PEMODELAN KEMATIAN YANG DIAKIBATKAN OLEH

PEMBUNUHAN DAN BUNUH DIRI DI LITHUANIA

PADA TAHUN 2003-2004

RIDWAN FIRDAUS

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2014

PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN

SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA

Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Pemodelan Kematian

yang Diakibatkan oleh Pembunuhan dan Bunuh Diri di Lithuania pada Tahun

2003-2004 adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan

belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber

informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak

diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam

Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.

Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut

Pertanian Bogor.

Bogor, April 2014

Ridwan Firdaus

NIM G5408002

ABSTRAK

RIDWAN FIRDAUS. Pemodelan Kematian yang Diakibatkan oleh Pembunuhan

dan Bunuh Diri di Lithuania pada Tahun 2003-2004. Dibimbing oleh I WAYAN

MANGKU dan RUHIYAT.

Banyak permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang dapat dimodelkan

dengan suatu proses stokastik. Proses stokastik memegang peranan cukup penting,

salah satunya untuk memodelkan variasi geografis dari risiko kematian. Makalah

ini mempertimbangkan masalah numerik dari model pendekatan Bayes empiris

diterapkan pada estimasi tingkat kecil. Kondisi untuk nonsingularitas pendugaan

Bayes diberikan dan juga dikembangkan. Model Gauss-Poisson bisa digunakan

untuk kemungkinan peristiwa dalam populasi yang sama, jika penggerombolan

terdapat kemungkinan yang kecil. Jika ukuran populasi tidak diperhitungkan,

maka pendugaan risiko relatif (RR) yang hanya berdasarkan pada beberapa kasus

dapat menghasilkan peta yang tidak baik. Penduga Bayes empiris terbukti

memiliki kesalahan kuadrat lebih kecil daripada penduga RR. Pengintegralan dan

pemaksimuman fungsi likelihood dilakukan dengan menggunakan perangkat

lunak matematika. Pada karya ilmiah ini penulis mempelajari tulisan dari

Sakalauskas (2010) yang berjudul On the Empirical Bayesian Approach for the

Poisson-Gaussian Model.

Kata kunci: Bayes empiris, model Gauss-Poisson, pemodelan kematian

ABSTRACT

RIDWAN FIRDAUS. Modeling Homicide and Suicide Mortalities in Lithuania in

2003-2004. Supervised by I WAYAN MANGKU and RUHIYAT.

Many daily problems can be assumed as stochastic processes. Therefore

stochastic processes are very important subjects. One of them is modeling the

geographical variation of mortality risk. This paper considers numerical issues of

the empirical Bayesian approach model applied to the low rate estimation. The

condition for nonsingularity of Bayesian estimation is given and the convenient

iterative algorithm for the estimation is described. The clustering algorithm is also

developed. It uses the property of Poisson-Gaussian model to treat probabilities of

events in populations being the same, if the variance of probabilities is small. If

the population size is not taken into account, then the estimation of relative risk

(RR), which is only based on a few cases to produce a map, is not good. Empirical

Bayes estimation has been proven to have smaller squared error than that of RR

estimator. Integrating and maximizing likelihood functions is done by using a

mathematical software. This paper refers mainly to the paper of Sakalauskas

(2010) entitled On the Empirical Bayesian Approach for the Poisson-Gaussian

model.

Key words: Empirical Bayesian, mortality modeling, Poisson-Gaussian model

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Sains

pada

Departemen Matematika

PEMODELAN KEMATIAN YANG DIAKIBATKAN OLEH

PEMBUNUHAN DAN BUNUH DIRI DI LITHUANIA

PADA TAHUN 2003-2004

RIDWAN FIRDAUS

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2014

Judul Skripsi : Pemodelan Kematian yang Diakibatkan oleh Pembunuhan dan

Bunuh Diri di Lithuania pada Tahun 2003-2004

Nama : Ridwan Firdaus

NIM : G54080023

Disetujui oleh

Prof Dr Ir I Wayan Mangku, MSc

Pembimbing I

Ruhiyat, MSi

Pembimbing II

Diketahui oleh

Dr Toni Bakhtiar, MSc

Ketua Departemen

Tanggal Lulus:

PRAKATA

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah Subhanahu Wa Ta’ala atas

segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Judul yang

dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Maret 2012 ini ialah

Pemodelan Kematian yang Diakibatkan oleh Pembunuhan dan Bunuh Diri di

Lithuania pada Tahun 2003-2004

Terima kasih penulis ucapkan kepada Prof Dr Ir I Wayan Mangku, MSc dan

Ruhiyat, MSi selaku pembimbing, serta Dr Ir Hadi Sumarno MS yang telah

banyak memberi saran. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada ayah,

ibu, serta seluruh keluarga, atas segala doa dan kasih sayangnya.

Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.

Bogor, April 2014

Ridwan Firdaus

DAFTAR ISI

DAFTAR TABEL vi

DAFTAR LAMPIRAN vi

PENDAHULUAN 1

Latar Belakang 1

Tujuan 1

TINJAUAN PUSTAKA 2

Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang 2

Peubah Acak dan Fungsi Sebaran 3

Nilai Harapan dan Ragam 4

Kekonvergenan Peubah Acak 5

Statistik, Penduga dan Sifat-sifatnya 5

Sebaran Prior dan Sebaran Posterior 6

Proses Stokastik 7

Proses Poisson 7

Metode Maximum Likelihood (ML) 8

HASIL DAN PEMBAHASAN 9

Model Gauss-Poisson 9

Turunan dari Fungsi Likelihood dan Persamaan Titik Tetap 10

Pendugaan Parameter Gauss dengan Metode “Iterasi Sederhana” 13

Aplikasi untuk Penggerombolan 13

Implementasi untuk Analisis Data 14

SIMPULAN 16

DAFTAR PUSTAKA 16

LAMPIRAN 18

RIWAYAT HIDUP 22

DAFTAR TABEL

1 Pendugaan Bayes empiris dari kematian akibat bunuh diri/pembunuhan

di Lithuania, 2003 15 2 Pendugaan Bayes empiris dari kematian akibat bunuh diri/pembunuhan

di Lithuania, 2004 15 3 Hasil Analisis Berdasarkan Data Pria Bunuh Diri di Lithuania Tahun

