PEMODELAN MASALAH EKOLOGI DENGAN ...masalah kompetisi antara dua populasi yang dimodelkan secara...

i

PEMODELAN MASALAH EKOLOGI DENGAN PERSAMAAN LOTKA-

VOLTERRA TERMODIFIKASI DAN PENYELESAIAN NUMERISNYA

MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA EKSAK

Skripsi

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Oleh:

Especially Angelina Kono

NIM: 153114027

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2019

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ii

MODELING OF ECOLOGY PROBLEMS WITH MODIFIED LOTKA-

VOLTERRA EQUATIONS AND THEIR NUMERICAL SOLUTIONS

USING EXACT FINITE DIFFERENCE METHODS

Thesis

Presented as a Partial Fulfillment of the Requirements

to Obtain the Degree of Sarjana Sains

in Mathematics

By:

Especially Angelina Kono

NIM: 153114027

MATHEMATICS STUDY PROGRAM

DEPARTMENT OF MATHEMATICS

FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

2019


vii

HALAMAN PERSEMBAHAN

“You can’t go back and change the beginning, but you can start where you are

and change the ending”. -C. S. Lewis-

“Nothing is permanent so you should love what you got”. -Thiru Kumar-

Skripsi ini saya persembahkan untuk Tuhan Yang Maha Esa yang selalu

memberkati saya, kedua orang tua tercinta dan kakak saya terkasih, dan juga

untuk semua orang yang selalu mendoakan saya.


viii

ABSTRAK

Skripsi ini membahas tentang penyelesaian suatu masalah ekologi khususnya

masalah kompetisi antara dua populasi yang dimodelkan secara matematis ke dalam

bentuk persamaan diferensial yaitu, persamaan diferensial Lotka-Volterra

termodifikasi. Persamaan diferensial Lotka-Volterra termodifikasi merupakan

suatu sistem persamaan diferensial biasa nonlinear orde satu. Metode numerik yang

digunakan dalam skripsi ini adalah metode beda hingga eksak yang merupakan

salah satu metode beda hingga tak standar. Penyelesaian yang dihasilkan oleh

metode beda hingga eksak ini akan disimulasikan dan dibandingkan dengan dua

metode lain, yaitu metode Euler dan metode Heun.

Setelah dilakukan simulasi diperoleh bahwa metode beda hingga eksak

memiliki hasil yang lebih akurat dan yang paling mendekati penyelesaian eksaknya.

Hasil simulasi tersebut menunjukkan bahwa seiring dengan membesarnya waktu (t)

laju pertumbuhan dari kedua populasi semakin menurun.

Kata Kunci: Persamaan diferensial, persamaan diferensial Lotka-Volterra

termodifikasi, metode beda hingga eksak, metode beda hingga nonstandar.


ix

ABSTRACT

This thesis discusses the solution of an ecological problem especially the

problem of competition between two populations which are mathematically

modeled into the form of differential equations, namely, modified Lotka-Volterra

differential equations. The modified Lotka-Volterra differential equations are a

system of first-order nonlinear ordinary differential equations. The numerical

method used in this paper is the exact finite difference method which is one of

nonstandard finite difference methods. The solutions produced by this exact finite

difference method will be simulated and compared with two other methods, namely,

the Euler’s method and the Heun’s method.

After the simulation is obtained, the exact finite difference method has more

accurate results and the closest to the exact solution. The results of this simulation

show that as time (t) increases the growth rate of the two populations decreases.

Keywords: Differential equations, modified Lotka-Volterra differential equations,

exact finite difference methods, nonstandard finite difference methods.


x

KATA PENGANTAR

Puji dan Syukur saya ucapkan kepada Tuhan Yesus karena dengan kuasa

dan rahmat-Nyalah saya dapat menyelesaikan skripsi ini dengan tepat waktu.

Skripsi ini dibuat dengan tujuan memenuhi syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Sains pada Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi,

Universitas Sanata Dharma.

Penulis menyadari bahwa penulis melibatkan banyak pihak yang bersedia

membantu dalam menghadapi berbagai macam kesulitan, tantangan dan

hambatan. Oleh karena itu pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima

kasih kepada:

1. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D., selaku Dekan Fakultas

Sains dan Teknologi dan selaku Dosen Pembimbing Akademik dan juga

dosen pembimbing skripsi.

2. Bapak Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D., selaku Kaprodi Matematika.

3. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, SJ., Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc,

Bapak Dr. rer. nat. Herry P. Suryawan, S.Si., M.Si. dan Ibu M. V. Any

Herawati, S.Si., M.Si., selaku dosen-dosen Prodi Matematika yang telah

membimbing dan memberikan banyak pengetahuan kepada penulis selama

proses perkuliahan.

4. Bapak/Ibu dosen/karyawan Fakultas Sains dan Teknologi yang telah

berdinamika bersama selama penulis berkuliah.

5. Kedua orang tua tercinta, Bapak Alex dan Mama Erna dan juga Kakak Dodi

yang selalu memberi semangat dan dukungan kepada penulis selama proses

perkuliahan dan pengerjaan skripsi.

6. Teman-teman Prodi Matematika Angkatan 2015: Rani, Fithri, Edhi, Rio,

Yion, Yofi, Ayu, Sasmi, Laura, Florens, Devi, Lya, Sapi, Ana dan Priska.

Khususnya Putri, Brigit, Vania dan Arel yang selalu membantu, memberi

masukan dan memberi semangat kepada penulis dalam proses pengerjaan

skripsi dan berjuang bersama selama kuliah empat tahun. Terima kasih telah

membagikan begitu banyak ilmu dan cerita yang kalian miliki.


xii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL .................................................................................................... i

HALAMAN PERSETUJUAN DOSEN PEMBIMBING ........................................ iii

HALAMAN PENGESAHAN ....................................................................................iv

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ..................................................................... v

PERNYATAAN PERSETUJUAN ............................................................................vi

HALAMAN PERSEMBAHAN ................................................................................vii

ABSTRAK ................................................................................................................ viii

ABSTRACT ................................................................................................................ix

KATA PENGANTAR ................................................................................................. x

DAFTAR ISI ..............................................................................................................xii

DAFTAR GAMBAR ................................................................................................. xv

DAFTAR TABEL .................................................................................................... xvii

BAB I PENDAHULUAN ........................................................................................... 1

A. Latar belakang ..................................................................................... 1

B. Rumusan Masalah ................................................................................ 3

C. Batasan Masalah .................................................................................. 3

D. Tujuan Penulisan ................................................................................. 3

E. Manfaat Penulisan ................................................................................ 3

F. Metode Penulisan ................................................................................. 3

G. Sistematika Penulisan .......................................................................... 3

BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL DAN TURUNAN NUMERIK ............... 5

A. Turunan ............................................................................................... 5

B. Persamaan Diferensial .......................................................................... 7

1. Definisi Persamaan Diferensial ....................................................... 7

2. Klasifikasi Persamaan Diferensial ................................................... 7

C. Fungsi Bebas Linear dan Bergantung Linear ...................................... 10


xiii

E. Determinan Matriks ........................................................................... 12

1. Determinan Matriks 2 × 2 ............................................................ 12

2. Determinan Matriks n × n ............................................................ 13

F. Nilai Eigen ......................................................................................... 14

G. Turunan Numerik ............................................................................... 15

1. Pendekatan Turunan Orde Satu Menggunakan Beda Maju ............ 16

2. Pendekatan Turunan Orde Satu Menggunakan Beda Mundur ........ 17

3. Pendekatan Turunan Orde Satu Menggunakan Beda Tengah......... 18

H. Metode Euler ..................................................................................... 19

I. Metode Heun ..................................................................................... 20

J. Metode Biseksi .................................................................................. 22

BAB III SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL LOTKA-VOLTERRA

TERMODIFIKASI DAN METODE BEDA HINGGA EKSAK ............................ 24

A. Sistem Persamaan Lotka-Volterra Termodifikasi ............................... 24

1. Persamaan Diferensial Lotka-Volterra .......................................... 24

2. Persamaan Diferensial Lotka-Volterra Termodifikasi.................... 26

B. Metode Beda Hingga Eksak ............................................................... 27

1. Skema Beda Hingga Eksak ........................................................... 28

2. Contoh Skema Beda Hingga Eksak ............................................... 30

3. Aturan Pemodelan Beda Hingga Nonstandar................................. 39

4. Perbandingan Penyelesaian ........................................................... 40

BAB IV PENYELESAIAN NUMERIS SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL

LOTKA-VOLTERRA TERMODIFKASI ............................................................... 50

A. Penyelesaian Numeris Sistem Persamaan Diferensial Lotka-Volterra

Termodifikasi dengan Metode Beda Hingga Eksak ............................ 50

B. Simulasi Numeris ............................................................................... 58

C. Pembahasan Hasil Simulasi ................................................................ 68

BAB V PENUTUP .................................................................................................... 69

A. Kesimpulan ........................................................................................ 69

B. Saran.................................................................................................. 70


xiv

DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................ 71

LAMPIRAN PROGRAM .......................................................................................... 73

1. Program Bab III ................................................................................. 73

2. Program Bab IV ................................................................................. 76


xv

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1.1 Grafik ilustrasi pendekatan turunan orde satu

dengan beda maju. .................................................................... 17

Gambar 2.1.2 Grafik ilustrasi pendekatan turunan orde satu dengan beda

mundur. ................................................................................... 18

Gambar 2.1.3 Grafik ilustrasi pendekatan turunan orde satu

dengan beda tengah. .................................................................. 19

Gambar 3.4.1 Grafik simulasi numeris persamaan (3.56) dengan menggunakan

metode Euler, metode Heun dan metode beda hingga eksak

dengan 𝑦(0) = 1 dan 𝛥𝑡 = 0.1. ................................................ 40

Gambar 3.4.2 Grafik simulasi numeris persamaan (3.56) dengan batas minimum

dan maksimum sumbu-y dan sumbu-x adalah 0.585, 0.615 dan

0.468, 0.502. ............................................................................ 41


metode beda hingga standar dan metode beda hingga eksak

dengan 𝑦(0) = 1, 𝑦′(0) = 1, dan 𝛥𝑡 = 0.1. ............................. 43



0.59, 0.95.................................................................................. 44



dengan 𝑦(0) = 1, 𝛥𝑡 = 0.1 dan 𝜆1 = 1 dan 𝜆2 = 2. ................. 47



0.35, 0.65.................................................................................. 48

Gambar 4.1.1 Grafik penyelesaian metode beda hingga eksak untuk persamaan

(4.1) dengan 𝛥𝑡 = 0.1. .............................................................. 60


(4.1) dengan 𝛥𝑡 = 0.01. ............................................................ 61


(4.1) dengan 𝑡 = 0 sampai 𝑡 = 10, dan 𝛥𝑡 = 0.01. .................. 62

Gambar 4.1.4 Grafik penyelesaian persamaan (4.1) dengan menggunakan metode

Euler dengan 𝛥𝑡 = 0.1. ............................................................. 63


xvi

Gambar 4.1.5 Grafik penyelesaian metode Euler untuk persamaan (4.1) dengan

𝑡 = 0 sampai 𝑡 = 10 dan 𝛥𝑡 = 0.01. ....................................... 64


Heun dengan 𝛥𝑡 = 0.1 .............................................................. 66

Gambar 4.1.7 Grafik penyelesaian metode Heun untuk persamaan (4.1) dengan

𝑡 = 0 sampai 𝑡 = 10 dan 𝛥𝑡 = 0.01. ....................................... 67


xvii

DAFTAR TABEL

Tabel 3.4.1 Error hasil perhitungan dari persamaan (3.56) ................................. 43



Tabel 4.1.1 Hasil perhitungan dari persamaan (4.48) dengan ∆𝑡 = 0.1 .............. 60

Tabel 4.1.2 Hasil perhitungan dari persamaan (4.53) dengan ∆𝑡 = 0.1 .............. 64

Tabel 4.1.3. Hasil perhitungan dari persamaan (4.54) dengan ∆𝑡 = 0.1 ............. 67


1

BAB I

PENDAHULUAN

Pada bab ini akan dibahas latar belakang, rumusan masalah, batasan masalah,

tujuan penulisan, manfaat penulisan, metode penulisan, dan juga sistematika

penulisan.

A. Latar belakang

Matematika merupakan salah satu ilmu pengetahuan yang banyak diterapkan

dalam kehidupan sehari-hari dan juga diterapkan dalam berbagai bidang ilmu

pengetahuan, salah satunya adalah dalam bidang biologi. Contoh penerapan

matematika dalam bidang biologi adalah pada masalah ekologi. Ekologi merupakan

cabang ilmu biologi yang mempelajari tentang populasi dan komunitas yang terdiri

atas manusia, hewan, dan tumbuhan serta interaksinya satu sama lain dan juga

interaksinya dengan lingkungan sekitar.

Masalah ekologi sudah dimodelkan ke dalam bentuk matematis, contohnya

adalah model mangsa-pemangsa dan model Lotka-Volterra. Kedua model ini sering

digunakan untuk menyelesaikan masalah-masalah nyata seperti hubungan dinamis

antara zebra dan kelinci, kompetisi di pasar, total permintaan produk di pasar

(Gorvett, 2014), dan masalah-masalah nyata lainnya. Model mangsa-pemangsa dan

model Lotka-Volterra ini berupa persamaan diferensial.

Persamaan diferensial adalah persamaan yang menyatakan hubungan antara

suatu fungsi dengan turunan-turunannya. Persamaan diferensial ini dapat dibedakan

menjadi dua berdasarkan banyak variabel bebasnya, yaitu persamaan diferensial

biasa, dan persamaan diferensial parsial. Dalam skripsi ini akan dibahas persamaan

diferensial biasa yang merupakan model dari masalah kompetisi.

Persamaan diferensial biasa adalah persamaan diferensial yang hanya memuat

satu variabel bebas. Salah satu persamaan diferensial yang menyatakan model

mangsa-pemangsa, kompetisi, dan mutualisme adalah persamaan diferensial Lotka-

Volterra (Mickens, 2018). Skripsi ini akan membahas persamaan diferensial Lotka-

Volterra yang termodifikasi dan penyelesaian numerisnya.


2

Persamaan diferensial Lotka-Volterra terdiri atas sepasang persamaan

diferensial nonlinear orde satu, yang sering digunakan untuk menggambarkan dua

populasi yang berinteraksi. Persamaan diferensial Lotka-Volterra termodifikasi

juga terdiri atas sepasang persamaan diferensial nonlinear orde satu. Bentuk dari

persamaan diferensial Lotka-Volterra adalah

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝑟1𝑥 − 𝑎11𝑥

2 − 𝑎12𝑥𝑦,

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 𝑟2𝑦 − 𝑎21𝑥𝑦 − 𝑎22𝑦

2,

dan bentuk dari persamaan diferensial Lotka-Volterra termodifikasi yang akan

dibahas dalam skripsi ini adalah

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝑟1√𝑥 − 𝑎11𝑥 − 𝑎12√𝑥√𝑦 ,

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 𝑟2√𝑦 − 𝑎21√𝑥√𝑦 − 𝑎22𝑦,

dimana 𝑟1, 𝑟2, 𝑎11, 𝑎22, 𝑎12, 𝑎21 adalah parameter konstan, dan x(t) dan y(t) adalah

variabel terikat (Mickens, 2018).

Tidak semua persamaan diferensial mudah diselesaikan secara analitis. Banyak

persamaan diferensial yang sulit untuk diselesaikan secara analitis, salah satu

contohnya adalah model dari persamaan diferensial Lotka-Volterra termodifikasi

yang merupakan persamaan diferensial nonlinear.

Meskipun demikian, persamaan diferensial Lotka-Volterra termodifikasi dapat

diselesaikan dengan metode numeris. Ada beberapa metode numeris yang dapat

digunakan untuk menyelesaiakan persamaan diferensial Lotka-Volterra

termodifikasi misalnya metode Euler, Heun, beda hingga, beda hingga eksak, dan

metode-metode lainnya. Skripsi ini akan menggunakan metode beda hingga eksak

untuk menyelesaikan persamaan diferensial Lotka-Volterra termodifikasi. Metode

beda hingga eksak ini akan menghasilkan suatu skema numerik dengan

menggunakan beda hingga maju.


3

B. Rumusan Masalah

Rumusan masalah dalam skripsi adalah:

1. Bagaimana mengkonstruksi metode beda hingga eksak untuk suatu

persamaan diferensial?

2. Bagaimana menyelesaikan sistem persamaan diferensial Lotka-Volterra

termodifikasi secara numeris menggunakan metode beda hingga eksak?

C. Batasan Masalah

Dalam skripsi ini akan dibahas mengenai bagaimana mengkonstruksi model

diskret menggunakan metode beda hingga eksak dari suatu masalah ekologi, yaitu

interaksi yang terjadi antara rusa dan zebra yang dimodelkan secara matematis ke

dalam bentuk persamaan diferensial Lotka-Volterra termodifikasi.

D. Tujuan Penulisan

Tujuan penulisan skripsi adalah:

1. Memaparkan model diskret yang dikonstruksi menggunakan metode beda

hingga eksak.

2. Mencari penyelesaian numeris persamaan diferensial Lotka-Voltera

termodifikasi dengan metode beda hingga eksak.

E. Manfaat Penulisan

Manfaat yang diperoleh dari skripsi ini adalah mengetahui cara

mengkonstruksi model diskret dari suatu persamaan diferensial khususnya

persamaan diferensial Lotka-Volterra termodifikasi dengan menggunakan metode

beda hingga eksak.

F. Metode Penulisan

Skripsi ini ditulis berdasarkan kajian pustaka, seperti jurnal-jurnal matematika

dan buku-buku matematika, serta praktik pemrograman MATLAB.

G. Sistematika Penulisan

Skripsi ini disusun dengan sistematika sebagai berikut:

BAB I PENDAHULUAN


4

A. Latar Belakang

B. Rumusan Masalah

C. Batasan Masalah

D. Tujuan Penulisan

E. Manfaat Penulisan

F. Metode Penelitian

G. Sistematika Penulisan

BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL DAN TURUNAN NUMERIK

A. Turunan

B. Persamaan Diferensial

C. Fungsi Bebas Linear dan Bergantung Linear

D. Wronskian

E. Determinan Matriks

F. Nilai Eigen

G. Turunan Numerik

H. Metode Euler

I. Metode Heun

J. Metode Biseksi

BAB III SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL LOTKA-VOLTERRA

TERMODIFIKASI DAN METODE BEDA HINGGA EKSAK

A. Sistem Persamaan Lotka-Volterra Termodifikasi

B. Metode Beda Hingga Eksak

BAB IV PENYELESAIAN NUMERIS SISTEM PERSAMAAN

DIFERENSIAL LOTKA-VOLTERRA TERMODIFIKASI


Termodifikasi dengan Metode Beda Hingga Eksak

B. Pembahasan Hasil Simulasi

BAB V PENUTUP

A. Kesimpulan

B. Saran

DAFTAR PUSTAKA


5

BAB II

PERSAMAAN DIFERENSIAL DAN TURUNAN NUMERIK

Pada bab ini akan dibahas landasan teori yang digunakan dalam penulisan skripsi

ini. Landasan teori tersebut meliputi: turunan, persamaan diferensial, fungsi bebas

linear dan bergantung linear, Wronskian, determinan matriks, nilai eigen, turunan

numerik, metode Euler dan metode Heun.

A. Turunan

Pada subbab ini akan dibahas mengenai definisi turunan dan aturan rantai.

Definisi 2.1.1

Misalkan suatu fungsi 𝑓 terdefinisi pada interval terbuka yang memuat titik 𝑎, maka

turunan fungsi 𝑓 di titik 𝑎 yang dinotasikan 𝑓′(𝑎) adalah

𝑓′(𝑎) = limℎ→0

𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎)

ℎ (2.1)

dengan ketentuan limit tersebut ada.

Contoh

Tentukan turunan di titik 𝑥 = 3 dengan fungsi 𝑓(𝑥) =1

𝑥+ 2.

