1

Pemikiran dan Aturan Fuzzy Pada bab ini dibahas tentang definisi dari variable linguistic dan nilai linguistic dan menjelaskan bagaimana menggunakannya dalam aturan fuzzy, yang mana adalah sebuah peralatan yang efisien untuk pemodelan kuantitatif dari kata atau kalimat dalam sebuah bahasa alami atau cerdas. Aturan fuzzy dan pemikiran fuzzy adalah tulang punggung dari system inferensi fuzzy, yang mana adalah peralatan pemodelan yang sangat penting yang berdasar pada teori fuzzy. Aturan dan penjelasan fuzzy tersebut telah berhasil diterapkan pada area yang luas, seperti pada control otomatik, system pakar, pengenalan pola, prediksi time series dan klasifikasi data. 1. Aturan fuzzy if – then. 1.1. Variabel linguistik.

Sebuah variabel linguistik dikarakterisasi oleh sebuah quintuple (x, T(x), X, G, M) yang mana : x adalah nama variabel. T(x) adalah term set dari x; yaitu himpunan dari nilai linguistik atau linguistic term-nya. X adalah universe pembicaraan. G adalah sebuah aturan sintaktis yang mana meng-generate term dalam T(x). M adalah sebuah aturan semantik yang berhubungan dengan tiap nilai linguistik A yang berarti M(A), dimana M(A) melambangkan sebuah himpunan fuzzy dalam X. Sebuah contoh yang membantu untuk menjelaskan masalah ini. Jika usia diartikan sebagai variabel linguistik, maka istilah himpunan T(usia) akan menjadi :

( )

=

K

K

K

K

,______,,__,___,_,_,

,,__,_,,__,_,_,

tuasangattidakdanmudasangattidaktuasangattidaktuasedikitataulebihtuasangattuatidaktua

bayasetengahtidakbayasetengahmudasangattidakmudasangatmudatidakmuda

usiaT

dimana tiap istilah dalam T(usia) dikarakterisasi oleh suatu himpunan fuzzy dari semesta pembicaraan X = [0, 100]. Biasanya digunakan “usia muda” untuk menandakan perjanjian dari nilai linguistik “muda” pada variabel linguistik usia. Dengan kontras, ketika usia diartikan sebagai variabel numerik, digunakan ekspresi “usia = 20” sebagai ganti memasukkan nilai numerik pada variabel usia. Aturan sintaktik yang mengacu pada cara nilai-nilai linguistik dihasilkan dalam hal himpunan T(usia). Aturan semantik mendefinisikan fungsi keanggotaan dari tiap nilai linguistik dari himpunan. Gambar 1. menunjukkan beberapa fungsi keanggotaan tipikal.

Gambar 1. MF tipikal dari himpunan T(usia)

Dari contoh sebelumnya, himpunan terdiri dari istilah-istilah utama (muda, setengah baya, tua) dimodifikasi dengan negasi dan/atau batas (sangat, lebih atau sedikit, benar-benar, sangat ... sekali, dan seterusnya), dan dihubungkan dengan penghubung seperti and, or, either dan neither. Dalam akibatnya, penghubung, batas dan negasi dapat digunakan sebagi operator yang mengubah arti dari operatornya yang telah ditentukan.

2

Diketahui A adalah nilai linguistik yang dikarakterisasi oleh suatu himpunan fuzzy dengan fungsi keanggotaan ( )⋅Aµ . Maka Ak diartikan sebagai versi yang dimodifikasi dari nilai linguistik asli diekspresikan sebagai :

( )[ ]∫=X

kA

k xxA /µ 1

Sehingga operasi konsentrasi didefinisikan sebagai : ( ) 2AACON = 2

sementara pembesaran diekspresikan dengan : ( ) 5.0AADIL = 3

secara konvensional, CON(A) dan DIL(A) menjadi hasil dari penerapan batas “sangat” dan “lebih atau sedikit” pada istilah linguistik A. Walaupun demikian, definisi konsisten yang lain untuk batas-batas linguistik ini dimungkinkan dan dapat dibenarkan untuk berbagai aplikasi. Berikut ini definisi berbagai operator :

