OPTIMASI FUNGSI TANPA KENDALA DENGAN ALGORITMA...

OPTIMASI FUNGSI TANPA KENDALA DENGAN

ALGORITMA GENETIKA

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Disusun Oleh:

Yolenta Asri Astuti Prany

NIM : 023114002

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2007

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ABSTRAK

Secara umum, permasalahan optimasi dalam kehidupan sehari – hari lebih

sering menggunakan pemrograman linear, karena lebih mudah untuk diselesaikan

dari pada dengan menggunakan pemrograman tak linear. Karena pemrograman

tak linear selalu menimbulkan kesulitan dalam penanganan analitik dan numerik

(teknik konvensional), bahkan untuk fungsi dua variabel pun terkadang sulit untuk

diselesaikan. Algoritma Genetika merupakan salah satu teknik yang dapat dipilih

untuk menyelesaikan permasalahan pemrograman tak linear tersebut, karena

Algoritma Genetika merupakan teknik pencarian stokastik dengan sistem

pencarian berdasarkan mekanisme genetika dalam biologi.

Pada skripsi ini, generasi baru (anak) terbentuk dari rekombinasi dan mutasi

dengan menggunakan metode pemotongan satu titik. Pemilihan anak pada proses

rekombinasi atau mutasi dilakukan secara acak. Dari percobaan, solusi optimal

akan lebih mendekati dengan nilai konvensionalnya pada probabilitas rekombinasi

0.5 dengan probabilitas mutasi 0.08. Namun, probabilitas tersebut tidak mutlak,

karena Algoritma Genetika menggunakan teknik pencarian secara acak.

vi


ABSTRACT

Generally, the optimization problems in daily life is more regular using the

linear programming, because it is easier to solved than nonlinear programming.

Because nonlinear programming are difficultly in analytic handling and numeric

(conventional technique), even for two variables function it is difficult to be

solved, sometimes. Genetic Algorithm are one of technique that could be chosen

to solved it, because Genetic Algorithm are stochastic search techniques based on

the mechanism of genetic on biology.

On this mini thesis, a new generation (offspring) formed of crossover or

mutation with one cut point method. Selection of new generation by crossover and

mutation conducted at random. According to the experiments, it is visible to get

the optimal solution close to a value by conventional with crossover probabilities

0.5 and mutation probabilities 0.08. But, that is not absolute, because the

searching technique of Genetic Algorithm are randomly.

vii


KATA PENGANTAR

Puji syukur kepada Bapa di Surga dan Bunda Maria yang memberikan

kasih-Nya dan melimpahkan karunia-Nya sehingga penulisan skripsi ini dapat

diselesaikan. Skripsi ini disusun dalam rangka menyelesaikan pendidikan tingkat

Sarjana Strata Satu Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam, Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

Penulis dalam menyusun skripsi ini dari awal sampai akhir mendapatkan

dukungan dan bantuan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, pada kesempatan ini

penulis menyampaikan ucapan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:

1. Bapak Ig. Aris Dwiatmoko, M.Si selaku Dekan Fakultas Matematika dan

Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

2. Bapak Drs. HJ Haris Sriwindono, M.Kom selaku Dosen Pembimbing I

dan Bapak Y.G Hartono, S.Si selaku Dosen Pembimbing II yang dengan

sabar telah banyak membimbing dan memberikan petunjuk dalam

penyusunan skripsi ini.

3. Bapak dan Ibu dosen yang telah memberikan ilmu dan pengetahuan

selama masa perkuliahan.

4. Staff fakultas MIPA terima kasih atas dorongan dan pelayanan yang telah

diberikan.

5. Bapak dan Mama yang telah memberikan kasih, dorongan semangat, serta

doa yang melimpah selama kehidupanku di dunia ini.

viii


6. Abang dan adikku (Yacobus dan Ade (Nenek Lampir)) terima kasih untuk

“kata-kata” yang membuatku semakin termotivasi .

7. Keluarga besarku yang tersebar di berbagai kota. Terima kasih atas doa

dan bantuan yang telah kalian berikan.

8. T Agusta Dwi Handaru yang telah menambah warna dalam kehidupanku.

Terima kasih atas kesabaran dan cinta mu.

9. Sahabat-sahabatku nan jauh di sana: Yulia, Maria, dan Uthe terima kasih

buat persahabatan, perhatian dan dukungannya.

10. Teman-teman angkatan 2002: Ngq, Debby, Lia, Ika, Sari, Aan, Tato, Bani,

Lili, Taim, Ijup, Markus, Felix, Vida (Ipid), Retno, Priska, Galih, Aning,

Desy, Rita, Wuri, Deon, Cheea, Nunung, Dani , Palma, dan Asih. Esp.

Debby, Lia, dan Ijup yang selalu menemaniku ketika masa-masa

ngantukku dengan chating bersama.

11. Teman-teman kostku (Wisma Lestari) esp. Lia, Kawat (thanks atas

printernya), M`Nchis, dan M`Mitha yang menjadi setan serta malaikat

ketika skripsi ini dibuat. Thanks untuk hari-hari ceria yang telah kita

lewati bersama.

12. Teman seperjuanganku dalam menyusun skripsi (Ipid Manyiiit), terima

kasih atas bantuan dan perhatiannya.

13. Teman-teman kost (tumpangan) ku, Ipid (namamu paling banyak

terucap…), Endra, Primtul, M`Lina, Ine, Maria, Lili. Terima kasih atas

tumpangannya, tanpa kalian entah bagaimana nasibku.

ix


14. Teman-teman KKN ku, yang berlomba-lomba untuk menyelesaikan

skripsi. Serta warga Caben. Terima kasih untuk dorongan dan semangat

yang telah kalian berikan.

15. Teman-teman P3W Terima kasih untuk dorongan dan semangat yang telah

kalian berikan.

16. Teman-Teman Pondok Baca Kota Baru, tempatku menghilangkan

kepenatan belajar. Teruslah berusaha mengembangkan Pondok Baca, upah

kalian besar di Surga.

17. Semua pihak yang telah turut membantu hingga skripsi ini selesai yang

tidak dapat disebutkan satu persatu.

Penulis menyadari masih ada kekurangan, kekeliruan, dan masih jauh dari

sempurna. Oleh karena itu, penulis mengharapkan saran dan kritik yang bersifat

membangun demi kemajuan yang akan datang.

Semoga penulisan skripsi ini dapat memberikan manfaat bagi pembaca.

Yogyakarta, Juli 2007

Penulis

x


xi

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL..................................................................................... i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ........................................... ii

HALAMAN PENGESAHAN....................................................................... iii

HALAMAN PERSEMBAHAN ................................................................... iv

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ....................................................... v

ABSTRAK .................................................................................................... vi

ABSTRACT.................................................................................................. vii

KATA PENGANTAR .................................................................................. viii

DAFTAR ISI................................................................................................. xi

DAFTAR TABEL......................................................................................... xiv

DAFTAR GAMBAR……………………………………………………… xxi

BAB I PENDAHULUAN................................................................... 1

A. Latar Belakang. ..................................................................... 1

B. Perumusan Masalah .............................................................. 4

C. Pembatasan Masalah ............................................................. 4

D. Tujuan Penulisan................................................................... 4

E. Metode Penulisan .................................................................. 5

F. Manfaat Penulisan................................................................. 5

G. Sistematika Penulisan ........................................................... 5


xii

BAB II OPTIMASI FUNGSI TANPA KENDALA.......................... 7

A. Optimasi Fungsi Satu Variabel Tanpa Kendala Dengan

Kalkulus ................................................................................ 7

B. Optimasi Fungsi Beberapa Variabel Tanpa Kendala

Dengan Kalkulus................................................................... 21

BAB III ALGORITMA GENETIKA.................................................. 50

A. Latar Belakang Biologi ......................................................... 50

B. Struktur Umum Algoritma Genetika..................................... 51

C. Komponen-komponen Utama Algoritma Genetika. ............. 56

1. Teknik Penyandian.......................................................... 56

2. Prosedur Inisialisasi ........................................................ 57

3. Fungsi Evaluasi (fitness function) ................................... 58

4. Seleksi ............................................................................. 59

4.1. Seleksi Roda Rolet ................................................. 59

4.2. Seleksi Rangking.................................................... 60

4.3. Seleksi Turnamen................................................... 61

5. Operator Genetika ........................................................... 62

5.1. Rekombinasi (crossover) ....................................... 62

5.2. Mutasi..................................................................... 63

6. Penentuan Parameter....................................................... 64


xiii

BAB IV ALGORITMA GENETIKA UNTUK OPTIMASI

FUNGSI TANPA KENDALA............................................... 66

BAB V PENUTUP............................................................................... 112

A. Kesimpulan ........................................................................... 112

B. Saran...................................................................................... 113

DAFTAR PUSTAKA.................................................................................. 114

LAMPIRAN ............................................................................................... 116


xiv

DAFTAR TABEL

Tabel 3.2.1 Tabel Istilah dalam Algoritma Genetika ............................ 53

Tabel 3.3.1.1 Pemetaan nilai biner ke nilai real ....................................... 57

Tabel 3.4.2.1 Contoh populasi dengan 5 kromosom yang diberi fitness

baru..................................................................................... 61

Tabel 4.1 Tabel nilai maksimum fungsi ( ) 2221

2121 2, xxxxxxf ++=

dengan probabilitas rekombinasi 0.2 dan probabilitas

mutasi 0.01 hingga 0.1 ....................................................... 70


2121 2, xxxxxxf ++=


mutasi 0.01 hingga 0.1 ....................................................... 71


2121 2, xxxxxxf ++=


mutasi 0.01 hingga 0.1 ....................................................... 72


2121 2, xxxxxxf ++=


mutasi 0.01 hingga 0.1 ....................................................... 73


2121 2, xxxxxxf ++=


mutasi 0.01 hingga 0.1 ....................................................... 74


xv


2121 2, xxxxxxf ++=


mutasi 0.01 hingga 0.1 ....................................................... 75


2121 2, xxxxxxf ++=


mutasi 0.01 hingga 0.1 ....................................................... 76


2121 2, xxxxxxf ++=

dengan probabilitas rekombinasi 0.2-0.5 dan probabilitas

mutasi 0.08 ......................................................................... 77

Tabel 4.9 Tabel nilai maksimum fungsi

( ) 193, 21

322

2121 +−−= xxxxxxf dengan probabilitas

rekombinasi 0.2 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1. 83


( ) 193, 21

322


rekombinasi 0.25 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1 84


( ) 193, 21

322




( ) 193, 21

322




xvi


( ) 193, 21

322




( ) 193, 21

322




( ) 193, 21

322



Tabel 4.16 Tabel nilai minimum fungsi

( ) 193, 21

322




( ) 193, 21

322




( ) 193, 21

322




( ) 193, 21

322




xvii


( ) 193, 21

322




( ) 193, 21

322




( ) 193, 21

322




( ) 193, 21

322


rekombinasi 0.2-0.5 dan probabilitas mutasi 0.08 ............ 97


( ) 193, 21

322


rekombinasi 0.2-0.5 dan probabilitas mutasi 0.08 ............ 98

Tabel 4.25 Tabel nilai maksimum fungsi ( ) )(1

22

21 xxexf +−=x dengan

probabilitas rekombinasi 0.2 dan probabilitas mutasi 0.01

hingga 0.1........................................................................... 101


22


probabilitas rekombinasi 0.25 dan probabilitas mutasi

0.01 hingga 0.1................................................................... 102


xviii


22



hingga 0.1........................................................................... 102


22



0.01 hingga 0.1................................................................... 103


22



hingga 0.1........................................................................... 103


22



0.01 hingga 0.1................................................................... 104


22



hingga 0.1........................................................................... 104


22


probabilitas mutasi 0.01 dan probabilitas rekombinasi 0.2

hingga 0.5........................................................................... 105


22



hingga 0.5........................................................................... 105


xix


22



hingga 0.5........................................................................... 106


22



hingga 0.5........................................................................... 106