Penyelesaian:

𝑓′(3) = limℎ→0

𝑓(3 + ℎ) − 𝑓(𝑎)

ℎ

= limℎ→0

(1

3 + ℎ + 2) −73

ℎ

= limℎ→0

3 − (3 + ℎ)3(3 + ℎ)

ℎ

= limℎ→0

−ℎ

3ℎ(3 + ℎ)


6

= lim

ℎ→0

−1

3(3 + ℎ)

= −1

9

Jadi, nilai turunan fungsi 𝑓(𝑥) =1

𝑥+ 2 di titik 𝑥 = 3 adalah −

1

9.

Aturan Rantai

Misalkan 𝑦 = 𝑓(𝑢), 𝑢 = 𝑔(𝑥), dan turunan 𝑓′(𝑢) dan 𝑔′(𝑥) ada, maka fungsi

komposisi yang didefinisikan dengan 𝑦 = 𝑓(𝑔(𝑥)) mempunyai turunan yang

diberikan dengan

𝑦′(𝑥) = 𝑓′(𝑢)𝑔′(𝑥),

atau

𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑑𝑦

𝑑𝑢

𝑑𝑢

𝑑𝑥 .

Pembuktian aturan rantai dapat dibaca pada (Swokowski, 1980:115).

Contoh

Jika 𝑦 = 𝑢2dan 𝑢 = 𝑥 + 1, maka cari 𝑦′(𝑥).

Penyelesaian:

Diketahui 𝑦 = 𝑢2dan 𝑢 = 𝑥 + 1,

𝑦′(𝑢) = 2𝑢, 𝑢′(𝑥) = 1.

Sehingga menurut aturan rantai di atas

𝑑𝑦

𝑑𝑥 =

𝑑𝑦

𝑑𝑢

𝑑𝑢

𝑑𝑥

= (2𝑢)( 1)

= 2𝑢

= 2(𝑥 + 1)

Jadi, 𝑦′(𝑥) = 2(𝑥 + 1).


7

B. Persamaan Diferensial

Pada subbab ini akan dibahas definisi dari persamaan diferensial dan klasifikasi

persamaan diferensial.

1. Definisi Persamaan Diferensial

Pada bagian ini akan dibahas terlebih dahulu definisi dari persamaan diferensial dan

contohnya.

Definisi 2.1.2

Persamaan diferensial adalah persamaan yang menyatakan hubungan antara suatu

fungsi dengan turunan-turunannya.

Contoh persamaan diferensial

𝑑𝑦

𝑑𝑥− 18𝑥 = 6 (2.2)

𝑑3𝑦

𝑑𝑡3+𝑑𝑦

𝑑𝑡− 3𝑦 = 0 (2.3)

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2−𝜕𝑢

𝜕𝑡= 0 (2.4)

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2+𝜕2𝑢

𝜕𝑦2=𝜕𝑢

𝜕𝑡 (2.5)

2. Klasifikasi Persamaan Diferensial

Persamaan diferensial dapat diklasifikasikan berdasarkan banyaknya variabel bebas

dan orde persamaan diferensial.

Definisi 2.1.3

Persamaan diferensial biasa adalah persamaan diferensial yang memuat turunan

biasa dan hanya memuat satu variabel bebas.


8

Contoh

Persamaan (2.2) adalah persamaan diferensial biasa dengan variabel bebasnya

adalah 𝑥 dan variabel terikatnya adalah 𝑦. Persamaan (2.3) juga merupakan

persamaan diferensial biasa.

Definisi 2.1.4

Persamaan diferensial parsial adalah persamaan diferensial parsial yang memuat

turunan parsial dan terdapat lebih dari satu variabel bebas.

Contoh

Persamaan (2.4) adalah persamaan diferensial parsial dengan 𝑢 adalah variabel

terikat, sedangkan 𝑥 dan 𝑡 adalah variabel bebas. Persamaan (2.5) juga merupakan

persamaan diferensial parsial.

Definisi 2.1.5

Klasifikasi persamaan diferensial berdasarkan orde:

Orde dari suatu persamaan diferensial adalah orde turunan tertinggi yang terdapat

pada persamaan diferensial. Berdasarkan Roger (1982:76) suatu persamaan

diferensial orde ke-𝑛 dapat ditulis ke dalam bentuk

𝑑𝑛𝑦

𝑑𝑥𝑛= 𝑓 (𝑥, 𝑦,

𝑑𝑦

𝑑𝑥,… ,

𝑑𝑛−1𝑦

𝑑𝑥𝑛−1). (2.6)

Contoh

Persamaan (2.2) adalah persamaan diferensial biasa orde satu karena turunan

tertinggi yang terdapat pada persamaan di atas adalah turunan pertama. Persamaan

(2.3) adalah persamaan diferensial biasa (PDB) orde tiga, persamaan (2.4) dan (2.5)

adalah persamaan diferensial parsial (PDP) orde dua.

Persamaan diferensial biasa juga dapat diklasifikasikan lagi berdasarkan

linearitasnya.


9

Definisi 2.1.6

Persamaan diferensial biasa orde 𝑛, dengan variabel bebas 𝑥 dan variable terikat 𝑦

dikatakan linear jika dapat ditulis ke dalam bentuk

𝑎0(𝑥)𝑑𝑛𝑦

𝑑𝑥𝑛+ 𝑎1(𝑥)

𝑑𝑛−1𝑦

𝑑𝑥𝑛−1+⋯+ 𝑎𝑛−1(𝑥)

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑎𝑛(𝑥)𝑦 = 𝑟(𝑥), (2.7)

dengan 𝑎0 tidak sama dengan 0.

Contoh

Persamaan (2.2) dan (2.3) adalah persamaan diferensial biasa linear. Dapat diamati

bahwa pada kedua persamaan tersebut variabel terikat dan turunan-turunannya

berpangkat satu, tidak ada perkalian antara variabel terikat dengan turunan-

turunannya, serta tidak ada bentuk nonlinear dari variable terikat maupun bentuk

nonlinear dari turunan-turunannya.

Definisi 2.1.7

Suatu persamaan diferensial biasa dikatakan nonlinear jika persamaan diferensial

tersebut tidak linear.

Contoh

Berikut ini adalah persamaan diferensial biasa yang nonlinear:

3𝑑𝑦

𝑑𝑥− 18𝑦2 = 0 (2.8)

𝑑3𝑦

𝑑𝑡3+ (

𝑑𝑦

𝑑𝑡)2

− 3𝑦 = 0 (2.9)

𝑑3𝑦

𝑑𝑡3+ (

𝑑2𝑦

𝑑𝑡2) (𝑑𝑦

𝑑𝑡) − 3𝑦 = 0 (2.10)


10

Persamaan (2.8) adalah persamaan nonlinear karena variable terikat 𝑦 yang terdapat

dalam persamaan tersebut berpangkat dua dengan bentuk 18𝑦2. Persamaan (2.9)

adalah persamaan nonlinear karena terdapat bentuk (𝑑𝑦

𝑑𝑡)2

, yang mana memuat

pangkat dua dari turunan pertamanya. Persamaan (2.10) juga nonlinear karena

bentuk (𝑑2𝑦

𝑑𝑡2) (

𝑑𝑦

𝑑𝑡), yang mana memuat perkalian antara turunan kedua dan turunan

pertama.

C. Fungsi Bebas Linear dan Bergantung Linear

Pada subbab ini akan dibahas definisi dari fungsi yang bebas linear dan bergantung

linear.

Definisi 2.1.8

Fungsi 𝑦1(𝑡), 𝑦2(𝑡), … , 𝑦𝑛(𝑡) dikatakan bergantung linear pada interval I, jika ada

konstanta 𝑐1, 𝑐2, … , 𝑐𝑛 yang tidak semuanya nol atau dengan kata lain ada 𝑐𝑖 ≠

0 untuk suatu atau beberapa 𝑖 dengan 𝑖 = 1,2,… , 𝑛, sehingga menyebabkan

𝑐1𝑦1(𝑡) + 𝑐2𝑦2(𝑡) + ⋯+ 𝑐𝑛𝑦𝑛(𝑡) = 0 (2.11)

untuk semua t pada interval I.

Definisi 2.1.9

Fungsi 𝑦1(𝑡), 𝑦2(𝑡), … , 𝑦𝑛(𝑡) dikatakan bebas linear pada interval 𝐼, jika

𝑐1𝑦1(𝑡) + 𝑐2𝑦2(𝑡) +⋯+ 𝑐𝑛𝑦𝑛(𝑡) = 0 (2.12)

untuk semua 𝑡 pada interval 𝐼 yang berakibat 𝑐1 = 𝑐2 = ⋯𝑐𝑛 = 0.

D. Wronskian

Pada subbab ini akan dibahas definisi dari Wronskian dan teorema yang

berhubungan dengan Wronskian.

Definisi 2.1.10

Misalkan 𝑓1, … , 𝑓𝑛 merupakan fungsi-fungsi yang terdiferensial 𝑛 − 1 kali. Fungsi


11

𝑊[𝑓1, … , 𝑓𝑛](𝑥) ≔ ||

𝑓1(𝑥) 𝑓2(𝑥) ⋯ 𝑓𝑛(𝑥)

𝑓1′(𝑥) 𝑓2

′(𝑥) ⋯ 𝑓𝑛′(𝑥)

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

𝑓1(𝑛−1)

(𝑥) 𝑓2(𝑛−1)

(𝑥) ⋯ 𝑓𝑛(𝑛−1)

(𝑥)

|| (2.13)

disebut Wronskian dari 𝑓1, … , 𝑓𝑛 .

Contoh

Misalkan diketahui 𝑓1 = sin(𝑥) , 𝑓2 = cos (𝑥) dan 𝑓3 = −sin (𝑥) yang terdiferensial

dua kali. Tentukan Wronskian dari 𝑓1, 𝑓2, 𝑓3.

Penyelesaian:

Diketahui 𝑓1 = sin(𝑥) , 𝑓2 = cos (𝑥) dan 𝑓3 = −sin (𝑥), sehingga menurut definisi

2.3.5 Wronskian dari 𝑓1, 𝑓2 , 𝑓3 adalah

𝑊[ 𝑓1, 𝑓2, 𝑓3] = |

sin (𝑥) cos (𝑥) −sin (𝑥)cos (𝑥) −sin (𝑥) −cos (𝑥)−sin (𝑥) −cos (𝑥) sin (𝑥)

| (2.14)

Teorema 2.1.11

Misalkan {𝑓1, … , 𝑓𝑛} menjadi suatu himpunan fungsi-fungsi yang terdiferensial 𝑛 −

1 kali. Himpunan fungsi-fungsi {𝑓1, … , 𝑓𝑛} tersebut adalah bebas linear jika dan

hanya jika 𝑊[𝑓1, … , 𝑓𝑛](𝑥) ≠ 0. Jika himpunan fungsi-fungsi tersebut tidak bebas

linear, maka himpunan fungsi-fungsi tersebut dikatakan bergantung linear.

Contoh

Tentukan apakah kedua himpunan berikut ini bebas linear atau bergantung linear

dengan menggunakan Wronskian.

a). {𝑒−𝑡 , 𝑒−2𝑡} b.) {𝑥 + 2, 𝑥 − 3, 𝑥 + 1}

Penyelesaian:

a.) Wronskian adalah sebagai berikut:

𝑊(𝑡) = | 𝑒−𝑡 𝑒−2𝑡

−𝑒−𝑡 −2𝑒−2𝑡|


12

= 𝑒−𝑡(−2𝑒−2𝑡) − 𝑒−2𝑡(−𝑒−𝑡)

= −2𝑒−3𝑡 + 𝑒−3𝑡

= −𝑒−3𝑡

Hasil dari Wronskiannya adalah −𝑒−3𝑡 , sehingga menurut Teorema 2.1.11

himpunan fungsi pada nomor a) adalah bebas linear.

b.) Wronskiannya adalah sebagai berikut:

𝑊(𝑡) = |𝑥 + 2 𝑥 − 3 𝑥 + 12 −3 10 0 0

|

= (𝑥 + 2)(−3)(0) + (𝑥 − 3)(1)(0) + (𝑥 + 1)(2)(0) −

(𝑥 − 3)(2)(0) − (𝑥 + 2)(1)(0) − (𝑥 + 1)(−3)(0)

= 0

Hasil dari Wronskiannya adalah 0, sehingga menurut Teorema 2.1.11

himpunan fungsi pada nomor b adalah bergantung linear.

E. Determinan Matriks

Pada subbab ini akan dibahas definisi determinan dan cara mencari determinan

2 × 2 dan 𝑛 × 𝑛.

1. Determinan Matriks 𝟐 × 𝟐

Diketahui matriks berukuran 2 × 2

𝐴 = [𝑎 𝑏𝑐 𝑑

],

nilai 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 disebut determinan matriks 𝐴 dan ditulis sebagai berikut

det(A) = det [𝑎 𝑏𝑐 𝑑

] = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐,

(Budhi, 1995:77).


13

Contoh

Diketahui suatu matriks 2 × 2 yaitu

𝐴 = [2 45 2

].

Tentukanlah determinan dari matriks 𝐴.

Penyelesaian:

det(A) = det [2 45 2

] = (2 × 2) − (4 × 5) = 4 − 20 = −16.

Jadi, determinan dari matriks 𝐴 adalah −16.

2. Determinan Matriks 𝒏 × 𝒏

Pada bagian ini cara mencari atau menghitung determinan matriks 𝑛 × 𝑛 akan

menggunakan minor dan kofaktor dengan 𝑛 ≥ 3.

Definisi 2.1.12

Diketahui matriks 𝐴 berukuran 𝑛 × 𝑛. Minor 𝑀𝑖𝑗 adalah determinan dari matriks

berukuran (𝑛 − 1) × (𝑛 − 1) yang diperoleh dari matriks 𝐴 dengan menghapus

baris ke-𝑖 dan kolom ke-𝑗. Sedangkan kofaktor 𝐴𝑖𝑗 = (−1)𝑖+𝑗𝑀𝑖𝑗 (Budhi,

1995:89).

Teorema 2.1.13

Diketahui matriks berukuran 𝑛 × 𝑛. Nilai determinan matriks 𝐴 dapat dihitung

dengan cara perluasan baris ke-𝑖

det(A) = 𝑎𝑖1𝐴𝑖1 + 𝑎𝑖2𝐴𝑖2 +⋯+ 𝑎𝑖𝑛𝐴𝑖𝑛

= (−1)𝑖+1𝑎𝑖1𝑀𝑖1 + (−1)𝑖+2𝑎𝑖2𝑀𝑖2 +⋯+ (−1)

𝑖+𝑛𝑎𝑖𝑛𝑀𝑖𝑛 ,

sedangkan perluasan untuk kolom ke-𝑗 adalah

det(A) = 𝑎1𝑗𝐴1𝑗 + 𝑎2𝑗𝐴2𝑗 +⋯+ 𝑎𝑛𝑗𝐴𝑛𝑗

= (−1)1+𝑗𝑎1𝑗𝑀1𝑗 + (−1)2+𝑗𝑎2𝑗𝑀2𝑗 +⋯+ (−1)

𝑛+𝑗𝑎𝑛𝑗𝑀𝑛𝑗 .

Pembuktian pernyataan ini dapat dilihat pada (Budhi, 1995:90).


14

Contoh

Hitunglah nilai determinan dari matriks berikut ini

𝐵 = [

1 0 0 −20 −1 0 03 4 5 71 2 4 −1

].

Penyelesaian:

det(𝐵) = det [

1 0 0 −20 −1 0 03 4 5 71 2 4 −1

],

perhitungan determinan matriks 𝐵 akan menggunakan perluasan baris ke-2.

Sehingga determinan matriks 𝐵 dapat ditulis

det(B) = (−1)2+2𝑎22𝑀22 = (−1)(−1) det [1 0 −23 5 71 4 −1

] = −det [1 0 −23 5 71 4 −1

]

Selanjutnya akan dihitung determinan matriks 3 × 3 yang dihasilkan di atas dengan

menggunakan perluasan baris juga

−det [1 0 −23 5 71 4 −1

] = −((−1)1+11 det [

5 74 −1

] + (−1)1+3(−2) det [3 51 4

])

= −((−5 − 28) + (−2)(12 − 5)) = 47

Jadi, det(B) = 47.

F. Nilai Eigen

Bilangan real 𝜆 merupakan nilai eigen dari matriks 𝐴 jika dan hanya jika 𝜆

memenuhi persamaan karakteristik

|𝐴 − 𝜆𝐼| = 0,

Pembuktian pernyataan ini dapat dilihat pada (Budhi, 1995:269).

Contoh

Carilah nilai eigen dari matriks


15

𝐴 = [3 56 2

].

Penyelesaian:

Langkah pertama bentuk matriks

𝐴 − 𝜆𝐼 = [3 − 𝜆 76 2 − 𝜆

],

sehingga determinan dari matriks 𝐴 − 𝜆𝐼 adalah

0 = 𝐴 − 𝜆𝐼

= (3 − 𝜆)(2 − 𝜆) − (6)(7)

= 𝜆2 − 5𝜆 + 6 − 42 = 𝜆2 − 5𝜆 − 36

= (𝜆 + 4)(𝜆 − 9).

Jadi, matriks 𝐴 mempunyai dua nilai eigen yaitu 𝜆1 = −4 dan 𝜆2 = 9.

G. Turunan Numerik

Sebelum membahas turunan numerik akan terlebih dahulu dibahas ekspansi deret

Taylor.

Teorema 2.1.14

Misalkan 𝑓 adalah sebuah fungsi yang turunan ke 𝑛 + 1, yaitu 𝑓(𝑛+1), ada pada

interval [𝑎, 𝑏], dan 𝑥0 𝜖 [𝑎, 𝑏]. Untuk setiap 𝑥 𝜖 [𝑎, 𝑏] ada 𝜉(𝑥) diantara 𝑥0 dan 𝑥

dengan

𝑓(𝑥) = 𝑃𝑛(𝑥) + 𝑅𝑛(𝑥), (2.15)

dimana

𝑃𝑛(𝑥) = 𝑓(𝑥0) + 𝑓′(𝑥0)(𝑥 − 𝑥0) +

𝑓′′(𝑥0)

2!(𝑥 − 𝑥0)

2 +⋯+𝑓(𝑛)(𝑥0)

𝑛!(𝑥 − 𝑥0)

𝑛

dan

𝑅𝑛(𝑥) =𝑓(𝑛+1)(𝜉(𝑥))

(𝑛 + 1)!(𝑥 − 𝑥0)

𝑛+1.


16

Persamaan (2.15) secara umum dapat ditulis ke dalam bentuk sebagai berikut:

𝑓(𝑥𝑖+1) = 𝑓(𝑥𝑖) + 𝑓 ′(𝑥𝑖)(𝑥 − 𝑥𝑖) +

𝑓′′(𝑥𝑖)

2!(𝑥 − 𝑥𝑖)

2 +⋯+

𝑓(𝑛)(𝑥𝑖)

𝑛!(𝑥 − 𝑥𝑖)

𝑛 + 𝑅𝑛(𝑥),

atau

𝑓(𝑥𝑖+1) = 𝑓(𝑥𝑖) + 𝑓′(𝑥𝑖)Δ𝑥 +


2!(Δ𝑥)2 +⋯+


𝑛!(Δ𝑥)𝑛 +

𝑅𝑛(𝑥),

(2.16)

dimana Δ𝑥 = 𝑥 − 𝑥𝑖 .

1. Pendekatan Turunan Orde Satu Menggunakan Beda Maju

Jika kita memotong deret Taylor setelah turunan orde satu pada persamaan (2.16)

maka akan diperoleh

𝑓(𝑥𝑖+1) = 𝑓(𝑥𝑖) + 𝑓′(𝑥𝑖)Δ𝑥 + 𝑅1, (2.17)

dimana

𝑅1 =𝑓′′(𝜉)

2!Δ𝑥2 atau

𝑅1Δ𝑥

=𝑓′′(𝜉)

2Δ𝑥.

