PEMODELAN PERMAINAN MONOPOLI

MENGGUNAKAN RANTAI MARKOV

Bilqis El Jilnar

104094003021

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI

SYARIF HIDAYATULLAH

JAKARTA

2011 M/1432 H

i

PEMODELAN PERMAINAN MONOPOLI

MENGGUNAKAN RANTAI MARKOV

Skripsi

Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh

Gelar Sarjana Sains

Fakultas Sains dan Teknologi

Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta

Oleh :

Bilqis El Jilnar

104094003021

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI

SYARIF HIDAYATULLAH

JAKARTA

2011 M/1432 H

ii

PENGESAHAN UJIAN

Skripsi berjudul “Pemodelan Permainan Monopoli Menggunakan Rantai

Markov “ yang ditulis oleh Bilqis El Jilnar, NIM 104094003021 telah di uji dan

dinyatakan lulus dalam sidang Munaqosyah Fakultas Sains dan Teknologi

Universitas Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta pada tanggal 13 Juni 2011. Skripsi

ini telah diterima sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana strata

satu (S1) Program Matematika.

Menyetujui

Penguji 1 Penguji 2

Taufik Edy Sutanto, M. ScTech

NIP. 19790530 200604 1 002

Yanne Irene, M. Si

NIP. 19741231 200501 2 018

Pembimbing 1 Pembimbing 2

Hermawan Setiawan, M.Ti

NIP. 19740623 199312 2 001

Nur Inayah, M. Si

NIP.19740125 200312 2 001

Mengetahui

Dekan Fakultas Sains Dan Teknologi Ketua Program Studi Matematika

Dr. Syopiansyah Jaya Putra, M. Si

NIP. 19680117 200112 1 001

Yanne Irene, M. Si

NIP. 19741231 200501 2 018

iii

PERNYATAAN

DENGAN INI SAYA MENYATAKAN BAHWA SKRIPSI INI BENAR-

BENAR HASIL KARYA SENDIRI YANG BELUM PERNAH DIAJUKAN

SEBAGAI SKRIPSI PADA PERGURUAN TINGGI ATAU LEMBAGA

MANAPUN.

Jakarta, Juni 2011

Bilqis El Jilnar

104094003021

iv

PERSEMBAHAN DAN MOTTO

Skripsi ini ku hadiahkan untuk Papa dan Mama tercinta. Orang tua terhebat di dunia.

Terima kasih atas segalanya. Maaf...belum bisa memberikan yang terbaik. Bersabarlah...semua pasti akan kembali membaik.

Dan aku selalu bangga terlahir sebagai putri kalian... I love you

Kesulitan tidaklah bermaksud menggagalkan langkahmu. Dia hanya sekedar bertanya sebesar

apa hasratmu tuk meraih cita, sekuat apa tekadmu untuk meraih impian, jika jawabanmu

memuaskannya maka dengan senang hati dia akan memperkenalkanmu pada ”sahabat

sejati”nya yaitu kemudahan.

” Maka sesungguhnya bersama kesulitan ada kemudahan ”

(QS. Al- Insyirah: 5)

v

ABSTRAK

Permainan monopoli termasuk dalam proses stokastik. Salah satu bentuk

khusus dari proses stokastik adalah rantai Markov, sehingga rantai Markov

digunakan untuk menggambarkan probabilitas perpindahan bidak pada permainan

Monopoli dalam bentuk matriks transisi probabilitas. Untuk menggambarkan

Long Run Behaviour dari rantai Markov permainan Monopoli harus dibuktikan

bahwa matriks transisi probabilitasnya regular, sehingga diperoleh probabilitas

steady state yang menggambarkan tentang probabilitas perpindahan bidak, dimana

setelah beberapa periode akan mencapai suatu keadaan seimbang yang tidak

berubah–ubah lagi. Sebuah state yang memiliki nilai probabilitas yang tinggi

pada saat steady mengindikasikan bahwa petak tersebut mempunyai kemungkinan

yang besar untuk terus disinggahi oleh pemain lain. Dari pemodelan dan

perhitungan yang dilakukan didapatlah empat petak pertama yang memiliki nilai

ekspektasi tertinggi yaitu petak Jalan Gatot Subroto, Jalan Thamrin, Bandara

Surabaya dan Bandara Denpasar. Pemodelan yang dilakukan ini banyak

mengenyampingkan faktor-faktor lain. Jadi disarankan untuk dilakukan penelitian

lanjutan untuk menggambarkan permainan secara keseluruhan.

Kata Kunci : Permainan Monopoli, Rantai Markov, dan Nilai Ekspektasi.

vi

ABSTRACT

The game of monopoly is included in stochastic process. One special

form of stochastic process is a Markov chain, so that the Markov chain can be

used to describe the probability of token’s movement in the form of transition

probability matrix. To illustrate the long run behavior of markov chain of

Monopoly it must be proven that the transition probability matrix is regular, so

that will be obtained the steady state probability of the token’s movement from

one square to another, where after a few periods will reach a steady state that does

not change anymore. A state that has a high probability value at steady condition

indicates that the square has a great chance to be visited by other players

continuously. From modeling and calculations carried out, we get the first four

square that have the highest expected value. The squares are Gatot Subroto street,

Thamrin street, Surabaya airport and Denpasar airport. This modeling done with

many other factors aside. So it is advisable to do further research to describe the

whole game.

Keywords: The game of Monopoly, Markov Chain and Expected value.

.

vii

KATA PENGANTAR

Assalamu’alaikum Wr. Wb.

Puji syukur kehadirat Allah SWT karena atas rahmat dan hidayah-Nya

skripsi ini dapat terselesaikan. Salawat dan salam selalu tercurah kepada

junjungan Nabi Muhammad SAW yang menjadi rahmat bagi semesta alam.

Dalam penyusunan skripsi ini banyak pihak yang telah memberikan

bantuan sehingga skripsi ini dapat terselesaikan. Penulis mengucapkan terima

kasih untuk bantuannya yang disampaikan kepada :

1. Dr. Syopiansyah Jaya Putra, M.Si, Dekan Fakultas Sains dan Teknologi.

2. Yanne Irene, M.Si, Ketua Program Studi Matematika, Summa’ina, M. Si,

Sekretaris Program Studi Matematika yang senantiasa memberikan

bimbingan dengan penuh kesabaran, nasihat, bantuan, dan semangat

kepada penulis.

3. Hermawan Setiawan, M.Ti, Dosen Pembimbing I yang telah memberikan

bimbingan dengan penuh kesabaran.

4. Nur Inayah, M.Si, Dosen Pembimbing II yang telah memberikan

bimbingan dan support dengan penuh kesabaran dalam penyusunan skripsi

penulis.

5. Seluruh dosen Program Studi Matematika yang telah mengajarkan ilmu-

ilmu yang bermanfaat bagi penulis.

6. Semua staf Fakultas Sains dan Teknologi yang telah membantu dalam

administrasi skripsi ini.

viii

7. Papa dan Mama, yang tak henti-hentinya memberikan do’a, semangat,

perhatian, kasih sayang untuk keberhasilan penulis. Abang wawan, Nia,

Igam, Nova, Ayen dan dede Davi keponakan tersayang yang telah

memberikan dukungan dan inspirasi kepada penulis.

8. Irfan Abubakar beserta keluarga yang telah menemani perjalanan hidup

penulis selama di Jakarta, yang turut memberikan do’a, bantuan, dan

perhatiannya.

9. Kakakku, Dennis Sugianto yang telah mendampingi dan memberikan

banyak bantuan, doa, serta perhatiannya kepada penulis.

10. Sahabat-sahabatku Suci, Nurul, Neneng, Vivi, Lina, Siro, Vay, dan teman-

teman 2004, Saudara-saudaraku dikosan Maryam, Mpit, Wilda, Nonik,

Tiara, Miftarini dan Sensi, terima kasih atas doa, support, dan

pengertiannya.

11. Soulmateku Citra annisa, Retno Rondiyahwati dan Lina rahmawati yang

banyak memberi support, kasih sayang dan pundaknya untuk mendengar

semua keluh kesah penulis.

12. Mahmudi S, Si, Teman diskusi terbaik.

13. Teman-teman seperjuangan Focus Management dan LDK UIN Syarif

Hidayatullah atas ilmu, pengalaman, dan ukhuwahnya. Jangan berhenti

berkarya, SEMANGAT !

Jakarta, Juni 2011

Penulis

ix

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ............................................................................................... i

PENGESAHAN UJIAN ........................................................................................ ii

PERNYATAAN .................................................................................................... iii

PERSEMBAHAN DAN MOTTO ........................................................................ iv

ABSTRAK ............................................................................................................. v

ABSTRACT .......................................................................................................... vi

KATA PENGANTAR ......................................................................................... vii

DAFTAR ISI ......................................................................................................... ix

DAFTAR TABEL ................................................................................................. xi

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang ......................................................................... 1

1.2 Permasalahan............................................................................ 2

1.3 Pembatasan masalah................................................................. 2

1.4 Tujuan Penelitian ..................................................................... 3

1.5 Manfaat Penelitian ................................................................... 3

BAB II LANDASAN TEORI

2. 1 Teori Probabilitas ..................................................................... 4

2. 1. 1 Probabilitas ................................................................... 4

2. 1. 2 Probabilitas beberapa peristiwa.................................... 6

2. 1. 3 Probabilitas bersyarat.………………………………… 10

2. 2 Sistem Persamaan Linear …………………………………… 11

x

2. 3 Matrik ....................................................................................... 12

2. 4 Variabel Acak………………………………………………… 14

2. 5 Aritmatika Modulo …………………………………………… 15

2. 6 Proses Stokastik ....................................................................... 15

2. 7 Rantai Markov ......................................................................... 16

2. 7. 1 Matriks transisi probabilitas dari rantai Markov……… 17

2. 7.2 Matriks transisi probabilitas Regular …………………. 18

BAB III PERMAINAN MONOPOLI

3. 1 Permainan monopoli ................................................................ 20

3. 2 Matriks Transisi Probabilitas ................................................... 26

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN

4. 1 Analisa semua kemungkinan kedua mata dadu ....................... 34

4. 2 Analisa matriks transisi probabilitas ........................................ 39

4. 3 Analisa nilai harapan………………………………………..... 47

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN

5. 1 Kesimpulan…………………………………………………… 51

5. 2 Saran……………………………………………………………51

REFERENSI…………………………………………………………………… 52

xi

DAFTAR TABEL

Tabel 3. 1 Nama petak – petak dan harga sewa tanah pada papan

Monopoli……………………………………………………… 27

Tabel 3. 2 Matriks Transisi Probabilitas ……………………………………28

Tabel 3. 3 Sebaran probabilitas berdasarkan jumlah angka dadu………… 29

Tabel 3. 4 Sebaran probabilitas berdasarkan kartu dana umum…………… 30

Tabel 3. 5 Sebaran probabilitas berdasarkan kartu kesempatan …………… 32

Tabel 4. 1 Matriks Q ……………………………………………………… 43

Tabel 4. 2 Probabilitas steady state Matriks Q …………………………..… 45

Tabel 4. 3 Nilai harapan dari petak pada permainan Monopoli……………..47

Tabel 4. 4 Nilai harapan yang sudah diurutkan……………………………...49

1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Permainan monopoli adalah permainan papan yang terkenal di dunia, tidak

saja anak-anak yang senang memainkannya, para remaja dan orang dewasa juga

larut dalam permainan tersebut. Tujuan utama dari permainan monopoli adalah

menguasai semua daerah/petak monopoli melalui pembelian, penyewaan dan

pertukaran properti. Setiap pemain melemparkan dadu secara bergiliran untuk

memindahkan bidaknya, dan apabila mendarat di petak yang belum dimiliki oleh

pemain lain, ia dapat membeli petak itu sesuai harga yang tertera. Bila petak itu

sudah dibeli pemain lain, ia harus membayar pemain itu dengan uang sewa yang

jumlahnya juga sudah ditetapkan.

Permainan ini adalah simulasi dari bisnis properti di dunia nyata. Para

pemain dilatih dalam membuat keputusan-keputusan finansial. Seperti kapan

waktu membeli, menahan dan menjual. Permainan ini sangat mengandalkan

intuisi bisnis, pemain diharapkan jeli dalam memperhitungkan faktor lokasi dari

aset-aset yang akan dibeli, harga, dan prospek aset tersebut. Dalam permainan

Monopoli, suatu petak dikatakan mempunyai prospek yang baik ketika petak

tersebut sering disinggahi oleh para pemain lain dan menghasilkan keuntungan

bagi pemiliknya.

Perpindahan bidak-bidak ditentukan oleh angka yang keluar pada saat

pelemparan dadu dan instruksi tambahan pada kartu kesempatan dan dana umum.

2

Pelemparan dadu dilakukan tidak hanya sekali, melainkan berkali-kali

pelemparan. Hasil pelemparan dadu tersebut dapat berubah sewaktu-waktu dan

tidak pasti, sehingga perpindahan bidak-bidak tersebut tidak dapat diprediksikan.

Keadaan yang tidak pasti atau bersifat probabilistik ini termasuk proses stokastik.

Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik adalah rantai Markov,

sehingga rantai Markov digunakan untuk membantu memodelkan permainan

monopoli. Berdasarkan latar belakang masalah tersebut maka penulis mencoba

membahas tentang “ Pemodelan Permainan Monopoli menggunakan Rantai

Markov ”.