2003 untuk wilayah Shilutes d, Shirvintu d, Kaunas, dan Kauno d 16

DAFTAR LAMPIRAN

1 Bukti Teorema 1 18 2 Hasil Analisis Berdasarkan Data Pria Bunuh Diri di Lithuania Tahun

2003 20

1

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Banyak permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang dapat dimodelkan

dengan suatu proses stokastik. Proses stokastik merupakan model yang berkaitan

dengan aturan-aturan peluang. Proses stokastik memegang peranan cukup penting

dalam berbagai bidang, salah satunya untuk memodelkan variasi geografis dari

risiko kematian dalam upaya untuk menunjukkan bahwa suatu kejadian tertentu

dapat disebabkan oleh faktor risiko yang memiliki struktur spasial.

Proses stokastik dibedakan menjadi dua berdasarkan jenis waktu, yaitu

proses stokastik dengan waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu.

Pada tulisan ini, pembahasan hanya dibatasi pada proses stokastik dengan waktu

kontinu. Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu

adalah model Gauss-Poisson.

Pada tulisan ini masalah yang dimodelkan adalah kematian yang diakibatkan

oleh pembunuhan dan bunuh diri. Model ini diharapkan dapat membantu pihak

yang berkepentingan, seperti petugas kepolisian. Tingkat kriminalitas ini biasanya

berbeda-beda untuk setiap wilayah, sehingga dibutuhkan kebijakan yang tepat

dalam menanganinya.

Jika keragaman ukuran populasi tidak diperhitungkan, maka pendugaan

risiko relatif (RR) yang hanya berdasarkan pada beberapa kasus dapat

menghasilkan peta yang tidak baik. Penduga Bayes empiris terbukti memiliki

kesalahan kuadrat yang lebih kecil daripada penduga RR. Dalam hal ini,

banyaknya kejadian memenuhi sebaran Poisson, bergantung pada laju kejadian

dan waktu pengamatan untuk setiap populasi.

Dalam tulisan ini dibahas aspek numerik dari pendugaan Bayes empiris

untuk model Gauss-Poisson, ketika sebaran prior logit adalah normal dengan

parameter diduga dengan metode maximum likelihood (ML) (Tsutakava et al.

1985; Sakalauskas 1995). Di sini ditentukan kondisi nonsingularitas dalam

pendugaan parameter dari sebaran prior dan digunakan algoritme iteratif

sederhana untuk menduga prior sebelumnya. Karena pendekatan Bayes empiris

untuk model Gauss-Poisson membedakan dengan sifat untuk membuat peluang

kejadian dalam populasi menjadi sama, ketika banyaknya kejadian tidak bervariasi

banyak, digunakan algoritme gerombol yang mengeksploitasi sifat ini. Data

kematian Lithuania pada tahun 2003-2004 digunakan untuk menduga risiko yang

sebenarnya dan menunjukkan penggunaan pendekatan tersebut.

Pada karya ilmiah ini penulis mempelajari tulisan dari Sakalauskas (2010)

yang berjudul On the Empirical Bayesian Approach for the Poisson-Gaussian

Model.

Tujuan

1. Mempelajari dan menganalisis model kematian yang diakibatkan oleh

pembunuhan dan bunuh diri di Lithuania pada tahun 2003-2004.

2. Mempelajari variasi geografis dari risiko kematian dalam upaya untuk

menunjukkan bahwa suatu kejadian tertentu dapat disebabkan oleh faktor

risiko yang memiliki struktur spasial.

2

TINJAUAN PUSTAKA

Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang

Dalam suatu percobaan sering kali diperlukan pengulangan yang dilakukan

dalam kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul akan

diketahui tetapi hasil pada percobaan selanjutnya tidak dapat diduga dengan tepat.

Percobaan semacam ini disebut percobaan acak.

Definisi 1 (Ruang contoh)

Ruang contoh adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan

acak dan dinotasikan dengan Ω (Grimmett & Stirzaker 1992).

Definisi 2 (Kejadian)

Kejadian adalah suatu himpunan bagian dari ruang contoh Ω (Grimmett &

Stirzaker 1992).

Definisi 3 (Medan- )

Medan- adalah suatu himpunan yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian

ruang contoh Ω, yang memenuhi syarat berikut:

1.

2. Jika , maka 1

i

i

A

3. Jika , maka Jika , maka medan- disebut medan Borel. Anggota medan Borel disebut

himpunan Borel (Hogg et al. 2005).

Definisi 4 (Kejadian saling lepas)

Kejadian dan disebut saling lepas jika irisan dari keduanya adalah himpunan

kosong (Grimmett & Stirzaker 1992).

Definisi 5 (Ukuran peluang)

Misalkan Ω adalah ruang contoh suatu percobaan dan adalah medan- pada Ω.

Suatu fungsi yang memetakan unsur-unsur ke himpunan bilangan nyata ,

atau disebut ukuran peluang jika

1. taknegatif, yaitu untuk setiap 2. bersifat aditif takhingga, yaitu jika dengan

maka ⋃ ∑

3. bernorma satu, yaitu .

Pasangan disebut ruang ukuran peluang atau ruang peluang (Hogg et al.

2005).

