Orbit Bintang Ganda Visual: Teori dan Aplikasi · Tabel yang digunakan pada saat itu seperti tabel...

S.Siregar Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi ___________________________________________________________________________

1

Orbit Bintang Ganda Visual: Teori dan Aplikasi

Oleh

Dr.Suryadi Siregar DEA

Prodi Astronomi FMIPA-ITB

Bandung, 2008


2

Kata Pengantar

Alasan didirikannya Observatorium Bosscha di Lembang pada tahun 1923 adalah untuk menyingkap tabir rahasia bintang bintang disebelah selatan langit, bintang berdua visual adalah objek eksotis yang merupakan riset andalan pada awal berdirinya Observatorium Bosscha. Itulah sebabnya kenapa teropong Zeiss-60cm adalah instrument pertama yang diletakkan di atas sebuah bukit di selatan desa Lembang. Tulisan ini merupakan upaya untuk mewariskan pengalaman ketika mengerjakan Tugas Ahir dibawah bimbingan Dr. Elsa van Albada van Dien dan Co-Pembimbing Dr.B.Hidayat, pada tahun tujuhpuluhan. Pekerjaan itu diselesaikan penulis awal tahun 1976, yang merupakan salah satu syarat untuk memperoleh gelar doktarandus. Kini tiga puluh tahun setelah itu, domain telaah bintang ganda telah jauh berbeda. Teknologi Informasi sudah merambah disemua segi kehidupan, mengimbas pada kemajuan teknologi, mulai dari teknologi perekaman informasi, akuisisi data, basis data, system informasi manajemen, teknologi digital, pengolahan citra dan segala ilmu yang bertautan dengannya. Semua ini telah memungkinkan astronom menyelesaikan pekerjaan dalam waktu yang relatif singkat, tepat dan cepat, dibandingkan dengan tigapuluh tahun yang lalu. Tabel yang digunakan pada saat itu seperti tabel logaritma, tabel Kepler, tabel presesi dan sebagainya kini tinggal kenangan sejarah, yang hanya bisa kita temukan di museum.

Ada ungkapan kuno yang masih relevan, pisau yang baik hanya bisa diperoleh dari pukulan dan tempaan, bukan dengan cara mengelus-elus. Pekerjaan menentukan orbit bintang ganda visual bukan hanya melibatkan kemahiran dalam menurunkan rumus, hitung menghitung, tapi ada sentuhan perasaan dan kesabaran yang harus kita miliki. Metoda Least Square yang sering digunakan untuk menentukan koefisien regresi suatu kurva, ternyata tidak dapat diaplikasikan pada saat kita mencari konstanta Kepler. Komputer memang membantu tapi tidak menentukan apakah kurva regresi itu sudah memenuhi kaedah Keplerian. Menggambar kurva Kepler, lebih merupakan seni ketimbang komputasi, inilah yang merupakan bagian tersulit dalam pekerjaan menghitung orbit bintang ganda visual, penulis berharap ada peneliti yang mau menelaah problema kurva Kepler. Akhir kata semoga catatan ini bisa memberikan manfaat dan inspirasi dalam pekerjaan kita sebagai seorang astronom. Wassalam Bandung, Awal 2008 Penulis


3

Daftar Isi hal Bab 1. Landasan Teori 1 1.1 Definisi 1 1.2 Metoda Pengamatan 2 1.3 Penurunan persamaan Ellips 2

1.3.1 Berdasarkan sifat suatu ellips 3 1.3.2 Berdasarkan hokum Kepler II 4 1.3.3 Konstanta Kepler C 5

1.4 Elemen yang menentukan suatu lintasan 6

1.4.1 Elemen yang menentukan lintasan pada bidang orbit 6 yang sebenarnya(P,T dan e) 1.4.2 Elemen yang menentukan orientasi (a,Ω,ω dan i ) 7

1.5 Hubungan antara ellips benar dan ellips semu 7 1.6 Menentukan koordinat titik-titik utama ellips semu 10 1.7 Menentukan sumbu panjang dan sumbu pendek sebuah ellips 13 1.8 Menentukan persamaan dasar Thiele 14 1.9 Menentukan periode revolusi (P) 15

1.10 Menentukan anomali eksentrik (E) dan eksentrisitas (e) 17 1.11 Pengaruh presesi Luni-Solar terhadap lingkaran 18 jam dan sudut arah θ 1.12 Metoda Least Square untuk menghitung konstanta 20 Thiele dan Innes 1.13 Massa dan luminositas 22

Bab 2. Aplikasi pada bintang ganda visual ADS 1733 31 2.1 Urutan pekerjaan 31

2.1.1 Data yang diperlukan 31 2.1.2 Proses dasar 32

2.2 Pelaksanaan 35

2.2.1 Menentukan nilai μ = μ0 41 2.2.2 Menghitung eksentrisitas (e) dan anomaly eksentrik (E) 42 2.2.3 Menghitung saat komponen sekunder melalui periastron 43 2.2.4 Menghitung M,E,X dan Y pada tiap epoch 44 2.2.5 Menghitung konstanta Thiele dan Innes 45 2.2.6 Menentukan kesalahan konstanta Thiele dan Innes 47 2.2.7 Menghitung elemen orientasi 51 2.2.8 Hitung Massa dan jarak 53 2.2.9 Hasil akhir 54 2.2.10 Ephemeris bintang ganda ADS 1733 55

Bab 3. Proposal untuk pekerjaan selanjutnya 57 3.1 Sistem Bintang Ganda Visual ADS 8119 AB 57


4

3.2 Studi sebelumnya 59 3.3 Penentuan konstanta Kepler 59

Daftar Pustaka 63 Daftar Gambar Hal Gambar 1.1 Gambaran pasangan Bintang Ganda Visual lewat okuler

teleskop 1

Gambar 1.2 Lingkaran Bantu Kepler untuk menurunkan parameter orbit

3

Gambar 1.3 Luas daerah yang disapu persatuan waktu adalah tetap. S1t3t4=S1t1t2

5

Gambar 1.4 Lingkaran Bantu Kepler, anomaly eksentrik dan anomaly benar

6

Gambar 1.5 Projeksi bidang orbit bintang ganda visual pada bidang langit

8

Gambar 1.6 Bidang orbit nyata dan lingkaran Bantu Kepler 13 Gambar 1.7 Konstanta Thiele – Innes dan makna geometri 14 Gambar 1.8 Orbit ellip, anomali eksentrik dan anomaly benar untuk

dua waktu yang berbeda 15

Gambar 1.9 Akibat Presesi Luni-Solar mengubah sudut posisi bintang ganda

18

Gambar 1.10 Flowchart hitung massa dan paralak bintang ganda visual

18

Gambar 2.1 Panorama bintang ganda ADS 1733 (sumber http://aladin.u-strasb.fr)

26

Gambar 2.2 Lintasan bintang ganda visual ADS 1733 (Horeschi, 1958)

35

Gambar 2.3 Separasi sudut dan sudut posisi untuk tiga epoch 40 Gambar 3.1 Grafik separasi sudut (ρ) bintang ganda ADS 8119 AB

sebagai fungsi waktu 61

Gambar 3.2 Grafik sudut posisi (θ) bintang ganda ADS 8119 AB sebagai fungsi waktu

61

Daftar Tabel Hal Tabel 2.1 Elemen dinamik ADS 1733 33 Tabel 2.2 Elemen orientasi ADS 1733 34 Tabel 2.3 Ephemeris ADS 1733 34 Tabel 2.4 Posisi ADS 1733 menurut Worley (1975) 36 Tabel 2.5 Harga ρ dan θ yang telah dikoreksi 38 Tabel 2.6 Hasil perhitungan untuk menentukan nilai Δqp 40 Tabel 2.7 Hasil perhitungan untuk mencari μ0 41


5

Tabel 2.8 Hasil perhitungan untuk menentukan saat terakhir kali lmelalui periastron

44

Tabel 2.9 Hasil perhitungan dengan menggunakan (1.3.2-3), (1.3.1-1) dan (1.3.1-2)

45

Tabel 2.10 Hasil perhitungan dengan menggunakan persamaan

(1.12-3),(1.12-4) dan (1.12-6) 46

Tabel 2.11 Menunjukkan hasil perhitungan untuk menentukan kesalahan konstanta Thiele dan Innes

49

Tabel 2.12 Elemen orbit bintang ganda ADS 1733 menurut Siregar(1976)

55

Tabel 2.13 Ephemeris bintang ganda ADS 1733 menurut Siregar(1976) dari tahun 2006 sampai tahun 2020

56

Tabel 2.14 Elemen orbit bintang ganda ADS 1733 menurut Soderhjelm(1999)

56

Tabel 2.15 Ephemeris bintang ganda ADS 1733 Soderhjelm(1999) untuk semester II tahun 2006

56

Tabel 3.1 Informasi system bintang ganda ADS 8119 AB 58 Tabel 3.2 Elemen orbit hasil studi bintang ganda ADS 8119 AB 59 Tabel 3.3 Nilai separasi sudut dan sudut posisi bintang ganda ADS

8119 AB 63


6

Bab 1

Landasan Teori

1.1 Definisi

Beberapa definisi yang digunakan pada studi bintang ganda visual antara lain:

1. Komponen primer (S1), adalah bintang yang paling terang dalam sistem

bintang ganda.

2. Komponen sekunder (S2), adalah komponen bintang yang memiliki cahaya

lebih lemah dari komponen primer.

3. Jarak sudut ( ρ ), adalah jarak yang diukur dari komponen primer ke

komponen sekunder dan dinyatakan dalam detik busur.

4. Sudut posisi/sudut arah (θ ), adalah sudut yang diukur dari arah utara ke arah

komponen sekunder melalui timur. Sudut posisi dinyatakan dalam derajat.

Bayangan bintang yang dapat dilihat melalui teleskop digambarkan pada gambar 1.1-1

Gambar 1.1-1 Gambaran pasangan bintang ganda visual lewat okuler teleskop


7

x dan y menyatakan perbedaan asensiorekta (α ) dan deklinasi (δ ) dari komponen

primer dan sekunder. Hubungan komponen tersebut adalah

sin cosx ρ θ α δ= = cosy ρ θ δ= = , (1.1-1)

cosy ρ θ δ= = . (1.1-2)

Beberapa nilai sudut arah yang khusus antara lain:

θ = θ = 90o bila komponen sekunder berada di Timur

θ = 180o bila komponen sekunder berada di Selatan

θ = 270o bila komponen sekunder berada di Barat

θ = 360o atau 0o, bila komponen sekunder berada di Utara

1.2. Metode Pengamatan

Bayangan yang kita lihat melalui teleskop adalah kedudukan bintang pada bidang

langit, bukan bidang orbit yang sebenarnya. Gerakan bintang ganda merupakan gerak

keplerian yang berarti bahwa orbitnya merupakan salah satu penampang irisan kerucut,

pada umumnya adalah ellips. Komponen primer berada pada salah satu titik fokusnya

dan komponen sekunder bergerak dalam orbit yang berbentuk ellips.

1.3. Penurunan Persamaan Ellips

Gambar 1.3.1 menggambarkan komponen sekunder (S2) yang bergerak dalam orbit

yang berbentuk ellips, dengan komponen primer pada salah satu titik fokusnya.


8

Gambar 1.3-1 Lingkaran bantu Kepler untuk menurunkan parameter orbit

Bentuk lingkaran pada gambar di atas merupakan lingkaran bantu Kepler dengan jejari

a. Sedangkan bentuk ellips merupakan orbit komponen sekunder. Elemen tambahan

pada sebuah lintasan antara lain, anomali benar (ν ), anomali eksentrik (E), radius

vektor (r), setengah sumbu panjang ellips (a), setengah sumbu pendek ellips (b).