1.2 Permasalahan

Permasalahan yang akan diselesaikan pada penelitian ini adalah bagaimana

menentukan urutan investasi terbaik dengan melihat nilai harapan keuntungan

menggunakan Long Run Behaviour rantai Markov pada permainan Monopoli ?

1.3 Pembatasan masalah

Dalam penelitian ini, penulis membatasi masalah yang akan dibahas adalah

sebagai berikut :

1. Perpindahan bidak pada setiap petak berdasarkan hasil pelemparan

dadu dan terambilnya kartu dana umum dan kesempatan.

2. Tidak mengikutsertakan peraturan tentang melempar kembali ketika

angka kembar muncul.

3

3. Pemain diasumsikan langsung keluar dari petak penjara ketika berhenti

pada petak penjara.

4. Harga yang digunakan untuk menghitung nilai harapan adalah harga

sewa tanah dan sewa petak perusahaan publik tidak diikutsertakan.

1.4 Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah menentukan urutan investasi terbaik

dengan melihat nilai harapan keuntungan menggunakan Long Run Behaviour

rantai Markov pada permainan Monopoli

1.5 Manfaat Penelitian

Manfaat dari penelitian ini adalah membantu pemain dalam menentukan

kebijakan atau strategi yang optimal dan tepat dalam membeli petak / daerah

dalam permainan monopoli sehingga pemain dapat memenangkan permainan

dengan jumlah kekayaan yang diharapkan. Dan penulis berharap penelitian ini

dapat menambah wawasan tentang penggunaan rantai Markov, serta dapat

membawa masalah-masalah baru dalam bidang proses stokastik, sehingga akan

muncul penelitian-penelitian yang lain.

4

BAB II

LANDASAN TEORI

2. 1 Teori Probabilitas

Menurut [5], ruang contoh adalah himpunan semua kemungkinan yang

terjadi pada suatu percobaan dan biasanya dilambangkan dengan huruf S. Titik

contoh adalah anggota-anggota dari ruang sampel atau kemungkinan-

kemungkinan yang muncul. Himpunan bagian dari ruang sampel disebut kejadian.

Kejadian dengan satu titik sampel disebut kejadian sederhana. Kejadian dengan

gabungan beberapa kejadian sederhana disebut kejadian majemuk. Berikut adalah

beberapa pengolahan terhadap kejadian yang akan menghasilkan kejadian baru.

a. Irisan dua kejadian. Irisan dua kejadian A dan B, dinyatakan dengan

lambang A B adalah kejadian yang mengandung semua unsur

persekutuan kejadian A dan B.

b. Kejadian saling terpisah. Dua kejadian A dan B dikatakan saling terpisah

bila A B = ; artinya A dan B tidak memiliki unsur persekutuan.

c. Gabungan dua kejadian. Paduan dua kejadian A dan B, dilambangkan

dengan AB, adalah kejadian yang mencangkup semua unsur atau anggota

A atau B atau keduanya.

2. 1. 1 Probabilitas

Menurut [7], definisi mengenai probabilitas dapat dilihat dari tiga macam

pendekatan. Yaitu pendekatan klasik, pendekatan frekuensi relatif dan pendekatan

subjektif.

5

a. Pendekatan klasik

Menurut pendekatan klasik, probabilitas didefinisikan sebagai hasil bagi

banyaknya peristiwa yang dimaksud dengan seluruh peristiwa yang mungkin.

( )( )

( )

n A banyaknya cara terjadinya kejadian AP A

n S banyak semua kejadian

(2.1)

Dengan demikian:

1. Nilai probabilitas kejadian (A) selalu berada pada selang [0,1] atau

0 ( ) 1P A .

2. Nilai probabilitas dari A, jika A adalah peristiwa yang tidak mungkin

terjadi adalah 0 atau 0P A .

3. Nilai probabilitas dari A, jika A adalah suatu peristiwa yang pasti terjadi

adalah satu atau ( ) 1P A .

b. Pendekatan frekuensi relatif

Menurut pendekatan frekuensi relatif, probabilitas dapat didefinisikan

sebagai berikut:

1. Proporsi waktu terjadinya suatu peristiwa dalam jangka panjang, jika

kondisi stabil.

2. Frekuensi relatif dari seluruh peristiwa dalam sejumlah besar percobaan.

Probabilitas berdasarkan pendekatan ini sering disebut sebagai

probabilitas Empiris. Nilai probabilitas ditentukan melalui percobaan,

sehingga nilai probabilitas itu merupakan limit dari frekuensi relatif peristiwa

tersebut

( ) lim , untuk n .f

P X xn

(2.2)

6

Dimana : ( )P X x = probabilitas terjadinya peristiwa x

f = frekuensi peristiwa x

n = banyaknya peristiwa yang bersangkutan

c. Pendekatan subjektif

Menurut pendekatan subjektif, probabilitas didefinisikan sebagai tingkat

kepercayaan individu atau kelompok yang didasarkan pada fakta- fakta atau

peristiwa masa lalu yang ada atau berupa terkaan saja. Seorang direktur akan

memilih seorang karyawan dari 3 orang calon yang telah lulus ujian saringan.

Ketiga calon tersebut sama pintar, sama lincah dan semuanya penuh kepercayaan.

Probabilitas tertinggi (kemungkinan diterima) menjadi karyawan ditentukan

secara subjektif oleh sang direktur.

2. 1. 2 Probabilitas beberapa peristiwa

A. Peristiwa saling lepas

Dua peristiwa atau lebih disebut peristiwa saling lepas apabila kedua atau

lebih peristiwa tersebut tidak dapat terjadi pada saat yang bersamaan. Contoh dari

peristiwa saling lepas adalah bila kita melempar sebuah koin, keluaran yang

mungkin adalah bagian atas atau bagian bawah dari uang logam itu, tetapi

keduanya tidak mungkin terjadi secara bersama-sama. Contoh lainnya adalah bila

kita melempar sebuah dadu, maka mata dadu yang keluar mungkin mata 1, 2, 3, 4,

5, atau 6, tetapi keenam mata dadu ini tidak mungkin keluar secara bersamaan.

Untuk dua peristiwa A dan peristiwa B yang saling lepas, maka probabilitas

terjadinya peristiwa tersebut adalah sebagai berikut:

( ) ( ) ( ).P A B P A P B (2.3)

7

Sedangkan untuk tiga peristiwa A, B, dan C yang saling lepas, maka

probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah :

( ) ( ) ( ) ( ).P A B C P A P B P C (2.4)

B. Peristiwa tidak saling lepas

Dua atau lebih peristiwa dikatakan peristiwa tidak saling lepas apabila kedua

atau lebih peristiwa tersebut dapat terjadi pada saat yang bersamaan. Untuk dua

peristiwa A dan B yang tidak saling lepas, probabilitas terjadinya peristiwa

tersebut adalah :

( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B . (2.5)

Contoh : Sebuah perusahaan memiliki 10 karyawan pria dan 14 karyawan wanita

separuh dari karyawan pria dan separuh dari karyawan wanita adalah sarjana

teknik. Jika diambil seorang karyawan secara acak, berapa probabilitas yang

terambil itu adalah wanita atau sarjana teknik?

Jawab: Misalkan A = Wanita

B = Sarjana teknik

AB = Wanita dan sarjana teknik

14( ) 0.58

24P A

12( ) 0.50

24P B

7( ) 0.29

24P AB

( ) ( ) ( ) ( )

0.58 0.5 0.29

0.79

P A B P A P B P AB

8

C. Peristiwa saling bebas

Dua peristiwa atau lebih dikatakan saling bebas apabila terjadinya peristiwa

yang satu tidak mempengaruhi atau dipengaruhi terjadinya peristiwa yang lainnya.

Untuk dua peristiwa A dan B yang saling bebas, probabilitas terjadinya peristiwa

tersebut adalah :

( ) ( ) ( ).P A B P A P B (2.6)

Contoh : Sebuah mata uang logam dan sebuah dadu dilemparkan ke atas secara

bersamaan. Tentukan probabilitas munculnya gambar pada mata uang dan angka 4

pada mata dadu !

Jawab : Misalkan : A = Munculnya gambar pada mata dadu

B = Munculnya angka pada mata dadu

D. Peristiwa tidak saling bebas (peristiwa bergantung)

Dua peristiwa atau lebih dikatakan peristiwa tidak saling bebas apabila

terjadinya peristiwa yang satu mempengaruhi atau dipengaruhi terjadinya

peristiwa yang lainnya. Untuk dua peristiwa A dan B yang tidak saling bebas,

probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah :

( ) ( ). ( | ).P A B P A P B A (2.7)

Sedangkan untuk tiga peristiwa yang saling bebas , probabilitas terjadinya

peristiwa tersebut adalah :

1 1( ) ( )

2 6

1 1 1( ) ( ). ( )

2 6 12

P A P B

P A B P A P B

9

( ) ( ). ( | ) ( | ( ).P A B C P A P B A P C A B (2.8)

Contoh : Dari satu set karu bridge berturut-turut diambil kartu sebanyak 2 kali

secara acak. Hitunglah probabilitas terambilnya kartu King (K) pada pengambilan

pertama dan kartu As (A) pada pengambilan kedua, jika kartu pada pengambilan

pertama tidak dikembalikan ?

Jawab : Misalkan : A = Pengambilan pertama keluar King

B = pengambilan kedua keluar As

4 4( ) ( ). ( ) 0.006

52 51P A B P A P B

E. Peristiwa komplementer

Peristiwa komplementer adalah peristiwa yang saling melengkapi. Jika

peristiwa A komplementer terhadap peristiwa B, maka probabilitas peristiwa

tersebut adalah :

( ) ( ) 1.P A P B (2.9)

yang juga berarti

( ) 1 ( ).P A P B (2.10)

( ) 1 ( ).P B P A (2.11)

Contoh : Berapakah probabilitas kartu yang dipilih secara acak dari satu set kartu

bridge bukan angka sepuluh?

Jawab : Misalkan : A = Pengambilan angka 10.

B = pengambilan bukan angka 10.

4( )

52

4( )

51

P A

P B

10

( ) 4( ) 0.0769

52

n AP A

N

( ) 1 0.0769 0.9231P B

2. 1. 3 Probabilitas Bersyarat

Menurut [5], probabilitas terjadinya kejadian B bila diketahui bahwa suatu

kejadian lain A telah terjadi disebut probabilitas bersyarat dan dilambangkan

dengan ( | )P B A . Lambang ( | )P B A dibaca ”Probabilitas terjadinya B bila A

telah terjadi” atau lebih singkat ”Probabilitas B, bila A diketahui”. Didefinisikan

sebagai:

( )( | ) , ( ) 0.

( )

P A BP B A P A

P A

(2.12)

Jika terjadinya B sama sekali tidak mempengaruhi terjadinya A, maka terjadinya A

bebas dari terjadinya B.

Definisi 2.1.3.1 : Dua kejadian A dan B dikatakan bebas bila

( | ) ( ).P B A P B (2.13)

Atau

( | ) ( ).P A B P A (2.14)

Bila hal itu tidak dipenuhi, A dan B dikatakan tidak bebas

Dengan menggandakan kedua sisi rumus probabilitas bersyarat yang

didefinisikan di atas dengan P(A), kita mendapatkan kaidah penggandaan atau

kaidah multiplikatif yang penting berikut ini, yang memungkinkan kita

menghitung probabilitas terjadinya dua kejadian sekaligus.

11

Definisi 2.1.3.2 : Bila dalam suatu percobaan kejadian A dan B keduanya dapat

terjadi sekaligus, maka

( ) ( ) ( | ).P A B P A P B A (2.15)

2. 2 Sistem Persaman Linear

Definisi 2.3.1 : Bentuk 1 1 2 2 n na x a x a x b disebut persamaan linear

dengan 1 2, , , na a a dan b adalah skalar, dimana

ia disebut koefisien dan b

disebut konstanta dari persamaan sedangkan 1 2, ,..., nx x x disebut variabel.

Sekumpulan variabel misalkan 1 1 2 2, , , n nx k x k x k disebut solusi dari

persamaan, apabila terpenuhi 1 1 2 2 3 3 n na k a k a k a k b . Solusi tersebut

dapat kita tulis dalam notasi vektor 1 2 3, , , , nk k k k .

Pandanglah m buah persamaan-persamaan linear dengan n variabel:

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

1 1 2 2

(1)

n n

n n

i i in n i

m m mn n m

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

ija dan ib masing-masing koefisien-koefisien dan konstanta persaman-persamaan

linear (1) tersebut, untuk 1, 2, ,i m dan 1, 2, ,j n . Dengan perkalian

matriks, persamaan-persamaan di atas dapat ditulis menjadi AX = B, dimana

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m m mn

a a a

a a aA

a a a

12

berukuran ( )m n dan disebut matriks koefisien dari susunan (1), dan

nx

x

x

X

.

.

.

2

1

dan

nb

b

b

B

.

.

.

2

1

adalah vektor-vektor kolom variabel dan konstanta. [2]

2. 3 Matriks

Menurut [1], matriks adalah suatu susunan bilangan berbentuk segiempat.

Bilangan-bilangan dalam susunan itu disebut anggota dalam matriks. Ukuran

matriks diberikan oleh jumlah baris dan kolom yang dikandungnya. Misalnya,

matriks A mempunyai tiga baris dan tiga kolom, sehingga ukurannya adalah 3 kali

2 ( ditulis 3 2 ). Sebuah matriks dengan hanya satu kolom disebut matriks kolom,

dan sebuah matriks dengan hanya satu baris disebut matriks baris.

