OsyDin

S

OSEANOGRAFI DINAMIK

Kuliah ke-11 Perairan Lintang Sedang

Mei 2015 J.I. Pariwono - Dept. ITK 1

Aliran Quasi-Geostropik


o Mekanisme perairan yang berotasi menyesuaikan diri terhadap perubahan-perubahan yang lambat (skala waktu >> f -1 perlu mendapat perhatian khusus

o Karena perubahan-perubahan dinamika arus dari minggu satu ke minggu berikutnya mempunyai kaif iat (characteristics) serupa

o Dasar untuk memahami mekanisme ini berasal dari persamaan geostropik, dimana aliran geostropik memenuhi persamaan sinambung sepenuhnya

o Dengan lain kata, ada tiga persamaan tetapi hanya memberikan solusi untuk 2 variabel (bukan 3) !!

Aliran Quasi-Geostropik (2)


o Kita tidak bisa mengetahui komponen arus vertikal (w) dari persamaan geostropik murni

o Sehingga untuk mengetahui alirannya, perubahan (departures) dari kondisi geostropik perlu dikaji lebih lanjut (walau pun perubahannya kecil)

o Perubahan-perubahan yang kecil ini dikenal sebagai quasi-geostrophic



o Untuk mendapatkan nilai (u, v) dari (ug, vg), perlu ditetapkan bahwa D/Dt haruslah kecil dibandingkan dengan nilai f

DuDt f v =

1px f vg (1)

DvDt + f u =

1py + fug (2)

o dimana ug dan vg dikenal sebagai geostrophic wind

f ug = 1py (3.a)

f vg = +1px (3.b)



o Solusinya dapat dilakukan dengan menghilangkan u dan v dari pers (1) dan (2) untuk memperoleh persamaan berikut

D2uDt 2 + f

2u = f 2 ug fDvgDt

f py

DDt

1 px

&

' (

)

* + (4)

D2vDt 2 + f

2v = f 2 vg + fDugDt +

f p x

DDt

1 py

&

' (

)

* + (5)

o Dan karena D/Dt



o Pada kasus linier, dapat dilakukan pendekatan berikut:

o Sehingga persamaan (6) menjadi:

u ug 1fvgt

1f 0

%p y

1f 20

2 %ptx (7.a)

v vg +1fugt +

1f 0

%p x

1f 20

2 %pty (7.b)

1. Operator D/Dt dapat diganti menjadi 2. Densitas diganti menjadi densitas stabil 0 3. Tekanan p dapat diganti dengan nilai perturbasinya yaitu p

/t



o Pada kondisi linier maka pers (7) menghasilkan konvergensi horisontal sbb

ux +

vy =

1f 20

t

2 % p x 2 +

2 % p y 2

&

' (

)

* +

1f

t

vgx

ugy

&

' (

)

* + (8)

o Kontur dari laju perubahan (rate of change) tekanan dikenal sebagai ISALLOBAR

o Yang dimaksud dengan konvergensi horisontal adalah o Untuk kondisi linier, pers (7) memperlihatkan

bahwa kontribusi kepada horisontal convergence hanya berasal dari komponen issalobaric

1 f ug ,vg( )

t#

$ % %

&

' ( (

Geostrophic


Isallobar


Isallobar


Garis Hitam isobar

Garis Merah isallobar

VG Kec. Geostrophic

VI Kec. Isallobar

V Resultante Kec.

Issalobaric-Wind




vx

uy

1f 20

2 & p x 2 +

2 & p y 2

'

( )

*

+ ,

vgx

ugy

'

( )

*

+ , (9)

o Di sisi lain, pers (7) juga memperlihatkan bahwa komponen issalobaric tidak memberikan kontribusi kepada pusaran (vorticity)

o Pada aliran dengan frekuensi , dengan pers (8) dan (9) diperoleh bahwa

divergencepusaran berkisar pada nilai

f (10)

o dimana nilai /f diasumsikan kecil



t

vx

uy

$

% &

'

( ) + f u

x +vy

$

% &

'

