Pembahasan SELEKSI 2.pdf

8/18/2019 Pembahasan SELEKSI 2.pdf

1/15

PEMBAHASAN

LATIHAN SETARA

OLIMPIADE SAINS KABUPATEN

MATEMATIKA

PAKET 2

OLEH:

GARRY ARIEL

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

UNIVERSITAS GADJAH MADA


2/15

1

1.

Jika adalah banyaknya faktor positif dari dengan bilangan aslidan , maka banyaknya nilai yang memenuhi adalah ...JAWABAN : 11

Karena adalah banyaknya faktor positif dari , maka kita peroleh: Mengingat dan , kita dapatkan Sehingga banyaknya bilangan asli yang memenuhi adalah 11.

2.

Dua buah tali busur AB dan CD berpotongan didalam lingkaran pada titik

P sehingga PC = 3 cm dan PD = 7 cm. Dua buah garis dan , berturut-turut menyinggung lingkaran dititik A dan B. Kedua garis tersebutberpotongan dititik E. Jika AE = 8 cm dan AEB = 30o , maka panjang EPadalah ...

JAWABAN : √ Pertama, kita gambarkan dahulu sketsanya seperti berikut:

Dari sini, kita tau bahwa panjang AE = BE = 8 cm dan EBA = EAB.EBA = AEB

Misalkan bahwa AP = dan PB = , maka sesuai sifat dari tali busur akankita peroleh:

AP . PB = CP . PD


3/15

2

Sekarang, kita akan mencari panjang AB dengan aturan Sinus :

(√ √ )

√ √ √ √

Misalkan EP = , maka kita dapat menghitung nilai dengan mengambilsegitiga PBE dan PAE sebagai berikut:

Dengan menjumlahkan persamaan 1 dan persamaan 2, diperoleh:

√ √

√ √ √ √

√ √ √

√ √

√ √

√

√

√

√ √ √ √

√

√

√

√ √

√ √

Persamaan 1

Persamaan 2


4/15

3

√

√

√ Jadi panjang EP adalah √ cm.

3. Jika dan , maka banyaknyabilangan bulat sehingga adalah ...JAWABAN : 0

Karena adalah suatu bilangan bulat, maka kita dapatkan bahwa nilai dan juga bilangan bulat. Sekarang kita pecah menjadi dua kasus.

Untuk dan

Dengan mengambil nilai dan , jelas bahwa persamaan akan terpenuhi. Dari sini, kita peroleh juga bahwa yang menyebabkan: Dari persamaan tersebut, jika kita mengambil suatu bilangan ganjil,akan berakibat ruas kiri bernilai genap sementara ruas kanan bernilai

ganjil. Sebaliknya, jika kita mengambil suatu genap, akan berakibatruas kiri bernilai ganjil sementara ruas kanan bernilai genap. Ini

berarti bahwa tidak ada satupun bilangan bulat yang memenuhi.

Untuk dan

Karena dan akan menghasilkan suatubilangan irasional, maka kita tidak akan mendapatkan suatu dan bilangan bulat yang memenuhi. Hal ini bertentangan dengan

pernyataan awal yang mengatakan bahwa dan adalah suatubilangan bulat. Dari sini dapat kita simpulkan, bahwa tidak ada

satupun bilangan bulat

yang memenuhi.

.˙. Tidak ada satupun bilangan bulat yang memenuhi kondisi


5/15

4

4. Sisa pembagian dari oleh 100 adalah ...JAWABAN : 96

5.

Andi akan memasukkan 87 buah apel kedalam 15 keranjang. Masing-

masing keranjang dapat menampung maksimal 8 buah apel. Jumlah

minimum banyaknya keranjang yang menampung sedikitnya 5 buah apel

adalah ...

JAWABAN : 7

Untuk memudahkan pengerjaan, kita misalkan adalah jumlahkeranjang yang menampung sedikitnya 5 buah apel. Agar minimum,terlebih dahulu kita masukkan masing-masing keranjang dengan 4 buah

apel. Sehingga, 60 buah apel sudah ada dikeranjang, dan menyisakan 27

buah apel yang akan dimasukkan kedalam 15 keranjang, dengan

keadaan tiap keranjang sekarang hanya mampu menampung 4 buah

apel. Dari sini kita tau, jika kita memasukkan setidaknya satu saja buah

apel kedalam sebuah keranjang, nilai bertambah. Sehingga untukmeminimalkan nilai , kita harus memaksimalkan jumlah apel yangdimasukkan kedalam tiap keranjang. ⌈⌉ Jadi, jumlah minimum banyaknya keranjang yang menampung

sedikitnya 5 buah apel yaitu 7 keranjang.


6/15

5

6. Misalkan ,, dan , nilai dari adalah ...JAWABAN : 1

Sehingga:

7.