Definisi 6 (Kejadian saling bebas)

Kejadian dan dikatakan saling bebas jika:

Secara umum, himpunan kejadian dikatakan saling bebas jika:

3

(⋂

) ∏

untuk setiap himpunan bagian J dari I (Grimmett & Stirzaker 1992).

Peubah Acak dan Fungsi Sebaran

Definisi 7 (Peubah acak)

Misalkan adalah medan- dari ruang contoh Suatu peubah acak adalah

suatu fungsi dengan sifat bahwa untuk setiap

(Grimmett & Stirzaker 1992).

Peubah acak dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya , sedangkan nilai

peubah acak dinotasikan dengan huruf kecil seperti . Setiap peubah acak

memiliki fungsi sebaran.

Definisi 8 (Fungsi sebaran)

Misalkan adalah suatu peubah acak dengan ruang contoh . Misalkan kejadian

, maka peluang dari kejadian adalah:

Fungsi disebut fungsi sebaran dari peubah acak (Hogg et al. 2005).

Definisi 9 (Peubah acak diskret)

Peubah acak dikatakan diskret jika semua himpunan nilai dari peubah

acak tersebut merupakan himpunan tercacah (Grimmett & Stirzaker 1992).

Definisi 10 (Fungsi massa peluang)

Fungsi massa peluang dari peubah acak diskret adalah fungsi yang diberikan oleh

(Hogg et al. 2005).

Definisi 11 (Peubah acak kontinu)

Peubah acak dikatakan kontinu jika fungsi sebarannya dapat ditulis sebagai

∫

untuk suatu fungsi yang dapat diintegralkan. Selanjutnya fungsi

disebut fungsi kepekatan peluang bagi (Hogg et al. 2005).

Definisi 12 (Peubah acak Poisson)

Suatu peubah acak disebut peubah acak Poisson dengan parameter , jika

fungsi massa peluangnya diberikan oleh

untuk (Ross 2007).

4

Definisi 13 (Sebaran gamma)

Peubah acak dengan fungsi kepekatan peluang

jika

lainnya

dikatakan memiliki sebaran gamma dengan parameter

(Gahramani 2005).

Definisi 14 (Sebaran normal)

Suatu peubah acak disebut memiliki sebaran normal dengan nilai harapan dan

ragam , ditulis menyebar , jika fungsi kepekatan peluangnya adalah

√

(

)

, untuk

(Hogg et al. 2005).

Lema 1 (Jumlah peubah acak Poisson)

Misalkan dan adalah peubah acak yang saling bebas dan memiliki sebaran

Poisson dengan parameter berturut-turut dan , maka memiliki sebaran

Poisson dengan parameter . Bukti dapat dilihat pada Taylor & Karlin

(1984).

Nilai Harapan dan Ragam

Definisi 15 (Nilai harapan)

1. Jika adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang , maka

nilai harapan dari , dinotasikan dengan , adalah

∑

asalkan jumlah di atas konvergen mutlak.

2. Jika adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang ,

maka nilai harapan dari adalah

∫

asalkan integral di atas konvergen mutlak (Hogg et al. 2005).

Definisi 16 (Ragam)

Misalkan adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang dan

nilai harapan . Ragam dari , dinotasikan dengan atau , adalah

∑( )

(Hogg et al. 2005).

Definisi 17 (Fungsi indikator)

Misalkan adalah suatu kejadian. Fungsi indikator dari adalah suatu fungsi

yang diberikan oleh

5

jika jika

(Grimmett & Stirzaker 1992).

Kekonvergenan Peubah Acak

Terdapat beberapa cara untuk menginterpretasikan pernyataan kekonvergenan

barisan peubah acak.

Definisi 18 (Konvergen dalam peluang)

Misalkan adalah barisan peubah acak pada suatu ruang peluang

. Barisan peubah acak dikatakan konvergen dalam peluang ke ,

dinotasikan

, jika untuk setiap berlaku | | , untuk

(Grimmett & Stirzaker 1992).

Definisi 19 (Konvergen dalam sebaran)

Misalkan adalah peubah acak pada suatu ruang peluang . Suatu

barisan peubah acak dikatakan konvergen dalam sebaran ke peubah acak ,

ditulis

, untuk jika

untuk , untuk semua titik x di mana fungsi sebaran adalah kontinu

(Grimmett & Stirzaker 1992).

Statistik, Penduga dan Sifat-sifatnya

Definisi 20 (Statistik)

Statistik adalah suatu fungsi dari satu atau lebih peubah acak yang tidak

bergantung pada satu atau beberapa parameter yang nilainya tidak diketahui

(Hogg et al. 2005).

Definisi 21 (Penduga)

Misalkan adalah contoh acak. Suatu statistik yang

digunakan untuk menduga fungsi parameter , disebut penduga bagi ,

dilambangkan dengan Bilamana nilai maka nilai disebut sebagai dugaan bagi (Hogg et al. 2005).

Definisi 22 (Penduga takbias)

1. Suatu penduga yang nilai harapannya sama dengan parameter yaitu

disebut penduga takbias bagi

2. Jika maka disebut

penduga takbias asimtotik bagi (Hogg et al. 2005).

Definisi 23 (Penduga konsisten)

Suatu penduga yang konvergen dalam peluang ke parameter , disebut

penduga konsisten bagi (Hogg et al. 2005).

6

Sebaran Prior dan Sebaran Posteriror

Definisi 24 (Sebaran Prior)

Suatu peubah acak dengan parameter memiliki fungsi kepekatan peluang

bersyarat yang dinotasikan dengan | dan adalah fungsi

kepekatan marjinal dari , dinamakan sebaran prior (Arnold 1990).

