ANALISIS VEKTOR DAN SISTEM KOORDINAT

1. PendahuluanAnalisis Vektor dan Sistem Koordinat merupakan suatu pemahaman dasar yang harus dimengerti. Karena pada analisis vektor dan system koordinat ini dapat digunakan untuk mengetahui nilai dari suatu bidang yang mencakupi garis, luas, maupun volume. Analisa dari sebuah vektor dapat digambarkan pada sebuah system koordinat dimana dengan operasi operasi dari vektor dapat menghasilkan vektor yang baru sehingga dapat diaplikasikan dalam kehidupan sehari hari,2. Pengertian Skalar dan VektorSkalar merupakan suatu besaran yang mempunyai nilai atau suatu besaran yang mempunyai besar. skalar dapat kita lihat yaitu pada besaran jarak dimana jarak menunjukan nilai yang ditunjukan dengan angka berapa meter jaraknya sehingga dapat dinyatakan bahwa skalar hanya mempunyai nilai dan skalar tidak mempunyai arah. Sementara Vektor merupakan suatu besaran yang mempunyai nilai dan arahnya. Vektor dapat kita lihat pada kehidupan sehari hari yaitu pada kecepatan motor, dapat kita lihat saat motor bergerak maka kita bisa mengetahui berapa nilai kecepatan motor dan kemana arah dari motor tersebut melaju sehingga dapat dinyatakan sesuatu yang mempunyai nilai besaran dan arah disebut dengan vector.3. Komponen Komponen VektorVektor merupakan suatu besaran yang mempunyai nilai dan arahnya. Untuk menyatakan suatu vector dalam system koordinat kartesian maka pada setiap sumbu koordinat kartesian terdapat 3 vektor komponen. 3 vektor komponen ini memiliki besaran dan arah dimana dapat kita asumsikan dengan sebuah contoh vector yaitu :A = Axax + Ayay + AzazDari contoh vector diatas maka dapat kita lihat komponen komponen vektornya yaitu komponen dari vector A adalah x,y,z. sementara untuk nilai besaran dari vektor A dapat kita lihat pada nilai dari subscribe vector A sesuai dengan sumbu koordinatnya dan arah dari vector dapat dilihat pada subscribe dari a dengan sumbu koordinatnya. a merupakan komponen vector satuan dari suatu vector.4. Vektor UnitVektor unit yaitu suatu besaran untuk menentukan arah dari suatu vector. Vector unit dinyatakan dengan besar nilai vector A dibagi dengan nilai absolute dari vector A. untuk lebih jelasnya untuk mencari vector unit dapat dicari menggunakan rumus :