Anggota pada baris i dan j dari sebuah matriks A akan dinyatakan sebagai

ija . Jika banyaknya baris = m dan banyaknya kolom = n, maka matriks m nA dapat

ditulis sebagai:

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m m mn

a a a

a a aA

a a a

Apabila banyak baris sama dengan banyak kolom atau m n , maka

matriks tersebut disebut matriks bujur sangkar.

13

Definisi 2.2.1 : Jika A adalah sebuah matriks m r dan B adalah sebuah matriks

r n , maka hasil kali AB adalah matriks m n yang anggota-anggotanya

didefinisikan sebagai berikut. Untuk mencari anggota dalam baris i dan kolom j

dari AB, pilih baris i dari matriks A dan kolom j dari matriks B, kalikan anggota-

anggota yang berpadanan dari baris dan kolom secara bersama-sama dan

kemudian jumlahkan hasil kalinya.

Jika A = [ ]ija adalah suatu matriks umum m r dan B = [ ]ijb adalah suatu

matriks umum r n , maka sebagaimana definisi diatas anggota ( )ijAB pada baris

i dan kolom j dari AB diberikan

1 1 2 2 3 3( )ij i j i j i j ir rjAB a b a b a b a b (2.16)

11 12 1

11 12 1 121 22 2

21 22 2 2

1 2

1 2

1 2

r

j nr

j n

i i ir

r r rj rn

m m mr

a a a

b b b ba a a

b b b bAB

a a a

b b b b

a a a

Syarat perkalian matriks adalah jumlah banyaknya kolom matriks pertama sama

dengan jumlah banyaknya baris matriks kedua.

Definisi 2.2.2 : Jika A adalah sebuah matriks bujur sangkar, dan jika sebuah

matriks B yang berukuran sama bisa didapatkan sedemikian sehingga AB = BA =

I, maka A disebut bisa dibalik dan B disebut invers dari A.

Teorema 2.2.2 : Jika A adalah suatu matriks n n yang bisa dibalik, maka untuk

setiap matriks b, 1n , sistem persamaan Ax b tepat mempunyai satu

penyelesaian yaitu, 1x A b .

14

2.4 Variabel Acak

Menurut [5], Variabel acak adalah suatu fungsi yang nilainya berupa

bilangan nyata yang ditentukan oleh setiap unsur dalam ruang contoh. Bila suatu

ruang contoh mengandung jumlah titik contoh yang terhingga atau suatu barisan

unsur yang tidak pernah berakhir tetapi yang sama banyaknya dengan bilangan

cacah, maka ruang itu disebut ruang contoh diskrit. Bila suatu ruang contoh

mengandung tak hingga banyaknya titik contoh yang sama dengan banyaknya

titik pada sebuah ruas garis, maka ruang itu disebut ruang contoh kontinu.

Peubah acak yang didefinisikan di atas ruang contoh yang diskrit dan

kontinu masing-masing disebut peubah acak diskrit dan peubah acak kontinu.

Definisi 2.4.1 : Sebuah tabel atau rumus yang mencantumkan semua

kemungkinan nilai suatu variable acak diskrit berikut probabilitasnya disebut

sebaran probabilitas diskrit

Definisi 2.4.2 : Misalkan X adalah variable acak diskrit dengan sebaran

probabilitas

x 1x 2x nx

( )P X x 1( )f x 2( )f x ( )nf x

Maka nilai harapan bagi X adalah

1

( ) ( )n

i i

i

E X x f x

(2. 17)

15

2. 5 Aritmatika Modulo

Menurut [3], Definisi 2.5.1: Misalkan a adalah bilangan bulat dan m

adalah bilangan bulat > 0. Operasi a mod m ( dibaca ” a modulo m ”) memberikan

sisa jika a dibagi dengan m. Dengan kata lain, a mod m = r sedemikian sehingga

a =mq + r, dengan 0 r m .

Notasi : a mod m = r sedemikian sehingga a =mq + r, dengan 0 r m .

Jika a mod m = 0, maka dikatakan bahwa a adalah kelipatan dari m, yaitu a habis

dibagi dengan m.

Kadang-kadang dua buah bilangan bulat, a dan b, mempunyai sisa yang

sama jika dibagi dengan bilangan bulat positif m. Dikatakan bahwa a dan b

kongruen dalam modulo m, dan dilambangkan sebagai

( mod )a b m (2. 18)

Notasi ‘ ’ dibaca ‘kongruen’

Jika a tidak kongruen dengan b dalam modulus m, maka ditulis

a ( mod )b m (2. 19)

Definisi 2.5.2: Misalkan a dan b adalah bilangan bulat dan m adalah bilangan > 0,

maka ( mod )a b m jika m habis membagi a-b.

2. 6 Proses Stokastik

Menurut [4], proses stokastik adalah suatu himpunan variabel acak tX ,

yang terdefinisi pada suatu ruang sampel. Jika terdapat sebagian elemen himpunan

terhitung, proses dapat dinotasikan 1X , 2X , 3X , .... Jika sebagian besar adalah

tidak terhitung, proses dapat dinotasikan dengan { : 0}tX t . Pada kasus pertama,

16

proses disebut proses dengan waktu diskrit, sedangkan untuk kasus kedua disebut

proses dengan waktu kontinu.

2. 7 Rantai Markov

Proses Markov {tX } adalah proses stokastik yang memiliki sifat bahwa

jika diberi nilai tX , maka untuk s t , nilai

sX tidak dipengaruhi oleh nilai-nilai

dari uX untuk u t . Dengan kata lain, probabilitas perilaku tertentu di masa yang

akan datang dari suatu proses, jika diketahui state saat ini, tidak dapat dipengaruhi

oleh informasi tambahan di masa yang lalu. Rantai Markov diskrit adalah suatu

proses Markov yang ruang state-nya adalah himpunan hingga atau himpunan yang

dapat dihitung dengan himpunan indeks T = (0, 1, 2, . . . ). Secara umum, sifat

markov adalah

1 0 0 1 1Pr | , , ,n n n nX j X i X i X i

1Pr |n nX j X i (2.20)

Untuk semua n dan semua state 0 1, , , ,ni i i j .

Ruang state pada rantai Markov dinyatakan dalam bilangan bulat tak

negatif { 0, 1, 2 ,... }, dengan nX i menyatakan bahwa

nX berada di state i.

Definisi 2.7.1 : Probabilitas bersyarat dimana 1nX yang akan datang berada di

state j jika diberikan nX sedang berada di state i disebut probabilitas transisi satu

langkah dan dinotasikan dengan , 1n n

ijP . Sehingga

, 1

1Pr |n n

ij n np X j X i

(2.21)

17

Definisi 2.7.2: Jika probabilitas transisi satu langkah independen terhadap

variabel waktu n, maka rantai Markov tersebut memiliki probabilitas transisi

stasioner.

Maka , 1n n

ijP = ijP independen terhadap n dan ijP adalah probabilitas

bersyarat bahwa nilai state melalui sebuah transisi dari i ke j dalam 1 langkah.

Dan biasanya disusun ke dalam bentuk matriks

00 01 02

10 11 12

0 1 2i i i

p p p

p p p

p p p

P

Dan ijP p adalah matriks Markov atau matriks transisi probabilitas dari

proses. Dan ijP harus memenuhi kondisi sebagai berikut :

(2.22)

(2.23)

2. 7. 1 Matrik probabilitas transisi dari rantai Markov

Rantai Markov didefinisikan secara sempurna oleh matriks transisi

probabilitas satu langkahnya dan syarat dari distribusi probabilitas pada state dari

proses pada saat 0. Inti dari perhitungan ini adalah matriks transisi probabilitas n-

step ( ) ( )n n

ijP p . ( )n

ijP disini melambangkan probabilitas dimana proses terjadi

dari state i ke state j setelah melalui n langkah transisi.

Pr |n

ij m n mP X j X i (2.24)

1, untuk semua iij

j

P

0, untuk semua i dan jijP

18

Teorema 2.7.1 : Probabilitas transisi n-step dari Markov chain memenuhi

( 1)

0

n n

ij ik kj

k

P P P

(2.25)

dengan

( ) 1

0

n if i j

ij if i jP

Dari teori matriks, hubungan (2.19) sebagai formula dari perkalian

matriks, sehingga ( ) ( 1)n nP P P . Dengan iterasi formula ini, kita peroleh

( )n n

n kali

P P P P P P (2. 26)

Dengan kata lain, probabilitas transisi n-step ( )n

ijP adalah anggota matrik

nP , pangkat n dari matriks P.

2. 7.2 Matriks transisi probabilitas Regular

Misalkan matriks transisi probabilitas ijP p dengan jumlah state yang

finite yaitu 0, 1, . . ., N, mempunyai sifat bahwa, ketika dipangkatkan dengan k,

matriks kP , elemen-elemennya semuanya bernilai positif. Sehingga matriks

transisi probabilitas disebut Regular. Hal penting yang perlu diperhatikan bahwa

Rantai Markov regular adalah adanya probabilitas steady state 0 1, ,..., N

dimana 1 0 untuk 0,1,...,j N dan 1j j , dan distribusi ini independent

dari state awal. Pada matriks transisi probabilitas regular ijP p

(2.27)

( )lim 0 untuk 0,1,...,n

ij jn

P j N

19

atau, dalam bentuk Rantai Markov nX

0lim Pr | 0 untuk 0,1,...,n jn

X j X i j N

Ini berarti bahwa untuk jangka panjang n , probabilitas untuk

menemukan Rantai Markov di state j adalah kurang lebih j dimana pun rantai

itu mulai pada saat 0.

Setiap matriks transisi probabilitas pada state 0,1,…, N dikatakan regular

jika memenuhi 2 keadaan dibawah ini:

1. Setiap pasang state i, j ada lintasan 1, , rk k dimana 1 1 2 0ik k k kjp p p

2. Setidaknya ada satu state i dimana 0iip

Teorema 2.7.2 : Misalkan P adalah matriks transisi probabilitas probabilitas pada

state 0, 1, …, N, dan probabilitas steady state 0 1( , , , )N adalah

persamaan dari solusi unik yang tidak negatif.

0

0,1, ,N

j k kj

k

p j N

(2.28)

0

1N

k

k

(2.29)

20

BAB III

PERMAINAN MONOPOLI

3. 1 Permainan monopoli

Menurut [9], sejarah permainan monopoli dimulai pada tahun 1900-an.

Pada tahun 1904, seorang pencipta bernama Lizzie Magie mempatenkan satu

permainan yang beliau harapkan dapat menerangkan sebagian ide ekonomi yang

diutarakan oleh Henry George. Permainan beliau dikenal sebagai The Landlord’s

Game (Permainan Tuan Punya Tanah), dikeluarkan secara komersial beberapa

tahun kemudian. Lizzie Magie terus mengembangkan permainannya dengan

bantuan beberapa orang peminat. Pada tahun 1924, Lizzie Magie mempatenkan

permainan yang diperbaiki. Permainan-permainan lain serupa menyusul. Pada

awal tahun 1930-an, Parker Brothers menjual permainan Monopoli.

Menjelang tahun 1970-an, sejarah awal permainan monopoli terhapus.

Riwayat yang menceritakan Monopoli diciptakan oleh Charles Darrow menjadi

cerita rakyat yang paling popular, dan disertakan dengan keterangan permainan

Monopoli. Sejarah ini juga diceritakan dalam buku The Monopoly Book: Strategy

and Tactics of the World’s Most Popular Game, oleh Maxine Brady yang dicetak

dalam tahun 1974. Perlu di ketahui bahwa kini permainan Monopoli adalah merek

internasional yang dimiliki Hasbro (Induk dari Parker Brother) dan sudah dijual

lebih dari 105 negara dan diterjemahkan dalam 39 bahasa.

21

Menurut [8], untuk memainkan Monopoli, dibutuhkan peralatan-peralatan ini:

i. Bidak-bidak untuk mewakili pemain. Dalam kotak Monopoli disediakan

delapan bidak yaitu topi, setrika, anjing, kapal perang, mobil, gerobak,

gelas, dan sepatu.

ii. Dua buah dadu bersisi enam.

iii. Kartu hak milik untuk setiap properti. Kartu ini diberikan kepada pemain

yang membeli properti itu. Di atas kartu tertera harga properti, harga sewa,

harga gadai, harga rumah dan hotel.

iv. Uang-uangan Monopoli.

v. 32 rumah dan 12 hotel dari kayu atau plastik. Rumah biasanya memiliki

warna hijau, hotel warna merah.

vi. Kartu-kartu dana umum dan kesempatan.

Sebelum bermain para pemain sebaiknya harus mengetahui isi peraturan

permainan sehingga permainan akan berjalan dengan lancar, peraturan tersebut

menurut [6] adalah sebagai berikut:

1. Persiapan

Papan permainan diletakkan diatas meja yang cukup besar. Kartu dana

umum dan kesempatan diletakkan terbalik didalam petak yang telah tersedia.

Pilihlah seorang pemain untuk menjadi bankir yang akan mengurus bank dan

bertanggung jawab pada pelelangan. Penting untuk bankir memisahkan dana uang

dan properti pribadinya dengan milik bank. Tugas bank di sini adalah:

a. Menyimpan semua uang dan akte tanah yang tidak dimiliki oleh para pemain.

b. Membayar gaji dan bonus pada pemain .

22

c. Mengumpulkan pajak dan denda dari pemain

d. Menjual dan melelang properti

e. Menjual rumah dan hotel.

f. Meminjam uang kepada para pemain yang menggadaikan properti.

