p 2_transformasi Beserta Sifat2ny

8/18/2019 p 2_transformasi Beserta Sifat2ny

1/34

TUGAS KELOMPOK

MATKUL GEOMETRI TRANSFORMASI

“Transformasi Beserta Sifat - Sifatnya”

osen Pen!a"ar #

Agus Tut Aryana, S.Pd

is$s$n o%e& #

I Ketut Edi Jaka Purnomo (2013.V.1.000!

I "ayan Karya "idyana (2013.V.1.0103!

#gakan Ketut Angga Jaya S. (2013.V.1.0111!

Aris $a%mudi (2013.V.1.011&!

'URUSAN PENIIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS PENIIKAN MATEMATIKA AN ILMUPENGETA(UAN ALAM

INSTITUT KEGURUAN AN ILMU PENIIKAN )IKIP* PGRI BALI

+,.


2/34

KATA PENGANTAR

Pu'i syukur ke%adirat Tu%an ang $a%a Esa, yang te)a% senantiasa me)im*a%kan ra%matdan %idaya%+#ya, se%ingga kita semua da)am keadaan se%at a)a-iat da)am men'a)ankan

akti-itas se%ari+%ari. Kami 'uga *an'atkan ke%adirat Tu%an ang $a%a Esa karena %anya

dengan keridoan+#ya, maka)a% ke)om*ok kami dengan 'udu) /Trans-ormasi eserta Si-at +

Si-atnya ini da*at terse)esaikan.

Kami menyadari etu) se*enu%nya a%a tan*a antuan dari eragai *i%ak, maka)a%

ke)om*ok kami ini tidak akan teru'ud dan masi% 'au% dari sem*urna. )e% karena itu

dengan sega)a kerenda%an %ati kami er%ara* kritik dan saran demi *eraikan+*eraikan )ei%)an'ut.

Ak%ir kata kami er%ara* agar tugas ke)om*ok kami da*at erman-aat agi semua *ema4a.

5en*asar, ktoer 2016

Tim Peny$s$n

1


3/34

AFTAR ISI

7a)aman

KATA PE#8A#TA9 ............................................................................................. i

5A:TA9 ISI ..........................................................................................................ii

A I PE#5A7;


4/34

BAB I

PENA(ULUAN

/ Latar Be%a0an!

Se*erti yang kita keta%ui, 8eometri Trans-ormasi ia)a% geometri Eu4)ides yang

*engka'iannya (*ema%asannya! menggunakan trans-ormasi. Pada maka)a% ini akan

dik%ususkan mema%as mengenai trans-ormasi eserta si-at+si-atnya dari geometri eu4)ides

yang meru*akan asi4 dari geometri trans-ormasi itu sendiri. Tidak se*erti *ema%asan

trans-ormasi geometri umumnya se*erti rotasi, geseran, di)atasi atau re-)eksi teta*i

*ema%asannya akan )ei% men'urus ke materi trans-ormasi di)i%at dari segi -ungsi. Ada*un

materinya mengenai trans-ormasi seagai -ungsi, si-at+si-at trans-ormasi, %asi) ka)i

trans-ormasi dan gru* trans-ormasi

.

/+ R$m$san Masa%a&

Ada*un *ermasa)a%an yang diangkat da)am maka)a% ini ada)a% seagai erikut

1. A*aka% trans-ormasi 'uga seagai -ungsi B

2. agaimanaka% si-at+si-at dari trans-ormasi seagai -ungsi B

3. agaimanaka% %asi) ka)i trans-ormasi seagai -ungsiB

&. agaimanaka% gru* dari trans-ormasi seagai -ungsi B

1


5/34

/1 T$"$an

Ada*un tu'uan dari kese)uru%an materi di da)am maka)a% ini ada)a%

1. $ema%ami konse* trans-ormasi 'uga seagai -ungsi.

2. $engeta%ui si-at+si-at dari trans-ormasi seagai -ungsi.3. $ema%ami %asi) ka)i trans-ormasi seagai -ungsi.

&. $ema%ami konse* gru* dari trans-ormasi seagai -ungsi.

/2 Manfaat

5i da)am kese)uru%an materi maka)a% ini, tentunya ada eera*a man-aat yang da*at

di*ero)e% yaitu

1. Seagai sumer i)mu *engeta%uan sekunder.

2. Seagai a%an *eme)a'aran untuk )ei% mema%ami dan menda)ami mengenai %a)+%a)

yang erkaitan dengan tu'uan yang ingin di4a*ai dari kese)uru%an materi da)am

maka)a% ini.

BAB II

2


6/34

PEMBA(ASAN

+/ Transformasi Se3a!ai F$n!si

+// F$n!si

:ungsi diseut 'uga *emetaan. :ungsi dari %im*unan 7 ke%im*unan K diseut 'uga

*emetaan dari %im*unan 7 ke%im*unan K. erkenaan dengan de-inisi trans-ormasi yang

meru*akan -ungsi i'ekti-, *er)u ter)ei% da%u)u ditegaskan tentang *engertian -ungsi, -ungsi

in'ekti- (satu+satu!, -ungsi sur'ekti- (*adaConto!. :ungsi dari %im*unan 7 ke%im*unan K ia)a%

*erkaanan antara anggota+anggota %im*unan 7 dan seagian atau se)uru% anggota dari

%im*unan K sedemikian se%ingga, setia* anggota dari %im*unan 7 mem*unyai te*at satu

(tidak )ei% dari satu dan tidak kurang dari satu! kaan yang meru*akan anggota dari

%im*unan K.

efinisi # suatu -ungsi - dari %im*unan A keda)am (into! %im*unan , ada)a% suatu

*engaanan yang memasangkan setia* anggota A dengan te*at satu anggota . 5engan notasi

matematika da*at ditu)iskan f : A⟶B meru*akan -ungsi 'ika a , b di A , a=b maka

f (a)=f (b) .

Jika *ada *erkaanan itu anggota yang ereda dari %im*unan 7 mem*unyai kaan

yang ereda *u)a di %im*unan K, maka -ungsi itu diseut -ungsi satu+satu, atau -ungsi yang

in'ekti-, atau -ungsi satu+satu, atau -ungsi into.

efinisi # :ungsi f : A⟶B diseut -ungsi in'ekti- (satu+satu!, 'ika untuk searang a , b

di A dengan f ( a )= f ( B ) maka a D

Jika *ada *erkaanan itu setia* anggota dari %im*unan K men'adi kaan dari anggota

%im*unan 7, maka -ungsi itu diseut -ungsi yang sur'ekti-, atau -ungsi onto.

efinisi #:ungsi f : A⟶B diseut -ungsi sur'ekti- (*adaConto!, 'ika untuk setia* b di

B terda*at a di A sedemikian se%ingga f (a)=b .