Jika ruas kiri dan kanan persamaan (2.16) kita bagi dengan Δ𝑥 akan diperoleh

𝑓(𝑥𝑖+1)

Δ𝑥=𝑓(𝑥𝑖)

Δ𝑥+𝑓′(𝑥𝑖)(𝑥 − 𝑥𝑖)

Δ𝑥+𝑅1Δ𝑥

atau

𝑓′(𝑥𝑖) ≈𝑓(𝑥𝑖+1) − 𝑓(𝑥𝑖)

Δ𝑥−𝑅1Δ𝑥 ,

atau

𝑓′(𝑥𝑖) ≈ 𝑓(𝑥𝑖+1) − 𝑓(𝑥𝑖)

Δ𝑥+ 𝑂(Δ𝑥).

(2.18)

Persamaan (2.18) adalah pendekatan turunan numerik orde satu dengan

menggunakan beda maju. Ilustrasi grafis dari pendekatan numerik beda maju

ditunjukkan oleh Gambar 2.1.1.


17

Gambar 2.1.7 Grafik ilustrasi pendekatan turunan orde satu dengan beda maju.

2. Pendekatan Turunan Orde Satu Menggunakan Beda Mundur

Deret Taylor dapat diekspansi mundur untuk menghitung nilai sebelumnya

berdasarkan nilai sekarang. Jika deret Taylor pada persamaan (2.16) diekspansi

mundur maka akan diperoleh:

𝑓(𝑥𝑖−1) = 𝑓(𝑥𝑖) − 𝑓′(𝑥𝑖)Δ𝑥 +


2!(Δ𝑥)2 −⋯+


𝑛!(Δ𝑥)𝑛 +

𝑅𝑛(𝑥),

(2.19)

Jika kita memotong deret Taylor setelah turunan orde satu pada persamaan (2.20)

maka akan diperoleh:

𝑓(𝑥𝑖−1) = 𝑓(𝑥𝑖) − 𝑓′(𝑥𝑖)Δ𝑥 + 𝑅1, (2.21)

dengan melakukan operasi aljabar pada persamaan (2.19) akan peroleh

𝑓′(𝑥𝑖) ≈𝑓(𝑥𝑖) − 𝑓(𝑥𝑖−1)

Δ𝑥−𝑅1Δ𝑥 ,

atau

𝑓′(𝑥𝑖) ≈𝑓(𝑥𝑖) − 𝑓(𝑥𝑖−1)

Δ𝑥+ 𝑂(Δ𝑥).

(2.22)


menggunakan beda mundur. Ilustrasi grafis dari pendekatan numerik beda mundur


𝑥 𝑥𝑖+1 𝑥𝑖 𝑥𝑖−1

𝑓(𝑥)

Δ𝑥


18

Gambar 2.1.8 Grafik ilustrasi pendekatan turunan orde satu dengan beda mundur.

3. Pendekatan Turunan Orde Satu Menggunakan Beda Tengah

Pendekatan turunan numerik yang ketiga ini atau beda tengah diperoleh dengan cara

mengurai ekspansi deret Taylor maju dengan ekspansi deret Taylor mundur. Atau

dengan kata lain pendekatan beda tengah diperoleh dengan cara pendekatan rata-

rata beda maju dan beda mundur.

Jika persamaan (2.16) dikurang persamaan (2.19) akan diperoleh:

𝑓′(𝑥𝑖) ≈𝑓(𝑥𝑖+1) − 𝑓(𝑥𝑖−1)

2Δ𝑥+ 𝑂(Δ𝑥2)

(2.23)


menggunakan beda tengah. Ilustrasi grafis dari pendekatan numerik beda tengah


Gambar 2.1.9 Grafik ilustrasi pendekatan turunan orde satu dengan beda tengah.

𝑓(𝑥)

𝑥

𝑥𝑖 𝑥𝑖−1 𝑥𝑖+1

Δ𝑥

𝑓(𝑥)

𝑥

𝑥𝑖 𝑥𝑖−1 𝑥𝑖+1

2Δ𝑥


19

H. Metode Euler

Dipandang suatu persamaan diferensial

𝑦′(𝑡) = 𝑓(𝑡, 𝑦), 𝑦(𝑡0) = 𝑦0 (2.24)

dan diasumsikan bahwa penyelesaian dari persamaan (2.24) di atas dapat ditulis

dalam bentuk deret Taylor, yaitu

𝑦(𝑡) = 𝑦(𝑡0) + 𝑦′(𝑡0)(𝑡 − 𝑡0) +

𝑦′′(𝑡0)(𝑡 − 𝑡0)2

2+⋯.

(2.25)

Ketika 𝑦′(𝑡0) = 𝑓(𝑡0, 𝑦(𝑡0)) dan Δ𝑡 = 𝑡1 − 𝑡0 disubstitusikan ke persamaan (2.25)

akan menghasilkan bentuk 𝑦(𝑡1) sebagai berikut

𝑦(𝑡1) = 𝑦(𝑡0) + Δ𝑡 𝑓(𝑡0, 𝑦(𝑡0)) +𝑦′′(𝑡0)(Δ𝑡)

2

2+⋯.

(2.26)

Jika kita memilih Δ𝑡 yang cukup kecil, maka kita bisa mengabaikan suku yang

memuat (Δ𝑡)2 beserta suku-suku yang ordenya lebih tinggi dan akan diperoleh

𝑦(𝑡1) = 𝑦(𝑡0) + Δ𝑡 𝑓(𝑡0, 𝑦(𝑡0)), (2.27)

yang mana merupakan aproksimasi Euler. Sehingga secara umum langkah untuk

metode Euler adalah

𝑡𝑘+1 = 𝑡𝑘 + Δ𝑡, 𝑦𝑘+1 = 𝑦𝑘 + Δ𝑡 𝑓(𝑡𝑘, 𝑦𝑘), (2.28)

dengan 𝑘 = 0, 1, … , 𝑛 − 1, untuk mendapatkan 𝑦1, 𝑦2, 𝑦3 , … , 𝑦𝑛.

Contoh

Gunakanlah metode Euler untuk menyelesaikan aproksimasi masalah nilai awal

dari persamaan 𝑦′ = 𝑅𝑦 pada interval [0,1] dengan 𝑦(0) = 𝑦0 dan 𝑅 adalah

konstanta.

Penyelesaian:

Dipilih selisih jaraknya adalah Δ𝑡 dan berdasarkan persamaan (2.28) akan diperoleh

persamaan beda untuk masalah nilai awal tersebut adalah

𝑦𝑘+1 = 𝑦𝑘 + Δ𝑡(𝑅𝑦𝑘)

atau


20

𝑦𝑘+1 = 𝑦𝑘(1 + Δ𝑡𝑅).

Jika kita mengurutkan nilai-nilai dari penyelesain tersebut secara rekursif, akan

diperoleh

𝑦1 = 𝑦0(1 + Δ𝑡𝑅)

𝑦2 = 𝑦1(1 + Δ𝑡𝑅) = 𝑦0(1 + Δ𝑡𝑅)2

𝑦3 = 𝑦2(1 + Δ𝑡𝑅) = 𝑦0(1 + Δ𝑡𝑅)3

⋮

𝑦𝑛 = 𝑦𝑛−1(1 + Δ𝑡𝑅) = 𝑦0(1 + Δ𝑡𝑅)𝑛

atau secara umum skema Euler untuk masalah nilai awal tersebut menghasilkan

nilai

𝑦𝑘 = 𝑦0(1 + Δ𝑡𝑅)𝑘,

untuk 𝑘 = 0, 1,… , 𝑛.

I. Metode Heun

Penyelesaian numerik dari suatu persamaan diferensial dengan masalah nilai awal

dapat diselesaikan dengan metode Euler. Selain dengan menggunakan metode

Euler dapat juga menggunakan metode Heun yang mana merupakan peningkatan

dari metode Euler. Misalnya diketahui

𝑦′(𝑡) = 𝑓(𝑡, 𝑦), 𝑦(𝑡0) = 𝑦0, (2.29)

dengan menggunakan metode Heun langkah pertama yang dihitung adalah nilai

dari �̃�𝑘+1 dan yang terakhir adalah menghitung pendekatan dari 𝑦𝑘+1. Secara umum

langkah untuk metode Heun adalah

�̃�𝑘+1 = 𝑦𝑘 + Δ𝑡 𝑓(𝑡𝑘, 𝑦𝑘) (2.30)

𝑦𝑘+1 = 𝑦𝑘 +Δ𝑡

2[𝑓(𝑡𝑘, 𝑦𝑘) + 𝑓(𝑡𝑘+1, �̃�𝑘+1)],

dimana Δ𝑡 adalah selisih jarak dan 𝑡𝑘+1 = 𝑡𝑘 + Δ𝑡.


21

Contoh

Gunakanlah metode Heun untuk menyelesaikan aproksimasi masalah nilai awal

dari persamaan 𝑦′ = 𝑅𝑦 pada interval [0,1] dengan 𝑦(0) = 𝑦0 dan 𝑅 adalah

konstanta.

Penyelesaian:

Dipilih selisih jarak Δ𝑡 dan berdasarkan persamaan (2.30) akan diperoleh

persamaan beda untuk masalah nilai awal tersebut adalah

�̃�𝑘+1 = 𝑦𝑘 + Δ𝑡 𝑅𝑦𝑘 ,


2[𝑅𝑦𝑘 + (𝑦𝑘 + Δ𝑡 𝑅𝑦𝑘)],

atau

�̃�𝑘+1 = 𝑦𝑘(1 + Δ𝑡𝑅),

𝑦𝑘+1 = 𝑦𝑘 (1 +Δ𝑡

2[𝑅 + 1 + Δ𝑡𝑅]).

Sehingga persamaan beda untuk persamaan (2.30) bisa ditulis dalam satu bentuk

saja, yaitu

𝑦𝑘+1 = 𝑦𝑘 (1 +Δ𝑡

2[𝑅 + 1 + Δ𝑡𝑅]).

Jika kita mengurutkan nilai-nilai dari penyelesaian tersebut secara rekursif, akan

diperoleh

𝑦1 = 𝑦0 (1 +Δ𝑡

2[𝑅 + 1 + Δ𝑡𝑅]) ,

𝑦2 = 𝑦1 (1 +Δ𝑡

2[𝑅 + 1 + Δ𝑡𝑅]) = 𝑦0 (1 +

Δ𝑡

2[𝑅 + 1 + Δ𝑡𝑅])

2

⋮

𝑦𝑛 = 𝑦𝑛−1 (1 +Δ𝑡

2[𝑅 + 1 + Δ𝑡𝑅]) = 𝑦0 (1 +

Δ𝑡

2[𝑅 + 1 + Δ𝑡𝑅])

𝑛

atau secara umum skema Heun untuk masalah nilai awal tersebut menghasilkan

nilai


22

𝑦𝑘 = 𝑦0 (1 +Δ𝑡

2[𝑅 + 1 + Δ𝑡𝑅])

𝑘

.

untuk 𝑘 = 0, 1,… , 𝑛.

J. Metode Biseksi

Teorema 2.1.15

Jika terdapat fungsi 𝑓 yang kontinu pada interval tertutup [𝑎, 𝑏] dan 𝑓(𝑎). 𝑓(𝑏) <

0, maka ada 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) sehingga berlaku 𝑓(𝑐) = 0.

Bukti:

Diketahui bahwa 𝑓(𝑎). 𝑓(𝑏) < 0 hal ini terjadi ketika 𝑓(𝑎) < 0 dan 𝑓(𝑏) > 0.

Didefinisikan suatu himpunan

𝐸 = {𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] ∶ 𝑓(𝑥) < 0}.

dan himpunan tersebut tidak kosong karena 𝑎 ∈ 𝐸 dan 𝐸 mempunyai batas atas 𝑏.

Misalkan 𝑓(𝑐) ≠ 0 karena 𝑓 kontiniu pada 𝑐 terdapat 𝛿 > 0 sedemikian sehingga

|𝑥 − 𝑐| < 𝛿 dan 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] sehingga mengakibatkan

|𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑐)| <1

2|𝑓(𝑐)|.

Jika 𝑓(𝑐) < 0, maka 𝑐 ≠ 𝑏 dan

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑐) + 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑐) < 𝑓(𝑐) −1

2𝑓(𝑐),

Untuk semua 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] sehinga |𝑥 − 𝑐| < 𝛿. Jadi 𝑓(𝑥) <1

2𝑓(𝑐) < 0. Karena ada

𝑥 ∈ 𝐸 dengan 𝑥 > 𝑐, yang mana kontradiksi dengan fakta bahwa 𝑐 adalah batas

atas dari 𝐸.

Jika 𝑓(𝑐) > 0, maka 𝑐 ≠ 𝑎 dan

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑐) + 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑐) > 𝑓(𝑐) −1

2𝑓(𝑐),

untuk semua 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏], sehingga |𝑥 − 𝑐| < 𝛿. Jadi, 𝑓(𝑥) >1

2𝑓(𝑐) > 0. Ada 𝛽 >

0 sehingga 𝑐 − 𝛽 ≥ 𝑎 dan 𝑓(𝑥) > 0 untuk 𝑐 − 𝛽 ≤ 𝑥 ≤ 𝑐.


23

Pada kasus ini, 𝑐 − 𝛽 < 𝑐 adalah batas atas dari 𝐸. Karena 𝑐 adalah batas atas dan

𝑓(𝑥) > 0 untuk 𝑐 − 𝛽 ≤ 𝑥 ≤ 𝑐, yang mana kontradiksi bahwa 𝑐 merupakan batas

paling atas. Karena 𝑐 ≠ 𝑎, 𝑏 maka terbukti bahwa 𝑓(𝑐) = 0.

Diberikan suatu fungsi 𝑓 yang kontinu pada interval [𝑎, 𝑏] dan 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏)

merupakan akar karakteristik dari fungsi 𝑓.

Langkah pertama dalam metode biseksi yaitu menentukan nilai tengah, yaitu

𝑐 =𝑎 + 𝑏

2,

selanjutnya menganalisis kemungkinan-kemungkinan yang akan muncul:

1. Jika 𝑓(𝑎). 𝑓(𝑐) < 0, maka akar dari fungsi f terletak diantara 𝑎 dan 𝑐,

2. Jika 𝑓(𝑎). 𝑓(𝑐) > 0, maka akar dari fungsi f terletak diantara 𝑐 dan 𝑏,

3. Jika 𝑓(𝑎). 𝑓(𝑐) = 0, maka 𝑎 atau 𝑐 adalah akar real dari fungsi 𝑓.


24

BAB III

SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL LOTKA-VOLTERRA

TERMODIFIKASI DAN METODE BEDA HINGGA EKSAK

Pada bab ini akan dibahas sistem persamaan diferensial Lotka-Volterra

termodifikasi dan metode beda hingga eksak yang akan digunakan untuk

menyelesaikan persamaan diferensial Lotka-Volterra termodifikasi.

A. Sistem Persamaan Lotka-Volterra Termodifikasi

Dalam subbab ini akan dibahas model dari persamaan diferensial Lotka-

Volterra khususnya untuk model kompetisi dan juga akan dipaparkan hasil

modifikasi dari persamaan diferensial Lotka-Volterra.

1. Persamaan Diferensial Lotka-Volterra

Misalkan 𝑥 menggambarkan jumlah populasi rusa pada waktu 𝑡 dan 𝑦

menggambarkan jumlah populasi zebra pada waktu 𝑡. Rusa merupakan hewan

herbivora yang bertahan hidup dengan mengkonsumsi tumbuh-tumbuhan. Kita

dapat mengasumsikan laju pertumbuhan rusa per kapita (tanpa adanya zebra)

memiliki nilai konstan 𝑟1, dengan 𝑟1 > 0, tetapi dengan adanya zebra akan

mengurangi laju pertumbuhan rusa per kapita. Jika kita mengasumsikan bahwa laju

pertumbuhan rusa berkurang sejumlah 𝑎12𝑦 yang sebanding dengan jumlah zebra,

dengan 𝑎12 > 0, maka laju pertumbuhan rusa per kapita yang dihasilkan adalah

𝑟1 − 𝑎12𝑦. Persamaan pertumbuhan rusa adalah

𝑑𝑥

𝑑𝑡= (𝑟1 − 𝑎12𝑦)𝑥.

(3.1)

Misalkan zebra bergantung sepenuhnya pada tumbuh-tumbuhan sebagai satu-

satunya sumber makanan. Tanpa adanya rusa, kita mengasumsikan laju

pertumbuhan zebra per kapita memiliki nilai konstan 𝑟2, dengan 𝑟2 > 0, tetapi

adanya rusa akan menurunkan laju pertumbuhan zebra per kapita sejumlah 𝑎21𝑥

yang sebanding dengan jumlah rusa, dengan 𝑎21 > 0. Laju pertumbuhan zebra per


25

kapita yang dihasilkan adalah 𝑟2 − 𝑎21𝑥, sehingga persamaan pertumbuhan zebra

adalah

𝑑𝑦

𝑑𝑡= (𝑟2 − 𝑎21𝑥)𝑦.

(3.2)

Persamaan (3.1) dan persamaan (3.2) menghasilkan model kompetisi sebagai

berikut:

{

𝑑𝑥

𝑑𝑡= (𝑟1 − 𝑎12𝑦)𝑥,

𝑑𝑦

𝑑𝑡= (𝑟2 − 𝑎21𝑥)𝑦.

(3.3)

Jika kita mengasumsikan bahwa sumber makanan rusa dan zebra yang awalnya

tidak terbatas menjadi terbatas maka laju pertumbuhan per kapita rusa (tanpa

adanya zebra dan tanpa adanya kompetisi antar rusa dalam memperoleh makanan)

memiliki nilai konstan 𝑟1, dengan 𝑟1 > 0. Dengan adanya zebra dan kompetisi antar

rusa dalam perebutan makanan (tumbuhan) akan mengurangi laju pertumbuhan per

kapita rusa. Jika kita mengasumsikan bahwa laju pertumbuhan rusa berkurang

sejumlah 𝑎12𝑦 yang sebanding dengan jumlah zebra, dengan 𝑎12 > 0 dan sejumlah

𝑎11𝑥 yang sebanding dengan jumlah rusa, dengan 𝑎11 > 0, maka laju pertumbuhan

rusa per kapita yang dihasilkan adalah 𝑟1 − 𝑎11𝑥 − 𝑎12𝑦. Model pertumbuhan rusa

menjadi

𝑑𝑥


2 − 𝑎12𝑥𝑦, (3.4)

Hal yang sama juga terjadi pada zebra. Jika diasumsikan sumber makan

menjadi terbatas maka laju pertumbuhan zebra per kapita (tanpa adanya rusa dan

kompetisi antara zebra dalam memperoleh makanan) memiliki nilai konstan 𝑟2,

dengan 𝑟2 > 0. Dengan adanya rusa akan menurunkan laju pertumbuhan zebra per

kapita sejumlah 𝑎21𝑥, dengan 𝑎21 > 0 yang sebanding dengan jumlah rusa. Akan

tetapi, dengan adanya kompetisi antara zebra dalam memperoleh makanan akan

mengakibatkan laju pertumbuhan zebra per kapita menurun sejumah 𝑎22𝑦, dengan

𝑎22 > 0 yang sebanding dengan jumlah zebra. Laju pertumbuhan zebra per kapita

yang dihasilkan adalah 𝑟2 − 𝑎21𝑥 − 𝑎22𝑦, sehingga persamaan pertumbuhan zebra

adalah


26

𝑑𝑦


2. (3.5)

Berdasarkan persamaan (3.4) dan persamaan (3.5) diperoleh persamaan

diferensial Lotka-Volterra untuk masalah kompetisi yang didefinisikan dengan

bentuk

𝑑𝑥


2 − 𝑎12𝑥𝑦, (3.6a)

𝑑𝑦


2, (3.6b)

𝑥(0) = 𝑥0 > 0, 𝑦(0) = 𝑦0 > 0,

dimana 𝑟1, 𝑟2, 𝑎11, 𝑎22, 𝑎12, 𝑎21 adalah parameter konstan positif untuk kasus

dinamika rusa-zebra ini dan 𝑥(𝑡) dan 𝑦(𝑡) adalah variabel terikat. Pada umumnya

nilai dari parameter yang diberikan bisa bernilai positif, nol atau negatif bergantung

pada kasus yang dihadapi. Kita menganggap 𝑥(𝑡) dan 𝑦(𝑡) menggambarkan

besarnya masing-masing populasi.

