8/20/2019 PDP Linier Nonhomogen Dengan Koefisien Konstan

1/2

PDP Linier Nonhomogen Dengan

Koefsien KonstanPDP dengan bentuk

F ( D X , D Y )z = ( AD X 2 +BD X DY +CD Y

2 )z = g(x,y) (4.12)

Akan mempunyai penyelesaian umum yang terdiri atas penyelesaian !m!gen dari

persamaan berikut ini "

#( D X , D Y )z = ( AD X 2 +BD X DY +CD Y

2 )z = $

dan ditamba dengan penyelesaian partikularnya. Penyelesaian !m!gen tersebut

merupakan #ungsi k!mplement untuk (4.12).

untuk mendapatkan penyelesaian partikularnya dilakukan dengan %ara sebagai

berikut. Pandangan PDP linier n!n !m!gen dengan k!e&sien k!nstan, se%ara umum

ditulis sebagai

#( D X , D Y )z = ( D X ' m1 DY )(Dx ' m2 DY )...( D X ' mn DY )z = F(x,y) (4. 1 )

perat!r identitas dide&nisikan dengan1

f ( Dx , Dy ) , dengan

# D¿

¿¿)

1

f ( Dx , Dy ) F( x,y ) = F( x,y ) *ntegral partikularnya ditulis sebaga

z=1

f ( Dx , Dy ) F( x,y ) atau

z=1

( Dy− m 1 Dy ) ( Dx− m2 Dy)…( Dx− mnDy ) F( +, ) (4.14)

-ntuk mendapatkan asil persamaan (4.14) diper!le dengan meng itung n

persamaan !rde satu yaitu "

U 1 =1

( Dx− mn Dy) F ( x , y) , U 2 =

1

( Dx− mn− 1 Dy )u

= - = U 1 =1

( Dx− m1 Dy )U n− 1 (4.1/)

Perlu di%atat ba 0a tiap tiap persamaan (4.1/) berbentuk"

P ' m = g (x, y) (4.13)

Dengan penyelesaian persamaan (4.13) seperti tela dipela ari sebelumnya yaitu

8/20/2019 PDP Linier Nonhomogen Dengan Koefisien Konstan

2/2

z = ∫ g ( x , a− mx )dx (4.15)kemudian asil integral dari (4.15) kembali diganti nilai a dengan y 6 mx se ingga

meng asilkan penyelesaian partikular. -ntuk memper elas al ini, per atikan %!nt!

berikut

%!nt! 2.1

%arila penyelesaian umum dari persamaan berikut

#( D X , D y , )z =( D X 2 D X , D y , 3= D y

2 )z = x6y

penyelesaian

pertama kita %ari penyelesaian !m!gen dari

D X 2 D X , D y , 3= D y

2 = $

ang mana persamaan ini memiliki persamaan karakteristik

m2 m 3 = (m )(m62) = $

7e ingga penyelesaian !m!gennya

zh = Ø 1 (y 6 x) 6 Ø 2 ( y ' 2x)

8emudian penyelesaian partikular dari

#( D X , D y , )z = =( D X 2 D X, D y , 3 D y

2 )z = x6y adala

z p =

Y D x− D ¿

¿f ¿1

¿

(x 6 y) =

D(¿¿ X 2 − D X , D y ,− 6 − D y

2 )1

¿

(x 6 y) atau

z p =1

f ( D X , D y)( D X ,3 D y) (x,y)

9isal u1 =

D

(¿¿ X ,3 D y)1

¿

(x,y), maka z p = u2 =

D

(¿¿ X ,2 D y)u11

¿7elan utnya itung u1 dari persamaan ( D x D y ) u1 = x 6 y = g (x 6 y)

Dalam al ini m = , se ingga integral partikularnya yang di%ari adala

u1 = ∫ ( x+ y) dx = ∫ ( x+a− 3 x) dx = ax 6 x2