝑤 ∙ 𝑛𝑞𝑥𝑦𝑧 ) (3.6)

3.2 Rumus Cadangan Benefit Asuransi Joint Life Untuk Empat Orang

Cadangan benefit berguna agar perusahaan asuransi dapat mengetahui bahwa

dana yang didapatkan di awal bukan sebuah keuntungan yang didapat melainkan

kewajiban untuk membayar benefit yang ditunda.

Penelitian ini akan menentukan rumus cadangan benefit berdasarkan kontrak

asuransi yang telah disebutkan sebelumnya. Hasil modifikasi rumus cadangan

benefit asuransi joint life dengan metode prospektif dibedakan menjadi beberapa

kasus sebagai berikut:

17

3.3.1 Cadangan Benefit Jika Satu Orang Meninggal dan Tiga Orang

Lainnya Hidup

1. Cadangan benefit apabila 𝑤 meninggal dan 𝑥, 𝑦, 𝑧 hidup pada tahun ke 𝑡,

untuk 𝑡 ≤ 𝑛 dengan 𝑛 lama kontrak asuransi, maka dari persamaan tersebut

diperoleh:

𝑉 = 𝑅𝑥𝑦𝑧 × 𝑛−𝑡|��𝑥+𝑡,𝑦+𝑡,𝑧+𝑡 𝑡𝑞

(3.7)

dengan 𝑅𝑥𝑦𝑧 adalah benefit yang diberikan kepada 𝑥, 𝑦, dan 𝑧 sedangkan

𝑛−𝑡|��𝑥+𝑡,𝑦+𝑡,𝑧+𝑡 merupakan anuitas peserta berusia 𝑥 + 𝑡, 𝑦 + 𝑡, dan 𝑧 + 𝑡

dimulai dari periode 𝑛 − 𝑡.

Berbeda dengan waktu ke 𝑡 pada waktu 𝑡 + 1 sudah tidak ada pembayaran

premi lagi, sehingga diperoleh rumusan untuk cadangan benefit apabila

𝑤 meninggal dan 𝑥, 𝑦, 𝑧 hidup pada tahun ke 𝑡 + 1 untuk 𝑡 > 𝑛, maka dari

persamaan tersebut diperoleh:

𝑉 = 𝑅𝑥𝑦𝑧 × ��𝑥+𝑡,𝑦+𝑡,𝑧+𝑡 𝑡. (3.8)

dengan 𝑅𝑥𝑦𝑧 adalah benefit yang diberikan kepada 𝑥, 𝑦, dan 𝑧 sedangkan

��𝑥+𝑡,𝑦+𝑡,𝑧+𝑡 merupakan anuitas awal seumur hidup peserta yang mencapai

usia 𝑥 + 𝑡, 𝑦 + 𝑡, dan 𝑧 + 𝑡 tahun.

2. Cadangan benefit apabila 𝑥 meninggal dan 𝑤, 𝑦, 𝑧 hidup pada tahun ke 𝑡,


diperoleh:

𝑉 = 𝑅𝑤𝑦𝑧 × 𝑛−𝑡|��𝑤+𝑡,𝑦+𝑡,𝑧+𝑡 𝑡𝑞

(3.9)

dengan 𝑅𝑤𝑦𝑧 adalah benefit yang diberikan kepada 𝑤, 𝑦, dan 𝑧 sedangkan

𝑛−𝑡|��𝑤+𝑡,𝑦+𝑡,𝑧+𝑡 merupakan anuitas peserta berusia 𝑤 + 𝑡, 𝑦 + 𝑡, dan 𝑧 + 𝑡



premi lagi, sehingga diperoleh rumusan untuk cadangan benefit apabila 𝑥

18

meninggal dan 𝑤, 𝑦, 𝑧 hidup pada tahun ke 𝑡 + 1 untuk 𝑡 > 𝑛, maka dari


𝑉 = 𝑅𝑤𝑦𝑧 × ��𝑤+𝑡,𝑦+𝑡,𝑧+𝑡 𝑡𝑞

(3.10)

dengan 𝑅𝑤𝑦𝑧 adalah benefit yang diberikan kepada 𝑤, 𝑦, dan 𝑧 sedangkan

��𝑤+𝑡,𝑦+𝑡,𝑧+𝑡 merupakan anuitas awal seumur hidup peserta yang mencapai

usia 𝑤 + 𝑡, 𝑦 + 𝑡, dan 𝑧 + 𝑡 tahun.

3. Cadangan benefit apabila 𝑦 meninggal dan 𝑤, 𝑥, 𝑧 hidup pada tahun ke 𝑡,


diperoleh:

𝑉 = 𝑅𝑤𝑥𝑧 × 𝑛−𝑡|��𝑤+𝑡,𝑥+𝑡,𝑧+𝑡 𝑡𝑞

(3.11)

dengan 𝑅𝑤𝑥𝑧 adalah benefit yang diberikan kepada 𝑤, 𝑥, dan 𝑧 sedangkan

𝑛−𝑡|��𝑤+𝑡,𝑥+𝑡,𝑧+𝑡 merupakan anuitas peserta berusia 𝑤 + 𝑡, 𝑥 + 𝑡, dan 𝑧 + 𝑡




𝑦 meninggal dan 𝑤, 𝑥, 𝑧 hidup pada tahun ke 𝑡 + 1 untuk 𝑡 > 𝑛, maka dari


𝑉 = 𝑅𝑤𝑥𝑧 × ��𝑤+𝑡,𝑥+𝑡,𝑧+𝑡 𝑡𝑞

(3.12)

dengan 𝑅𝑤𝑥𝑧 adalah benefit yang diberikan kepada 𝑤, 𝑥, dan 𝑧 sedangkan

��𝑤+𝑡,𝑥+𝑡,𝑧+𝑡 merupakan anuitas awal seumur hidup peserta yang mencapai

usia 𝑤 + 𝑡, 𝑥 + 𝑡, dan 𝑧 + 𝑡 tahun.

4. Cadangan benefit apabila 𝑧 meninggal dan 𝑤, 𝑥, 𝑦 hidup pada tahun ke 𝑡,


diperoleh:

𝑉 = 𝑅𝑤𝑥𝑦 × 𝑛−𝑡|��𝑤+𝑡,𝑥+𝑡,𝑦+𝑡 𝑡𝑞

(3.13)

19

dengan 𝑅𝑤𝑥𝑦 adalah benefit yang diberikan kepada 𝑤, 𝑥, dan 𝑦 sedangkan

𝑛−𝑡|��𝑤+𝑡,𝑥+𝑡,𝑦+𝑡 merupakan anuitas peserta berusia 𝑤 + 𝑡, 𝑥 + 𝑡, dan 𝑦 + 𝑡




𝑧 meninggal dan 𝑤, 𝑥, 𝑦 hidup pada tahun ke 𝑡 + 1 untuk 𝑡 > 𝑛, maka dari


𝑉 = 𝑅𝑤𝑥𝑦 × ��𝑤+𝑡,𝑥+𝑡,𝑦+𝑡 𝑡𝑞

(3.14)

dengan 𝑅𝑤𝑥𝑦 adalah benefit yang diberikan kepada 𝑤, 𝑥, dan 𝑦 sedangkan

��𝑤+𝑡,𝑥+𝑡,𝑦+𝑡 merupakan anuitas awal seumur hidup peserta yang mencapai

usia 𝑤 + 𝑡, 𝑥 + 𝑡, dan 𝑦 + 𝑡 tahun.

3.3.2 Cadangan Benefit Jika Dua Orang Meninggal dan Dua Orang Lainnya

Hidup

1. Cadangan benefit apabila 𝑤, 𝑥 meninggal dan 𝑦, 𝑧 hidup pada tahun ke 𝑡,

untuk 𝑡 ≤ 𝑛 dengan 𝑛 lama kontrak asuransi, maka dari persamaan

tersebut diperoleh:

𝑉 = 𝑅𝑦𝑧 × 𝑛−𝑡|��𝑦+𝑡,𝑧+𝑡 𝑡𝑞

(3.15)

dengan 𝑅𝑦𝑧 adalah benefit yang diberikan kepada 𝑦 dan 𝑧 sedangkan

𝑛−𝑡|��𝑦+𝑡,𝑧+𝑡 merupakan anuitas peserta berusia 𝑦 + 𝑡, dan 𝑧 + 𝑡


Berbeda dengan waktu ke 𝑡 pada waktu 𝑡 + 1 sudah tidak ada

pembayaran premi lagi, sehingga diperoleh rumusan untuk cadangan

benefit apabila 𝑤, 𝑥 meninggal dan 𝑦, 𝑧 hidup pada tahun ke 𝑡 + 1 untuk

𝑡 > 𝑛, maka dari persamaan tersebut diperoleh:

𝑉 = 𝑅𝑦𝑧 × ��𝑦+𝑡,𝑧+𝑡 𝑡𝑞

(3.16)

20


��𝑦+𝑡,𝑧+𝑡 merupakan anuitas awal seumur hidup peserta yang mencapai

usia 𝑦 + 𝑡, dan 𝑧 + 𝑡 tahun.

2. Cadangan benefit apabila 𝑤, 𝑦 meninggal dan 𝑥, 𝑧 hidup pada tahun ke 𝑡,


tersebut diperoleh:

𝑉 = 𝑅𝑥𝑧 × 𝑛−𝑡|��𝑥+𝑡,𝑧+𝑡 𝑡𝑞

(3.17)


𝑛−𝑡|��𝑥+𝑡,𝑧+𝑡 merupakan anuitas peserta berusia 𝑥 + 𝑡, dan 𝑧 + 𝑡




benefit apabila 𝑤, 𝑦 meninggal dan 𝑥, 𝑧 hidup pada tahun ke 𝑡 + 1 untuk


𝑉 = 𝑅𝑥𝑧 × ��𝑥+𝑡,𝑧+𝑡 𝑡𝑞

(3.18)


��𝑥+𝑡,𝑧+𝑡 merupakan anuitas awal seumur hidup peserta yang mencapai

usia 𝑥 + 𝑡, dan 𝑧 + 𝑡 tahun.

3. Cadangan benefit apabila 𝑤, 𝑧 meninggal dan 𝑥, 𝑦 hidup pada tahun ke 𝑡,


tersebut diperoleh:

𝑉 = 𝑅𝑥𝑦 × 𝑛−𝑡|��𝑥+𝑡,𝑦+𝑡 𝑡𝑞

(3.19)

dengan 𝑅𝑥𝑦 adalah benefit yang diberikan kepada 𝑥 dan 𝑦 sedangkan

𝑛−𝑡|��𝑥+𝑡,𝑦+𝑡 merupakan anuitas peserta berusia 𝑥 + 𝑡, dan 𝑦 + 𝑡




21

benefit apabila 𝑤, 𝑧 meninggal dan 𝑥, 𝑦 hidup pada tahun ke 𝑡 + 1 untuk


𝑉 = 𝑅𝑥𝑦 × ��𝑥+𝑡,𝑦+𝑡 𝑡𝑞

(3.20)

dengan 𝑅𝑥𝑦 adalah benefit yang diberikan kepada 𝑥 dan 𝑦 sedangkan

��𝑥+𝑡,𝑦+𝑡 merupakan anuitas awal seumur hidup peserta yang mencapai

usia 𝑥 + 𝑡, dan 𝑦 + 𝑡 tahun.