22



hingga 0.5........................................................................... 107


22



hingga 0.5........................................................................... 107


22



hingga 0.5........................................................................... 108


22



hingga 0.5........................................................................... 108


22



hingga 0.5........................................................................... 109


xx


22



hingga 0.5........................................................................... 109


xxi

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1.1 Grafik 2)( 23 +−−= xxxxf ............................................. 8

Gambar 2.1.2 x* titik batas dari I atau 0)(xf * =′ .................................... 9

Gambar 2.1.3 Grafik fungsi 537)( 2 +−= xxxf ..................................... 11

Gambar 2.1.4 Grafik fungsi pada selang tertutup [a, b]. .......................... 12

Gambar 2.1.5 Fungsi kontinu pada selang tertutup [a, b]......................... 14

Gambar 2.1.6 Grafik fungsi 54)( 2 +−= xxxf ....................................... 20

Gambar 2.2.1 Grafik fungsi 1),( 22 +−−+= yxyxyxf ....................... 33

Gambar 2.2.2 Grafik fungsi 20123),( 2132

3121 +−−+= xxxxxxf .......... 47

Gambar 3.2.1. Ilustrasi Algoritma Genetika .............................................. 54

Gambar 3.3.1.1 Representasi string bit ....................................................... 56

Gambar 3.3.1.2 Representasi panjang kromosom ....................................... 57

Gambar 3.4.1.1 Contoh penggunaan metode seleksi roda roulette.............. 59

Gambar 3.5.1.1 Rekombinasi satu titik........................................................ 62

Gambar 4.1 Grafik fungsi ( ) 2221

2121 2, xxxxxxf ++= .......................... 67

Gambar 4.2 Grafik terjadinya nilai maksimum

( ) 2221

2121 2, xxxxxxf ++= dengan probabilitas

rekombinasi 0.2 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1.. 70


xxii


( ) 2221


rekombinasi 0.25 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga

0.1…................................................................................... 71


( ) 2221




( ) 2221




( ) 2221




( ) 2221




( ) 2221


rekombinasi 0.5 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1... 76


( ) 2221


rekombinasi 0.2-0.5 dan probabilitas mutasi 0.08. ........... 77


xxiii

Gambar 4.10 Grafik fungsi ( ) 193, 21

322

2121 +−−= xxxxxxf ................... 78


fungsi ( ) 193, 21

322

2121 +−−= xxxxxxf dengan


hingga 0.1........................................................................... 83


( ) 193, 21

322




( ) 193, 21

322




( ) 193, 21

322




( ) 193, 21

322




( ) 193, 21

322




xxiv


( ) 193, 21

322



Gambar 4.18 Grafik terjadinya nilai minimum

fungsi ( ) 193, 21

322



hingga 0.1........................................................................... 90


( ) 193, 21

322




( ) 193, 21

322




( ) 193, 21

322




( ) 193, 21

322




( ) 193, 21

322




xxv


( ) 193, 21

322




( ) 193, 21

322


rekombinasi 0.2-0.5 dan probabilitas mutasi 0.08 ............. 97


( ) 193, 21

322


rekombinasi 0.2-0.5 dan probabilitas mutasi 0.08 ............. 98

Gambar 4.27 grafik fungsi ( ) )(121

22

21, xxexxxf +−= .............................. 99

Gambar 4.28 Grafik nilai maksimum fungsi ( ) )(1

22



hingga 0.1........................................................................... 103


22



0.01 hingga 0.1................................................................... 103


22



hingga 0.1........................................................................... 104


xxvi


22



0.01 hingga 0.1................................................................... 104


22



hingga 0.1........................................................................... 105


22



0.01 hingga 0.1................................................................... 105


22

21 xxexf +−=x


mutasi 0.01 hingga 0.1 ....................................................... 106


22



hingga 0.5........................................................................... 106


22

21 xxexf +−=x

dengan probabilitas mutasi 0.02 dan probabilitas

rekombinasi 0.2 hingga 0.5 ................................................ 107


22

21 xxexf +−=x




xxvii


22

21 xxexf +−=x




22

21 xxexf +−=x




22



hingga 0.5........................................................................... 109


22

21 xxexf +−=x




22

21 xxexf +−=x




22

21 xxexf +−=x




22

21 xxexf +−=x




BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Teori optimasi secara klasik dibangun dengan menggunakan

kalkulus diferensial untuk menentukan nilai minimum atau maksimum

(optimum) dari fungsi dengan kendala atau tanpa kendala. Untuk fungsi

tanpa kendala, f(x) harus memenuhi setiap x yang memenuhi pembatas-

pembatas: dimana f(x) adalah fungsi yang bernilai real dari R0≥x n. Jika

ada beberapa atau semua fungsi dari f(x) adalah tidak linear maka masalah

tersebut dikatakan pemrograman tak linear.

Secara matematis, suatu titik dikatakan pembuat maksimum apabila

terdapat suatu titik ( )**3

*2

*1

* ,...,,, nxxxx=x yang memenuhi ,

atau pembuat minimum apabila .

)()( * xx ff ≥

)()( * xx ff ≤

Secara umum, optimasi pemrograman tak linear selalu menimbulkan

kesulitan dalam penangan analitis dan numerik, dan lebih sulit dari

pemrograman linear. Walaupun dalam kasus dimana semua kendala adalah

linear dan hanya fungsi tujuannya yang tak linear, tetap saja sulit untuk

diselesaikan. Oleh sebab itu diperlukan teknik lain yang dapat

menyelesaikan masalah optimasi dalam pemrograman tak linear.

Algoritma Genetika tergolong dalam algoritma yang bersifat heuristik,

sehingga dapat memberikan banyak kemungkinan penyelesaian dan

memberikan pertimbangan untuk mengambil suatu keputusan.

1


2

Sejak tahun 1960, mulai berkembang perhatian dalam menirukan

kehidupan makhluk hidup untuk menyelesaikan masalah optimasi yang

sulit. Saat ini, terdapat tiga topik utama dalam penelitian yang menirukan

kehidupan makhluk hidup, yaitu Algoritma Genetika, Pemrograman

Evolusi, dan Strategi Evolusi. Diantara ketiga topik tersebut, yang paling

sering digunakan adalah Algoritma Genetika.

Algoritma Genetika banyak dipakai pada aplikasi bisnis, teknik,

maupun bidang keilmuan lainnya. Algoritma Genetika dapat dipakai untuk

mendapatkan solusi yang tepat untuk masalah optimasi yang kompleks dan

sulit diselesaikan.

Menurut Goldberg (1989) Algoritma Genetika adalah teknik

pencarian stokastik berdasarkan mekanisme seleksi alam dan sifat

genetika. Pada dasarnya, Algoritma Genetika merupakan implementasi

dari teori evolusi dan teori genetika yang dikemukakan oleh Darwin dalam

konsep biologi. Seperti proses evolusi di alam, Algoritma Genetika

umumnya terdiri dari tiga operator, yaitu operator reproduksi, operator

persilangan (crossover), dan operator mutasi. Suatu individu mempunyai

sifat tertentu ditentukan dengan susunan gen dalam kromosom individu

tersebut. Dalam Algoritma Genetika, teori genetika tersebut digunakan

untuk merepresentasikan setiap solusi dari masalah yang ada. Karena tiap

kromosom merupakan solusi dari masalah yang akan diselesaikan,

kromosom yang terbaik merupakan pendekatan dari solusi optimal dari

masalah yang akan diselesaikan. Berdasarkan pada konsep biologi dari


3

Darwin, dalam menyelesaikan suatu masalah, Algoritma Genetika

memulai pekerjaannya dengan sekumpulan solusi yang disebut populasi.

Setiap individu pada populasi disebut kromosom yang menggambarkan

suatu solusi dari masalah yang akan diselesaikan. Kromosom-kromosom

terus berkembang terus menerus yang disebut generasi. Pada setiap

generasi, kromosom dievaluasi dengan menggunakan alat ukur yang

disebut fitness (tingkat kesesuaian). Nilai fitness dari suatu kromosom

akan menunjukkan kualitas kromosom dalam populasi tersebut.

Kromosom yang terpilih membentuk kromosom baru, yaitu anak atau

keturunan (offspring) yang terbentuk dari gabungan dua kromosom

generasi sekarang yang bertindak sebagai induk (parent) dengan

menggunakan operator penyilangan (crossover) atau dengan mengubah

suatu kromosom dengan menggunakan operator mutasi. Generasi baru

dibentuk dengan cara menyeleksi nilai fitness dari kromosom induk dan

nilai fitness dari kromosom anak serta menghilangkan kromosom lainnya

sehingga ukuran populasi konstan. Setelah melalui beberapa generasi,

algoritma ini akan konvergen ke arah kromosom yang terbaik dengan

harapan kromosom tersebut merupakan solusi optimal dari masalah yang

diselesaikan.

Sistem pencarian untuk mendapatkan nilai yang paling optimum

pada Algoritma Genetika diharapkan dapat memberikan penyelesaian yang

terbaik, dan semakin memudahkan menyelesaikan masalah Optimasi

pemrograman tak linear dibandingkan dengan teknik konvensional.


4

B. Perumusan Masalah

Masalah yang akan dibahas pada skripsi ini adalah :

1. Bagaimana cara Algoritma Genetika dalam mencari nilai optimum dari

masalah optimasi fungsi tanpa kendala?

2. Bagaimana mendapatkan nilai optimum fungsi tanpa kendala dengan

menggunakan Algoritma Genetika?

C. Pembatasan Masalah

Pembatasan mengenai optimasi fungsi tanpa kendala pada skripsi ini

hanya untuk program tak linear dengan dua variabel. Penulis akan

menggunakan software aplikasi MATLAB untuk menyelesaikan masalah

optimasi tanpa kendala tersebut.

D. Tujuan Penulisan

Skripsi ini bertujuan untuk memenuhi salah satu persyaratan untuk

memperoleh gelar Sarjana Sains dalam bidang matematika. Selain itu

skripsi ini bertujuan untuk:

1. Lebih memahami penerapan Algoritma Genetika dalam

menyelesaikan masalah optimasi fungsi tanpa kendala.

2. Mendapatkan nilai yang paling optimum dari masalah optimasi

fungsi tanpa kendala dengan menggunakan Algoritma Genetika.


5

E. Metode Penulisan

Penulisan skripsi ini menggunakan metode studi pustaka, yaitu de-

ngan menggunakan buku-buku, jurnal-jurnal, dan makalah-makalah yang

telah dipublikasikan, sehingga tidak ditemukan hal baru.

F. Manfaat Penulisan

Manfaat yang diharapkan dari penulisan skripsi ini adalah semakin

memperdalam pemahaman akan Algoritma Genetika dalam

menyelesaikan masalah optimasi, terutama dalam menyelesaikan masalah

optimasi fungsi tanpa kendala, dan dapat mencari nilai optimum dengan

menggunakan Algoritma Genetika.

G. Sistematika Penulisan

BAB I PENDAHULUAN

Pada Bab I dipaparkan mengenai latar belakang skripsi ini,

perumusan masalah, pembatasan masalah, tujuan penulisan, metode

penulisan, dan manfaat penulisan.

BAB II OPTIMASI FUNGSI TANPA KENDALA

Bab II dengan judul Optimasi Fungsi Tanpa Kendala terdiri atas dua

subbab. Dalam bab ini dibahas mengenai optimasi fungsi satu variabel

tanpa kendala dengan kalkulus dan optimasi fungsi beberapa variabel

tanpa kendala dengan kalkulus.


6

BAB III ALGORITMA GENETIKA

Bab III dengan judul Algoritma Genetika terdiri atas empat subbab.

Dalam bab ini dibahas mengenai latar belakang biologi, struktur umum

Algoritma Genetika, dan komponen–komponen utama Algoritma

Genetika.