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]∫

∫

∫

∨=∪=

∧=∩=

−=¬=

XBA

XBA

XA

xxxBABORA

xxxBABANDA

xxAANOT

/

/

/1

µµ

µµ

µ

4

dimana A dan B adalah dua nilai linguistik yang didefinisikan oleh ( )⋅Aµ dan ( )⋅Bµ . Contoh membangun MF untuk istilah linguistik komposit. Diketahui istilah linguistik “muda” dan “tua” didefinisikan oleh fungsi keanggotaan sebagai berikut :

( ) ( ) 4

201

10,2,20,

+

==x

xbellxmudaµ 5

( ) ( ) 6

301001

1100,3,30,

−

+

==x

xbellxttuaµ 6

Dimana x adalah usia dari orang yang diketahui, dengan interval [0, 100] sebagai semesta pembahasan. Maka dapat membangun MF untuk istilah linguistik komposit berikut : Lebih atau sedikit tua = ( ) 5.0tuatuaDIL =

xxX

/

301001

16∫

−

+

=

Tidak muda dan tidak tua = tuamuda ¬∩¬

∫

−

+

−∧

+

−=X

xxx

/

301001

11

201

11 64

3

Muda tetapi tidak terlalu muda = 2mudamuda ¬∩

∫

+

−∧

+

−=X

xxx

/

201

11

201

11

2

44

Sangat tua sekali = ( )( )( ) ( )( )( )222tuatuaCONCONCON =

∫

−

+

=X

xx

/

301001

1

8

6

Gambar 2. Nilai linguistik.

Di sini diasumsikan bahwa batas “terlalu” sama dengan “sangat” dan arti “sangat … sekali” sama dengan “sangat sangat sangat”. Gambar 2. menunjukkan MF untuk istilah linguistik utama muda dan tua, dan juga menunjukkan MF untuk istilah linguistik komposit “lebih atau sedikit tua”, “tidak muda dan tidak tua”, “muda tetapi tidak terlalu muda” dan “sangat tua sekali”. Operasi intensifikasi kontras pada nilai linguistik didefinisikan oleh :

( ) ( )( ) ( ) 15.02

5.0022

2

≤≤¬¬≤≤

=xA

xAAINT

A

A

µµ

7

Peng-intensif kontras (contrast intensifier) INT meningkatkan nilai dari µA(x) di atas 0.5 dan mengecilkan yang di bawah nilai ini. Demikian intensifikasi kontras berpengaruh mengurangi ke-fuzzy-an dari nilai linguistik A. Invers operator dari peng-intensif kontras adalah pen-deminish kontras DIM. Sebagai contoh, diketahui himpunan A didefinisikan oleh :

4

( ) ( )9,3,1,xsegitigaxA =µ Gambar 3. menunjukkan hasil dari menerapkan peng-intensif kontras INT pada A beberapa kali.

Gambar 3. Pengaruh contrast intensifier.

1.2. Aturan fuzzy if – then.

Aturan fuzzy if – then mengasumsikan bentuk : Jika x adalah A maka y adalah B. 8 Dimana A dan B adalah nilai linguistik yang didefinisikan oleh himpunan fuzzy pada semesta pembahasan X dan Y. Seringkali “x adalah A” disebut antecedent atau premise, sementara “y adalah B” disebut sebagai consequence atau conclusion.

2. Pemikiran Fuzzy. Pemikiran fuzzy, juga dikenal sebagai pemikiran pendekatan, adalah sebuah prosedur inferensi yang mengarahkan kesimpulan dari satu himpunan aturan fuzzy if – then dan fakta yang diketahui. Sebelum memperkenalkan pemikiran fuzzy, akan dibahas dulu aturan komposisional dari inferensi yang memainkan peranan kunci dalam pemikiran fuzzy. Dasar dari aturan inferensi dalam logika tradisional adalah modus ponens, menurut kebenaran yang dapat diinferensikan proposisi B dari kebenaran A dan implikasi A → B. Konsepnya adalah sebagai berikut : Premise 1 (kenyataan) : x adalah A, Premise 2 (aturan) : jika x adalah A maka y adalah B, Consequence (kesimpulan) : y adalah B Walaupun dalam banyak pemikiran manusia, modus ponnens digunakan dalam suatu pendekatan. Premise 1 (kenyataan) : x adalah A’, Premise 2 (aturan) : jika x adalah A maka y adalah B, Consequence (kesimpulan) : y adalah B’ Dimana A’ mendekati A dan B’ mendekati B. Ketika A, B, A’ dan B’ adalah himpunan fuzzy dari universe yang sesuai, prosedur inferensi tadi disebut pemikiran pendekatan atau pemikiran fuzzy, yang juga disebut generalized modus ponnens (GMP). Diketahui A, A’, dan B adalah himpunan fuzzy dari X, X dan Y. Angap bahwa implikasi fuzzy diekspresikan sebagai relasi fuzzy R pada X × Y. Maka himpunan B dipengaruhi oleh “x adalah A” dan aturan fuzzy “jika x dalah A maka y adalah B didefinsikan oleh :