4. Cadangan benefit apabila 𝑥, 𝑦 meninggal dan 𝑤, 𝑧 hidup pada tahun ke 𝑡,


tersebut diperoleh:

𝑉 = 𝑅𝑤𝑧 × 𝑛−𝑡|��𝑤+𝑡,𝑧+𝑡 𝑡𝑞

(3.21)

dengan 𝑅𝑤𝑧 adalah benefit yang diberikan kepada 𝑤 dan 𝑧 sedangkan

𝑛−𝑡|��𝑤+𝑡,𝑧+𝑡 merupakan anuitas peserta berusia 𝑤 + 𝑡, dan 𝑧 + 𝑡




benefit apabila 𝑥, 𝑦 meninggal dan 𝑤, 𝑧 hidup pada tahun ke 𝑡 + 1 untuk


𝑉 = 𝑅𝑤𝑧 × ��𝑤+𝑡,𝑧+𝑡 𝑡𝑞

(3.22)

dengan 𝑅𝑤𝑧 adalah benefit yang diberikan kepada 𝑤 dan 𝑧 sedangkan

��𝑤+𝑡,𝑧+𝑡 merupakan anuitas awal seumur hidup peserta yang mencapai

usia 𝑤 + 𝑡, dan 𝑧 + 𝑡 tahun.

5. Cadangan benefit apabila 𝑥, 𝑧 meninggal dan 𝑤, 𝑦 hidup pada tahun ke 𝑡,


tersebut diperoleh:

𝑉 = 𝑅𝑤𝑦 × 𝑛−𝑡|��𝑤+𝑡,𝑦+𝑡 𝑡𝑞

(3.23)

22

dengan 𝑅𝑤𝑦 adalah benefit yang diberikan kepada 𝑤 dan 𝑦

sedangkan 𝑛−𝑡|��𝑤+𝑡,𝑦+𝑡 merupakan anuitas peserta berusia 𝑤 + 𝑡, dan

𝑦 + 𝑡 dimulai dari periode 𝑛 − 𝑡.



benefit apabila 𝑥, 𝑧 meninggal dan 𝑤, 𝑦 hidup pada tahun ke 𝑡 + 1

untuk 𝑡 > 𝑛, maka dari persamaan tersebut diperoleh:

𝑉 = 𝑅𝑤𝑦 × ��𝑤+𝑡,𝑦+𝑡 𝑡𝑞

(3.24)

dengan 𝑅𝑤𝑦 adalah benefit yang diberikan kepada 𝑤 dan 𝑦

sedangkan ��𝑤+𝑡,𝑦+𝑡 merupakan anuitas awal seumur hidup peserta yang

mecapai usia 𝑤 + 𝑡, dan 𝑦 + 𝑡 tahun.

6. Cadangan benefit apabila 𝑦, 𝑧 meninggal dan 𝑤, 𝑥 hidup pada tahun ke 𝑡,


tersebut diperoleh:

𝑉 = 𝑅𝑤𝑥 × 𝑛−𝑡|��𝑤+𝑡,𝑥+𝑡 𝑡𝑞

(3.25)

dengan 𝑅𝑤𝑥 adalah benefit yang diberikan kepada 𝑤 dan 𝑥 sedangkan

𝑛−𝑡|��𝑤+𝑡,𝑥+𝑡 merupakan anuitas peserta berusia 𝑤 + 𝑡, dan 𝑥 + 𝑡




benefit apabila 𝑦, 𝑧 meninggal dan 𝑤, 𝑥 hidup pada tahun ke 𝑡 + 1

untuk 𝑡 > 𝑛, maka dari persamaan tersebut diperoleh:

𝑉 = 𝑅𝑤𝑥 × ��𝑤+𝑡,𝑥+𝑡 𝑡𝑞

(3.26)

dengan 𝑅𝑤𝑥 adalah benefit yang diberikan kepada 𝑤 dan 𝑥 sedangkan

��𝑤+𝑡,𝑥+𝑡 merupakan anuitas awal seumur hidup peserta yang mecapai

usia 𝑤 + 𝑡, dan 𝑥 + 𝑡 tahun.

23


Lainnya Hidup

1. Cadangan benefit apabila 𝑤, 𝑥, 𝑦 meninggal dan 𝑧 hidup pada tahun ke 𝑡,


tersebut diperoleh:

𝑉 = 𝑅𝑧 × 𝑛−𝑡|��𝑧+𝑡 𝑡𝑞

(3.27)

dengan 𝑅𝑧 adalah benefit yang diberikan kepada 𝑧 dan 𝑛−𝑡|��𝑧+𝑡

merupakan anuitas peserta berusia 𝑧 + 𝑡 dimulai dari periode 𝑛 − 𝑡.



benefit apabila 𝑤, 𝑥, 𝑦 meninggal dan 𝑧 hidup pada tahun ke 𝑡 + 1 untuk


𝑉 = 𝑅𝑧 × ��𝑧+𝑡 𝑡𝑞

(3.28)

dengan 𝑅𝑧 adalah benefit yang diberikan kepada 𝑧 dan ��𝑧+𝑡 merupakan

anuitas awal seumur hidup peserta yang mecapai usia 𝑧 + 𝑡 tahun.

2. Cadangan benefit apabila 𝑤, 𝑥, 𝑧 meninggal dan 𝑦 hidup pada tahun ke

𝑡, untuk 𝑡 ≤ 𝑛 dengan 𝑛 lama kontrak asuransi, maka dari persamaan

tersebut diperoleh:

𝑉 = 𝑅𝑦 × 𝑛−𝑡|��𝑦+𝑡 𝑡𝑞

(3.29)

dengan 𝑅𝑦 adalah benefit yang diberikan kepada 𝑦 dan 𝑛−𝑡|��𝑦+𝑡

merupakan anuitas peserta berusia 𝑦 + 𝑡 dimulai dari periode 𝑛 − 𝑡.



benefit apabila 𝑤, 𝑥, 𝑧 meninggal dan 𝑦 hidup pada tahun ke 𝑡 + 1 untuk


𝑉 = 𝑅𝑦 × ��𝑦+𝑡 𝑡𝑞

(3.30)

24

dengan 𝑅𝑦 adalah benefit yang diberikan kepada 𝑦 dan ��𝑦+𝑡 merupakan

anuitas awal seumur hidup peserta yang mencapai usia 𝑦 + 𝑡 tahun.

3. Cadangan benefit apabila 𝑤, 𝑦, 𝑧 meninggal dan 𝑥 hidup pada tahun ke 𝑡,


tersebut diperoleh:

𝑉 = 𝑅𝑥 × 𝑛−𝑡|��𝑥+𝑡 𝑡𝑞

(3.31)

dengan 𝑅𝑥 adalah benefit yang diberikan kepada 𝑥 dan 𝑛−𝑡|��𝑥+𝑡

merupakan anuitas peserta berusia 𝑥 + 𝑡 tahun dimulai dari periode 𝑛 −

𝑡.

Berbeda dengan waktu ke n pada waktu 𝑡 + 1 sudah tidak ada


benefit apabila 𝑤, 𝑦, 𝑧 meninggal dan 𝑥 hidup pada tahun ke 𝑡 + 1 untuk


𝑉 = 𝑅𝑥 × ��𝑥+𝑡 𝑡𝑞

(3.32)

dengan 𝑅𝑥 adalah benefit yang diberikan kepada 𝑥 dan ��𝑥+𝑡 merupakan

anuitas awal seumur hidup peserta yang mencapai usia 𝑥 + 𝑡 tahun

4. Cadangan benefit apabila 𝑥, 𝑦, 𝑧 meninggal dan 𝑤 hidup pada tahun ke

𝑡, untuk 𝑡 ≤ 𝑛 dengan 𝑛 lama kontrak asuransi, maka dari persamaan

tersebut diperoleh:

𝑉 = 𝑅𝑤 × 𝑛−𝑡|��𝑤+𝑡 𝑡𝑞

(3.33)

dengan 𝑅𝑤 adalah benefit yang diberikan kepada 𝑤 dan 𝑛−𝑡|��𝑤+𝑡

merupakan anuitas peserta berusia 𝑤 + 𝑛 tahun dimulai dari periode 𝑛 −

𝑡.

Berbeda dengan waktu ke n pada waktu 𝑡 + 1 sudah tidak ada


benefit apabila 𝑥, 𝑦, 𝑧 meninggal dan 𝑤 hidup pada tahun ke 𝑡 + 1 untuk


25

𝑉 = 𝑅𝑤 × ��𝑤+𝑡 𝑡𝑞

(3.34)

dengan 𝑅𝑤 adalah benefit yang diberikan kepada 𝑤 dan ��𝑤+𝑡 merupakan

anuitas awal seumur hidup peserta yang mecapai usia 𝑤 + 𝑡 tahun.


Waktu Kontrak

Cadangan benefit apabila semua peserta asuransi masih hidup pada akhir

tahun ke 𝑡 dengan 𝑛 lama kontrak asuransi, maka dari persamaan tersebut diperoleh:

𝑉𝑡. = {

𝑄 ∙ 𝐴𝑤+𝑡,𝑥+𝑡,𝑦+𝑡,𝑧+𝑡:𝑛−𝑡| 1 − 𝑃 ∙ ��𝑤+𝑡,𝑥+𝑡,𝑦+𝑡,𝑧+𝑡:𝑛−𝑡| , 𝑡 < 𝑛

1 , 𝑡 = 𝑛 (3.35)

dengan 𝑄 merupakan uang pertanggungan yang diberikan apabila semua peserta

asuransi masih hidup sampai akhir tahun ke 𝑛, Aw+t,x+t,y+t,z+t:n−t| 1 merupakan

notasi dari nilai sekarang asuransi endowment murni dan 𝑃 ∙ ��𝑤+𝑡,𝑥+𝑡,𝑦+𝑡,𝑧+𝑡:𝑛−𝑡|

merupakan uang premi yang dibayarkan dikali anuitas dengan pembayaran 𝑛 − 𝑡

tahun.

26

BAB IV

SIMULASI

4.1 Perhitungan Premi Tahunan Konstan

Diasumsikan usia mulai asuransi suami (𝑤) adalah 50 tahun, usia istri (𝑥)

adalah 45 tahun, usia anak laki-laki (𝑦) adalah 20 tahun dan usia anak perempuan

(𝑧) adalah 15 tahun. Lama kontrak asuransi (𝑛) adalah 1-10 tahun dengan tingkat

bunga konstan (𝑖) yaitu 5% dan besar semua benefit yang diberikan sesuai kontrak

adalah 1 satuan ( 𝑄 = 𝑅𝑥𝑦𝑧 = 𝑅𝑤𝑦𝑧 = 𝑅𝑤𝑥𝑧 = 𝑅𝑤𝑥𝑦 = 𝑅𝑦𝑧 = 𝑅𝑥𝑧 = 𝑅𝑥𝑦 =

𝑅𝑤𝑧 = 𝑅𝑤𝑦 = 𝑅𝑤𝑥 = 𝑅𝑧 = 𝑅𝑦 = 𝑅𝑥 = 𝑅𝑤 = 1).