3


7/34

Jika *erkaanan itu seka)igus into dan onto, atau seka)igu sin'ekti- dan sur'ekti-, maka

-ungsi atau *erkaanan itu diseut kores*ondensi satu+satu dari 7 ke K, atau kores*ondensi

satu+satu antara 7 dan K.

efinisi# :ungsi f : A⟶B diseut -ungsi i'ekti- 'ika - meru*akan -ungsi in'ekti- dan

sur'ekti-. Seringka)i f : A⟶B -ungsi i'ekti- maka dikatakan terda*at kores*ondensi

satu+satu antara A dengan .

Jika - ada)a% -ungsi dari V ke V yang mengaitkan setia* ∈ V dengan y ∈ V maka

ditu)is y D -(! , dinamakan *ra*eta dari y o)e% -, dan y dinamakan *eta dari o)e% -.

5aera% asa) -ungsi terseut ada)a% V dan daera% ni)ainya 'uga V. :ungsi yang demikian

dinamakan -ungsi *ada -.+//+ Transformasi

Suatu trans-ormasi *ada suatu idang V ada)a% suatu -ungsi yang i'ekti- dengan daera%

asa)nya V dan daera% ni)ainya V 'uga. 5i)i%at dari *engertian trans-ormasi maka -ungsi yang

i'ekti- ada)a% seua% -ungsi yang ersi-at

1. Sur'ekti-, artinya Jika T suatu trans-ormasi, maka tia* titik ∈ V ada *ra*eta A ∈

V se%ingga D T(A!. dinamakan *eta dari A dan A dinamakan *ra*eta dari .

2. In'ekti-, artinya Jika A1≠ A2 dan T( A1 ¿=B1 , T( A2 ¿=B2 maka B1≠ B2 , atau

'ika T( P1¿=Q1 dan T( P2¿=Q2 sedangkan Q1=Q2 maka P1= P2 .

erdasarkan si-at+si-at ini, da*at)a% disim*u)kan a%a 'ikaα

ada)a% trans-ormasi, maka,

in>ersnya, yaitu

α 1−

'uga meru*akan trans-ormasi. Pada 4onto% di aa% ini, angga*)a% Vada)a% idang Eu4)ides, artinya *ada %im*unan titik+titik V dier)akukan sistem aiomaEu4)ides.

4onto& #

Andaikan A ∈V . Ada *er*etaan (*adanan! T dengan daera% asa) V dan daera% ni)ai 'uga

V.

Jadi T V V yang dide-inisikan seagai erikut

4


8/34

1 T(A! D A

2 A*ai)a P A, maka T(P! D F dengan F titik tenga% garis ´ AP .

Se)idiki a*aka% *adanan T terseut suatu trans-ormasi BPenye%esaian #

A S D T(9! 9

FDT(P!

P

Je)as a%a A memi)iki *eta, yaitu A sendiri.

Ami) searang titik 9 ≠ A *ada V. )e% karena V idang Eu4)ides, maka ada satu garis

yang me)a)ui A dan 9, 'adi ada satu ruas garis´ AR se%ingga ada te*at satu titik S dengan S

antara A dan 9, se%ingga AS D S9.

Ini erarti untuk setia* G ∈ V terda*at satu ∈ V dengan D T(G! yang memenu%i

*ersyaratan (2!. Jadi daera% asa) T ada)a% V.

1 Akan diuktikan T sur'ekti-.

;ntuk menye)idiki ini 4uku*)a% di*ertanyakan a*aka% setia*titik di V memi)iki *ra*eta.

Jadi a*ai)a ∈V a*aka% ada G ∈V yang ersi-at T(G! D B

$enurut ketentuan *ertama, 'ika D A *ra*etanya ada)a% A sendiri, sea T(A! D A.

D T(G!

A GA*ai)a A, maka o)e% karena V suatu idang Eu4)ides, ada G tungga) dengan G

∈ ´ AY se%ingga A D G.

Jadi ada)a% titik tenga%´ AX yang meru*akan satu+satunya titik tenga%. Jadi D T(G!.

Ini erarti a%a G ada)a% *ra*eta dari titik . 5engan demikian da*at dikatakan a%a

setia* titik *ada V memi)iki *ra*eta. Jadi T ada)a% suatu *adanan yang sur'ekti-.

5


9/34

2 Akan diuktikan T in'ekti-.

;ntuk menye)idiki ini ami))a% dua titik P≠ A , Q≠ AdanP≠ Q . P,F,A tidak segaris

(ko)inear!. Kita akan menye)idiki kedudukan T(P! dan T(F!.

A

T(P! T(F!

P F

Andaikan T(P! D T(F!

)e% karena T(P! ∈ ´ AP danT (Q )∈ ´ AQ maka da)am %a) ini ´ AP dan ´ AQ memi)ki dua

titik sekutu yaitu A dan T(P! D T(F!. ini erarti a%a garis´ AP dan ´ AQ erim*it,

se%ingga mengakiatkan a%a Q∈ ´ AP . Ini er)aanan dengan *emisa)an a%a A, P,

F tidak segaris. Jadi *engandaian a%a T(P! D T(F! tidak enar se%ingga %arus)a% T(P!

T(F!. Jadi, T in'ekti-.

5ari uraian di atas tam*ak a%a *adanan T itu in'ekti- dan sur'ekti-, se%ingga T ada)a%

*adanan yang i'ekti-. 5engan demikian terukti T suatu trans-ormasi dari V ke V. 5itu)is T

V V.

4onto& + #

Pi)i%)a% *ada idang Eu4)ides V suatu sistem koordinat ortogona). T ada)a% *adanan yang

mengkaitkan setia* titik P dengan P yang )etaknya satu satuan dari P dengan ara% sumu G

yang *ositi-. Se)idiki a*aka% T suatu trans-ormasi B

Penye)esaian

P P

6


10/34

G

Jika P D (,y! maka T(P! D P dan PD(H1,!.

Je)as daera% asa) T ada)a% se)uru% idang V.Ad T sur'ekti- dan T in'ekti-.

$isa)kan A D (,y!.

Andaikan D (, !.

i Jika *ra*eta titik A(,y! maka %arus)a% er)aku T(! D ( H1, y!.