( ) = 0 (11)

o Persamaan-persamaan di atas juga menunjukkan bagaimana pers. pusaran (vorticity) memegang peranan sentral dalam teori aliran fluida yang lambat pada perairan yang berputar

o Menghilangkan komponen tekanan dari pers. (8) dan (9) akan menghasilkan

o Pers (11) ini sama persis jika kita turunkan dari persamaan gerak yang linier

o Ini berarti bahwa persamaan vorticity mengandung informasi2 tentang perubahan (departures) dari kondisi geostropik

o Ini juga berarti bahwa persamaan vorticity dapat digunakan untuk mendapatkan informasi tentang gerak fluida yang belum diperoleh dari persamaan Geostropik saja



o Mengapa kita perlu mengetahui divergensi horisontal (horisontal divergence) pada suatu perairan yang diteliti, walaupun nilainya kecil ?

o JAWABNYA: o Karena divergensi horisontal memberikan kemungkinan

terjadinya gerakan vertikal

o Dan gerakan vertikal ini perlu diketahui jika kita ingin menghitung bagaimana gravitasi bekerja untuk mencapai kondisi yang ekuilbrium



o Persamaan yang mengandung persamaan pusaran dengan persamaan yang mengatur aliran menegak (vertikal) adalah: PERSAMAAN PUSARAN POTENSIAL

o Persamaan pusaran potensial menjadi acuan penting utama dalam teori fluida yang berputar (seperti yang ditemukan oleh Rossby untuk perairan yang homogen)

Pada Aliran Fluida Yang Lambat


o Pada aliran fluida yang lambat, pers (9) dapat digunakan untuk mendapatkan persamaan aproksimasi bagi persamaan pusaran potensial

o Untuk kasus fluida yang tan-mampat (in-compressible), ruas kiri dari pers (8) dapat diganti menjadi

wz

o Dan w berkaitan dengan gaya gravity restoring forces, dan dapat dinyatakan sbb

N 2 w = 10

2 % p z t (12)

Pada Aliran Fluida Yang Lambat (2)


o Dengan menggabungkan pers (12) dengan (8) , diperoleh

o Pers (13) merupakan persamaan Quasi-geostropik dari perubahan (perturbation) pusaran potensial, untuk:

Fluida tan-mampat Berotasi secara seragam (uniform) (nilai f = konstan)

t

1f 2

# $ %

2 & p x 2 +

2 & p y 2

'

( )

*

+ , + 0

z

10N 2

& p z

'

( )

*

+ , . / 0

= 0 (13)

Pada Aliran Fluida Yang Lambat (3)


o CONTOH: aliran quasi-geostropik melewati bukit berbentuk lingkaran

0 > 0

< 0

> 0 0

Bidang Beta di Katulistiwa


o Untuk dinamika di dekat katulistiwa, maka aproksimasi yang dapat digunakan adalah:

o Aproksimasi ini dikenal sebagai aproksimasi bidang beta (beta-plane approximation)

o Dengan aproksimasi ini nilai beta merupakan suatu konstanta dengan nilai

sin , dan cos 1

= 2 r = 2.3 1011 m1 s1

Bidang Beta di Katulistiwa (2)


o Dan parameter Coriolis f menjadi

o Aproksimasi ini dapat digunakan hingga sekitar 300 lintang, dimana kesalahan maksimum di lintang tersebut adalah sekitar 14%

f = ydimanay = r

Bidang Beta di Lintang Sedang


o Parameter Coriolis f bervariasi terhadap lintang bumi o Keadaan ini berdampak kepada gelombang-gelombang

yang berada di lautan o Berkaitan dengan parameter Coriolis tersebut, kita dapat

menyebutkan bahwa gelombang-gelombang tersebut dapat digolongkan ke dalam 2 kelas yang berbeda:

Gelombang berfrekuensi t inggi, yang tidak terpengaruh oleh variasi Coriolis f. Contohnya: gelombang-gelombang gravitasi

G e l o m b a n g b e r f r e k u e n s i r e n d a h , d i m a n a keberadannya ditentukan oleh nilai f.