5. Penjumlahan VektorPenjumlahan Vektor merupakan proses antara 2 buah vector yang dijumlahkan dengan melihat arah dari komponen vector tersebut. Penjumlahan vector akan bisa dioperasikan bila dioperasikan pada arah yang sama sementara bila arahnya berbeda maka vector tersebut tidak dapat dijumlahkan. Sebagai contoh dapat dilihat terdapat dua vector A dan B yang mempunyai komponen vector x,y,z. Dengan nilai besar dan arah vector sebagai berikut :A = Axax + Ayay + AzazB = Bxbx + Byby + BzbzDapat dilihat pada komponen vector A dan B terdapat arah dari vector yaitu pada komponen x,y, dan z. Untuk proses penjumlahan maka antara vector A dan B dapat dijumlah besar nilai antara vector A dengan vector B yang mempunyai arah yang sama, maka untuk proses penjumlahannya menjadi :A + B = (A +B)ax + (A+B)ay + (A+B)azDapat dilihat pada proses penjumlahannya antara besar nilai vector A dan vector B dijumlahkan sesuai dengan arah dari vector tersebut dan selanjutnya akan dijumlahkan antara arah vector yang lain yaitu (x,y,z) sehingga bila digunakan angka maka dapat dilihat hasil dari penjumlahan vector tersebut.6. Pengurangan VektorUntuk pengurangan vector sama dengan proses penjumlahan vector namun pada operasi antara vector A dengan vector B dikurangi bukan dijumlahkan. Pengurangan Vektor merupakan proses antara 2 buah vector yang dikurangkan dengan melihat arah dari komponen vector tersebut. Pengurangan vector akan bisa dioperasikan bila dioperasikan pada arah yang sama sementara bila arahnya berbeda maka vector tersebut tidak dapat dijumlahkan. Sebagai contoh dapat dilihat terdapat dua vector A dan B yang mempunyai komponen vector x,y,z. Dengan nilai besar dan arah vector sebagai berikut :A = Axax + Ayay + Azaz B = Bxbx + Byby + Bzbz Dapat dilihat pada komponen vector A dan B terdapat arah dari vector yaitu pada komponen ax, ay, dan az. Untuk proses pengurangan maka antara vector A dan B dapat dikurangkan besar nilai antara vector A dengan vector B yang mempunyai arah yang sama, maka untuk proses penjumlahannya menjadi :A + B = (A +B)ax + (A+B)ay + (A+B)azDapat dilihat pada proses pengurangan antara besar nilai vector A dan vector B dikurangi sesuai dengan arah dari vector tersebut dan selanjutnya dijumlahkan antara arah dari setiap komponen vector (x,y,z), sehingga bila digunakan angka maka dapat dilihat hasil dari penjumlahan vector tersebut.7. Perkalian dan Pembagian VektorPerkalian dan pembagian vektor merupakan suatu operasi yang menghasilkan sebuah vector baru. Pada perkalian atau pembagian besar vector hanya dapat dikalikan atau dibagi oleh scalar dari vector tersebut. Bila pada operasi perkalian atau pembagian vector menghasilkan vector yang baru dan menghasilkan scalar positif maka arah dari vector baru hasil perkalian atau pembagian mempunyai arah searah dengan vector awalnya sementara bila menghasilkan nilai scalar yang negative maka arah dari vector baru hasil perkalian atau pembagian mempunyai arah berlawanan arah dengan vector awalnya. Pada operasi perkalian vector terdapat 2 macam operasi perkalian yaitu perkalian titik (perkalian scalar) dan perkalian silang (perkalian vector).8. Perkalian Titik (dot) Dua VektorPerkalian titik merupakan perkalian scalar atau perkalian antara besar nilai vector A dengan besar vector B serta perkalian dengan sudut yang dibentuk antara kedua vector tersebut atau sudut yang terkecil, bila di buat dalam sebuah rumus maka dapat dilihat :A.B = |A| |B| cos ABPerkalian titik dua vector menghasilkan scalar baru. Bila diaplikasikan pada system koordinat kartesian maka dapat dilihat sebagai berikut dengan komponen vector yaitu x,y,z maka : Vector A = Axax + Ayay + Azaz , Vektor B = Bxbx + Byby + Bzbz . Pada dua komponen vector ini mempunyai arah yaitu x,y,z maka perkalian titik yang dilakukan yaitu antara sesama besar nilai dari vector A dengan vector B dengan arah yang sama selain itu dapat dilihat dari besar sudut yang timbul akibat adanya perbedaan antara vector satuan vector tersebut dalam bidang kartesian, besar sudut dari setiap vector tergantung dari perkalian titik yang digunakan bila perkalian titik antara arah vector yang sama tidak akan terdapat sudut antara vector A dan dengan vektor B atau 00 yang bernilai 1, sementara bila perkalian titik antara arah vector yang berbeda maka menghasilkan nilai sudut 900 yang bernilai 0 untuk lebih jelasnya dapat dilihat sebagai berikut.ax . ax = ay . ay = az . az = 1ax . ay = ay . ax = ax . az = az . ax = ay . az = az . ay = 0sementara untuk perkalian titik antara dua vector A dan B yaitu :A.B = AxBx + AyBy + AzBzDan jika perkalian titik antara vector yang sama maka :A.A = A2 = | A |29. Perkalian Silang (Cross) Dua VektorPerkalian silang (cross) merupakan suatu perkalian silang antara 2 buah vector yang menghasilkan sebuah vector yang tegak lurus pada kedua vector tersebut. Perkalian silang dilakukan antara 2 buah vektor (A X B) dimana besar nilai vektor A dikalikan dengan besar nilai dari vektor B dan selanjutnya dikalikan dengan sinus sudut terkecil antara vektor A dengan vektor B. Bila dirumuskan dapat dilihat sebagai berikut :A X B = aN | A | | B | sin ABUntuk mendefinisikan perkalian silang antara vektor A dan B (A X B) dapat digambarkan seperti contoh dibawah ini dimana digambarkan sebuah sekrup yang diputar ke kanan sesuai arah jarum jam. Gambarnya dapat dilihat dibawah ini :

Pada gambar diatas digabarkan terdapat dua buah vektor A dan B pada bidang tegak lurus. Vektor A digambarkan tegak lurus pada bidang datar sedangkan vektor B digambarkan terletak pada bagian datar. Pada bagian atas terdapat sekerup yang mempunyai arah putaran kekanan yang menunjukan arah dari vektor A dan B. arah dari vektor A dan B ini menunjukan perkalian silang antara arah dari vektor A dan vektor B (A X B). Bila digambarkan menggunakan rumus maka perkalian silang antara vektor A dan B yang mempunyai komponen vektor x,y,z yaitu :A X B = (Axax + Ayay + Azaz ) X (Bxbx + Byby + Bzbz )Untuk perkalian silang antar vektor satuan dapat dilihat seperti dibawah ini :ax x ay = az , ay x az = ax , dan az x ax = ayay x ax = - az , az x ay = - ax , dan ax x az = - ay Selain menggunakan operasi perkalian biasa untuk menentukan perkalian silang antara vektor A dan vektor B dapat digunakan metode matrik dengan mencari determinan vektor A dan B untuk menemukan hasil vektor baru dari perkalian silang. Pada matrik ini menggunakan arah dari komponen vektor A dan B, besar dari vektor A dan besar dari vektor B. sehingga bila diimplementasikan ke dalam matriks menjadi :