BAB IV OPTIMASI FUNGSI TANPA KENDALA DENGAN

ALGORITMA GENETIKA

Bab IV dengan judul Algoritma Genetika Untuk Optimasi Fungsi

tanpa kendala Tanpa Kendala merupakan inti permasalahan yang diangkat

dalam skripsi ini. Dalam bab ini akan diperlihatkan contoh – contoh

permasalahan optimasi tanpa kendala disertai dengan penyelesainnya

menggunakan teknik konvensional (kalkulus) dan dengan menggunakan

Algoritma Genetika.

BAB V PENUTUP

Bab V merupakan bab terakhir dalam skripsi ini. Bab ini berisi

kesimpulan dari skripsi ini dan saran yang diharapkan berguna untuk

perkembangan penelitian mengenai optimasi dengan Algoritma Genetika

selanjutnya.


7

BAB II

OPTIMISASI FUNGSI TANPA KENDALA

A. Optimisasi Fungsi Satu Variabel Tanpa Kendala Dengan Kalkulus

Definisi 2.1.1

Misalkan f(x) adalah fungsi bernilai real yang didefinisikan pada selang I.

(Selang I dapat terbatas atau tidak terbatas, tertutup atau terbuka, atau

setengah terbuka). Suatu titik x* di I adalah :

a. Pembuat minimum mutlak (global) untuk f(x) pada I jika )()( * xfxf ≤

untuk setiap x di I;

b. Pembuat minimum mutlak tegas untuk f(x) pada I jika )()( * xfxf < untuk

setiap x di I dan *xx ≠ ;

c. Pembuat minimum relatif (lokal) untuk f(x) jika ada bilangan positif δ

sedemikian hingga )()( * xfxf ≤ untuk setiap x di I dimana

δδ +<<− ** xxx ;

d. Pembuat minimum relatif tegas untuk f(x) jika ada bilangan positif δ

sedemikian hingga )()( * xfxf < untuk setiap x di I dimana

δδ +<<− ** xxx dan *xx ≠ ;

e. Pembuat maksimum mutlak untuk f(x) pada I jika )()( * xfxf ≥ untuk

setiap x di I;

f. Pembuat maksimum mutlak tegas untuk f(x) pada I jika )()( * xfxf > un-

tuk setiap x di I dan *xx ≠ ;


8

g. Pembuat maksimum relatif untuk f(x) jika ada bilangan positif δ

sedemikian hingga )()( * xfxf ≥ untuk setiap x di I dimana

δδ +<<− ** xxx ;

h. Pembuat maksimum relatif tegas untuk f(x) jika ada bilangan positif δ

sedemikian hingga )()( * xfxf > untuk setiap x di I dimana

δδ +<<− ** xxx dan *xx ≠ ;

i. Titik kritis dari f(x) jika )( *xf ′ ada dan sama dengan nol.

Contoh 2.1.1

Gambar 2.1.1 Grafik 2)( 23 +−−= xxxxf

Pada gambar grafik di atas terlihat bahwa setiap x di [-3, 4]. Titik x* = -2

adalah Pembuat minimum mutlak tegas. Titik x* = 3 adalah pembuat


9

I

y=f(x)

Titik batas dan maksimum

( 0)*

( ≠′ xf ) pembuat mini-mum 0)

*( =′ xf

maksimum mutlak. Titik x* = 31

− adalah pembuat maksimum relatif tegas,

dan titik x* = 1 adalah pembuat minimum relatif tegas.▲

Teorema 2.1.1

Misalkan f(x) adalah fungsi yang terdiferensialkan pada selang I. Jika x*

adalah pembuat minimum relatif atau pembuat maksimum relatif pada f(x),

maka salah satu dari yang berikut berlaku:

i. x* adalah titik batas/akhir dari I

ii. 0)( * =′ xf .

x* x*

Gambar 2.1.2 x* titik batas dari I atau 0)(xf * =′

Bukti :

Misalkan x* adalah pembuat minimum relatif dari f(x) dan x* bukan titik dalam

dari I. Berdasarkan hipotesa ) x( ∗′f ada. Akan dibuktikan ) x( ∗′f = 0.

*

** )()(lim)(

* xxxfxfxf

xx −−

=′→

…(1)


10

Karena f(x*)≤ f(x) untuk x mendekati x*, f(x) - f(x*) adalah tak negatif untuk

setiap x mendekati x*. Oleh karena itu, karena x – x* > 0 untuk x*< x, dan

x – x* < 0 untuk x*> x, dapat terlihat

0)()(*

*

≥−−

xxxfxf untuk x*< x,

dan

0)()(*

*

≤−−

xxxfxf untuk x*> x,

selama x mendekati x*. Berdasarkan persamaan (1) dan persamaan di atas

diperoleh 0)( * ≥′ xf dan 0)( * ≤′ xf . Hal ini membuktikan bahwa

0)( * =′ xf . Untuk x* pembuat maksimum relatif, bukti analog.■

Definisi 2.1.2

Bila x* suatu titik dalam daerah asal f dan bila 0)( * =′ xf atau )( *xf ′ tidak

ada, maka x* dikatakan titik kritis dari f.

Contoh 2.1.2

Misalkan 537)( 2 +−= xxxf .

Maka 314)( −=′ xxf . Ditentukan

0)( =′ xf

0314 =−x

143=x .

Titik kritis dari f(x) adalah 143 .▲


11

Gambar 2.1.3 grafik fungsi 537)( 2 +−= xxxf

Maka 314)( −=′ xxf . Ditentukan

0)( =′ xf

0314 =−x

143=x .

Titik kritis dari f(x) adalah 143 .▲

Teorema 2.1.2 (Teorema Nilai Ekstrim)

Jika fungsi f kontinu pada selang tertutup [a, b], maka f mencapai nilai mini-

mum mutlak dan maksimum mutlak pada selang [a, b].

Bukti diluar jangkauan penulis. Lihat buku Analisis Real.


12

f(c)

f(a)

a bc d

•

•

Teorema nilai ekstrim dapat tercapai apabila terjadi pada:

i. Selang tertutup; dan

ii. Fungsi bersifat kontinu pada selang tersebut.

Jika kondisi (i) dan (ii) tidak terpenuhi, maka titik ekstrim belum tentu ada.

Jika domain suatu fungsi adalah selang tertutup, untuk menentukan ekstrim

mutlak, fungsi tersebut harus diuji tidak hanya pada titik kritis tapi juga pada

titik batas selang. Teorema titik kritis menjamin bahwa ekstrim mutlak terjadi

di dalam selang.

Gambar 2.1.4 Grafik fungsi pada selang tertutup [a, b].

Gambar 2.1.4 dapat dilihat bahwa titik batas selang terjadi pada x = a dan b,

sedangkan titik kritis terjadi pada x = c dan d. Nilai maksimum mutlak terjadi

pada titik kritis c, dan nilai minimum mutlak terjadi pada titik batas selang a.

Maka baik nilai maksimum mutlak atau minimum mutlak terletak dalam

selang tertutup [a, b].


13

Teorema 2.1.3 (Teorema Rolle)

Misalkan f adalah fungsi yang memenuhi syarat:

1. f kontinu pada selang tertutup [a, b].

2. f mempunyai turunan pada selang terbuka (a, b).

3. f(a) = f(b) = 0.

Maka ada suatu c∈(a, b) sehingga )(cf ′ = 0.

Bukti :

Jika f(x) = 0 untuk semua x pada selang [a, b], maka )(xf ′ = 0 untuk semua x

pada (a, b), sehingga setiap bilangan di antara a dan b dapat diambil sebagai c.

Jika f(x) tidak nol untuk suatu x pada selang terbuka (a, b) dan karena f kon-

tinu pada selang tertutup [a, b], maka menurut teorema 2.1.2, f mempunyai

nilai maksimum mutlak dan minimum mutlak pada [a, b]. Dari (3) diketahui

f(a) = 0 dan f(b) = 0. Selanjutnya f(x) tidak nol untuk suatu x pada (a, b). Maka

f akan mempunyai nilai maksimum mutlak yang positif untuk suatu 1c pada

(a, b) atau mempunyai nilai minimum mutlak yang negatif di suatu 2c pada

(a, b), atau dua-duanya terjadi. Jadi untuk c = 1c atau c = 2c atau kedua-

duanya, terdapat ekstrim mutlak di titik dalam selang [a, b]. Oleh karena itu

ekstrim mutlak f(c) juga ekstrim relatif. Karena )(cf ′ ada berdasarkan

hipotesis, maka menurut teorema 2.1.1, )(cf ′ = 0.■


14

A

B

a x b x

y

•

•

y=g(x)

f(x)

Teorema 2.1.4 (Teorema Nilai Rata-Rata)

Misalkan f adalah fungsi yang memenuhi syarat:

1. f kontinu pada selang tertutup [a, b].

2. f mempunyai turunan pada selang terbuka (a, b).

Maka ada suatu c∈(a, b) sehingga ab

afbfcf−−

=′ )()()( .

Bukti :

Gambar 2.1.5 fungsi kontinu pada selang tertutup [a,b].

Misalkan fungsi f(x) untuk ],[ bax∈ seperti ditunjukkan pada gambar 2.1.5

Fungsi g(x) adalah persamaan garis yang melalui titik A dan B. Dibentuk

fungsi s(x) yaitu )()()( xgxfxs −= untuk setiap ],[ bax∈ . Karena garis ini

mempunyai kemiringan ab

afbf−− )()( dan melalui (a, f(a)), maka bentuk titik

kemiringan untuk persamaannya adalah

)()()()()( axab

afbfafxg −−−

=− atau

)()()()()( axab

afbfafxg −−−

+=


15

)()()( xgxfxs −=

⇔ )()()()()()( axab

afbfafxfxs −−−

−−=

Perhatikan bahwa s(b) = s(a) = 0 dan bahwa untuk x dalam (a, b)

abafbfxfxs

−−

−′=′ )()()()( .

Menurut teorema 2.1.2 fungsi s harus mencapai nilai maksimum atau nilai

minimum pada [a, b]. Jika kedua nilai tersebut adalah 0, maka s(x) secara

identik adalah 0 pada [a, b], akibatnya 0)( =′ xs untuk semua x dalam (a, b).

Jika salah satu nilai maksimum atau minimum tidak sama dengan 0, maka

nilai tersebut tercapai pada suatu titik dalam c. Karena s(a) = s(b) = 0. Dan s

mempunyai turunan di setiap titik dari (a, b), sehingga menurut teorema 2.1.3

0)( =′ cs .

Karena diketahui terdapat suatu bilangan c dalam (a, b) yang memenuhi

0)( =′ cs , maka

abafbfcf

−−

−′=)()()(0 atau

abafbfcf

−−

=′ )()()( ■


16

Teorema 2.1.5

Misalkan )(),(),( xfxfxf ′′′ ada pada selang tertutup [a, b].

Jika x*, x adalah dua titik yang berbeda pada [a, b], maka terdapat titik z tepat

berada di antara x* dan x sehingga

2**** )(2

)())(()()( xxzfxxxfxfxf −′′

+−′+= .

Bukti :

Misalkan suatu fungsi

2**** )())(()()( xxRxxxfxfxf −+−′+= …(2)

Pandang F(x),

2**** )())(()()()( xxRxxxfxfxfxF −−−′−−= …(3)

Maka dari (2) diperoleh F(x) = 0. Karena F(x) = 0, maka F(a) = F(b) = 0.

)(),(),( xfxfxf ′′′ kontinu pada selang tertutup [a, b], maka penjumlahan dan

pengurangan fungsi – fungsi (F(x)) tersebut juga kontinu pada selang tertutup

[a, b], dan

)(2)()()( ** xxRxfxfxF −−′−′=′ …(4)

terlihat bahwa F(x) mempunyai turunan. Karena ketiga syarat dari teorema

Rolle dipenuhi, maka menurut teorema Rolle, terdapat bilangan z1 antara x dan

*x ( *1 xzx << ) sedemikian sehingga

0)( 1 =′ zF …(5a)

Dari (4) diperoleh

0)( =′ xF …(5b)


17

(5a) dan (5b) menunjukkan bahwa )(xF ′ memenuhi teorema Rolle dalam (x,

z1). Jadi terdapat bilangan z antara x dan z1 sedemikian sehingga 0)( =′′ zF ,

dan dari (4) diperoleh RxfxF 2)()( −′=′′ . Karena 0)( =′′ zF , maka

)(21 zfR ′′= .