1.3.1. Berdasarkan Sifat Suatu Ellips

Dengan menggunakan gambar 1.3-1, dan menerapkan sifat suatu ellips dapat dibuktikan

(Appendiks A) bahwa

cos cosrX E ea

ν= = − , (1.3.1-1)

2sin 1 sinrY e Ea

ν= = − , (1.3.1-2)

dan

1tan tan2 1 2

e Ee

ν +=

−. (1.3.1-3)


9

1.3.2. Berdasarkan Hukum Kepler II

Pada saat T, komponen sekunder berada pada titik A dan pada saat t kemudian pada

titik S2 (lihat gambar 1.3-1), periode revolusi dari komponen sekunder dinyatakan oleh

P. Dapat diturunkan bahwa

Luas S1S2A = ( )ab t TP

π− ,

= 2

ab ( )2 t TPπ⎛ ⎞ −⎜ ⎟

⎝ ⎠,

= 2

aabM .

Dimana didefinisikan 2( )aM t TPπ

= − . (1.3.2-1)

Ma disebut anomali menengah. Selanjutnya akan dihitung luas S1S2A sebagai jumlah

luas S1S2K dan S2KA

Luas S1S2A = luas S1S2K + S2KA,

2aabM = ( )

abKSKS +× 212

1 luas LKA,

= )cossin21

21()sin()cos(

21 22 EEaEa

abrr −+νν ,

= )cossin(2

)sin)((cos2

EEEabEbeEa−+− ,

aM = )cossin(sin)(cos EEEEeE −+− .

Atau aM = )(sin TtEeE −=− μ , (1.3.2-3)

dengan Pπμ 2

= .


10

1.3.3. Konstanta Kepler C

Hukum Kepler II menyatakan bahwa luas daerah yang dilingkupi oleh radius

vektor yang dibentuk oleh sebuah titik yang bergerak pada orbit ellips dalam waktu

yang sama adalah konstan, C. Konstanta Kepler adalah

dtdC θρ 2= .

Gambar 1.3-2 Luas daerah yang disapu persatuan waktu adalah tetap

Dari gambar 1.3-2

==dtdc θρ

22

2

luas ellips : periode revolusi

Pabπ

= .

Jadi Pab

dtdC πθρ

==22

2

,

atau Pab

dtdC πθρ 22 == ,

P

ea 22 12 −=

π . (1.3.3-1)


11

1.4. Elemen yang menentukan suatu lintasan

1.4.1. Elemen yang Menentukan Lintasan pada Bidang Orbit yang

Sebenarnya (P, T, dan e)

Pada Bab ini didefinisikan beberapa besaran sebagai berikut:

P = Periode revolusi dalam tahun surya menengah.

T = Saat terakhir kali komponen sekunder melalui titik terdekat antara komponen

primer dan sekunder (Periastron).

e = Eksentrisitas ellips yang merupakan lintasan sebenarnya (ellips benar).

Gambar 1.4.1-1 Lingkaran bantu Kepler, anomali eksentrik dan anomali benar

Dari gambar 1.4.1-1. kita dapat melihat bahwa Periastron terjadi bila °== 0νE .

1.4.2. Elemen yang Menentukan Orientasi (a, Ω, ω, dan i).

Elemen yang menentukan orientasi lintasan, antara lain

a = setengah sumbu panjang ellips benar.


12

Ω = sudut arah yang diukur dari garis simpul ke arah utara sepanjang lintasan. Sudut

arah mempunyai harga °≤Ω≤° 1800 .

ω = sudut posisi, diukur pada lintasan sebenarnya dari garis simpul ke periastron dalam

arah gerakan komponen sekunder. Sudut posisi mempunyai nilai 0 360° ≤ ω ≤ ° .

i = inklinasi, sudut yang dibentuk oleh bidang lintasan sebenarnya dan bidang langit.

Untuk gerakan direct inklinasi mempunyai nilai °≤≤° 900 i , sedangkan untuk

gerakan retrogade bernilai 90 180i° ≤ ≤ ° .

1.5. Hubungan Antara Ellips Benar dan Ellips Semu

Arti geometri elemen orbital dan hubungan analitis elemen tersebut dapat kita

cari dengan menggunakan gambar 1.5-1, dan menggunakan hubungan trigonometri

yang berlaku.

Gambar 1.5-1 Projeksi bidang orbit bintang ganda visual pada bidang langit


13

Dapat dilihat bahwa:

)cos()cos( ωνθρ +=Ω− r , dan

ir cos)sin()sin( ωνθρ +=Ω− .

Persamaan di atas dapat dituliskan

( ) ( )ωνωνθθρ sinsincoscossinsincoscos −=Ω+Ω r , (1.5-1)

( ) ( ) ir cossincoscossinsincoscossin ωνωνθθρ +=Ω+Ω . (1.5-2)

Persamaan (1.5-1) dikalikan dengan Ωcos , dan persaman (1.5-2) dikalikan dengan

Ω− sin , kemudian dijumlahkan maka diperoleh:

( ) ( )irir cossincoscossinsincossinsincoscoscoscos Ω−Ω−+Ω−Ω= ωωνωωνθρ

( )[ ] ( )[ ]iaaria

ar cossincoscossinsincossinsincoscoscos Ω−Ω−+Ω−Ω= ωωνωων .

Dari persamaan (1.1-1) dan (1.1-2) persamaan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk

FYAXy +== θρ cos , (1.5-3)

dengan

( )iaA cossinsincoscos Ω−Ω= ωω ,

( )iaF cossincoscossin Ω+Ω−= ωω . (1.5-4)

Selanjutnya persamaan (1.5-1) dan (1.5-2) masing-masing dikalikan dengan Ωsin dan

Ωcos , kemudian dijumlahkan diperoleh:

( ) ( )irir coscoscossinsinsincoscossinsincoscossin Ω+Ω−+Ω+Ω= ωωνωωνθρ

( )[ ] ( )[ ]iaaria

ar coscoscossinsinsincoscossinsincoscos Ω+Ω−+Ω+Ω= ωωνωων .

Dan dengan menggunakan persamaan (1.1-1) dan (1.1-2) persamaan di atas dapat kita

tuliskan dalambentuk:

GYBXx +== θρ sin , (1.5-5)


14

dimana

( )iaB coscossinsincos Ω−Ω= ωω ,

( )iaF coscoscossinsin Ω+Ω−= ωω . (1.5-6)

Dari persamaan (1.5-3), (1.5-4), (1.5-5), (1.5-6) dapat diturunkan (Appendiks B)

beberapa hubungan seperti di bawah ini:

( )2

coscos2 2 iaGA Ω+=+ ω , (1.5-7)

( )2

sincos2 2 iaGA Ω−=− ω , (1.5-8)

( )2

cossin2 2 iaFB Ω+=− ω , (1.5-9)

( ) ( )2

sinsin2 2 iaFB Ω−=+− ω , (1.5-10)

AGFB

−+

=Ω− )tan(ω , (1.5-11)

AGFB

+−

=Ω+ )tan(ω . (1.5-12)

Dari persamaan (1.5-11) dan (1.5-12) terlihat bahwa sin(ω-Ω) mempunyai tanda yang

sama dengan (B+F), demikian juga dengan sin(ω+Ω) mempunyai tanda yang sama

dengan (B-F). Akibatnya kuadran (ω-Ω) dan (ω+Ω) sudah tertentu.

Untuk menghitung i, dapat digunakan persamaan

( )( )Ω−

Ω++−

=ωω

coscos

2tan2

GAGAi . (1.5-13)

Dalam rumus-rumus di atas A, B, F, dan G disebut konstanta Thiele dan Innes.

1.6. Menentukan Koordinat Titik-Titik Utama Ellips Semu


15

Ditinjau persamaan (1.5-5), (1.3.1-1), (1.3.2-1)

Ee

arY

eEarX

sin1sin

coscos

2−==

−==

ν

ν

Pada periastron °= 0E dan 0=Y . Jadi

0

10cos

=

−=−°=

p

p

Y

eeX (1.6-1)

Substitutsi (1.6-1) pada (1.5-3) dan (1.5-6), sehingga diperoleh

AeFYAXy

BeGYBXx

ppp

ppp

)1(

)1(

−=+=

−=+= (1.6-2)

Pada Apastron °= 180E dan 0=Y

0

)1(180cos=

+−=−°=

A

A

YeeX

(1.6-3)

Substitutsi (1.6-3) pada (1.5-3) dan (1.5-6) sehingga diperoleh

AeFYAXyBeGYBXx

AAA

AAA

)1()1(

+−=+=+−=+=

(1.6-4)

Koordinat pusat ellips adalah

[ ]

[ ] eAAeAeyyy

eBBeBexxx

Apc

Apc

−=−++−=+=

−=−++−=+=

)1()1(21)(

21

)1()1(21)(

21

Jadi

eAyeBx

c

c

−=−=

(1.6-5)

Pada posisi dimana nilai °= 90E , diperoleh


16

2290

90

190sin1

90cos

eeY

eeX

−=°−=

−=−°=

°

°

Sehingga

FeAeFYAXy

GeBeGYBXx2

909090

2909090

1

1

−+−=+=

−+−=+=

°

°

Bila titik utama tersebut dihitung dari titik pusat ellips, maka diperoleh

1. Koordinat Periastron

cpp xxx −=0,

BeBBe =−−−= )()1(

cpp yyy −=0, ,

AeAAe =−−−= )()1( .

Jadi Bx p =0, , dan Ay p =0, . (1.6-6)

2. Koordinat Apastron

cAA xxx −=0, ,

BeBBe −=−−+−= )()1( .

cAA yyy −=0, ,

AeAAe −=−−+−= )()1( .

Jadi BxA −=0, , dan AyA −=0, . (1.6-7)

3. Koordinat utuk nilai °= 90E

cxxx −= 900,90 ,

( ) )(1 2 eBGeBe −−−+−= ,

Ge21−= .


17

cyyy −= 900,90 ,

( ) )(1 2 eAFeAe −−−+−= ,

Fe21−= .

Jadi Gex 20,90 1−= , dan Fey 2

0,90 1−= . (1.6-8)

Dari persamaan di atas (1.6-6), (1.6-8) dapat dilihat bahwa konstanta Thiele Innes A, B,

F, dan G menyatakan proyeksi koordinat siku-siku ekuatorial dari titik periastron dan

titik anomali eksentrik °= 90E yang terletak pada bidang orbit sebenarnya ke bidang

langit.

1.7. Menentukan Sumbu Panjang dan Sumbu Pendek Sebuah Ellips.

Untuk menentukan sumbu panjang ellips semu, dapat dilakukan langkah

berikut.

Gambar 1.7-1 Bidang orbit nyata dan lingkaran bantu Kepler


18

Gambar 1.7-1 menggambarkan bidang orbit yang sebenarnya dengan lingkaran bantu Kepler

yang memiliki jejari=1/2 sumbu panjang ellips.

Apabila gambar 1.7-1 diproyeksikan pada bidang langit akan diperoleh:

i. Lingkaran bantu Kepler menjadi ellips bantu Kepler. Dengan setengah sumbu panjang,

a dan setengah sumbu pendek, b. Dalam hal ini cosb a i= .

ii. Lintasan benar (ellips benar) menjadi lintasan semu (ellips semu).