( ) ( ) ( )[ ]yxxy RAxB ,,minmax '' µµµ =

( ) ( )[ ]yxx RAx ,' µµ ∧∨= 9 atau sama dengan

( )BAARAB →== oo ''' 10

5

Aturan tunggal dengan Antecedent tunggal. Masalah ini dapat diformulasikan dengan :

( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]yyxxy BAAxB µµµµ ∧∧∨= ,''

( )yw Bµ∧=

Gambar 4. Interpretasi GMP menggunakn implikasi fuzzy mamdani

dan komposisi max – min.

dengan kata lain, pertama kali cari derajat w sebagai maximum dari ( ) ( )yxx AA ,' µµ ∧ ; maka MF yang menghasilkan B’ sama dengan MF dari B yang terpotong oleh w, ditunjukkan sebagai daerah yang berbayang-bayang dalam bagian consequent. Secara intuitif, w merepresentasikan sebuah ukuran derajat kepercayaan untuk bagian antecedent dari sebuah aturan; ukuran ini endapatkan penyebaran dengan aturan if – then dan menghasilkan derajat kepercayaan atau MF untuk bagain consequent yang pasti tidak lebih besar dari w. Aturan tunggal dengan Antecedent ganda. Suatu aturan fuzzy if – then dengan dua antecedent biasanya dituliskan sebagai “ jika x adalah A dan y adalah B maka z adalah C”. Masalah yang berhubungan dengan GMP diekspresikan sebagai : Premise 1 (kenyataan) : x adalah A’ dan y adalah B’, Premise 2 (aturan) : jika x adalah A dan y adalah B maka z adalah C, Consequence (kesimpulan) : z adalah C’

Gambar 5. Pendekatan pemikiran untuk antecedent ganda.

Aturan fuzzy dalam premise 2 dapat disederhanakan “A × B → C”. Secara intuitif, aturan fuzzy dapat ditransformasikan ke dalam relasi fuzzy Rm berdasar pada fungsi implikasi mamdani sebagai berikut :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )zyxxxxCBACBARZYX

CBAm ,,/,, ∫××

∧∧=××= µµµ

Mengahsilkan C’ diekspresikan sebagai : ( ) ( )CBABAC →××= o'''

dengan demikian

6

( ) ( ) ( )zwwz CC µµ ∧∧= 21' 11 dimana w1 dan w2 adalam maxima dari MF A ∩ A’ dan B ∩ B’. Pada umumnya w1 melambangkan derajat kompatibilitas antara A dan A’, begitu juga dengan w2. setelah bagian antecedent dari aturan fuzzy dibangun dengan hubungan “and”, maka 21 ww ∧ disebut firing strength atau derajat pemenuhan aturan fuzzy, yang merepresentasikan derajat pada bagian antecedent dari aturan yang telah ditentukan. Aturan ganda dengan Antecedent ganda. Penerjemahan dari aturan ganda biasanya diambil sebagai union dari relasi fuzzy yang berhubungan dengan aturan fuzzy. Dengan demikian untuk masalah GMP ditulis sebagai Premise 1 (kenyataan) : x adalah A’ dan y adalah B’, Premise 2 (aturan 1) : jika x adalah A1 dan y adalah B1 maka z adalah C1, Premise 3 (aturan 2) : jika x adalah A2 dan y adalah B2 maka z adalah C2, Consequence (kesimpulan) : z adalah C’

Gambar 6. Pemikiran fuzzy untuk aturan ganda dengan antecedent ganda.

Untuk mem-verifikasi prosedur inferensi, diketahui 1111 CBAR →×= dan

2222 CBAR →×= . Setelah komposisi operator min – max ◦ adalah distributif melalui operator U berikut ini

( ) ( )21''' RRBAC ∪×= o

( )[ ] ( )[ ]

21

21

''''''

CCRBARBA

∪=×∪×= oo

dimana C’1 dan C’2 diinferensi himpunan fuzzy untuk aturan 1 dan 2.