Substitusi R dalam (2), maka

2*21*** ))(())(()()( xxzfxxxfxfxf −′′+−′+= .■

Definisi 2.1.1 merupakan cara untuk mengetahui apakah suatu titik x* di I

adalah minimum atau maksimum mutlak atau relatif di I. Namun pada definisi

2.1.1 tidak diketahui apakah memang benar titik x* tersebut adalah pembuat

minimum / maksimum mutlak tegas atau pembuat minimum / maksimum

relatif tegas. Oleh sebab itu diperlukan cara lain yang lebih baik, yaitu teorema

2.1.6, yang dapat menentukan apakah pembuat maksimum / minimum (baik

mutlak ataupun relatif) tersebut tegas atau tidak.

Teorema 2.1.6

Misalkan )(),(),( xfxfxf ′′′ kontinu pada selang I dan x*∈I adalah titik kritis

dari f(x).

a. Jika 0)( ≥′′ xf untuk setiap x∈I, maka x* adalah pembuat minimum

mutlak dari f(x) di I.

b. Jika 0)( >′′ xf untuk setiap x∈I sedemikian hingga *xx ≠ , maka x*

adalah Pembuat minimum mutlak tegas dari f(x) di I.

c. Jika 0)( * >′′ xf , maka x* adalah pembuat minimum relatif tegas dari f(x).


18

d. Jika 0)( ≤′′ xf untuk setiap x∈I, maka x* adalah pembuat maksimum mut-

lak dari f(x) di I.

e. Jika 0)( <′′ xf untuk setiap x∈I sedemikian hingga *xx ≠ , maka x*

adalah Pembuat maksimum mutlak tegas dari f(x) di I.

f. Jika 0)( * <′′ xf , maka x* adalah pembuat maksimum relatif tegas dari f(x).

Bukti :

Bukti (a): Jika x∈I dan x≠ x*, maka berdasarkan teorema 2.1.5 dan hipotesa

)( *xf ′ =0 menghasilkan

2** )(2

)()()( xxzfxfxf −′′

=− , …(6)

dimana z adalah titik yang berada tepat di antara x* dan x. Karena itu, jika

0)( ≥′′ xf untuk setiap x∈I, maka )()( *xfxf ≥ untuk setiap x∈I karena

02

)x-(x 2*

≥ untuk setiap x∈I.

Bukti (b): Jika x∈I dan x≠ x*, maka berdasarkan teorema 2.1.5 dan hipotesa


2** )(2


=− , …(7)


0)( >′′ xf untuk setiap x∈I, maka )()( *xfxf > untuk setiap x∈I karena

02

)x-(x 2*

> untuk setiap x∈I.


19

Bukti (c): Jika 0)( * >′′ xf , kekontinuitas dari )(xf ′′ mengimplikasikan bahwa

ada δ > 0 sehingga )(xf ′′ > 0 untuk setiap x∈I sedemikian hingga x* -δ < x

< x* + δ . Namun persamaan (7) menunjukkan bahwa f(x) > f(x*) untuk setiap

x∈I sedemikian hingga *xx ≠ , δδ +<<− ** xxx , dimana x* adalah satu -

satunya pembuat minimum relatif dari f(x).

Bukti (d): Jika x∈I dan x≠ x*, maka berdasarkan teorema 2.1.5 dan hipotesa


2** )(2


=− , …(8)


0)( ≤′′ xf untuk setiap x∈I, maka )()( *xfxf ≤ untuk setiap x∈I karena

0)()( * ≤− xfxf untuk setiap x∈I.

Bukti (e): Jika x∈I dan x≠ x*, maka berdasarkan teorema 2.1.5 dan hipotesa


2** )(2


=− , …(9)


0)( <′′ xf untuk setiap x∈I, maka )()( *xfxf < untuk setiap x∈I karena

0)()( * ≤− xfxf untuk setiap x∈I.


20

Bukti (f): Jika 0)( * <′′ xf , kekontinuitasan dari )(xf ′′ mengimplikasikan

bahwa ada δ > 0 sehingga )(xf ′′ < 0 untuk setiap x∈I sedemikian hingga x* -

δ < x < x* + δ . Namun persamaan (9) menunjukkan bahwa f(x) < f(x*) untuk

setiap x∈I sedemikian hingga *xx ≠ , δδ +<<− ** xxx , dimana x* adalah

satu - satunya pembuat maksimum relatif dari f(x). ■

Contoh 2.1.3

Tentukan ekstrim mutlak dari fungsi 54)( 2 +−= xxxf pada selang [1,4].

Gambar 2.1.6 grafik fungsi 54)( 2 +−= xxxf .

i. Mencari titik kritis

0)( =′ xf

042 =−x

2=x

ii. Mengevaluasi f(x) pada titik akhir dan titik kritis

25141)1( 2 =+×−=f

15242)2( 2 =+×−=f


21

55444)4( 2 =+×−=f

Dari langkah 9, dapat disimpulkan bahwa nilai maksimum mutlak terjadi pada

titik (4, 5), dan nilai minimum mutlak terjadi pada titik (2,1).▲

B. Optimisasi Fungsi Beberapa Variabel Tanpa Kendala Dengan Kalkulus

Perluasan dari fungsi satu variabel adalah fungsi lebih dari satu variabel den-

gan mengkombinasikan beberapa teori kalkulus dengan aljabar linear. Oleh

sebab itu, untuk permulaan akan dibahas beberapa terminologi dan notasi.

Vektor pada Rn adalah pasangan terurut n-tupel x = (x1, x2, …, xn) dari bilan-

gan real xi yang disebut dengan komponen dari x. Vektor x = (x1, x2, …, xn)

disebut vektor baris, dan vektor

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

nx

xx

M

2

1

x disebut vektor kolom.

Maka dapat dilihat bahwa fungsi f(x1, x2, …, xn) dari n variabel sebagai fungsi

f(x) dari vektor tunggal variabel x = (x1, x2, …, xn).

Definisi 2.2.1

Didefinisikan penjumlahan dari dua vektor x = (x1, x2, …, xn) dan y = (y1, y2,

…, yn) pada Rn dengan

x + y = (x1 + y1, x2 + y2, …, xn + yn),

dan perkalian dari x dan bilangan real λ dengan

λ x = (λ x1, λ x2, …,λ xn).


22

Definisi 2.2.2

Jika x = (x1, x2, …, xn) dan y = (y1, y2, …, yn) adalah vektor-vektor di Rn,

maka perkalian titik atau perkalian dalam x• y didefinisikan sebagai

∑=

=+++=•n

kkknn yxyxyxyx

12211 ...yx .

Akibat 2.2.1

Perkalian titik adalah linear pada kedua variabel; yaitu,

),()()( zyzxzyx •+•=•+ βαβα

)()()( zxyxzyx •+•=+• βαβα ,

untuk semua vektor x, y, z pada Rn dan bilangan real βα , .

Bukti :

( ) ),,,(,,,)( 212211 nnn zzzyxyxyx KK •+++=•+ βαβαβαβα zyx

( ) ( ) ( )( )nnn zyxzyxzyx ... 222111 βαβαβα ++++++= K

( )nnnn zyzxzyzxzyzx ...... 22221111 βαβαβα ++++++= K

( ) ( )( )nnnn zyzyzyzxzxzx ...... 22112211 βββααα +++++++= KK

( ) ( )( )nnnn zyzyzyzxzxzx ...... 22112211 +++++++= KK βα

)()( zyzx •+•= βα

( )nnn zyzyzyxxx βαβαβαβα +++•=+• ,,,),,,()( 221121 KKzyx

( ) ( ) ( )( )nnn zyxzyxzyx βαβαβα ++++++= ... 222111 K


23

( )nnnn zxyxzxyxzxyx βαβαβα ...... 22221111 +++++++= K

( )nnnn zxzxzxyxyxyx βββααα ...... 22112211 +++++++= KK

( ) ( )( )nnnn xxxxxxyxyxyx βββα ...... 22112211 +++++++= KK

= )()( zxyx •+• βα .■

Definisi 2.2.3

Dua vektor x dan y adalah ortogonal jika x• y = 0.

Definisi 2.2.4

Norm atau panjang x pada vektor x = (x1, x2, …, xn) adalah fungsi real pada

Rn dengan syarat:

1. 0≥x untuk setiap vektor di Rn.

2. x = 0 jika dan hanya jika x adalah vektor nol 0.

3. xx αα = untuk setiap vektor di Rn dan semua bilangan real α .

4. yxyx +≤+ untuk semua vektor x, y di Rn (ketidaksamaan segitiga).

Contoh 2.2.1

x pada vektor x = (x1, x2, …, xn) adalah

2/12/1222

21 )()...( xxx •=+++= nxxx .


24

x

y

Definisi 2.2.5

Untuk vektor tak nol x dan y di R2 atau R3, perkalian titik x• y secara umum

didefinisikan

θcos yxyx =• …(1)

dimana ],0[ πθ ∈ adalah sudut antara x dan y.

θ

Untuk vektor x dan y di Rn dengan n > 3, formula (1) untuk perkalian titik

tetap dapat digunakan jika θcos didefinisikan. Untuk x, y ∈ Rn didefinisikan

yxyx

cos •

=θ

Teorema 2.2.1

Pertidaksamaan Cauchy – Schwarz untuk setiap vektor x dan y,

yxyx ≤•

Bukti :

Apabila x dan y adalah vektor nol, maka 0≤0, dimana hal tersebut adalah

benar untuk setiap x dan y. Jika x atau y (salah satunya) vektor tak nol, maka

dari persamaan (1) didapatkan

yxyxyx cos ≤=• θ ,


25

karena 1cos ≤θ untuk setiap nilai pada θ .■

Pada pertidaksamaan Cauchy – Schwarz, 1cos1 ≤≤− θ dan 1cos =θ jika

hanya jika terdapat satu vektor yang merupakan kelipatan vektor lainnya.

Definisi 2.2.6

Jika x dan y adalah vektor di Rn, panjang atau jarak ),( yxd di antara x dan y

didefinisikan sebagai:

21

1

2)(),( ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−=−= ∑

=

n

iii yxd yxyx

Definisi 2.2.7

Bola ),( rB x yang berpusat pada x dengan radius r adalah himpunan semua

vektor y di Rn, dimana jarak dari x kurang dari r, maka

{ }rRB n <−∈= xyyrx ),( .

Definisi 2.2.8

Titik x pada sub himpunan D di Rn adalah titik dalam dari D jika terdapat r >

0, dimana bola ),( rB x dalam D. Bagian dalam oD pada D adalah himpunan

dari semua titik dalam dari D. Himpunan G di Rn terbuka jika GG =o , artinya,

jika semua titik dalam himpunan adalah titik – titik dalam. Himpunan F di Rn


26

tertutup jika F mencangkup setiap titik x sehingga terdapat barisan {x(k)} di F

dengan 0lim )( =−∞→

xx k

k.

Definisi 2.2.9

Himpunan D di Rn adalah terbatas jika terdapat suatu konstanta M > 0 se-

hingga M<x untuk setiap x∈D, artinya, D adalah terbatas jika dan hanya

jika D termasuk dalam bola besar B(0, M) dengan pusat 0.