Frekuensi tertinggi dari gelombang ini = ( c / 2 f ), dan frekuensi minimumnya adalah f

Bidang Beta di Lintang Sedang (2)


o Nisbah (ratio) antara kedua frekuensi tersebut cukup besar yaitu 2/ , dimana dinyatakan dengan

o Contoh, pada lintang 450 , nisbah frekuensi tersebut adalah

= c f 2 (L _1)

2 =

2 f 2 c =

1300ms1( )c (L _2)

o Karena kelas gelombang ini begitu berbeda dengan ge lombang grav i tas i , maka dapa t d ipe la ja r i menggunakan aproksimasi tertentu



o Gerak perairan berfrekuensi rendah cenderung mengikuti keseimbangan geostropik

o Akan tetapi variasi (departure) dari keseimbangan geostropik sangat penting untuk diketahui

o Mengapa? o Karena gerak vertikal hanya terjadi akibat variasi dari

keseimbangan geostropik ini



o Kita mulai pembahasan kita dengan persamaan gerak untuk komponen horisontal di bidang bola (tanpa friksi, sebagai berikut

DuDt 2 +

urcos

%

& '

(

) * v sin = 1

rcosp

(L _ 3)

DvDt + 2 +

urcos

%

& '

(

) * u sin = 1

rp

(L _ 4)

o Kemudian kita ingin mendapatkan solusi untuk kondisi quasi-geostropik menggunakan koordinat Cartesian



o Untuk itu perlu didapatkan koordinat yang cocok untuk keperluan ini

o Koordinat yang memenuhi keperluan ini adalah proyeksi Merkator lokal

o Jika radius bumi adalah R dan adalah bujur, maka koordinat Merkator lokal dinyatakan sebagai berikut

x = Rcos0 (1.a)

y = R d $ cos0cos $ 0

= Rcos0 ln1+ sin( )cos01+ sin0( )cos

& ' (

) * +

, + (1.b)

Proyeksi Mercator


Diciptakan untuk keperluan navigasi oleh Gerardus Mercator dari Flander (wilayah di Belanda dan Belgia) pd tahun 1569

Proyeksi Mercator adalah proyeksi silindris

Proyeksi Mercator (2)




Untuk bidang yang terbatas, sudut PKQ 900



tan RcosR , tan =xy

maka,



parallel scale factor k ( ) = !P !MPM =x

Rcos

meridian scale factor h ( ) = !P !KPK =yR



tan = Rsec!y ( )

tan , k = sec , h = !y ( )R

Karena meridian di petakan pada sumbu x dengan nilai tetap, maka

Proyeksi Mercator (9) (Faktor skala k)


Pada lintang 30 k= sec 30 = 1.15 Pada lintang 45 k= sec 45 = 1.41 Pada lintang 60 k= sec 60 = 2.00 Pada lintang 80 k= sec 80 = 5.76 Pada lintang 85 k= sec 85 =11.50



o Untuk persamaan sinambung, kita perlu membuat modifikasi dari komponen2 kecepatannya sbb

u = u , v = v (2)dimana = cos0 cos = R

1 dyd (3)

o Nilai hampir = 1 di pusat lintang dari bidang yang diamati



o Menggunakan pers (2) dan (3) ke dalam pers L_3 & L_4, akan diperoleh

D u Dt f

v = 1 % p x (4)

D v Dt + f

u + 1R u 2 + v 2( ) tan = 1

% p y (5)

o dimana

DDt

t +

2 u x +

v y

$

% &

'

( ) + w

z (6)



o Persamaan sinambung untuk perairan tan-mampat dalam koordinat bola

f = 2 sin (7)

o dimana

2 u x +

v y

#

$ %

&

' ( +

wz = 0 (8)



o Persamaan ini adalah persamaan gerak untuk bidang f, akan tetapi f sekarang merupakan fungsi dari y

o Untuk gerakan beramplitudo kecil, komponen kuadrat pada pers (4) dan (5) dapat diabaikan, sehingga dalam koordinat Merkator, persamaan gerak menjadi

u t f

v = 1 % p x (9)

v t + f

u = 1 % p y (10)