Definisi 25 (Sebaran Posterior)

Suatu peubah acak merupakan sebaran prior dengan fungsi kepekatan peluang

bersyarat | dan memiliki fungsi kepekatan peluang , maka

fungsi kepekatan peluang bersama dari dinotasikan dengan

| , dinamakan sebaran posterior, dinyatakan dengan

| |

∫ |

(Arnold 1990).

Proses Stokastik

Definisi 26 (Proses stokastik)

Proses stokastik adalah suatu himpunan dari peubah acak yang

memetakan suatu ruang contoh ke suatu ruang state (Ross 2007).

Jadi untuk setiap pada himpunan indeks adalah suatu peubah acak.

Indeks sering diinterpretasikan sebagai waktu dan sebagai state (keadaan)

dari proses pada waktu

Definisi 27 (Proses stokastik waktu kontinu)

Suatu proses stokastik disebut proses stokastik dengan waktu kontinu jika berupa suatu interval (Ross 2007).

Definisi 28 (Inkremen bebas)

Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu disebut memiliki

inkremen bebas jika untuk semua peubah acak adalah bebas (Ross 2007).

Dengan kata lain, suatu proses stokastik dengan waktu kontinu disebut memiliki

inkremen bebas jika proses berubahnya nilai pada interval waktu yang tidak

tumpang tindih (tidak overlap) adalah bebas.

Definisi 29 (Inkremen stasioner)

Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu disebut memiliki

inkremen stasioner jika memiliki sebaran yang sama untuk

semua nilai (Ross 2007).

Dengan kata lain, suatu proses stokastik dengan waktu kontinu disebut memiliki

inkremen stasioner jika sebaran dari perubahan nilai antara sembarang dua titik

hanya tergantung pada jarak antara kedua titik tersebut dan tidak bergantung pada

lokasi titik-titik tersebut.

7

Proses Poisson

Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah

proses Poisson. Pada tulisan ini dianggap bahwa himpunan indeks adalah

interval bilangan real taknegatif yaitu

Definisi 30 (Proses pencacahan)

Suatu proses stokastik disebut proses pencacahan jika

menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu Dari definisi tersebut, maka suatu proses pencacahan harus memenuhi

syarat-syarat berikut:

1. untuk semua 2. Nilai

adalah bilangan bulat.

3. Jika maka untuk 4. Untuk maka sama dengan banyaknya kejadian yang terjadi

pada interval (Ross 2007)

Definisi 31 (Proses Poisson)

Suatu proses pencacahan disebut proses Poisson dengan laju ,

jika dipenuhi tiga syarat berikut:

1. .

2. Proses tersebut memiliki inkremen bebas.

3. Banyaknya kejadian pada sembarang interval waktu dengan panjang

memiliki sebaran Poisson dengan nilai harapan Jadi untuk setiap ,

dengan (Ross 2007).

Dari syarat (3) dapat dilihat bahwa proses Poisson memiliki inkremen stasioner.

Dari syarat (3) juga dapat diperoleh

( )

Proses Poisson dengan laju yang merupakan konstanta untuk semua waktu

disebut proses Poisson homogen. Jika laju bukan konstanta, tetapi merupakan

fungsi dari waktu , maka proses tersebut disebut proses Poisson takhomogen.

Untuk kasus ini, disebut fungsi intensitas dari proses Poisson tersebut.

Fungsi intensitas harus memenuhi syarat untuk semua

Misalkan adalah proses Poisson dan adalah suatu interval bilangan nyata. Jika

adalah proses Poisson homogen, maka

| | dengan | | adalah panjang interval , sedangkan menyatakan banyaknya

kejadian dari proses Poisson pada interval

Jika adalah proses Poisson takhomogen dengan fungsi intensitas , maka

∫

8

Dengan kata lain, jika adalah proses Poisson takhomogen, maka memiliki

sifat:

1.

untuk setiap interval dengan 2. Untuk setiap bilangan bulat positif dan adalah interval

yang saling lepas dengan ( )

merupakan peubah acak yang saling bebas.

Metode Maximum Likelihood (ML)

Defenisi 32 (Fungsi likelihood)

Misalkan adalah barisan peubah acak independent and identically

distributied (i.i.d) dengan fungsi kepekatan peluang , dengan

diasumsikan skalar dan tidak diketahui, maka fungsi likelihood dapat dituliskan

sebagai berikut:

∏

dengan (Hogg et al. 2005).

Definisi 33 (Pendugaan maximum likelihood)

Misalkan ∏ adalah fungsi likelihood, maka fungsi log dari

, dapat dinotasikan dengan:

∑

Pendugaan parameter dengan metode maximum likelihood dapat diperoleh dengan

menentukan nilai yang memaksimumkan fungsi atau (Hogg

et al. 2005).

9

HASIL DAN PEMBAHASAN

Model Gauss-Poisson

Misalkan suatu himpunan ( ) dari populasi, di mana

setiap populasi terdiri atas individu. Asumsikan beberapa kejadian

(misalnya kematian yang diakibatkan oleh beberapa kasus bunuh diri) dapat

terjadi pada populasi amatan. Tujuan dari tulisan ini adalah untuk menduga

peluang kejadian yang tidak diketahui, ketika banyaknya kejadian dalam

populasi yang diamati, . Karena risiko relatif tidak dapat

digunakan dalam banyak kasus akibat perbedaan yang besar dalam ukuran

populasi , maka pendekatan Bayes empiris diterapkan.

Banyaknya kejadian diasumsikan mengikuti sebaran Poisson dengan

parameter , yaitu:

( ) ( )

( )

Asumsi ini sering dibenarkan (Bradley et al. 2000; Tsutakava et al. 1985; Clayton

dan Kaldor 1987).