Contoh 2.2.1

Pada R2, himpunan F dengan komponennya adalah titik – titik tak nega-

tif, yaitu { }0,0),( 212

21 ≥≥∈== xxRxxF x , adalah tertutup tapi tidak terba-

tas. Titik x = (x1, x2) pada F adalah titik dalam dari F jika dan hanya jika x1 >

0, 02 >x karena bola B(x, r) termasuk di dalam F walaupun r adalah bilangan

positif terkecil dari x1, x2.▲

Definisi 2.2.10

Misalkan )(xf adalah fungsi yang bernilai real didefinisikan pada sub him-

punan D di Rn. Titik x* di D adalah:

a Pembuat minimum mutlak untuk )(xf pada D jika )()( * xx ff ≤ untuk

setiap x∈D;

b Pembuat minimum mutlak tegas untuk )(xf pada D jika )()( * xx ff <

untuk setiap x∈D, dimana *xx ≠ ;


27

c Pembuat minimum relatif untuk )(xf jika terdapat bilangan positif δ se-

hingga )()( * xx ff ≤ untuk setiap x∈D dimana ),( * δxx B∈ ;

d Pembuat minimum relatif tegas untuk )(xf jika terdapat bilangan positif

δ sehingga )()( * xx ff < untuk setiap x∈D dimana ),( * δxx B∈ dan

*xx ≠ ;

e Pembuat maksimum mutlak untuk )(xf pada D jika )()( * xx ff ≥ untuk

setiap x∈D;

f Pembuat maksimum mutlak tegas untuk )(xf pada D jika )()( * xx ff >

untuk setiap x∈D, dimana *xx ≠ ;

g Pembuat maksimum relatif untuk )(xf jika terdapat bilangan positif δ

sehingga )()( * xx ff ≥ untuk setiap x∈D dimana ),( * δxx B∈ ;

h Pembuat maksimum relatif tegas untuk )(xf jika terdapat bilangan positif

δ sehingga )()( * xx ff > untuk setiap x∈D dimana ),( * δxx B∈ dan

*xx ≠ ;

i Titik kritis untuk )(xf jika turunan parsial pertama dari )(xf ada pada x*

dan 0)( * =∂∂ x

ixf , i = 1, 2, …, n.

Teorema 2.2.2

Misalkan )(xf adalah fungsi yang bernilai real dimana semua turunan parsial

pertama dari )(xf ada pada sub himpunan D di Rn. Jika x* adalah titik dalam


28

dari D yang adalah pembuat minimum relatif dari )(xf , maka x* adalah titik

kritis dari )(xf , yaitu, 0)( * =∂∂ x

ixf , i = 1, 2, …, n.

Bukti :

Karena ),...,,( **2

*1

*nxxx=x adalah pembuat minimum relatif untuk )(xf dan

titik dalam dari D, terdapat bilangan positif r sehingga bola B(x*, r) termasuk

di dalam D dan )()( * xx ff ≤ untuk setiap x∈ B(x*, r). Akan ditunjukkan

0)( * =∂∂ x

ixf ;

Akan ditunjukkan 0)( * =∂∂ x

ixf dengan menggunakan fungsi satu variabel,

yaitu ),...,,,( **3

*2 nxxxxf . Dimana **

3*2 ,...,, nxxx adalah variabel tetap fungsi

tersebut.

Misalkan fungsi satu variabel )(xg didefinisikan sebagai

),...,,,()( **3

*2 nxxxxfxg =

adalah terdiferensialkan dan memenuhi )()( *1 xgxg ≤ untuk setiap x

sedemikian sehingga rxxrx +<<− *1

*1 . Oleh sebab itu, *

1x adalah pembuat

minimum relatif untuk )(xg pada I = ( rxrx +− *1

*1 , ).

Karena itu, jika *1x bukan titik akhir dari I, berdasarkan teorema 2.1.1 maka

0)( *1 =′ xg . Tetapi jika

( ) )(,...,,)( *

1

**2

*1

1

*1 x

xfxxx

xfxg n ∂

∂=

∂∂

=′


29

maka 0)( * =∂∂ x

ixf . Dengan cara yang sama dapat dibuktikan 0)( * =

∂∂ x

ixf un-

tuk i = 1, 2, …, n .■

Teorema 2.2.3

Misalkan *x , x adalah titik pada Rn dan f(x) adalah fungsi n variabel dengan

turunan pertama dan turunan parsial kedua pada suatu himpunan terbuka

termasuk segmen garis

}10);(|{],[ *** ≤≤−+=∈= ttRn xxxwwxx .

Maka terdapat z∈[ *x , x] sedemikian hingga

))(()()()()()( **21*** xxzxxxxxxx −•−+−•∇+= Hffff .

Bukti :

Jika dari formula Taylor

2**** )(2

)())(()()( xxzfxxxfxfxf −′′

+−′+= …(2)

dapat ditunjukkan korespodensi formula Taylor untuk fungsi beberapa varia-

bel, maka formula tersebut berlaku untuk fungsi beberapa variabel.

Akan dimulai dengan kasus fungsi dua variabel.

Misalkan f(x) = f(x1,x2) adalah fungsi yang didefinisikan pada R2 dan bahwa

),( *2

*1

* xx=x dan x = (x1,x2) adalah titik tetap. Didefinisikan )(tϕ untuk t∈R

dengan

))(),(())(()( *22

*2

*11

*1

** xxtxxxtxftft −+−+=−+= xxxϕ …(3)


30

Maka )(tϕ adalah fungsi dari satu variabel t untuk t = 0 dan t = 1 sedemikian

hingga

),()()0( *2

*1

* xxff == xϕ ;

),()()1( 21 xxff == xϕ .

Jika )(tϕ′ and )(tϕ ′′ adalah kontinu, maka dapat diimplikasikan formula Tay-

lor (2) untuk )(tϕ pada titik t* = 0, t = 1. Dengan menggantikan

)(dengan )( ** tf ϕ′′ x dan )(dengan )( * sf ϕ ′′′′ x sehingga dihasilkan

2* )01(2

)()01)(0()()( −′′

+−′+=sff ϕϕxx , …(4)

dimana s adalah titik di antara 0 dan 1. Jika f(x) mempunyai turunan pertama

dan turunan parsial kedua, maka )(tϕ mempunyai turunan pertama dan

turunan parsial kedua dimana dapat dihitung dengan menggunakan aturan

rantai sebagai berikut:

Jika t∈R dan )( ** xxxw −+= t , maka

)()( wft =ϕ

))(( ** xxx −+= tf

))(),(( *222

*11

*1 xxtxxxtxf −+−+= .

berdasarkan aturan rantai,

))(()( ** xxx −+= tftϕ

))(())(()( *22

2

*11

1

xxxfxx

xft −

∂∂

+−∂∂

=′ xxϕ

)()( *xxw −•∇= f , …(5)


31

dimana ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

=∇ )(),()(21

wwwxf

xff adalah gradien dari f(x) yang dievaluasi

pada w. Dengan menggunakan aturan rantai, didapatkan

.))((

))()((2))((

)())(())((

)())(())(()(

2*222

2

2

*22

*11

21

22*

112

2

*22

*22

2

*11

12

*11

*22

2

*11

11

1

xxx

f

xxxxxxfxx

xf

xxxxxfxx

xf

x

xxxxxfxx

xf

xt

−∂∂

+−−∂∂

∂+−

∂∂

=

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

∂∂

+−∂∂

∂∂

+−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

∂∂

+−∂∂

∂∂

=′

w

ww

ww

wwϕ

Untuk )(tϕ ′′ dapat ditunjukkan dengan formula matriks:

•−−=′′ )*22,*

11()( xxxxtϕ⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂∂

∂∂∂

∂∂∂

∂∂

(w)x

f(w)xxf

(w)xxf(w)

xf

22

2

12

221

2

21

2

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−

*22

*11

xx

xx

)))((()( ** xxwxx −•−= Hf , …(6)

dimana Hf(w) adalah matriks simetris 2 x 2 dari semua pasangan turunan par-

sial kedua terurut yang dievaluasi pada w.

Gunakan (5) dan (6) untuk memperlihatkan (4) sebagai berikut:

))(()()()()()( **21*** xxzxxxxxxx −•−+−•∇+= Hffff , …(7)

dimana )( ** xxxz −+= s dan 10 ≤≤ s . Formula Taylor ini berlaku untuk

fungsi dua variabel. Hal ini benar untuk sembarang x dan x* di R2 jika f(x)

mempunyai turunan pertama dan turunan parsial kedua pada R2. Seperti yang

terlihat, gradien )( *xf∇ memainkan peranan seperti turunan pertama dan


32

Hessian Hf(z) berperan seperti turunan kedua dalam teorema Taylor satu

variabel.

Jika f(x) = f(x1, x2,…, xn) adalah fungsi n variabel dengan turunan pertama dan

turunan parsial kedua pada Rn dan jika gradien f∇ dari f(x) adalah n vektor

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

∂∂

=∇nx

fxf

xff ,...,,

21

, sementara Hessian Hf dari f(x) adalah matriks n x n

=Hf

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂∂

∂∂∂

∂∂∂

∂∂∂

∂∂

∂∂∂

∂∂∂

∂∂∂

∂∂

2

2

1

2

1

2

2

2

22

2

12

21

2

21

2

21

2

nnnn

n

n

xf

xxf

xxf

xxf

xf

xxf

xxf

xxf

xf

L

MOMM

L

,

maka formula Taylor benar untuk semua pilihan x dan x* pada Rn.

Jika fungsi f(x) tidak terdefinisi pada semua titik di Rn, maka formula Taylor

tetap bernilai benar untuk x dan x* pada domain dari f(x), asalkan f(x)

mempunyai turunan pertama dan turunan parsial kedua pada suatu himpunan

terbuka termasuk segmen garis [x*, x], yaitu

}10);(|{],[ *** ≤≤−+== tt xxxwwxx .■

Contoh 2.2.2

Tentukan maksimum dan minimum dari fungsi

1),( 22 +−−+= yxyxyxf

pada cakram D yaitu 122 ≤+ yx .


33

Gambar 2.2.1 grafik fungsi 1),( 22 +−−+= yxyxyxf

i. Menentukan titik kritis ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

∂∂

=∂∂ 0

yf

xf .

12 −=∂∂ x

xf

120 −= x

21=x .

12 −=∂∂ yyf

120 −= y

21=y .

Sehingga (x, y) = ( 21

21 , ) adalah titik kritis dari cakram terbuka

}1),{( 22 ≤+= yxyxU .

ii. Batas U∂ diparameterkan dengan π20 ),cos,(sin)( ≤≤= ttttc .


34

Sehingga

1cossincossin))(( 22 +−−+= tttttf c

tt cossin2 −−=

)(tg= .

Untuk menentukan maksimum dan minimum dari f pada U∂ , 0)( =′ tg

hanya jika

tttg sincos)( +−=′

tt sincos0 +−=

tt sincos = ,

yaitu pada saat 4

5,4

ππ=t . Jadi nilai ekstrim dari f pada U∂ adalah pada

titik – titik )(),( 45

4ππ cc , dan titik akhir )2()0( πcc = .

iii. Menentukan nilai f.

21

21

212

212

21

21

21 1)()(),( =+−−+=f

221)()(),())(( 22

222

222

22

22

22

4 −=+−−+== ff πc

221)()(),())(( 22

222

222

22

22

22

45 +=+++−+−=−−= ff πc

dan

1110)1()0()1,0())2(())0(( 22 =+−−+=== fff πcc

iv. Bandingkan semua nilai, maka didapatkan minimum mutlak yang terletak

pada titik ( 21

21 , ) dan maksimum mutlak yang terletak pada titik

),( 22

22 −− .▲


35

Teorema 2.2.2 merupakan cara untuk mengetahui apakah suatu titik x* di Rn

adalah titik kritis. Namun pada teorema 2.2.2 tidak diketahui apakah titik x*

tersebut adalah pembuat minimum / maksimum mutlak (tegas) atau pembuat

minimum / maksimum relatif (tegas). Oleh sebab itu diperlukan cara lain yang

lebih baik, yaitu teorema 2.2.4 yang dapat menentukan apakah pembuat

maksimum / minimum (baik mutlak ataupun relatif) tersebut tegas atau tidak.