2. Persamaan Diferensial Lotka-Volterra Termodifikasi

Kita telah mengetahui bahwa persamaan (3.6) merupakan persamaan

diferensial Lotka-Volterra khususnya untuk masalah kompetisi. Persamaan

diferensial Lotka-Volterra tersebut akan dimodifikasi dengan mengganti x dan y

masing-masing dengan √𝑥 dan √𝑦, sehingga kita akan memperoleh persamaan

diferensial Lotka-Volterra termodifikasi sebagai berikut

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝑟1√𝑥 − 𝑎11𝑥 − 𝑎12√𝑥√𝑦,

(3.7a)

𝑑𝑦

𝑑𝑡= −𝑟2√𝑦 + 𝑎21√𝑥√𝑦 − 𝑎22𝑦,

(3.7b)

bisa dilihat bahwa persamaan (3.6) dan (3.7) memiliki koefisien yang sama yaitu

𝑟1, 𝑟2, 𝑎11, 𝑎12, 𝑎21, 𝑎22. Penggantian 𝑥 menjadi √𝑥 dan 𝑦 dan menjadi √𝑦 diajukan

oleh Mickens (2018) untuk dijadikan sebagai model kasus uji keefektifan metode

beda hingga eksak.


27

B. Metode Beda Hingga Eksak

Sebelum membahas metode beda hingga eksak, akan dibahas terlebih dahulu

model diskret dari persamaan diferensial biasa

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 𝑓(𝑦, 𝜆), (3.8)

dimana 𝜆 adalah suatu parameter. Model beda hingga paling umum untuk

persamaan (3.8) merupakan turunan diskret orde pertama yang ditunjukkan dalam

bentuk sebagai berikut:

𝑦𝑘+1 − 𝑦𝑘𝜙(Δ𝑡, 𝜆)

= 𝐹(𝑦𝑘 , 𝑦𝑘+1, 𝜆, Δ𝑡), (3.9)

turunan diskret pada sisi kiri adalah generalisasi dari bentuk

𝑑𝑦

𝑑𝑡→𝑦𝑘+1 − 𝑦𝑘

Δ𝑡 .

(3.10)

Berdasarkan persamaan (3.9), kita peroleh dimana fungsi penyebut 𝜙(Δ𝑡, 𝜆)

mempunyai sifat

𝜙(Δ𝑡, 𝜆) = Δ𝑡 + 𝑂(Δ𝑡2),

𝜆 = tetap, Δ𝑡 → 0.

(3.11)

Bentuk persamaan (3.9) di atas merupakan turunan diskret yang didasarkan

pada definisi turunan (2.1) yang mana dapat digeneralisasi sebagai berikut

𝑑𝑦

𝑑𝑡= lim

Δ𝑡→0

𝑦[𝑡 + 𝜓1(Δ𝑡)] − 𝑦(𝑡)

𝜓2(Δ𝑡), (3.12)

dimana

𝜓𝑖(Δ𝑡) = Δ𝑡 + 𝑂(Δ𝑡2), Δ𝑡 → 0; 𝑖 = 1,2.

Contoh dari fungsi 𝜓(Δ𝑡) yang memenuhi kondisi ini adalah

𝜓(Δ𝑡) =

{

Δ𝑡,sin(Δ𝑡) ,

𝑒Δ𝑡 − 1,

1 − 𝑒−Δ𝑡 ,1−𝑒−𝜆Δ𝑡

𝜆,

dan lainnya.


28

Perlu diperhatikan dalam pengambilan limit Δ𝑡 → 0 untuk memperoleh

turunan, penggunaan salah satu dari 𝜓(Δ𝑡) akan mengarah pada hasil biasa dari

suatu turunan pertama

𝑑𝑦

𝑑𝑡= lim

Δ𝑡→0

𝑦[𝑡 + 𝜓1(Δ𝑡)] − 𝑦(𝑡)

𝜓2(Δ𝑡)= limΔ𝑡→0

𝑦(𝑡 + Δ𝑡) − 𝑦(𝑡)

Δ𝑡 . (3.13)

1. Skema Beda Hingga Eksak

Dipandang bentuk umum persamaan diferensial orde satu

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 𝑓(𝑦, 𝑡, 𝜆), 𝑦(𝑡0) = 𝑦0,

(3.14)

dimana 𝑓(𝑦, 𝑡, 𝜆) sedemiakan sehingga persamaan (3.14) memiliki penyelesaian

tunggal pada interval, 0 ≤ 𝑡 < 𝑇 dan 𝜆 adalah parameter pada interval 𝜆1 ≤ 𝜆 ≤ 𝜆2

dengan 𝜆1 dan 𝜆2 adalah konstanta. Penyelesaiannya dapat ditulis sebagai berikut:

𝑦(𝑡) = 𝜙(𝜆, 𝑦0, 𝑡0, 𝑡) (3.15)

dimana

𝜙(𝜆, 𝑦0, 𝑡0, 𝑡0) = 𝑦0.

Dipandang model diskret dari persamaan (3.14)

𝑦𝑘+1 = 𝑔(𝜆, Δ𝑡, 𝑦𝑘 , 𝑡𝑘), (3.16)

dimana 𝑡𝑘 = 𝑘. Δ𝑡, 𝑦𝑘 ≈ 𝑦(𝑡𝑘).

Penyelesaian dari persamaan (3.16) dapat ditulis dalam bentuk

𝑦𝑘 = 𝜓(𝜆, Δ𝑡, 𝑦0, 𝑡0, 𝑡𝑘), (3.17)

dimana

𝜓(𝜆, Δ𝑡, 𝑦0, 𝑡0, 𝑡0) = 𝑦0 .

Definisi 3.1.1

Persamaan (3.14) dan (3.16) dikatakan memiliki penyelesaian umum yang sama

jika dan hanya jika


29

𝑦𝑘 = 𝑦(𝑡𝑘),

untuk sebarang Δ𝑡 > 0 dan untuk semua 𝑘.

Definisi 3.1.2

Suatu skema beda hingga eksak adalah suatu skema yang menghasilkan

penyelesaian beda tertentu yang mana penyelesaian umum dari persamaan beda

hingga tersebut sama dengan penyelesaian diferensial terkait.

Teorema 3.1.3

Persamaan diferensial

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 𝑓(𝑦, 𝑡, 𝜆), 𝑦(𝑡0) = 𝑦0,

(3.18)

mempunyai skema beda hingga eksak yang diekspresikan dengan bentuk sebagai

berikut

𝑦𝑘+1 = 𝜙(𝜆, 𝑦𝑘 , 𝑡𝑘 , 𝑡𝑘+1), (3.19)

dimana fungsi 𝜙 sama dengan fungsi pada persamaan (3.15).

Bukti:

Diasumsikan penyelesaian umum untuk persamaan (3.18) didefinisikan sebagai

berikut

𝑦(𝑡) = 𝜙(𝜆, 𝑦0 , 𝑡0, 𝑡)

dimana 𝑦0 adalah nilai dari 𝑥(𝑡) saat 𝑡 = 𝑡0.

Nemytski and Stepanov (1969) mengatakan

𝑓(𝑓(𝑥, 𝑡1), 𝑡2) = 𝑓(𝑥, 𝑡1 + 𝑡2), (3.20)

sehingga berdasarkan persamaan (3.20) di atas dapat kita tulis

𝑓(𝑓(𝑦, 𝑡, 𝜆), Δ𝑡, 𝜆) = 𝑓(𝑦, 𝑡 + Δ𝑡, 𝜆), (3.21)

dengan nilai awalnya adalah 𝑦(𝑡) = 𝑦𝑡.

Berdasarkan pembahasan di atas diperoleh penyelesaian untuk persamaan (3.21)

adalah


30

𝑦(𝑡 + Δ𝑡) = 𝜙(𝜆, 𝑦(𝑡), 𝑡, 𝑡 + Δ𝑡).

Jika kita mensubstitusi

𝑡 → 𝑡𝑘, 𝑦(𝑡) → 𝑦𝑘 ,

maka penyelesaian untuk persamaan (3.21) akan menjadi

𝑦𝑘+1 = 𝜙(𝜆, 𝑦𝑘 , 𝑡𝑘 , 𝑡𝑘+1). (3.22)

Persamaan (3.22) merupakan persamaan beda biasa yang dibutuhkan yang mana

persamaan (3.22) memiliki penyelesaian umum yang dengan persamaan (3.18).

2. Contoh Skema Beda Hingga Eksak

Diberikan suatu himpunan fungsi-fungsi yang bebas linear

{𝑦(𝑖)(𝑡)} ; 𝑖 = 1, 2,… , 𝑁, (3.23)

dimana fungsi-fungsi tersebut selalu mungkin membangun persamaan beda linear

orde 𝑁, yang memiliki fungsi diskret yang sesuai sebagai penyelesaian. Diberikan

𝑦𝑘(𝑖)≡ 𝑦(𝑖)(𝑡𝑘), 𝑡𝑘 = (Δ𝑡)𝑘; (3.24)

sehingga determinan berikut ini memberikan persamaan yang diperlukan

||

𝑦𝑘 𝑦𝑘1 𝑦𝑘+1

2 ⋯ 𝑦𝑘𝑛

𝑦𝑘+1 𝑦𝑘+11 𝑦𝑘+1

2 ⋯ 𝑦𝑘+1𝑛

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮𝑦𝑘+𝑛 𝑦𝑘+𝑛

1 𝑦𝑘+𝑛2 ⋯ 𝑦𝑘+𝑛

𝑛

|| = 0.

Bukti dan penjelasan tentang hal tersebut diberikan oleh Mickens (1990).

Contoh 1

Dipandang suatu fungsi

𝑦(1)(𝑡) = 𝑒−𝜆𝑡 , (3.25)

dimana fungsi tersebut merupakan suatu penyelesaian untuk persamaan diferensial

orde satu

𝑑𝑦

𝑑𝑡= −𝜆𝑦. (3.26)

Persamaan beda yang sesuai adalah


31

det |𝑦𝑘 𝑦𝑘

(1)

𝑦𝑘+1 𝑦𝑘+1(1)| = |

𝑦𝑘 𝑒−𝜆Δ𝑡𝑘

𝑦𝑘+1 𝑒−𝜆Δ𝑡(𝑘+1)| = 𝑒−𝜆Δ𝑡𝑘 |

𝑦𝑘 1

𝑦𝑘+1 𝑒−𝜆Δ𝑡|

= 𝑒−𝜆Δ𝑡𝑘[𝑒−𝜆Δ𝑡𝑦𝑘 − 𝑦𝑘+1] = 0

atau dapat ditulis

𝑦𝑘+1 = 𝑒−𝜆Δ𝑡𝑦𝑘 . (3.27)

Persamaan (3.27) di atas adalah persamaan beda hingga eksak atau skema beda

hingga eksak yang sesuai untuk persamaan (3.26). Bentuk dari skema eksak di atas

dapat ditulis ke dalam bentuk yang lebih konstruktif dengan melakukan operasi

aljabar pada persamaan (3.27) sebagai berikut:

𝑦𝑘+1 = 𝑒−𝜆Δ𝑡𝑦𝑘

atau

𝑦𝑘+1 − 𝑦𝑘 + 𝑦𝑘 = 𝑒

−𝜆Δ𝑡𝑦𝑘

atau

𝑦𝑘+1 − 𝑦𝑘 = 𝑒

−𝜆Δ𝑡𝑦𝑘 − 𝑦𝑘

atau

𝑦𝑘+1 − 𝑦𝑘 =

𝜆

𝜆(𝑒−𝜆Δ𝑡𝑦𝑘 − 𝑦𝑘)

atau

𝑦𝑘+1 − 𝑦𝑘 = −𝜆 (

−𝑒−𝜆Δ𝑡𝑦𝑘+𝑦𝑘

𝜆)

atau

𝑦𝑘+1 − 𝑦𝑘 = −𝜆 (

−𝑒−𝜆Δ𝑡+1

𝜆)𝑦𝑘

atau

𝑦𝑘+1 − 𝑦𝑘 = −𝜆 (

1−𝑒−𝜆Δ𝑡

𝜆)𝑦𝑘

atau

𝑦𝑘+1 − 𝑦𝑘

( 1 − 𝑒−𝜆Δ𝑡

𝜆 )

= −𝜆𝑦𝑘 . (3.28)


32

Setelah melakukan operasi aljabar pada persamaan (3.27) diperoleh persamaan

(3.28). Sebagai catatan metode Euler standar untuk persamaan (3.26) adalah

𝑦𝑘+1 − 𝑦𝑘Δ𝑡

= −𝜆𝑦𝑘 . (3.29)

Contoh 2

Dipandang persamaan diferensial osilator harmonik

𝑑2𝑦

𝑑𝑡2+ 𝑦 = 0.

(3.30)

Persamaan diferensial di atas memiliki dua penyelesaian yang bebas linear yaitu

𝑦(1)(𝑡) = cos(𝑡), 𝑦(2)(𝑡) = sin(𝑡),

atau dalam bentuk kompleks ditulis

�̅�(1)(𝑡) = 𝑒𝑖𝑡 , �̅�(2)(𝑡) = 𝑒−𝑖𝑡 .

Untuk memperoleh persamaan beda yang sesuai kita terapkan cara yang sama

seperti pada contoh 1

det [

𝑦𝑘 𝑒𝑖Δ𝑡𝑘 𝑒−𝑖Δ𝑡𝑘

𝑦𝑘+1 𝑒𝑖Δ𝑡(𝑘+1) 𝑒−𝑖Δ𝑡(𝑘+1)

𝑦𝑘+2 𝑒𝑖Δ𝑡(𝑘+2) 𝑒−𝑖Δ𝑡(𝑘+2)] = 0

Menggunakan aturan minor dan kofaktor diperoleh

𝑦𝑘(𝑒𝑖Δ𝑡(𝑘+1)𝑒−𝑖Δ𝑡(𝑘+2) − 𝑒−𝑖Δ𝑡(𝑘+1)𝑒𝑖Δ𝑡(𝑘+2)) − 𝑒𝑖Δ𝑡𝑘(𝑦𝑘+1𝑒

−𝑖Δ𝑡(𝑘+2) −

𝑒−𝑖Δ𝑡(𝑘+1)𝑦𝑘+2) + 𝑒−𝑖Δ𝑡𝑘(𝑦𝑘+1𝑒

𝑖Δ𝑡(𝑘+2) − 𝑒𝑖Δ𝑡(𝑘+2)𝑦𝑘+2) = 0

atau

𝑦𝑘(𝑒−𝑖Δ𝑡 − 𝑒𝑖Δ𝑡) − 𝑦𝑘+1(𝑒

−2𝑖Δ𝑡 − 𝑒2𝑖Δ𝑡) + 𝑦𝑘+2(𝑒−𝑖Δ𝑡 − 𝑒𝑖Δ𝑡) = 0

atau

𝑦𝑘((cos(Δ𝑡) − 𝑖 sin(Δ𝑡)) − (𝑐𝑜𝑠(Δ𝑡) + 𝑖 sin(Δ𝑡))) − 𝑦𝑘+1((cos(2Δ𝑡) −

𝑖 𝑠𝑖𝑛(2Δ𝑡)) − ((cos(2Δ𝑡) + 𝑖 𝑠𝑖𝑛(2Δ𝑡))) + 𝑦𝑘+2((cos(Δ𝑡) − 𝑖 sin(Δ𝑡)) −

((cos(Δ𝑡) + 𝑖 sin(Δ𝑡))) = 0

atau


33

𝑦𝑘(−2𝑖 sin(Δ𝑡)) − 𝑦𝑘+1(−2𝑖 sin(2Δ𝑡)) + 𝑦𝑘+2(−2𝑖 sin(Δ𝑡)) = 0

atau

sin(Δ𝑡)𝑦𝑘 − sin(2Δ𝑡)𝑦𝑘+1 + sin(Δ𝑡) 𝑦𝑘+2 = 0

atau

sin(Δ𝑡)𝑦𝑘 − 2sin(Δ𝑡) cos(Δ𝑡) 𝑦𝑘+1 + sin(Δ𝑡) 𝑦𝑘+2 = 0

atau

𝑦𝑘 − 2 cos(Δ𝑡)𝑦𝑘+1 + 𝑦𝑘+2 = 0. (3.31)

Persamaan cos(2Δ𝑡) = 1 − 2sin2Δ𝑡 yang mengakibatkan cos Δ𝑡 = 1 − 2sin2(Δ𝑡

2)

sehingga diperoleh

𝑦𝑘 − 2(1 − 2sin2 (Δ𝑡

2))𝑦𝑘+1 + 𝑦𝑘+2 = 0.

(3.32)

Pada persamaan (3.32) kita menggeser indeks k satu satuan ke bawah dan akan kita

peroleh

𝑦𝑘−1 − 2(1 − 2sin2 (Δ𝑡

2))𝑦𝑘 + 𝑦𝑘+1 = 0,

(3.33)

atau dapat ditulis

𝑦𝑘+1 = 2 (1 − 2sin2 (Δ𝑡

2))𝑦𝑘 −𝑦𝑘−1.

(3.34)


hingga eksak yang sesuai untuk persamaan (3.30). Persamaan (3.34) juga dapat

ditulis ke dalam bentuk yang lebih konstruktif. Jadi, dengan cara yang sama pada

contoh 1 akan diperoleh persamaan sebagai berikut:

𝑦𝑘−1 − 𝑦𝑘+1 − 2𝑦𝑘

4sin2 (Δ𝑡2 )

= −𝑦𝑘 (3.35)

Setelah melakukan operasi aljabar pada persamaan (3.34) diperoleh persamaan

(3.35). Sebagai catatan bahwa metode beda hingga standar untuk persamaan (3.30)

adalah

𝑦𝑘−1 − 𝑦𝑘+1 − 2𝑦𝑘Δ𝑡2

= −𝑦𝑘 , (3.35a)


34

Persamaan (3.35a) akan menjadi pembanding metode beda hingga eksak untuk

menyelesaikan persamaan (3.30).

Cara yang digunakan untuk meperoleh atau mengkonstruksi skema beda

eksak pada contoh 1 dan contoh 2 tidak dapat digunakan untuk mengkonstruksi

skema beda eksak untuk persamaan diferensial yang nonlinear. Berikut ini adalah

langkah-langkah yang akan diterapkan untuk mengkonstruksi skema beda eksak

untuk persamaan diferensial nonlinear:

1. Dipandang suatu sistem dari 𝑁 pasang persamaan diferensial biasa orde satu

𝑑𝑌

𝑑𝑡= 𝐹(𝑌, 𝑡, 𝜆), 𝑌(𝑡0) = 𝑌0,

(3.36)

dimana 𝑌, 𝐹 adalah vektor kolom berdimensi 𝑁 yang komponen ke-𝑖 adalah

(𝑌)𝑖 = 𝑦(𝑖)(𝑡),

(𝐹)𝑖 = 𝑓(𝑖)[𝑦(1), 𝑦(2), … , 𝑦(𝑁); 𝑡, 𝜆].

2. Penyelesaian umum untuk persamaan (3.36) dinyatakan dengan

𝑌(𝑡) = Φ(λ, 𝑌0, 𝑡0, 𝑡)

dimana

𝑦(𝑖)(𝑡) = 𝜙(𝑖)[λ, 𝑦0(1), 𝑦0

(2), … , 𝑦0(𝑁), 𝑡0, 𝑡].

3. Persamaan beda eksak yang sesuai dengan persamaan diferensial diperoleh

dengan membuat substitusi berikut

{

𝑌(𝑡) → 𝑌𝑘+1,

𝑌0 = 𝑌(𝑡0) → 𝑌𝑘 ,𝑡0 → 𝑡𝑘, 𝑡 → 𝑡𝑘+1.