Metode Bayes empiris adalah prosedur dua tahap, bergantung pada sebaran

prior yang diperkenalkan pada tahap kedua (Bradley et al. 2000). Hal yang

menarik pada model adalah logit

menyebar normal dengan parameter . Dengan demikian, fungsi kepekatan

peluang dari logit pada persamaan (2) adalah:

( )

( ( )

)

√

Kemudian tingkat dievaluasi sebagai suatu nilai harapan posterior untuk

yang diberikan

∫

(

) ( )

( )

di mana

( ) ∫ (

)

( )

adalah peluang posterior dari banyaknya kejadian pada populasi ke- ,

.

Analisis Bayes dalam statistik sering berhubungan dengan peminimuman

fungsi tertentu, dinyatakan sebagai integral dari fungsi kepekatan posterior.

Dengan demikian, dalam pendekatan Bayes empris dengan parameter yang

tidak diketahui diduga dengan metode maximum likelihood. Fungsi logaritma

likelihood, setelah beberapa manipulasi didapatkan sebagai berikut

10

( ) ∑ ( ( ))

∑ ( ∫ (

)

( ) )

yang harus diminimumkan untuk mendapatkan dugaan bagi parameter .

Turunan dari Fungsi Likelihood dan Persamaan Titik Tetap

Fungsi likelihood pada persamaan (6) dapat diturunkan terhadap parameter

dan turunan pertama masing-masing fungsi ini adalah sebagai berikut:

( )

[ ∑ ( ( ))

]

∑*

( )

( ( ))+

∑[

( )∫ (

)

( ) ]

∑

( )

∫ (

)

( ( )

)

√

( )

( )

∑∫

(

) ( )

( )

( )

[ ∑ ( ( ))

]

∑*

( )

( ( ))+

∑[

( )∫ (

)

( ) ]

11

∑[

( )∫ (

)

(

√ (

( )

)

√ (

( )

)( )

) ]

∑

∫ ( ( )

) (

)

( )

( )

Dengan menyamakan persamaan (7) dan (8) dengan nol, yaitu ( )

( )

maka diperoleh persamaan titik tetap untuk penduga ML dari dan sebagai

berikut: ( )

∑∫

(

) ( )

( )

[∑

∫ (

) ( )

( )

∑∫ (

) ( )

( )

]

∑∫ (

)

( )

( )

∑∫ (

)

( )

( )

∑∫ (

)

( )

( )

∑ ( )

( )

∑∫ (

)

( )

( )

∑

∑∫ (

)

( )

( )

∑∫ (

)

( )

( )

12

( )

∑

∫ ( ( )

) (

)

( )

( )

∑∫ (

) ( )

( )

∑∫ ( ) (

) ( )

( )

∑ ( )

( )

∑∫ ( ) (

)

( )

( )

∑∫ ( ) (

)

( )

( )

∑

∫ ( ) (

) ( )

( )

Namun, solusi dari persamaan ini hanya ada di bawah asumsi

nonsingularitas dari penduga ML untuk (yaitu, ). Setelah beberapa

analisis tentang persamaan (6), (7), (8), sampailah pada teorema berikut.

Teorema 1 Solusi dari persamaan (11) dan (12) ada jika

∑( ) ∑

Bukti dapat dilihat pada Lampiran 1.

Jika persamaan (13) tidak terpenuhi, penduga ML adalah:

di mana

∑

∑

Ini mengikuti dari kondisi persamaan (13) bahwa singularitas terjadi paling

sering pada populasi kecil. Oleh karena itu, kondisi ini dapat digunakan untuk

membuat populasi diatur dengan kejadian langka.

Sangat mudah untuk memastikan bahwa dalam kasus singularitas ( )

banyak kejadian tetap untuk semua populasi,

Nilai yang bersesuaian fungsi likelihood adalah:

( ) ∑( ( ))

∑ ( ( ))

13

Pendugaan Parameter Gauss dengan Metode “Iterasi Sederhana”

Studi empiris dari fungsi likelihood dengan berbagai koleksi ukuran populasi

dan banyaknya kasus dalam populasi memungkinkan untuk disimpulkan bahwa

fungsi ini unimodal dan memiliki satu titik minimum.

Dengan demikian, kondisi nonsingularitas pada persamaan (13) adalah

benar. Kemudian solusi persamaan (9), (10) atau (11), (12) dapat ditentukan

dengan metode numerik. Misalnya, metode “iterasi sederhana” (Kantorovich dan

Akilov 1982) berguna untuk menyelesaikan persamaan-persamaan tersebut

sehingga diperoleh penduga ML dari dan ,

∑

∫ (

) ( )

( )

∑

∫ ( ) (

)

( )

( )

Titik awal ( ) dari persamaan (18) dan (19) dapat dipilih

∑

∑(

)

dengan

Pendugaan ML untuk dapat juga ditentukan dengan Metode Matriks

Variabel (Dennis dan Schnabel 1996), dengan menggunakan titik awal pada

persamaan (20) dan (21) serta menggunakan persamaan (7) dan (8) untuk

memperkirakan gradien fungsi likelihood.

Perhatikan bahwa integral dalam persamaan (5), (6), (7), (8), (11), (12), (18),

dan (19) dapat dihitung dengan menggunakan, misalnya, formula kuadratur

Hermite-Gauss (Abramovich dan Stegun 1968).

Selain itu, pengintegralan dan peminimuman fungsi ML dapat dilakukan

dengan menggunakan alat yang tepat dalam perangkat lunak matematika.