o Dimana v0 adalah skala kecepatan dan L skala jarak mendatar

o Aproksimasi bidang beta, adalah memperluas nilai f dari lintang pusat bidang yang diamati, sebagai fungsi linier dari y

o Untuk itu dilakukan dengan memperkenalkan scaled variables

x* = x L , y* = y L , t

* = L t(11)

u* = u v0 , v* = v v0 , p

* = # p L f v0



o Dimana f0 adalah nilai f di lintang pusat/sumbu, dan L dinyatakan sebagai

o Dengan penskalaan tersebut, maka parameter Coriolis f dapat dinyatakan dalam y*

f f0 1+ L y*( ) (12)

L =Lcot0 R =

Lf0 (13)

o Dimana adalah gradien dari parameter Coriolis

= 2R$ % & '

( ) cos0 (14)



o Karena aliran geostopik merupakan tan-divergen, maka perlu mengetahui kondisi aliran hingga aproksimasi berikutnya

o Ini adalah untuk mengetahui bagaimana aliran fluida berubah terhadap waktu

o Untuk aproksimasi pertama dari persamaan di atas, aliran adalah geostropik, sehingga u = ug dan v = vg

f0 ug = 1 % p y , f0 vg = +

1 % p x (15)



o Pada saat ini cukup disebutkan bahwa komponen aliran a-geostropik mempunyai ordo L relatif terhadap komponen geostropik

o Maka diperkenalkan komponen a-geostropik dari aliran yang diamati (ua, va), sehingga

u = ug + ua , v = vg + va (16)

f0 ua = y ug vg

t 1 f0 y ' p

y( ) * +

, -

2 ' p tx

. / 0

1 2 3

(17)

f0 va = y vg +ug

t 1 f0 y ' p

x( ) * +

, -

2 ' p ty

. / 0

1 2 3

(18)

A-Geostrophic Wind




o Pers (17) dan (18) ini merupakan persamaan gerak quasi-geostropik linier dari aliran yang berubah terhadap waktu

f0 ua = y ug vg

t 1 f0 y ' p

y( ) * +

, -

2 ' p tx

. / 0

1 2 3

(17)

f0 va = y vg +ug

t 1 f0 y ' p

x( ) * +

, -

2 ' p ty

. / 0

1 2 3

(18)

Kontribusi bid-Beta Di Aliran a-geostropik


o Ada dua komponen yang berkontribusi ke aliran a-geostropik di atas:

Komponen beta Komponen issalobarik

f0 ua = y ug vg

t 1 f0 y ' p

y( ) * +

, -

2 ' p tx

. / 0

1 2 3

(17)

f0 va = y vg +ug

t 1 f0 y ' p

x( ) * +

, -

2 ' p ty

. / 0

1 2 3

(18)

Kontribusi bid-Beta Di Aliran a-geostropik (2)


o Komponen beta menunjukkan bahwa untuk gradien tekanan yang diberikan, maka kecepatan aliran yang berada dalam keseimbangan geostropik pada setiap lintang, akan bertambah besar sejalan mendekati katulistiwa

f0 ua = y ug vg

t 1 f0 y ' p

y( ) * +

, -

2 ' p tx

. / 0

1 2 3

(17)

f0 va = y vg +ug

t 1 f0 y ' p

x( ) * +

, -

2 ' p ty

. / 0

1 2 3

(18)

o Ini berarti bahwa alirannya adalah divergen

Kontribusi bid-Beta Di Aliran a-geostropik (3)


o Komponen beta dari kecepatan a-geostropiknya adalah

o dan divergennya diberikan oleh

= y f0 ug ,vg( ) (19)

divergence = vg f0 f02

&

' (

)

* + - p

x

Kontribusi Issalobarik Di Aliran a-geostropik


o Komponen issalobarik dari kecepatan a-geostropiknya adalah

o dan divergennya diberikan oleh

= 1 f02

x , y

% & ' (

) * + p t% & ' (

) * (20)

divergence = 1 f0 g

t%

& '

(

) * 1

f02%

& '

(

) *

2( ) . p t

OsyDin

Documents

Transcript of OsyDin