Teorema 2.2.4

Andaikan *x adalah titik kritis pada fungsi f(x) dengan turunan pertama dan

turunan parsial kedua pada Rn, maka:

a *x adalah pembuat minimum mutlak untuk f(x) jika

0))(()( ** ≥−•− xxzxx Hf

untuk setiap x ∈ Rn dan setiap z ∈ [x*, x];

b *x adalah pembuat minimum mutlak tegas untuk f(x) jika

0))(()( ** >−•− xxzxx Hf

untuk setiap x ∈ Rn sedemikian hingga *xx ≠ dan setiap z ∈ [x*, x];

c *x adalah pembuat maksimum mutlak untuk f(x) jika

0))(()( ** ≤−•− xxzxx Hf

untuk setiap x ∈ Rn dan setiap z ∈ [x*, x];

d *x adalah pembuat maksimum mutlak tegas untuk f(x) jika

0))(()( ** <−•− xxzxx Hf

untuk setiap x ∈ Rn sedemikian hingga *xx ≠ dan setiap z ∈ [x*, x].


36

Bukti :

Karena *x adalah titik kritis pada f(x), turunan parsial pertama pada f(x)

adalah nol pada *x , maka )( *xf∇ = 0. Oleh karena itu, jika x adalah

sembarang titik pada Rn selain *x (berdasarkan teorema 2.2.3) maka

0))(()()()( **21* ≥−•−+= xxzxxxx Hfff ,

dimana z ∈ [x*, x]. Persamaan ini menghasilkan setiap pernyataan yang ada

pada teorema 2.2.4.

Pada pernyataan (a) teorema di atas didapatkan

0))(()()()( **21* ≥−•−=− xxzxxxx Hfff ,

dan juga, f(x) ≥ f( *x ) untuk setiap x ∈ Rn .

Pada pernyataan (b) teorema di atas didapatkan

0))(()()()( **21* >−•−=− xxzxxxx Hfff ,

dan juga, f(x) > f( *x ) untuk setiap x ∈ Rn sedemikian hingga *xx ≠ .

Pada pernyataan (c) teorema di atas didapatkan

0))(()()()( **21* ≤−•−=− xxzxxxx Hfff ,

dan juga, f(x) ≤ f( *x ) untuk setiap x ∈ Rn.

Pada pernyataan (d) teorema di atas didapatkan

0))(()()()( **21* <−•−=− xxzxxxx Hfff ,

dan juga, f(x) < f( *x ) untuk setiap x ∈ Rn sedemikian hingga *xx ≠ .■


37

Pada pembuktian teorema 2.2.3 telah diketahui bahwa Hessian Hf(x) dari

fungsi f(x) pada n variabel dengan turunan pertama dan turunan parsial kedua

adalah matriks simetris n x n. Sehingga sembarang matriks (A) simetris n x n

menentukan fungsi QA(y) pada Rn disebut bentuk kuadrat yang berhubungan

dengan A

nA RAQ ∈•= yyy , .

Jika f(x) adalah fungsi n variabel dengan turunan pertama dan turunan parsial

kedua, dan jika H = Hf(z) adalah Hessian dari f(x) yang dievaluasi pada titik z,

maka H adalah matriks simetris n x n. Untuk x, *x ∈ Rn, bentuk kuadrat QH

yang berhubungan dengan H dievaluasi pada *xx − adalah

))(()()( *** xxzxxxx −•−=− HfQH .

Hal ini tepat sama dengan pernyataan yang terdapat dalam teorema 2.2.4.

Definisi 2.2.11

Andaikan A adalah matriks simetris n x n dan yy AQA •= adalah bentuk

kuadrat yang berhubungan dengan A. Maka A dan QA disebut:

a. Semidefinit positif jika 0≥•= yy AQA , untuk setiap nR∈y ;

b. Definit positif jika 0>•= yy AQA , untuk setiap nR∈y , 0≠y ;

c. Semidefinit negatif jika 0≤•= yy AQA , untuk setiap nR∈y ;

d. Definit negatif jika 0<•= yy AQA , untuk setiap nR∈y , 0≠y ;

e. Tidak definit jika 0>•= yy AQA , untuk suatu nR∈y dan 0)( <yAQ un-

tuk nR∈y lainnya.


38

Teorema 2.2.5

Andaikan *x adalah titik kritis dari fungsi f(x) dengan turunan pertama dan

turunan parsial kedua pada Rn dan bahwa Hf(x) adalah Hessian dari f(x). Maka

*x adalah:

a. Pembuat minimum mutlak untuk f(x) jika Hf(x) adalah semidefinit positif

pada Rn;

b. Pembuat minimum mutlak tegas untuk f(x) jika Hf(x) adalah definit positif

pada Rn;

c. Pembuat maksimum mutlak untuk f(x) jika Hf(x) adalah semidefinit nega-

tif pada Rn;

d. Pembuat maksimum mutlak tegas untuk f(x) jika Hf(x) adalah definit

negatif pada Rn.

Bukti :

)(xHf adalah Hessian dari f(x), maka:

(a) berdasarkan definisi 2.2.11 )(xHf adalah semidefinit positif jika

0≥•= yy AQA , karena ))(()()( *** xxzxxxx −•−=− HfQH , maka

berdasarkan teorema 2.2.4 *x adalah pembuat minimum mutlak.

(b) berdasarkan definisi 2.2.11 )(xHf adalah definit positif jika

0>•= yy AQA , maka berdasarkan teorema 2.2.4 *x adalah pembuat

minimum mutlak tegas.


39

(c) berdasarkan definisi 2.2.11 )(xHf adalah semidefinit negatif jika

0≤•= yy AQA , maka berdasarkan teorema 2.2.4 *x adalah pembuat

maksimum mutlak.

(d) berdasarkan definisi 2.2.11 )(xHf adalah definit negatif jika

0<•= yy AQA , maka berdasarkan teorema 2.2.4 *x adalah pembuat

maksimum mutlak tegas.■

Teorema 2.2.6

Matriks simetris 2 x 2 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2212

1211

aaaa

A adalah:

a. Definit positif jika dan hanya jika

0det ,02212

121111 >⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛>

aaaa

a ;

b. Definit negatif jika dan hanya jika

0det ,02212

121111 >⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛<

aaaa

a .

Bukti :

A adalah matriks simetris 2 x 2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2212

1211

aaaa

A

maka bentuk asosiasi kuadrat dari A adalah

. xxx2x)( 22222112

2111 aaaAQA ++=•= xxx


40

Untuk setiap 0x ≠ di R2, baik )0,( 1x=x dengan 01 ≠x atau ),( 21 xx=x

dengan 02 ≠x . Akan dianalisa untuk 2 kasus berikut:

Kasus I. )0,( 1x=x dengan 01 ≠x .

Pada kasus ini, 2111)( xaQA =x maka 0)( >xAQ jika dan hanya jika 011 >a ,

sedangkan 0)( <xAQ jika dan hanya jika 011 <a .

Kasus II. ),( 21 xx=x dengan 02 ≠x .

Pada kasus ini, 21 txx = untuk suatu bilangan real t dan

[ ] ,)(2)( 22

222212

211 xtxatataQA ϕ=++=x

dimana 22122

11 2)( atatat ++=ϕ . Karena 02 ≠x , dapat dilihat bahwa

0)( >xAQ untuk setiap x jika dan hanya jika 0)( >tϕ untuk setiap t∈R.

,22)( 1211 atat +=′ϕ

112)( at =′′ϕ ,

sehingga 11

12*

aat −= adalah titik kritis dari )(tϕ dan titik kritis tersebut adalah

pembuat minimum tegas jika 011 >a dan pembuat maksimum tegas jika

011 <a . Jika 011 >a dan jika Rt ∈ , maka

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=≥

2212

1211

1122

11

212

11

12* det1)()(aaaa

aa

aa

aatt ϕϕϕ . …(8)

Jadi, jika 011 >a dan 0det2212

1211 >⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛aaaa

, maka 0)( >tϕ untuk setiap Rt ∈

dan membuat 0)( >xAQ untuk setiap ),( 21 xx=x dengan 02 ≠x . Dengan


41

kata lain, jika 0)( >xAQ untuk setiap x, maka 0)( >tϕ untuk setiap Rt ∈

dan sehingga 011 >a dan diskriminan dari )(tϕ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−

2212

12112211

212 det444

aaaa

aaa

adalah negatif, yaitu 011 >a dan 0det2212

1211 >⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛aaaa

.

Jika 011 <a pada (8) dan 0det2212

1211 >⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛aaaa

, maka 0)( <tϕ untuk setiap

Rt ∈ dan membuat 0)( <xAQ untuk setiap ),( 21 xx=x dengan 02 ≠x . den-

gan kata lain jika 0)( <xAQ untuk setiap x, maka 0)( <tϕ untuk setiap Rt ∈

dan sehingga 011 <a dan diskriminan dari )(tϕ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+

2212

12112211

212 det444

aaaa

aaa

adalah positif, yaitu 011 <a dan 0det2212

1211 >⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛aaaa

.■

Definisi 2.2.12

Misalkan A adalah matriks simetris n x n. Didefinisikan kΔ adalah determinan

dari sudut atas-tangan kiri submatriks k x k dari A untuk nk ≤≤1 . Determi-

nan kΔ disebut principal minor ke-k dari A.


42

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

mnnnn

n

n

n

aaaa

aaaaaaaaaaaa

A

L

MM

L

L

L

321

3332313

2232212

1131211

, dengan

.det

,det

,

2212

12112

111

A

aaaa

a

n =Δ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=Δ

=Δ

M

Teorema 2.2.7

Jika A adalah matriks simetris n x n dan jika kΔ adalah principal minor ke-k

dari A untuk nk ≤≤1 , maka:

a A adalah definit positif jika hanya jika 0>Δ k untuk nk ,...,2,1= ;

b A adalah definit negatif jika hanya jika 0)1( >Δ− kk untuk nk ,...,2,1= .

Bukti :

Untuk membuktikan teorema ini digunakan metode induksi matematis, yaitu

dengan dibuktikannya untuk kn = hingga 1+= kn adalah benar. Pada pem-

buktian ini cukup dibuktikan untuk 2=n dan 3=n , maka kn = adalah

benar.

Untuk 2=n adalah benar berdasarkan teorema 2.2.6, maka akan dibuktikan

untuk 3=n .

Misalkan ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

332313

232212

131211

aaaaaaaaa

A adalah matriks simetris 3 x 3 dan

),,( 321 xxx=x adalah vektor tak nol pada R3. Maka salah satu dari kedua ka-

sus ini harus dipenuhi:


43

Kasus I.

Jika 03 =x , maka ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛•=•

2

1

2212

121121 ),(

xx

aaaa

xxAxx dan )0,0(),( 21 ≠xx , se-

hingga berdasarkan teorema 2.2.6 menunjukkan

a. 0>• xx A jika untuk setiap 0x ≠ sedemikian sehingga 03 =x jika dan

hanya jika 0 ,0 21 >Δ>Δ ;

b. 0<• xx A jika untuk setiap 0x ≠ sedemikian sehingga 03 =x jika dan

hanya jika 0 ,0 21 >Δ<Δ .

Kasus II.

Jika 03 ≠x dan 3132 , sxxtxx == untuk setiap bilangan real s, t, maka

( )tasastaatasaxA 231312332

222

1123 222 +++++=• xx .

Sebagai akibatnya, karena 03 ≠x diikuti dengan 0>• xx A untuk setiap

0x ≠ sedemikian sehingga 03 ≠x jika dan hanya jika

0222),( 231312332

222

11 >+++++= tasastaatasatsϕ

untuk setiap bilangan real s, t. Pada penambahan, 0<• xx A untuk setiap

0x ≠ sedemikian sehingga 03 =x jika daan hanya jika 0),( <tsϕ untuk

setiap bilangan real s, t.

Titik kritis dari ),( tsϕ adalah solusi dari persamaan

131211 2220 atasas

++=∂∂

=ϕ ,

232212 2220 atasat

++=∂∂

=ϕ ,


44

yaitu,

131211 atasa −=+ ,

232212 atasa −=+ .