Bank tidak dapat ’bangkrut’. Bila bank kehabisan uang, bankir dapat

mengeluarkan uang (ditulis pada kertas biasa). Tiap pemain pada permulaan diberi

uang sebanyak M 1.500, dibagi dalam nilai sebagai berikut : 2 lembar M 500, 4

lembar M 100, 1 lembar M 50, 1 lembar M 20, 2 lembar M 10, 1 lembar M 5, dan

5 lembar M 1.

2. Permulaan

Pemain melempar dadu bergiliran, pemain yang mendapat angka yang

terbanyak bermain terlebih dahulu. Permainan dimulai dipetak ”start”. Lemparkan

dua dadu putih. Setelah itu jalankan bidak permainan searah jarum jam

mengelilingi papan permainan jumlah kotak yang ditunjukkan pada dadu. Pemain

perlu mengambil tindakan tergantung di kotak mana pemain tiba.

3 Jika dadu menunjuk angka kembar

Pemain dapat terus berjalan, akan tetapi pada lemparan ketiga jika angka

dadu tetap menunjuk angka kembar, maka pemain harus segera masuk penjara.

4. Gaji

Jika langkah pemain tiba atau melewati petak ”start”, ambillah M 200 dari

bank.

23

5. Berhenti pada properti yang belum dimiliki orang

Bila seorang pemain berhenti di atas properti yang belum dimiliki orang

lain (dengan cara melempar dadu maupun dengan paksaan kartu kesempatan atau

kartu dana umum) pemain tersebut mendapat hak untuk membeli properti tersebut

dengan harga yang sudah ditetapkan melalui bank. Setelah membeli properti dan

mendapat kartu hak milik dari bank, kartu tersebut harus diletakkan terbuka diatas

meja. Jika permain tidak mau membeli properti yang menjadi haknya, ia harus

mengembalikan kepada bank untuk dilelang. Ketika anda membeli properti, anda

disarankan untuk membeli properti dalam kelompok yang sama.

6. Berhenti pada properti yang dimiliki orang

Bila seorang pemain berhenti pada properti yang telah dimiliki pemain

lain, dengan perantaraan dadu maupun karena diharuskan oleh kartu dana umum

atau kesempatan, pemilik properti tersebut berhak memungut sewa atas tanah

tersebut sesuai dengan tarif yang telah ditetapkan di kartu hak milik. Selanjutnya

kalau di atas properti itu didirikan rumah-rumah atau hotel, sewanya dapat

dipungut lebih tinggi dari tanah yang belum dibangun. Properti yang diagunkan

(digadaikan kepada bank) tidak berhak memungut sewa dan kartu harus

diletakkan terbalik. Dan hal yang perlu diperhatikan adalah jika seorang pemilik

tanah alpa atau lupa memungut sewa, pada waktu gilirannya kehilangan haknya

(sewa tidak dapat dipungut lagi).

7. Keuntungan untuk pemain

Adalah suatu keuntungan untuk tiap pemain yang memiliki 1 kompleks

properti karena dengan demikian ia berhak memungut sebanyak 2 kali lipat. Jika

24

pemain memiliki properti berupa stasiun/bandara maka sewanya ditentukan oleh

berapa banyak stasiun yang dimilikinya. Jadi sebuah keuntungan juga bagi pemain

yang memiliki stasiun dan bandara lebih dari satu. Jika pemain memiliki fasilitas

umum, contohnya Perusahaan Listrik dan Instalasi Air, maka cara membayar

sewa adalah dengan cara melempar dadu dan kalikan hasilnya dengan 4. Jika

pemain memiliki kedua fasilitas umum tersebut, kalikan dengan 10.

8. Berhenti di kesempatan atau dana umum

Pemain mengambil kartu yang teratas setelah menaati petunjuk-petunjuk

di dalamnya, maka kartu itu dikembalikan dengan tertutup ditumpukan paling

bawah. Hanya kartu ” keluar dari penjara” dapat ditahan hingga terpakai atau

dijual kepada lain pemain.

9. Berhenti diatas petak ”Pajak”

Bayarlah segera pajak yang dikenakan kepada saudara.

10. Penjara

Pemain diharuskan masuk penjara karena :

i. Bidaknya berhenti dipetak ”masuk penjara”

ii. Mendapat perintah masuk penjara

iii. Kedua dadu menunjukkan angka kembar sebanyak 3 kali berturut-

turut.

11. Keluar Penjara

Seorang pemain dapat keluar dari penjara :

i. Lemparan dadu menunjukkan angka kembar

ii. Membeli selembar kartu ”keluar dari penjara” dari pemain lain

25

iii. Memberi uang denda M 50 kepada bank sebelum tiba gilirannya

iv. Pemain diberi kesempatan 3 kali lemparan dadu untuk mendapat angka

yang sama, setelah itu ia harus segera membayar denda M 50 kepada

bank dan berjalan terus menurut angka dadu.

12. Rumah-rumah

Rumah dapat dibeli dari bank hanya jika seorang pemain memiliki properti

1 kompleks, rumah-rumah harus didirikan dengan jumlah yang sama ditiap petak.

Rumah dapat dibeli segala waktu dengan jumlah menurut kemampuannya akan

tetapi harus merata tiap petak 1 rumah dan seterusnya.

13. Hotel-hotel

Tiap pemain diharuskan memiliki 4 rumah dalam 1 seri properti sebelum

ia diperbolehkan membeli sebuah hotel. Harga hotel telah ditentukan di kartu hak

milik. Setelah membeli hotel tersebut pemain harus menyerahkan 4 rumahnya

kepada bank, (di atas tiap properti hanya diperbolehkan membangun 1 hotel)

14. Kekurangan bangunan

Diwaktu bank telah kehabisan rumah untuk dijual kepada pemain, mereka

yang hendak mendirikan rumah harus menanti hingga salah seorang pemain

mengembalikan rumahnya kepada bank. Kalau pembeli lebih dari 1 orang, maka

rumah tersebut dilelang.

15. Menjual harta kekayaan

Bangunan dapat dijual kembali kepada bank dengan setengah harga dari

harga yang tertera di akte tanah. Rumah harus dijual secara rata sama dengan cara

26

membelinya. Hotel dijual dengan harga setengah dari harga yang tercantum di

akte tanah dan dengan segera ditukar dengan 4 rumah.

16. Mengagunkan properti

Jika anda kekurangan uang tunai atau tidak mempunyai cukup uang untuk

membayar hutang, anda dapat mengagunkan salah satu dari properti yang belum

sempurna. Untuk mengagunkan salah satu properti balikkan kartu akte tanahnya

menghadap ke bawah dan ambillah uang yang tertera (tertulis di balik kartu) dari

bank. Untuk melunasi satu agunan bayarlah jumlah yang tertera pada kte tanah di

tambah 10 % kepada bank kemudian balikkan kartu akte tanah ke atas. Sewa tidak

dapat diambil pada properti yang diagunkan.

17. Bangkrut ( PAILIT)

Pemain dinyatakan bangkrut (pailit), jika hutangnya tak bisa dibayar.

Segala harta kekayaan harus diserahkan kepada kreditornya, dan berhenti

bermain. Dalam penyelesaian ini jika pemain tersebut memiliki rumah-rumah atau

hotel-hotel harus diserahkan kepada bank, sebagai gantinya ia akan mendapatkan

uang sejumlah setengah dari harga pokoknya. Uang tersebut harus dibayarkan

kepada kreditornya. Kalau seorang pemain tak memiliki uang untuk membayar

pajak denda atau hukuman-hukuman, maka bank segera melelang segala

kekayaannya dan pemain ini dinyatakan kalah.

3. 2 Matriks Transisi Probabilitas

Matriks Transisi Probabilitas adalah matriks dengan jumlah petak pada

papan monopoli sebagai state-statenya. Petak-petaknya berjumlah 40 petak.

Petak–petak tersebut berupa nama-nama jalan dengan harga beli dan sewa yang

27

berbeda-beda. Berikut adalah daftar nama petak – petak beserta harga sewa tanah

pada papan Monopoli.

Tabel 3. 1

Nama petak – petak dan harga sewa tanah pada papan Monopoli

Matriks Transisi Probabilitas memungkinkan untuk kita melakukan

perhitungan probabilitas state di masa mendatang berdasarkan pada state saat ini.

No Nama Petak Sewa

No Nama Petak Sewa

(M) (M)

1 Start - 21 Parkir Bebas -

2 Jalan Dr. Cipto 2 22 Jalan Cihampelas 18

3 Dana umum - 23 Kesempatan -

4 Jalan Pandanaran 4 24 Jalan Merdeka 18

5 Pajak Penghasilan - 25 Jalan Braga 20

6 Bandara Medan 2 26 Bandara Surabaya 25

7 Jalan Jenderal Sudirman 6 27 Jalan Teuku Umar 22

8 Kesempatan - 28 Jalan Diponegoro 22

9 Jalan Iskandar Muda 6 29 Instalasi Air -

10 Jalan Mongonsidi 8 30 Jalan Gajah Mada 24

11 Penjara - 31 Masuk Penjara -

12 Jalan Dr. Sam Ratulangi 10 32 Jalan Pemuda 26

13 Perusahaan Listrik - 33 Jalan Basuki Rachmat 26

14 Jalan Pasar Ikan 10 34 Dana umum -

15 Jalan Sultan Hasanuddin 12 35 Jalan Mayjen Sungkono 28

16 Bandara Denpasar 25 36 Bandara Jakarta 25

17 Jalan Magelang 14 37 Kesempatan -

18 Dana umum - 38 Jalan Thamrin 35

19 Jalan Pangeran Mangkubumi 14 39 Pajak Super -

20 Jalan Malioboro 16 40 Jalan Gatot Subroto 50

28

Matriks Transisi Probabilitas mempunyai 40 buah baris dan 40 buah kolom.

Kolom menggambarkan dari state mana pemain memulai melempar dadu dan

baris menggambarkan probabilitas pemain mengakhiri gilirannya atau berhenti

pada state tersebut. Secara umum matriks ini akan menunjukkan sebagaimana

seringnya pemain berhenti pada beberapa petak dimulai dari petak yang lain.

Contohnya, Pada baris Jalan Dr. Cipto berisi probabilitas dimana pemain

akan berhenti di setiap petak lainnya dengan satu kali pelemparan yang di mulai

dari petak Jalan Dr. Cipto. Sebaliknya, kolom yang dihubungkan dengan petak

Jalan Dr. Cipto berisi probabilitas dimana pemain akan berhenti pada petak Jalan

Dr. Cipto dalam satu kali pelemparan yang di mulai dari petak lainnya.

ijP = Probabilitas kondisi berada dalam state j di masa mendatang berdasarkan

pada state i saat ini.

Misalkan 13P adalah Probabilitas pemain berada pada state ”Dana umum”

di lemparan berikutnya dan sebelumnya berada pada state ” Start”. Matriks

Transisi Probabilitas ditampilkan seperti pada tabel dibawah ini

Tabel 3.2

Matriks Transisi Probabilitas

Dari Petak Pindah ke Petak ke

Ke 1 2 . . j . . n

1 11p 12p . . 1jp . . 1np

2 21p 22p . . 2jp . . 2np

. . . . . . . . .

i i1p i2p . . ijp . . inp

. . . . . . . . .

n n1p n2p . . njp . . nnp

29

Untuk mengisi setiap elemen pada semua baris dan kolom maka semua

faktor harus dihitung yaitu sebagai berikut :

1. Probabilitas dari pelemparan dadu.

Pelemparan dilakukan dengan 2 dadu yang bersisi enam, pada setiap

pelemparan dadu, jumlah angka yang muncul pada masing-masing dadu

dijumlahkan dan pemain melangkah sesuai jumlah tersebut pada papan

monopoli. Jadi ada 36 ruang contoh yang mungkin muncul. Berpindahnya

bidak ke satu tempat mempunyai probabilitas sama dengan 0. Sebaran

probabilitas diuraikan seperti di bawah ini:

Tabel 3.3 Sebaran probabilitas berdasarkan jumlah angka dadu

2. Probabilitas terambilnya kartu kesempatan dan dana umum.

Kartu kesempatan dan dana umum mempunyai andil dalam permainan

Monopoli karena kartu – kartu ini berpotensial memindahkan bidak-bidak

pemain.

Jumlah

angka Probabilitas

7 6

36

6 , 8 5

36

5 , 9 4

36

4 , 10 3

36

3 , 11 2

36

2 , 12 1

36

30

a. Kartu dana umum berjumlah 16 kartu, 14 kartu tidak membuat pemain

berpindah tempat sedangkan 2 diantaranya membuat pemain berpindah

tempat ke petak ”Start” dan ”Penjara”.

Tabel 3.4

Sebaran probabilitas berdasarkan kartu dana umum

Misalkan: Pemain berhenti di state 3 dan mengambil kartu dana umum.

i. Kejadian pemain berhenti di state 3 dan mengambil kartu dana umum dan

tetap berada di state 3 merupakan kejadian yang saling bebas, jika

didefinisikan:

A = Kejadian pemain berpindah dari petak 1 ke petak 3

B = Kejadian pemain mengambil kartu dana umum dengan perintah

tidak membuat pemain berpindah tempat.

P(A) = Probabilitas kejadian pemain berpindah dari petak 1 ke petak 3

P(B) = Probabilitas kejadian pemain mengambil kartu dana umum

dengan perintah tidak membuat pemain berpindah tempat.