Selanjutnya akan dihitung besarnya premi tahunan konstan dengan lamanya

kontrak asuransi 1 tahun menggunakan Rstudio (hasil perhitungan dapat dilihat

pada lampiran II), berdasarkan formula (3.6) sebagai berikut:

𝑃1 =1

��50,45,20,15:1|−(IA)150,45,20,15:1|| (𝑄 ∙ 𝐴50,45,20,15:1|

1 + 𝑅45,20,15 ∙ 1 |��45,20,15 ∙

1𝑞50 + 𝑅50,20,15 ∙ 1 |��50,20,15 ∙ 1𝑞45 + 𝑅50,45,15 ∙ 1 |��50,45,15 ∙ 1𝑞20 +

𝑅50,45,20 ∙ 1 |��50,45,20 ∙ 1𝑞15 + 𝑅20,15 ∙ 1 |��20,15 ∙ 1𝑞50,45 + 𝑅45,15 ∙ 1 |��45,15 ∙

1𝑞50,20 + 𝑅45,20 ∙1 |��45,20 ∙ 1𝑞50,15 + 𝑅50,15 ∙ 1 |��50,15 ∙ 1𝑞45,20 +

𝑅50,20 ∙ 1 |��50,20 ∙ 1𝑞45,15 + 𝑅50,45 ∙ 1 |��50,45 ∙ 1𝑞20,15 + 𝑅15 ∙ 1 |��15 ∙

1𝑞50,45,20 + 𝑅20 ∙ 1 |��20 ∙ 1𝑞50,45,15 + 𝑅45 ∙ 1 |��45 ∙ 1𝑞50,20,15 + 𝑅50 ∙ 1 |��50 ∙

1𝑞45,20,15 )

𝑃1 = 1,070988

Untuk perhitungan premi tahunan konstan dengan lama kontrak asuransi yang

berbeda dapat diperoleh dengan cara yang serupa dengan mengganti nilai 𝑛 pada

persamaan (3.6). Pada Tabel 4.1 dapat dilihat nilai premi tahunan konstan dengan

lamanya kontrak asuransi 1 tahun hingga 10 tahun.

27


dengan Besar Benefit 1 Satuan

Lama Kontrak Asuransi (𝑛) Premi Tahunan Konstan (𝑃)

1 1,070988

2 0,5867171

3 0,4280287

4 0,3503276

5 0,3049653

6 0,2756002

7 0,2552135

8 0,2404081

9 0,2366885

10 0,2206079


Orang dengan Besar Benefit 1 Satuan

Berdasarkan hasil perhitungan pada Tabel 4.1, misalkan peserta asuransi

mengikuti kontrak asuransi selama 1 tahun dengan mendapatkan benefit sebesar 1

satuan, maka premi yang dibayarkan peserta sebesar 1,070988. Jika peserta asuransi

mengikuti kontrak asuransi selama 10 tahun dengan mendapatkan benefit sebesar 1

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Pre

mi

Tah

unan

Konst

an

Lama Kontrak Asuransi

Premi Tahunan Konstan Benefit 1 Satuan

28

satuan maka premi konstan yang akan dibayarkan setiap tahunnya oleh peserta

asuransi sebesar 0,2206076.

Jika diasumsikan nilai benefit pada setiap jumlah kematian berbeda, seperti:

1. Jika semua peserta asuransi hidup sampai waktu ke-𝑛 mendapat benefit

sebesar 𝑄.

2. Jika salah satu peserta asuransi meninggal sebelum waktu ke-𝑛 mendapat

benefit sebesar 𝑅𝑥𝑦𝑧 = 𝑅𝑤𝑦𝑧 = 𝑅𝑤𝑥𝑧 = 𝑅𝑤𝑥𝑦 = 𝑅.

3. Jika dua orang peserta asuransi meninggal sebelum waktu ke-𝑛 mendapat

benefit sebesar 𝑅𝑦𝑧 = 𝑅𝑥𝑧 = 𝑅𝑥𝑦 = 𝑅𝑤𝑧 = 𝑅𝑤𝑦 = 𝑅𝑤𝑥 = 𝑅2.

4. Jika tiga orang peserta asuransi meninggal sebelum waktu ke- 𝑛 mendapat

benefit sebesar 𝑅𝑧 = 𝑅𝑦 = 𝑅𝑥 = 𝑅𝑤 = 𝑅3.

Sehingga koefisien pengali untuk premi sebagai berikut:

Tabel 4.2. Koefisien Pengali untuk Premi Tahunan Konstan Asuransi Joint Life

untuk Empat Orang

𝑛 𝐴1 𝐴2 𝐴3 𝐴4

1 0,952012428 0,118701952 0,000273872 1,65333E-07

2 0,464180848 0,12193676 0,00059877 7,58891E-07

3 0,3017085 0,125332299 0,000985935 1,97872E-06

4 0,220441911 0,128442991 0,001438639 4,04803E-06

5 0,171713527 0,131282656 0,001961859 7,24349E-06

6 0,139248783 0,133772162 0,00256746 1,1838E-05

7 0,11607395 0,135892185 0,003229192 1,81072E-05

8 0,098701657 0,137694254 0,003985779 2,6407E-05

9 0,08519474 0,146617996 0,004838592 3,7171E-05

10 0,074391256 0,140369344 0,005796381 5,09002E-05

dengan:

𝐴1 =1

��50,45,20,15:1|−(IA)150,45,20,15:1|| × 𝐴50,45,20,15:1|

1

29

𝐴2 =1

��50,45,20,15:1|−(IA)150,45,20,15:1|| ×. 1 |��45,20,15 ∙ 1𝑞50 +∙ 1|��50,20,15 ∙ 1𝑞45 +

∙ 1 |��50,45,15 ∙ 1𝑞20 +∙ 1|��50,45,20 ∙ 1𝑞15

𝐴3 =1

��50,45,20,15:1|−(IA)150,45,20,15:1|| ×∙ 1 |��20,15 ∙ 1𝑞50,45 +∙ 1 |��45,15 ∙

1𝑞50,20 +∙1 |��45,20 ∙ 1𝑞50,15 +∙ 1 |��50,15 ∙ 1𝑞45,20 +∙ 1 |��50,20 ∙

1𝑞45,15 +∙ 1 |��50,45 ∙ 1𝑞20,15

𝐴4 =1

��50,45,20,15:1|−(IA)150,45,20,15:1|| × 𝑅15 ∙ 1 |��15 ∙ 1𝑞50,45,20 + 𝑅20 ∙ 1|��20 ∙

1𝑞50,45,15 + 𝑅45 ∙ 1 |��45 ∙ 1𝑞50,20,15 + 𝑅50 ∙ 1|��50 ∙ 1𝑞45,20,15

Contoh perhitungan premi, misalkan benefit 𝑄 = Rp 10.000.000, benefit 𝑅 =

Rp 20.000.000, benefit 𝑅2 = Rp 30.000.000 dan benefit 𝑅3 = Rp 40.000.000,

sehingga premi tahunan konstan untuk lama kontrak asuransi 1 tahun dapat dihitung

dengan cara berikut:

𝑃1 = 0,952012428𝑄 + 0,118701952R + 0,000273872𝑅2 + 1,65333E − 07R3

𝑃1 = 0,952012428 × Rp 10.000.000 + 0,118701952 × Rp 20.000.000 +

0,000273872 × Rp 30.000.000 + 1,65333E − 07 × Rp 40.000.000

𝑃1 = Rp 11.902.386,08

untuk perhitungan premi tahunan konstan dengan lama kontrak asuransi yang

berbeda dapat diperoleh dengan cara yang serupa dengan mengganti nilai 𝑛. Pada

Tabel 4.3 dapat dilihat nilai premi tahunan konstan dengan lamanya kontrak

asuransi 1 tahun sampai dengan 10 tahun.


dengan Besar Benefit yang Berbeda untuk 𝑄 = Rp 10.000.000, 𝑅 = Rp

20.000.000, 𝑅2 = Rp 30.000.000 dan 𝑅3 = Rp 40.000.000


1 Rp 11.902.386,08

2 Rp 7.098.537,15

3 Rp 5.553.388,18

30

4 Rp 4.816.600,01

5 Rp 4.401.933,90

6 Rp 4.145.428,40

7 Rp 3.976.183,25

8 Rp 3.861.531,30

9 Rp 3.930.951,90

10 Rp 3.727.226,88


Orang dengan Besar Benefit yang Berbeda untuk 𝑄 = Rp 10.000.000, 𝑅 = Rp

20.000.000, 𝑅2 = Rp 30.000.000 dan 𝑅3 = Rp 40.000.000


mengikuti kontrak asuransi selama 1 tahun dengan mendapatkan benefit sebesar

𝑄 = Rp 10.000.000, 𝑅 = Rp 20.000.000, 𝑅2 = Rp 30.000.000 dan 𝑅3 = Rp

40.000.000, maka premi yang dibayarkan peserta sebesar Rp. 11.902.386,08. Jika

peserta asuransi mengikuti kontrak asuransi selama 10 tahun dengan mendapatkan

benefit yang telah disebutkan maka premi konstan yang akan dibayarkan setiap

tahunnya oleh peserta asuransi sebesar Rp. 3.727.226,88.

Selanjutnya, dengan cara yang sama dengan contoh diatas akan dihitung

misalkan benefit 𝑄 = Rp 10.000.000, benefit 𝑅 = Rp 20.000.000, benefit 𝑅2 = Rp

Rp-

Rp2.000.000,00

Rp4.000.000,00

Rp6.000.000,00

Rp8.000.000,00

Rp10.000.000,00

Rp12.000.000,00

Rp14.000.000,00

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Pre

mi

Tah

unan

Ko

nst

an


31

30.000.000 dan benefit 𝑅3 = Rp 40.000.000. Hasil perhitungannya dapat dilihat

pada Tabel 4.4.


dengan Besar Benefit yang Berbeda untuk 𝑄 = Rp 40.000.000, 𝑅 = Rp

30.000.000, 𝑅2 = Rp 20.000.000 dan 𝑅3 = Rp 10.000.000


1 Rp 41.647.034,76

2 Rp. 22.237.319,71

3 Rp. 15.848.047,47

4 Rp. 12.699.779,42

5 Rp. 10.846.330,39

6 Rp. 9.634.583,78

7 Rp. 8.784.488,46

8 Rp. 8.158.873,56

9 Rp. 7.903.473,01

10 Rp. 7.303.167,19


Orang dengan Besar Benefit yang Berbeda untuk 𝑄 = Rp 40.000.000, 𝑅 = Rp

30.000.000, 𝑅2 = Rp 20.000.000 dan 𝑅3 = Rp 10.000.000

Rp-

Rp5.000.000,00

Rp10.000.000,00

Rp15.000.000,00

Rp20.000.000,00

Rp25.000.000,00

Rp30.000.000,00

Rp35.000.000,00

Rp40.000.000,00

Rp45.000.000,00

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Pre

mi

Tah

unan

Ko

nst

an


32


mengikuti kontrak asuransi selama 1 tahun dengan mendapatkan benefit sebesar

𝑄 = Rp 40.000.000, 𝑅 = Rp 30.000.000, 𝑅2 = Rp 20.000.000 dan 𝑅3 = Rp

10.000.000, maka premi yang dibayarkan peserta sebesar Rp. 41.647.034,76. Jika

peserta asuransi mengikuti kontrak asuransi selama 10 tahun dengan mendapatkan

benefit yang telah disebutkan maka premi konstan yang akan dibayarkan setiap

tahunnya oleh peserta asuransi sebesar Rp. 3.727.226,88.

