PDB Orde 2

7/23/2019 PDB Orde 2

http://slidepdf.com/reader/full/pdb-orde-2 1/7

MATEMATIKA TEKNIK 1

BAB 2PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA LINIER

ORDE KEDUA

2.1.

PDB LINIER HOMOGEN ORDE KEDUA

Suatu PDB Orde Kedua disebut linier jika dapat ditulis dalam bentuk

(2.1)

Jika

maka persamaan ini disebut homogen, sedangkan jika

maka persamaan

ini disebut nonhomogen. Fungsi dan dalam persamaan 1.2 disebut koefisien.

Solusi dari PDB Orde Kedua didefinisikan sama seperti solusi dari PDB Orde Pertama pada bab

sebelumnya. Dalam hal ini, suatu fungsi

(2.2)

disebut sebagai solusi dari PDB Orde Kedua pada beberapa interval jika terdefinisikan dan

dapat diturunkan dua kali pada interval tersebut.

2.1.1.

Prinsip Superposisi

PDB Linier memiliki struktur solusi yang kaya. Untuk persamaan homogen, tulang punggung dari

struktur ini adalah prinsip superposisi atau prinsip linieritas, yang menyatakan bahwa kita dapat

memperoleh solusi-solusi yang lebih jauh dari yang sudah diberikan dengan menjumlahkan

solusi-solusi tersebut atau mengalikan solusi-solusi tersebut dengan suatu konstanta.

Contohnya, fungsi dan adalah solusi bagi persamaan

Dengan substitusi dan pendiferensialan, kita buktikan untuk fungsi :

Begitu juga untuk fungsi :

Selanjutnya, jika kita mengalikan dengan suatu konstanta, misalkan 4,7, dan dengan

konstanta yang lain, misalkan -2, kemudian menjumlahkan kedua hasil perkalian tersebut dan

menyatakannya sebagai satu solusi, menjadi :

Dengan substitusi dan pendiferensialan, maka :

7/23/2019 PDB Orde 2


PDB LINIER ORDE KEDUA

MATEMATIKA TEKNIK 2

UNIVERSITAS SAM RATULANGI

Jika dan , maka dari contoh ini kita mendapatkan suatu fungsi denganbentuk

(2.3)

dimana dan adalah konstanta sebarang. Persamaan ini disebut kombinasi linier dari dan

.

Teorema 1. Teorema Dasar untuk PDB Orde Kedua Homogen Linier

Solusi dari PDB Orde 2 linier homogen adalah kombinasi linier dari dua solusi pada interval I.

Dalam hal ini perkalian dengan konstanta dan penjumlahan dua solusi adalah juga solusi bagi

PDB Orde 2 linier homogen.

2.2.

PDB ORDE KEDUA LINIER HOMOGEN DENGAN KOEFISIEN KONSTAN

Suatu PDB Orde Kedua Linier Homogen :

Jika dan , dimana dan adalah suatu konstanta, maka akan menghasilkan

suatu PDB Orde Kedua Linier Homogen dengan Koefisien Konstan.

(2.4)

Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita lihat dulu penyelesaian untuk PDB Orde Pertama

dengan koefisien konstan

akan menghasilkan suatu fungsi eksponensial . Solusi ini memberikan ide bagi kita

untuk mencoba solusi bagi persamaan (2.4), dengan suatu fungsi

(2.5)

Substitusi persamaan (2.5) dan turunannya

dan

ke dalam persamaan (2.4), kita memperoleh

( )

Sehingga jika adalah solusi dari persamaan karakteristik,

(2.6)

Maka fungsi eksponensial (2.5) adalah solusi bagi PDB (2.4). Dari aljabar dasar kita tahu bahwa

akar-akar dari persamaan kuadrat

7/23/2019 PDB Orde 2



MATEMATIKA TEKNIK 3


√

√ (2.7)

Kemudian kita juga tahu dari aljabar bahwa persamaan kuadrat (2.6) dapat memiliki tiga jenis

akar, tergantung pada nilai diskriminan

, yang terdiri dari

Kasus I, dua akar riil jika

Kasus II, satu akar riil jika

Kasus III, dua akar kompleks konjugat jika

2.2.1.

Dua Akar Nyata dan

Dalam kasus ini, basis solusi dari PDB (2.4) adalah

dan

Maka solusi umum yang berhubungan dengan solusi ini adalah

(2.6)

CONTOH 2.1

Tentukan solusi umum dari

Penyelesaian

Persamaan karakteristik dari PDB ini adalah :

Sedangkan akar-akarnya adalah dan . Maka solusi umum dari

persamaan ini adalah

CONTOH 2.2

Tentukan solusi khusus dari , dimana dan

Penyelesaian


Akar-akar dari persamaan ini adalah

dan

Sehingga kita memperoleh solusi umumnya, yaitu

7/23/2019 PDB Orde 2



MATEMATIKA TEKNIK 4


2.2.2.

Akar Ganda

Jika diskriminan adalah nol, maka kita lihat secara langsung dari persamaan 2.7 bahwa

kita hanya memperoleh satu akar,

Karena itu kita hanya memiliki satu solusi,

Dalam hal ini kita membutuhkan sebagai basis solusi, dan kita bisa memperolehnya dengan

metode reduksi orde, yang menghasilkan

Maka sehubungan dengan kedua basis solusi tersebut, kita mendapatkan solusi umum untuk

PDB dengan kasus seperti ini, yaitu

(2.7)

Karena , maka dari solusi umum dan kondisi awal, kita

memperoleh :

Sehingga dari kedua persamaan ini kita memperoleh dan . Maka solusi

khusus bagi PDB ini adalah

CONTOH 2.3


Penyelesaian


Akar dari persamaan ini adalah , sehingga solusi umumnya adalah

7/23/2019 PDB Orde 2



MATEMATIKA TEKNIK 5


2.2.3.

Akar-akar Kompleks Konjugat (

) dan (

)

Kasus ini terjadi jika nilai diskriminan dari persamaan karakteristik PDB tersebut adalah

negatif. Sekalipun akar-akar persamaan karakteristiknya adalah bilangan kompleks, tetapi kita

dapat membuktikan bahwa basis solusi dari persamaan ini adalah riil, yaitu

dan

dimana . Sehingga solusi umum untuk kasus III ini adalah

CONTOH 2.4


, dimana

dan

Penyelesaian


Akar dari persamaan ini adalah , sehingga solusi umumnya adalah

Turunannya adalah

Dengan adanya kondisi awal, kita memperoleh

Maka dengan demikian, solusi khusus dari persamaan ini adalah

7/23/2019 PDB Orde 2



MATEMATIKA TEKNIK 6


CONTOH 2.5

Tentukan solusi umum dari , dimana dan

Penyelesaian


dengan

Sehingga akar-akar dari persamaan ini adalah

Maka solusi umum dari PDB ini adalah

Berdasarkan kondisi awal yang pertama

Substitusikan ini ke solusi umum, dan kita mendapatkan turunannya adalah

Berdasarkan kondisi awal yang kedua

Maka solusi khusus bagi PDB ini adalah

7/23/2019 PDB Orde 2



MATEMATIKA TEKNIK 7


1. Tentukanlah orde, fungsi yang dicari, dan variabel independen dari dari setiap persamaan

diferensial berikut ini.

a. d.

b. e. ̈ ̇

c. f.

SOAL LATIHAN 1.1

PDB Orde 2

Documents

Transcript of PDB Orde 2