Kartu Dana umum

Posisi Probabilitas

Tidak berpindah 14

16

Ke Petak " Start " 1

16

Ke Petak " Penjara " 1

16

31

maka untuk perhitungan probabilitasnya dapat dijabarkan seperti dibawah

ini:

1,3Q = Probabilitas pemain masih berada di state 3

1,3 ( ) ( )Q P A P B

1,3

14( )

16Q P A

ii. Kejadian pemain berhenti di state 3 dan mengambil kartu dana umum dan

berpindah ke state 1 merupakan kejadian yang saling terpisah, jika

didefinisikan:

C = Kejadian pemain berpindah dari petak 1 ke petak 1

D = Kejadian pemain mengambil kartu dana umum dengan perintah

pindah ke petak 1

E = Kejadian pemain mengambil kartu kesempatan dengan perintah

pindah ke petak 1

P(C) = Probabilitas Kejadian pemain berpindah dari petak 1 ke petak 1

P(D) = Probabilitas Kejadian pemain mengambil kartu dana umum

dengan perintah pindah ke petak 1

P(E) = Probabilitas Kejadian pemain mengambil kartu kesempatan

dengan perintah pindah ke petak 1

maka untuk perhitungan probabilitasnya dapat dijabarkan seperti dibawah

ini:

1,1 ( ) ( ) ( )

1 1( ) ( ) ( )

16 6

Q P C P D P E

P C P D P E

32

iii. Kejadian pemain berhenti di state 3 dan mengambil kartu dana umum dan

berpindah ke state 11 merupakan kejadian yang saling terpisah, jika

didefinisikan :

F = Kejadian pemain berpindah dari petak 1 ke petak 11

G = Kejadian pemain mengambil kartu dana umum dengan perintah

pindah ke petak 11

H = Kejadian pemain mengambil kartu kesempatan dengan perintah

pindah ke petak 11

1,11 ( ) ( ) ( )

1 1( ) ( ) ( )

16 16

Q P F P G P H

P F P G P H

b. Kartu kesempatan juga berjumlah 16 kartu. 6 kartu tidak membuat pemain

berpindah tempat sedangkan 10 diantaranya membuat pemain berpindah

tempat yaitu ke petak ”Start”, ”Penjara”, ”Bandara Medan”, ”Perusahaan

Publik terdekat”, ”Jalan Dr. Sam Ratulangi”, ”Jalan Braga”, ”Jalan Gatot

Subroto”, ” Mundur 3 petak ”, dan 2 kartu memindahkan pemain ke ”

Bandara terdekat”.

Tabel 3.5

Sebaran probabilitas berdasarkan kartu kesempatan

Kartu Kesempatan

Posisi Probabilitas

Tidak berpindah 6

16

Ke Petak " Start " 1

16

33

Ke Petak " Penjara " 1

16

Ke Petak ” Bandara Medan ” 1

16

Ke Petak " Perusahaan Publik terdekat " 1

16

Ke Petak ” Jalan Dr. Sam Ratulangi ” 1

16

Ke Petak ” Jalan Braga ” 1

16

Ke Petak “ Jalan Gatot Subroto ” 1

16

Mundur 3 Petak 1

16

Ke Petak " Bandara terdekat " 2

16

34

BAB IV

HASIL DAN PEMBAHASAN

4. 1 Analisa kemungkinan munculnya semua angka dadu

Pada analisa tahap ini, akan diperhitungkan kemungkinan munculnya

jumlah semua mata dadu dan akan mengabaikan semua peraturan seperti

peraturan tentang mengocok kembali ketika angka kembar muncul, terambilnya

kartu dana umum dan kesempatan, termasuk ketika singgah ke petak ”masuk

penjara”, dan peraturan lainnya.

Tetapkan bahwa Matrik P adalah matriks probabilitas transisi yang

menggambarkan perpindahan bidak dari state satu ke state lain yang hanya

memperhitungkan kemungkinan munculnya jumlah semua mata dadu. Maka

untuk mengisi setiap elemen dalam matriks, berikut adalah uraian perhitungannya

Baris 1

11P = 0 = Probabilitas pemain berada di petak ”start” dan akan berpindah ke petak

”start” lagi.

12P = 0 = Probabilitas pemain berada di petak ”start” dan akan berpindah ke petak

”Jl. Dr. Cipto”. Karena untuk pindah ke petak ”Jl. Dr. Cipto” pemain

membutuhkan angka 1.

13P = 1

36 = Probabilitas pemain berada di petak ”start” dan akan berpindah ke

petak ”Dana Umum”. Karena petak ”Dana Umum” berada dua petak di

35

depan petak ”start” dan cara untuk mencapai petak tersebut adalah

dengan mendapat angka 2 yang memiliki probabilitas 1

36.

14P = 2

36 = Probabilitas pemain berada di petak ”start” dan akan berpindah ke

petak ”Jln. Pandanaran”. Karena petak ”Jln. Pandanaran” berada tiga

petak di depan petak ”start” dan cara untuk mencapai petak tersebut

adalah dengan mendapat angka 3 yang memiliki probabilitas

1 1 2

36 36 36 .

15P = 3

36 = Probabilitas pemain berada di petak ”start” dan akan berpindah ke

petak ”Pajak Penghasilan”. Karena petak ”Pajak Penghasilan” berada

empat petak di depan petak ”start” dan cara untuk mencapai petak

tersebut adalah dengan mendapat angka 4 yang memiliki probabilitas

1 1 1 3

36 36 36 36 .

16P = 4

36 = Probabilitas pemain berada di petak ”start” dan akan berpindah ke

petak ”Bandara Medan”. Karena petak ”Bandaran Medan” berada lima

petak di depan petak ”start” dan cara untuk mencapai petak tersebut

adalah dengan mendapat angka 5 yang memiliki probabilitas

1 1 1 1 4

36 36 36 36 36 .

17P = 5

36 = Probabilitas pemain berada di petak ”start” dan akan berpindah ke

36

petak ”Jalan Jend. Sudirman”. Karena petak ”Jalan Jend. Sudirman”

berada enam petak di depan petak ”start” dan cara untuk mencapai

petak tersebut adalah dengan mendapat angka 6 yang memiliki

probabilitas 1 1 1 1 1 5

36 36 36 36 36 36 .

18P = 6

36 = Probabilitas pemain berada di petak ”start” dan akan berpindah ke

petak ”Kesempatan”. Karena petak ”Kesempatan” berada tujuh petak

di depan petak ”start” dan cara untuk mencapai petak tersebut adalah

dengan mendapat angka 7 yang memiliki probabilitas

1 1 1 1 1 1 6

36 36 36 36 36 36 36 .

19P = 5

36 = Probabilitas pemain berada di petak ”start” dan akan berpindah ke

petak ”Jln. Iskandar Muda”. Karena petak ”Jln. Iskandar Muda” berada

delapan petak di depan petak ”start” dan cara untuk mencapai petak

tersebut adalah dengan mendapat angka 8 yang memiliki probabilitas

1 1 1 1 1 5

36 36 36 36 36 36 .

110P = 4

36 = Probabilitas pemain berada di petak ”start” dan akan berpindah ke

petak ”Jln. Mongonsidi”. Karena petak ”Jln. Mongonsidi” berada

sembilan petak di depan petak ”start” dan cara untuk mencapai petak

tersebut adalah dengan mendapat angka 9 yang memiliki probabilitas

1 1 1 1 4

36 36 36 36 36 .

37

111P = 3

36 = Probabilitas pemain berada di petak ”start” dan akan berpindah ke

petak ”Penjara”. Karena petak ”Penjara” berada sepuluh petak di depan

petak ”start” dan cara untuk mencapai petak tersebut adalah dengan

mendapat angka 10 yang memiliki probabilitas 1 1 1 3

36 36 36 36 .

112P = 2

36 = Probabilitas pemain berada di petak ”start” dan akan berpindah ke

petak ”Jln. Dr. Sam Ratulangi”. Karena petak ”Jln. Dr. Sam Ratulangi”

berada sebelas petak di depan petak ”start” dan cara untuk mencapai

petak tersebut adalah dengan mendapat angka 11 yang memiliki

probabilitas 1 1 2

36 36 36 .

113P = 1

36 = Probabilitas pemain berada di petak ”start” dan akan berpindah ke

petak ”Perusahaan Listrik”. Karena petak ”Perusahaan Listrik” berada

dua belas petak di depan petak ”start” dan cara untuk mencapai petak

tersebut adalah dengan mendapat angka 12 .

114P = 0 = Probabilitas pemain berada di petak ”start” dan akan berpindah ke petak

”Jln. Pasar Ikan”. Karena petak ”Jln. Pasar Ikan” berada tiga belas petak

di depan petak ”start” dan cara untuk mencapai petak tersebut adalah

dengan mendapat angka 13 . Sedangkan jumlah maksimal dari kedua

dadu yang digunakan adalah 12.

Begitu seterusnya dari 115P sampai 140P adalah 0.

38

Untuk mengisi elemen baris ke 2 sampai dengan baris ke 40, dapat

mengikuti aritmatika modulo di bawah ini dengan i = 1, 2, 3, . . ., 40 dan untuk

j = 0 diasumsikan j = 40.

1, untuk ( 2) mod 40

36

2, untuk ( 3) mod 40

36

3, untuk ( 4) mod 40

36

4, untuk ( 5) mod 40

36

5, untuk ( 6) mod 40

36

6, untuk ( 7) mod 40

36

5, untuk ( 8) mod 40

36

4, untuk ( 9) mod 40

36

3, untuk ( 10) mod 40

36

2, un

36

ij

j i

j i

j i

j i

j i

P j i

j i

j i

j i

tuk ( 11) mod 40

1, untuk ( 12) mod 40

36

j i

j i

0, untuk 2 atau 13ijP j i j i

Jika matriks P telah terisi semua, dapat dilihat bahwa matriks P ini

membentuk pola tertentu dan jumlah barisnya memenuhi persamaan (2.22) dan

(2.23). Matriks P akan sangat membantu untuk mengisi matriks transisi

probabilitas untuk model permainan yang disertakan dengan peraturan

pengambilan kartu kesempatan dan dana umum.

39

4.2 Analisa matriks transisi probabilitas

Pada tahap ini pemain mulai dari petak ”start”, mengocok dua dadu dan

melangkah sebanyak jumlah titik yang terlihat pada kedua dadu serta

mengikutsertakan peraturan tentang terambilnya kartu dana umum dan

kesempatan dan berpindah sesuai dengan perintah yang terdapat pada kartu yang

terambil. Pengambilan kartu Dana umum terjadi pada state 3, state 18, dan state

34 sedangkan pengambilan kartu kesempatan terjadi pada state 8, state 23, dan

state 37.

Tetapkan bahwa Matrik Q adalah matriks probabilitas transisi yang

menggambarkan perpindahan bidak dari state satu ke state lain yang

mengikutsertakan peraturan tentang terambilnya kartu dana umum dan

kesempatan. Maka untuk mengisi setiap elemen dalam matriks, berikut adalah

uraian perhitungannya :

Baris 1

1A = Kejadian pemain berpindah dari petak 1 ke petak 1

1B = Kejadian pemain mengambil kartu dana umum dengan perintah pindah

ke petak 1

1C = Kejadian pemain mengambil kartu kesempatan dengan perintah pindah

ke petak 1

1,1 1 1 1

1 1 6 1 1 6 7( ) ( ) ( ) 0 0

36 16 36 6 576 576 576Q P A P B P C

1D = Kejadian pemain berpindah dari petak 1 ke petak 3

40

1E = Kejadian pemain mengambil kartu dana umum dengan perintah tidak

membuat pemain berpindah tempat.