Contoh 3

Dipandang persamaan diferensial logistik umum dengan suatu nilai awal

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 𝜆1𝑦 − 𝜆2𝑦

2, 𝑦(𝑡0) = 𝑦0 (3.37)

dimana 𝜆1 dan 𝜆2 adalah konstanta.


35

Penyelesaian untuk masalah nilai awal dari persamaan (3.37) di atas adalah

𝑦(𝑡) =𝜆1𝑦0

(𝜆1 − 𝑦0𝜆2)𝑒−𝜆1(𝑡−𝑡0) + 𝜆2𝑦0

. (3.38)

Berdasarkan langkah nomor 3 di atas kita akan mensubstitusikan

𝑡0 → 𝑡𝑘 , 𝑡 → 𝑡𝑘+1, 𝑦0 → 𝑦𝑘 , 𝑦(𝑡) → 𝑦𝑘+1,

ke persamaan (3.38) sehingga diperoleh

𝑦𝑘+1 =𝜆1𝑦𝑘

(𝜆1 − 𝑦𝑘𝜆2)𝑒−𝜆1Δ𝑡 + 𝜆2𝑦𝑘 , (3.39)


hingga eksak yang sesuai untuk persamaan (3.37). Persamaan (3.39) dapat ditulis

ke dalam bentuk yang lebih konstruktif. Dengan melakukan operasi aljabar pada

persamaan (3.39) akan diperoleh persamaan sebagai berikut:


(𝑒𝜆1Δ𝑡 − 1

𝜆1)

= 𝜆1𝑦𝑘 − 𝜆2𝑦𝑘+1𝑦𝑘 . (3.40)

Sebagai catatan bahwa metode Euler maju untuk persamaan (3.37) adalah


= 𝜆1𝑦𝑘 − 𝜆2𝑦𝑘𝑦𝑘 . (3.40a)

Persamaan (3.40a) akan menjadi pembanding metode beda hingga eksak untuk

menyelesaikan persamaan (3.37)

Selanjutnya akan dibahas skema beda hingga eksak untuk sistem dari dua

pasang persamaan diferensial biasa linear.

Dipandang sistem persamaan diferensial

𝑑𝑢

𝑑𝑡= 𝛼𝑢 + 𝛽𝑤,

(3.41a)

𝑑𝑤

𝑑𝑡= 𝛾𝑢 + 𝛿𝑤, (3.41b)

dengan kondisi nilai awal

𝑢0 = 𝑢(𝑡0), 𝑤0 = 𝑤(𝑡0),

dan syarat


36

𝛼𝛿 − 𝛽𝛾 ≠ 0.

Sebelum membahas skema beda eksak dari persamaan (3.41) di atas akan terlebih

dahulu dibahas penyelesaian umum dari persamaan (3.41) yang diperoleh secara

analitik.

Misalkan:

𝑢 = 𝐴𝑒𝜆𝑡 , 𝑣 = 𝐵𝑒𝜆𝑡 , (3.42)

𝑑𝑢

𝑑𝑡= 𝐴𝜆𝑒𝜆𝑡,

𝑑𝑣

𝑑𝑡= 𝐵𝜆𝑒𝜆𝑡 .

Jika persamaan (3.42) disubstitusikan ke persamaan (3.41) maka persamaan (3.41)

akan menjadi

𝐴𝜆𝑒𝜆𝑡 = 𝛼𝐴𝑒𝜆𝑡 + 𝛽𝐵𝑒𝜆𝑡 , (3.43)

𝐵𝜆𝑒𝜆𝑡 = 𝛾𝐴𝑒𝜆𝑡 + 𝛿𝐵𝑒𝜆𝑡,

atau

𝐴𝜆 = 𝛼𝐴 + 𝛽𝐵, (3.44)

𝐵𝜆 = 𝛾𝐴 + 𝛿𝐵,

atau

(𝜆 − 𝛼)𝐴 + 𝛽𝐵 = 0, (3.45)

𝛾𝐴 + (𝜆 − 𝛿)𝐵 = 0.

Selanjutnya akan dicari nilai eigen dari persamaan (3.45) diatas sehingga

berdasarkan persamaan (3.45) dapat membentuk matriks yang determinannya sama

dengan 0 yaitu

det [𝜆 − 𝛼 𝛽𝛾 𝜆 − 𝛿

] = 0. (3.46)

Persamaan (3.46) dapat diperluas menjadi suatu persamaan kuadrat, yaitu

𝜆2 − (𝛼 + 𝛿)𝜆 + (𝛼𝛿 − 𝛽𝛾) = 0,

dengan menggunakan rumus kuadratik dapat diperoleh nilai akar-akar dari

persamaan (3.47)

𝜆1,2 =(𝛼 + 𝛿) ± √(𝛼 + 𝛿)2 − 4(𝛼𝛿 − 𝛽𝛾)

2,

atau


37

2𝜆1,2 = (𝛼 + 𝛿) ± √(𝛼 + 𝛿)2 − 4(𝛼𝛿 − 𝛽𝛾). (3.47)

Apabila nilai dari 𝜆1dan 𝜆2 disubstitusi ke persamaan (3.45) maka akan di peroleh

𝐴1 =𝛽

𝜆1 − 𝜆2, 𝐵1 =

𝜆1 − 𝛼

𝜆1 − 𝜆2,

(3.48)

𝐴2 = 𝛽

𝜆1 − 𝜆2, 𝐵2 =

𝜆2 − 𝛼

𝜆1 − 𝜆2.

Menurut Ross (1984:303) penyelesaian umum dari persamaan (3.41) dapat ditulis

ke dalam bentuk

𝑢(𝑡) = 𝑐1𝐴1𝑒𝜆1𝑡 + 𝑐2𝐴2𝑒

𝜆2𝑡, (3.49)

𝑤(𝑡) = 𝑐1𝐵1𝑒𝜆1𝑡 + 𝑐2𝐵2𝑒

𝜆2𝑡 .

Apabila persamaan (3.48) disubstitusi ke persamaan (3.49) maka akan diperoleh

𝑢(𝑡) = 𝑐1 (𝛽

𝜆1 − 𝜆2) 𝑒𝜆1𝑡 + 𝑐2 (

𝛽

𝜆1 − 𝜆2) 𝑒𝜆2𝑡 ,

(3.50)

𝑤(𝑡) = 𝑐1 (𝜆1 − 𝛼

𝜆1 − 𝜆2) 𝑒𝜆1𝑡 + 𝑐2 (

𝜆2 − 𝛼

𝜆1 − 𝜆2) 𝑒𝜆2𝑡 .

Diketahui bahwa kondisi nilai awal dari persamaan (3.41) adalah

𝑢0 = 𝑢(𝑡0), 𝑤0 = 𝑤(𝑡0),

dengan menggunakan kondisi nilai awal tersebut dapat dicari nilai dari 𝑐1dan 𝑐2,

sehingga dengan melakukan operasi aljabar akan diperoleh masing-masing

𝑐1 = −𝑢0𝑒

−𝜆1𝑡0(𝜆2 − 𝛼)

𝛽+ 𝑤0 dan 𝑐2 = (

𝑢0(𝜆1 − 𝛼)

𝛽− 𝑤0) 𝑒

−𝜆2𝑡0 .

Hasil dari substitusi nilai 𝑐1 dan 𝑐2 yang telah diperoleh ke persamaan (3.50) adalah

sebagai berikut:

𝑢(𝑡) = −(𝛽

𝜆1−𝜆2) [(

𝜆2−𝛼

𝛽) 𝑢0 −𝑤0] 𝑒

𝜆1(𝑡−𝑡0) + (𝛽

𝜆1−𝜆2) [(

𝜆2−𝛼

𝛽)𝑢0 −

𝑤0] 𝑒𝜆2(𝑡−𝑡𝑜),

(3.51a)

𝑤(𝑡) = −(𝜆1−𝛼

𝜆1−𝜆2) [(

𝜆2−𝛼

𝛽) 𝑢0 −𝑤0] 𝑒

𝜆1(𝑡−𝑡0) + (𝜆2−𝛼

𝜆1−𝜆2) [(

𝜆1−𝛼

𝛽)𝑢0 −

𝑤0] 𝑒𝜆2(𝑡−𝑡0),

(3.51b)

dimana


38

2𝜆1,2 = (𝛼 + 𝛿) ± √(𝛼 + 𝛿)2 − 4(𝛼𝛿 − 𝛽𝛾) .

Persamaan (3.51) di atas merupakan penyelesaian umum dari persamaan (3.41).

Skema beda eksak untuk persamaan (3.41) diperoleh dengan membuat substitusi

berikut pada persamaan (3.51a) dan persamaan (3.51b):

{

𝑡0 → 𝑡𝑘 = Δ𝑡(𝑘),

𝑡 → 𝑡𝑘+1 = Δ𝑡(𝑘 + 1),𝑢0 → 𝑢𝑘,

𝑢(𝑡) → 𝑢𝑘+1, 𝑤0 → 𝑤𝑘 ,

𝑤(𝑡) → 𝑤𝑘+1.

(3.52)

Hasil dari substitusi di atas adalah sebagai berikut:

𝑢𝑘+1 = −(𝛽

𝜆1−𝜆2) [(

𝜆2−𝛼

𝛽) 𝑢𝑘 −𝑤𝑘] 𝑒

𝜆1Δ𝑡 + (𝛽

𝜆1−𝜆2) [(

𝜆2−𝛼

𝛽)𝑢𝑘 −

𝑤𝑘] 𝑒𝜆2Δ𝑡 ,

(3.53a)

𝑤𝑘+1 = −(𝜆1−𝛼

𝜆1−𝜆2) [(

𝜆2−𝛼

𝛽) 𝑢𝑘 −𝑤𝑘] 𝑒

𝜆1Δ𝑡 + (𝜆2−𝛼

𝜆1−𝜆2) [(

𝜆1−𝛼

𝛽)𝑢𝑘 −

𝑤𝑘] 𝑒𝜆2Δ𝑡 .

(3.53b)

Dengan melakukan operasi aljabar pada persamaan (3.53a) dan persamaan (3.53b)

akan diperoleh persamaan sebagai berikut:

𝑢𝑘+1 −𝜓𝑢𝑘𝜙

= 𝛼𝑢𝑘 + 𝛽𝑤𝑘 , (3.54)

𝑤𝑘+1 −𝜓𝑤𝑘𝜙

= 𝛾𝑢𝑘 + 𝛿𝑤𝑘, (3.55)

dimana

𝜓 ≡ 𝜓(𝜆1, 𝜆2, Δ𝑡) =𝜆1𝑒

𝜆2Δ𝑡 − 𝜆2𝑒𝜆1Δ𝑡

𝜆1 − 𝜆2,

𝜙 ≡ 𝜙(𝜆1, 𝜆2, Δ𝑡) =𝑒𝜆1Δ𝑡 − 𝑒𝜆2Δ𝑡

𝜆1 − 𝜆2.

Ruas kiri dari persamaan (3.54) dan persamaan (3.55) merupakan turunan diskret

laju satu untuk persamaan (3.41a) dan persamaan (3.41b), yaitu

𝑑𝑢

𝑑𝑡→𝑢𝑘+1 − 𝜓𝑢𝑘

𝜙,


39

𝑑𝑤

𝑑𝑡→𝑤𝑘+1 −𝜓𝑤𝑘

𝜙.

3. Aturan Pemodelan Beda Hingga Nonstandar

Berdasarkan subbab sebelumnya yang membahas skema beda hingga eksak

untuk suatu persamaan diferensial khususnya persamaan diferensial biasa,

diberikan aturan atau syarat untuk mengkonstruksi model-model diskret yang

berlaku untuk persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial,

sebagai berikut:

1. Orde dari turunan diskret harus persis sama dengan orde dari turunan

persamaan diferensial terkait.

2. Fungsi penyebut untuk turunan diskret harus secara umum dinyatakan dalam

bentuk fungsi yang lebih rumit dari selisih jarak atau Δ𝑡 yang biasa digunakan.

Misalkan pada contoh 1, 2 dan 3 fungsi penyebut untuk turunan diskretnya

adalah ( 1−𝑒−𝜆Δ𝑡

𝜆) , 4sin2 (

Δ𝑡

2), 𝑒𝜆1Δ𝑡−1

𝜆1.

3. Bentuk nonlinear harus secara umum dimodelkan secara nonlokal pada

komputasi grid atau kisi. Misalnya pada persamaan (3.2.5) pada contoh 3

bentuk 𝑦2 diaproksimasi pada dua titik yang berbeda

𝑦2 → 𝑦𝑘+1𝑦𝑘 ,

dengan indeks 𝑘 bersesuaian dengan langkah variabel bebasnya. Hal ini juga

berlaku untuk persamaan diferensial parsial nonlinear misalnya bentuk 𝑢2

diaproksimasi pada dua titik yang berbeda yaitu

𝑢2 → 𝑢𝑚−1𝑘 𝑢𝑚

𝑘+1,

dengan indeks 𝑘 dan 𝑚 bersesuaian dengan langkah dari dua variabel bebas

yang berbeda.

4. Penyelesaian khusus dari persamaan diferensial juga harus menjadi

penyelesaian diskret dari model-model beda hingga.

5. Persamaan beda hingga seharusnya tidak memiliki penyelesaian yang tidak

sesuai dengan penyelesaian dari persamaan diferensial.


40

4. Perbandingan Penyelesaian

Pada bagian ini akan dibandingkan penyelesaian metode Euler, metode Heun,

beda hingga standar dan penyelesaian dari metode beda hingga eksak dengan

menggunakan program MATLAB. Akan dilihat dari ketiga penyelesaian tersebut

yang mendekati penyelesaian eksaknya atau penyelesaian yang diperoleh secara

analitik. Untuk membandingkan penyelesaian ini akan digunakan contoh 1 yaitu

persamaan (3.26), contoh 2 persamaan (3.30) dan contoh 3 yaitu persamaan (3.37).

Contoh 1

Diketahui persamaan diferensial dengan suatu nilai awal

𝑑𝑦

𝑑𝑡= −𝑦, 𝑦(0) = 1. (3.56)

Akan dicari nilai 𝑦1, 𝑦2, 𝑦3, … , 𝑦10 dari penyelesaian analitik dan penyelesaian dari

metode Euler, metode Heun, dan metode beda hingga eksak.

Penyelesaian eksak dari persamaan diferensial di atas adalah

𝑦 = 𝑒−𝑡 ,

penyelesaian yang dihasilkan dengan menggunakan metode Euler untuk persamaan

di atas adalah

𝑦𝑘+1 = −Δ𝑡𝑦𝑘 + 𝑦𝑘 .

Penyelesaian yang dihasilkan dengan menggunakan metode Heun untuk persamaan

di atas adalah

�̃�𝑘+1 = 𝑦𝑘 + Δ𝑡 𝑓(𝑡𝑘, 𝑦𝑘),


2(𝑓(𝑡𝑘, 𝑦𝑘 + 𝑓(𝑡𝑘+1, �̃�𝑘+1),

dengan 𝑓(𝑡, 𝑦) = −𝑦.

Sedangkan penyelesaian yang dihasilkan dengan menggunakan metode beda

hingga eksak adalah

𝑦𝑘+1 = 𝑒−Δ𝑡𝑦𝑘 .

Gambar 3.4.1 menunjukkan grafik hasil simulasi dari metode Euler, metode Heun,

dan metode beda hingga eksak dengan nilai awal 𝑦(0) = 1 dan Δ𝑡 = 0.1


41



dengan 𝑦(0) = 1 dan 𝛥𝑡 = 0.1.

Pada Gambar 3.4.1 dilihat bahwa grafik penyelesaian metode Heun, metode

beda hingga eksak dan penyelesaian eksaknya berimpit. Namun demikian, ketika

gambar tersebut diperbesar maka kita akan peroleh grafik seperti tampak pada

Gambar 3.4.2.


42



0.468, 0.502.

Pada Gambar 3.4.2 grafik penyelesaian dari metode Heun sudah tidak

berhimpit lagi dengan penyelesaian eksaknya dan juga tidak berimpit dengan

penyelesaian metode beda hingga eksak. Namun demikian, pada Gambar 3.4.2

grafik penyelesaian eksak masih berhimpit dengan penyelesaian metode beda

hingga eksak. Pada Gambar 3.4.2 juga menunjukkan bahwa dari 3 metode tersebut

penyelesaian yang paling mendekati penyelesaian eksaknya adalah metode beda

hingga eksak. Hal ini juga ditunjukkan dari error hasil perhitungan numerik pada

Tabel 3.4.1.


43

Tabel 3.4.1 Error hasil perhitungan dari persamaan (3.56)

t Euler Heun Beda hingga

eksak

0.1 0.004837 0.000163 0.000000

0.2 0.008731 0.000294 0.000000

0.3 0.011818 0.000399 0.000000

0.4 0.014220 0.000482 0.000000

0.5 0.016041 0.000545 0.000000

0.6 0.017371 0.000592 0.000000

0.7 0.018288 0.000625 0.000000

0.8 0.018862 0.000646 0.000000

0.9 0.019149 0.000658 0.000000

1.0 0.019201 0.000662 0.000000

Rata-rata

error

𝟎.𝟎𝟏𝟒𝟖𝟓𝟐

𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟓𝟎𝟕

𝟎

Error hasil perhitungan pada Tabel 3.4.1 menunjukkan error dari penyelesaian

metode beda hingga eksak adalah nol. Hal ini menunjukkan bahwa dari ketiga

metode yaitu metode Euler, metode Heun dan metode beda hingga eksak yang

penyelesaiannya paling mendekati dengan penyelesaian eksak untuk persamaan

(3.56) adalah metode beda hingga eksak sesuai dengan yang ditunjukkan pada

Gambar 3.41 dan 3.4.2.

Pada contoh selanjutnya akan dibandingkan penyelesaian dari metode beda

hingga standar dengan penyelesaian dari metode beda hingga eksak untuk

persamaan diferensial orde dua. Persamaan yang akan digunakan adalah persamaan

(3.30) pada contoh 2. Akan dilihat apakah untuk persamaan diferensial orde dua ini

penyelesaian dari metode beda hingga eksak akan sama dengan penyelesaian

eksaknya atau tidak.

Contoh 2

Diketahui persamaan diferensial beserta nilai awalnya

𝑑2𝑦

𝑑𝑡2+ 𝑦 = 0, 𝑦(0) = 1, 𝑦′(0) = 1.

(3.57)


metode Euler dan metode beda hingga eksak.


44

Penyelesaian eksak untuk persamaan (3.57) adalah

𝑦 = cos(𝑡) + sin(𝑡),

penyelesaian yang dihasilkan untuk persamaan (3.57) dengan metode beda hingga

standar adalah

𝑦𝑘+1 = (2 − Δ𝑡2)𝑦𝑘 − 𝑦𝑘−1,

dan penyelesaian yang dihasilkan dengan menggunakan metode beda hingga eksak

adalah

𝑦𝑘+1 = (2 − 4sin2 (Δ𝑡

2)𝑦𝑘) − 𝑦𝑘−1.

Gambar 3.4.2 grafik hasil simulasi dari metode beda hingga standar dan metode

beda hingga eksak dengan nilai awal 𝑦(0) = 1, 𝑦′(0) = 1 dan Δ𝑡 = 0.1.


metode beda hingga standar dan metode beda hingga eksak

dengan 𝑦(0) = 1, 𝑦′(0) = 1, dan 𝛥𝑡 = 0.1.


45

Pada Gambar 3.4.3 di atas terlihat seperti ketiga grafik penyelesaian tersebut

berimpit dan hanya terlihat satu grafik saja yaitu grafik dari penyelesaian beda

eksak. Namun demikian, ketika gambar diperbesar maka kita akan peroleh grafik

seperti tampak pada Gambar 3.4.4.



0.59, 0.95.

Pada Gambar 3.4.4 bisa dilihat bahwa penyelesaian dari metode beda hingga

eksak masih tetap berimpit dengan grafik penyelesaian eksaknya. Berdasarkan

Gambar 3.4.4 grafik dari penyelesaian beda eksak lebih mendekati penyelesaian

eksak dibandingkan dengan grafik penyelesaian metode beda hingga standar. Hal

ini juga ditunjukkan dari error hasil perhitungan numerik pada Tabel 3.4.2.