Jadi H1 D , yDy.

D + 1

atau

yDy

Je)as T ( x−1, y )=(( x−1)+1, y)=( x , y ).

)e% karena , y se)a)u ada, untuk semua ni)ai ,y maka se)a)u ada se%ingga

T (B)= A .

Karena A searang maka setia* titik di V memi)iki *ra*eta yang erarti a%a T sur'ekti-.

ii Andaikan P( x1 , y1) dan Q( x2 , y 2) dengan P≠ Q .

5i*unyai T ( P)=( x1+1, y 1) dan T (Q)=( x2+1, y 2) .

JikaT ( P)=T (Q)

, maka( x1+1, y 1)=( x2+1, y 2) .

Jadi x1+1= x 2+1, dan y1= y2 . Ini erarti x1= x 2 dan y1= y2 .

Jadi PDF.

Ter'adi kontradiksi, se%ingga *engandaian sa)a%. Jadi %arus)a% T ( P)≠T (Q) .

Jadi T in'ekti-.

5ari (i! dan (ii! da*at disim*u)kan a%a T ada)a% *adanan yang i'ekti-.

7


11/34

Jadi T meru*akan suatu trans-ormasi dari V ke V.

+/+ Sifat 5 Sifat Transformasi

+/+/ In6arian )O3"e0 7an! Meneta8*

Jika *ada suatu trans-ormasi -, suatu o'ek meru*akan ayangan trans-ormasi dari

dirinya sendiri, maka dikatakan 'uga a%a trans-ormasi itu meneta*kan o'ek terseut,

atau men'adikan o'ek itu seagai o'ek meneta*. Jika *ada trans-ormasi - ada titik T yang

ersi-at -(T! D T, maka *ada trans-ormasi itu, titik T diseut titik in>ariant (in>ariant *oint!

atau titik meneta* (-ied *oint!. Sea)iknya 'ika *ada trans-ormasi - ada garis g yang ersi-at

-(g! D g, maka *ada trans-ormasi itu, garis g diseut garis in>ariant (in>ariant )ine! atau garis

meneta* (-ied )ine!. Kemudian 'ika *ada suatu trans-ormasi -, si-at S dari setia* o'ek

dimi)iki o)e% ayangan trans-ormasi dari o'ek yang ersangkutan, maka si-at S itu diseut

si-at in>arian, *ada trans-ormasi - itu, dan dikatakan 'uga a%a trans-ormasi - itu

mem*erta%ankan (me)estarikan! si-at S.

4onto& 1 #

A8a0a& setia8 transformasi memi%i0i titi0 teta8 99

Trans-ormasi T(,y! D (H & , y+3! tidak memi)iki titik teta* teta*i memi)iki garis teta*

ukti

$isa)nya P(,y! titik teta*

$aka T(P! D ( H&,y+3! D PD(,y!

H & D ⇒ & D 0

+ 3 D ⇒ +3 D 0

Jadi T tidak *unya titik teta*

$isa)nya T (,y! D (2 H y ,+y!

2 H y D dan ,+y D y maka

2 x+ y= x x− y= y }

x+0=0 x−2 y=0

y=0dan x=0

Jadi T %anya *unya satu titik teta* yaitu (0,0!

$isa)kan A D ( ,y! suatu titik teta* ,maka er)aku (,y! D (y,&! se%ingga er)aku Dy8


12/34

5an yD & di*ro)e% D 0 dan yD 0 erarti titik (0,0! meru*akan satu+ satunya titik teta*.

A8a0a& setia8 transformasi memi%i0i !aris teta89

5iketa%ui T(,y! D (y, &! a*aka% meru*akan garis teta*B

misa) D a H y H 4 D 0 garis teta* maka

T(,y! D (y, &! D (, y! di*ero)e% y D 1

4 maka

l ≡ a H y H 4 D 0

l ≡ 1

4 ay H H 4 D 0

l ≡ H1

4 ay H 4 D 0

l ≡ & H ay H &4 D 0

karena garis teta*, maka T( ! D D di*ero)e%4b

a Da

b=

4c

c dengan asumsi a,

, 4 0

$aka 4 b2

D a2

(+a! 4 D 0 dan (&+a! 4 D 0

Kas$s # Jika 4 0 maka D a dan a D & (tidak mungkin,dan D 0!

Kas$s +# Jika 4 D 0 maka a dan a &, se%ingga di*ro)e% D 2 dan aD +2.

Ak%irnya di*ero)e% garis teta* T ada)a%

⟹ untuk a D 2 maka a H y H 4 D 0

2 H y H 0 D 0

2 H y D 0

⟹ untuk a D +2 maka a H y H 4 D 0

+2 H y H 0 D 0

+2 H y D 0Jadi garis teta*nya ada)a% 2 H y D 0 dan +2 H y D 0

9


13/34

X

Y

y = x2

O

X

Y

O

y = x + 1

1

-1

+/+/+ Ko%ineasi

efinisi # Ko)ineasi ia)a% trans-ormasi yang ersi-at a%a %im*unan ayangan semua titik

*ada setia* garis ()urus! 'uga meru*akan garis ()urus!.

5a*at dikatakan a%a ko)ineasi ia)a% trans-ormasi yang memetakan setia* garis men'adi

garis )agi. )e% karena suatu re-)eksi ada)a% suatu ko)ineasi maka setenga% *utaran 'uga suatu

ko)ineasi. Ini tidak meng%erankan sea setia* isometri ada)a% suatu ko)ineasi. Suatu

trans-ormasi diseut ko)ineasi 'ika %asi) trans-ormasi seua% garis ()urus! akan eru*a garis

)agi. Jadi, 'ika g ada)a% garis maka T ada)a% ko)ineasi 'ika T( g ! eru*a garis, yaitu %im*unan

titik P D T ( P ! dengan P ter)etak *ada g .

4onto& 2 #

f ) x * : x +

;en!an x < ,

:ungsi di atas da*at di*andang seagai trans-ormasi dengan

domain sumu X *ositi- yang eru*a garis )urus, dan %asi)

trans-ormasinya eru*a kur>a y D x2. f ( x! isa ditu)iskan

seagai trans-ormasi T ( x,0!( x, x2!

9umus trans-ormasinya

=

2L

L

x

x

y

x

8amar di sam*ing mem*er)i%atkan a%a %asi)

trans-ormasi garis )urus (sumu X *ositi-! ada)a% kur>a y D

x2 yang tidak eru*a garis )urus. $aka da*at disim*u)kan a%a T ( x,0!D( x, x2! ukan

ko)ineasi. Atau -ungsi f ( x! D x2 ukan trans-ormasi ko)ineasi.