1,3 1 1

1 14 14( ) ( )

36 36 576Q P D P E

1F = Kejadian pemain berpindah dari petak 1 ke petak 4

1,4 1

2( )

36Q P F

1G = Kejadian pemain berpindah dari petak 1 ke petak 5

1H = Kejadian pemain mengambil kartu kesempatan dengan perintah mundur

tiga langkah ke petak 5

1.5 1 1

3 6 1 3 6 48 6 54( ) ( )

36 36 36 36 576 576 576Q P G P H

1I = Kejadian pemain berpindah dari petak 1 ke petak 6

1J = Kejadian pemain mengambil kartu kesempatan dengan perintah pindah

ke petak 6

1,6 1 1

4 6 1 4 6 64 6 70( ) ( )

36 36 16 36 576 576 576Q P I P J

1K = Kejadian pemain berpindah dari petak 1 ke petak 7

1,7 1

5( )

36Q P K

1L = Kejadian pemain berpindah dari petak 1 ke petak 8

1M = Kejadian pemain mengambil kartu kesempatan tetapi pemain tetap di

41

tempat

1,8 1 1

6 6 36( ) ( )

36 16 576Q P L P M

1N = Kejadian pemain berpindah dari petak 1 ke petak 9

1,9 1

5( )

36Q P N

1O = Kejadian pemain berpindah dari petak 1 ke petak 10

1,10 1

4( )

36Q P O

1P = Kejadian pemain berpindah dari petak 1 ke petak 11

1Q = Kejadian pemain mengambil kartu dana umum dengan perintah pindah

ke petak 11

1R = Kejadian pemain mengambil kartu kesempatan dengan perintah pindah

ke petak 11

1,11 1 1 1( ) ( ) ( )

3 1 1 6 1 3 1 6 3 7 48 7 55

36 36 16 36 16 36 576 576 36 576 576 576

Q P P P Q P R

1S = Kejadian pemain berpindah dari petak 1 ke petak 12

1T = Kejadian pemain mengambil kartu kesempatan dengan perintah pindah

ke petak 12

1,12 1 1

2 6 1 2 6 32 6 38( ) ( )

36 36 16 36 576 576 576Q P S P T

1U = Kejadian pemain berpindah dari petak 1 ke petak 13

42

1V = Kejadian pemain mengambil kartu kesempatan dengan perintah pindah

ke petak 13

1,13 1 1

1 6 1 1 6 16 6 22( ) ( )

36 36 16 36 576 576 576Q P U P V

1W = Kejadian pemain berpindah dari petak 1 ke petak 16

1X = Kejadian pemain mengambil kartu kesempatan dengan perintah pindah

ke petak 16

1,16 1 1

6 2 12( ) ( ) 0

36 16 576Q P W P X

1Y = Kejadian pemain berpindah dari petak 1 ke petak 25

1Z = Kejadian pemain mengambil kartu kesempatan dengan perintah pindah

ke petak 25

1,25 1 1

6 1 6( ) ( ) 0

36 16 576Q P Y P Z

1AO = Kejadian pemain berpindah dari petak 1 ke petak 40

1BO = Kejadian pemain mengambil kartu kesempatan dengan perintah pindah

ke petak 40

1,40 1 1

6 1 6( ) ( ) 0

36 16 576Q P AO P BO

Maka probabilitas perpindahan bidak dapat disusun dalam bentuk Matriks

Transisi Probabilitas sebagai berikut :

43

Tabel 4.1 Matriks Q

12

34

56

78

910

1112

1314

1516

1718

1920

2122

2324

2526

2728

2930

3132

3334

3536

3738

3940

10,0

1215

00,0

2431

0,0555

60,0

9375

0,1215

30,1

3889

0,0625

00,1

3889

0,1111

10,0

9549

0,0659

70,0

3819

00

0,0208

30

00

00

00

00,0

1042

00

00

00

00

00

00

00

0,0104

2

20,0

0868

00

0,0277

80,0

6424

0,0920

10,1

1111

0,0520

80,1

6667

0,1388

90,1

1979

0,0920

10,0

6424

0,0277

80

0,0173

60

00

00

00

00,0

0868

00

00

00

00

00

00

00

0,0086

8

30,0

0694

00

00,0

3472

0,0625

00,0

8333

0,0416

70,1

3889

0,1666

70,1

4583

0,1180

60,0

9028

0,0555

60,0

2778

0,0138

90

00

00

00

00,0

0694

00

00

00

00

00

00

00

0,0069

4

40,0

0521

00

00,0

0521

0,0329

90,0

5556

0,0312

50,1

1111

0,1388

90,1

7188

0,1441

00,1

1632

0,0833

30,0

5556

0,0381

90

00

00

00

00,0

0521

00

00

00

00

00

00

00

0,0052

1

50,0

0347

00

00,0

0347

0,0034

70,0

2778

0,0208

30,0

8333

0,1111

10,1

4236

0,1701

40,1

4236

0,1111

10,0

8333

0,0625

00,0

2778

00

00

00

00,0

0347

00

00

00

00

00

00

00

0,0034

7

60,0

0347

00

00,0

0174

0,0017

40

0,0104

20,0

5556

0,0833

30,1

1458

0,1406

30,1

6840

0,1388

90,1

1111

0,0868

10,0

5556

0,0243

10

00

00

00,0

0174

00

00

00

00

00

00

00

0,0017

4

70,0

0347

00

00

00

00,0

2778

0,0555

60,0

8681

0,1111

10,1

3889

0,1666

70,1

3889

0,1111

10,0

8333

0,0486

10,0

2778

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

0

80,0

0521

00

00

00

00

0,0277

80,0

6076

0,0833

30,1

1111

0,1388

90,1

6667

0,1388

90,1

1111

0,0729

20,0

5556

0,0277

80

00

00

00

00

00

00

00

00

00

0

90,0

0694

00

00

00

00

00,0

3472

0,0555

60,0

8333

0,1111

10,1

3889

0,1666

70,1

3889

0,0972

20,0

8333

0,0555

60,0

2778

00

00

00

00

00

00

00

00

00

0

100,0

0868

00

00

00

00

00,0

0868

0,0277

80,0

5556

0,0833

30,1

1111

0,1388

90,1

6667

0,1215

30,1

1111

0,0833

30,0

5556

0,0277

80

00

00

00

00

00

00

00

00

0

110,0

1215

00

00

0,0017

40

00

00,0

1215

0,0017

40,0

2778

0,0555

60,0

8333

0,1111

10,1

3889

0,1458

30,1

3889

0,1128

50,0

8333

0,0555

60,0

1042

00,0

0174

0,0034

70

00,0

0174

00

00

00

00

00

0,0017

4

120,0

1215

00

00

0,0034

70

00

00,0

1215

0,0034

70

0,0277

80,0

5556

0,0833

30,1

1111

0,1215

30,1

6667

0,1423

60,1

1111

0,0833

30,0

2083

0,0277

80,0

0347

0,0069

40

00,0

0347

00

00

00

00

00

0,0034

7

130,0

1215

00

00

0,0052

10

00

00,0

1215

0,0052

10

00,0

2778

0,0555

60,0

8333

0,0972

20,1

3889

0,1718

80,1

3889

0,1111

10,0

3125

0,0555

60,0

3299

0,0104

20

00,0

0521

00

00

00

00

00

0,0052

1

140,0

1215

00

00

0,0069

40

00

00,0

1215

0,0069

40

00

0,0277

80,0

5556

0,0729

20,1

1111

0,1458

30,1

6667

0,1388

90,0

4167

0,0833

30,0

6250

0,0416

70

00,0

0694

00

00

00

00

00

0,0069

4

150,0

1215

00

00

0,0086

80

00

00,0

1215

0,0086

80

00

00,0

2778

0,0486

10,0

8333

0,1197

90,1

3889

0,1666

70,0

5208

0,1111

10,0

9201

0,0729

20,0

2778

00,0

0868

00

00

00

00

00

0,0086

8

160,0

1215

00

00

0,0104

20

00

00,0

1215

0,0104

20

00

00

0,0243

10,0

5556

0,0937

50,1

1111

0,1388

90,0

6250

0,1388

90,1

2153

0,1041

70,0

5556

0,0277

80,0

1042

00

00

00

00

00

0,0104

2

170,0

0868

00

00

0,0086

80

00

00,0

0868

0,0086

80

00

00

00,0

2778

0,0642

40,0

8333

0,1111

10,0

5208

0,1666

70,1

4757

0,1284

70,0

8333

0,0555

60,0

3646

00

00

00

00

00

0,0086

8

180,0

0694

00

00

0,0069

40

00

00,0

0694

0,0069

40

00

00

00

0,0347

20,0

5556

0,0833

30,0

4167

0,1388

90,1

7361

0,1527

80,1

1111

0,0833

30,0

6250

0,0277

80

00

00

00

00

0,0069

4

190,0

0521

00

00

0,0052

10

00

00,0

3299

0,0052

10

00

00

00

0,0052

10,0

2778

0,0555

60,0

3125

0,1111

10,1

4410

0,1770

80,1

3889

0,1111

10,0

8854

0,0555

60

00

00

00

00

0,0052

1

200,0

0347

00

00

0,0034

70

00

00,0

5903

0,0034

70

00

00

00

0,0034

70

0,0277

80,0

2083

0,0833

30,1

1458

0,1458

30,1

6667

0,1388

90,1

1458

0,0833

30

0,0277

80

00

00

00

0,0034

7

210,0

0174

00

00

0,0017

40

00

00,0

8507

0,0017

40

00

00

00

0,0017

40

00,0

1042

0,0555

60,0

8507

0,1145

80,1

3889

0,1666

70,1

4063

0,1111

10

0,0555

60,0

2778

00

00

00

0,0017

4

220,0

0174

00

00

00

00

00,1

1285

00

00

00

00

00

00

0,0277

80,0

5556

0,0833

30,1

1111

0,1388

90,1

6667

0,1388

90

0,0833

30,0

5556

0,0243

10

00

00

0

230,0

0347

00

00

00

00

00,1

4236

00

00

00

00

00

00

00,0

2778

0,0555

60,0

8333

0,1111

10,1

3889

0,1666

70

0,1111

10,0

8333

0,0486

10,0

2778

00

00

0

240,0

0521

00

00

00

00

00,1

7188

00

00

00

00

00

00

00

0,0277

80,0

5556

0,0833

30,1

1111

0,1388

90

0,1388

90,1

1111

0,0729

20,0

5556

0,0277

80

00

0

250,0

0868

00

00

0,0052

10

00

00,1

4757

0,0017

40,0

0174

00

00

00

00

00

00,0

0174

00,0

2778

0,0555

60,0

8333

0,1111

10

0,1666

70,1

3889

0,0989

60,0

8333

0,0555

60,0

1042

00

0,0017

4

260,0

1215

00

00

0,0104

20

00

00,1

2326

0,0034

70,0

0347

00

00

00

00

00

00,0

0347

00

0,0277

80,0

5556

0,0833

30

0,1388

90,1

6667

0,1250

00,1

1111

0,0833

30,0

2083

0,0277

80

0,0034

7

270,0

1563

00

00

0,0156

30

00

00,0

9896

0,0052

10,0

0521

00

00

00

00

00

00,0

0521

00

00,0

2778

0,0555

60

0,1111

10,1

3889

0,1510

40,1

3889

0,1111

10,0

3125

0,0555

60,0

2778

0,0052

1

280,0

1563

00

00

0,0208

30

00

00,0

7118

0,0069

40,0

0694

00

00

00

00

00

00,0

0694

00

00

0,0277

80

0,0833

30,1

1111

0,1284

70,1

6667

0,1388

90,0

4167

0,0833

30,0

5556

0,0347

2

290,0

4340

00

00

0,0260

40

00

00,0

4340

0,0086

80,0

0868

00

00

00

00

00

00,0

0868

00

00

00

0,0555

60,0

8333

0,1059

00,1

3889

0,1666

70,0

5208

0,1111

10,0

8333

0,0642

4

300,0

7118

0,0277

80

00

0,0312

50

00

00,0

1563

0,0104

20,0

1042

00

00

00

00

00

00,0

1042

00

00

00

0,0277

80,0

5556

0,0833

30,1

1111

0,1388

90,0

6250

0,1388

90,1

1111

0,0937

5

310,0

9722

0,0555

60,0

2431

00

0,0260

40

00

00,0

1389

0,0086

80,0

0868

00

00

00

00

00

00,0

0868

00

00

00

00,0

2778

0,0572

90,0

8333

0,1111

10,0

5208

0,1666

70,1

3889

0,1197

9

320,1

2326

0,0833

30,0

4861

0,0277

80

0,0208

30

00

00,0

1215

0,0069

40,0

0694

00

00

00

00

00

00,0

0694

00

00

00

00

0,0312

50,0

5556

0,0833

30,0

4167

0,1388

90,1

6667

0,1458

3

330,1

4931

0,1111

10,0

7292

0,0555

60,0

2778

0,0156

30

00

00,0

1042

0,0052

10,0

0521

00

00

00

00

00

00,0

0521

00

00

00

00

0,0052

10,0

2778

0,0555

60,0

3125

0,1111

10,1

3889

0,1718

8

340,1

7708

0,1388

90,0

9722

0,0833

30,0

5556

0,0381

90

00

00,0

1042

0,0034

70,0

0347

00

00

00

00

00

00,0

0347

00

00

00

00

0,0034

70

0,0277

80,0

2083

0,0833

30,1

1111

0,1423

6

350,1

4931

0,1666

70,1

2153

0,1111

10,0

8333

0,0607

60,0

2778

00

00,0

1042

0,0017

40,0

0174

00

00

00

00

00

00,0

0174

00

00

00

00

0,0017

40

00,0

1042

0,0555

60,0

8333

0,1128

5

360,1

2326

0,1388

90,1

4583

0,1388

90,1

1285

0,0850

70,0

5556

0,0104

20

00,0

1215

0,0017

40,0

0174

00

0,0034

70

00

00

00

00,0

0174

00

00

00

00

00

00

0,0277

80,0

5556

0,0850

7

370,0

9549

0,1111

10,1

2153

0,1666

70,1

4236

0,1145

80,0

8333

0,0208

30,0

2778

00,0

1215

0,0034

70,0

0347

00

0,0069

40

00

00

00

00,0

0347

00

00

00

00

00

00

00,0

2778

0,0590

3

380,0

6771

0,0833

30,0

9722

0,1388

90,1

7188

0,1441

00,1

1111

0,0312

50,0

5556

0,0277

80,0

1215

0,0052

10,0

0521

00

0,0104

20

00

00

00

00,0

0521

00

00

00

00

00

00

00

0,0329

9

390,0

3993

0,0555

60,0

7292

0,1111

10,1

4583

0,1736

10,1

3889

0,0416

70,0

8333

0,0555

60,0

3993

0,0069

40,0

0694

00

0,0138

90

00

00

00

00,0

0694

00

00

00

00

00

00

00

0,0069

4

400,0

1215

0,0277

80,0

4861

0,0833

30,1

1979

0,1475

70,1

6667

0,0520

80,1

1111

0,0833

30,0

6771

0,0364

60,0

0868

00

0,0173

60

00

00

00

00,0

0868

00

00

00

00

00

00

00

0,0086

8

44

Bisa dikatakan salah satu tujuan Markov adalah memprediksi masa depan,

karena memungkinkan untuk menghitung probabilitas berhentinya bidak pada

setiap state di masa yang akan datang atau untuk beberapa kali pengocokan

berikutnya. Tentunya probabilitas dari perpindahan bidak itu memiliki kondisi

yang tidak stabil, yaitu tiap state dapat mengalami perubahan probabilitas untuk

periode berikutnya. Para pemain tentunya ingin mengetahui bagaimana

probabilitas berhentinya bidak pada setiap state berubah seiringnya waktu

berjalan. Bidak tidak selalu tetap berhenti di state tertentu tetapi pasti berpindah

ke state yang lain. Sehingga para pemain dapat membuat keputusan berikutnya

dalam hal membeli petak atau dapat mengetahui berapa banyak keuntungan yang

mereka dapat dari aset – aset yang mereka miliki.