Aplikasi untuk Penggerombolan

Pendekatan Bayes empiris telah diterapkan untuk memetakan

penggeromboralan (Knorr-Held dan Rasser (1999), Bradley et al. (2000)). Sifat

model Gauss-Poisson untuk menangani populasi dengan rasio relatif tertutup satu

sama lain dan memiliki peluang kejadian yang sama dapat diterapkan untuk

14

memetakan penggerombolan. Perhatikan sebuah himpunan gerombol yang

terdiri atas himpunan populasi ( ). Perhatikan bahwa

diperlukan sebagai gerombol himpunan bagian dari populasi yang bersebelahan

(yaitu, setiap populasi di gerombol memiliki perbatasan bersama dengan beberapa

penduduk lainnya dari gerombol ini), di mana kondisi ragam nol yang berasal dari

persamaan (13) adalah benar:

∑ ( )

Misalkan ( ) adalah himpunan gerombol yang mencakup

semua himpunan populasi , ,

Himpunan penggerombolan dipilih sehingga fungsi likelihood persamaan (6)

menjadi minimum. Jadi, dengan menggunakan persamaan (17) setelah beberapa

manipulasi sederhana dapat dipastikan bahwa himpunan penggerombolan terbaik

harus menghasilkan fungsi minimum

( ) ∑ ∑ (∑

∑

)

Peluang kejadian yang bersesuaian dengan populasi pada suatu gerombol

adalah

∑

∑

Perhatikan bahwa banyaknya gerombol yang mungkin agak besar dan harus

dilihat melalui banyaknya gerombol yang besar, ketika himpunan

penggerombolan dibentuk sehubungan dengan persamaan (23). Penyederhanaan

heuristik dapat diterapkan dengan menggunakan proposisi berikut.

Proposisi 1 Misalkan dan adalah dua populasi dengan banyaknya kejadian

, dan ukuran , , maka

(

) (

) ( ) ( )

Bukti dari proposisi ini diperoleh dengan manipulasi dasar.

Dengan demikian dari persamaan (25), penggabungan dua gerombol

menyebabkan fungsi likelihood menurun. Sifat ini dapat digunakan untuk

penentuan himpunan penggerombolan terbaik. Dengan memulai dari himpunan

penggerombolan awal, yang terdiri atas gerombol yang masing-masing hanya

memiliki satu populasi, dua gerombol digabung jika kondisi pada persamaan (22)

tetap berlaku dalam gerombol yang digabung dan penurunan fungsi likelihood

minimum di antara semua kombinasi penggabungan yang mungkin, dan prosedur

ini diulang sampai berakhir.

Implementasi untuk Analisis Data

Metode yang dikembangkan diterapkan untuk analisis data kematian yang

diakibatkan oleh pembunuhan dan bunuh diri di Lithuania pada tahun 2003-2004

(semua kejadian dalam populasi, untuk pria dan wanita). Pengintegralan dan

peminimuman fungsi likelihood dilakukan dengan menggunakan perangkat lunak

matematika.

15

Hasil analisis kondisi nonsingularitas persamaan (13) dan pendugaan Bayes

empiris dari peluang kejadian diberikan pada Tabel 1 dan Tabel 2.

Tabel 1 Pendugaan Bayes empiris dari kematian akibat bunuh diri/pembunuhan di

Lithuania, 2003

∑ ( )

∑

⁄

Semua bunuh diri 41.656 14255.1/1434=9.941 -7.652 0.281

Semua pembunuhan 9.44 453.3/325=1.395 -9.260 0.136

Pria bunuh diri 74.582 9484.2/1199=7.910 -7.7074 0.288

Pembunuhan Pria 14.431 356.0/232=1.543 -8.840 0.159

Wanita bunuh diri 13.952 692.9/256=2.705 -8.826 0.371

Pembunuhan wanita 5.45 76.8/100=0.768 -9.817 0

Tabel 2 Pendugaan Bayes empiris dari kematian akibat bunuh diri/pembunuhan di

Lithuania, 2004

∑ ( )

∑

⁄

Semua bunuh diri 40.334 15421/1381=11.166 -7.652 0.281

Semua pembunuhan 8.587 287/294=0.976 -9.260 0

Pria bunuh diri 70.337 11889/1124=10.577 -7.7074 0.305

Pembunuhan Pria 12.515 313/2001=1.565 -8.840 0.234

Wanita bunuh diri 14.075 1573.2/257=6.121 -8.826 0.257

Pembunuhan wanita 5.093 84.1/93=0.904 -9.817 0

Pada Tabel 1 dan 2 jika Teorema 1 terpenuhi maka dilanjutkan dengan

iterasi sederhana untuk mendapatkan dan setelah itu disubstitusi ke persamaan

(4). Apabila Teorema 1 tidak terpenuhi maka digunakan pesamaan (14) dan (15).

Dengan demikian, singularitas dalam sebaran prior, yaitu ragam prior nol

diamati untuk beberapa kejadian langka (pembunuhan wanita pada tahun 2003-

2004, dan semua pembunuhan pada tahun 2004).

RR untuk kasus bunuh diri dan peluang kejadian diduga dengan metode

Bayes empiris maupun dengan pendekatan penggerombolan disajikan pada

Lampiran 2. Dengan demikian, dapat dilihat penurunan ragam penduga Bayes

empiris dibandingkan dengan RR.

16

Tabel 3 Hasil Analisis Berdasarkan Data Pria Bunuh Diri di Lithuania Tahun 2003

untuk wilayah Shilutes d, Shirvintu d, Kaunas, dan Kauno d

Wilayah Penduduk

Pria ( ) Banyaknya

Bunuh diri

( )

RR

Bunuh

diri

( )

Bayes

empiris

Bunuh

diri ( )

Penggerombolan

Bayes empiris

Bunuh diri

Shilutes d 26257 22 83.79 84.506 84.406

Shirvintu d 9392 10 106.47 94.815 84.406

Kaunas 167308 85 50.80 54.077 56.682

Kauno d 39525 18 45.54 57.698 56.682

Perbandingan peluang kejadian dengan menggunakan RR antara Shilutes d

dan Shirvintu d cukup besar, sedangkan dengan menggunakan Bayes empiris

perbandingannya lebih kecil. Begitu juga dengan wilayah Kaunas dan kauno d

perbandingan peluang kejadian dengan menggunakan bayes empiris lebih kecil

dibandingkan dengan menggunakan RR, sehingga pada tulisan ini digunakan

penduga Bayes empiris untuk menentukan peluang kejadian. Peluang kejadian

dengan menggunakan RR pada wilayah Kaunas lebih besar dibandingkan Kauno

d, sedangkan dengan menggunakan Bayes empiris wilayah Kaunas lebih kecil

dibandingkan dengan Kauno d.