Gambar 1.7-2 Konstanta Thiele-Innes dan makna geometri

Gambar 1.7-2 menunjukkan bahwa konstanta Thiele dan Innes A, B, F, dan G

menyatakan proyeksi periastron dan titik dimana E mencapai 90° . Dengan menerapkan

teorema Apollonius pada gambar tersebut, kita dapat memperoleh (Apendiks C).

( )2 2 2 2 2 21 cosa i A B F G+ = + + + ( )2 2 2 2 2 21 cosa i A B F G+ = + + + , (1.7-1)

dan

31 3 1U V E E E+ = = − 2 2cosa i AG BF= − . (1.7-2)


19

1.8. Menentukan Persamaan Dasar Thiele

Misalkan qpΔ menyatakan dua kali luas segitiga yang dibentuk oleh radius vektor pada

saat komponen sekunder bergerak dari epoch pt ke qt .

Gambar 1.8-1 Orbit elip, anomali eksentrik dan anomali benar

untuk dua waktu yangberbeda

Dengan menggunakan gambar 1.8-1, dan hasil yang sudah diperoleh dari 1.3.1, 1.3.2,

dan 1.3.3, dapat dibuktikan (Apendiks D) bahwa persamaan dasar Thiele mempunyai

bentuk

sinqpqp qp qpt E E

Cμ

Δ⎛ ⎞− = −⎜ ⎟

⎝ ⎠, (1.8-1)

dengan

qpΔ = 2 x luas segitiga '1 2 2S S S ,

qp q pt t t= − , (1.8-2)

qp q pE E E= − . (1.8-3)


20

1.9. Menentukan Periode Revolusi (P)

Periode revolusi (P) dapat ditentukan dengan langkah sebagai berikut.

Diambil tiga buah titik pengamatan saat 1t , 2t , dan 3t . Dari persamaan dasar Thiele,

dapat diturunkan

2121 21 21sinE E t

Cμ Δ⎛ ⎞− = −⎜ ⎟

⎝ ⎠, (1.9-1)

3232 32 32sinE E t

Cμ Δ⎛ ⎞− = −⎜ ⎟

⎝ ⎠, (1.9-2)

3131 31 31sinE E t

Cμ Δ⎛ ⎞− = −⎜ ⎟

⎝ ⎠, (1.9-3)

Misalkan

21 2 1U E E E= = − ,

32 3 2V E E E= = − .

Jadi 31 3 1U V E E E+ = = − (1.9-4)

Persamaan (1.9-1), ( 1.9-2), ( 1.9-3) dapat dituliskan menjadi

2121sin ( )U U t

Cμ Δ

− = − , (1.9-5)

3232sin ( )V V t

Cμ Δ

− = − , (1.9-6)

( ) ( ) 3131sin ( )U V U V t

Cμ Δ

+ − + = − . (1.9-7)

Karena harga 21t , 32t dan 31t diketahui, demikian juga 21

CΔ , 32

CΔ , dan 31

CΔ dapat

dihitung atau dengan perkataan lain, U dan V hanya bergantung pada harga μ yang

dipilih.


21

μ harus dipilih sehingga (U+V) yang diperoleh dari penjumlahan (1.9-5) dan (1.9-6)

sesuai dengan (U+V) yang diperoleh dari rumus (1.9-7). Nilai yang memenuhi syarat

tersebut dinyatakan dengan 0μ μ= , masing-masing dengan 0U dan 0V .

0 2 1U U E E= = − ,

0 3 2V V E E= = − . (1.9-8)

Periode revolusi P dihitung dari hubungan 02Pπμ μ= = atau dapat dinyatakan

0

2P πμ

= .

1.10. Menentukan Anomali Eksentrik (E) dan Eksentrisitas (e)

Perhatikan persamaan (1.8-1) dan (1.8-3). Dengan memisalkan

sine ϕ= , atau 21 cose ϕ− = ,

2 1U E E= − ,

3 2V E E= − ,

3 1U V E E+ = − , (1.10-1)

dengan memanipulasi (1.8-3) dan menggunakan (1.10-1) diperoleh hubungan

(Appendiks E)

23 122

12 23 13

sin sinsin sin U VEϕ Δ − Δ=

Δ + Δ − Δ, (1.10-2)

23 12 132

12 23 13

cos cossin cos U VEϕ Δ + Δ − Δ=

Δ + Δ − Δ. (1.10-3)

Penggabungan (1.10-2) dan (1.10-3) akan menghasilkan

23 122

12 23 13

sin sintancos cos

U VEV U

Δ − Δ=

−Δ + Δ − Δ. (1.10-4)


22

E2 dapat ditentukan dari persamaan di atas, bila ruas kanan bisa dihitung. Selanjutnya E1

dan E3 dapat diperoleh karena U dan V telah diketahui dari 1.9. Eksentrisitas dapat

dihitung dengan menggunakan (1.10-2) atau (1.10-3).

1.11. Pengaruh Presesi Luni-Solar Terhadap Lingkaran Jam dan

Sudut arah θ

Van de Kamp (1969) mendefinisikan Presesi Luni-Solar sebagi bergesernya

vernal equinox sepanjang ekliptika dengan mengecilnya longitude. Peristiwa ini terjadi

akibat gaya gravitasi diferensial Bulan dan Matahari terhadap Bumi. Pengaruh Presesi

Luni-Solar dapat dilihat pada gambar 1.11-1.

Gambar 1.11-1 Akibat presesi Luni-Solar pada sudut posisi bintang ganda

P1 = kutub ekuator sebelum mengalami presesi Luni-Solar.


23

P2 = kutub ekuator sesudah mengalami presesi Luni-Solar.

S1 = Titik potong lingkaran jam pada bidang ekuator sebelum mengalami presesi Luni-

Solar.

S2 = Titik potong lingkaran jam pada bidang ekuator sesudah mengalami presesi Luni-

Solar.

θΔ = perubahan sudut posisi selama satu tahun.

n = Pergeseran kutub P1 ke P2 selama satu tahun.

Hubungan matematis antara θΔ , n, α , dan δ dapat diperoleh dengan memperhatikan

segitiga bola SP1P2 :

( )'

sin sinsin sin 90n

θ αδ

Δ=

° −,

atau

'

sin sinsin cosn

θ αδ

Δ= ; dapat juga dinyatakan

'

sinsin sincos

nαθδ

Δ = .

Karena θΔ dan n mempunyai harga yang cukup kecil, maka persamaan di atas dapat

dinyatakan sebagai

'sin secnθ α δΔ = .

Newcomb (vide, Van de Kamp, 1969) memberikan harga 20".0495n = /tahun atau

0 .00557n = ° /tahun. Nyatakan δ dengan 'δ maka 1.11-1 dapat dituliskan menjadi

0 .00557sin secθ α δΔ = ° /tahun,

pada epoch 2000. Sehingga untuk menentukan θΔ pada epoch t, persamaan (1.11-2)

ditambah dengan faktor (2000-t), menjadi

0 .00557sin sec (2000 )tθ α δΔ = ° − .


24

1.12. Metode Least Square untuk Menghitung Konstanta Thiele dan

Innes

Tinjau kembali persamaan (1.5-3) dan (1.5-5)

x BX GYy AX FY

= += +

Pernyataan ini dapat ditulis sebagai

x BX GY Y

= + , (1.12-1)

y AX FY Y

= + . (1.12-2)

Misalkan Δ menyatakan perbedaan nilai xY

atau yY

yang diamati dan nilai 'x

Y⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

atau 'y

Y⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

yang dihitung dari persamaan (1.12-1) dapat dinyatakan:

x BX GY Y

⎛ ⎞Δ = − +⎜ ⎟⎝ ⎠

,

kemudian dikuadratkan

22 x BX G

Y Y⎡ ⎤⎛ ⎞Δ = − +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

,

untuk n pengamatan.

22

1 1

n n x BX GY Y

⎡ ⎤⎛ ⎞Δ = − +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦∑ ∑ . (1.12-3)

B dan G ingin ditentukan supaya harga 2

1

n

Δ∑ minimum, untuk itu persamaan (1.12-3)

kita turunkan terhadap B dan G dan kemudian hasilnya kita samakan dengan nol,

diperoleh:


25

2X X x XB GY Y Y Y

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

∑ ∑ ∑ ,

2X xB nGY Y

⎛ ⎞ + =⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑ .

B dan G dapat ditentukan dari determinan

2

X x XY Y Y

nxY

BXXYY

nXY

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠=

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑

∑

∑∑

∑

, dan

2

2

X x XY Y Y

X xY Y

GXXYY

nXY

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑

∑

∑∑

∑

.

Hal yang sama dapat kita lakukan pada (1.12-2) maka kita akan memperoleh nilai A dan

F.

Persamaan least square dari (1.12-2) adalah

2

2

X X y XA FY Y Y Y

X yA nFY Y

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑ ∑ ∑

∑ ∑

A dan F dihitung dari determinan:


26

2

y Y XY Y Y

nyY

AXXYY

nXY

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠=

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑

∑

∑∑

∑

, dan

2

2

Y y XY Y Y

X yY Y

FXXYY

nXY

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑

∑ ∑

∑∑

∑

.

1.13. Massa dan Luminositas Dalam system bintang berdua visual dikenal beberapa pernyataan yang dapat digunakan untuk menghitung jarak dan massa bintang Paralak dinamik

( )3

212 MMP

ap+

=

Dalam hal ini; a-setengah sumbu panjang dalam detik busur P-periode revolusi dinyatakan dalam tahun Mi massa bintang ke- i 1) Hubungan magnitude bolometric (magnitude untuk seluruh panjang gelombang)

LogpmM bb 55 ++= Mb – magnitude absolute bolometric mb – magnitude semu bolometrik p –paralak 2) Hubungan massa-luminositas Log M = 0,1 (4,6-Mb ) bila 0 < Mb < 7,5 Log M = 0,145 (5,2 - Mb ) bila 7,5 < Mb < 11 Dalam hal ini M – massa bintang


27

Start

a, p0, P, dan ε ,mb(1), mb(2)

0

55)2()2(55)1()1(

LMLogpmM bb ++=

055)()( LogpimiM bb ++=

For I=1,2

5,7)( ≤IM b

( ))(6,41,0)( IMILM b−= ( ))(2,5145,0)( IMILM b−=

)(10)( ILMIM =

Next I

( ))2()1(3 2 MMP

ap+

=

1

2

tidak ya

Flowchart hitung masa dan luminositas


28

Flowchart Hitung Massa dan Paralak Bintang Ganda Visual. Data masukan: p0 tebakan paralak dinamik awal. P – priode dalam tahun, ε presesi relatif . mb(1) – magnitudo semu bolometrik bintang primary, mb(2)-magnitudo semu bolometrik secondary dan a – setengah sumbu panjang dalam detik busur Data keluaran M(1)-massa bintang primary, M(2)- massa bintang secondary, paralak dinamik p, magnitudo absolut bolometrik primary Mb(1) dan magnitudo absolut bolometrik secondary Mb(2). Catatan : jarak d= 1/p dalam hal ini d jarak binang dalam parsek

1

│p-p0│≤ εp p0 = p

p, Mb(1),Mb(2), M(1),M(2)

Stop

2


29

Bab 2.

Aplikasi pada bintang ganda visual ADS 1733

Bintang ganda ADS 1733 sudah lama diketahui orang tentang orbitnya, bintang ini terletak

dibelahan langit selatan langit mudah diamati pada bulan September, informasi mengenai

separasi sudut, sudut posisi dan luminositas cukup tersedia di internet maupun di perpustakaan

Gambar 2. Panorama bintang ganda ADS 1733 (sumber http://aladin.u-starsbg.fr/)

2.1. Urutan Pekerjaan

Setelah diperoleh semua data yang diperlukan untuk menurunkan suatu lintasan,

barulah pekerjaan ini dapat kita selesaikan.