+ f ) x * : x =

:ungsi itu da*at dinyatakan seagai trans-ormasi T ( x,0!( x, x H 1!, yaitu mentrans-ormasikan garis )urus (sumu

X ! men'adi garis y D x H 1.


+

=

1L

L

x

x

y

x

.

8amar di sam*ing mem*er)i%atkan a%a %asi) trans-ormasi garis )urus (sumu X ! 'uga

eru*a garis )urus ( y D x H 1!. $aka -ungsi f ( x! D x H 1 meru*akan trans-ormasi ko)ineasi.+/+/1 Isometri

10


14/34

efinisi # Suatu trans-ormasi T ada)a% isometri 'ika dan %anya 'ika untuk setia* *asangan

titik+titik P dan F,

PL FL D PF dengan PL D T (P! dan FL D T (F!

atau 'ika

α

ada)a% trans-ormasi yang ersi-at a%a, untuk setia* titik P dan F, 'arak antara

titikα

(P! dan titikα

(F! sama dengan 'arak antara titik P dan titik F, makaα

diseut

isometri.

Per)u di*er%atikan a%a de-inisi ini tidak memer)ukan PPL D FFL. 5engan kata )ain,

da)am isometri memer)ukan si-at mem*erta%ankan 'arak antara suatu titik dengan

ayangannya (*etanya!. 5ikatakan 'uga a%a isometri ia)a% trans-ormasi yang

mem*erta%ankan 'arak atau me)estarikan 'arak.4onto& .#

Asumsi a%a seua% sistem koordinat memangun seua% udang (datar!. 5an *emetaan T

dide-inisikan untuk suatu titik P (,y! o)e%

T (P! D PL

D (,+y!

5engan eka) *engeta%uan terda%u)u, da*at diuktikan a%a T suatu trans-ormasimenun'ukkan T suatu isometri, ami) se*asang titik AL (a 1,+a2! dan L (1,+2!, kemudian

uktikan a%a AL L D A.

y A (a1,a2!

(1,2!

L (1,+2! AL (a1,+a2!

5engan rumus 'arak, di*ero)e%

11


15/34

AL L D( ) ( )2L2

L

2

2L

1

L

1 !baab −−++

D( ) ( )2L2

L

2

2L

1

L

1 abab −++

D( ) ( ) 222

2

11 !( abab −−−++

D( ) ( ) 222

2

11 abab +−++

D

( ) ( ) 2222

11 baab −++

D A

Karena itu, T ada)a% isometri.

Teorema #

Setia* 9e-eksi garis ada)a% suatu isometri.

ukti Pemuktiannya menggunakan koordinat geometri. Kita ingat a%a suatu sistemkoordinat da*at dientuk dengan menggunakan se*asang garis tegak )urus da)am suatu satuan

*an'ang, serta meneta*kan sumu dan y *ositi-nya, kita eas memi)i% sumu mana yang

akan di'adikan sumu re-)eksi. 5a)am %a) ini, di*i)i% sumu seagai garis s+nya, sedangkan

sumu y men'adi garis yang tegak )urus s.

Teorema + #

Seua% isometri ersi-at

1 $emetakan garis men'adi garis.

2 $engaetkan esarnya sudut antara dua garis.

3 $engaatkan kese'a'aran dua garis.

ukti

*/ An;aia0an ! se3$a& !aris ;an T s$at$ isometri/

Kita akan memuktikan a%a T (g! D % ada)a% suatu garis 'uga.

12


16/34

L

A AL

g %

Ami) A∈

g dan ∈

g. $aka AL D T (A!∈

%, L D T (!∈

% me)a)ui AL dan L ada satu

garis, misa)nya %L. Akan kita uktikan %L D %. ;ntuk ini akan diuktikan %L⊂

% dan %⊂

%L

i B$0ti &>⊂

&

Ami) GL∈

%L. )e% karena idang kita ada)a% idang eu4)ides,kita andaikan (AL, GL, L!,

artinya AL GL H GL L D AL L. )e% karena T suatu isometri. Jadi sutu trans-ormasi maka ada G

se%ingga T (G! D GL dan o)e% karena T suatu isometri maka AG D AL GL egitu *u)a G D GLL. Jadi *u)a AG H G D A. Ini erarti a%a A, G, segaris *ada g. Ini erarti )agi a%a

GL D T (G!∈

%. Se%ingga %L⊂

% sea ukti seru*a er)aku untuk *osisi GL dengan (GL, AL,

L! atau (AL, L, GL!.

ii B$0ti &⊂

&>

Ada )agi L

∈

%. $aka ada

∈

g se%ingga T (! D L dengan misa)nya (A !, artinya V g dan A H D A. )e% karena T suatu isometri maka AL L D A, L L D , dan AL L

D A. Se%ingga AL L H L L D AL L. Ini erarti a%a AL, L, L segaris, yaitu garis yang

me)eati AL dan L. )e% karena %L satu+satunya garis yang me)a)ui AL dan L maka L∈

%L.

Jadi %arus)a% %⊂

%L. ukti seru*a er)aku *ada keadaan ( A ! atau (A !. Se%ingga % D

%L. Jadi ka)au g seua% garis maka % D T (g! ada)a% seua% garis.

+*/ Am3i% se3$a& ? AB4

A AL

M L ML

Andaikan AL D T (A!, L D T (!, ML D T (M!

$enurut (a!, maka AL L dan L ML ada)a% garis )urus. )e% karena N AM D A∪

M maka N

AL L ML D L AL∪

L ML sedangkan AL L D A,

L ML D M, ML AL D MA.13


17/34

Se%ingga AM≅

AL L ML. Jadi N AL L ML D N AM.

Se%ingga suatu isometri da*at mengaetkan esarnya suatu sudut.

1*/

a aL L

Kita %arus mem*er)i%atkan aL CC L. Andaikan aL memotong L di seua% titik PL. Jadi PL∈

aL

dan P∈

. )e% karena T seua% trans-ormasi maka ada P se%ingga T (P! D PL dengan P∈

a

dan P∈

. Ini earti a%a a memotong di P 'adi ertentangan dengan yang diketa%ui

a%a a CC . $aka *engandaian a%a aLmemotong L sa)a%. Jadi %arus)a% aL CC L.

4onto& @ #

5iketa%ui garis g≡

O (.y!y D + Qdan %≡

O (,y!y D 2 R 3 Q.

