bilqis 1

Pertemuan 4

Vektor 2 dan 3 Dimensi

bilqis 2

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS

Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan : – Mengetahui definisi Vektor Dimensi 2

dan Vektor Dimensi 3– Dapat menghitung perkalian dan jarak

antara 2 vektor

bilqis 3

Vektor di Ruang-2

Vektor di Ruang-3

 Bab 3.1

bilqis 4

3.1) Vektor -> Pengantar

Vektor :

• Besaran skalar yang mempunyai arah

• ex : gaya, ke kanan bernilai (+) , ke kiri bernilai (-)

• Secara geometris,

• Simbol vektor : v

• Skalar vektor : v +

• Vektor : 2 dimensi -

*

3 dimensi +

-

*

B

A

v

vektor v = AB

A disebut titik awal/inisial

B disebut titik akhir/terminal

Arah panah = arah vektor

Panjang panah = besar vektor

bilqis 5

A

B

v

vektor v = AB

A disebut titik awal/inisial

B disebut titik akhir/terminal

Vektor-vektor ekivalen

Dianggap sama

Panjang dan arahnya sama

bilqis 6

Negasi sebuah vektor v –v secara geometrik

v–v

Panjang sama, arah berlawanan

Penjumlahan dua vektor: w = u + v secara geometrik

Selisih dua vektor: w = u – v sama dengan w = u + (–v)

u

vw

u

vwv

u

w

bilqis 7

Penjumlahan dua vektor: w = u + v

u

vw

Cara analitik:

Vektor-vektor u, v, w di Ruang-2 atau Ruang-3

Ruang-2: u = (u1, u2); v = (v1, v2); w = (w1, w2)

w = (w1, w2) = (u1, u2) + (v1, v2)

= (u1 + v1, u2 + v2)

w1 = u1 + v1

w2 = u2 + v2

bilqis 8

Perkalian vektor dengan skalar (bilangan nyata/real number)

w = k v ; k = skalar

v

3v–2v

v

secara geometrik:

bilqis 9

Perkalian vektor dengan skalar (bilangan nyata/real number)

w = k v ; k = skalar

Cara analitik:

Di Ruang-2: w = kv = (kv1, kv2)

(w1, w2) = (kv1, kv2)

w1= kv1

w2 = kv2

bilqis 10

Koordinat Cartesius:

P1 = (x1, y1) dan P2 = (x2, y2)

P1 dapat dianggap sebagai titik dengan koordinat (x1, y1)

atau sebagai vektor OP1 di Ruang-2 dengan komponen pertama x1 dan komponen kedua y1

P2 dapat dianggap sebagai titik dengan koordinat (x2, y2)

atau sebagai vektor OP2 di Ruang-2 dengan komponen pertama x2 dan komponen kedua y2

Vektor P1P2 = OP2 – OP1 = (x2 – x1, y2 – y1)

bilqis 11

Using Coordinat

( v1, v2 ) v1 & v2 komponen2 v

Mis: v = ( 1, -2 ) & w = ( 7, 6 )

( + ) v + w = ( 1, -2 ) + ( 7, 6 )

= ( 1 + 7, -2 + 6 )

= ( 8, 4 )

( - ) v – w = ( 1, -2 ) - ( 7, 6 )

= ( 1 - 7, -2 - 6 )

= ( -6, -8 )

( * ) 4 v = 4 ( 1, -2 )

= ( 4, -8 )

y

x

v

w

v

V + w

4vV - w

bilqis 12

Vektor 3 dimensi

v = ( v1, v2, v3 )

Misal:

v = ( 4, 5, 6 )

Mis : v = ( 1, -3, 2 )

w = ( 4, 2, 1 )

( + ) v + w = ( 5, -1, 3 )

( - ) v – w = ( -3, -5, 1 )

( * ) 2 v = ( 2, -3, 4 )

v = P1 P2 = P2 - P1 = ( x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1 )

x

y

z

4

5

6

v

P1

P2

v

bilqis 13

Ex 2 hal 124

Example 2: the component of the vector v = P1 P2 with the initial point P1 ( 2, -1, 4 )

And terminal point P2 ( 7, 5, -8 ) are

v = ( 7 – 2, 5 – ( -1 ), ( -8 ) – 4 ) = ( 5, 6, -12 )

in 2-space, the vector with initial point P1 ( x1, y1 ) and terminal point P2 ( x2, y2 ) is

P1 P2 = (x2 - x1 , y2 - y1 )

bilqis 14

Translasi

(0, 0)

(k, l)

sumbu-x

sumbu-y sumbu-y’

sumbu-x’

(x, y)

(x’, y’)P

x’ = x – k y’ = y – k

y

l

x

x’

k

y’

(0, 0)

bilqis 15

Translasi

pers.Translasi :

x’ = x - k

y’ = y – l

x = x’ + k

y = y’ + p

Ex: ( k, l ) = ( 4, 1 ), koordinat ( x, y ) titik P ( 2, 0 ). Berapakah koordinat

( x’ , y’ )?