2.1.1. Data Yang diperlukan


30

i. Koordinat ekuatorial α dan δ pada epoch yang dipilih. Untuk pekerjaan ini diambil

pada epoch 2000.

ii. Sudut arah, θ, yang telah dikoreksi terhadap pengaruh presesi dan dinyatakan dalam

derajat.

iii. Jarak sudut,ρ, dinyatakan dalam detik busur.

iv. Saat pengamatan dilakukan, t.

2.1.2. Proses Dasar.

i. Kita buat grafik yang memberikan hubungan antara θ dan t. Demikian juga ρ

terhadap t, pada masing-masing epoch.

ii. Kemudian diperiksa apakah hukum kekekalan luas (Hukum Kepler II) dipenuhi yaitu

=Δ+ dtd

tttθρρ konstan = C

Kalau belum, kita koreksi grafik sehingga hukum Kepler II dipenuhi.

iii. Harga ρ dan θ yang telah memenuhi syarat dapat segera dibaca dari grafik tadi.

iv. Langkah terakhir adalah menggunakan rumus pada Bab 1 untuk menentukan

konstanta dan elemen lintasan.

A. Tujuan Penelitian

Studi ini bertujuan untuk menentukan orbit sistem bintang ganda visual,

menurunkan beberapa besaran fisis pada sistem tersebut, dan memperkirakan

bagaimana sistem bintang ganda tersebut pada masa yang akan datang (ephemeris).

Studi ini menggunakan obyek ADS 1733 dengan koordinat (epoch 2000)

=α 2h15m.8

=δ -18o14’


31

Alasan dipilihnya objek ini adalah:

1. Lintasannya sudah dapat ditentukan

Data yang digunakan pada studi ini berasal dari data yang dikumpulkan oleh

Worley tahun 1975, dimana sebagian besar data terdiri dari data yang terdapat

pada studi oleh Horeschi (1958).

2. Kelas spektrum sudah diketahui

Studi oleh Horeschi menyatakan adanya tiga buah kelas spektrum untuk obyek ini

yang merupakan hasil dari tiga buah studi yang lain, yaitu:

a. Kelas spektrum K0 dari catalog Henry Draper.

b. Kelas spektrum dK4 dari studi oleh Wilson

c. Kelas spektrum K3 dari studi oleh Kuiper

Informasi mengenai kelas spektrum digunakan dalam salah satu langkah dalam

penentuan massa bintang.

B. Penyelidikan Sebelumnya

Horeschi (1958) telah mempelajari sistem ADS 1733 dan memperoleh elemen orbit

sebagai berikut:

Elemen dinamik:

Tabel 1. Elemen dinamik ADS 1733

Periode P 168.6 tahun

Eksentrisitas E 0.48

Inklinasi i ± 31o.25

Elemen Orientasi:


32

Tabel 2. Elemen orientasi ADS 1733

Setengah sumbu panjang ellips benar a 1”.70

Longitude Periastron ω 71.72

Sudut posisi titik simpul naik Ω 103o.13

Pergesaran sudut per tahun μ 2o.135

Waktu pada saat komponen sekunder melewati

Periastron

T 1987.0

Ephemeris ADS 1733

Tabel 3. Ephemeris ADS 1733

t θ ρ

1958.0 61o.19 1”.567

1960.0 65 o.06 1”.525

1962.0 69 o.15 1”.482

1964.0 73 o.50 1”.435

1966.0 78 o.15 1”.386

1968.0 83 o. 15 1”.334

1970.0 88 o.57 1”.278

1987.0 172 o.00 0”.770

Pada gambar 1 ditunjukkan lintasan ADS 1733 dari studi oleh Horeschi (1958).


33

Gambar 1. Lintasan bintang ganda visual ADS 1733 (Horeschi, 1958)

2.2. Pelaksanaan

Diketahui : ADS 1733 = BDS 1179 = Hasting I = Lalande 4219

α = 2h15m.8 ( Epoch 2000 )

δ = -18o14’

Untuk bintang tersebut diperlukan koreksi sudut arah sebesar

( )t−=Δ 2000secsin00557.0 δαθ , dengan data di atas diperoleh

( )t−=Δ 2000003145.0θ ,

dinyatakan dalam tiga desimal, menjadi


34

( )t−=Δ 2000003.0θ . (1.2-1)

Tabel I. Posisi ADS 1733, menurut Worley (1975).

No t θ0 θc ρ OBS Jum.

Malam Referensi 1 1679.92 311.8 312.16 2.22 HL 2 - 2 1885.04 334.4 333.74 2.299 HL 3 - 3 1886.87 336.7 337.04 1.96 LV 3 - 4 1887.06 338.9 340.54 2.18 HL 4 - 5 1888.5 340.2 340.83 2.8 LV 7 - 6 1889.95 340.5 343.93 2.36 LV 4 - 7 1890.95 343.6 343.93 2.06 HL 3 - 8 1890.95 341.4 341.73 2.21 BU 3 Mem.R.Astron.Soc. V44, 141 9 1891.03 340.3 340.63 2.21 LV 3 -

10 1891.76 341.7 342.03 2.09 LV 2 - 11 1899.77 349.5 349.81 2.22 DOO 5 Pub. Univ. Pennsylvania V1, PT3 12 1903.63 353.9 354.19 2.42 Din 1 Pub. US. Naval Obs. V6, 117 13 1909.76 359.2 359.47 2.1 OL 2 Lick Obs. Bul. V5, 185 14 1915.4 364.2 364.45 2.06 OL 2 Astron. J. V30, 063, 157 15 1926.98 387.8 388.02 1.87 FIN 1 Union Obs. Circ No 112, 104 16 1928.65 379.3 379.51 2.04 VOU 4 Ann Bosscha Obs. Lembang V6, PT1 17 1930.04 378.6 378.81 2.19 WAL 4 Ann Bosscha Obs. Lembang V6, PT2 18 1930.54 380.1 380.31 2.07 OL 3 Pub. Univ. Pennsylvania V5, PT1, sec 1 19 1930.78 383.7 383.91 1.7 BRT 3 Pub. Univ. Pennsylvania V5, PT1, sec 2 20 1933.11 384.6 384.8 1.19 WRH 3 Pub. Univ. Pennsylvania V6, PT4, 03 21 1933.6 384.7 384.9 1.94 VOU 4 Ann Bosscha Obs. Lembang V6, PT4 22 1933.79 386.1 386.3 2.06 VBS 2 Pub. Yerkes Obs. V8, 047 23 1934.99 387 387.2 1.98 B 4 Union Obs. Circ No 94, 149 24 1936.86 388.6 388.79 1.92 SNW 4 Ann Bosscha Obs. V9, PT1 25 1936.98 389.6 389.79 1.78 FIN 1 Union Obs. Circ No 112, 104 26 1937.81 389 389.2 1.92 KUI 1 Astrophys. J. Supp. V6, 001 27 1937.87 388 388.2 2.3 VAT 1 Vatican Catalog 1930, Appendix 3 28 1938.67 391.3 391.49 1.89 VOU 3 Ann Bosscha Obs. Lembang V6, PT4 29 1942.59 394.8 395 1.89 VOU 4 Manuscript, see J. Obs. V38, 109.

30 1945.85 399 399.16 1.88 GTB 1 Mem. Commonw. Obs. Mt. Stromlo, V2,

N4,19

31 1945.89 401.2 401.36 1.93 WCY 1 Mem. Commonw. Obs. Mt. Stromlo, V2,

N4,19

32 1945.92 401.5 401.66 1.74 GTB 1 Mem. Commonw. Obs. Mt. Stromlo, V2,

N4,19

33 1945.97 403.1 403.26 2.03 GTB 1 Mem. Commonw. Obs. Mt. Stromlo, V2,

N4,19 34 1946.37 404.1 404.26 1.9 BRT 4 Pub. Univ. Pennsylvania V7, PT1, sec 1 35 1946.89 401.5 401.66 1.78 WCY 1 Mem. Commonw. Obs. Mt. Stromlo, V2, N09 36 1948.76 403.8 404 1.66 VBS 2 Pub. Yerkes Obs. V8, 159 37 1948.96 405.5 405.65 1.71 B 4 Union Obs. Circ No 111, 013 38 1949.79 405.87 406.02 1.737 LEM Ann. Bosscha Obs. Lembang, V9, PT2 39 1951.64 408.46 408.6 1.726 LEM Ann. Bosscha Obs. Lembang, V9, PT2 40 1953.76 410.33 410.47 1.628 LEM Ann. Bosscha Obs. Lembang, V9, PT2 41 1954.66 413.22 416.36 1.659 LEM Ann. Bosscha Obs. Lembang, V9, PT2 42 1955.93 418.6 418.73 3.14 MOH 1 -


35

43 1956.02 415.1 415.23 1.6 B 1 Union Obs. Circ No 115, 266 44 1957.71 421.33 421.46 1.483 LEM Ann. Bosscha Obs. Lembang, V9, PT2 45 1957.73 418.8 418.93 1.66 B 3 Astrophys. J. Supp. V4, No. 36, 045 46 1958 421.5 421.63 1.56 VBS 3 Pub. Yerkes Obs. V9, PT2 47 1959.87 421.3 421.42 1.46 KNP 3 Union Obs. Circ No 119, 331 48 1961.76 426.6 426.71 1.54 B 4 Astron. J. V67, 555 49 1961.94 429.9 430.01 1.5 MRC 1 Obs. Nacional Brasil No.21, 1966 50 1962.92 427.3 427.41 1.5 KNP 1 Rep. Obs. Circ. No. 122, 025. 51 1964.29 430.8 430.91 1.55 B 3 Rep. Obs. Circ. No. 125, 093. 52 1965.98 435.5 435.6 1.48 NBG 4 Rep. Obs. Circ. No. 125, 105. 53 1965.98 433.5 433.6 1.39 KNP 1 Rep. Obs. Circ. No. 128, 177. 54 1968.79 441.4 441.49 1.44 NBG 1 Rep. Obs. Circ. No. 128, 184.

Dimana Indeks nama yang terdapat pada kolom OBS adalah

BRT = Barton, S.G.

WRH = Wilson, R.H., Jr.

VBS = Van Biesbroeck, G.

B = Van den Bos, W.H.

SMW = Simonow, G.V.

KUI = Kuiper, G.P.

VAT = Vatican

GTB = Gottlieb, K.

HL = Hall, A.

WOY = Wolley, R.U.D.

LEM = Lembang (Bosscha

Observatory)

MOH =

KNP = Knipe, G.H.G.

MRG = Morgan, H.R.

NBG = Newberg, I.L.

LV = Leavenworth, F.

BU = Burnham, S.W.

DOO = Doolittle, E.

DW = Dinwiddie, W.W.

OL = Olivier, C.P.

FW = Finsen, W.S.

VOU = Voute

WAL = Wallenquist, A.

θo = harga θ yang diamati

θc = harga θ setelah dikoreksi terhadap pengaruh presesi

Selanjutnya kita baca nilai θ dan ρ dari grafik yang telah memenuhi Hukum Kepler II, dan

kemudian kita buat tabel 1.2-2.


36

Tabel 2.2-2. Harga θ dan ρ yang telah dikoreksi.