Maka bila diambil determinan dari matrik A x B pada ax, ay , az maka hasilnya menjadi :A x B = (AyBz AzBy )ax + (AzBx AxBz )ay + (AxBy AyBx )az10. Sistem Koordinat KartesianSystem koordinat kartesian merupakan system kordinat yang saling tegak lurus antar sumbunya. System kordinat kartesian dinyatakan dalam tiga sumbu yaitu sumbu x, y, z. bila digambarkan yaitu :

XZY

Pada aplikasi sehari hari koordinat kartesian dapat diaplikasikan dengan kaidah tangan kanan seperti pada gambar dibawah ini :

Posisi jari jempol menunjukan sumbu z, jari telunjuk menunjukan sumbu x dan sisanya menunjukan sumbu x. untuk menentukan arah dari sebuah vektor pada sebuah koordinat kartesian maka dapat dilihat pada gambar dibawah ini :

XaxZYayaz

Dapat dilihat pada gambar arah dari vektor satuan dengan komponen x,y,z terletak pada sumbu sebaliknya dari sumbu x,y,z tersebut. Pada koodinat kartesian lebih pada penggunaan pada bidang yang tegak lurus saja seperti kubus maupun balok. Dalam koordinat kartesian menggunakan system persamaan diferensial dalam penyelesaiannya. Terdapat 3 bentuk diferensial yaitu : Diferensial garis Rumus dari diferensial garis yaitu : : l = x , y dan z Diferensial luasRumus dari diferensial luas yaitu : A = x y , y z , dan x z Diferensial volumeRumus dari diferensial volume yaitu : V = x y z.Untuk menentukan luas maupun volume dari sebuah balok ataupun kubus maka harus merepresentasikan vektor vektor yang membangun sebuah balok pada bidang kartesian. Seperti contoh pada gambar dibawah ini :

Dapat dilihat pada gambar ( c ) diatas terdapat sebuah vektor rP yang arahnya ditentukan oleh penghubung antara titik asal dengan titik P (1, 2, 3) maka vektor rP ini dapat ditulis yaitu rP = ax + 2 ay + 3 az. pada vektor selanjutnya ada vektor rQ yang dari titik asal menuju kearah dari vektor RPQ. Vektor rQ ini mempunyai titik Q(2, -2, 1) dari titik ini maka dapat ditulis vektor rQ = 2ax 2ay + az. karena vektor dari titik asal ke titik P ditambahkan dengan vektor dari titik P ke titik Q sama dengan vektor dari titik asal ke titik Q maka dapat dituliskan besar dari vektor baru yang terbentuk ( RPQ) dengan memakai aturan penjumlahan vektor yaitu : RPQ = rQ rP = (2 1) ax + (-2 -2) ay + (1 3) az = ax 4ay 2az.11. Sistem Koordinat TabungSistem koordinat tabung merupakan system koordinat yang hampir sama dengan koordinat kartesian tetapi bila pada koordinat kartesian mempunyai titik P(x,y,z), sementara koordinat tabung memiliki titik P(r,,z). selain itu koordinat tabung merupakan versi tiga dimensi dari koordinat polar (koordinat kutub) dalam geometri analitik. Dalam koordinat kutub dua dimensi, sebuah titik dalam bidang ditentukan bila mempunyai jarak p atau r dari titik asal, sudut antara garis yang menghubungkan titik asal dengan titik tersebut garis radial (sebarang) yang dipilih sebagai referensi. Pada kordinat tabung memiliki titik P(r,,z) dimana r merupakan koordinat pada jari jari tabung, adalah sudut yang terbentuk antara sumbu x dengan r dan z merupakan tinggi dari tabung. Untuk lebih jelasnya dapat dilihat seperti gambar dibawah ini : (a) (b)Pada gambar a dapat dilihat titik titik koordinat sumbu P(r, , z) sementara pada gambar b dapat dilihat arah arah dari komponen vektor P yang mempunyai arah az,a,ar. Bila di gambarkan koordinat tabung pada korrdinat kartesian maka seperti gambar di bawah ini :