A*ai)a $g ada)a% re)eksi *ada garis g, tentukan)a% *ersamaan garis %L D $g (%!.'aa3 #

)e% karena g seua% re-)eksi *ada g 'adi suatu isometri, maka menurut teorema %L ada)a%

seua% garis.

0 9 F G

P

8aris %L akan me)a)ui titik *otong *ada % dan g misa)nya 9, sea $g (9! D 9. Je)as a%a 9

D (1, +1! % akan *u)a me)a)ui FL D $g (F!. )e% karena F D (3C2, 0! maka FL D (0, +3C2!.

5engan demikian *ersamaan %L ada)a% %L D O (, y! R 2y R 3 D 0 Q14


18/34

+/+/1/ Isometri Lan!s$n! ;an Isometri Laan

efinisi # $isa)kan (P,F,9! ada)a% ganda tiga titik yang tidak ko)inier (tak segaris!. A*ai)a

urutan *er*utaran P,F,9 sesuai dengan *er*utaran 'arum 'am, maka P,F,9 diseut memi)iki

orientasi negati-. Sedangkan a*ai)a urutan *er*utaran P,F,9 er)aanan dengan *er*utaran

'arum 'am maka, P,F,9 diseut memi)iki orientasi *ositi-.

efinisi # Suatu trans-ormasi T diseut )angsung 'ika dan %anya 'ika trans-ormasi itu

mem*erta%ankan orientasi.sedangkan trans-ormasi T diseut trans-ormasi )aan 'ika dan

%anya 'ika trans-ormasi itu mengua% orientasi.

efinisi # $isa)kan T suatu trans-ormasi.T diseut mem*erta%ankan orientasi a*ai)a untuk

setia* ganda tiga titik P,F,9 yang tidak ko)inear (tak segaris! orientasinya sama dengan

orientasi dari *etanya.sedangkan )ainnya diseut mengua% orientasi.

A/ Isometri %aan

$isa)nya seua% re-)eksi (*en4erminan!

P 9 PL FL

F 9L PF9 er)aanan dengan 'arum 'am (H! sedangkan PLFL9L seara% dengan 'arum 'am (+!.

B/ Isometri %an!s$n!

$isa)nya suatu rotasi (*er*utaran!

P 9L

F 9 PL FL

PF9 er)aanan dengan 'arum 'am (H! sedangkan PLFL9L teta* er)aanan dengan 'arum

'am (H!.

Si-at yang *enting da)am geometri trans-ormasi ia)a%

Setia* re-)eksi (*en4erminan! *ada garis ada)a% suatu isometri )aan.

Akan teta*i tidak setia* isometri ada)a% isometri )aan, ini da*at di )i%at *ada gamar diatas

yaitu rotasi (*er*utaran! ada)a% seua% isometri )angsung.

15


19/34

Setia* isometri ada)a% seua% isometri )angsung atau seua% isometri )aan.

+/+/2 In6o%$si

Sa)a% satu trans-ormasi yang mem*unyai si-at k%usus ada)a% trans-ormasi yang erordo

dua. Karena memi)iki si-at k%as, maka trans-ormasi yang erordo dua dieri nama k%usus,yaitu in>o)usi. Jadi, in>o)usi ia)a% trans-ormasi yang ukan trans-ormasi identitas, teta*i

kuadratnya meru*akan trans-ormasi identitas. Jikaα

meru*akan in>o)usi, makaα ≠ ι

teta*i2α D

ι. 5a)am %a) demikian,

1α −

D1α −

oι

D1α −

o2α D

1α −

o (α

oα

! D (1α −

oα

! oα

Dι

oα

Dα

. Sea)iknya, 'ika1α −

Dα

, maka2α D

α o

α D

1α −

oα

Dι

.

Teorema # In>ers dari setia* re-)eksi garis ada)a% re-)eksi garis itu sendiri.

erdasarkan *en'e)asan di atas, 'e)as a%a re-)eksi garis ada)a% suatu in>o)usi.

ukti Terda*at dua trans-ormasi T dan I serta kom*osisi T+1

D <

+1

T

+1

$aka (T

D T(


20/34

V& ι hσ vσ

ι ιhσ vσ

hσ hσ ι

Oσ

vσ vσ Oσ ι

Oσ Oσ vσ hσ

Tam*ak a%ahσ

,vσ

, danOσ

meru*akan in>o)usi.

+/1 (asi% Ka%i Transformasi

efinisi #

Andaikan : dan 8 dua trans-ormasi, dengan

: V→ V

8 V → V

$aka kom*osisi dari : dan 8 yang ditu)is seagai 8

: dide-inisikan seagai

(8

:! (P! D 8:(P!U,∀

P∈

V

Teorema #

Jika : V → V dan 8 V → V masing+masing suatu trans-ormasi maka %asi) ka)i 7 D 8

:

V→ V ada)a% 'uga suatu trans-ormasi.

B$0ti #

Akan diuktikan 7 D 8

: suatu trans-ormasi.

;ntuk ini %arus diuktikan dua %a) yaitu 7 sur'ekti- dan 7 in'ekti-.

1 Akan diuktikan 7 sur'ekti-.

Karena : trans-ormasi maka daera% ni)ai : ada)a% se)uru% idang V, dan daera% asa) 8

'uga se)uru% V sea 8 suatu trans-ormasi.

Ami)∈ y

V, a*aka% ada x se%ingga 7( x! D yB Akan diuktikan y D 7( x!.

Karena 8 trans-ormasi maka∈∀ y

V∈∃ z

V y∋

D 8( z !.17


21/34

Karena : suatu trans-ormasi maka *ada∈∃ x z

V z ∋

D :( x!.

$aka y D 8:( x!U atau y D 8

: ( x!.

Jadi y D 7( x!.

Jadi 7 sur'ekti-.2 Akan diuktikan 7 in'ekti-.

Artinya, Jika P ≠ F maka 7(P! ≠ 7(F!∀

P,F V.

Ami) P,F V dan P F. Karena : in'ekti- maka :(P! :(F!.Je)as 8(:(P!! 8(:(F!! karena 8 in'ekti-.

5i*ero)e%, Jika P F maka 8(:(P!! 8(:(F!!∀

P,F V.Jadi 7 in'ekti-.

Karena 7 sur'ekti- dan 7 in'ekti- maka 7 suatu trans-ormasi.

Jadi 7 D 8

: suatu trans-ormasi.