SIMPULAN

Masalah yang dimodelkan adalah kematian yang diakibatkan oleh

pembunuhan dan bunuh diri. Model ini diharapkan dapat membantu pihak yang

berkepentingan, seperti petugas kepolisian. Tingkat kriminalitas ini biasanya

berbeda-beda untuk setiap wilayah, sehingga dibutuhkan kebijakan yang tepat

dalam menanganinya.

Jika keragaman ukuran populasi tidak diperhitungkan, maka pendugaan

risiko relatif dapat digunakan. Namun, karena risiko relatif tidak dapat digunakan

dalam banyak kasus akibat perbedaan yang besar dalam ukuran populasi, maka

pendekatan Bayes empiris diterapkan.

Studi empiris dari fungsi likelihood dengan berbagai koleksi ukuran populasi

dan banyaknya kasus dalam populasi memungkinkan untuk fungsi ini memiliki

satu titik tetap.

Perbandingan peluang kejadian dua wilayah dengan menggunakan RR lebih

besar dibandingkan dengan menggunakan Bayes empiris.

DAFTAR PUSTAKA

Abramovich M, Stegun IA. 1968. Handbook of Mathematical Functions. New

York (US): Dover.

Arnold SF. 1990. Mathematical Statistics. New Jersey (US): Prentice Hall, Inc.

17

Bradley PC, Thomas AL, Bradley C. 2000. Bayes and empirical Bayes methods

for data analysis. Springer. 7(2):153-154. doi: 10.1023/A:1018577817064.

Clayton D, Kaldor J. 1987. Empirical Bayes estimates of age-standardized relative

risks for use in disease mapping. Biometrics. 43(3):671-681.

Dennis JE, Schnabel RB. 1996. Numerical Methods for Unconstrained

Optimization and Nonlinear Equations (Classics in for Applied Mathematics).

Philadelphia (US): SIAM.

Gahramani S. 2005. Fundamentals of Probability with Stochastic Processes. Ed

ke-3. New Jersey (US): Pearson Prentice Hall.

Grimmett GR, Stirzaker DR. 1992. Probability and Random Processes. Ed ke-2.

Oxford (UK): Clarendon Press.

Hogg RV, Craig AT, McKean JW. 2005. Introduction to Mathematical Statistics.

Ed ke-6. New Jersey (US): Prentice Hall.

Kantorovich LV, Akilov GP. 1982. Functional Analysis. Oxford (UK): Pergamon

Press.

Knorr-Held L, Rasser G. 1999. Bayesian Detection of Clusters and

Discontinuities in Disease Maping. Munich (DE): Departement of Munich.

University of Munich.

Ross SM. 2007. Introduction to Probability Models. Ed ke-9. Orlando, Florida

(US): Academic Press.

Sakalauskas L. 1995. On Bayes analysis of small rates in medicine. Proc. of the

Intern. Conf. “Computer Data Analysis and Modeling”. 1:127-130. Minsk

(BLR): Belarusia State University.

Sakalauskas L. 2010. On the empirical Bayesian approach for the Poisson-

Gaussian model. Springer Science. 12:247-259. doi: 10.1007/s11009-009-

9146-2.

Taylor HM, Karlin. 1984. An Introduction to Stochastics Modelling. Orlando,

Florida (US): Academic Press Inc.

Tsutakava RK, Shoop GL, Marienfield CJ. 1985. Empirical Bayes estimation of

cancer mortality rates. Stat. Med. 4:201-212. doi:10.1002/sim.4780040210.

18

Lampiran 1 Bukti Teorema 1

Misalkan:

( )

(

) (1A)

( ) ( ( ))

( ) ( )

(2A)

Untuk memastikan bahwa

(

*

( ) (

) (3A)

(

*

(

*

( )

(

*

( )

(

*

( )

(

*

( )

( )

((

* (

*+

⏟ ( ) (

(

*

( )

)

⏟

(

*

( )

( ) (

) (4A)

( )

(

( ) (

*

(

*

( ) ) (

*

( ) ( ) (

*

((

* (

* (

*

( )

( ( ))

+ (

*

(( ( ))

( ) ( )

) (

*

maka diperoleh persamaan (4A)

19

Perhatikan bahwa

( ) (

) (5A)

Sekarang, dengan menggunakan ekspansi Taylor dari fungsi (1) dan

mempertimbangkan (5A), kita memperoleh limit derivatif (7) dari fungsi

likelihood sehubungan dengan saat mendekati nol:

( )

∑∫

(

( )

* ( )

( )

∑∫

(

( ) ( )) (

* ( )

( )

∑ ( )

∑(

*

(6A)

Jadi berdasarkan (6A) dan persamaan (8), kita mendapatkan penduga maximum

likelihood:

∑

∑

(7A)

Analog, mari kita menghitung limit derivatif (8) dari fungsi likelihood sehubungan

dengan , saat mendekati nol:

( )

(

∑

∫ ( ) (

( )* ( )

( )

,

(

∑

∫ ( )( ( )

( ) (

)* (

* ( )

( ) +

∑ ( ) ∑ [( ( ))

( ) ( )

]

( ) ∑ [(

)

] (8A)

Solusi taknol dari persamaan (9) ada hanya jika ( )

.