Terlihat dari Gambar 4.1 s/d Gambar 4.3 lamanya kontrak asuransi

mempengaruhi nilai premi tahunan konstan, semakin lama kontrak asuransi maka

semakin berkurang nilai premi yang dibayarkan. Penurunan nilai premi ini terjadi

karena pembayaran biaya asuransi dibagi sebanyak 𝑛 kali pembayaran yang sama

besar berdasarkan lamanya pertanggungan. Sehingga, semakin besar 𝑛, maka nilai

premi tahunan semakin kecil.

4.2 Perhitungan Cadangan Benefit

Diasumsikan usia mulai asuransi suami (𝑤) adalah 50 tahun, usia istri (𝑥)

adalah 45 tahun, usia anak laki-laki (𝑦) adalah 20 tahun dan usia anak perempuan

(𝑧) adalah 15 tahun. Lama kontrak asuransi (𝑛) adalah 10 tahun dengan tingkat

bunga konstan (𝑖) yaitu 5%, besar semua benefit yang diberikan sesuai kontrak

adalah 1 satuan ( 𝑄 = 𝑅𝑥𝑦𝑧 = 𝑅𝑤𝑦𝑧 = 𝑅𝑤𝑥𝑧 = 𝑅𝑤𝑥𝑦 = 𝑅𝑦𝑧 = 𝑅𝑥𝑧 = 𝑅𝑥𝑦 =

𝑅𝑤𝑧 = 𝑅𝑤𝑦 = 𝑅𝑤𝑥 = 𝑅𝑧 = 𝑅𝑦 = 𝑅𝑥 = 𝑅𝑤 = 1) dan premi tahunan konstan yang

dibayar sebesar 0,2206079. Perhitungan premi cadangan menggunakan Rstudio dan

Ms. Excel. Hasil perhitungan cadangan benefit berdasarkan kasus sebagai berikut:

4.2.1 Perhitungan Cadangan Benefit Jika Satu Orang Meninggal dan Tiga

Orang Lainnya Hidup

Perhitungan cadangan benefit jika 𝑤 meninggal dan 𝑥, 𝑦, 𝑧 hidup pada waktu

1 tahun pertama berdasarkan persamaan (3.7) sebagai berikut:

𝑉 = 𝑅45,20,15 × 10−1|��45+1,20+1,15+1 1𝑞

𝑉 = 6,901037 1𝑞

33

Perhitungan cadangan benefit jika 𝑤 meninggal dan 𝑥, 𝑦, 𝑧 hidup setelah masa

kontrak 10 tahun pada tahun kesebelas berdasarkan persamaan (3.8) sebagai

berikut:

𝑉 = 𝑅45,20,15 × ��45+1,20+1,15+1 11𝑞

𝑉 = 11𝑞 13,88972

Untuk perhitungan cadangan premi dengan waktu yang berbeda dapat diperoleh

dengan cara yang serupa dengan mengganti nilai 𝑡 pada persamaan (3.7) dan (3.8).

Hasil perhitungan dapat dilihat pada Tabel 4.5.

Tabel 4.5. Cadangan Benefit jika 𝑤 Meninggal dan 𝑥, 𝑦, 𝑧 Hidup untuk 𝑅𝑥𝑦𝑧 = 1

𝑡 t𝑉 𝑡 t𝑉 𝑡 t𝑉 𝑡 t𝑉

1 6,901037 18 11,99635 35 6,631634 52 2,615463

2 7,528613 19 11,69634 36 6,322334 53 2,515804

3 8,195377 20 11,39183 37 6,022982 54 2,389563

4 8,903198 21 11,08332 38 5,73497 55 2,254712

5 9,654074 22 10,77182 39 5,455327 56 2,125786

6 10,45015 23 10,45778 40 5,184526 57 2,001804

7 11,29368 24 10,14133 41 4,923552 58 1,883394

8 12,18701 25 9,823347 42 4,664607 59 1,771443

9 13,13249 26 9,502587 43 4,422237 60 1,667662

10 14,13249 27 9,18039 44 4,195812 61 1,573588

11 13,88972 28 8,857773 45 3,986132 62 1,488274

12 13,64227 29 8,535179 46 3,785404 63 1,409517

13 13,38859 30 8,213159 47 3,564825 64 1,3302

14 13,12707 31 7,892323 48 3,339155 65 1,229337

15 12,85709 32 7,573467 49 3,121751 66 1

16 12,57833 33 7,257005 50 2,921665

17 12,29128 34 6,943117 51 2,754078

34

Gambar 4.4. Grafik Cadangan Benefit jika 𝑤 Meninggal dan 𝑥, 𝑦, 𝑧 Hidup untuk

𝑅𝑥𝑦𝑧 = 1

Berdasarkan Tabel 4.4 pada tahun pertama perusahaan dapat menyiapkan

cadangan benefit jika 𝑤 meninggal dan 𝑥, 𝑦, 𝑧 hidup untuk 𝑅𝑥𝑦𝑧 = 1 sebesar

6,901037, pada tahun kedua sebesar 7,528613 dan seterusnya. Setelah masa akhir

kontrak pada tahun ke-10, di tahun ke-11 perusahaan dapat menyiapkan benefit

sebesar 13,88972, di tahun ke-12 sebesar 13,64227 dan seterusnya.

Untuk perhitungan cadangan benefit dengan peserta meninggal yang berbeda

dilakukan dengan cara yang sama, hanya tinggal mengganti persamaan sesuai umur

kematian. Hasil perhitungan dapat dilihat pada Lampiran III. Berikut grafik hasil

perhitungan dengan peserta meninggal yang berbeda.

Gambar 4.5. Grafik Cadangan Benefit jika 𝑥 Meninggal dan 𝑤, 𝑦, 𝑧 Hidup untuk

𝑅𝑤𝑦𝑧 = 1

0

2

4

6

8

10

12

14

16

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64

Cad

angan

Ben

efit

Tahun

Cadangan Benefit untuk

0

2

4

6

8

10

12

14

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61

Cad

angan

Ben

efit

Tahun


𝑅𝑥𝑦𝑧 = 1

𝑅𝑤𝑦𝑧 = 1

35

Berdasarkan Gambar 4.5 pada tahun pertama perusahaan dapat menyiapkan

cadangan benefit jika 𝑥 meninggal dan 𝑤, 𝑦, 𝑧 hidup untuk 𝑅𝑤𝑦𝑧 = 1 sebesar




Gambar 4.6. Grafik Cadangan Benefit jika 𝑦 Meninggal dan 𝑤, 𝑥, 𝑧 Hidup untuk

𝑅𝑤𝑥𝑧 = 1


cadangan benefit jika 𝑦 meninggal dan 𝑤, 𝑥, 𝑧 hidup untuk 𝑅𝑤𝑥𝑧 = 1 sebesar




Gambar 4.7. Grafik Cadangan Benefit jika 𝑧 Meninggal dan 𝑤, 𝑥, 𝑦 Hidup untuk

𝑅𝑤𝑥𝑦 = 1

0

2

4

6

8

10

12

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61

Cad

angan

Ben

efit

Tahun

Cadangan Benefit untuk 𝑅𝑤𝑥𝑧 = 1

0

2

4

6

8

10

12

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61

Cad

angan

Ben

efit

Tahun

Cadangan Benefit untuk 𝑅𝑤𝑥𝑦 = 1

36


cadangan benefit jika 𝑧 meninggal dan 𝑤, 𝑥, 𝑦 hidup untuk 𝑅𝑤𝑥𝑦 = 1 sebesar




Jika dilihat dari pemaparan di atas, nilai cadangan benefit akan lebih besar

ketika seseorang yang meninggal berusia lebih tua . Artinya cadangan ketika 𝑤

meninggal > cadangan ketika 𝑥 meninggal > cadangan ketika 𝑦 meninggal >

cadangan ketika 𝑧 meninggal.

4.2.2 Pehitungan Cadangan Benefit Jika Dua Orang Meninggal dan Dua

Orang Lainnya Hidup

Perhitungan cadangan benefit jika 𝑤, 𝑥 meninggal dan 𝑦, 𝑧 hidup pada waktu


𝑉 = 𝑅20,15 × 10−1|��20+1,15+1 1𝑞

𝑉 = 10,36682 1𝑞

Perhitungan cadangan benefit jika 𝑤, 𝑥 meninggal dan 𝑦, 𝑧 hidup setelah masa

kontrak 10 tahun pada tahun kesebelas berdasarkan persamaan (3.16) sebagai

berikut:

𝑉 = 𝑅20,15 × ��20+1,15+1 11𝑞

𝑉 = 17,65498 11𝑞


dengan cara yang serupa dengan mengganti nilai 𝑡 pada persamaan (3.15) dan

(3.16). Hasil perhitungan dapat dilihat pada Lampiran III, berikut grafik

perhitungannya.