Jika √ √ dan nilai maksimum, maka bernilai ...JAWABAN : 3439

Terlebih dahulu kita faktorkan 14! menjadi:

Sehingga √ √ √ Dari sini kita tau bahwa √ √ . Ini berarti bahwa bilangan terbesar dengan suatu bilangan asli yang habis membagi adalah .Ini berakibat nilai maksimal yang memenuhi adalah 7.Karena maka:√

.√ √

Kita peroleh dan . Sehingga .


7/15

6

8.

Dua buah lingkaran dan berturut-turut berpusat pada titik P dan Q.Lingkaran berada didalam lingkaran sehingga lingkaran dan saling bersinggungan. Perbandingan luas lingkaran : luas lingkaran yaitu 9 : 16. Jika dibuat sebuah lingkaran

dengan garis diameter PQ,

perbandingan luas lingkaran : luas lingkaran adalah ...JAWABAN : (1 : 1024)

Kita buat dahulu sketsanya:

Berakibat

Diperoleh PQ = 4 – 3 = 1

Sehingga, perbandingan luas lingkaran : luas lingkaran adalah:

9.

Jika dengan dan real positif, nilai maksimum dari yaitu ...JAWABAN : √

Dengan menggunakan ketaksamaan GM – HM, diperoleh:

√

Misalkan kedua lingkaran dan salingbersinggungan dititik R. Maka kita dapatkan

QR adalah jari-jari lingkaran dan PRadalah jari-jari lingkaran . Sehingga:PQ = PR - QR


8/15

7

√

√

√

Sehingga diperoleh nilai maksimal dari

adalah √

10. ∑ ...JAWABAN : 0

Untuk interval kita peroleh: +

Sehingga:

_________________________________________________________ +


9/15

8

11.

Dari 9 siswa perwakilan suatu sekolah untuk cerdas cermat matematika,

akan dibentuk menjadi 3 tim yang masing-masing beranggotakan 3

orang. Banyak cara membagi tim tersebut adalah ...

JAWABAN : 280

Untuk tim yang pertama, bisa dibentuk dengan:

caraSekarang, tersisa 6 siswa yang akan dimasukkan dalam 2 tim. Sehingga

untuk membentuk tim kedua, dapat dilakukan dengan:

caraUntuk 3 siswa yang terakhir, secara otomatis akan membentuk tim yang

ketiga.

Dengan perhitungan ini, setiap tim yang terbentuk akan terhitung

sebanyak 3! = 6 kali. Sehingga, banyaknya cara membentuk ketiga tim:

cara.

12. Jika menyatakan suatu bilangan prima, banyaknya bilangan bulatpositif sehingga merupakan suatu bilangan bulat negatif adalah ...JAWABAN : 0

Agar merupakan suatu bilangan bulat negatif, maka

haruslah merupakan suatu bilangan bulat yang lebih besar dari 2.

Diperoleh:

Karena

merupakan suatu bilangan bulat, maka . Karena7 dan merupakan bilangan prima, maka akan sama dengansalah satu faktor dari , yaitu atau .Misalkan kita mengambil sebagai faktor-faktor negatif dari , makaterbentuk persamaan:

Dari sini kita dapatkan bahwa nilai merupakan suatu bilangan negatif.Sehingga tidak ada satupun nilai positif yang memenuhi.


10/15

9

Sekarang, kita akan pecah menjadi 4 kasus untuk faktor-faktor positif

dari . Untuk

Terlihat bahwa untuk setiap bilangan prima , berakibat nilai menjadi negatif. Sehingga tidak ada satupun nilai yang memenuhi.

Untuk

Agar positif, hanya ada satu kemungkinan yaitu yangberakibat . Ini berarti yang kontradiksi dengan

.

Sehingga, tidak ada satupun nilai

yang memenuhi kondisi ini.

Untuk Terlihat bahwa untuk setiap bilangan prima , berakibat nilai menjadi negatif. Sehingga tidak ada satupun nilai yang memenuhi.

Untuk Karena sementara

, maka tidak ada satupun nilai

positif yang memenuhi.

Tidak ada satupun nilai yang memenuhi.

13.

Banyaknya bilangan bulat dari 1 sampai 2014 yang tidak habis dibagi 7

atau 11 adalah ...

JAWABAN : 1570

Banyak bilangan bulat dari 1 sampai 2014 ada sebanyak 2014 bilangan.

Banyak bilangan bulat yang habis dibagi 7 yaitu ⌊

⌋ bilangan.Banyak bilangan bulat yang habis dibagi 11 yaitu ⌊ ⌋ bilangan.Banyak bilangan bulat yang habis dibagi 7 dan 11 yaitu ⌊ ⌋ bilangan.