Pada gambar koordinat tabung diatas terlihat suatu gambar tabung yang disusun dari beberapa komponen vektor. Pada komponen titik vektor P (r1,1,z1) yang terdiri dari 3 vektor satuan, vektor tersebut yaitu : Vektor satuan ar yang arahnya menjauhi titik asal, dan normal pada bidang permukaan bidang tabung. Vektor satuan a mempunyai arah yang sama dengan arah bertambahnya . Vektor satuan a z dalam koordinat Cartesian adalah vektor satuan dalam koordinat tabung.Dapat dilihat dari ketiga vektor satuan tersebut saling tegak lurus, karena masing masing vektor arahnya normal pada salah satu dari tiga bidang yang saling tegak lurus. Dalam koordinat tabung ada 3 bentuk diferensial yaitu : Diferensial garis : l = r , r dan z Diferensial luas : A = rr , r z , dan r z Diferensial volume : V = rr zUntuk mentransormasikan koordinat kartesian dan tabung maka harus merubah setiap titik komponennya. Untuk lebih jelasnya bisa mengandaikan titik dalam kordinat Cartesian yaitu (x,y,z) maka bila akan merubah ke koordinat tabung maka harus merubah titinya ke (p, , z). digunakan aturan atau rumus untuk merubanya. Rumusnya dapat dilihat dibawah ini :Transformasi koordinat tabung ke kartesian

Transformasi koordinat kartesian ke tabung

Perkalian titik dan vektor satuan dalam system koordinat tabung dan koordinat kartesian dapat dilakukan apabila vektor A dinyatakan dalam komponen vektor yaitu : Koordinat kartesian : A = Axax + Ayay + Azaz KooRdinat tabung : A = Apap + Aa + AzazUntuk mendapatkan komponen vektor dalam koordinat tabung maka perlu dilakukan perkalian titik antara kedua vektor satuan sehingga didapatkan seperti table dibawah ini :

12. Koordinat BolaKoordinat bola memiliki titik koordinat yaitu r, , dan dimana r merupakan jarak dari titik asal ke titik yang ditinjau, merupakan sudut antara sumbu z dan garis yang ditarik dari titik asal ke titik yang ditinjau. merupakan sudut antara sumbu x dengan garis proyeksi dari garis yang menghubungkan titik asal dengan titik yang ditinjau pada bidang z = 0. Pada permukaan koordinat bola terdiri dari permukaan r yaitu tetapan, permukaan merupakan tetapan dari sebuah kerucut dan setiap titik perpotongan permukaan bola dan kerucut selalu saling tegak lurus dan permukaan adalah tetapan dari sebuah bidang datar yang melalui garis = 0 (atau sumbu z). dapat dilihat pada gambar dibawah ini system koodinat bola : Dapat dilihat pada gambar r menunjukan jari jari dari bola dan , merupakan sudut yang terbentuk. Untuk melihat lebih jelas struktur bola yang terbentuk dapat dilihat pada gambar dibawah ini.

Pada koordinat bola memiliki vektor satuan yaitu vektor satuan ar memiliki arah ke luar titik asal, normal terhadap permukaan bola. Vektor satuan a normal terhadap permukaan kerucut terletak pada bidang datar dan menyinggung permukaan bola. Vektor satuan a yaitu vektor satuan dalam koordinat tabung normal terhadap bidang datar dan menyinggung permukaan kerucut dan permukaan bola. Ketiga vektor satuan ini saling tegak lurus karena masing masing vektor arahnya normal pada salah satu dari tiga bidang yang saling tegak lurus. Elemen volume diferensial dalam koordinat bola memperhatikan pertambahan r, , dengan r, dan . Untuk menentukan diferensial dari koordinat bola seperti diferensial garis, diferensial luas dan diferensial volume dapat dinyatakan dibawah ini : Diferensial garis : l = r , r dan r sin r Diferensial luas : = r r , r sin r dan r2 sin . Diferensial volume = r2 sin r .Untuk mentransformasikan system koordinat cartesian dan korrdinat bola dapat mengandaikan dalam koordinat Cartesian terdapat titik (x, y, z) dan koordinat bola terdapat titik (r, ,) maka harus dirubah setiap titik komponennya. Untuk lebih jeasnya perubahannya dapat dilihat di bawah ini : Perubahan koordinat bola ke kartesianx = r sin cos y = r sin sin z = r cos

Perubahan koordinat kartesian ke bola

Untuk perkalian titik antara vektor satuan dalam koordinat bola dengan vektor satuan dalam koordinat kartesian terdapat komponen vektornya yaitu : Koordinat kartesian A = Ax ax + Ay ay + Az Koordinat bola : A = Ar ar + A a + A a Untuk memperoleh komponen vektor dalam koordinat bola maka dilakukan perkalian titik antara vektor satuan. Perubahan dari setiap komponen vektor satuan dapat dilihat pada table dibawah ini :