37

Gambar 4. 8. Grafik Cadangan Benefit jika 𝑤, 𝑥 Meninggal dan 𝑦, 𝑧 Hidup untuk

𝑅𝑦𝑧 = 1


cadangan benefit jika w, x meninggal dan 𝑦, 𝑧 hidup untuk 𝑅𝑦𝑧 = 1 sebesar








Gambar 4.9. Grafik Cadangan Benefit jika 𝑤, 𝑦 Meninggal dan 𝑥, 𝑧 Hidup untuk

𝑅𝑥𝑧 = 1

0

5

10

15

20

1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 81 85 89

Cad

anga

n B

enef

it

Tahun

Cadangan Benefit untuk 𝑅𝑦𝑧 = 1

0

2

4

6

8

10

12

14

16

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64

Cad

anga

n B

enef

it

Tahun

Cadangan Benefit untuk 𝑅𝑥𝑧 = 1

38


cadangan benefit jika 𝑤, 𝑦 meninggal dan 𝑥, 𝑧 hidup untuk 𝑅𝑥𝑧 = 1 sebesar




Gambar 4.10. Grafik Cadangan Benefit jika 𝑤, 𝑧 Meninggal dan 𝑥, 𝑦 Hidup untuk

𝑅𝑥𝑦 = 1


cadangan benefit jika 𝑤, 𝑧 meninggal dan 𝑥, 𝑦 hidup untuk 𝑅𝑥𝑦 = 1 sebesar




Gambar 4.11. Grafik Cadangan Benefit jika 𝑥, 𝑦 Meninggal dan 𝑤, 𝑧 Hidup untuk

𝑅𝑤𝑧 = 1

0

5

10

15

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64

Cad

angan

Ben

efit

Tahun

Cadangan Benefit untuk 𝑅𝑥𝑦 = 1

0

2

4

6

8

10

12

14

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61

Cad

angan

Ben

efit

Tahun

Cadangan Benefit untuk𝑅𝑤𝑧 = 1

39


cadangan benefit jika 𝑥, 𝑦 meninggal dan 𝑤, 𝑧 hidup untuk 𝑅𝑤𝑧 = 1 sebesar




Gambar 4.12. Grafik Cadangan Benefit jika 𝑥, 𝑧 Meninggal dan 𝑤, 𝑦 Hidup untuk

𝑅𝑤𝑦 = 1


cadangan benefit jika 𝑥, 𝑧 meninggal dan 𝑤, 𝑦 hidup untuk 𝑅𝑤𝑦 = 1 sebesar




Gambar 4.13. Grafik Cadangan Benefit jika 𝑦, 𝑧 Meninggal dan 𝑤, 𝑥 Hidup untuk

𝑅𝑤𝑥 = 1

0

2

4

6

8

10

12

14

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61

Cad

angan

Ben

efit

Tahun

Cadangan Benefit untuk 𝑅𝑤𝑦 = 1

0

2

4

6

8

10

12

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61

Cad

angan

Ben

efit

Tahun

Cadangan Benefit untuk 𝑅𝑤𝑥 = 1

40


cadangan benefit jika 𝑦, 𝑧 meninggal dan 𝑤, 𝑥 hidup untuk 𝑅𝑤𝑥 = 1 sebesar



sebesar 10,646, di tahun ke-12 sebesar 10,354 dan seterusnya. Jadi, hasil

perhitungan benefit untuk dua orang menunjukan bahwa, cadangan ketika 𝑤, 𝑥

meninggal > cadangan ketika 𝑤, 𝑦 meninggal > cadangan ketika 𝑤, 𝑧 meninggal >

cadangan ketika 𝑥, 𝑦 meninggal > cadangan ketika 𝑥, 𝑧 meninggal > cadangan

ketika 𝑦, 𝑧 meninggal.

4.2.3 Cadangan Benefit Jika Tiga Orang Meninggal dan Satu Orang Lainnya

Hidup

Perhitungan cadangan benefit jika 𝑤, 𝑥, 𝑦 meninggal dan 𝑧 hidup pada waktu


𝑉 = 𝑅15 × 10−1|��15+1 1𝑞

𝑉 = 12,34941 1𝑞

Perhitungan cadangan benefit jika 𝑤, 𝑥, 𝑦 meninggal dan 𝑧 hidup setelah

masa kontrak 10 tahun pada tahun kesebelas berdasarkan persamaan (3.28)

sebagai berikut:

𝑉 = 𝑅20,15 × ��15+1 11𝑞

𝑉 = 19,126311𝑞


dengan cara yang serupa dengan mengganti nilai 𝑡 pada persamaan (3.27) dan

(3.28). Hasil perhitungan dapat dilihat pada Lampiran III, berikut grafik

perhitungannya.

41

Gambar 4.14. Grafik Cadangan Benefit jika 𝑤, 𝑥, 𝑦 Meninggal dan 𝑧 Hidup untuk

𝑅𝑧 = 1


cadangan benefit jika 𝑤, 𝑥, 𝑦 meninggal dan 𝑧 hidup untuk 𝑅𝑧 = 1 sebesar








Gambar 4.15. Grafik Cadangan Benefit jika 𝑤, 𝑥, 𝑧 Meninggal dan 𝑦 Hidup untuk

𝑅𝑦 = 1

0

5

10

15

20

25

1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 81 85 89 93

Cad

angan

Ben

efit

Tahun


0

5

10

15

20

1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 81 85 89

Cad

angan

Ben

efit

Tahun

Cadangan Benefit untuk 𝑅𝑦 = 1

𝑅𝑧 = 1

42


cadangan benefit jika 𝑤, 𝑥, 𝑧 meninggal dan 𝑦 hidup untuk 𝑅𝑦 = 1 sebesar 11,6889,

pada tahun kedua sebesar 12,28007 dan seterusnya. Setelah masa akhir kontrak

pada tahun ke-10, di tahun ke-11 perusahaan dapat menyiapkan benefit sebesar

18,1346, di tahun ke-12 sebesar 18,0057 dan seterusnya.

Gambar 4. 16 Grafik Cadangan Benefit jika 𝑤, 𝑦, 𝑧 Meninggal dan 𝑥 Hidup untuk

𝑅𝑥 = 1


cadangan benefit jika 𝑤, 𝑦, 𝑧 meninggal dan 𝑥 hidup untuk 𝑅𝑥 = 1 sebesar




Gambar 4.17. Grafik Cadangan Benefit jika 𝑥, 𝑦, 𝑧 Meninggal dan 𝑤 Hidup untuk

𝑅𝑤 = 1

0

5

10

15

20

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64

Cad

angan

Ben

efit

Tahun

Cadangan Benefit untuk 𝑅𝑥 = 1

0

2

4

6

8

10

12

14

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61

Cad

angan

Ben

efit

Tahun

Cadangan Benefit untuk 𝑅𝑤 = 1

43


cadangan benefit jika 𝑥, 𝑦, 𝑧 meninggal dan 𝑤 hidup untuk 𝑅𝑤 = 1 sebesar



sebesar 11,727485 di tahun ke-12 sebesar 11,437829 dan seterusnya. Jadi, hasil

perhitungan benefit untuk tiga orang menunjukan bahwa cadangan ketika 𝑤, 𝑥, 𝑦

meninggal > cadangan ketika 𝑤, 𝑥, 𝑧 meninggal > cadangan ketika 𝑤, 𝑦, 𝑧

meninggal > cadangan ketika 𝑥, 𝑦, 𝑧 meninggal.


Waktu Kontrak

Perhitungan cadangan benefit jika semua peserta asuransi hidup pada waktu


t𝑉 = 𝐴50+1,45+1,20+1,15+1:10−1| 1 − 𝑃 ∙ ��50+1,45+1,20+1,15+1:10−1|

t𝑉 = 0,43158


dengan cara yang serupa dengan mengganti nilai 𝑡 pada persamaan (3.35). Hasil

perhitungannya dapat dilihat pada Lampiran III, berikut grafik perhitungannya.

Gambar 4.18. Grafik Cadangan Benefit Jika Semua Peserta Asuransi Tetap

Hidup Sampai Akhir Waktu Kontrak

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Cad

angan

Ben

efit

Tahun

Cadangan Benefit Jika Semua Peserta Asuransi

Tetap Hidup Sampai Akhir Waktu Kontrak

44

Berdasarkan Gambar 4.18 perusahaan dapat menyiapkan cadangan benefit

jika semua peserta asuransi tetap hidup untuk benefit sebesar 1 satuan pada tahun

pertama sebesar 0,43158. Pada tahun kedua sebesar 0,45622 dan seterusnnya

hingga tahun ke-10 sebesar 1.

Terlihat pada Gambar 4.4 s/d Gambar 4.18 diperoleh hasil nilai cadangan

benefit mengalami peningkatan pada tahun pertama sampai tahun kesepuluh dan

berdasarkan Gambar 4.4 s/d Gambar 4.17 nilai cadangan premi mengalami

penurunan yang dimulai dari tahun kesebelas. Dengan kata lain, besar nilai

cadangan benefit akan meningkat pada saat pembayaran premi masih terjadi dan

menurun setelah masa kontrak asuransi selesai yang artinya tidak ada lagi

pembayaran premi.

45

BAB V

PENUTUP

5.1 Kesimpulan

Berdasarkan penelitian ini, dapat disimpulkan bahwa rumus premi tahunan

konstan dan cadangan benefit ditentukan berdasarkan lamanya kontrak asuransi.

Dari hasil simulasi, besar nilai premi tahunan konstan pada asuransi gabungan

empat orang akan menurun seiring dengan meningkatnya masa kontrak asuransi.

Rumus cadangan benefit asuransi gabungan untuk empat orang dicari

menggunakan metode prospektif yang dimodifikasi menjadi empat kasus: cadangan

benefit jika satu orang meninggal dan tiga orang lainnya hidup, cadangan benefit

jika dua orang meninggal dan dua orang lainnya hidup, cadangan benefit jika tiga

orang meninggal dan satu orang lainnya hidup, dan cadangan benefit jika semua

peserta tetap hidup sampai akhir masa kontrak. Dari semua kasus dapat disimpulkan

bahwa besar nilai cadangan benefit akan meningkat pada saat pembayaran premi

masih terjadi (kontrak asuransi masih berlaku) dan menurun setelahnya. Hal ini

berlaku untuk semua kasus di atas.

5.2 Saran

Pada penelitian selanjutnya perhitungan premi bisa diganti dengan

menghitung premi tahunan dengan suku bunga yang tidak konstan dan untuk

cadangan benefit bisa dihitung cadagan total atau menghitung cadangan benefit

menggunakan metode lain seperti metode New Jersey, Zillmer atau metode yang

lainnya

46

REFERENSI

[1] S. Sembiring, "Hukum Asuransi," in Hukum Asuransi, Bandung, Nuansa

Aulia, 2014, p. 5.

[2] I. Catarya, Buku Materi Pokok Asuransi II, Jakarta: Universitas Terbuka,

2008.

[3] S. G. Kellison, The Theory of Interest Third Edition, New York: Mc Graw

Hill, 2009.

[4] N. L. Bowers dan H. U. Gerber, Actuarial Mathematics, Schaumburg: The

Society of Actuaries, 1997.

[5] A. John dan L. Albert, "Actuarial Analysis of Single Life Status and Multiple

Life Statuses," American Journal of Theoretical and Applied Statistics, vol. 5

No.3, no. 10.11648/j.ajtas.20160503.17, pp. 123-131, 2016.

[6] T. Futami, "Matematika Asuransi Jiwa Bagian II," in Matematika Asuransi

Jiwa Bagian II, Tokyo, Oriental Life Insurance Cultural Development Center,

1994, pp. 57-87.

[7] D. C. M. Dickson, M. R. Hardy dan H. R. Waters, Actuarial Mathematics for

Life Contingent Risk, New York: Cambridge University Press, 2009.

[8] R. Sembiring, Materi Pokok Asuransi I, Tangerang Selatan: Universitas

Terbuka, 1986.

[9] A. Matvejevs dan A. Matvejevs, "Insurance Models for Joint Life an Last

Survivor Benefits," Informatica, vol. 12 No.4, pp. 547-558, 2001.

[10] T. Y. Bhuana, I. N. Widana dan L. P. I. Harini, "Menentukan Premi Tahunan

Untuk Tiga Orang Pada Asuransi Jiwa Hidup Gabungan," E-Jurnal

Matematika, vol. 4 , no. 4, pp. 195-200, 2015.