No t θ ρ x y Δθ C 1 1902 351.23 2.18 -0.332 2.155 3.99 18.88 2 1906 355.22 2.17 -0.181 2.162 3.98 18.66 3 1910 359.2 2.16 -0.03 2.16 3.99 18.36 4 1914 363.19 2.13 0.119 2.127 4.12 18.43 5 1918 367.31 2.1 0.267 2.083 4.35 18.82 6 1922 371.66 2.06 0.416 2.017 4.38 18.41 7 1926 376.04 2.04 0.564 1.961 4.44 18.21 8 1930 380.48 2.01 0.703 1.883 4.64 18.37 9 1934 385.12 1.97 0.836 1.784 4.99 18.97

10 1938 390.11 1.93 0.968 1.67 4.99 18.11

11 1942 395.1 1.88 1.081 1.538 5.49 18.78

12 1946 400.59 1.82 1.184 1.382 5.98 18.83

13 1950 406.57 1.73 1.256 1.189 6.49 18.75

14 1954 413.06 1.67 1.335 1.004 6.99 18.79

15 1958 420.05 1.61 1.395 0.804 6.99 18.01

16 1962 427.04 1.6 1.473 0.624 7.96 18.89

17 1966 435 1.49 1.439 0.386

dari tabel 2.2-2., terlihat bahwa :


37

1. Dalam pekerjaan ini pengamatan sebelum tahun 1902 tidak diikut sertakan dalam

analisa, karena:

i. Kurang lengkapnya referensi; bagaimana data tersebut diperoleh.

ii. Pengamatan sebelum tahun 1902 dianggap mempunyai bobot ketelitian

yang kecil.

2. Dari Tabel 2.2-2., dapat diperoleh bahwa, C yang dapat diturunkan adalah: C =

18.585 [derajat][detik busur]2 /4 tahun,

σ = 0.313 [derajat][detik busur]2 /4 tahun.

Jika dinyatakan dalam satuan [radian][detik busur]2 pertahun, diperoleh

C = 0.081 [radian][detik busur]2 /tahun,

σ = 0.001 [radian][detik busur]2 /tahun.

C adalah C rata-rata yang dihitung dengan nC

C i∑= . Sedangkan σ

adalah standard deviasi, ditentukan dengan menggunakan hubungan

( )

1

2

−

−= ∑

nCC iσ .

Selanjutnya akan ditentukan nilai

1331

2332

1221

EEEVUEEEVEEEU

oo

o

o

−==+−==−==

Dengan menggunakan tiga buah titik dari tabel 2.2-2. akan ditentukan harga Δqp.

Ketiga titik tersebut adalah

1. Titik ujung, epoch t= 1906

2. Titik tengah, epoch t=1936

3. Titik Akhir, epoch t = 1966.


38

Tabel 2.2-3. Hasil perhitungan untuk menentukan nilai Δqp

No T θ ρ y x Δqp tqp θqp 1 1906 355.22 2.171 2.163 -0.181 2.25 30 32.33 2 1936 387.55 1.937 1.717 0.896 2.129 30 47.45 3 1966 435 1.491 0.386 1.44 3.185 60 79.78

Arti notasi, yang terdapat pada tabel di atas dapat dilihat dengan memperhatikan gambar (2.2-

1).

Gambar 2.2-1 Separasi sudut dan sudut posisi untuk tiga epoch acuan

Δ21 = 2 x luas segitiga s1t1t2 = 2.250 (detik busur)2,

Δ32 = 2 x luas segitiga s1t2t3 = 2.129 (detik busur)2,

Δ31 = 2 x luas segitiga s1t1t3 = 3.185 (detik busur)2.

Sedangkan

θ21 = θ2 - θ1 = 32o.33,

θ32 = θ3 - θ2 = 47o.45,

U 0o

S 180o

t1=1906

t2=1936

t3=1966

S1 θ1 θ2 θ3

ρ1

ρ2

ρ3


39

θ31 = θ3 - θ1 = 79o.78.

2.2.1. Menentukan nilai μ = μ0

Untuk menentukan μ = μ0, rumus yang akan digunakan adalah persamaan dasar Thiele

(1.8.1). Data untuk tqp dan Δqp diambil dari tabel 1.2-3 dan C = 0.081 [radian][detik busur]2

/tahun.

Tabel 2.2.1-1. Hasil perhitungan untuk mencari μ0

NO t- Δqp/C Eqp μ=2o.135 μ=2o.137 μ=2o.139

1 30 E21 45.852 45.867 45.881 2 30 E32 54.685 54.703 54.721 3 60 E31 100.532 100.567 100.602

Dari tabel di atas dapat dilihat bahwa yang memenuhi syarat agar E31=E32+E21, adalah μ =

2o.139/tahun. Harga E yang memenuhi adalah:

E21 = 45o.881 = U,

E32 = 54o.721 = V,

E31 = 100o.602 = (U+V).


40

2.2.2. Menghitung eksentrisitas (e) dan anomali eksentrik (E).

Untuk menghitung e dan E, digunakan persamaan (1.10-2) dan (1.10-3). Sedangkan

data diambil dari tabel 2.2.1-1 kolom ketujuh.

132312

12232

sinsinsinsin

Δ−Δ+ΔΔ−Δ

=VU

Eφ ,

185.3129.2250.2

)721.54sin(250.2)881.45sin(129.2−+

°−°= ,

194.1309.0−

= ,

atau 259.0sinsin 2 −=Eφ . (2.2.2-1)

Hal yang sama kita lakukan pada persamaan yang berikut

132312

1312232

coscoscossin

Δ−Δ+ΔΔ−Δ+Δ

=VU

Eφ ,

akan diperoleh hasil sebagai berikut:

338.0cossin 2 −=Eφ . (2.2.2-2)

Dengan menggunakan (2.2.2-1) dan (2.2.2-2) diperoleh :

338.0259.0

cossinsinsin

2

2

−−

=EE

φφ ,

atau, 776.0tan 2 =E ,

°+°= 180462.372E k ; k=0,1,2,…

Untuk memilih harga k, E2 harus memenuhi persamaan (2.2.2-1) dan (2.2.2-2).

Dari persamaan (2.2.2-1)

2sin259.0sinE

−=φ atau e =

2sin259.0E

− .

Jadi 0sin 2 <E atau °<<° 360180 2E . (2.2.2-3)


41

Dari persamaan (2.2.2-2)

2cos259.0sinE

−=φ atau e =

2cos259.0E

− .

Berarti 0cos 2 <E , jadi °<<° 27090 2E . (2.2.2-4)

Dengan memperhatikan syarat (2.2.2-3) dan (2.2.2-4), dapat ditarik kesimpulan bahwa

°<<° 270180 2E , atau dengan kata lain k yang memenuhi adalah k = 1.

1180462.372 ×°+°=E ,

= 217o.462.

Jadi dengan begitu E1 dan E3 dapat ditentukan dan diperoleh

E1 = 171o.581,

E3 = 272o.183.

Selanjutnya e dihitung dengan menggunakan hubungan

e 338.0cos 2 −=E ,

e ( )462.217cos338.0°

−= ,

e = 0.426.

2.2.3 Menghitung Saat Komponen Sekunder Melalui Periastron T

Rumus yang akan digunakan adalah persamaan (1.3.2-3)

)(sin TtEeEM −=−= μ ,

sedangkan data diambil dari 2.1. dan 2.2. , dimana μ = 2o.139/tahun dan e = 0.426


42

Tabel 2.2.3-1. Hasil perhitungan untuk menentukan saat

terakhir kali melalui Periastron

No t E M T0 1 1906 171.481 168.007 1827.462 1936 217.462 232.308 1827.393 1966 272.183 296.379 1827.44

Dengan mengambil nilai rata-rata To dari tabel diatas, saat terakhir melalui Periastron dapat

ditentukan 0T = 1827.430, standard deviasi σ = 0.071. Karena periode μπ2

=P , maka P dapat

dihitung, yaitu

139.2360°

°=P , atau

P = 168.303 tahun.

Dengan ekstrapolasi dapat ditentukan saat berikutnya melalui Periastron, yaitu :

T = T0 + P,

= 1827.430 +168.303,

= 1995.733.

Jadi epoch Periastron T = 1995.733.

2.2.4. Menghitung M, E, X dan Y pada tiap Epoch.

Rumus yang akan digunakan adalah (1.3.2-3) , (1.3.1-1) dan (1.3.1-2). Sedangkan e =

0.426 dan μ = 2o.139/tahun. Hasil perhitungan diperlihatkan di bawah ini.


43

Tabel 2.2.4-1. Hasil perhitungan dengan menggunakan (1.3.2-3),

(1.3.1-1) dan (1.3.1-2)

2.2.5. Menghitung Konstanta Thiele dan Innes

Rumus yang digunakan adalah persamaan (1.12-3), (1.12-4), (1.12-5) dan (1.12-6).

Sedangkan data dari tabel 2.2.4-1.

No t M E X Y 1 1902 159o.583 165o.583 -1.395 0.225 2 1906 168.061 171.618 -1.415 0.132 3 1910 176.617 177.627 -1.425 0.037 4 1914 185.173 183.618 -1.424 -0.057 5 1918 193.729 189.642 -1.412 -0.152 6 1922 202.285 195.686 -1.389 -0.245 7 1926 210.841 201.783 -1.355 -0.336 8 1930 219.397 207.955 -1.309 -0.424 9 1934 227.953 214.226 -1.235 -0.509 10 1938 236.509 220.619 -1.185 -0.589 11 1942 245.065 227.166 -1.106 -0.664 12 1946 253.621 233.9 -1.015 -0.731 13 1950 262.177 240.859 -0.913 -0.79 14 1954 270.733 248.089 -0.799 -0.84 15 1958 279.289 255.645 -0.674 -0.877 16 1962 287.845 263.591 -0.538 -0.899 17 1966 296.401 272.009 -0.391 -0.904


44

Tabel 2.2.5-1. Hasil perhitungan dengan menggunakan persamaan

(1.12-3), (1.12-4) dan (1.12-6)

No t X/Y (X/Y)2 x/X y/Y (x/Y)(X/Y) (y/Y)(X/Y) 1 1902 -6.2 38.44 -1.476 9.578 9.151 -59.384 2 1906 -10.72 114.918 -1.371 16.379 14.697 -175.583 3 1910 -38.514 1483.328 -0.811 58.378 31.235 -2284.37 4 1914 24.982 624.1 -2.088 -37.316 -52.162 -932.228 5 1918 9.289 86.294 -1.757 -13.704 -16.321 -127.296 6 1922 5.669 32.142 -1.698 -8.233 -9.626 -46.673 7 1926 4.033 16.263 -1.679 -5.836 -6.771 -23.537 8 1930 3.087 9.531 -1.658 -4.441 -5.118 -13.709 9 1934 2.462 6.061 -1.642 -3.505 -4.043 -8.629 10 1938 2.012 4.048 -1.643 -2.835 -3.306 -5.704 11 1942 1.666 2.776 -1.628 -2.316 -2.712 -3.858 12 1946 1.389 1.929 -1.62 -1.891 -2.25 -2.627 13 1950 1.156 1.336 -1.59 -1.505 -1.838 -1.74 14 1954 0.951 0.904 -1.589 -1.195 -1.511 -1.136 15 1958 0.769 0.951 -1.591 -0.917 -1.223 -0.705 16 1962 0.598 0.358 -1.638 -0.694 -0.98 -0.415 17 1966 0.433 0.187 -1.592 -0.427 -0.689 -0.185

Σ 3.062 2423.566 -27.071 -0.48 -53.467 -3687.779

Dengan menggunakan rumus-rumus dari 1.12 , nilai A, B, F dan G dapat

dihitung

062.3206.2423

480.0779.651.3

−−

=A

17062.3

17062.3

=126.41185773.62078− ,

A = -1”.507.