46


𝒕 Beda hingga

standar

Beda hingga

eksak

0.1 0.000000 0.000000

0.2 0.000009 0.000000

0.3 0.000028 0.000000

0.4 0.000057 0.000000

0.5 0.000096 0.000000

0.6 0.000146 0.000000

0.7 0.000206 0.000000

0.8 0.000275 0.000000

0.9 0.000354 0.000000

1.0 0.000440 0.000000

Rata-rata

error

𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟏𝟔𝟏

𝟎

Error hasil perhitungan pada Tabel 3.4.2 juga menunjukkan bahwa nilai error

penyelesaian eksak dengan nilai penyelesaian beda eksak adalah nol. Sehingga

dapat disimpulkan bahwa dari kedua metode yaitu metode beda standar dan metode

beda hingga eksak yang penyelesaiannya paling mendekati dengan penyelesaian

eksak untuk persamaan (3.57) adalah metode beda hingga eksak.

Pada contoh selanjutnya, akan dibandingkan penyelesaian dari metode Euler,

metode Heun dan metode beda hingga eksak dengan penyelesaian eksaknya untuk

persamaan diferensial nonlinear. Persamaan yang akan digunakan adalah

persamaan (3.37) pada contoh 3.

Contoh 3

Diketahui persamaan diferensial dan suatu nilai awal

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 𝜆1𝑦 − 𝜆2𝑦

2, 𝑦(0) = 1; (3.58)

dengan 𝜆1 = 1, dan 𝜆2 = 2.


metode Euler, metode Heun dan metode beda hingga eksak.

Penyelesaian eksak untuk persamaan (3.51) adalah


47

𝑦 =𝜆1𝑦0

(𝜆1 − 𝑦0𝜆2)𝑒𝜆1𝑡 + 𝜆2𝑦0 ,

penyelesaian yang dihasilkan untuk persamaan (3.51) dengan metode Euler adalah

𝑦𝑘+1 = 𝑦𝑘 + Δ𝑡 𝑦𝑘(𝜆1 − 𝜆2𝑦𝑘),

dan penyelesaian yang dihasilkan dengan menggunakan metode beda hingga eksak

adalah

𝑦𝑘+1 =𝜆1𝑦𝑘

(𝜆1 − 𝑦𝑘𝜆2)𝑒−𝜆1Δ𝑡 + 𝜆2𝑦𝑘.

Sedangkan penyelesaian yang dihasilkan dengan metode Heun adalah

�̃�𝑘+1 = 𝑦𝑘 + Δ𝑡 𝑓(𝑡𝑘 , 𝑦𝑘),


2(𝑓(𝑡𝑘, 𝑦𝑘) + 𝑓(𝑡𝑘+1, �̃�𝑘+1)),

dengan 𝑓(𝑡, 𝑦) = 𝜆1𝑦 − 𝜆2𝑦2.

Gambar 3.4.5 menunjukkan grafik hasil simulasi dari metode Euler, metode Heun,

dan metode beda hingga eksak dengan nilai awal 𝑦(0) = 1 dan Δ𝑡 = 0.1



dengan 𝑦(0) = 1, 𝛥𝑡 = 0.1 dan 𝜆1 = 1 dan 𝜆2 = 2.


48

Pada Gambar 3.4.5 dapat dilihat bahwa grafik penyelesaian metode Heun dan

metode beda hingga eksak berimpit dengan penyelesain eksaknya sehingga terlihat

seperti satu garis. Namun demikian, ketika gambar diperbesar maka kita akan

memperoleh grafik seperti tampak pada Gambar 3.4.6.



0.35, 0.65.

Pada Gambar 3.4.6 terlihat bahwa grafik penyelesaian dari metode Heun tidak

lagi berimpit dengan grafik penyelesaian eksak dan grafik penyelesaian metode

beda hingga eksak. Hal ini menunjukkan bahwa dari ketiga metode tersebut grafik

penyelesaian yang paling mendekati penyelesaian eksaknya adalah garfik

penyelesaian metode beda hingga eksak. Hal ini juga ditunjukkan dari hasil

perhitungan numerik pada Tabel 3.4.3.


49


t Euler Heun

Beda

hingga

eksak

0.1 0.013106 0.000894 0.000000

0.2 0.018547 0.001251 0.000000

0.3 0.020483 0.001362 0.000000

0.4 0.020726 0.001357 0.000000

0.5 0.020135 0.001297 0.000000

0.6 0.019143 0.001214 0.000000

0.7 0.017977 0.001123 0.000000

0.8 0.016756 0.001032 0.000000

0.9 0.015547 0.000945 0.000000

1.0 0.014383 0.000863 0.000000

Rata-rata

error

𝟎. 𝟎𝟏𝟕𝟔𝟖

𝟎.𝟎𝟎𝟏𝟏𝟑𝟒

𝟎

Error hasil perhitungan pada Tabel 3.4.3 menunjukan bawha error dari

penyelesaian metode beda hingga eksak adalah nol. Oleh karena itu, dapat

disimpulkan bahwa dari ketiga metode yaitu metode Euler, metode Heun dan

metode beda hingga eksak yang penyelesaiannya paling mendekati dengan

penyelesaian eksak untuk persamaan (3.58) adalah metode beda hingga eksak

sesuai dengan yang ditunjukkan pada Gambar 3.4.4 dan 3.4.3.

Hasil perbandingan penyelesaian dari metode Euler, metode Heun, metode

beda hingga standar dan metode beda hingga eksak untuk ketiga contoh di atas

menunjukkan bahwa hasil penyelesaian dari metode beda hinggak eksak lebih

mendekati penyelesaian eksaknya.


50

BAB IV

PENYELESAIAN NUMERIS SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL

LOTKA-VOLTERRA TERMODIFKASI

Pada bab ini akan dibahas penyelesaian dari model persamaan diferensial

Lotka-Volterra termodifikasi untuk kasus kompetisi, bagaimana mengkonstruksi

skema beda hingga eksaknya, simulasi numeriknya menggunakan MATLAB dan

perbandingan penyelesaian beda hingga eksak dengan metode Euler dan metode

Heun.


Termodifikasi dengan Metode Beda Hingga Eksak

Sebelum membahas skema beda hingga eksak dari persamaan diferensial

Lotka-Volterra termodifikasi akan terlebih dahulu membahas transformasi linear

dari persamaan diferensial Lotka-Volterra termodifikasi untuk kasus kompetisi dan

penyelesaian umumnya.

Pada bab 3 kita telah peroleh persamaan diferensial Lotka-Volterra termodifikasi

untuk kasus kompetisi adalah sebagai berikut

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝑟1√𝑥 − 𝑎11𝑥 − 𝑎12√𝑥√𝑦,

(4.1a)

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 𝑟2√𝑦 − 𝑎21√𝑥√𝑦 − 𝑎22𝑦,

(4.1b)

dimana

𝑥(0) = 𝑥0 > 0, 𝑦(0) = 𝑦0 > 0,

yang berakibat (Mickens, 2018)

𝑥(𝑡) ≥ 0, 𝑦(𝑡) ≥ 0.

Akan dibuat transformasi nonlinear untuk persamaan (4.1) di atas dengan pemisalan

𝑢 = √𝑥 dan 𝑣 = √𝑦. Dikerjakan terlebih dahulu untuk pemisalan

𝑢 = √𝑥, (4.2)

atau


51

𝑢2 = 𝑥. (4.3)

Jika kedua ruas pada persamaan (4.3) diturunkan masing-masing terhadap 𝑢 dan 𝑥

maka akan diperoleh

2𝑢 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥, (4.4)

atau

2𝑢𝑑𝑢

𝑑𝑡=𝑑𝑥

𝑑𝑡, (4.5)

atau

𝑑𝑢

𝑑𝑡=1

2𝑢

𝑑𝑥

𝑑𝑡 , (4.6)

atau

𝑑𝑢

𝑑𝑡=1

2𝑢(𝑟1√𝑥 − 𝑎11𝑥 − 𝑎12√𝑥√𝑦), (4.7)

Selanjutnya substitusi pemisalan 𝑢 dan 𝑣 ke persamaan (4.7) akan diperoleh

𝑑𝑢

𝑑𝑡=1

2𝑢(𝑟1𝑢 − 𝑎11𝑢

2 − 𝑎12𝑢𝑣),

atau

𝑑𝑢

𝑑𝑡= (

𝑟12−𝑎11𝑢

2−𝑎12𝑣

2). (4.8)

Dengan cara yang sama dikerjakan untuk pemisalan 𝑣 = √𝑦

𝑣 = √𝑦

atau

𝑣2 = 𝑦. (4.9)

Jika kedua ruas pada persamaan (4.9) diturunkan masing-masing terhadap 𝑣 dan 𝑥

maka akan diperoleh

2𝑣 𝑑𝑣 = 𝑑𝑦, (4.10)

atau

2𝑣𝑑𝑣

𝑑𝑡=𝑑𝑦

𝑑𝑡, (4.11)

atau


52

𝑑𝑢

𝑑𝑡=1

2𝑣

𝑑𝑦

𝑑𝑡 , (4.12)

atau

𝑑𝑣

𝑑𝑡=1

2𝑣 (𝑟2√𝑦 − 𝑎21√𝑥√𝑦 − 𝑎22𝑦). (4.13)

Selanjutnya substitusi pemisalan 𝑢 dan 𝑣 ke persamaan (4.13) akan diperoleh

𝑑𝑣

𝑑𝑡=1

2𝑣(𝑟2𝑣 − 𝑎21𝑢𝑣 − 𝑎22𝑣

2),

atau

𝑑𝑣

𝑑𝑡= (

𝑟22−𝑎21𝑢

2−𝑎22𝑣

2). (4.14)

Berdasarkan transformasi nonlinear di atas persamaan (4.1) menjadi

𝑑𝑢

𝑑𝑡= 𝑟1

′ − 𝑎11′ 𝑢 − 𝑎12

′ 𝑣, (4.15a)

𝑑𝑣

𝑑𝑡= 𝑟2

′ − 𝑎21′ 𝑢 − 𝑎22

′ 𝑣, (4.15b)

dimana 𝑟1′ =

𝑟1

2, 𝑎11′ =

𝑎11

2, 𝑎12′ =

𝑎12

2, 𝑟2′ =

𝑟2

2, 𝑎21

′ =𝑎21

2, dan 𝑎22

′ =𝑎22

2.

Berdasarkan persamaan (4.15) dapat dicari titik setimbang atau ekuilibrium dari

persamaan tersebut. Persamaan (4.15) dikatakan setimbang jika 𝑑𝑢

𝑑𝑡= 0 dan

𝑑𝑣

𝑑𝑡= 0.

Sehingga persamaan (4.15) dapat ditulis

𝑟1′ − 𝑎11

′ 𝑢 − 𝑎12′ 𝑣 = 0, (4.16a)

𝑟2′ − 𝑎21

′ 𝑢 − 𝑎22′ 𝑣 = 0. (4.16b)

Persamaan (4.16a) dapat ditulis

𝑟1′ − 𝑎11

′ 𝑢 = 𝑎12′ 𝑣, (4.17)

atau

𝑣 =𝑟1′ − 𝑎11

′ 𝑢

𝑎12′ , (4.18)

dan persamaan (4.16b) dapat ditulis

𝑟2′ − 𝑎22

′ 𝑣 = 𝑎21′ 𝑢, (4.19)

atau


53

𝑢 =𝑟2′ − 𝑎22

′ 𝑣

𝑎21′ . (4.20)

Jika persamaan (4.18) dan (4.20) masing-masing disubstitusikan ke persamaan

(4.16b) dan (4.16a) akan diperoleh

𝑢∗ =𝑎12𝑟2 − 𝑎22𝑟1𝑎12𝑎21 − 𝑎11𝑎22

,

dan

𝑣∗ =𝑎21𝑟1 − 𝑎11𝑟2𝑎11𝑎22 − 𝑎21𝑎22

,

dengan demikian titik setimbang atau titik ekuilibrium dari persamaan (4.15) adalah

(𝑢∗, 𝑣∗).

Misalkan 𝑤 dan 𝑣 didefinisikan sebagai berikut

𝑢 = 𝑢∗ +𝑤, 𝑣 = 𝑣∗ + 𝑧 ,

maka akan dilakukan transformasi linear sebagai berikut

𝑢 = 𝑢∗ +𝑤, (4.21)

jika ruas kanan dan kiri pada persamaan (4.21) diturunkan terhadap 𝑡, maka

dihasilkan

𝑑𝑢

𝑑𝑡=𝑑𝑢∗

𝑑𝑡+𝑑𝑤

𝑑𝑡, (4.22)

atau

𝑑𝑢

𝑑𝑡−𝑑𝑢∗

𝑑𝑡=𝑑𝑤

𝑑𝑡. (4.23)

Setelah itu akan disubstitusikan persamaan (4.15a) ke persamaan (4.22) akan

menghasilkan

(𝑟1′ − 𝑎11

′ 𝑢 − 𝑎12′ 𝑣) −

𝑑𝑢∗

𝑑𝑡=𝑑𝑤

𝑑𝑡, (4.24)

atau

(𝑟1′ − 𝑎11

′ (𝑢∗ + 𝑤) − 𝑎12′ (𝑣∗ + 𝑧)) − (𝑟1

′ − 𝑎11′ 𝑢∗ − 𝑎12

′ 𝑣∗) =𝑑𝑤

𝑑𝑡, (4.25)

atau

𝑟1′ − 𝑎11

′ 𝑢∗ − 𝑎11′ 𝑤 − 𝑎12

′ 𝑣∗ − 𝑎12′ 𝑧−𝑟1

′ + 𝑎11′ 𝑢∗ + 𝑎12

′ 𝑣∗ =𝑑𝑤

𝑑𝑡, (4.26)

atau


54

−𝑎11′ 𝑤 − 𝑎12

′ 𝑧 =𝑑𝑤

𝑑𝑡. (4.27)

Selanjutnya, yaitu

𝑣 = 𝑣∗ + 𝑧, (4.28)

jika ruas kanan dan kiri pada persamaan (4.28) diturunkan terhadap 𝑡, maka

dihasilkan

𝑑𝑣

𝑑𝑡=𝑑𝑣∗

𝑑𝑡+𝑑𝑧

𝑑𝑡, (4.29)

atau

𝑑𝑣

𝑑𝑡−𝑑𝑣∗

𝑑𝑡=𝑑𝑧

𝑑𝑡, (4.30)

Setelah itu akan disubstitusikan persamaan (4.15b) ke persamaan (4.30) akan

menghasilkan

(𝑟2′ − 𝑎21

′ 𝑢 − 𝑎22′ 𝑣) −

𝑑𝑣∗

𝑑𝑡=𝑑𝑧

𝑑𝑡, (4.31)

atau

(𝑟2′ − 𝑎21

′ (𝑢∗ + 𝑤) − 𝑎22′ (𝑣∗ + 𝑧)) − (𝑟2

′ − 𝑎21′ 𝑢∗ − 𝑎22

′ 𝑣∗) =𝑑𝑧

𝑑𝑡, (4.32)

atau

𝑟2′ − 𝑎21

′ 𝑢∗ − 𝑎21′ 𝑤 − 𝑎22

′ 𝑣∗ − 𝑎22′ 𝑧 − 𝑟2

′ + 𝑎21′ 𝑢∗ + 𝑎22

′ 𝑣∗ =𝑑𝑧

𝑑𝑡, (4.33)

atau

−𝑎21′ 𝑤 − 𝑎22

′ 𝑧 =𝑑𝑧

𝑑𝑡. (4.34)

Berdasarkan hasil transformasi linear di atas persamaan (4.15a) dan (4.15b)

menjadi

𝑑𝑤

𝑑𝑡= −𝑎11

′ 𝑤 − 𝑎12′ 𝑧 (4.35a)

𝑑𝑧

𝑑𝑡= −𝑎21

′ 𝑤 − 𝑎22′ 𝑧. (4.35b)

Dapat dilihat bahwa persamaan (4.35) merupakan sistem persamaan diferensial

linear orde satu.


55

Pada bab III telah dibahas bagaimana memperoleh penyelesaian dari suatu

sistem persamaan diferensial linear orde satu secara analitik. Penyelesaian umum

untuk sistem persamaan diferensial linear orde satu yang ditunjukkan oleh

persamaan (3.41) adalah

𝑢(𝑡) = −(𝛽

𝜆1−𝜆2) [(

𝜆2−𝛼

𝛽) 𝑢0 −𝑤0] 𝑒

𝜆1(𝑡−𝑡0) + (𝛽

𝜆1−𝜆2) [(

𝜆2−𝛼

𝛽)𝑢0 −

𝑤0] 𝑒𝜆2(𝑡−𝑡𝑜),

(4.36a)

𝑤(𝑡) = −(𝜆1−𝛼

𝜆1−𝜆2) [(

𝜆2−𝛼

𝛽) 𝑢0 −𝑤0] 𝑒

𝜆1(𝑡−𝑡0) + (𝜆2−𝛼

𝜆1−𝜆2) [(

𝜆1−𝛼

𝛽)𝑢0 −

𝑤0] 𝑒𝜆2(𝑡−𝑡0),

(3.36b)

dimana

2𝜆1,2 = (𝛼 + 𝛿) ± √(𝛼 + 𝛿)2 − 4(𝛼𝛿 − 𝛽𝛾) .

Berdasarkan penyelesaian umum untuk sistem persamaan diferensial linear orde

satu pada persamaan (3.46) di atas maka penyelesaian untuk persamaan (4.35)

diperoleh dengan cara mensubstitusi nilai 𝛽 dan 𝛼 masing-masing −𝑎12′ dan −𝑎11

′

adalah

𝑤(𝑡) = −(−𝑎12

′

𝜆1−𝜆2) [(

𝜆2−(−𝑎11′ )

−𝑎12′ )𝑤0 − 𝑧0] 𝑒

𝜆1(𝑡−𝑡0) +

(−𝑎12

′

𝜆1−𝜆2) [(

𝜆2−(−𝑎11′ )

−𝑎12′ )𝑤0 − 𝑧0] 𝑒

𝜆2(𝑡−𝑡𝑜),

(4.36a)

𝑧(𝑡) = −(𝜆1−(−𝑎11

′ )

𝜆1−𝜆2) [(

𝜆2−(−𝑎11′ )

−𝑎12′ )𝑤0 − 𝑧0] 𝑒

𝜆1(𝑡−𝑡0) +

(𝜆2−(−𝑎11

′ )

𝜆1−𝜆2) [(

𝜆1−(−𝑎11′ )

−𝑎12′ )𝑤0 − 𝑧0] 𝑒

𝜆2(𝑡−𝑡0),

(4.36b)

atau

𝑤(𝑡) = −(𝑎12′

𝜆1−𝜆2) [(

𝜆2+𝑎11′

𝑎12′ )𝑤0 + 𝑧0] 𝑒

𝜆1(𝑡−𝑡0) +

(𝑎12′

𝜆1−𝜆2) [(

𝜆2+𝑎11′

𝑎12′ )𝑤0 + 𝑧0] 𝑒

𝜆2(𝑡−𝑡𝑜),

(4.36a)


56

𝑧(𝑡) = (𝜆1+𝑎11

′

𝜆1−𝜆2) [(

𝜆2+𝑎11′

𝑎12′ )𝑤0 + 𝑧0] 𝑒

𝜆1(𝑡−𝑡0) −

(𝜆2+𝑎11

′

𝜆1−𝜆2) [(

𝜆1+𝑎11′

𝑎12′ )𝑤0 + 𝑧0] 𝑒

𝜆2(𝑡−𝑡0).