Dengan menyubtitusi (7A) ke (8A) diperoleh pertaksamaan

∑ [(

)

] ∑ *( ) +

(9A)

yang menyebabkan kondisi (13).

20

Lampiran 2 Hasil Analisis Berdasarkan Data Pria Bunuh Diri di Lithuania Tahun 2003

Wilayah (j) Penduduk

pria ( ) Banyaknya

Bunuh diri

( )

RR

Bunuh

diri

( )

Bayes

empiris

Bunuh

diri ( )

Penggerombolan

Bayes empiris

Bunuh diri

Akmenes d (1) 13920 10 71.84 79.315 99.883

Alytaus d (2) 15741 12 76.23 81.059 89.358

Alytus (3) 34085 17 49.88 61.649 89.358

Anykshchiu d (4) 16099 19 118.02 103.871 99.883

Birshtono m (5) 2467 4 162.14 99.451 89.358

Birzu d (6) 16462 12 72.90 79.199 84.406

Shakiu d (7) 18271 17 93.04 90.054 56.682

Shalchininku d (8) 18534 15 80.93 83.200 89.358

Shiauliai (9) 60221 43 71.40 74.207 84.406

Shiauliu d (10) 24563 20 81.42 83.074 84.406

Shilales d (11) 15183 15 98.79 92.867 84.406

Shilutes d (12) 26257 22 83.79 84.506 84.406

Shirvintu d (13) 9392 10 106.47 94.815 84.406

Druskininku m (14) 11543 8 69.31 78.976 89.358

Shvenchioniu d (15) 15174 7 46.13 66.782 45.896

Elektrenu d (16) 13644 17 124.60 106.126 89.358

Ignalinos d (17) 10578 14 132.35 107.419 74.285

Jonavos d (18) 24587 16 65.08 73.091 56.682

Jonishkio d (19) 14815 15 101.25 94.103 84.406

Jurbarko d (20) 17627 20 113.46 101.846 84.406

Kaishiadoriu d (21) 18366 13 70.78 77.664 89.358

Kalvariju d (22) 6556 9 137.28 103.989 89.358

Kaunas (23) 167308 85 50.80 54.077 56.682

Kauno d (24) 39525 18 45.54 57.698 56.682

Kazlu Ruda d (25) 7037 2 28.42 68.865 56.682

Kedainiu d (26) 30590 31 101.34 96.571 84.406

Kelmes d (27) 19334 20 103.44 96.325 84.406

Klaipeda (28) 88308 45 50.96 56.582 84.406

Klaipedos d (29) 22598 17 75.23 79.467 84.406

Kretingos d (30) 21776 26 119.40 107.071 113.549

Kupishkio d (31) 11366 11 96.78 91.168 99.883

Lazdiju d (32) 12788 14 109.48 97.725 89.358

Marijampoles m (33) 33536 30 89.46 88.329 89.358

Mazeikiu d (34) 31594 37 117.11 108.116 84.406

Moletu d (35) 11899 15 126.06 105.566 84.406

Neringa (36) 1212 1 82.51 87.421 84.406

Pagegiu d (37) 5770 10 173.31 114.788 84.406

Pakruojo d (38) 13855 11 79.39 82.951 84.406

Palanga (39) 8062 8 99.23 91.415 84.406

Panevezio r (40) 20587 24 116.58 104.829 84.406

Panevezys (41) 53913 26 48.23 57.253 84.406

21

Pasvalio d (42) 16365 13 79.44 82.622 84.406

Plunges d (43) 20967 18 85.85 85.912 113.549

Prienu d (44) 16714 15 89.75 88.126 89.358

Radvilishkio d (45) 24469 25 102.17 96.396 84.406

Raseiniu d (46) 20562 21 102.13 95.754 84.406

Rietavo d (47) 5044 13 257.73 141.063 113.549

Rokishkio d (48) 19442 21 108.01 99.126 84.406

Skuodo d (49) 12099 11 90.92 88.538 113.549

Taurages d (50) 24604 19 77.22 80.459 84.406

Telshiu d (51) 26855 22 81.92 83.280 84.406

Traku d (52) 17400 14 80.46 83.048 89.358

Ukmerges d (53) 22335 23 102.98 96.589 84.406

Utenos d (54) 23205 29 124.97 111.323 99.883

Varenos d (55) 14611 25 171.10 134.156 89.358

Vilkavishkio d (56) 23786 21 88.29 87.398 56.682

Vilniaus d (57) 43452 23 52.93 61.963 45.896

Vilnius (58) 246412 110 44.64 47.495 45.896

Visagino m (59) 13653 4 29.30 60.778 74.285

Zarasu d (60) 10498 6 57.15 74.574 99.883

22

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Bunga Tanjung Kabupaten Tanah Datar pada tanggal 31

Desember 1989. Anak dari pasangan Mawardi dan Warnida merupakan anak ketujuh

dari tujuh bersaudara. Penulis menyelesaikan pendidikan Sekolah Dasar di SDN 15

Bunga Tanjung Kabupaten Tanah Datar pada tahun 2002, Sekolah Menengah Pertama

di MTsN Pitalah Kabupaten Tanah Datar pada tahun 2005, Sekolah Menengah Atas di

MAN Sumpur Kabupaten Tanah Datar pada tahun 2008, dan pada tahun yang sama

penulis lulus seleksi masuk Institut Pertanian Bogor melalui jalur Undangan Seleksi

Masuk IPB dan diterima di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam.

Selama perkuliahan, penulis juga aktif di beberapa organisasi kampus, yaitu

Gugus Mahasiswa Matematika (GUMATIKA) pada tahun 2009-2010, penulis aktif

sebagai anggota Badan Pengawas Gumatika (BPG).