B =

062.3206.2423071.27467.53

−−

17062.3

17062.3

= 126.41185048.826− ,

B = -0”.020.


45

F =

062.3206.2423

062.3206.2423

17062.3

480.0779.3651

−−

,

= 126.41185608.10018 ,

F = 0”.243,

G =

062.3206.2423

062.3206.2423

17062.3

071.27467.53

−−

= 126.41185894.65434− ,

G = -1”.589.

2.2.6. Menentukan Kesalahan Konstanta Thiele dan Innes.

Untuk menentukan kesalahan A, B, F dan G dapat digunakan metode Worthing dan

Geffner (1943), dimana kesalahan dalam B adalah :

1

2/122

/ YB YX

YXnn ττ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= ∑ ∑ .

Kesalahan dalam G adalah

1

2/1222

/ YG YX

YXn

YX ττ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ∑ ∑∑ ,

1Yτ dapat dihitung dari :

2/12'

)2/(1 ⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= ∑ n

Yx

Yx

Yτ .


46

Persamaan Least square-nya adalah :

GYXB

Yx

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ,

589.1020.0 −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

YX

Yx , (2.2.6-1)

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

'

Yx nilai ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

Yx yang dihitung dari (2.2.6-1)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Yx = harga yang diamati, dari tabel 2.2.5-1

Hal yang sama untuk persamaan least square yang berbentuk :

FYXA

Yy

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ,

243.0507.1 +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

YX

Yy . (2.2.6-2)

Kesalahan dalam A adalah :

2

2/122

/ YA YX

YXnn ττ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= ∑ ∑ .

Kesalahan dalam F adalah

2

2/1222

/ YF YX

YXn

YX ττ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ∑ ∑∑ .

Sedangkan

2/12'

)2/(2 ⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= ∑ n

Yy

Yy

Yτ .

'

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Yy = nilai ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

Yy yang dihitung dari (2.2.6-2)


47

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Yy = nilai yang diamati, dari tabel 2.2.5-1.

Dengan menggunakan rumus (2.2.6-1) dan (2.2.6-2), data dari tabel 1.2.5-1 dapat diturnkan

Tabel 2.2.6-1.

Tabel 2.6-1. Menunjukkan hasil perhitungan untuk menentukan

kesalahan konstanta Thiele dan Innes

t X/Y (X/Y)2 (x/Y)' (x/Y) (Δ x/Y)2 (y/Y)' (y/Y) (Δ y/Y)2

1903.6 -7.57 57.303 -1.438 -1.317 0.015 11.651 12.946 1.677 1909.76 -31.756 1008.42 -0.954 -0.422 0.283 48.099 46.667 2.051 1915.4 15.889 252.457 -1.907 -1.778 0.017 -23.702 -22.822 0.774 1926.98 3.787 14.338 -1.665 -2.466 0.642 -5.464 -4.638 0.682 1928.65 3.384 11.453 -1.657 -1.733 0.006 -5.343 -4.893 0.203 1930.04 3.104 9.635 -1.651 -1.669 0 -4.435 -4.901 0.217 1933.11 2.605 6.783 -1.641 -1.023 0.382 -3.683 -2.213 2.161 1934.99 2.357 5.554 -1.636 -1.717 0.007 -3.309 -3.342 0.001 1936.98 2.132 4.547 -1.632 -1.599 0.001 -2.97 -2.725 0.06 1938.67 1.967 3.868 -1.628 -1.648 0 -2.721 -2.691 0.001 1942.59 1.636 2.678 -1.622 -1.615 0 -2.222 -2.307 0.007 1945.85 1.412 1.993 -1.617 -1.635 0 -1.885 -2.008 0.015 1948.76 1.236 1.529 -1.614 -1.497 0.014 -1.62 -1.551 0.005 1951.64 1.08 1.167 -1.611 -1.601 0 -1.385 -1.41 0.001 1953.76 0.975 0.95 -1.609 -1.506 0.011 -1.226 -1.242 0 1955.93 0.873 0.762 -1.606 -3.136 2.341 -1.073 -1.904 0.691 1957.71 0.791 0.625 -1.605 -1.491 0.013 -0.949 -0.811 0.019 1959.87 0.696 0.484 -1.603 -1.44 0.027 -0.806 -0.784 0 1961.76 0.617 0.381 -1.601 -1.576 0.001 -0.687 -0.678 0 1964.29 0.513 0.263 -1.599 -1.624 0.001 -0.53 -0.562 0.001 1965.98 0.443 0.197 -1.598 -1.478 0.014 -0.425 -0.435 0 1968.79 0.326 0.106 -1.596 -1.593 0 -0.248 -0.238 0 Σ 6.497 1385.49 -35.09 -35.564 3.775 -4.933 -2.542 8.566

1

2/122

/ YB YX

YXnn ττ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= ∑ ∑ ,


48

( )[ ]1

2/1211.42488.138522/22 Yτ−×= ,

( )[ ]1

2/1525.30438/22 Yτ= ,

[ ]1

2/1001.0 Yτ= ,

1

027.0 Yτ= .

1

2/1222

/ YG YX

YXn

YX ττ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ∑ ∑∑ ,

( )[ ]1

2/1211.42488.138522/488.1385 Yτ−×= ,

( )[ ]1

2/1525.30438/488.1385 Yτ= ,

1

213.0 Yτ= .

Sedangkan 1Yτ adalah

2/12'

)2/(1 ⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= ∑ n

Yx

Yx

Yτ ,

2/1

20775.3

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡= ,

= 0.434.

dan

2/12'

)2/(2 ⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= ∑ n

Yy

Yy

Yτ ,

2/1

20558.8

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡= ,

= 0.654.


49

Jadi

τB = 0.027 x 0.434 = 0.012,

τG = 0.213 x 0.434 = 0.093.

Hal yang sama untuk kesalahan A dan F

τA = 0.027 x 0.654 = 0.018,

τF = 0.213 x 0.654 = 0.139.

Konstanta Thiele dan Innes dapat ditulis

A = -1”.507 ± 0”.018,

B = -0”.020 ± 0”.012,

F = 0”.243 ± 0”.139,

G = -1”.589 ± 0”.093.

2.2.7. Menghitung elemen Orientasi

Rumus- rumus yang digunakan adalah persamaan (1.5-11), (1.5-12) dan (1.5-13) dan

data dari bab 2.2.5. Dari rumus (1.5-11) dan (1.5-12)

( ) 085.0096.3263.0tan =

−−

=+−

=Ω+GAFBω ,

(ω+Ω) = 4°.856 + k x 180°.

Sin (ω+Ω) bertanda sama terhadap B-F, dan B-F ≤ 0. Jadi sin (ω+Ω) ≤ 0, berada pada daerah

180° ≤ (ω+Ω) ≤ 360°. Dengan perkataan lain harga k yang memenuhi adalah k=1.

(ω+Ω) = 4°.856 + 180°,

= 184°.856 . (2.2.7-1)

( ) 720.2082.0223.0)(tan −=

−=

−+−

=Ω−GAFBω ,


50

(ω-Ω) =-69°.814 + k x 180°.

Sin (ω-Ω) bertanda sama dengan -(B+F) dan –(B+F) ≤ 0. Jadi Sin (ω-Ω) ≤ 0, terletak pada

rentang 180° ≤ (ω-Ω) ≤ 360°. Harga k yang memenuhi adalah k = 2. Jadi

(ω-Ω) = -69°.814 + 360°,

= 290°.186. (2.2.7-2)

Dari (1) dan (2)

ω = 237°.521,

Ω = -52°.665 .

Jadi nilai ω dan Ω yang memenuhi adalah

ω = 237°.521- 180°,

ω = 57°.521.

Ω = -52°.665 + 180°,

Ω = 127°.335 .

Untuk menghitung inklinasi, digunakan rumus

)sin()sin(

2tan 2

Ω+Ω+

−+

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ωω

BFFBi ,

)335.127521.57sin()335.127521.57sin(

263.0223.0

°−°°+°

= ,

939.0263.0085.0223.0

××

= ,

247.0019.0

= ,

= 0.077,

tan (i/2) = ± 0.277,


51

i/2 = ± 15.486.

Karena gerakannya direct maka i = 30°.972.

Selamjutnya untuk menghitung a, gunakan rumus (1.7-1)

a2 cos i = AG – BF,

Nilai A, G, B dan F dari 1.2.4 dan i = 30°.972.

iBFAGa

cos2 −

= ,

= 972.30cos

243.0020.0589.1507.1°

×+× ,

= 857.0

05.0395.2 + ,

= 2.800,

a = 1”.673.

Untuk menghitung setengah sumbu pendek (b), gunakan hubungan

21 eab −= ,

= 2)426.0(1673.1 − ,

= 1.673 x 0.905,

b = 1”.514.

2.2.8. Hitung massa dan jarak

Dengan menggunakan persamaan yang telah diturunkan pada paragraf sebelumnya dan penerapan teknik iterasi pada persamaan tersebut, diperoleh hasil perhitungan sebagai berikut:


52

Hasil iterasi r

1. Paralak dinamik dari bintang ganda tersebut adalah 0”,054; 2. Massa dari bintang ganda tersebut adalah M1 = 0,58 M0 dan M2 = 0,42 M0 3. Magnitudo absolut bolometrik bintang tersebut adalah 1Mb = 6,79 dan 2Mb = 7,79

2.2.9 Hasil Akhir

Dari perhitungan terdahulu diperoleh nilai-nilai sebagai berikut :

i. Elemen Dinamik

e = 0.426.

T = 1995.303.

P = 168.303 tahun.

ii. Elemen Orientasi

i = 30°.972 .

ω = 57°.521 .

Ω = 127°.335 .

iii. Konstanta Thiele dan Innes

A = -1”.507.

B = -0”.020 .

Iterasi p M1 + M21Mb

2Mb M1 M2

0 0,04356 2 6,305457 7,305457 0,691367 0,495118 1 0,04699 1,593243 6,470037 7,470037 0,654402 0,468646 2 0,049559 1,358145 6,585597 7,585597 0,629634 0,450909 3 0,051372 1,219344 6,66363 7,66363 0,613442 0,439313 4 0,052598 1,13605 6,714845 7,714845 0,603042 0,431865 5 0,053402 1,085478 6,747805 7,747805 0,596442 0,427138 6 0,05392 1,054529 6,768743 7,768743 0,592287 0,424163 7 0,054248 1,035489 6,781931 7,781931 0,589685 0,422299 8 0,054455 1,023737 6,790193 7,790193 0,58806 0,421136 9 0,054585 1,016466 6,795352 7,795352 0,587049 0,420411

10 0,054665 1,011963 6,798566 7,798566 0,586419 0,41996


53

F = 0”.243 .