Matatan 5engan 'a)an yang seru*a da*at *u)a diuktikan a%a %asi) ka)i :

8 'uga suatu

trans-ormasi.

7asi) ka)i trans-ormasi tidak %anya teratas *ada dua trans-ormasi. Andaikan T 1, T2, T3

meru*akan suatu trans-ormasi. Kita da*at menyusun ter)ei% da%u)u %asi) ka)i T 2 o T1

kemudian dika)ikan dengan T3. ;ntuk %asi) ka)i trans-ormasi ini kita tu)is dengan T3(T2T1!.

Jadi andaikan PD T1 (P!.P D T2 (P!.P D T3(P!

$aka T3(T2T1!U(P! D T3 T2T1(P!U

D T3 T2 OT1(P!QU

D T3 T2 (P!U

D T3 (P!

D P

Kita 'uga da*at menga)ikan seagai erikut

(T3T2!T1U(P! D (T3T2 !T1(P!U

D (T3T2 !(P!

18


22/34

D T3 T2 (P!U

D T3 (P!

D P

Jadi %asi) ka)i trans-ormasi ersi-at asosiati-. Kita 'uga da*at mengatakan a%a

T3(T2T1! D (T3T2 !T1 D T3T2T1

+/2 Gr$8 Transformasi

efinisi # Suatu %im*unan S W dan o*erasi o yang di notasikan dengan (S,o! diseut

memi)iki struktur gru*, 'ika memenu%i aksioma+aksioma erikut

1 S tertutu* ter%ada* o*erasi o, artinya ∀ a, ∈S , a o ∈S

2 *erasi o asosiati- *ada S, artinya ∀ a, , c∈S , (a o ! o 4 D a o ( o 4!

3 Ada unsur Identitas, untuk setia* anggota S , artinya ∃e ϵS ,∀aϵ S → a o e D e o a D

a.

& ;ntuk setia* anggota S, mem*unyai a)ikan di S, artinya ∀ aϵS ,∃b∈S → a o D

o a D e

Per&ati0an rotasi se!iti!a sama-sisi se0e%i%in! titi0 3eratnya ;en!an s$;$t rotasi +, o

9otasi (Per*utaran! dikatakan erara% *ositi- 'ika ara% *utar er)aanan dengan ara%

*utar 'arum 'am. 9otasi (Per*utaran! dikatakan erara% negati>e 'ika ara% *utar sama dengan

ara% *utar 'arum 'am. $isa)kan XAM ada)a% segitiga sama sisi, dan titik P ada)a% titik erat

dari segitiga itu. $isa)kan *u)a a%a dengan rotasi 120o (erarti ara% *utarnya *ositi-!

seke)i)ing titik P (ter%ada* titik P!, ayangan (%asi)! rotasi dari titik A ada)a% titik ,.

ayangan dari titik ada)a% titik M, dan ayangan dari titik M ada)a% titik A.5engan kata )ain, 'ika α ada)a% rotasi (*er*utaran! seke)i)ing titik P, dengan ara%

rotasi *ositi-, dan sudut rotasi 120o, maka α (A! D , adan α (! D M, dan α (M! D a.

Se)an'utnya ( α o α !(A! D α ( α (A!! D α ( ! D M. 5i*ero)e% 'uga si-at a%a (

α o α o α !(A! D A, ( α o α o α !(! D , dan ( α o α o α !(M! D M.

Trans-ormasi yang ersi-at a%a ayangan (%asi)! trans-ormasi setia* titik ada)a% titik itu

19


23/34

sendiri atauι

(P! D P untuk setia* titik P diseut trans-ormasi identitas dan )aYim dinyatakan

dengan symo)ι

(%uru- unani yang namanya iota!. Se)an'utnya kom*osisi . α

o α

dinyatakan dengan symo)

α 2

dan kom*osisi

α

o

α

o

α

dinyatakan dengan

symo) α 3, dst.

Per%atikan tae) kom*osisi rotasi α dengan dirinya sendiri seagai erikut.

O8erasi

o

α α + α 1 :

α α + ι α

α + ι α α +

α 1 :ι α α + ι

Kita namai %im*unan O α

,α 2,

ιQ itu %im*unan 8.

1 Tam*ak a%a %asi) kom*osisi setia* dua anggota dari 8 men'adi anggota dari 8

'uga.

2 Karena kom*osisi -ungsi ersi-at asosiati-, maka kom*osisi anggota dari 8 'uga ersi-at asosiati-.

3 Adaιϵ

8, sedemikian se%ingga toι

Dι

ot D t untuk setia* t∈

8

& ;ntuk setia* t∈

8.ada s∈

8 sedemikian se%ingga t o s D s o t Dι

(iota!

erdasarkan uraian di atas da*at kita sim*u)kan a%a %im*unan trans-ormasi dengan o*erasi

kom*osisi (8,o! diseut gru* trans-ormasi atau gru* 'ika memi)iki si-at tertutu*, si-at

asosiati-, si-at keeradaan e)emen identitas, dan si-at in>ers.

(a ! $isa)kan 8 ada)a% suatu %im*unan trans-ormasi. A*ai)a untuk setia*α

danβ

da)am

(8,o! %asi) ka)i (kom*osisi! mereka, yaituβ

oα

'uga men'adi anggota dari 8 , maka

dikatakan a%a 8 mem*unyai si-at tertutu* atau si-at ketertutu*an.

(! 7im*unan trans-ormasi 8 dikatakan mem*unyai si-at asosiati- 'ika

γ

o (β

oα

!U(P! D (γ

o(β

! oα

U(P!

20


24/34

untuk setia* titik P, dan setia*α

,β

,γ

da)am 8. .

(4! Jika 8 suatu %im*unan trans-ormasi, danι

men'adi anggota dari 8, maka dikatakan

a%a 8 mem*unyai si-at identitas.

(d! Jika 8 suatu %im*unan trans-ormasi, dan in>ers dari setia* anggota dari 8 'uga men'adi

anggota dari 8, maka dikatakan a%a 8 mem*unyai si-at in>ers.

$isa)kan 8 ada)a% suatu %im*unan trans-ormasi. A*ai)aβ

oα

Dα

oβ

untuk setia*α

dan

β

da)am (8,o! maka dikatakan a%a 8 mem*unyai si-at komutati- dan (8, o! diseut gru*

yang komutati- atau gru* ae)ian.

Teorema #

1 7im*unan semua trans-ormasi (dengan o*erasi kom*osisi! meru*akan gru*.

2 7im*unan semua ko)ineasi meru*akan gru*.