[11] T. Futami, Matematika Asuransi Jiwa, Tokyo: Oriental Life Insurance

Cultural Development Center, 1993.

[12] N. K. Sukanasih, I. N. Widana dan K. Jayanegara, "Cadangan Premi Asuransi

Joint-Life dengan Suku Bunga Tetap dan Berubah Secara Stokastik," E-

Jurnal Matematika, vol. 7, no. 2, pp. 79-87, 2018.

47

Lampiran I Tabel Mortalita Indonesia 2011

𝑥 𝑞𝑥

(laki-laki) 𝑝𝑥 𝑙𝑥 𝑥

𝑞𝑥

(perempuan) 𝑝𝑥 𝑙𝑥

0 0,00802 0,99198 100000 0 0,0037 0,9963 100000

1 0,00079 0,99921 99198 1 0,00056 0,99944 99630

2 0,00063 0,99937 99119,63358 2 0,00042 0,99958 99574,2072

3 0,00051 0,99949 99057,18821 3 0,00033 0,99967 99532,386

4 0,00043 0,99957 99006,66904 4 0,00028 0,99972 99499,5403

5 0,00038 0,99962 98964,09618 5 0,00027 0,99973 99471,6805

6 0,00034 0,99966 98926,48982 6 0,0003 0,9997 99444,8231

7 0,00031 0,99969 98892,85481 7 0,00031 0,99969 99414,9897

8 0,00029 0,99971 98862,19803 8 0,0003 0,9997 99384,171

9 0,00028 0,99972 98833,52799 9 0,00028 0,99972 99354,3558

10 0,00027 0,99973 98805,8546 10 0,00025 0,99975 99326,5366

11 0,00027 0,99973 98779,17702 11 0,00024 0,99976 99301,7049

12 0,00026 0,99974 98752,50665 12 0,00026 0,99974 99277,8725

13 0,00026 0,99974 98726,83099 13 0,00028 0,99972 99252,0603

14 0,00027 0,99973 98701,16202 14 0,00029 0,99971 99224,2697

15 0,00029 0,99971 98674,5127 15 0,00028 0,99972 99195,4947

16 0,0003 0,9997 98645,8971 16 0,00025 0,99975 99167,7199

17 0,00032 0,99968 98616,30333 17 0,00024 0,99976 99142,928

18 0,00036 0,99964 98584,74611 18 0,00023 0,99977 99119,1337

19 0,00041 0,99959 98549,2556 19 0,00024 0,99976 99096,3363

20 0,00049 0,99951 98508,85041 20 0,00026 0,99974 99072,5532

21 0,00059 0,99941 98460,58107 21 0,00029 0,99971 99046,7943

22 0,00069 0,99931 98402,48933 22 0,00033 0,99967 99018,0707

23 0,00077 0,99923 98334,59161 23 0,00037 0,99963 98985,3948

24 0,00083 0,99917 98258,87397 24 0,00039 0,99961 98948,7702

25 0,00085 0,99915 98177,31911 25 0,00042 0,99958 98910,1801

26 0,00083 0,99917 98093,86839 26 0,00044 0,99956 98868,6379

27 0,00079 0,99921 98012,45048 27 0,00046 0,99954 98825,1357

28 0,00075 0,99925 97935,02064 28 0,00048 0,99952 98779,6761

29 0,00074 0,99926 97861,56937 29 0,00051 0,99949 98732,2619

30 0,00076 0,99924 97789,15181 30 0,00054 0,99946 98681,9084

31 0,0008 0,9992 97714,83206 31 0,00057 0,99943 98628,6202

32 0,00083 0,99917 97636,66019 32 0,0006 0,9994 98572,4019

33 0,00084 0,99916 97555,62176 33 0,00062 0,99938 98513,2584

34 0,00086 0,99914 97473,67504 34 0,00064 0,99936 98452,1802

35 0,00091 0,99909 97389,84768 35 0,00067 0,99933 98389,1708

36 0,00099 0,99901 97301,22292 36 0,00074 0,99926 98323,2501

48

37 0,00109 0,99891 97204,89471 37 0,00084 0,99916 98250,4909

38 0,0012 0,9988 97098,94137 38 0,00093 0,99907 98167,9604

39 0,00135 0,99865 96982,42264 39 0,00104 0,99896 98076,6642

40 0,00153 0,99847 96851,49637 40 0,00114 0,99886 97974,6645

41 0,00175 0,99825 96703,31358 41 0,00126 0,99874 97862,9734

42 0,00196 0,99804 96534,08279 42 0,00141 0,99859 97739,666

43 0,00219 0,99781 96344,87598 43 0,00158 0,99842 97601,8531

44 0,00246 0,99754 96133,8807 44 0,00175 0,99825 97447,6422

45 0,00279 0,99721 95897,39136 45 0,00193 0,99807 97277,1088

46 0,00318 0,99682 95629,83764 46 0,00214 0,99786 97089,364

47 0,00363 0,99637 95325,73475 47 0,00239 0,99761 96881,5928

48 0,00414 0,99586 94979,70234 48 0,00268 0,99732 96650,0458

49 0,00471 0,99529 94586,48637 49 0,00299 0,99701 96391,0236

50 0,00538 0,99462 94140,98402 50 0,00334 0,99666 96102,8145

51 0,00615 0,99385 93634,50552 51 0,00374 0,99626 95781,8311

52 0,00699 0,99301 93058,65331 52 0,00422 0,99578 95423,607

53 0,00784 0,99216 92408,17333 53 0,00479 0,99521 95020,9194

54 0,00872 0,99128 91683,69325 54 0,00542 0,99458 94565,7692

55 0,00961 0,99039 90884,21144 55 0,00607 0,99393 94053,2227

56 0,01051 0,98949 90010,81417 56 0,00669 0,99331 93482,3197

57 0,01142 0,98858 89064,80051 57 0,00725 0,99275 92856,9229

58 0,01232 0,98768 88047,68049 58 0,00776 0,99224 92183,7103

59 0,01322 0,98678 86962,93307 59 0,00826 0,99174 91468,3647

60 0,01417 0,98583 85813,28309 60 0,00877 0,99123 90712,836

61 0,01521 0,98479 84597,30887 61 0,00936 0,99064 89917,2844

62 0,01639 0,98361 83310,5838 62 0,01004 0,98996 89075,6586

63 0,01773 0,98227 81945,12334 63 0,01104 0,98896 88181,339

64 0,01926 0,98074 80492,2363 64 0,01214 0,98786 87207,817

65 0,021 0,979 78941,95583 65 0,01334 0,98666 86149,1141

66 0,02288 0,97712 77284,17476 66 0,01466 0,98534 84999,8849

67 0,02486 0,97514 75515,91284 67 0,01612 0,98388 83753,7866

68 0,02702 0,97298 73638,58724 68 0,01771 0,98229 82403,6756

69 0,02921 0,97079 71648,87262 69 0,01947 0,98053 80944,3065

70 0,03182 0,96818 69556,00905 70 0,02121 0,97879 79368,3208

71 0,03473 0,96527 67342,73684 71 0,02319 0,97681 77684,9188

72 0,03861 0,96139 65003,92359 72 0,02539 0,97461 75883,4055

73 0,04264 0,95736 62494,1221 73 0,02778 0,97222 73956,7258

74 0,04687 0,95313 59829,37273 74 0,03042 0,96958 71902,208

75 0,05155 0,94845 57025,17003 75 0,0333 0,9667 69714,9428

76 0,05664 0,94336 54085,52252 76 0,03646 0,96354 67393,4352

77 0,06254 0,93746 51022,11852 77 0,03991 0,96009 64936,2706

49

78 0,06942 0,93058 47831,19523 78 0,04372 0,95628 62344,664

79 0,07734 0,92266 44510,75366 79 0,04789 0,95211 59618,9553

80 0,08597 0,91403 41068,29197 80 0,05247 0,94753 56763,8035

81 0,09577 0,90423 37537,65091 81 0,05877 0,94123 53785,4068

82 0,10593 0,89407 33942,67008 82 0,06579 0,93421 50624,4384

83 0,11683 0,88317 30347,12304 83 0,07284 0,92716 47293,8566

84 0,12888 0,87112 26801,66865 84 0,08061 0,91939 43848,9721

85 0,14241 0,85759 23347,4696 85 0,08925 0,91075 40314,3064

86 0,15738 0,84262 20022,55645 86 0,09713 0,90287 36716,2546

87 0,17363 0,82637 16871,40652 87 0,10893 0,89107 33150,0048

88 0,1911 0,8089 13942,0242 88 0,12131 0,87869 29538,9748

89 0,20945 0,79055 11277,70338 89 0,1345 0,8655 25955,6017

90 0,22853 0,77147 8915,588406 90 0,14645 0,85355 22464,5733

91 0,24638 0,75362 6878,108988 91 0,15243 0,84757 19174,6365

92 0,26496 0,73504 5183,480495 92 0,16454 0,83546 16251,8467

93 0,2845 0,7155 3810,065503 93 0,18235 0,81765 13577,7678

94 0,30511 0,69489 2726,101868 94 0,20488 0,79512 11101,8619

95 0,32682 0,67318 1894,340927 95 0,23305 0,76695 8827,31241

96 0,34662 0,65338 1275,232425 96 0,25962 0,74038 6770,10726

97 0,3677 0,6323 833,2113619 97 0,2872 0,7128 5012,45201

98 0,39016 0,60984 526,8395441 98 0,29173 0,70827 3572,87579

99 0,41413 0,58587 321,2878276 99 0,30759 0,69241 2530,56074

100 0,43974 0,56026 188,2328996 100 0,33241 0,66759 1752,18556

101 0,45994 0,54006 105,4593643 101 0,35918 0,64082 1169,74156

102 0,48143 0,51857 56,95438429 102 0,38871 0,61129 749,593785

103 0,50431 0,49569 29,53483506 103 0,42124 0,57876 458,219185

104 0,52864 0,47136 14,64012239 104 0,45705 0,54295 265,198936

105 0,5545 0,4455 6,90076809 105 0,4958 0,5042 143,989762

106 0,58198 0,41802 3,074292184 106 0,53553 0,46447 72,599638

107 0,61119 0,38881 1,285115619 107 0,57626 0,42374 33,7203539

108 0,64222 0,35778 0,499665804 108 0,61725 0,38275 14,2886628

109 0,67518 0,32482 0,178770431 109 0,65996 0,34004 5,46898567

110 0,71016 0,28984 0,058068211 110 0,70366 0,29634 1,85967389

111 1 0 0,01683049 111 1 0 0,55109576

50

Lampiran II Tabel Hasil Perhitungan untuk Mencari Premi Tahunan Konstan

𝑛 𝐴𝑤𝑥𝑦𝑧:�� 1 |��𝑥𝑦𝑧𝑛

. ∙ 𝑛𝑞𝑤 |��𝑤𝑦𝑧𝑛. ∙ 𝑛𝑞𝑥 |��𝑤𝑥𝑧𝑛

. ∙ 𝑛𝑞𝑦 |��𝑤𝑥𝑦𝑛. ∙ 𝑛𝑞𝑧 |��𝑦𝑧𝑛

. ∙ 𝑛𝑞𝑤𝑥 |��𝑥𝑧𝑛. ∙ 𝑛𝑞𝑤𝑦 |��𝑥𝑦𝑛

. ∙ 𝑛𝑞𝑤𝑧 |��𝑤𝑧𝑛. ∙ 𝑛𝑞𝑥𝑦

1 0,9447011 0,08228057 0,02579428 0,006195159 0,003520328 0,000185758 4,10E-05 2,32E-05 1,28E-05

2 0,8915191 0,1649114 0,05049154 0,01263048 0,006161832 0,000791776 0,000181373 8,81E-05 5,52E-05

3 0,8403337 0,2474224 0,07428048 0,01911462 0,008264328 0,001902295 0,00044635 0,000192016 0,000133