(4.36b)

Berdasarkan pada bab III kita peroleh persamaan beda eksak untuk persamaan

(4.36) adalah

𝑤𝑘+1 −𝜓𝑤𝑘𝜙

= −𝑎11′ 𝑢𝑘 − 𝑎12

′ 𝑧𝑘, (4.37a)

𝑧𝑘+1 − 𝜓𝑧𝑘𝜙

= −𝑎21′ 𝑤𝑘 − 𝑎22

′ 𝑧𝑘, (4.37b)

dimana

𝜓 ≡ 𝜓(𝜆1, 𝜆2, Δ𝑡) =𝜆1𝑒

𝜆2Δ𝑡 − 𝜆2𝑒𝜆1Δ𝑡

𝜆1 − 𝜆2,

𝜙 ≡ 𝜙(𝜆1, 𝜆2, Δ𝑡) =𝑒𝜆1Δ𝑡 − 𝑒𝜆2Δ𝑡

𝜆1 − 𝜆2,

𝑡𝑘 = Δ𝑡𝑘; 𝑤𝑘 = 𝑤(𝑡𝑘), 𝑧𝑘 = 𝑧(𝑡𝑘); 𝑘 = 0, 1, 2,…

dan

2𝜆1,2 = −(𝑎11′ + 𝑎22

′ ) ± √(𝑎11′ + 𝑎22

′ )2 − 4(𝑎11′ 𝑎22

′ − 𝑎12′ 𝑎21

′ ) .

Jika kita mendefinisikan

𝜓1 = 𝜓 − 1

maka persamaan (4.37) menjadi sebagai berikut

𝑤𝑘+1 − (𝜓1 + 1)𝑤𝑘𝜙

= −𝑎11′ 𝑤𝑘 − 𝑎12

′ 𝑧𝑘 , (4.38a)

𝑧𝑘+1 − (𝜓1 + 1)𝑧𝑘𝜙

= −𝑎21′ 𝑤𝑘 − 𝑎22

′ 𝑧𝑘 , (4.38b)

atau

𝑤𝑘+1 −𝑤𝑘𝜙

=𝜓1𝑤𝑘𝜙

− 𝑎11′ 𝑤𝑘 − 𝑎12

′ 𝑧𝑘 , (4.39a)

𝑧𝑘+1 − 𝑧𝑘𝜙

=𝜓1𝑧𝑘𝜙

− 𝑎21′ 𝑤𝑘 − 𝑎22

′ 𝑧𝑘, (4.39b)


57

atau

𝑤𝑘+1 −𝑤𝑘𝜙

= (𝜓1𝜙− 𝑎11

′ )𝑤𝑘 − 𝑎12′ 𝑧𝑘 ,

(4.40a)

𝑧𝑘+1 − 𝑧𝑘𝜙

= −𝑎21′ 𝑤𝑘 + (

𝜓1𝜙− 𝑎22

′ ) 𝑧𝑘. (4.40b)

Selanjutnya jika kita mengganti (𝑤, 𝑧) dengan (𝑢, 𝑣) maka persamaan (4.40) akan

menjadi

(𝑢𝑘+1 − 𝑢∗) − (𝑢𝑘 − 𝑢

∗)

𝜙= (

𝜓1𝜙− 𝑎11

′ ) (𝑢𝑘 − 𝑢∗) − 𝑎12

′ (𝑣𝑘 − 𝑣∗), (4.41a)

(𝑣𝑘+1 − 𝑣∗) − (𝑣𝑘 − 𝑣

∗)

𝜙= −𝑎21

′ (𝑢𝑘 − 𝑣∗) + (

𝜓1𝜙− 𝑎22

′ ) (𝑣𝑘 − 𝑣∗), (4.41b)

atau

𝑢𝑘+1 − 𝑢𝑘

𝜙= (

𝜓1𝜙− 𝑎11

′ ) 𝑢𝑘 − (𝜓1𝜙− 𝑎11

′ ) 𝑢∗ − 𝑎12′ 𝑣𝑘 + 𝑎12

′ 𝑣∗, (4.42a)

𝑣𝑘+1 − 𝑣𝑘𝜙

= −𝑎21′ 𝑢𝑘 + 𝑎21

′ 𝑣∗ + (𝜓1𝜙− 𝑎22

′ ) 𝑣𝑘 − (𝜓1𝜙− 𝑎22

′ ) 𝑣∗, (4.42b)

atau

𝑢𝑘+1 − 𝑢𝑘

𝜙= (

𝜓1𝜙− 𝑎11

′ ) 𝑢𝑘 − 𝑎12′ 𝑣𝑘 + [− (

𝜓1𝜙− 𝑎11

′ ) 𝑢∗ + 𝑎12′ 𝑣∗], (4.43a)

𝑣𝑘+1 − 𝑣𝑘𝜙

= −𝑎21′ 𝑢𝑘 + (

𝜓1𝜙− 𝑎22

′ ) 𝑣𝑘 + [𝑎21′ 𝑢∗ − (

𝜓1𝜙− 𝑎22

′ ) 𝑣∗] (4.43b)

atau

𝑢𝑘+1 = 𝜙 (𝜓1𝜙− 𝑎11

′ ) 𝑢𝑘 −𝜙𝑎12′ 𝑣𝑘 +𝜙 [−(

𝜓1𝜙− 𝑎11

′ ) 𝑢∗ + 𝑎12′ 𝑣∗] + 𝑢𝑘 ,

(4.44a)

𝑣𝑘+1 = −𝜙𝑎21′ 𝑢𝑘 + 𝜙(

𝜓1𝜙− 𝑎22

′ ) 𝑣𝑘 + 𝜙 [𝑎21′ 𝑢∗ − (

𝜓1𝜙− 𝑎22

′ ) 𝑣∗] + 𝑣𝑘 (4.44b)

Persamaan (4.44) di atas merupakan skema beda hingga eksak untuk persamaan

(4.35).

Untuk membangun diskretisasi yang tepat dan sesuai untuk pesamaan (4.1) kita

mengalikan kedua ruas masing-masing pada persamaan (4.43a) dan (4.43b) dengan

(𝑢𝑘+1 + 𝑢𝑘) dan (𝑣𝑘+1 + 𝑣𝑘)


58

(𝑢𝑘+1 − 𝑢𝑘)(𝑢𝑘+1 + 𝑢𝑘)

𝜙= (

𝜓1

𝜙− 𝑎11

′ ) 𝑢𝑘(𝑢𝑘+1 + 𝑢𝑘) − 𝑎12′ 𝑣𝑘(𝑢𝑘+1 +

𝑢𝑘) + [− (𝜓1

𝜙− 𝑎11

′ ) 𝑢∗ + 𝑎12′ 𝑣∗] (𝑢𝑘+1 + 𝑢𝑘)

(4.45a)

(𝑣𝑘+1 − 𝑣𝑘)(𝑣𝑘+1 + 𝑣𝑘)

𝜙= −𝑎21

′ 𝑢𝑘(𝑣𝑘+1 + 𝑣𝑘) + (𝜓1

𝜙− 𝑎22

′ ) 𝑣𝑘(𝑣𝑘+1 +

𝑣𝑘) + [𝑎21′ 𝑢∗ − (

𝜓1

𝜙− 𝑎22

′ ) 𝑣∗] (𝑣𝑘+1 + 𝑣𝑘)

(4.45b)

Setelah memperoleh persamaan (4.45) selanjutnya substitusikan bentuk 𝑢𝑘 =

√𝑥𝑘, 𝑣𝑘 = √𝑦𝑘 , 𝑢𝑘+1 = √𝑥𝑘+1 ke persamaan (4.45) sehingga memperoleh hasil

𝑥𝑘+1 − 𝑥𝑘

𝜙=

[(𝑎11 −2𝜓1𝜙)𝑢∗ + 𝑎12𝑣

∗] (√𝑥𝑘+1 + √𝑥𝑘

2)

+(2𝜓1𝜙

− 𝑎11)√𝑥𝑘 (√𝑥𝑘+1 + √𝑥𝑘

2)

−𝑎12√𝑦𝑘 (√𝑥𝑘+1 + √𝑥𝑘

2 ),

(4.46a)


𝜙=

[𝑎21𝑢∗ + (𝑎22 −

2𝜓1𝜙)𝑣∗] (

√𝑦𝑘+1 +√𝑦𝑘

2)

−𝑎21√𝑥𝑘 (√𝑦𝑘+1 +√𝑦𝑘

2)

+(2𝜓1𝜙

− 𝑎22)√𝑦𝑘 (√𝑦𝑘+1 +√𝑦𝑘

2),

(4.46b)

persamaan (4.46) di atas adalah skema beda hingga eksak untuk persamaan (4.1).

B. Simulasi Numeris

Pada bagian ini akan dibahas simulasi numeris dari persamaan diferensial

Lotka-Volterra termodifikasi yang ditunjukkan pada persamaan (4.1) dengan

menggunakan metode beda hingga eksak dan penyelesaian tersebut akan

dibandingkan dengan metode Euler dan metode Heun dengan menggunakan

program MATLAB.

Terlebih dahulu akan dicari penyelesaian untuk persamaan (4.1) dengan

menggunakan metode beda hingga eksak. Skema yang dihasilkan dari metode beda

hingga eksak telah diperoleh pada subbab sebelumnya yang ditunjukkan pada


59

persamaan (4.46). Akan dipilih 𝑟1 = 0,5; 𝑟2 = 0,2; 𝑎11 = 2; 𝑎12 = 3; 𝑎21 =

1; 𝑎22 = 6; Δ𝑡 = 0.1 yang akan mengakibatkan 𝑢∗ = 0.2667; 𝑣∗ = −0.011; 𝜆1 =

−0.6771; 𝜆2 = −3.3229; 𝜓1 = −0.0099; dan 𝜙 = 0.0821.

Nilai-nilai di atas disubstitusikan ke persamaan (4.46) akan diperoleh

𝑥𝑘+1 − 𝑥𝑘 = 0.02332(√𝑥𝑘+1 − √𝑥𝑘) − 0.0920√𝑥𝑘(√𝑥𝑘+1 −√𝑥𝑘)

− 0.1232(√𝑥𝑘+1 −√𝑥𝑘)√𝑦𝑘 , (4.47)

𝑦𝑘+1 − 𝑦𝑘 = 0.0081(√𝑦𝑘+1 −√𝑦𝑘) − 0.0411(√𝑦𝑘+1 −√𝑦𝑘)√𝑥𝑘

− 0.2562√𝑦𝑘(√𝑦𝑘+1 − √𝑦𝑘),

atau

𝑥𝑘+1 − (0.0232 − 0.0920√𝑥𝑘 − 0.1232√𝑦𝑘)√𝑥𝑘+1 − (0.0232√𝑥𝑘 +

(1 − 0.0920)𝑥𝑘 − 0.1232√𝑥𝑘√𝑦𝑘) = 0, (4.48)

𝑦𝑘+1 − (0.0081 − 0.0411√𝑥𝑘 − 0.2562√𝑦𝑘)√𝑦𝑘+1 − (0.0081√𝑦𝑘 −

0.0411√𝑦𝑘√𝑥𝑘 + (1 − 0.2562)𝑦𝑘) = 0.

Misalnya diketahui nilai awalnya adalah 𝑥(0) = 1 dan 𝑦(0) = 1. Akan dihitung

nilai 𝑡 = 0 sampai 𝑡 = 1 dengan Δ𝑡 = 0.1. Jika nilai awalnya disubstitusikan ke

persamaan (4.48) akan diperoleh persamaan sebagai berikut

𝑥1 + 0.1920√𝑥1 − 0.8080 = 0, (4.49)

𝑦1 + 0.2892√𝑦1 − 0.7108 = 0.

Untuk memperoleh nilai 𝑥1 dan 𝑦1 akan digunakan metode untuk mencari akar-akar

dari persamaan (4.49). Setelah diperoleh nilai 𝑥1 dan 𝑦1 akan disubstitusi lagi ke

persamaan (4.48) sehingga akan diperoleh persamaan sebagai berikut

𝑥2 + 0.1387√𝑥2 − 0.5408 = 0, (4.50)

𝑦2 + 0.2072√𝑦2 − 0.3579 = 0,

untuk memperoleh nilai 𝑥2 dan 𝑦2 akan digunakan metode biseksi untuk mencari

akar-akar dari dari persamaan (4.50). Proses ini akan berlanjut sampai dengan

memperoleh nilai 𝑥10 dan 𝑦10. Hasil perhitungan dan grafik penyelesaian metode

beda hingga eksak untuk persamaan (4.48) dapat dilihat pada Tabel 4.1.1 dan

Gambar 4.1.1.


60

Tabel 4.1.1 Hasil perhitungan dari persamaan (4.48) dengan ∆𝑡 = 0.1

𝒕 𝒙 𝒚

0.1 0.6529 0.5052

0.2 0.4480 0.2536

0.3 0.3236 0.1261

0.4 0.2460 0.0619

0.5 0.1962 0.0299

0.6 0.1633 0.0140

0.7 0.1410 0.0063

0.8 0.1256 0.0027

0.9 0.1146 0.0010

1.0 0.1067 0.0003


(4.1) dengan 𝛥𝑡 = 0.1.

Pada Gambar 4.1.1 dapat lihat bahwa grafik penyelesaian menggunakan metode

beda hingga eksak turun dan untuk grafik 𝑦 turun mendekati nol yang menunjukkan


61

bahwa ketika 𝑡 semakin membesar laju pertumbuhan populasi 𝑦 semakin menurun

karena adanya kompetisi. Jika kita mengambil nilai Δ𝑡 = 0.01 maka akan diperoleh

Gambar 4.1.2.


(4.1) dengan 𝛥𝑡 = 0.01.

Pada Gambar 4.1.2 dapat dilihat bahwa grafik dari 𝑥 dan 𝑦 halus dan tidak ada

patahan seperti yang ditunjukkan pada Gambar 4.1.1. Selain itu dilihat pada

Gambar 4.1.3 yang menunjukkan bahwa ketika intervalnya 𝑡 diperbesar menjadi

[0,10] grafik penyelesaian beda hingga eksak untuk persamaan (4.1) semakin

mendaki nol.


62


(4.1) dengan 𝑡 = 0 sampai 𝑡 = 10, dan 𝛥𝑡 = 0.01.

Selanjutnya akan dicari penyelesaian untuk persamaan (4.1) dengan menggunakan

metode Euler. Penyelesaian untuk persamaan (4.1) dengan menggunakan metode

Euler adalah

𝑥𝑘+1 − 𝑥𝑘Δ𝑡

= 𝑟1√𝑥𝑘 − 𝑎11𝑥𝑘 − 𝑎12√𝑥𝑘√𝑦𝑘 , (4.51)


= 𝑟2√𝑦𝑘 − 𝑎21√𝑥𝑘√𝑦𝑘 − 𝑎22𝑦𝑘 ,

atau

𝑥𝑘+1 = Δ𝑡(𝑟1√𝑥𝑘 − 𝑎11𝑥𝑘 − 𝑎12√𝑥𝑘√𝑦𝑘) + 𝑥𝑘 , (4.52)

𝑦𝑘+1 = Δ𝑡(𝑟2√𝑦𝑘 − 𝑎21√𝑥𝑘√𝑦𝑘 − 𝑎22𝑦𝑘) + 𝑦𝑘 .


63

Persamaan (4.52) akan dihitung menggunakan MATLAB dengan 𝑟1 = 0,5; 𝑟2 =

0,2; 𝑎11 = 2; 𝑎12 = 3; 𝑎21 = 6; 𝑎22 = 1; Δ𝑡 = 0.1 dan 𝑥(0) = 1, 𝑦(0) = 1.


Euler dengan 𝛥𝑡 = 0.1.

Pada Gambar 4.1.4 dapat dilihat bahwa grafik 𝑥 dan 𝑦 terlihat serupa dengan

yang ditunjukkan pada Gambar 4.1.1. Dapat dilihat pada Gambar 4.1.4 bahwa

grafik 𝑥 dan grafik 𝑦 juga turun dan dapat dilihat bahwa grafik 𝑦 turun mendekati

nol. Hal ini juga ditunjukkan oleh hasil perhitungan pada Tabel 4.1.2.


64

Tabel 4.1.2 Hasil perhitungan dari persamaan (4.53) dengan ∆𝑡 = 0.1

𝒕 𝒙 𝒚

0.1 0.550000 0.320000

0.2 0.351224 0.097361

0.3 0.255135 0.026693

0.4 0.204606 0.005692

0.5 0.176063 0.000373

0.6 0.159399 −0.00028

0.7 0.147482 −0.00011

0.8 0.135942 −0.00024

0.9 0.126679 −0.00017

1.0 0.118390 −0.00018

Jika kita mengambil Δ𝑡 = 0.01 dan interval 𝑡 diambil dari 𝑡 = 0 sampai 𝑡 = 10

maka akan diperoleh Gambar 4.1.5 dimana grafik 𝑥 dan 𝑦 terlihat lebih halus dan

tidak patah seperti pada Gambar 4.1.4. dan dapat dilihat juga bahwa ketika Δ𝑡nya

semakin kecil grafik penyelesaiannya sudah tidak mencapai negatif.

Gambar 4.1.5 Grafik penyelesaian metode Euler untuk persamaan (4.1) dengan

𝑡 = 0 sampai 𝑡 = 10 dan 𝛥𝑡 = 0.01.


65

Pada perhitungan di MATLAB menunjukkan bahwa nilai 𝑥 konstan di titik 0.060

sedangkan nilai 𝑦 konstan di titik −0.003. Selain itu jika kita perhatikan pada grafik

penyelesaian yang ditunjukkan pada Gambar 4.1.5 bahwa jumlah populasi 𝑥 dan 𝑦

semakin menurun.

Selanjutnya akan dicari penyelesaian untuk persamaan (4.1) dengan menggunakan

metode Heun. Penyelesain untuk persamaan (4.1) dengan menggunakan metode

Heun adalah

�̃�𝑘+1 = 𝑥𝑘 + Δ𝑡 𝑓(𝑡𝑘, 𝑥𝑘),

(4.53) 𝑥𝑘+1 = 𝑥𝑘 +

Δ𝑡

2[𝑓(𝑡𝑘, 𝑥𝑘) + 𝑓(𝑡𝑘+1, �̃�𝑘+1)],

�̃�𝑘+1 = 𝑦𝑘 + Δ𝑡 𝑓(𝑡𝑘 , 𝑦𝑘),


2[𝑓(𝑡𝑘, 𝑦𝑘) + 𝑓(𝑡𝑘+1, �̃�𝑘+1)],

atau

𝑥𝑘+1 = 𝑥𝑘 +Δ𝑡

2[(𝑟1√𝑥𝑘 − 𝑎11𝑥𝑘 − 𝑎12√𝑥𝑘√𝑦𝑘) + 𝑥𝑘 + Δ𝑡(𝑟1√�̃�𝑘+1 −

𝑎11�̃�𝑘+1 − 𝑎12√�̃�𝑘+1√𝑦𝑘) ] , (4.54)


2[(𝑟2√𝑦𝑘 − 𝑎21√𝑥𝑘√𝑦𝑘 − 𝑎22𝑦𝑘) + 𝑦𝑘 +

Δ𝑡(𝑟2√�̃�𝑘+1 − 𝑎21√𝑥𝑘√�̃�𝑘+1 − 𝑎22�̃�𝑘+1)].

Persamaan (4.54) akan dihitung menggunakan MATLAB dengan 𝑟1 = 0,5; 𝑟2 =

0,2; 𝑎11 = 2; 𝑎12 = 3; 𝑎21 = 6; 𝑎22 = 1; Δ𝑡 = 0.1 dan 𝑥(0) = 1, 𝑦(0) = 1.

Gambar 4.1.6 adalah gambar yang menunjukkan grafik penyelesaian untuk 𝑥 dan

𝑦 dengan menggunakan metode Heun.


66


Heun dengan 𝛥𝑡 = 0.1.

Pada Gambar 4.1.6 terlihat bahwa grafik penyelesaian dari metode Heun terlihat

mirip dengan grafik penyelesaian dari metode Euler dimana terlihat bahwa grafik 𝑥

dan rafik 𝑦 turun mendekati nol. Hal ini juga ditunjukkan oleh hasil perhitungan

pada Tabel 4.1.3.