B$0ti

(1! $isa)kan 8 ada)a% %im*unan semua trans-ormasi.

a. Karena 8 ada)a% %im*unan semua trans-ormasi, maka ι (iota! men'adi

anggota dari 8, dan untuk setia* trans-ormasi ∝ , er)aku si-at

∝ o ι D ι o ∝ D ∝ . Jadi, 8 mem*unyai sifat i;entitas.

. $isa)kan α dan β ada)a% anggota dari 8. $aka α mu*un β

meru*akan

kores*ondensi satu+satu antara %im*unan semua titik *ada satu idang

datar dan %im*unan itu 'uga. )e% karena itu, kom*osisi dari keduanya

'uga meru*akan kores*ondensi satu+satu, dari %im*unan semua titik

*ada idang itu dan %im*unan itu sendiri. erarti α o β dan β o α

men'adi anggota dari 8. Jadi, 8 mem*unyai sifat tert$t$8.

21


25/34

4. Karena 8 ada)a% %im*unan semua trans-ormasi, maka setia* anggota dari 8

meru*akan kores*ondensi satu+satu dari %im*unan semua titik di suatu idang ke

%im*unan sendiri, se%ingga ter%ada* o*erasi kom*osisi -ungsi (kom*osisi atau

*erka)ian trans-ormasi! er)aku si-at asosiati-. Jadi 8 mem*unyai sifat asosiatif

C


26/34

(ii! Karena -, g, % ada)a% kores*ondensi satu+satu, maka -(g%! D (-g!%, dan simo) -g%

menyatakan -(g%! mau*un (-g!%.

Jika T searang titik, maka ada titik A, , dan M, se%ingga -(A! D T, g(! D A, dan %(M! D

. 7a) ini erarti a%a T D -(A! D -(8(!! D -(g(%(M!!. erarti ada titik M sedemikian

se%ingga T D (-g!(%(M! atau T D -o(go%!U(M! D (-og!o%U(M!. Karena T ada)a% titiksearang, maka %uungan itu menun'ukkan a%a

f o )! o &* : )f o !* o &.

Jadi 8 memi)iki si-at asosiati-.

+/2/ Or;o Gr$8 ;an Or;o Transformasi

efinisi # Jika gru* trans-ormasi 8 mem*unyai te*at n anggota, maka dikatakan a%a 8ada)a% !r$8 3er&in!!a yan! 3eror;o n.

efinisi #

(1! Jikaα ∈

8 dan n ada)a% i)angan 3$%at 8ositif ter0ei% yang ersi-atnα D

ι, maka

dikatakan a%aα

ada)a% trans-ormasi yang 3eror;o n.

(2! Jikaβ

ada)a% suatu trans-ormasi, teta*i

n

β ≠ ι, untuk n era*a*un, maka dikatakan

a%aβ

ada)a% trans-ormasi yang 3eror;o ta03er&in!!a.

4onto& #

(1! $isa)kan ρ

ada)a% trans-ormasi, yang meru*akan rotasi (*er*utaran!

seke)i)ing titik asa) (0,0! dengan sudut rotasi 30 o. $aka12 ρ

Dι

, teta*ik ρ ≠ ι

'ika k

ada)a% i)angan u)at *ositi- yang )ei% ke4i) dari 12. Jadi ρ

itu meru*akan

transformasi yan! 3eror;o +, dan %im*unan

8 D O ρ

, ρ

2, ρ

3, ρ

&, ρ

6, ρ

@, ρ

=, ρ

, ρ

?, ρ

10, ρ

11,ι

Q ada)a% !r$8 3eror;o +.

1 $isa)kan

τ

ada)a% trans-ormasi, dengan aturan

τ

((,y!! D (H1,y!, makaτ ≠ ι

, dann

τ

((,y!! D (Hn,y! untuk setia* i)angan as)i n. Je)as a%a23


27/34

(,y!≠

(Hn,y! untuk i)angan as)i era*a*un. Jadin

τ ≠ ι untuk i)angan u)at *ositi- n

yang mana*un. 5engan kata )ain,τ

ada)a% trans-ormasi yang 3eror;o ta03er&in!!a,

dan %im*unan O

ι

,

τ

,

τ

2,

τ

3,

τ

&, . . .Q meru*akan !r$8 3eror;o ta03er&in!!a.

SOAL LATI(AN

1. T V→

V, dide-inisikan seagai erikut A*ai)a P(,y! maka

i T ( P)=( x+1, y ) , untuk x>0

ii T ( P)=( x−1, y) , untuk x


28/34

'AABAN

1! Penye)esaian

a Ami) P(1,y1! dan F(2,y2! se%inggaQ P ≠

Akan diuktikan!(!( QT P T ≠

Karena

Q P ≠

maka

21 x x ≠

atau

21 y y ≠

i ;ntuk [ 0

T(P! D (1H1, y1!

T(F! D (2H1, y2!

Je)as11 2121 +≠+⇒≠ x x x x

atau21 y y ≠

Jadi !(!( QT P T ≠

ii ;ntuk N 0

T(P! D (1+1, y1!

T(F! D (2+1, y2!

Je)as11 2121 −≠−⇒≠ x x x x

atau21 y y ≠

Jadi

!(!( QT P T ≠

25


29/34

X

Y

O

Z

z = x + 2y

5ari (i! dan (ii! da*at disim*u)kan a%a T in'ekti-.

Ami) P(1,y1! dan F(2,y2! dengan PF.

Akan diuktikan T(P!T(F!.

Karena P F maka 1 2 atu y1 y2.i Kasus \0

T(P! D (1 H 1,y1!

T(F! D (2 H 1,y2!

Karena 12 maka 1H1 2H1 dan y1y2.

Jadi T(P! T(F!.

ii Kasus ¿ 0

T(P! D (1 + 1,y1!

T(F! D (2 + 1,y2!

Karena 12 maka 1 + 1 2 +1 dan y1y2.

5ari (i! dan (ii! da*at disim*u)kan a%a T tidak sur'ekti-.

Karena T tidak sur'ekti- maka T ukan suatu trans-ormasi.

2! isa diangga* seagai trans-ormasi T ( x, y, 0 ! ( x, y, x H 2 y!, yaitu yang

mentrans-ormasikan idang XOY men'adi idang z D x H 2 y.


+=

y x

y

x

z

y

x

2L

L

L

8amar di sam*ing mem*er)i%atkan a%a %asi)

trans-ormasi idang XOY 'uga eru*a idang datar

( z D x H 2 y!.

isa dikatakan, setia* garis *ada idang G ditrans-ormasikan men'adi garis yang

menyusun idang z D x H 2 y. $aka, f ( x, y! D x H 2 y meru*akan trans-ormasi ko)ineasi.