4 0,7911235 0,3285227 0,0972595 0,02528396 0,009890959 0,003607086 0,000851193 0,000331236 0,00025

5 0,7438511 0,4073057 0,1192563 0,03086355 0,01128182 0,005993259 0,001401364 0,000509435 0,000407

6 0,6985021 0,4827326 0,1402803 0,03548815 0,01252913 0,009152105 0,002081635 0,000730681 0,000649

7 0,6550523 0,5539101 0,1603704 0,03891605 0,01369807 0,01318088 0,002861045 0,001000948 0,000822

8 0,6134445 0,6200827 0,1797241 0,04115118 0,01483092 0,01819979 0,003707634 0,0013277 0,001066

9 0,5736281 0,7304717 0,1984764 0,04236417 0,01588721 0,02433788 0,004596212 0,001712055 0,001329

10 0,5355627 0,7345132 0,2164402 0,04288525 0,01671809 0,03170084 0,005524951 0,002138538 0,001613

𝑛 |��𝑤𝑦𝑛. ∙ 𝑛𝑞𝑥𝑧 |��𝑤𝑥𝑛

. ∙ 𝑛𝑞𝑦𝑧 |��𝑧𝑛. ∙ 𝑛𝑞𝑤𝑥𝑦 |��𝑦𝑛

. ∙ 𝑛𝑞𝑤𝑥𝑧 |��𝑥𝑛. ∙ 𝑛𝑞𝑤𝑦𝑧 |��𝑤𝑛

. ∙ 𝑛𝑞𝑥𝑦𝑧 (𝐼𝐴)𝑤𝑥𝑦𝑧:𝑛| 1 ��𝑤𝑥𝑦𝑧:𝑛|

1 7,26E-06 1,74E-06 9,59E-08 5,29E-08 1,16E-08 3,60E-09 0,00768 1

2 2,69E-05 6,72E-06 9,04E-07 4,28E-07 9,69E-08 2,94E-08 0,024072 1,944701

3 5,75E-05 1,48E-05 3,57E-06 1,49E-06 3,47E-07 1,03E-07 0,050269 2,835519

4 9,78E-05 2,54E-05 9,74E-06 3,68E-06 8,59E-07 2,52E-07 0,087046 3,675853

5 0,000149 3,85E-05 2,15E-05 7,59E-06 1,75E-06 5,08E-07 1,35E-01 4,466976

6 0,000212 5,35E-05 4,13E-05 1,40E-05 3,15E-06 9,06E-07 0,19461 5,210827

7 0,000289 7,01E-05 7,14E-05 2,42E-05 5,17E-06 1,48E-06 0,265925 5,90933

8 0,000384 8,78E-05 0,000114 3,96E-05 7,94E-06 2,27E-06 0,349243 6,564382

9 0,000498 0,000106 0,000173 6,22E-05 1,16E-05 3,33E-06 0,444686 7,177826

10 0,000628 0,000124 0,000252 9,38E-05 1,61E-05 4,68E-06 0,552185 7,751454

51

Lampiran III Tabel Cadangan Benefit Perkasus

• Cadangan Benefit Jika 𝑥 Meninggal dan 𝑤, 𝑦, 𝑧 Hidup untuk 𝑅𝑤𝑦𝑧 = 1


1 4,807408 17 9,68676 33 4,68971 49 2,04994

2 5,381807 18 9,36945 34 4,43324 50 1,96214

3 6,001349 19 9,04843 35 4,18716 51 1,88762

4 6,66814 20 8,72248 36 3,9533 52 1,81442

5 7,384327 21 8,39355 37 3,7332 53 1,74336

6 8,152143 22 8,06262 38 3,52786 54 1,67442

7 8,973986 23 7,73521 39 3,33823 55 1,60752

8 9,852434 24 7,41006 40 3,16437 56 1,54241

9 10,79021 25 7,08632 41 3,00638 57 1,47852

10 11,79021 26 6,76454 42 2,85773 58 1,4144

11 11,50615 27 6,44477 43 2,71768 59 1,34424

12 11,21574 28 6,12926 44 2,58627 60 1,2439

13 10,91935 29 5,82074 45 2,46433 61 1

14 10,61732 30 5,5217 46 2,35364

15 10,31062 31 5,23254 47 2,24731

16 10,00035 32 4,95588 48 2,14564

• Cadangan Benefit jika 𝑦 Meninggal dan 𝑤, 𝑥, 𝑧 Hidup untuk 𝑅𝑤𝑥𝑧 = 1


1 4,055335 17 8,789012 33 4,1022 49 1,71532

2 4,597702 18 8,477107 34 3,86719 50 1,63216

3 5,187983 19 8,164125 35 3,64067 51 1,56563

4 5,828649 20 7,848917 36 3,4236 52 1,50745

5 6,522232 21 7,533185 37 3,2207 53 1,46509

6 7,271363 22 7,217733 38 3,03318 54 1,41604

7 8,078798 23 6,907877 39 2,86022 55 1,36503

8 8,947427 24 6,602521 40 2,702 56 1,31667

9 9,880221 25 6,301031 41 2,55903 57 1,27072

52

10 9,963273 26 6,002623 42 2,42203 58 1,22715

11 10,59207 27 5,707514 43 2,29634 59 1,18476

12 10,30064 28 5,417639 44 2,18196 60 1,13454

13 10,00551 29 5,13509 45 2,08071 61 1

14 9,706403 30 4,86194 46 1,99234

15 9,40368 31 4,598134 47 1,89929

16 9,097798 32 4,345585 48 1,8056

• Cadangan Benefit Jika 𝑧 Meninggal dan 𝑤, 𝑥, 𝑦 Hidup untuk 𝑅𝑤𝑥𝑦 = 1


1 4,03252 17 8,72146 33 4,03781 49 1,69481

2 4,57424 18 8,40771 34 3,80661 50 1,61323

3 5,16395 19 8,09305 35 3,58434 51 1,54774

4 5,80411 20 7,77657 36 3,37179 52 1,49011

5 6,49724 21 7,46003 37 3,17341 53 1,44813

6 7,24597 22 7,2256 38 2,9902 54 1,39995

7 8,05309 23 6,83377 39 2,82112 55 1,34998

8 8,9215 24 6,52793 40 2,66611 56 1,30275

9 9,85419 25 6,22599 41 2,52564 57 1,25795

10 10,8542 26 5,92744 42 2,39067 58 1,21558

11 10,5329 27 5,63257 43 2,26657 59 1,17469

12 10,2407 28 5,34327 44 2,15348 60 1,12721

13 9,94476 29 5,06162 45 2,05335 61 1

14 9,6444 30 4,78976 46 1,96617

15 9,33998 31 4,52784 47 1,87479

16 9,03218 32 4,27788 48 1,7831

• Cadangan Benefit Jika 𝑤, 𝑥 Meninggal dan 𝑦, 𝑧 Hidup untuk 𝑅𝑦𝑧 = 1


1 10,36682 24 15,20577 47 8,839115 70 2,730084

2 11,03619 25 14,96841 48 8,526517 71 2,585463

53

3 11,74021 26 14,72465 49 8,212979 72 2,446627

4 12,48059 27 14,47509 50 7,897383 73 2,319118

5 13,25912 28 14,22044 51 7,58141 74 2,203067

6 14,07769 29 13,96123 52 7,265631 75 2,10037

7 14,93833 30 13,69767 53 6,955244 76 2,010797

8 15,84316 31 13,43059 54 6,649268 77 1,916512

9 16,79442 32 13,16105 55 6,346999 78 1,821707

10 17,79442 33 12,88979 56 6,047772 79 1,730307

11 17,65498 34 12,61674 57 5,751769 80 1,646117

12 17,50944 35 12,34178 58 5,460859 81 1,578859

13 17,35729 36 12,06472 59 5,177136 82 1,520077

14 17,19785 37 11,78543 60 4,902782 83 1,477344

15 17,03107 38 11,50407 61 4,637793 84 1,427616

16 16,85705 39 11,2206 62 4,384081 85 1,375711

17 16,67591 40 10,93467 63 4,139488 86 1,326436

18 16,48756 41 10,64596 64 3,903181 87 1,279539

19 16,29157 42 10,35396 65 3,675347 88 1,234941

20 16,08815 43 10,05823 66 3,456978 89 1,191339

21 15,87747 44 9,758548 67 3,252842 90 1,139175

22 15,66032 45 9,455177 68 3,064088 91 1

23 15,43653 46 9,148605 69 2,889801

• Cadangan Benefit Jika 𝑤, 𝑦 Meninggal dan 𝑥, 𝑧 Hidup untuk 𝑅𝑥𝑧 = 1


1 7,19074 18 12,3771 35 7,0505 52 2,80213

2 7,82278 19 12,0868 36 6,72729 53 2,69815

3 8,49355 20 11,7918 37 6,41313 54 2,56286

4 9,20492 21 11,4922 38 6,10985 55 2,41705

5 9,95888 22 11,189 39 5,8147 56 2,27707

6 10,7575 23 10,8829 40 5,52865 57 2,14219

7 11,6031 24 10,574 41 5,25295 58 2,01302

8 12,4978 25 10,263 42 4,97932 59 1,89036

54

9 13,444 26 9,94823 43 4,7233 60 1,77588

10 14,444 27 9,63083 44 4,484 61 1,67143

11 14,2084 28 9,31159 45 4,26189 62 1,5753

12 13,9684 29 8,99075 46 4,04814 63 1,48481

13 13,7225 30 8,66869 47 3,81182 64 1,39079

14 13,4696 31 8,34561 48 3,56971 65 1,26742

15 13,2089 32 8,02191 49 3,33678 66 1

16 12,9397 33 7,69789 50 3,12377

17 12,6624 34 7,37408 51 2,94688

• Cadangan Benefit Jika w, z Meninggal dan x, y Hidup untuk 𝑅𝑥𝑦 = 1


1 7,020647 18 12,14205 35 6,78951 52 2,68762

2 7,650752 19 11,84396 36 6,47787 53 2,58581

3 8,3198 20 11,54166 37 6,1758 54 2,45565

4 9,029642 21 11,23559 38 5,88452 55 2,31596

5 9,782254 22 10,92639 39 5,60067 56 2,18227

6 10,57977 23 10,61428 40 5,32464 57 2,05349

7 11,42441 24 10,29956 41 5,05752 58 1,93027

8 12,31851 25 9,982984 42 4,79161 59 1,81363

9 13,26439 26 9,663485 43 4,54232 60 1,70535

10 14,26439 27 9,342327 44 4,30934 61 1,60705

11 14,02333 28 9,020383 45 4,09364 62 1,51767

12 13,77761 29 8,698043 46 3,8873 63 1,43474

13 13,5257 30 8,375993 47 3,66064 64 1,35039

14 13,26599 31 8,054913 48 3,42912 65 1,24204

15 12,99773 32 7,735536 49 3,20603 66 1

16 12,72065 33 7,418154 50 3,00083

