1 | PD Legendre

Modul:

Mat. Rekayasa II

Oleh:

Aulia S. Aisjah

Seri:PD Legendre

2 | PD Legendre

1. BENTUK PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 2

Perhatikan pada persamaan tersebut, PD orde dua, dengan koefisien pada y’

dan y merupakan fungsi dari x.

Pertanyaannya adalah: apakah PD ini dikatakan linier ataukah linier?

Anda telah mempelajari beberapa bentuk PD, di pokok bahasan sebelumnya,

yaitu:

1. PD orde 1 linier homogen

2. PD orde 2 linier homogen

3. PD orde tinggi linier homogen

4. PD orde 1 nonlinier homogen

5. PD orde 2 nonlinier homogen

6. Dan yang lain

Serta terdapat PD yang dikatakan Non Homogen

Ingat bahwa PD yang Non Homogen apabila ruas kanan pada PD ≠ 0, ini

berarti secara riili, sebuah system mendapat “Resource” / sumber daya yang

menggerakkan system / menyebabkan terjadi proses untuk menghasilkan

keluaran akibat sumber daya tersebut.

Coba Anda perhatikan bentuk system mekanik dan elektrik berikut

ini,

3 | PD Legendre

Gambar 1 Sistem translasi mekanik.

PD dari system tersebut dinyatakan dalam bentuk berikut:

)(2

2

tfKxdt

dxB

dt

xdM

Dan contoh system elektrik, dalam bentuk gambar berikut:

Gambar 2 Rangkaian RLC domain waktu.

Persamaan yang berlaku untuk system elektrik tersebut adalah:

sc Vvdt

diLRi dan

dt

dvCi c

Coba Anda selesaikan kedua persamaan system mekanik dan elektrik di atas,

saat f(t) = 0 atau f(t) = kontanta, demikian juga saat Vs = 0 atau Vs = konstan sebesar

1 V.

Apa perbedaan dari dua penyelesaian tersebut?

4 | PD Legendre

PD dari system mekanis dan system elektrik, saat sumber daya ada / (input

ada), atau dalam bentuk PD dikatakan Non Homogen. PD tersebut mempunyai

bentuk:

Dengan p(x) dan q(x) = konstan.

PD tersebut dapat diselesaikan dengan deret, dengan menentukan bentuk

deret sebagai berikut:

Dan turunan y = y’ juga dalam bentuk deret , dinyatakan dalam bentuk berikut:

Demikian pula dalam mennentukan y”, merpakan turunan dari y’

Persamaan y, y’, dan y” disubstitusikan ke PD yang akan diseselaikan maka

akan diperoleh penyelesaian y dalam bentuk deret (dan telah dibahas di pokok

bahasan sebelumnya.

Apabila bentuk PD adalah sebagai berikut:

Perhatikan bahwa koefisien da y’ merupakan turunan dari koefisien pada y”,

maka dalam menyelesaikan PD tersebut, digunakan bentuk deret Bentuk

Dan turunan nya, yaitu y’ dan y” untuk mendapatkan penyelesaian y

5 | PD Legendre

Bila PD dinyatakan dalam bentuk berikut:

Dengan n = 1,2,3 dst, PD tersebut dinamakan PD Legendre

Dengan menggunakan deret pangkat y, y’ dan y” yang disubstituikan ke PD

Legendre, diperoleh:

Atau

Bila m-2 = s, maka

Apabila disusun kembali deret tersebut sesuai dengan pangkat x mulai yang

terendah (x0 , x1, x2 … xs, dst, dan koefisien pada setiap variable x akan bernilai

0. Perhatikan bahwa bentuk deret ini, di ruas kanan = 0, artinya yang ada di

ruas kanan :

0 x0 + 0 x1 + 0 x2 + ….+ 0 xs + …

Artinya bahwa:

Koefisien pada x0

Koefisien pada x1

6 | PD Legendre

Koefisien pada x2

Atau:

Persamaan tersebut dinamakan Persamaan rekurensi

Apabila Pers. Rekurensi, digunakan untuk s bernilai 0, 1 dst, akan diperoleh

Dan dikelompokkan untuk s genap dan ganjil seperti di atas.

Sehingga penyelesaian persamaan diferensial Legendre dinyatakan:

Dengan;

7 | PD Legendre

Perhatikan y1 dan y2,

terdapat koefisien

Saat n = 0, an = 1

Sebagai bentuk suku ke n sebagai fungsi s+2,

Untuk s = n-2

Bentuk pembilang dan penyebut di atas, dapat dinyatakan dalam bentuk

berikut,

Atau disederhanakan menjadi:

Kesamaannya, dengan menggantikan n baru = n-2, maka an-4,

8 | PD Legendre

Atau secara umum, dengan menggantikan factor 2, 4 dst menjadi perkalian

bilangan 2 x m, maka koefisien an-m adalah:

Sehingga bentuk penyelesaian PD Legendre,

Bergantung pada n, dan penyelesaiannya dinamakan polynomial Legendre (di

bawah ini),

Dengan M = n/2 bila n = bilangan bulat dan M = (n-1)/2 bila n ganjil

Atau dalam bentuk grafik

9 | PD Legendre

Gambar 3 Polinomial Legendre

Tugas 2: PD Legendre

1. Selesaikan PD berikut:

a. (1-x2)y”-2xy’ + 6 y = 0

b. -(1-x2)y”+2xy’ - 12 y = 0

2. Untuk mahasiswa:

P7 dan P5

Untuk Mahasiswi:

P6 dan P8

Dan gambarkan grafiknya

10 | PD Legendre

Tugas diupload paling lambat,

Senin, 21 April 2014 jam 09.00

Di share.its.ac.id