26


30/34

3 Ami) kemudian trans-ormasikan keduanya. $isa)kan seagai erikut ami) seua% garis %

⊥

g dan $% ada)a% re-)eksi *ada garis %. Jadi %asi) ka)i( )[ ] Y X T M h =

ada)a% suatu

tran-ormasi *u)a se%ingga( ) ( ) X T M Y h = .

Pada soa) di atas keetu)anhh M T T M =, untuk memuktikan ini ami) gamar garis g

seagai sumu suatu sistim koordinat ortogona) dan garis % seagai sumu . Titik *otong %

dan g kita ami) seagai titik asa). Andaikan

!,( y x x =

maka

!2

1,(!( y x X T =

dan

( )[ ]

−= y x X T M h

2

1,

. Se)an'utnya *er%atikan!!(( X M T h [ ]!( X M T h=

. Ka)au!,( y x x =

maka $%(G!D(+,y! dan T$%(G!UD(+,1

2 y¿ .

)e% karena( )[ ] [ ]!( X M T X T M hh =

maka

!(!!(( hh M T X T M =(G! yang er)aku untuk semua G

∈V . Jadi

hh M T T M =. Akan

teta*i si-at komutati- terseut tidak se)a)u er)aku. ;ntuk mem*er)i%atkan ini, ami) )agi garis

g dan garis % yang tidak tegak )urus *ada g.


31/34

Tam*ak a%a( )[ ] [ ]!( x M T xT M hh ≠

. Jadihh M T xT M ≠!(. 5ari 4onto% di atas da*at di

katakan a%a a*ai)a S dan T trans-ormasi makaS T T S ≠

.

BAB III

PENUTUP

Kesim8$%an

Kesim*u)an yang da*at ditarik dari rumusan masa)a% di atas ada)a%

28


32/34

(1! Suatu trans-ormasi *ada suatu idang V ada)a% suatu -ungsi yang i'ekti- dengan

daera% asa)nya V dan daera% ni)ainya V 'uga.(2! Si-at R si-at trans-ormasi yaitu

a. In>arian

Jika *ada trans-ormasi - ada titik T yang ersi-at -(T! D T, maka *ada trans-ormasi itu,

titik T diseut titik in>ariant (in>ariant *oint! atau titik meneta* (-ied *oint!.

Sea)iknya 'ika *ada trans-ormasi - ada garis g yang ersi-at -(g! D g, maka *ada

trans-ormasi itu, garis g diseut garis in>ariant (in>ariant )ine! atau garis meneta*

(-ied )ine!. Kemudian 'ika *ada suatu trans-ormasi -, si-at S dari setia* o'ek dimi)iki

o)e% ayangan trans-ormasi dari o'ek yang ersangkutan, maka si-at S itu diseut

si-at in>arian, *ada trans-ormasi - itu, dan dikatakan 'uga a%a trans-ormasi - itu

mem*erta%ankan (me)estarikan! si-at S.

. Ko)ineasi

5e-inisi suatu trans-ormasi T diseut *unya si-at ko)ineasi 'ika t memetakan

garis men'adi garis )agi. )e% karena suatu re-)eksi ada)a% suatu ko)ineasi maka

setenga% *utaran 'uga suatu ko)ineasi. Ini tidak meng%erankan sea setia* isometri

ada)a% suatu ko)ineasi. Suatu trans-ormasi diseut ko)ineasi 'ika %asi) trans-ormasi

seua% garis ()urus! akan eru*a garis )agi. Jadi, 'ika g ada)a% garis maka T ada)a%

ko)ineasi 'ika T(g! eru*a garis, yaitu %im*unan titik P D T(P! dengan P ter)etak *adag.

4. Isometri

5e-inisi trans-ormasi T diseut Isometri, 'ika untuk setia* A, di V er)aku ]A]D]

T(A!T(!] ('ika T(A!DA dan T(!D!. 5a)am isti)a% )ain, seringka)i suatu

trans-ormasi diseut isometri 'ika mem*erta%ankan 'arak.

5e- T Isometri 'ika ]A]D]T(A!T(!] D ]A]

d. In>o)usi

Suatu trans-ormasi V meru*akan in>o)usi, 'ika V tidak sama dengan I dan

er)aku V2DI. Ini erarti VDV+1.Suatu trans-ormasi yang in>ersnya ada)a%

trans-ormasi itu sendiri dinamakan in>o)usi. erdasarkan *en'e)asan di atas, 'e)as

a%a re-)eksi garis ada)a% suatu in>o)usi.

(3! Jika V dan " meru*akan trans-ormasi, erkenaan dengan si-at V dan " seagai

-ungsi, maka da*at dide-inisikan kom*osisi atau %asi) ka)i dari V dan ". Se*erti%a)nya menyusun kom*osisi dua -ungsi maka kom*osisi dari V∘", " diker'akan da%u)u

29


33/34

aru V. Jadi V ∘ "(A! D V("(A!!. Kemudian untuk menyingkat, seringka)i tu)is V∘" D

V", V∘VDV2 dan seterusnya. $enurut teorema, %asi) ka)i dari %im*unan trans-ormasi

meru*akan trans-ormasi.(&! 7im*unan trans-ormasi dengan o*erasi kom*osisi (8,o! diseut gru* trans-ormasi

atau gru* 'ika memi)iki si-at tertutu*, si-at asosiati-, si-at keeradaan e)emen identitas, dan

si-at in>ers.

AFTAR PUSTAKA

9au%.Geometri Transformasi.1??3.Jakarta 5e*. P ^ K 5it'en 5ikti.

$artin, 8eorge Edard.Transformation Geometry.1?2.#e ork S*ringer+Ver)ag.

Suryanto, Geometri Transformasi k%usus untuk ku)ia% di ke)as *ener'ema% sendiri, Pa*er,

disa'ikan *ada ;ni>ersitas $u%ammadiya% Purokerto 2012 di Suraaya.

30


34/34

:aisa), 9yan,$ateri Ku)ia% 8eometri Trans-ormasi,htt!""ryan#faisa$.b$ogsot.%o.i&"

'()'"(*"materi#k+$iah#geometri#transformasi.htm$ .

I.E.

p 2_transformasi Beserta Sifat2ny

Documents

Transcript of p 2_transformasi Beserta Sifat2ny