Dengan menggunakan prinsip inklusi-eksklusi, diperoleh banyaknya

bilangan bulat dari 1 sampai 2014 yang tidak habis dibagi oleh 7 atau 11:

2014 – (287 + 183 – 26) = 2014 – 444 = 1570 bilangan.


11/15

10

14.

Panjang sisi-sisi segitiga ABC merupakan suatu bilangan prima dimana

panjang ketiga sisinya berbeda. Luas minimum yang mungkin untuk

segitiga ABC adalah ...

JAWABAN :

√ Agar luas segitiga ABC menjadi minimum, sisi-sisi dari segitiga ABC

haruslah minimum juga. Karena ketiga sisinya merupakan bilangan

prima yang berbeda, maka tiga bilangan prima terkecil yang mungkin

adalah 2,3, dan 5. Namun, panjang sisi-sisi ini tidak memenuhi syarat

ketaksamaan segitiga (Jumlah 2 sisi suatu segitiga harus lebih besar dari

sisi yang lainnya). Hal serupa juga terjadi jika kita mengambil panjang sisi

2,3,7 atau 2,5,7. Sehingga nilai terkecil yang memenuhi syarat adalah

3,5,7.

dengan:

√ satuan luas.

15. Diberikan suatu polinomial dengan . Hasil kali akar-akar dari adalah ...JAWABAN : Misalkan , maka 1 , 2 , 3 , 4 , dan 5 merupakan akar-akar dari . Denganmenggunakan rumus hasil kali akar-akar, kita peroleh:

Sehingga polinomial menjadi . Misalkan dan adalah akar-akar daripolinomial , maka:

16. Didefinisikan ⌈⌉ adalah bilangan bulat terkecil yang lebih besar atausama dengan . Jika dan berturut-turut adalah nilai terkecil danterbesar sehingga ⌈ ⌉ , maka bernilai ...


12/15

11

JAWABAN : 7

Dari definisi ⌈⌉, kita dapat simpulkan bahwa untuk sembarang bilangan real, solusi dari ⌈⌉ untuk suatu bilangan bulat adalah

. Ini berakibat solusi untuk

⌈

⌉ adalah

. Untuk menyelesaikan permasalahan ini, kitapecah jadi dua kasus sebagai berikut:

Untuk atau

Untuk Dengan menggunakan rumus ABC, diperoleh:

√

√

Sekarang, kita buat garis bilangan untuk kedua solusi diatas.

Dari garis bilangan tersebut terlihat bahwa nilai terkecil dan terbesaryang memenuhi berturut-turut

√ dan

√ . Sehingga:

√ √

17.

Banyak susunan yang dapat dibentuk oleh huruf-huruf MATEMATIKA

agar tidak muncul MATE dalam susunan tersebut adalah ...

JAWABAN : 148680

Banyak susunan total yang mungkin =

susunan.Untuk menghitung banyak susunan dimana muncul kata MATE dalam

susunan tersebut, kita dapat menganggap MATE sebagai satu huruf,


13/15

12

misalkan *. Sehingga banyaknya susunan yang mungkin sama dengan

menyusun huruf-huruf *MATIKA yaitu ada sebanyak susunan.

Banyak susunan sehingga tidak muncul kata MATE yaitu 151200 – 2520

= 148680 susunan.

18. merupakan salah satu garis berat segitiga ABC. Titik E berada padagaris AC sedemikian sehingga . Titik merupakanperpotongan antara garis dan . Jika panjang dan , panjang adalah ...JAWABAN :

Pertama, kita gambarkan dahulu sketsanya.

Dengan menggunakan dalil Stewart, kita peroleh:

Sekarang kita perhatikan bangun yang dibentuk oleh BOAC.

Dengan menggunakan dalil Menelaus, kita peroleh:


14/15

13

Karena , maka:

19. Banyaknya tripel bilangan bulat

yang memenuhi

adalah ...JAWABAN : Tak Hingga

Misalkan , , dan untuk sembarang bilanganbulat , maka: Dari bentuk ini, terlihat jelas bahwa persamaan terpenuhi untuk

sembarang bilangan bulat . Sehingga, tripel bilangan bulat yangmemenuhi ada sebanyak tak hingga.

20. Didefinisikan menyatakan bilangan terbesar diantara dan ,serta

menyatakan bilangan terkecil diantara

dan

. Jika

adalah 3 buah bilangan yang berbeda, maka:

( ) tidak mungkin bernilai ...

JAWABAN : Kita pecah jadi 6 kasus sebagai berikut:

Jika .

( )


15/15

14

Jika .( )

Jika .( )

Jika .( )

Jika .

( )

Jika .

( ) Terlihat bahwa nilai yang muncul untuk ( ) adalah atau saja. Ini berarti bahwa ( ) tidak mungkin bernilai

Pembahasan SELEKSI 2.pdf

Documents

Transcript of Pembahasan SELEKSI 2.pdf