Persamaan tersebut mempunyai solusi yang unik ),( ** ts jika dan hanya jika

0det22212

1211 ≠⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=Δ

aaaa

,

dan solusi unik ini didapatkan dari Aturan Cramer`s yaitu

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

Δ=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

Δ=

2312

1311

2

*

2223

1213

2

* det1 ,det1aaaa

taaaa

s . …(9)

Jika persamaan 013*

12*

11 =++ atasa dikalikan dengan s*dan persamaan

023*

22*

12 =++ atasa dikalikan dengan t*:

( ) 0*13

**12

2*11 =++ satsasa

( ) 0*23

2*22

**12 =++ tatatsa

dan menambahkan kedua persamaan tersebut hingga menghasilkan

( ) ( ) 0*23

2*22

**12

*13

**12

2*11 =+++++ tatatsasatsasa

( ) ( ) 02 *23

*13

**12

2*22

2*11 =++++ tasatsatasa .

Akibatnya,

33*

23*

13** ),( atasats ++=ϕ ,

dan sehingga (9) diimplikasikan bahwa jika 02 ≠Δ , maka

2

3

2332313

232212

131211** detdet),(

ΔΔ

=Δ

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

A

aaaaaaaaa

tsϕ . …(10)


45

Karena 22212

1211 42222

det),( Δ=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

aaaa

tsHϕ , berdasarkan teorema 2.2.6 dan teo-

rema 2.2.5 yaitu ),( ** ts adalah pembuat minimum mutlak tegas untuk

),( ** tsϕ jika dan hanya jika 0 ,0 21 >Δ>Δ . Dengan cara yang sama, ),( ** ts

adalah pembuat maksimum mutlak tegas untuk ),( ** tsϕ jika dan hanya jika

0 ,0 21 >Δ<Δ .

Jika 0 ,0 ,0 321 >Δ>Δ>Δ , maka kesimpulan (a) pada kasus I menunjukkan

bahwa jika 0x ≠ dan 03 =x , maka 0>• xx A ; dengan kata lain, pada kasus

II menunjukkan bahwa jika 0x ≠ dan 03 ≠x , 3132 , sxxtxx == , maka

0),(),(2

323

**23

23 >

ΔΔ

=≥=• xtsxtsxA ϕϕxx .

Oleh karena itu, 0>• xx A untuk setiap 0x ≠ jika 0 ,0 ,0 321 >Δ>Δ>Δ .

Dengan kata lain, jika 0>• xx A untuk setiap 0x ≠ , maka kesimpulan (a)

dari kasus I menunjukkan bahwa 0 ,0 21 >Δ>Δ . Juga, jika )1,,( *** ts=x ,

maka (10) menghasilkan

0),( **

2

3 >•==ΔΔ xx Atsϕ ,

maka 03 >Δ . Hal ini membuktikan bagian (a) pada teorema 2.2.7.

pembuktian bagian (b) pada teorema 2.2.7, bukti analog.■


46

Teorema 2.2.8

Misalkan fungsi f(x) dengan turunan pertama dan turunan parsial kedua pada

suatu himpunan D di Rn.

Misalkan *x adalah titik dalam dari D dan *x adalah titik kritis dari f(x).

Maka *x adalah:

a Pembuat minimum relatif tegas dari f(x) jika Hf( *x ) adalah definit positif.

b Pembuat maksimum relatif tegas dari f(x) jika Hf( *x ) adalah definit nega-

tif.

Bukti :

Didefinisikan )(xkΔ adalah principal minor ke-k dari )(xHf . Dari hipotesa

diketahui 0)( * >Δ xk untuk k = 0, 1, 2, …,n. Karena turunan kedua dari f(x)

adalah kontinu, maka setiap )(xkΔ adalah fungsi dari x yang kontinu. Karena

0)( * >Δ xk , dari kekontinuitasan ditunjukkan bahwa terdapat suatu bilangan

0>kr pada setiap k sedemikian sehingga 0)( >Δ xk jika kr<− *xx . Him-

punan { }nrrrr ,...,,min 21= dan perhatikan bahwa untuk setiap k = 0, 1, 2, …,n

didapatkan 0)( >Δ xk jika r<− *xx . Oleh karena itu, berdasarkan teorema

2.2.6, matriks Hf(x) adalah definit positif jika r<− *xx . Jika

r<−< *0 xx , maka berdasarkan teorema 2.2.3 didapatkan

))(()()()()()( **21*** xxzxxxxxxx −•−+−•∇+= Hffff


47

dimana z berada pada segmen garis x dan x*. Karena r<− *xx , maka dida-

patkan r<− *xz .

Oleh sebab itu Hf(z) adalah definit positif. Akibatnya, jika r<−< *0 xx ,

maka positifbilangan 0)()( * ++= xx ff . Sehingga r<− *xx dan *xx ≠

menyatakan bahwa )()( *xx ff > , dimana *x adalah pembuat minimum

relatif tegas dari f(x).

Untuk *x pembuat maksimum relatif tegas, bukti analog.■

Contoh 2.2.4

20123),( 2132

3121 +−−+= xxxxxxf

Gambar 2.2.2 grafik fungsi 20123),( 2132

3121 +−−+= xxxxxxf

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

−=∇

123

33)(

22

21

x

xf x


48

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2

1

60

06

)(x

xHf x

Menentukan titik kritis, 0)( =∂∂ x

ixf , i = 1, 2, maka

0)(1

=∂∂ xxf 0)(

2

=∂∂ xxf

033 21 =−x 0123 2

2 =−x

11 ±=x 22 ±=x

Berdasarkan definisi 2.2.11

xxx AA •=)(ϕ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛•=

2

1

2

121

60

06

),(xx

xx

xx

)6,6(),( 22

2121 xxxx •=

32

31 66 xx +=

Untuk:

33 2.61.6)2,1( +=ϕ

54= ≥ 0, semidefinit positif.

33 )2.(121.6)2,1( −+=−ϕ

42−= ≤ 0, semidefinit negatif.

33 2.12)1.(6)2,1( +−=−ϕ

42= ≥ 0, semidefinit positif.

33 )2.(12)1.(6)2,1( −+−=−−ϕ


49

54−= ≤ 0, semidefinit negatif.

Mencari nilai optimum:

2202.121.321)2,1( 33 =+−−+=f

3420)2.(121.3)2(1)2,1( 33 =+−−−−+=−f

6202.12)1.(32)1()2,1( 33 =+−−−+−=−f

3820)2.(12)1.(3)2()1()2,1( 33 =+−−−−−+−=−−f

Pembuat minimum relatif terjadi pada titik (1,2) dan (-1,2). Pembuat mak-

simum relatif terjadi pada titik (1,-2) dan (-1,-2).▲


50

BAB III

ALGORITMA GENETIKA

Algoritma Genetika adalah algoritma pencarian heuristik yang didasarkan atas

mekanisme evolusi biologis. Algoritma genetika pertama kali dikembangkan oleh

John Holland (1975), dan mempunyai ciri-ciri istimewa, yaitu : (1) representasi

string bit, (2) seleksi yang seimbang (proporsional), dan (3) rekombinasi

(crossover) sebagai metode utama untuk menghasilkan individu baru.

A. Latar Belakang Biologi

Semua makhluk hidup terdiri dari sel-sel, dimana setiap selnya terdapat

kumpulan kromosom yang sama. Kromosom adalah untaian dari DNA dan

membentuk model yang akan membedakan makhluk hidup yang satu dengan

makhluk hidup yang lain. Sebuah kromosom terdiri dari gen-gen yang

merupakan blok-blok dari DNA. Setiap gen terbentuk dari protein tertentu,

yang mengkodekan sebuah trait (ciri bawaan), misalnya : warna mata, warna

kulit, dan lain-lain. Kemungkinan untuk mengatur sebuah trait disebut allele,

misalnya mengatur warna untuk mata. Setiap gen mempunyai posisi tersendiri

pada kromosom, disebut dengan locus. Kumpulan dari materi-materi gen

(pada semua kromosom) disebut genome. Kumpulan yang terdiri dari gen-gen

pada genome, disebut genotipe (genotype).

Sebelum melakukan reproduksi, pertama kali yang akan muncul adalah

rekombinasi (crossover atau rekombinasi). Gen-gen pada induk (parents) akan


51

membentuk kromosom baru, yang merupakan kombinasi dari kromosom-

kromosom kedua induk, yang akan membentuk anak (offspring) yang dapat

bermutasi. Mutasi merupakan penggantian suatu gen pada suatu elemen di

dalam DNA. Perubahan tersebut mungkin dikarenakan kesalahan

penggandaan gen-gen dari induknya.

Untuk menyelesaikan masalah yang ada, maka dicari solusi terbaik dari

semua kemungkinan solusi yang ada. Kumpulan semua solusi yang

memungkinkan tersebut berada dalam ruang pencarian (search space). Setiap

titik di dalam ruang pencarian merupakan satu solusi yang memungkinkan

(feasible solution). Setiap solusi yang memungkinkan dapat diberi pengenal

dalam bentuk nilai atau fitness dari permasalahan yang ada. Proses pencarian

solusi menjadi rumit karena tidak diketahui dimana harus mencari. Banyak

metode yang dikenal untuk menemukan solusi yang layak, diantaranya adalah

Algoritma Genetika (Genetic Algorithm) yang dibuat berdasarkan analogi

mekanisme yang terjadi terhadap proses evolusi.

B. Struktur Umum Algoritma Genetika

Algoritma Genetika merupakan metode optimasi yang berdasarkan pada

fenomena alam yang dalam penelusurannya mencari titik optimal berdasarkan

ide yang ada pada genetika dan teori Darwin (1809-1882) yaitu “survival of

the fittest” yang menyatakan bahwa evolusi jenis-jenis spesies makhluk hidup

dan ekosistemnya terjadi karena seleksi alam. Individu yang lebih kuat (fit)


52

akan memiliki tingkat survival dan tingkat reproduksi yang lebih tinggi jika

dibandingkan dengan individu yang kurang fit.

Berbeda dengan teknik konvensional, algoritma genetika dimulai dengan

memberikan himpunan awal (inisialisasi) dari solusi-solusi secara acak yang

disebut populasi. Setiap individu pada populasi disebut kromosom (solusi

yang masih berbentuk simbol), yang memodelkan sebuah solusi dari

permasalahan yang ada. Kromosom yang berkembang setelah melalui

beberapa iterasi disebut generasi. Setiap generasi kromosom dievaluasi dengan

menggunakan alat ukur yang disebut dengan fitness. Generasi yang terbentuk

dari gabungan dua kromosom dari generasi sekarang dengan menggunakan

operator rekombinasi atau dengan memodifikasikan kromosom dengan

menggunakan operator mutasi disebut anak (offspring). Populasi generasi

yang baru dibentuk dengan cara menyeleksi nilai fitness dari kromosom induk

dan nilai fitness dari kromosom anak, serta menolak kromosom-kromosom

yang lainnya sehingga ukuran (jumlah kromosom) populasi konstan.

Kromosom yang paling fit atau kromosom yang mempunyai nilai fitness yang

paling besar (untuk permasalahan maksimum) atau nilai fitness yang paling

kecil (untuk permasalahan minimum), yang mempunyai probabilitas paling

tinggi yang akan dipilih.

Istilah-istilah yang digunakan dalam algoritma genetika, dijelaskan

dalam tabel dibawah ini:


53

Istilah dalam algoritma

genetika

Keterangan.

Populasi Himpunan beberapa solusi.

Kromosom Solusi.

Gen Bagian dari kromosom.

Induk (parent) Solusi yang akan dikenakan proses

rekombinasi atau mutasi.

Anak (Offspring) Solusi baru yang dihasilkan melalui

proses rekombinasi atau mutasi.

Rekombinasi Proses yang melibatkan dua solusi

untuk mendapatkan solusi baru.

Mutasi Proses yang melibatkan satu solusi

untuk mendapatkan solusi baru.