Jika kita mengambil nilai selisih 𝑡 semakin kecil yaitu Δ𝑡 = 0.01 dan interval 𝑡 juga

diperbesar dari 𝑡 = 0 sampi 𝑡 = 10 maka akan diperoleh grafik penyelesaian yang

ditunjukkan pada Gambar 4.1.7.


67

Tabel 4.1.3. Hasil perhitungan dari persamaan (4.54) dengan ∆𝑡 = 0.1

𝒕 𝒙 𝒚

0.1 0.627298 0.541373

0.2 0.408605 0.292972

0.3 0.277944 0.158457

0.4 0.198315 0.085629

0.5 0.148772 0.046211

0.6 0.117318 0.024886

0.7 0.096978 0.013359

0.8 0.083630 0.007136

0.9 0.074784 0.003784

1.0 0.068901 0.001984

Gambar 4.1.7 Grafik penyelesaian metode Heun untuk persamaan (4.1) dengan

𝑡 = 0 sampai 𝑡 = 10 dan 𝛥𝑡 = 0.01.


68

Gambar 4.1.6 dan 4.1.7 menunjukkan bahwa ketika jumlah populasi 𝑥 semakin

kecil populasi 𝑦 juga semakin kecil.

C. Pembahasan Hasil Simulasi

Pada subbab ini akan dibahas hasil simulasi dari penyelesaian numerik dari sistem

persamaan diferensial Lotka-Volterra termodifikasi menggunakan metode beda

hingga eksak.

Berdasarkan hasil simulasi pada subbab sebelumnya diperoleh bahwa karena

adanya error numeris, hasil dari metode beda hingga eksak memiliki hasil yang

berbeda dari hasil yang ditunjukkan dari metode Euler dan metode Heun, meskipun

grafik penyelesaian dari ketiga metode tersebut semakin turun menuju nol untuk

grafik 𝑦. Hal ini terlihat dari grafik penyelesaian dari ketiga metode tersebut dimana

grafik penyelesaian dari metode beda hingga eksak tidak pernah mencapai negatif

untuk grafik 𝑥 maupun grafik 𝑦. Grafik dari metode beda hingga eksak ini

menunjukan bahwa ketika jumlah populasi 𝑥 menurun populasi 𝑦 juga ikut

menunurun.

Grafik penyelesaian dari metode Euler dan metode Heun menunjukkan

perilaku yang sama yaitu grafik penyelesaiannya turun menuju nol untuk grafik 𝑦.

Grafik penyelesaian dari kedua metode tersebut menunjukkan ketika jumlah

populasi 𝑥 menurun populasi 𝑦 juga menurun. Dengan demikian, secara umum,

ketiga metode yang disimulasikan memberikan perilaku penyelesaian numeris yang

konsisten.


69

BAB V

PENUTUP

Pada bab ini akan dibahas kesimpulan dari keseluruhan pembahasan dalam

skripsi ini dan saran yang diberikan kepada pembaca.

A. Kesimpulan

Pada kesimpulan ini penulis akan menjawab dua rumusan masalah yang telah

di buat. Kesimpulan penulis adalah sebagai berikut:

1. Pada pembahasan Bab III penulis telah menguraikan tentang metode beda

hingga eksak dan penulis telah mengkonstruksi skema beda hingga eksak untuk

tiga jenis persamaan diferensial biasa, yaitu persamaan diferensial biasa linear,

persamaan diferensial biasa nonlinear dan sistem persamaan diferensial biasa

nonlinear. Skema yang dikonstruksi dari persamaan diferensial biasa linear dan

nonlinear disimulasikan dengan menggunakan program MATLAB dan

dibandingkan dengan penyelesaian eksaknya dan beberapa metode numeris,

yaitu metode Euler, metode Heun dan metode beda hingga standar. Hasil

simulasi untuk ketiga persamaan diferensial tersebut menunjukkan bahwa

penyelesaian yang dihasilkan menggunakan metode beda hingga eksak lebih

mendekati penyelesaian eksaknya dengan nilai error absolut adalah nol.

2. Dalam Bab IV, persamaan diferensial Lotka-Volterra yang dibahas penulis

dalam skripsi ini adalah untuk kasus kompetisi antara dua populasi yaitu

populasi rusa dan populasi zebra. Penulis telah menguraikan skema beda

hingga eksak untuk persamaan diferensial Lotka-Voltera termodifikasi. Skema

beda hingga eksak ini juga disimulasikan menggunakan MATLAB. Masalah

yang sama juga diselesaikan menggunakan metode Euler dan metode Heun

sebagai pembanding. Hasil dari metode beda hingga eksak menunjukkan grafik

penyelesaian yang mirip dengan yang diberikan oleh metode Euler dan metode

Heun, namun memiliki hasil perhitungannya sedikit berbeda karena adanya

error numeris.


70

B. Saran

Pada skripsi ini penulis membahas bagaimana mengkonstruksi suatu skema

beda hingga eksak dan bagaimana menyelesaikan persamaan diferensial Lotka-

Volterra termodifikasi menggunakan metode beda hingga eksak. Berdasarkan hasil

kesimpulan di atas penulis menilai bahwa metode beda hingga eksak ini sangat baik

dan akurat untuk menyelesaikan suatu persamaan diferensial. Penulis berharap para

pembaca dapat menggunakan metode lain yang lebih akurat untuk dibandingkan

dengan metode beda hingga eksak dan penulis juga berharap para pembaca dapat

melakukan penelitian yang lebih lanjut tentang metode beda hingga eksak untuk

kasus lainnya.


71

DAFTAR PUSTAKA

Bober, W. Tsai, C.-T. and Masory, O. (2009). Numerical and Analytical Methods

with MATLAB. Boca Raton: CRC Press.

Budhi, W. S. (1995). Aljabar linear. Jakarta: Gramedia.

Gupta, R. S. (2015). Elements of Numerical Analysis. New York: Cambridge

University Press.

Gorvett, R. (2014). Predator-Prey Dynamics: A Model for Competition,

Regulation, and Strategic Planning.

https://regulation.pstat.ucsb.edu/sites/ARC/ARC2014/presentation_slides_pdf

/A8-Wed/2-Gorvett%20Jul%2016%202014.pdf [28 Februari 2018 (17:29)]

Haberman, R. (1998). Mathematical Model: Mechanical Vibrations, Population

Dynamics, and Traffic Flow. Philadelphia: SIAM.

Hunter, John K. (2014). An Introduction to Real Analysis.

https://www.math.ucdavis.edu/~hunter/intro_analysis_pdf/ch7.pdf [11 Juli

2019 (14:25)]

Nemytski, V. V and Stepanov, V. V. (1969). Qualitative Theory of Differential

Equations. Princeton: Princeton University Press.

Mathews, J. H. and Fink, K. D. (2004). Numerical Methods Using MATLAB Fourth

Edition. upper: Pearson.

Mickens, R. E. (1994). Nonstandard Finite Difference Models of Differential

Equations. Singapore: World Scientific.

Mickens, R. E. (2015). Difference Equations: Theory, Application, and Advanced

Topics Third Edition. Boca Raton: CRC Press.

Mickens, R. E. (2002). Nonstandard Finite Difference Schemes for Differential

Equations. Journal of Difference Equations and Applications. 8(9): 823-847.

Mickens, R. E. (2018). A Note on Exact Finite Difference Schemes for Modified

Lotka–Volterra Differential Equations. Journal of Difference Equations and

Applications. 24(6): 1016-1022.

Ross, S. L. (1980). Introduction to Ordinary Differential Equations Third Edition.

New York: John Wiley & Sons.


https://regulation.pstat.ucsb.edu/sites/ARC/ARC2014/presentation_slides_pdf/A8-Wed/2-Gorvett%20Jul%2016%202014.pdf

https://regulation.pstat.ucsb.edu/sites/ARC/ARC2014/presentation_slides_pdf/A8-Wed/2-Gorvett%20Jul%2016%202014.pdf

https://www.math.ucdavis.edu/~hunter/intro_analysis_pdf/ch7.pdf

72

Roeger, L.-I. W. (2008). Dynamically Consistent Discrete Lotka-Volterra

Competition Models Derived from Nonstandard Finite-Difference Schemes.

Discrete and Continuous Dynamical Systems Series B. 9(2): 415–429.

McCann, R. C. (1982). Introduction to Ordinary Differential Equations. New

York: Harcourt Brace Jovanovich.

Saperstone, S. H. (1998). Introduction to Ordinary Differential Equations. Pacific

Grove: Brooks/Cole Publishing Company.

Swokowski, E. W. (1980). Calculus with Analytic Geometry Second Edition.

Boston: Prindle, Weber & Schmidt.


73


73

LAMPIRAN PROGRAM

1. Program Bab III

%% PROGRAM UNTUK GRAFIK 3.4.1 DAN 3.4.2

clc

clear

close all

disp(' Hasil perhitungan')

disp('=================================================

======')

disp(' t Eksak Euler Heun Beda eksak

')

disp('=================================================

======')

delta_t=0.1;

t=0:delta_t:1;

n=length(t);

x(1)=1;%nilai awal

y(1)=1;%nilai awal

z(1)=1;%nilai awal

w(1)=1;%nilai awal

v=0;%t0

fprintf(' %d %f %f %f\n',v,x(1),y(1),z(1));

format long

for k=1:n-1

x(k+1)=exp(-t(k+1));% solusi eksak

y(k+1)=(1-delta_t)*y(k);% metode Euler

sisi=w(k)+delta_t*fungsi(t(k),w(k));

w(k+1)=w(k)+delta_t*((fungsi(t(k),w(k))+fungsi(t(k+1),s

isi))/2); %metode Heun

z(k+1)=exp(-delta_t)*z(k);% metode beda eksak

fprintf(' %d %f %f %f

%f\n',k,x(k+1),y(k+1),w(k+1),z(k+1));

end

plot(t,x,'--b*', t,y,'--go',t,w,'y', t,z,'--r^')

axis([0.486 0.502 0.585 0.615])

legend('Eksak','Euler','Heun','Beda Eksak')

xlabel('t')

ylabel('y(t)')


74

%% PROGRAM UNTUK GAMBAR 3.4.3 DAN 3.4.4

clc

clear

close all


disp('============================================')

disp(' t Eksak Standar Beda eksak ')

disp('============================================')

delta_t=0.1;

t=0:delta_t:1;

n=length(t);

x(1)=1;

x(2)=1.0948;

y(1)=1;

y(2)=1.0948;

z(1)=1;

z(2)=1.0948;

v=0;

c=1;


fprintf(' %d %f %f %f\n',c,x(2),y(2),z(2));

for k=2:n-1

x(k+1)=cos(t(k+1))+sin(t(k+1));% solusi eksak

y(k+1)=(2-(delta_t)^2)*y(k)-y(k-1);% metode standar

z(k+1)=(2-4*(sin(delta_t/2))^2)*z(k)-z(k-1);%

metode nonstandar

fprintf(' %d %f %f

%f\n',k,x(k+1),y(k+1),z(k+1));

end

plot(t,x,'b--', t,y,'r-', t,z,'g-')

axis([0.59 0.95 1.389 1.415])

legend('Eksak','Beda standar','Beda eksak')

xlabel('t')

ylabel('y')

%% PROGRAM UNTUK GAMBAR 3.4.5 DAN 3.4.6

clc

clear

close all


75


disp('=================================================

')

disp(' t Eksak Euler Heun Nonstandar

')

disp('=================================================

')

delta_t=0.1;

t=0:delta_t:1;

n=length(t);

x(1)=1;%nilai awal

y(1)=1;%nilai awal

z(1)=1;%nilai awal

w(1)=1;%nilai awal

v=0;%t0

a=1;%nilai koefisien

b=2;%nilai koefisien


format long

for k=1:n

format long

x(k)=(a*x(1))/((a-x(1)*b)*exp(-a*t(k))+b*x(1));%

solusi eksak

end

for k=1:n-1

format long

y(k+1)=y(k)+delta_t*contoh(t(k),y(k));% metode

Euler

sisi=w(k)+delta_t*contoh(t(k),w(k));

w(k+1)=w(k)+(delta_t/2)*(contoh(t(k),w(k)) +

contoh(t(k+1),sisi)); %metode Heun

z(k+1)=(a*z(k))/((a-b*z(k))*exp(-

a*delta_t)+b*z(k));% metode nonstandar

fprintf(' %d %f %f %f

%f\n',k,x(k+1),y(k+1),w(k+1),z(k+1));

end

% plot(t,x,'-b', t,y,'-*g',t,w,'-^k', t,z,'-or')

plot(t,x,'--b*', t,y,'--go',t,w,'y', t,z,'--r^')

%gambar 3.4.5 tanpa axix dengan t=0:0.1:1

%gambar 3.4.6 dengan axis dan t=0:0.1:10

axis([0.35 0.65 0.68 0.76])

legend('Eksak','Euler','Heun','Beda eksak')

xlabel('t')

ylabel('y(t)')


76

2. Program Bab IV

%% POGRAM UNTUK MECARI NILAI KOEFISIEN X DAN Y

%nilai konstanta parameter

r1=0.5;

r2=0.2;

a11=2;

a12=3;

a21=1;

a22=6;

%nilai fixed point

U_bin=(a12*r2-a22*r1)/(a12*a21-a11*a22);

V_bin=(a21*r1-a11*r2)/(a21*a12-a22*a11);

% Nilai Lamda

lam1=(-((a11+a22)/2)+(sqrt((((a11+a22)/2)^2)-

4*(((a11*a22)/4)-((a12*a21)/4)))))*(1/2);

lam2=(-((a11+a22)/2)-(sqrt((((a11+a22)/2)^2)-

4*(((a11*a22)/4)-((a12*a21)/4)))))*(1/2);

psi1=((lam1*exp(lam2*delta_t)-

lam2*exp(lam1*delta_t))/(lam1-lam2))-1;

phi=((exp(lam1*delta_t)-exp(lam2*delta_t))/(lam1-

lam2));

%untuk x

kof1x=(phi/2)*((a11-(2*psi1/phi))*U_bin+a12*V_bin);

kof2x=(phi/2)*((2*psi1/phi)-a11);

kof3x=(phi/2)*a12;

%untuk y

kof1y=(phi/2)*((a22-(2*psi1/phi))*V_bin+a21*U_bin);

kof2y=(phi/2)*a21;

kof3y=(phi/2)*((2*psi1/phi)-a22);

%% pROGRAM METODE BISEKSI

function k=biseksi(f,a,b,m) % a,b=batas

% m=iterasi

% f=fungsi

for i=1:m

x=(a+b)/2;

if f(a)*f(x)<0

a=a;

b=x;

else

a=x;


77

b=b;

end

if b-a<10^-12 %toleransi

break

end

if abs(i-m)<10^-6

f(m)

stop

end

end

k=x;

%% PROGRAM BEDA HINGGA EKSAK UNTUK DELTA_T 0.1

clc

clear

close all

delta_t=0.1;

t=0:delta_t:1;

x=1;

y=1;

n=length(t); % length t

a=-0.01; % batas biseksi

b=1; % batas biseksi

m=100000; % iterasi biseksi

for i=1:n-1

fc=inline('(0.0232-0.0920*sqrt(x)-

0.1232*sqrt(y))','x','y');

C=fc(x(i),y(i));

fd=inline('(0.0232*sqrt(x)+(1-0.0920)*x-

0.1232*sqrt(x)*sqrt(y))','x','y');

D=fd(x(i),y(i));

syms xk1

f=xk1-C*sqrt(xk1)-D;

f=inline(f);

ge=inline('(0.0081-0.0411*sqrt(x)-

0.2562*sqrt(y))','x','y');

E=ge(x(i),y(i));

gf=inline('(0.0081*sqrt(y)-

0.0411*sqrt(y)*sqrt(x)+(1-0.2562)*y)','x','y');

F=gf(x(i),y(i));

syms yk1

g=yk1-E*sqrt(yk1)-F;

g=inline(g);


78

x=[x ; biseksi(f,a,b,m)];

y=[y ; biseksi(g,a,b,m)];

t(n)

end

plot(t,x , t,y)

axis([0 1 -0.1 1])

legend('x(Rusa)','y(Zebra)')

xlabel('t')

ylabel('y(t) dan x(t)')

%% PROGRAM BEDA HINGGA EKSAK UNTUK DELTA_T 0.01

x=1;

y=1;

n=length(t); % length t

a=-0.001;%0; % batas biseksi

b=1; % batas biseksi

m=100000; % iterasi biseksi

for i=1:n-1

fc=inline('(0.0025-0.0099*sqrt(x)-

0.0147*sqrt(y))','x','y');

C=fc(x(i),y(i));

fd=inline('(0.0025*sqrt(x)+(1-0.0099)*x-

0.0147*sqrt(x)*sqrt(y))','x','y');

D=fd(x(i),y(i));

syms xk1

f=xk1-C*sqrt(xk1)-D;

f=inline(f);

ge=inline('(9.7899e-04- 0.0049*sqrt(x)-

0.0295*sqrt(y))','x','y');

E=ge(x(i),y(i));

gf=inline('(9.7899e-04*sqrt(y)-

0.0049*sqrt(y)*sqrt(x)+(1-0.0295)*y)','x','y');

F=gf(x(i),y(i));

syms yk1

g=yk1-E*sqrt(yk1)-F;

g=inline(g);

x=[x ; biseksi(f,a,b,m)];

y=[y ; biseksi(g,a,b,m)];

end

plot(t,x , t,y)


xlabel('t')


79


%% PROGRAM METODE HEUN UNTUK BAB IV

clc

clear

close all


disp('=========================')

disp(' t x y ')

disp('==========================')

delta_t=0.01;

t=0:delta_t:10;

delta=delta_t/2;

n=length(t);

x(1)=1;%nilai awal

y(1)=1;%nilai awal

r1=0.5;

r2=0.2;

a11=2;

a12=3;

a21=1;

a22=6;

%fprintf(' %d %f %f\n',x(1),y(1));

format long

for k=1:n-1

sisi=x(k)+delta_t*(r1*sqrt(x(k))-a11*x(k)-

a12*sqrt(x(k))*sqrt(y(k)));

x(k+1)=x(k)+delta*(((r1*sqrt(x(k))-a11*x(k)-

a12*sqrt(x(k))*sqrt(y(k)))+((r1*sqrt(sisi)-a11*sisi-

a12*sqrt(sisi)*sqrt(y(k))))));

sisi2=y(k)+delta_t*(r2*sqrt(y(k))-a22*y(k)-

a21*sqrt(x(k))*sqrt(y(k)));

y(k+1)=y(k)+delta*(((r2*sqrt(y(k))-a22*y(k)-

a21*sqrt(x(k))*sqrt(y(k)))+(r2*sqrt(sisi2)-a22*sisi2-

a21*sqrt(sisi2)*sqrt(x(k)))));

fprintf(' %d %f %f\n',k,x(k+1),y(k+1));

end

plot(t,x, t,y)


xlabel('t')



80

%% PROGRAM METODE EULER UNTUK BAB IV

clc

clear

close all


disp('===========================')

disp(' t x y ')

disp('============================')

delta_t=0.01;

t=0:delta_t:10;

n=length(t);

x(1)=1;%nilai awal

y(1)=1;%nilai awal

r1=0.5;

r2=0.2;

a11=2;

a12=3;

a21=1;

a22=6;

%fprintf(' %d %f %f\n',x(1),y(1));

format long

for k=1:n-1

x(k+1)=delta_t*(r1*sqrt(x(k))-a11*x(k)-

a12*sqrt(x(k))*sqrt(y(k)))+x(k);% euler

y(k+1)=delta_t*(r2*sqrt(y(k))-a22*y(k)-

a21*sqrt(x(k))*sqrt(y(k)))+y(k);% metode Euler

fprintf(' %d %f %f\n',k,x(k+1),y(k+1));

end

plot(t,x, t,y)


xlabel('t')



PEMODELAN MASALAH EKOLOGI DENGAN ...masalah kompetisi antara dua populasi yang dimodelkan secara...

Documents

Transcript of PEMODELAN MASALAH EKOLOGI DENGAN ...masalah kompetisi antara dua populasi yang dimodelkan secara...