17 12,43527 34 7,10285 51 2,82929

55

• Cadangan Benefit Jika 𝑥, 𝑦 Meninggal dan 𝑤, 𝑧 Hidup untuk 𝑅𝑤𝑧 = 1


1 4,93595 17 9,84765 33 4,83794 49 2,11729

2 5,51443 18 9,53258 34 4,57519 50 2,02702

3 6,1377 19 9,21373 35 4,32226 51 1,95079

4 6,80783 20 8,8896 36 4,08127 52 1,87606

5 7,52696 21 8,56208 37 3,85403 53 1,80291

6 8,29726 22 8,23196 38 3,64175 54 1,73144

7 9,12107 23 7,90516 39 3,44565 55 1,66171

8 10,0009 24 7,58039 40 3,26599 56 1,59339

9 10,9394 25 7,25673 41 3,10293 57 1,52588

10 11,0224 26 6,93454 42 2,94969 58 1,45715

11 11,6563 27 6,61373 43 2,80546 59 1,37998

12 11,367 28 6,29652 44 2,67024 60 1,26684

13 11,0718 29 5,98567 45 2,54481 61 1

14 10,7715 30 5,68371 46 2,43085

15 10,4669 31 5,39086 47 2,32114

16 10,1589 32 5,10964 48 2,21615

• Cadangan Benefit Jika 𝑥, 𝑧 Meninggal dan 𝑤, 𝑦 Hidup untuk 𝑅𝑤𝑦 = 1


1 4,864262 17 9,752269 33 4,742593 49 2,076986

2 5,440976 18 9,434449 34 4,484724 50 1,988257

3 6,06264 19 9,113046 35 4,237243 51 1,912993

4 6,731335 20 8,786878 36 4,002014 52 1,838935

5 7,449179 21 8,45788 37 3,780583 53 1,766893

6 8,218378 22 8,126744 38 3,573872 54 1,696832

7 9,041307 23 7,798891 39 3,382713 55 1,628592

8 9,920511 24 7,473159 40 3,20709 56 1,562054

9 10,85868 25 7,148635 41 3,047111 57 1,496554

10 11,85868 26 6,82601 42 2,896241 58 1,430427

56

11 11,5743 27 6,505284 43 2,753903 59 1,35744

12 11,28353 28 6,188646 44 2,620321 60 1,252301

13 10,98675 29 5,878836 45 2,496435 61 1

14 10,68433 30 5,578458 46 2,384149

15 10,37716 31 5,287992 47 2,276451

16 10,06638 32 5,010067 48 2,173719

• Cadangan Benefit Jika 𝑦, 𝑧 Meninggal dan 𝑤, 𝑥 Hidup untuk 𝑅𝑤𝑥 = 1


1 4,09858 17 8,83911 33 4,13949 49 1,73031

2 4,64313 18 8,52652 34 3,90318 50 1,64612

3 5,23544 19 8,21298 35 3,67535 51 1,57886

4 5,87793 20 7,89738 36 3,45698 52 1,52008

5 6,57312 21 7,58141 37 3,25284 53 1,47734

6 7,3236 22 7,26563 38 3,06409 54 1,42762

7 8,1321 23 6,95524 39 2,8898 55 1,37571

8 9,00148 24 6,64927 40 2,73008 56 1,32644

9 9,93466 25 6,347 41 2,58546 57 1,27954

10 10,9347 26 6,04777 42 2,44663 58 1,23494

11 10,646 27 5,75177 43 2,31912 59 1,19134

12 10,354 28 5,46086 44 2,20307 60 1,13917

13 10,0582 29 5,17714 45 2,10037 61 1

14 9,75855 30 4,90278 46 2,0108

15 9,45518 31 4,63779 47 1,91651

16 9,14861 32 4,38408 48 1,82171

• Cadangan Benefit Jika 𝑤, 𝑥, 𝑦 Meninggal dan 𝑧 Hidup untuk 𝑅𝑧 = 1


1 12,34941 25 17,51165 49 12,25273 73 4,864168

2 12,97013 26 17,35702 50 11,96057 74 4,617529

3 13,62191 27 17,19654 51 11,6642 75 4,388683

57

4 14,3063 28 17,03038 52 11,364 76 4,16861

5 15,0252 29 16,85853 53 11,0605 77 3,925387

6 15,78056 30 16,68065 54 10,75397 78 3,676605

7 16,57442 31 16,49652 55 10,44504 79 3,43721

8 17,40885 32 16,30624 56 10,13219 80 3,21847

9 18,2861 33 16,11005 57 9,816444 81 3,037217

10 19,20788 34 15,90819 58 9,498431 82 2,889163

11 19,1263 35 15,70054 59 9,178326 83 2,782857

12 19,04099 36 15,48729 60 8,856661 84 2,64306

13 18,95175 37 15,26876 61 8,533665 85 2,491606

14 18,85839 38 15,04569 62 8,209672 86 2,346029

15 18,76088 39 14,81896 63 7,88484 87 2,205504

16 18,659 40 14,58898 64 7,559586 88 2,070668

17 18,55252 41 14,35556 65 7,234002 89 1,942432

18 18,44121 42 14,11779 66 6,908173 90 1,822549

19 18,32463 43 13,87427 67 6,590931 91 1,712964

20 18,20251 44 13,6237 68 6,283894 92 1,611756

21 18,07475 45 13,36528 69 5,98396 93 1,515891

22 17,94176 46 13,09842 70 5,691989 94 1,415247

23 17,8038 47 12,82337 71 5,409375 95 1,282229

24 17,66042 48 12,54044 72 5,127919 96 1

• Cadangan Benefit Jika 𝑤, 𝑥, 𝑧 Meninggal dan 𝑦 Hidup untuk 𝑅𝑦 = 1


1 11,6889 24 15,9506 47 9,91664 70 3,3123

2 12,2807 25 15,7369 48 9,60116 71 3,14712

3 12,9036 26 15,517 49 9,28201 72 2,99153

4 13,5592 27 15,2915 50 8,95777 73 2,84489

5 14,249 28 15,0607 51 8,63027 74 2,70739

6 14,9742 29 14,8251 52 8,30005 75 2,57992

7 15,7359 30 14,5851 53 7,97288 76 2,4643

58

8 16,5358 31 14,3415 54 7,64762 77 2,35317

9 17,3756 32 14,0953 55 7,32324 78 2,24708

10 18,2579 33 13,8468 56 7,00027 79 2,14717

11 18,1346 34 13,5957 57 6,67856 80 2,05597

12 18,0057 35 13,3419 58 6,36025 81 1,97902

13 17,8708 36 13,0847 59 6,04813 82 1,90344

14 17,7292 37 12,8237 60 5,74484 83 1,82928

15 17,5808 38 12,5583 61 5,45067 84 1,75663

16 17,4257 39 12,2876 62 5,16816 85 1,68547

17 17,2641 40 12,0108 63 4,89511 86 1,6156

18 17,0959 41 11,7275 64 4,63089 87 1,54628

19 16,921 42 11,4378 65 4,37648 88 1,47525

20 16,7397 43 11,1423 66 4,13403 89 1,39474

21 16,552 44 10,8417 67 3,90535 90 1,27603

22 16,3582 45 10,5367 68 3,69159 91 1

23 16,1578 46 10,2283 69 3,49385

• Cadangan Benefit Jika 𝑤, 𝑦, 𝑧 Meninggal dan 𝑥 Hidup untuk 𝑅𝑥 = 1


1 9,110085 18 12,54044 35 7,234002 52 2,889163

2 9,586153 19 12,25273 36 6,908173 53 2,782857

3 10,08957 20 11,96057 37 6,590931 54 2,64306

4 10,62249 21 11,6642 38 6,283894 55 2,491606

5 11,18704 22 11,364 39 5,98396 56 2,346029

6 11,78582 23 11,0605 40 5,691989 57 2,205504

7 12,42144 24 10,75397 41 5,409375 58 2,070668

8 13,09786 25 10,44504 42 5,127919 59 1,942432

9 13,81892 26 10,13219 43 4,864168 60 1,822549

10 14,58887 27 9,816444 44 4,617529 61 1,712964

11 14,35556 28 9,498431 45 4,388683 62 1,611756

12 14,11779 29 9,178326 46 4,16861 63 1,515891

13 13,87427 30 8,856661 47 3,925387 64 1,415247

59

14 13,6237 31 8,533665 48 3,676605 65 1,282229

15 13,36528 32 8,209672 49 3,43721 66 1

16 13,09842 33 7,88484 50 3,21847

17 12,82337 34 7,559586 51 3,037217

• Cadangan Benefit Jika 𝑥, 𝑦, 𝑧 Meninggal dan 𝑤 Hidup untuk 𝑅𝑤 = 1


1 7,09557 17 9,9166408 33 4,89511 49 2,1471714

2 7,496375 18 9,6011564 34 4,6308918 50 2,0559677

3 7,926651 19 9,2820145 35 4,3764766 51 1,9790198

4 8,388735 20 8,9577708 36 4,1340264 52 1,9034388

5 8,885611 21 8,630274 37 3,9053517 53 1,8292814

6 9,42047 22 8,3000488 38 3,6915918 54 1,7566335

7 9,996603 23 7,9728837 39 3,493845 55 1,685474

8 10,61766 24 7,6476222 40 3,3122971 56 1,6155953

9 11,28768 25 7,3232431 41 3,1471239 57 1,5462771

10 12,01068 26 7,0002691 42 2,9915345 58 1,4752473

11 11,727485 27 6,6785551 43 2,8448937 59 1,3947428

12 11,437829 28 6,3602523 44 2,7073912 60 1,2760311

13 11,142342 29 6,0481266 45 2,5799202 61 1

14 10,841681 30 5,7448383 46 2,4642989

15 10,536701 31 5,4506744 47 2,3531684

16 10,228332 32 5,1681627 48 2,2470772

• Cadangan Benefit Jika Semua Peserta Asuransi Tetap Hidup Sampai Akhir

Waktu Kontrak

𝑡 t𝑉 𝑡 t𝑉

1 0,43158 6 0,58135

2 0,45622 7 0,62091

3 0,48323 8 0,66463

4 0,51287 9 0,71303

5 0,54546 10 1

PENENTUAN PREMI TAHUNAN KONSTAN DAN CADANGAN …

Documents

Transcript of PENENTUAN PREMI TAHUNAN KONSTAN DAN CADANGAN …