Untuk mencari probabilitas steady state dari matriks Q, akan digunakan

persamaan (2.28), 0

N

j k kj

k

p

atau dapat ditulis dalam bentuk Q , dimana

0 1( , , , )N .

Q

1,1 1,40

1 2 3 40 1 2 3 40

40,1 40,40

[ ] [ ]

q q

q q

Dan menghasilkan

1 1,1 2 2,1 3 3,1 40 40,1 1

1 1,2 2 2,2 3 3,2 40 40,2 2

1 1,3 2 2,3 3 3,3 40 40,3 3

1 1,40 2 2,40 3 3,40 40 40,40 40

q q q q

q q q q

q q q q

q q q q

45

Dengan persamaan bantuan

1 2 3 40 1

Jika dijadikan semua ruas kanannya sama dengan 0, maka

1 1,1 2 2,1 3 3,1 40 40,1

1 1,2 2 2,2 3 3,2 40 40,2

1 1,3 2 2,3 3 3,3 40 40,3

1 1,40 2 2,40 3 3,40 40 40,40

( 1) 0

( 1) 0

( 1) 0

( 1) 0

q q q q

q q q q

q q q q

q q q q

Dengan demikian didapat matriks baru dengan memasukkan persamaan bantuan

diatas adalah

11,1 2,1 3,1 40,1

21,2 2,2 3,2 40,2

31,3 2,3 3,3 40,3

40

( 1) 0

( 1) 0

( 1) 0

1 1 1 1 1

q q q q

q q q q

q q q q

Berdasarkan Teorema 2.2.2, perkalian matriks diatas dapat diselesaikan dengan

Q b

1Q b

Menggunakan program MATLAB akan didapatkan hasil dari yaitu :

Tabel 4. 2

Probabilitas steady state dari matrik Q

No.

petak

Petak P No.

Petak

Petak P

1 Start 0,0311 21 Parkir Bebas 0,0287

2 Jalan Dr. Cipto 0,0215 22 Jalan Cihampelas 0,0283

3 Dana umum 0,0190 23 Kesempatan 0,0105

4 Jalan Pandanaran 0,0219 24 Jalan Merdeka 0,0274

46

5 Pajak Penghasilan 0,0235 25 Jalan Braga 0,0319

6 Bandara Medan 0,0299 26 Bandara Surabaya 0,0306

7 Jalan Jenderal Sudirman 0,0229 27 Jalan Teuku Umar 0,0271

8 Kesempatan 0,0088 28 Jalan Diponegoro 0,0268

9 Jalan Iskandar Muda 0,0235 29 Instalasi Air 0,0281

10 Jalan Mongonsidi 0,0233 30 Jalan Gajah Mada 0,0259

11 Penjara 0,0589 31 Masuk Penjara 0,0000

12 Jalan Dr. Sam Ratulangi 0,0274 32 Jalan Pemuda 0,0269

13 Perusahaan Listrik 0,0263 33 Jalan Basuki Rachmat 0,0263

14 Jalan Pasar Ikan 0,0239 34 Dana umum 0,0239

15 Jalan Sultan Hasanuddin 0,0247 35 Jalan Mayjen

Sungkono

0,0251

16 Bandara Denpasar 0,0292 36 Bandara Jakarta 0,0245

17 Jalan Magelang 0,0278 37 Kesempatan 0,0087

18 Dana umum 0,0257 38 Jalan Thamrin 0,0220

19 Jalan Pangeran

Mangkubumi

0,0292 39 Pajak Super 0,0219

20 Jalan Malioboro 0,0307 40 Jalan Gatot Subroto 0,0265

Dapat diurutkan bahwa petak pertama yang paling sering disinggahi oleh

pemain adalah petak ”Penjara” sebesar 0.0589, yang diikuti oleh petak ” Jalan

Braga” sebesar 0.0319, urutan ke tiga adalah petak ” Start” yaitu sebesar 0. 0311.

petak ke empat yang sering disinggahi adalah petak” Jalan Malioboro ” yaitu

sebesar 0. 0307, dan petak ke lima yang sering disinggahi adalah petak” Bandara

Surabaya ” yaitu sebesar 0. 0306.

47

4. 3 Analisa Nilai Harapan

Untuk pengambilan keputusan tentang petak potensial mana yang

sebaiknya dimiliki, maka cara yang digunakan adalah dengan menggunakan nilai

harapan sebagai dasar pemilihan. Seorang pemain menjadi kaya dikarenakan

mendapatkan uang sewa dari properti atau tanah yang dimilikinya. Untuk

mengetahui petak mana yang akan memaksimalkan uang sewa, adalah dengan

cara mencari nilai harapannya, yaitu mengalikan probabilitas pemain singgah ke

petak tersebut (probabilitas steady state) dengan harga sewa tanah (persamaan

2.17). Pemain dapat memilih berdasarkan nilai harapan yang tertinggi.

Tabel 4. 3

Nilai harapan dari petak pada permainan Monopoli

No Petak Probabilitas Sewa Nilai harapan

1 Start 0,0311 - -

2 Jalan Dr. Cipto 0,0215 2 0,043

3 Dana umum 0,0190 - -

4 Jalan Pandanaran 0,0219 4 0,0876

5 Pajak Penghasilan 0,0235 - -

6 Bandara Medan 0,0299 2 0,0598

7 Jalan Jenderal Sudirman 0,0229 6 0,1374

8 Kesempatan 0,0088 - -

9 Jalan Iskandar Muda 0,0235 6 0,141

10 Jalan Mongonsidi 0,0233 8 0,1864

11 Penjara 0,0589 - -

12 Jalan Dr. Sam Ratulangi 0,0274 10 0,274

13 Perusahaan Listrik 0,0263 - -

14 Jalan Pasar Ikan 0,0239 10 0,239

48

15 Jalan Sultan Hasanuddin 0,0247 12 0,2964

16 Bandara Denpasar 0,0292 25 0,73

17 Jalan Magelang 0,0278 14 0,3892

18 Dana umum 0,0257 - -

19 Jalan Pangeran Mangkubumi 0,0292 14 0,4088

20 Jalan Malioboro 0,0307 16 0,4912

21 Parkir Bebas 0,0287 - -

22 Jalan Cihampelas 0,0283 18 0,5094

23 Kesempatan 0,0105 - -

24 Jalan Merdeka 0,0274 18 0,4932

25 Jalan Braga 0,0319 20 0,638

26 Bandara Surabaya 0,0306 25 0,765

27 Jalan Teuku Umar 0,0271 22 0,5962

28 Jalan Diponegoro 0,0268 22 0,5896

29 Instalasi Air 0,0281 - -

30 Jalan Gajah Mada 0,0259 24 0,6216

31 Masuk Penjara 0,0000 - -

32 Jalan Pemuda 0,0269 26 0,6994

33 Jalan Basuki Rachmat 0,0263 26 0,6838

34 Dana umum 0,0239 - -

35 Jalan Mayjen Sungkono 0,0251 28 0,7028

36 Bandara Jakarta 0,0245 25 0,6125

37 Kesempatan 0,0087 - -

38 Jalan Thamrin 0,0220 35 0,77

39 Pajak Super 0,0219 - -

40 Jalan Gatot Subroto 0,0265 50 1,325

49

Jika diurutkan seperti tabel dibawah ini akan terlihat urutan investasi

terbaik dari petak-petak pada papan monopoli.

Tabel 4. 4

Nilai harapan yang diurutkan

No Petak Probabilitas Sewa Nilai harapan

40 Jalan Gatot Subroto 0,0265 50 1,325

38 Jalan Thamrin 0,0220 35 0,77

26 Bandara Surabaya 0,0306 25 0,765

16 Bandara Denpasar 0,0292 25 0,73

35 Jalan Mayjen Sungkono 0,0251 28 0,7028

32 Jalan Pemuda 0,0269 26 0,6994

33 Jalan Basuki Rachmat 0,0263 26 0,6838

25 Jalan Braga 0,0319 20 0,638

30 Jalan Gajah Mada 0,0259 24 0,6216

36 Bandara Jakarta 0,0245 25 0,6125

27 Jalan Teuku Umar 0,0271 22 0,5962

28 Jalan Diponegoro 0,0268 22 0,5896

22 Jalan Cihampelas 0,0283 18 0,5094

24 Jalan Merdeka 0,0274 18 0,4932

20 Jalan Malioboro 0,0307 16 0,4912

19 Jalan Pangeran Mangkubumi 0,0292 14 0,4088

17 Jalan Magelang 0,0278 14 0,3892

15 Jalan Sultan Hasanuddin 0,0247 12 0,2964

12 Jalan Dr. Sam Ratulangi 0,0274 10 0,274

14 Jalan Pasar Ikan 0,0239 10 0,239

10 Jalan Mongonsidi 0,0233 8 0,1864

9 Jalan Iskandar Muda 0,0235 6 0,141

7 Jalan Jenderal Sudirman 0,0229 6 0,1374

50

4 Jalan Pandanaran 0,0219 4 0,0876

6 Bandara Medan 0,0299 2 0,0598

2 Jalan Dr. Cipto 0,0215 2 0,043

Terlihat dari tabel di atas bahwa petak ” Jalan Gatot Subroto” adalah petak

yang memiliki nilai harapan paling besar. Ini artinya untuk setiap kali giliran atau

pengocokan, petak ” Jln. Gatot Subroto” diharapkan menghasilkan rata-rata uang

sewa sebesar M 1, 325. lalu diikuti oleh petak ”Jalan Thamrin” dengan nilai

harapan sebesar M 0,77, petak “Bandara Surabaya” dengan nilai harapan sebesar

M 0,765 dan petak “Bandara Denpasar” dengan nilai harapan sebesar M 0,73.

Jadi jika pemain ingin memenangkan permainan Monopoli sebaiknya

mempertimbangkan untuk membeli petak “ Jalan Gatot Subroto “ dan “ Jalan

Thamrin “ atau kompleks yang berwarna biru dan semua petak bandara. Harga

beli petak-petak tersebut memang mahal tapi sepadan dengan nilai harapannya

yang besar juga. Sebaliknya petak yang memiliki prospek yang kurang baik

adalah kompleks yang berwarna coklat yaitu petak “Jalan Dr. Cipto” dan petak

“Jalan Pandanaran” karena memiliki nilai harapan yang kecil.

51

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

5. 1 Kesimpulan

Dari pembahasan dapat disimpulkan bahwa dengan menggunakan Long

Run Behaviour rantai Markov pada permainan Monopoli, petak ” Jalan Gatot

Subroto” adalah petak yang memiliki nilai harapan paling besar. Ini artinya untuk

setiap kali giliran atau pengocokan, petak ” Jln. Gatot Subroto” menghasilkan

rata-rata uang sewa sebesar M 1, 325. lalu diikuti oleh petak ”Jalan Thamrin”

dengan nilai harapan sebesar M 0,77, petak “Bandara Surabaya” dengan nilai

harapan sebesar M 0,765 dan petak “Bandara Denpasar” dengan nilai harapan

sebesar M 0,73. Jadi jika pemain ingin memenangkan permainan Monopoli

sebaiknya mempertimbangkan untuk membeli petak “ Jalan Gatot Subroto “ dan “

Jalan Thamrin “ atau kompleks yang berwarna biru dan semua petak bandara.

5. 2 Saran

Pemodelan permainan Monopoli dalam skripsi ini tidak sepenuhnya

mewakili permainan yang sesungguhnya. Maka disarankan untuk penelitian

selanjutnya bisa dilakukan dengan memperhatikan peraturan yang lain seperti

peraturan setelah muncul angka kembar dan peraturan ketika masuk penjara,

sehingga dapat menggambarkan permainan yang sesungguhnya dan menunjukkan

kegunaan dari rantai Markov.

52

REFERENSI

[1] Anton, Howard. Dasar-Dasar Aljabar Linear. Edisi ke-7.Jilid 1. Batam ,

Interaksara, 2000

[2] H.S, Suryadi. Seri diktat kuliah: Pengantar Aljabar Linier dan Geometrik

Analitik. Jakarta, Gunadarma, 1995.

[3] Munir Rinaldi. Buku Teks Ilmu Komputer. Matematika Diskrit. Edisi Ke-3.

Bandung, Informatika, 2005.

[4] Taylor, Howard M. An Introduction To Stochastic Modeling Revised

Edition. Academic Press Limited

[5] Walpole, E. Ronald. Pengantar Statistik. Edisi ke-3. Jakarta :

PT.Gramedia Pustaka Utama, 1995.