Jwb : x’ = x – k y’ = y – l

= 2 – 4 = 0 - 1

= -2 = -1

(0, 0)

(k, l)

(x, y)

(x’, y’)sumbu-y

sumbu-x

l

kx

sumbu-x’

P sumbu-y’

(0, 0)

x’

y’

bilqis 16

Ex 3 hal 125Suppose that an xy-coordinate system translated to obtain an x’y’-

coordinate system whose origin has xy-coordinates ( k, l ) = ( 4, 1)

(a) Find the x’y’-coordinates of the point with the xy-coordinate P ( 2, 0 )

(b) Find the xy-coordinates of the point with the x’y’-coordinate Q ( -1, 5 )

Solutions (a): the translations equations are

x’ = x – 4 y’ = y – 1

So the x’y’-coordinates of P ( 2, 0 ) are x’ = 2 – 4 = - 2 and y’ = 0 – 1 = - 1

Solutions (b): the translations equations in (a) can be rewritten as

x = x’ + 4 y = y’ + 1

So the xy-coordinates of Q are x = -1 + 4 = 3 and y = 5 + 1 = 6

bilqis 17

Contoh soal

Carilah vektor yang mempunyai titik awal P ( 2, 3 ) yang mempunyai arah yang sama dengan v = ( 4, 5 ) dari titik P

jwb :

v = ( 4, 5 ) dari titik P

so, x’ = 4

y’ = 5

Maka P( 2, 3 ) dianggap sebagai titik pusat baru. k = 2 dan l = 3. yang kita cari adalah keberadaan vektor v terhadap sumbu koordinat mula-mula ( 0, 0 )

x = k + x’ y = l + y’

= 2 + 4 = 3 + 5

= 6 = 8

Jadi vektor lain yang mempunyai arah yang sama dengan v adalah Q ( 6, 8 )

P ( 2, 3 )

x

y y’

x’

v

bilqis 18

Aritmatika vektor

Norma sebuah vektor

Bab 3.2

bilqis 19

Aritmatika vektor di Ruang-2 dan Ruang-3

Teorema 3.2.1.: u, v, w vektor-vektor di Ruang-2/Ruang-3

k, l adalah skalar (bilangan real)

• u+v = v+u

• (u+v)+w = u+(v+w)

• u+0 = 0+u = u

• u+(-u) = (-u)+u = 0

• k(lu) = (kl)u

• k(u+v) = ku + kv

• (k+l)u = ku + lu

• 1u = u

bilqis 20

Bukti teorema 3.2.1.:

1. Secara geometrik (digambarkan)

2. Secara analitik (dijabarkan)

Bukti secara analitik untuk teorema 3.2.1. di Ruang-3

u = (u1, u2, u3); v = (v1, v2, v3); w = (w1, w2, w3)

u + v = (u1, u2, u3) + (v1, v2, v3) u + 0 = (u1, u2, u3) + (0, 0, 0)

= (u1+ v1, u2 + v2, u3 + v3) = (u1+ 0, u2 + 0, u3 + 0)

= (v1 + u1, v2 + u2, v3 + u3) = (0 + u1, 0 + u2, 0 + u3)

= v + u = 0 + u

= (u1, u2, u3)

= u

bilqis 21

k(lu) = k (lu1, lu2, lu3) k(u + v) = k((u1, u2, u3) + (v1, v2, v3))

= (klu1, klu2, klu3) = k(u1+ v1, u2 + v2, u3 + v3)

= kl(u1, u2, u3) = (ku1+ kv1, ku2 + kv2, ku3 + kv3 )

= klu = (ku1, ku2, ku3) + (kv1, kv2, kv3 )

= ku + kv

(k + l) u = ((k+l) u1, (k+l) u2, (k+l) u3)

= (ku1, ku2, ku3) + (lu1, lu2, lu3)

= k(u1, u2, u3) + l(u1, u2, u3)

= ku + lu

bilqis 22

Norma sebuah vektor:

(Untuk sementara norma bisa dianggap sebagai panjang vektor)

Ruang-2 : norma vektor u = ||u|| = u12 + u2

2

Ruang-3 : norma vektor u = ||u|| = u12 + u2

2 + u32

Vektor Satuan (unit Vector) : suatu vektor dengan norma 1

bilqis 23

Jarak antara dua titik:

Ruang-2: vektor P1 P2= (x2 – x1, y2 – y1)

jarak antara P1(x1, y1) dan P2(x2, y2)

d = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2

Ruang-3: vektor P1 P2= (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1)

jarak antara P1(x1, y1, z1) dan P2(x2, y2, z2)

d = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 + (z2 – z1)2

bilqis 24

Jika u adalah vektor dan k adalah skalar, maka

norma ku = | k | || u ||

bilqis 25

• Vektor bisa dinyatakan secara grafik

analitik (diuraikan mjd komponennya)

• Norma v = panjang vektor v

= || v || = v1 + v2

• v = P2 P1 = ( x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1 )

d = || v || = ( x2 – x1 )2 + ( y2 – y1 )2 + ( z2 – z1 )2

Ex:• Norma v = ( -3, 2, 1 ) adalah || v || = ( -3) 2 + ( 2 ) 2 + ( 1 ) 2 = 14

• Jarak ( d ) antara titik P1 ( 2, -1, -5 ) dan P2 ( 4, -3, 1 ) adalah

d = ( 4 – 2 ) 2 + ( -3 + 1 ) 2 + ( 1 + 5 ) 2

= 44

= 2 11

bilqis 26

Contoh (1):

Cari norma dari v = (0, 6, 0)

Penyelesaian :

Contoh (2):

Anggap v = (–1, 2, 5). Carilah semua skalar k sehingga norma kv = 4

Penyelesaian :

636060 222 v

||kv|| = | k | [(–1)2 + 22 + 52 ]

= | k |30 = 4 | k | = 4 / 30 k = 4 / 30

bilqis 27

Contoh (3):

Carilah jarak antara a) P1 = (3, 4) dan P2 = (5, 7)

b) P1 = (3, 3, 3) dan P2 = (6, 0, 3)

Penyelesaian :

a) d = (5 – 3)2 + (7 – 4)2 = 4 + 9 = 13

b) d = (6 – 3)2 + (0 – 3)2 + (3 – 3)2 = 9 + 9 + 0 = 18

bilqis 28

PR

• 3.1 3.f , 4, 6.f , 7, 8, 10, 11

• 3.2 2.b, 3.f , 4, 5, 6, 7