G = -1”.589 .

iv. Ukuran geometris dari Ellips

a = 1”.673 .

b = 1”.514 .

v. Gerakan sudut per tahun

μ = 2°.139

vi Jarak , massa dan luminositas

Karena paralak p = 0,054 → jarak r = p1 = 18,5 parsek

Massa bintang bintang primer M1 = 0,58 M0 dan bintang sekunder M2 = 0,42 M0 Magnitudo absolut bolometrik bintang primer 1Mb = 6,79 dan bintang sekunder 2Mb = 7,79

2.2.10 Ephemeris bintang ganda ADS 1733

Berikut diberikan ephemeris Bintang ADS 1733 untuk tahun 2006 Nama (designation) yang lain untuk bintang ini adalah : HD 14001, HIP 10542

Tabel 2.12 Elemen orbit bintang ganda ADS 1733 menurut Siregar(1976)

No Elemen Siregar (1976) 1 P 168.303 tahun 2 μ 2.o139 3 e 0.426 4 i 30.972 5 ω 57.521 6 Ω 127.335 7 T 1995.733

Ephemeris untuk elemen orbit bersangkutan diragakan pada table berikut ini


54

Tabel 2.13 Ephemeris bintang ganda ADS 1733 menurut Siregar(1976) untuk semester II tahun 2006

No t (tahun) M (o) E (o) ν(o) ρ (") θ (o) 1 2006.25 22.496 37.282 55.998 1.017 244.26 2 2006.33 22.67 37.545 56.358 1.048 244.653 3 2006.41 22.84 37.801 56.708 1.079 245.044 4 2006.5 23.03 38.087 57.098 1.117 245.471 5 2006.58 23.2 38.343 57.496 1.149 245.845 6 2006.67 23.394 38.634 57.841 0.987 246.282 7 2006.75 23.565 38.89 58.188 0.987 246.788 8 2006.84 23.758 39.179 58.578 0.994 247.094

Sebagai pembanding berikut dilampirkan elemen orbit menurut Soderhjelm(1999). Data pada epoch 2000.

Tabel 2.14 Elemen orbit bintang ganda ADS 1733 Menurut Soderhjelm(1999)

No Elemen Soderhjelm(1999)1 P 225 tahun 2 μ 1.o600 3 e 0.14 4 i 41.000 5 ω 57.521 6 Ω 170.000 7 T 1803

Sedangkan ephemeris untuk elemen orbit table diatas diragakan pada table 2. 15

Tabel 2.15 Ephemeris bintang ganda ADS 1733 menurut Soderhjelm(1999) untuk semester II tahun 2006

No t (tahun) M (o) E (o) ν (o) ρ (") θ (o) 1 2006.25 325.2 320.027 -45.442 1.706 149.444 2 2006.33 325.328 320.171 -45.283 1.708 149.544 3 2006.41 325.456 320.315 -45.123 1.708 149.696 4 2006.5 325.6 320.476 -45.944 1.708 149.847 5 2006.58 325.728 320.62 -45.785 1.712 149.948 6 2006.67 325.872 320.782 -44.605 1.712 150.1 7 2006.75 326 320.926 -44.445 1.71 150.252 8 2006.84 326.144 321.087 -44.265 1.71 150.404


55


56

Bab 3.

Proposal untuk pekerjaan selanjutnya

3.1 Sistem Bintang Ganda Visual ADS 8119 AB

Bintang ganda visual ADS 8119 AB atau lebih dikenal dengan nama Xi Ursae Majoris

(ζ Uma) merupakan salah satu bintang ganda visual di rasi Ursa Mayor. Pasangan bintang ini

ditemukan oleh Sir William Herschel pada 2 Mei 1780 dan merupakan sistem bintang ganda

yang orbitnya berhasil dihitung pertama kali oleh Savary pada tahun 1828. Oleh karena itu

bintang ini mempunyai posisi historis yang sangat penting dalam studi bintang ganda visual.

Merupakan sistem bintang ganda yang pertama kali dihitung elemen orbitnya dan juga

merupakan sistem bintang ganda yang pertama kali digunakan untuk membuktikan kebenaran

kaedah hukum Kepler III.

Sistem ini terdiri dari dua buah bintang utama pada sistem ADS 8119 AB, yaitu

bintang HD 98231 (ADS 8119 A) sebagai komponen primer dan HD 98230 (ADS 8119 B)

merupakan komponen sekundernya (informasi mengenai sistem ini dapat dilihat pada tabel

3.1).


57

Tabel 3.1. Informasi Sistem Bintang Ganda ADS 8119 AB

No Aspek Data

1 Posisi HD 98231

R.A. = 11h 18m 10s.90

(J2000.0)

Deklinasi = +310 31’ 44”.9

(J2000.0)

HD 98230

R.A. = 11h 18m 10s.95

(J2000.0)

Deklinasi = +310 31’ 45’’.7

(J2000.0)

2 Magnitudo (V) HD 98231 = 4.41 magnitudo

HD 98230 = 4.87 magnitudo

3 Kelas Spektrum HD 98231 = G0V

HD 98230 = F8.5V

4 Nama WDS 11182+3132

Kedua komponen utama ini juga merupakan sistem bintang ganda spektroskopik. Bintang

HD 98231 merupakan bintang ganda spektroskopi dengan periode 1.8 tahun sedangkan

bintang HD 98230 mempunyai periode yang lebih pendek, yaitu 3.98 hari .

Data yang akan digunakan pada pekerjaan ini diperoleh dari katalog WDS

(Washington Double Star). Dari data yang dikumpulkan sejak tahun 1780 sampai akhir tahun

2004 diperoleh jumlah pengamatan sebanyak 1536 buah dan sudah melengkapi orbit selama

tiga periode. Pada penentuan elemen orbit sistem bintang visual ini akan dipergunakan titik-

titik data pada periode ketiga, yaitu antara tahun 1933.22 sampai dengan 1992.42 sejumlah

586 data pengamatan (data diberikan pada lampiran 1).


58

Kolom pertama merupakan epoch pada saat pengamatan dilakukan, kolom kedua

adalah sudut posisi dari pengamatan, sedangkan separasi sudutnya ditampilkan pada kolom

ketiga. Informasi mengenai jumlah pengamatan dan ukuran teleskop yang digunakan

diberikan pada kolom keempat dan kelima, berikutnya kolom keenam adalah informasi

mengenai referensi yang digunakan pada katalog WDS. Untuk kolom ketujuh yaitu informasi

mengenai koreksi sudut posisi karena presesi Luni-Solar, dan kolom kedelapan mengenai

sudut posisi yang sudah dikoreksi efek presesi, akan dijelaskan pada bagian III.

3.2 Studi Sebelumnya

Data pengamatan yang banyak menunjukkan juga jumlah studi yang telah dilakukan

mengenai sistem bintang ganda ADS 8119 AB. Hasil yang akan diperoleh pada ini akan

dibandingkan dengan hasil dari studi oleh Heintz (1967) dan Mason et al. (1995). Dari studi

keduanya diperoleh data menegenai elemen orbit sistem tersebut, sebagai berikut

Tabel 3.2. Elemen Orbit Hasil Studi Sistem Bintang Ganda ADS 8119 AB

No Aspek Heintz (1967) Mason et al. (1995)1 Periode, P [Tahun] 59.84 59.878 2 Setengah sumbu panjang, a [''] 2.53 2.536 3 Inklinasi , i [o] 122.65 122.13 4 Eksentrisitas, e 0.414 0.398 5 Longitude periastron , ω [o] 127.53 127.94 6 Sudut arah titik simpul naik, Ω [o] 101.59 101.85 7 Waktu terakhir melewati Perisatron,

T [YYYY,yy] 1935.17 1935.195

3.2 Penentuan Konstanta Kepler


59

Metode yang digunakan pada penentuan elemen orbit sistem bintang ganda ADS 8119

AB pada studi ini adalah metode grafis, sehingga untuk menentukan konstanta Kepler juga

menggunakan grafik. Pada dasarnya tujuan menentukan konstanta Kepler adalah untuk

menentukan ellips yang tampak dari pengamatan. Langkah-langkah yang tempuh untuk

menentukan konstanta Kepler antara lain:

1. Membuat grafik separasi sudut (ρ), sudut posisi (θ) yang sudah dikoreksi terhadap efek

presesi sebagai fungsi waktu pengamatan. Kemudian digambarkan kurva garis yang

menggambarkan titik-titik data tersebut (lihat Gambar3.1 dan Gambar 3.2). Koreksi efek

presesi Luni-Solar mengikuti perumusan oleh Van de Kamp tahun 1969 . Koreksi sudut

posisi tersebut sebesar,

)2000(secsin00557.0 t−=Δ δαθ ,

dengan informasi mengenai posisi sitem bintang ganda ADS 8119 AB maka kita dapat

menetukan besarnya koreksi pada tiap waktu pengamatan. Hasilnya ditunjukkan pada

lampiran 1 kolom ketujuh (Δθ) dan kolom kedelapan (θc).

Berikut diperlihatkan kurva θ dan ρ sebagai fungsi dari waktu . Kurva ini belum

memenuhi hukum Kepler, baru memenuhi prinsip least-square


60

Kurva Rho Sebagai Fungsi Waktu

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000

Tahun

Rho

Gambar 3.1. Grafik separasi sudut (ρ) sebagai fungsi waktu.

Kurva Theta Sebagai Fungsi Waktu

0

50

100

150

200

250

300

350

400

1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000

Tahun

Thet

a

Gambar 2. Grafik sudut posisi sebagai fungsi waktu.

2. Pada satu waktu tertentu hukum kekekalan luas harus dipenuhi, yaitu


61

dtdh θρ 2= . (1)

Perubahan sudut posisi terhadap waktu , dtdθ , dapat ditentukan dari grafik. Hasil yang

diperoleh mempunyai satuan derajat per tahun dapat diubah ke satuan radian per tahun.

Untuk memenuhi persamaan (1) maka kita akan mengubah grafik pada ordinatnya dan

akan terus diubah sampai kita memperoleh nilai h yang sama untuk setiap waktu.

3. Setelah memperoleh nilai h, maka kita akan menentukan nilai konstanta Kepler dari titik-

titik yang sudah memenuhi persamaan (1). Nilai separasi sudut (ρ) dan sudut posisi (θ)

yang sudah dikoreksi melalui grafik ditampilkan pada tabel 3.1.

4. Dengan menggunakan tabel 3.1, diperoleh nilai konstanta Kepler C untuk iterasi pertama

adalah

C = 39.073 [derajat][detik busur]2 /4 tahun,

C = 0.170 [radian][detik busur]2 / tahun.

Dengan standard deviasi-nya sebesar

σ = 6.763 [derajat][detik busur]2 /4 tahun,

= 0.029 [radian][detik busur]2 / tahun.

Hasil belum cukup memuaskan, karena bila dihitung kembal nilai C belum menunjukkan

harga yang konstan. Dalam arti standar deviasinya masih cukup besar

5. Koreksi terhadap kurva Kepler masih harus dilanjutkan


62

Tabel 3.1 Nilai separasi sudut (ρ) dan sudut posisi (θ)

No Waktu θ [0] ρ[″ ] C 1 1934 335 1.6 36 2 1938 290 2 36 3 1942 260 2.4 39 4 1946 235 2.7 40.625 5 1950 210 2.4 37.5 6 1954 185 2.4 31.2 7 1958 165 2.7 39 8 1962 145 3.1 41.625 9 1966 130 3.8 41.625

10 1970 125 3.8 56.25

11 1974 115 5.3 30

12 1978 110 5.3 45.6

13 1982 105 3.1 41.8

14 1986 85 2.7 30.8

15 1990 50 1.6

Selanjutnya akan dibicarakan kasus BGV lainnya WDS 04403-5857 berikut ini


63

3.5 BINTANG GANDA WDS 04403-5857

WDS 04403-5857 atau HR 1504 adalah bintang ganda yang sudah diamati sejak lama, bahkan

sejak tahun 1835. Bintang ganda ini terdiri dari dua buah bintang yang hampir sama terang.

Komponen primernya memiliki magnitudo visual sekitar 7 magnitudo dan kelas spektrumnya

G5V. Bintang ini dipilih sebagai bintang ganda yang akan ditentukan parameter orbitalnya

karena perlu dilakukan tinjauan ulang pada orbitnya. Diharapkan akan diperoleh parameter

orbital yang lebih baik dengan data yang lebih baru.