[6] Petunjuk manual permainan Monopoli

(http://repository.usu.ac.id/bitstream/123456789/16888/3/chapter%2011.p

df) [10/05/2011 15.36 WIB]

[8] (http://id.wikipedia.org/wiki/Monopoli_(permainan))

[10/07/2010 00.53 WIB]

[9] (http://smp1rangkasbitung.wordpress.com/2009/02/23/pembelajaran-

dengan-model-permainan-monopoly-pakem/) [10/07/2010 00.55 WIB]

[7]

LAMPIRAN-LAMPIRAN

LAMPIRAN 1

Program Matlab

for i=1:39

b(i)=0;

end

b(end+1)=1;

b=b';

Q={40 x 40]

for i=1:40

Q(i,i)=Q(i,i)-1;

end

Q(end,:)=1;

phi=inv(Q)*b

LAMPIRAN 2

GAMBAR PAPAN MONOPOLI

LAMPIRAN 3

Baris 1

1,1 1 1 1

1 1 6 1 1 6 7( ) ( ) ( ) 0 0

36 16 36 6 576 576 576Q P A P B P C

1,3 1 1

1 14 14( ) ( )

36 36 576Q P D P E

1,4 1

2( )

36Q P F

1.5 1 1

3 6 1 3 6 48 6 54( ) ( )

36 36 36 36 576 576 576Q P G P H

1,6 1 1

4 6 1 4 6 64 6 70( ) ( )

36 36 16 36 576 576 576Q P I P J

1,7 1

5( )

36Q P K

1,8 1 1

6 6 36( ) ( )

36 16 576Q P L P M

1,9 1

5( )

36Q P N

1,10 1

4( )

36Q P O

1,11 1 1 1( ) ( ) ( )

3 1 1 6 1 3 1 6 3 7 48 7 55

36 36 16 36 16 36 576 576 36 576 576 576

Q P P P Q P R

1,12 1 1

2 6 1 2 6 32 6 38( ) ( )

36 36 16 36 576 576 576Q P S P T

1,13 1 1

1 6 1 1 6 16 6 22( ) ( )

36 36 16 36 576 576 576Q P U P V

1,16 1 1

6 2 12( ) ( ) 0

36 16 576Q P W P X

1,25 1 1

6 1 6( ) ( ) 0

36 16 576Q P Y P Z

1,40 1 1

6 1 6( ) ( ) 0

36 16 576Q P AO P BO

Baris 2

2,1 2 2

5 1 5( ) ( ) 0

36 16 576Q P A P B

2,4 2

1( )

36Q P C

2,5 2 2

2 5 1 2 5 32 5 37( ) ( )

36 36 16 36 576 576 576Q P D P E

2,6 2 2

3 5 1 3 5 48 5 53( ) ( )

36 36 16 36 576 576 576Q P F P G

2,7 2

4( )

36Q P H

2,8 2 2

5 6 30( ) ( )

36 16 576Q P I P J

2,9 2

6( )

36Q P K

2,10 2

5( )

36Q P L

2,11 2 2( ) ( )

4 5 1 4 5 64 5 69

36 36 16 36 576 576 576

Q P M P N

2,12 2 2

3 5 1 3 5 48 5 53( ) ( )

36 36 16 36 576 576 576Q P O P P

2,13 2 2

2 5 1 2 5 32 5 37( ) ( )

36 36 16 36 576 576 576Q P Q P R

2,14 2

1( )

36Q P S

2,16 2 2

5 2 10( ) ( ) 0

36 16 576Q P T P U

2,25 2 2

5 1 5( ) ( ) 0

36 16 576Q P V P W

2,40 2 2

5 1 5( ) ( ) 0

36 16 576Q P X P Y

Baris 3

3,1 3 3

4 1 4( ) ( ) 0

36 6 576Q P A P B

3,5 3 3

1 4 1 1 4 16 4 20( ) ( )

36 36 36 36 576 576 576Q P C P D

3,6 3 3

2 4 1 2 4 32 4 36( ) ( )

36 36 16 36 576 576 576Q P E P F

3,7 3

3( )

36Q P G

3,8 3 3

4 6 24( ) ( )

36 16 576Q P H P I

3,9 3

5( )

36Q P J

3,10 3

6( )

36Q P K

3,11 3 3( ) ( )

5 4 1 5 4 90 4 94

36 36 16 36 576 576 576

Q P L P M

3,12 3 3

4 4 1 4 4 64 4 68( ) ( )

36 36 16 36 576 576 576Q P N P O

3,13 3 3

3 4 1 3 4 48 4 52( ) ( )

36 36 16 36 576 576 576Q P P P Q

3,14 3

2( )

36Q P R

3,15 3

1( )

36Q P S

3,16 3 3

4 2 8( ) ( ) 0

36 16 576Q P T P U

3,25 3 3

4 1 4( ) ( ) 0

36 16 576Q P V P W

3,40 3 3

4 1 4( ) ( ) 0

36 16 576Q P X P Y

Baris 4

4,1 4 4

3 1 3( ) ( ) 0

36 6 576Q P A P B

4,5 4 4

3 1 3( ) ( ) 0

36 36 576Q P C P D

4,6 4 4

1 3 1 1 3 16 3 19( ) ( )

36 36 16 36 576 576 576Q P E P F

4,7 4

2( )

36Q P G

4,8 4 4

3 6 18( ) ( )

36 16 576Q P H P I

4,9 4

4( )

36Q P J

4,10 4

5( )

36Q P K

4,11 4 4( ) ( )

6 3 1 6 3 96 3 99

36 36 16 36 576 576 576

Q P L P M

4,12 4 4

5 3 1 5 3 80 3 83( ) ( )

36 36 16 36 576 576 576Q P N P O

4,13 4 4

4 3 1 4 3 64 3 67( ) ( )

36 36 16 36 576 576 576Q P P P Q

4,14 4

3( )

36Q P R

4,15 4

2( )

36Q P S

4,16 4 4

1 3 2 1 6 16 6 22( ) ( )

36 36 16 36 576 576 576Q P T P U

4,25 4 4

3 1 3( ) ( ) 0

36 16 576Q P V P W

4,40 4 4

3 1 3( ) ( ) 0

36 16 576Q P X P Y

Baris 5

5,1 5 5

2 1 2( ) ( ) 0

36 6 576Q P A P B

5,5 5 5

2 1 2( ) ( ) 0

36 36 576Q P C P D

5,6 5 5

2 1 2 2( ) ( ) 0 0

36 16 576 576Q P E P F

5,7 5

1( )

36Q P G

5,8 5 5

2 6 12( ) ( )

36 16 576Q P H P I

5,9 5

3( )

36Q P J

5,10 5

4( )

36Q P K

5,11 5 5( ) ( )

5 2 1 5 2 80 2 82

36 36 16 36 576 576 576

Q P L P M

5,12 5 5

6 2 1 6 2 96 2 98( ) ( )

36 36 16 36 576 576 576Q P N P O

5,13 5 5

5 2 1 5 2 80 2 82( ) ( )

36 36 16 36 576 576 576Q P P P Q

5,14 5

4( )

36Q P R

5,15 5

3( )

36Q P S

5,16 5 5

2 2 2 2 4 32 4 36( ) ( )

36 36 16 36 576 576 576Q P T P U

5,17 5

1( )

36Q P V

5,25 5 5

2 1 2( ) ( ) 0

36 16 576Q P W P X

5,40 5 5

2 1 2( ) ( ) 0

36 16 576Q P Y P Z

Baris 6

6,1 6 6 6

1 1 1 1 1 1 2( ) ( ) ( ) 0 0

36 16 36 6 576 576 576Q P A P B P C

6,5 6 6

1 1 1( ) ( ) 0

36 36 576Q P D P E

6,6 6 6

1 1 1( ) ( ) 0

36 16 576Q P E P F

6,8 6 6

1 6 6( ) ( )

36 16 576Q P G P H

6,9 6

2( )

36Q P I

6,10 6

3( )

36Q P J

6,11 6 6 6( ) ( ) ( )

4 1 1 1 1 4 1 1 64 2 66

36 36 16 36 16 36 576 576 576 576

Q P K P L P M

6,12 6 6

5 1 1 5 1 80 1 81( ) ( )

36 36 16 36 576 576 576Q P N P O

6,13 6 6

6 1 1 6 1 96 1 97( ) ( )

36 36 16 36 576 576 576Q P P P Q

6,14 6

5( )

36Q P R

6,15 6

4( )

36Q P S

6,16 6 6

3 1 2 3 2 48 2 50( ) ( )

36 36 16 36 576 576 576Q P T P U

6,17 6

2( )

36Q P V

6,18 6 6

1 14 14( ) ( )

36 16 576Q P W P X

6,25 6 6

1 1 1( ) ( ) 0

36 16 576Q P Y P Z

6,40 6 6

1 1 1( ) ( ) 0

36 16 576Q P AO P BO

Baris 7

7,1 7 7

2 1 2( ) ( ) 0

36 16 576Q P A P B

7,9 7

1( )

36Q P C

7,10 7

2( )

36Q P D

7,11 7 7

3 2 1 3 2 48 2 50( ) ( )

36 36 16 36 576 576 576Q P E P F

7,12 7

4( )

36Q P G

7,13 7

5( )

36Q P H

7,14 7

6( )

36Q P I

7,15 7

5( )

36Q P J

7,16 7

4( )

36Q P K

7,17 7

3( )

36Q P L

7,18 7 7

2 14 28( ) ( )

36 16 576Q P M P N

7,19 7

1( )

36Q P O

Baris 8

8,1 8 8

3 1 3( ) ( ) 0

36 16 576Q P A P B

8,10 8

1( )

36Q P C

8,11 8 8

2 3 1 2 3 32 3 35( ) ( )

36 36 16 36 576 576 576Q P D P E

8,12 8

3( )

36Q P F

8,13 8

4( )

36Q P G

8,14 8

5( )

36Q P H

8,15 8

6( )

36Q P I

8,16 8

5( )

36Q P J

8,17 8

4( )

36Q P K

8,18 8 8

3 14 42( ) ( )

36 16 576Q P L P M

8,19 8

2( )

36Q P N

8,20 8

1( )

36Q P O

Baris 9

9,1 9 9

4 1 4( ) ( ) 0

36 16 576Q P A P B

9,11 9 9

1 4 1 1 4 16 4 20( ) ( )

36 36 16 36 576 576 576Q P C P D

9,12 9

2( )

36Q P E

9,13 9

3( )

36Q P F

9,14 9

4( )

36Q P G

9,15 9

5( )

36Q P H

9,16 9

6( )

36Q P I

9J = Kejadian pemain berpindah dari petak 9 ke petak 17

9,17 9

5( )

36Q P J

9,18 9 9

4 14 56( ) ( )

36 16 576Q P K P L

9,19 9

3( )

36Q P M

9,20 9

2( )

36Q P N

9,21 9

1( )

36Q P O

Baris 10

10,1 10 10

5 1 5( ) ( ) 0

36 16 576Q P A P B

10,11 10 10

5 1 5( ) ( ) 0

36 16 576Q P C P D

10,12 10

1( )

36Q P E

10,13 10

2( )

36Q P F

10,14 10

3( )

36Q P G

10,15 10

4( )

36Q P H

10,16 10

5( )

36Q P I

10,17 10

6( )

36Q P J

10,18 10 10

5 14 70( ) ( )

36 16 576Q P K P L

10,19 10

4( )

36Q P M

10,20 10

3( )

36Q P N

10,21 10

2( )

36Q P O

10,22 10

1( )

36Q P P

Baris 11

11,1 11 11 11

6 1 1 1 6 1 7( ) ( ) ( ) 0

36 16 36 16 576 576 576Q P A P B P C

11,6 11 11

1 1 1( ) ( ) 0

36 16 576Q P D P E

11,11 11 11 11

6 1 1 1 7( ) ( ) ( ) 0

36 16 36 16 576Q P F P G P H

11,12 11 11

1 1 1( ) ( ) 0

36 16 576Q P I P J

11,13 11

1( )

36Q P K

11,14 11

2( )

36Q P L

11,15 11

3( )

36Q P M

11,16 11

4( )

36Q P N

11,17 11

5( )

36Q P O

11,18 11 11

6 14 84( ) ( )

36 16 576Q P P P Q

11,19 11

5( )

36Q P R

11,20 11 11

4 1 1 64 1 65( ) ( )

36 36 16 576 576Q P S P T

11,21 11

3( )

36Q P U

11,22 11

2( )

36Q P V

11,23 11 11

1 6 6( ) ( )

36 16 576Q P W P X

11,25 11 11

1 1 1( ) ( ) 0

36 16 576Q P Y P Z

11,26 11 11

1 2 2( ) ( ) 0

36 16 576Q P AO P BO

11,29 11 11

1 1 1( ) ( ) 0

36 16 576Q P CO P DO

11,40 11 11

1 1 1( ) ( ) 0

36 16 576Q P EO P FO

Nama Lengkap : Bilqis El Jilnar

NIM : 104094003021

Tempat Tanggal Lahir : Bima, 20 Desember 1985

Alamat : Jl. Perintis, Gg. Pisang RT.09/03 Kel. Penaraga

Kec. Raba Kota Bima- NTB

Phone / Hand Phone : 02191402299 / 081382267305

Email : qiqyue@yahoo.com

Jenis Kelamin : Perempuan

1. S1 : Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi

Universitas Islam Negeri (UIN) Syarif Hidayatullah Jakarta,

Tahun 2004 - 2011

2. SMA : SMU 2 Raba Kota Bima – NTB , Tahun 2000 - 2003

3. SMP : SLTP 1 Raba Kota Bima – NTB , Tahun 1997 - 2000

4. SD : SDN 2 Raba Kota Bima – NTB, Tahun 1991 – 1997

DAFTAR RIWAYAT HIDUP

Data Pribadi

Riwayat Pendidikan

BIODATA PENULIS