Sumber Data

Data lengkap dari WDS 04403-5857 diperoleh dari http://ad.usno.navy.mil/wds/ . Data yang

diambil dari website tersebut terdiri dari waktu dilakukannya pengamatan, sudut posisi,

separasi, magnitudo primer dan sekunder, referensi untuk tiap pengamatan, serta parameter

orbital dari bintang ganda tersebut.

Data WDS 04403-5857 yang akan digunakan untuk menghitung parameter orbitnya diberikan

pada lampiran.

Tujuan Penelitian

Pekerjaan ini dilakukan untuk menghitung kembali parameter orbit bintang ganda WDS

04403-5857. Melalui pekerjaan sebelumnya ternyata diketahui bahwa orbit bintang ganda ini

perlu dihitung ulang karena parameter orbit yang lama sudah tidak sesuai dengan data-data

terbaru.


64

Parameter Fisis

1. Koordinat (epoch 2000.0):

- asensiorekta : α = 04h 40m 17s.72

- deklinasi : δ = - 58° 56΄ 39˝.5

- Observer code : HJ 3683

2. Elemen orbital (Brendley & Mason, 2006):

Parameter orbit Simbol Besar

Periode P 326.17 tahun

Setengah sumbu semi-mayor a 2˝.435

Inklinasi i 100°.9

Sudut posisi simpul naik (node) Ω 263.6

Waktu sekunder melewati

periastron

T 1919.36

Eksentrisitas e 0.95

Longitude periastron ω 338.1

Orbit grade G 4 (preliminary)

3. Efemeris (Brendley & Mason, 2006):

t θ ρ

2005 89.8 3.526

2006 89.8 3.547

2007 89.8 3.568

2008 89.7 3.588

2009 89.7 3.608

Orbit Bintang Ganda


65

Dari studi terakhir yang dilakukan pada bintang ganda WDS 04403-5857 (2002) diketahui

bahwa orbit yang telah diturunkan sebelumnya sudah tidak cocok lagi dengan data-data

observasi terbarunya. Pada gambar 1 ditampilkan orbit bintang WDS 04403-5857 dari tahun

2002 dan 2006. Dari kedua gambar tersebut jelas terlihat bahwa parameter orbital bintang ini

harus diubah agar sesuai dengan data observasinya.

Gambar 1a. Orbit WDS 04403-5857 pada tahun 2002, dengan data terakhir diambil pada tahun 1999.

Gambar 1b. Orbit WDS 04403-5857 pada tahun 2007, dengan data terakhir diambil pada tahun 2002.


66

Lampiran

Data WDS 04403-5857

Observations ============ Date P.A. Sep. Mag-a Mag-b # RefCode Aperture Method Codes 1835.48 81.2 3. 7.5 7.5 2 HJ_1847a 18 B 1836.40 81.2 3.82 8.0 8.0 2 HJ_1847b 05 A 1874.38 74.4 2.23 . . 1 Gou1897A 1874.90 71.5 3.16 . . 5 Gou1897A 1879.10 79.1 3.46 7. 7. 1 R__1871a 11 A 1879.10 80.6 3.32 . . 1 Hrg1871 07 A 1891.02 77.0 1.88 7. 7. 2 Slr1893b 11 A 1897.06 85.1 0.92 8. 7.8 3 See1898c 24 A 1897.07 79.5 1.00 . . 2 Cog1898b 24 A 1903.16 80.6 1.54 . 0.1 1 I__1905 18 A 1913.96 77.4 1.14 . . 4 Vou1925a 07 A 1913.98 78.4 1.04 . 0.2 2 VdS1914 09 A 1914.92 83.4 0.91 8.0 7.5 1 Hu_1912c 17 A 1916.93 77.5 0.91 7.9 8.0 4 Daw1918 17 A 1920.93 72.2 0.60 7.8 8.0 4 Daw1922 17 A 1922.06 . . . . 2 I__1948 09 A S 1922.93 59. 0.15 . . 1 Daw1937 17 A 1922.94 63.9 0.12 . . 1 Daw1937 17 A 1923.10 . . . . 1 Daw1937 17 A S 1925.06 115.2 0.47 . . 1 I__1948 09 A 1925.07 83. 0.3 . . 1 I__1948 09 A 1926.02 103.4 0.36 . 0.3 4 B__1928b 26 A 1926.70 92.2 0.63 . . 5 Vou1926 07 A 1926.95 99.0 0.57 . 0.4 2 B__1928b 26 A 1928.05 97.4 0.67 . 0.3 4 B__1928b 26 A 1928.82 95.5 0.77 . . 5 Vou1932 24 A 1928.92 96.4 0.75 . 0.2 4 B__1929a 09 A 1929.06 97.5 0.71 . 0.2 4 Fin1929a 26 A 1930.04 94.5 0.88 . . 4 Wal1934 15 A 1930.10 95.6 0.80 . 0.2 3 B__1932b 26 A 1930.14 96.4 0.75 . 0.2 4 Fin1932a 26 A 1930.24 96.2 0.88 . 0.2 2 Jsp1964 27 A 1930.82 95.4 0.82 . . 4 Vou1932 24 A 1931.08 95.7 0.91 7.6 7.7 3 Daw1937 17 A 1931.64 93.6 0.95 7.5 7.7 3 B__1932b 26 A 1932.75 95.1 0.99 6.7 6.7 6 Fin1934b 26 A 1934.10 95.0 1.05 7.2 7.4 4 B__1935c 26 A 1934.17 94.7 1.08 7.6 7.7 3 Daw1937 17 A 1934.49 94.7 1.15 7.0 7.1 5 Fin1936b 26 A 1936.74 94.0 1.18 . . 4 Smw1951 15 A 1938.39 94.1 1.32 6.8 6.9 3 Fin1951a 26 A 1939.97 93.5 1.22 . . 2 Smw1951 24 A 1942.22 93.2 1.69 . . 1 Hir1943a 07 A 1942.68 93.0 1.57 . . 3 Vou1955 15 A 1943.22 93.0 1.47 . 0.0 3 Hir1946 07 A 1944.77 92.3 1.57 7.1 7.4 4 B__1950c 26 A 1945.07 93.1 1.58 . 0.1 3 Hir1950 07 A 1946.70 90.1 1.93 . 0.1 3 WoH1948 11 A 1946.94 91.7 2.02 . . 3 Woy1948a 09 A 1947.01 92.3 1.67 . . 3 Smw1948 09 A 1947.06 93.7 1.86 . . 1 Gtb1948 09 A 1951.13 92.1 1.82 7.0 7.3 4 B__1953a 26 A 1951.883 91.36 1.782 . . 1 The1970 24 H 1952.888 92.09 1.973 . . 1 The1970 24 H 1952.912 91.49 1.981 . . 1 The1970 24 H 1955.13 91.4 2.07 7.0 7.3 1 B__1956a 26 A


67

1956.793 91.43 2.128 . . 1 The1970 24 H 1957.713 92.45 2.134 . . 1 The1970 24 H 1957.786 91.80 2.158 . . 1 The1970 24 H 1959.03 89.6 2.08 7.0 7.3 4 B__1959d 26 A 1959.04 90.5 2.09 . . 2 Knp1960 26 A 1964.08 91.1 2.32 7.0 7.2 4 B__1965a 26 A 1965.59 91.5 2.36 7.0 7.2 4 B__1967 26 A 1975.071 89.7 2.83 . . 1 Rak1981 40 W 1975.099 91.0 2.69 . 0.0 4 Hln1975b 40 B 1975.12 91.9 2.65 . 0.0 3 Hln1976a 40 B 1975.727 91.0 2.85 . 0.1 2 Wor1978 60 B 1977.327 89.31 2.822 . . 2 vAd1985 24 H 1978.691 90.50 2.852 . . 2 vAd1985 24 H 1979.03 90.9 2.78 . . 3 Val1980c 26 A 1980.25 91.8 2.96 . . 4 Fra1986 04 A Q 1980.710 90.78 2.878 . . 1 Jas1995 24 H 1980.786 90.5 3.17 . . 1 Tob2005a 48 G 1981.18 92.0 3.06 . . 3 WRH1982 26 A 1982.781 91.19 2.945 . . 1 vAd1987 24 H 1983.155 91.9 3.00 . -0.1 2 Wor1989 36 B Q 1984.863 91.50 2.995 . . 1 Pan1991 24 H 1986.825 90.4 2.91 . 0.3 4 Sca1989 15 A 1986.977 91.77 3.126 . . 1 Pan1991 24 H 1987.711 88.73 3.11 . . 1 Jas1994 24 H 1991.18 90.7 3.05 . . 2 Hei1992a 24 B 1991.25 90.1 3.217 7.32 7.53 1 HIP1997a 54 T 1991.65 90.2 3.257 7.33 7.45 1 TYC2000c 07 T 1994.051 90.8 3.22 . . 4 ADP1995 40 F 1995.025 91.77 3.25 . . 5 ADP1998 40 F 1995.8527 90.2 3.351 . . 1 Hor2001b 84 S 1996.168 90.2 3.54 . . 2 Pri1997a 26 A Q 1996.1832 . . . . 1 Msn1998b 157 S S 1997.1005 90.1 3.341 . . 1 Hor1997 24 S 1999.7790 90.0 3.47 . . 1 Hor2000 24 S 1999.7844 90.1 3.44 . . 1 Hor2000 24 S R 1999.7845 90.3 3.44 . . 1 Hor2000 24 S 1999.85 89.1 2.71 . . 1 TMA2003 51 E K 2001.8624 89.5 3.501 . . 1 Hor2006 24 S 2001.8624 89.4 3.503 . . 1 Hor2006 24 S R 2001.8815 89.3 3.505 . . 1 Hor2006 24 S R 2001.8815 89.4 3.520 . . 1 Hor2006 24 S 2001.8842 89.3 3.510 . . 1 Hor2006 24 S R 2001.8842 89.5 3.508 . . 1 Hor2006 24 S 2001.8870 89.4 3.507 . . 1 Hor2006 24 S R 2001.8870 89.6 3.507 . . 1 Hor2006 24 S 2001.8897 89.4 3.494 . . 1 Hor2006 24 S 2001.8897 89.2 3.479 . . 1 Hor2006 24 S B 2002.704 89.3 3.37 . . 2 Ant2004 14 F

Keterangan:

kolom 1 = tahun pengamatan kolom 2 = sudut posisi kolom 3 = separasi kolom 4 = magnitudo komponen primer kolom 5 = magnitudo komponen sekunder kolom 6 = katalog observasi WDS kolom 7 = kode referensi kolom 8 = apertur


68

kolom 9 = metode pengambilan data kolom 10 = kode (catatan)

Daftar Pustaka

Argyle, B., 2004 Observing and Measuring Visual Double Stars, Springer-Verlag,

London

Brendley, M. & Mason, B., IAUDS, 160R, 1B (6th Orbit Catalog)

Heintz, W.D. 1967, Astronomische Nachrichten, 289, 269.

Horeschi, E. 1958. Astronomische Nachrichten. 284, 57

Mason, B.D. 1995, Astronomical Journal, 109, 332.

Siregar,S., 1976 Menentukan orbit ADS 1733 dengan koordinat α = 2h 15m.8 dan

δ = -180 14’ epoch 2000 dengan cra Thiele-Innes, Tugas Akhir Departemen

Astronomi ITB

Soderhjelm, S. 1999. Astronomy & Astrophysics. 341, 121.

Orbit Bintang Ganda Visual: Teori dan Aplikasi · Tabel yang digunakan pada saat itu seperti tabel...

Documents

Transcript of Orbit Bintang Ganda Visual: Teori dan Aplikasi · Tabel yang digunakan pada saat itu seperti tabel...