Seleksi Pemilihan kromosom yang baik

Tabel 3.2.1 Tabel istilah dalam Algoritma Genetika.

Struktur umum algoritma genetika (Mitsuo Gen dan Runwei Cheng, 1997)

dapat pula dideskripsikan seperti pada gambar 3.2.1 berikut:


54

Gambar 3.2.1. Ilustrasi Algoritma Genetika

mutation

0011011001

0011001001

crossover

1100101010

1011101110

1100101110 1011101010

solutions

evaluation

1100101110 1011101010 0011001001

offspring

fitness computation

decoding

1100101010 1011101110 0011011001 1100110001

chromosomes

selection

solutions encoding

new population


55

Keterangan gambar 3.2.1.

Dalam menyelesaikan masalah, algoritma genetika diawali dengan

menginisialisasikan himpunan solusi yang dibangkitkan secara acak.

Himpunan solusi ini disebut populasi. Setiap individu pada populasi disebut

kromosom yang menggambarkan sebuah solusi dari masalah yang akan

diselesaikan. Sebuah kromosom dapat dinyatakan dalam simbol string

misalnya kumpulan string bit. Kromosom-kromosom dapat berubah terus

menerus disebut dengan regenerasi. Pada setiap generasi, kromosom

dievaluasi dengan mengunakan alat ukur yang disebut fungsi fittnes (tingkat

kesesuaian). Untuk membuat generasi berikutnya, kromosom-kromosom baru

yang disebut offspring (keturunan) terbentuk dengan cara menggabung dua

kromosom dari generasi sekarang dengan menggunakan operator crossover

(rekombinasi) atau mengubah sebuah kromosom dengan menggunakan

operator mutasi. Generasi baru dibentuk dengan cara seleksi yang dilakukan

terhadap induk dan anak berdasarkan nilai fitness-nya dan menghilangkan

yang lainnya. Kromosom-kromosom yang lebih sesuai memiliki probabilitas

untuk dipilih. Setelah beberapa generasi, algoritma ini akan konvergen ke arah

bentuk kromosom yang terbaik, dengan harapan dapat menyatakan solusi

optimal dari permasalahan yang diselesaikan.


56

C. Komponen-komponen Utama Algoritma Genetika

1. Teknik Penyandian

Teknik penyandian meliputi penyandian gen dari kromosom. Satu gen

biasanya akan mewakili satu variabel, dan dapat direpresentasikan dalam

bentuk: string bit, pohon, array, bilangan real, daftar aturan, elemen

permutasi, elemen program, atau representasi lainnya yang dapat

diimplementasikan untuk operator genetika. Gambar 3.3.1.1 menunjukan

representasi string bit. Biasanya penyandian kromosom menggunakan

string biner. Setiap bit dalam string dapat merepresentasikan beberapa

karateristik dari solusi.

0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1

Pengkodean nilai untuk variabel x1 Pengkodean nilai untuk variabel x2

Gambar 3.3.1.1 Representasi string bit

Pertama, variabel keputusan dikodekan ke dalam bentuk string biner.

Panjang dari string tergantung pada ketepatan angkanya. Contohnya, domain

dari xj adalah [aj, bj] dan ketepatan angkanya adalah 4 angka setelah desimal.

Ketepatan tersebut diperlukan karena pada selang domain dari setiap variabel

harus terbagi sedikitnya (bj-aj) ×10n (n=ketepatan angka) ukuran selang.

Keharusan berapa bit (dinotasikan dengan mj) yang diperlukan untuk sebuah

variabel dihitung dengan cara sebagai berikut :

]110)log[(2 +−= njjj abm


57

1210)(2 1 −≤×−<− mjnjj

mj ab .

Pemetaan dari string biner ke bilangan real untuk variabel xj secara

sederhana dan lengkap ditunjukkan sebagai berikut:

12)(desimal

−

−×+= mj

jjjjj

absubstringax

dimana desimal (substringj ) menunjukkan nilai desimal dari substringj untuk

variabel keputusan xj.

Panjang kromosom keseluruhan adalah ∑=

n

jjm

1

bit (dimana j adalah

banyaknya variabel yang digunakan) dan direpresentasikan sebagai berikut:

33 bit

vj 000001010100101001 101111011111110 18 bit 15bit

Gambar 3.3.1.2 representasi panjang kromosom

Nilai biner Nilai desimal

x1 000001010100101001 5417

x2 101111011111110 24318

Tabel 3.3.1.1 pemetaan nilai biner ke nilai real

2. Prosedur Inisialisasi

Ukuran populasi tergantung dari permasalahan yang akan diselesaikan

dan jenis operator genetika yang akan diimplementasikan. Setelah ukuran

populasi ditentukan, kemudian dilakukan inisialisasi terhadap kromosom


58

yang terdapat dalam populasi tersebut. Inisialisasi kromosom dilakukan

secara acak, namun harus tetap memperhatikan domain solusi dan kendala

permasalahan yang ada.

3. Fungsi Evaluasi (fitness function)

Secara umum, fungsi evaluasi diturunkan dari fungsi objektif (fungsi

tujuan) dengan nilai yang tidak negatif. Apabila ternyata fungsi tujuan

memiliki nilai negatif, maka perlu ditambahkan suatu konstanta C agar

nilai fitness yang terbentuk menjadi tidak negatif.

Proses dari penentuan fitness dari sebuah kromosom terdiri dari tiga

langkah, yaitu:

1. Tukar kromosom genotip ke kromosom penotip. Artinya, tukar string

biner ke nilai real relatif xk = (x1, x2), k = 0, 1, 2, …, ukuran populasi.

2. Hitung fungsi tujuan f(xk).

3. Tukar nilai dari fungsi tujuan ke fitness. Untuk permasalahan

maksimum, nilai fitness sebanding dengan nilai fungsi tujuannya,

populasiukuran ..., ,2 ,1 ,0),()( == kxfveval kk .

Dari penghitungan tersebut, akan dapat dilihat kromosom yang terkuat,

mempunyai nilai fitness paling besar dan kromosom yang paling lemah,

mempunyai nilai fitness yang paling kecil.


59

4. Seleksi

Tujuan dari seleksi adalah untuk menentukan individu-individu mana

saja yang akan dipilih untuk dilakukan rekombinasi dan mutasi. Metode

seleksi yang paling sering digunakan adalah Rank-based assignment, Roulette

wheel selection (seleksi roda roulette), dan tournament selection (seleksi

dengan turnamen). Seleksi akan menentukan individu-individu mana saja yang

akan dipilih untuk dilakukan rekombinasi dan bagaimana anak terbentuk dari

individu-individu terpilih tersebut.

4.1. Seleksi Roda Rolet (roulette-wheel)

Metode seleksi roda rolet merupakan metode yang paling

sederhana, dan sering juga dikenal dengan nama stochastic sampling

with replacement. Metode ini menirukan permainan roulette-wheel di

mana masing-masing kromosom menempati potongan lingkaran pada

roda rolet secara proporsional sesuai dengan nilai fitnessnya. Kromosom

yang mempunyai nilai fitness lebih besar menempati potongan lingkaran

yang lebih besar dibandingkan dengan kromosom bernilai fitness rendah.

Gambar 3.4.1.1 ilustrasi sebuah contoh penggunaan metode roda

roulette.

Kromosom Nilai Fitness Probabilitas K1 1 0.25 K2 2 0.5 K3 0.5 0.125 K4 0.5 0.125

Jumlah 4

Gambar 3.4.1.1 Contoh penggunaan metode seleksi roda roulette.

K3

K4 K1

K2


60

Kromosom K1 mempunyai probabilitas 25% untuk dipilih setiap

kali suatu kromosom dipilih (setiap roda diputar). Probabilitas masing-

masing individu dapat dicari dari pembagian fitness masing-masing

individu dengan total fitness dalam populasi.

Seleksi dengan roda rolet berdasarkan skala fitness. Karena

terpilihnya suatu kromosom dalam populasi untuk dapat berkembang

biak adalah sebanding dengan fitnesnya, maka akan terjadi

kecenderungan kromosom yang baik akan terpelihara terus sehingga

dapat membawa ke hasil optimum lokal (konvergensi dini) ke suatu hasil

yang bukan optimum global. Sebaliknya, jika semua kromosom dalam

populasi mempunyai fitness yang hampir sama, maka seleksi ini akan

menjadi seleksi yang bersifat acak.

4.2. Seleksi Ranking

Seleksi dengan roda rolet sebelumnya memiliki kelemahan ketika

fitness yang tersebar dalam populasi berbeda jauh misalnya jika fitness

dari kromosom terbaik dalah 90% dari keseluruhan roda rolet, maka

kromosom lain akan mempunyai kesempatan yang kecil untuk terpilih.

Pada seleksi ranking, pertama dilakukan merangkingkan

kromosom dalam populasi kemudian setiap kromosom menerima nilai

fitness dari ranking tersebut. Kromosom yang terjelek akan mendapatkan

nilai fitness 1, terjelek kedua mendapat nilai fitness 2 dan seterusnya


61

sampai yang terbaik mendapatkan nilai fitness N (jumlah kromosom

dalam populasi). Sebagai ilustrasi dapat dilihat pada tabel.

Kromosom Fitnes Fitnes Baru

B D E C A

5 5 5

10 15

1 2 3 4 5

Tabel 3.4.2.1 Contoh populasi dengan 5 kromosom yang diberi fitness baru

4.3. Seleksi Turnamen

Seleksi turnamen merupakan jenis seleksi yang divariasi

berdasarkan seleksi roda rolet dan seleksi ranking. Sejumlah k

kromosom tertentu dari populasi dengan n kromosom (k ≤ n) dipilih

secara acak dengan probabilitas yang sama. Dari k kromosom yang

terpilih tersebut kemudian dipilih suatu kromosom dengan fitness

terbaik, yang diperoleh dari hasil pengurutan rangking fitness

kromosom-kromosom yang dipilih tersebut.

Perbedaan dengan seleksi roda Roulette adalah bahwa pemilihan

kromosom yang akan digunakan untuk berkembang biak tidak

berdasarkan skala fitness dari populasi. Untuk k = 1, seleksi turnamen ini

akan sama dengan seleksi secara acak karena hanya melibatkan satu

kromosom. Untuk k = 2, maka dua kromosom dalam populasi akan

dipilih secara acak, kemudian dari dua kromosom tersebut dipilih satu

kromosom dengan fitness tersebut. Biasanya yang sering digunakan

adalah untuk k = 2 tergantung dari ukuran populasi.


62

5. Operator Genetika

Ada 2 operator genetika, yaitu:

5.2 Rekombinasi (crossover)

Pada skripsi ini operator rekombinasi yang akan digunakan

adalah rekombinasi bernilai biner. Rekombinasi bernilai biner terdiri

dari : rekombinasi satu titik, rekombinasi banyak titik, dan

rekombinasi seragam. Rekombinasi yang akan digunakan dalam

skripsi ini adalah rekombinasi satu titik. Pada rekombinasi satu titik,

posisi rekombinasi k,(k = 1, 2, …, N-1) dengan N = panjang

kromosom, diseleksi secara random. Variabel-variabel ditukar antar

kromosom pada titik tersebut untuk menghasilkan anak (Gambar

3.5.1.1).

Gambar 3.5.1.1 Rekombinasi satu titik.

Pertama, ditentukan terlebih dahulu probabilitas rekombinasi,

pada skripsi ini probabilitas rekombinasi adalah 0.25 dengan harapan

25% dari kromosom akan mengalami rekombinasi. Dibangkitkan

bilangan dari selang [0, 1] secara acak sebanyak jumlah populasi,

jika bilangan tersebut kurang dari 0.25, maka bilangan tersebut

terpilih untuk menjadi induk. Setidaknya dua kromosom yang harus

induk anak 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1

1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0

0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0

1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1


63

terpilih untuk menjadi induk. Bilangan tersebut akan menentukan

populasi ke-berapa yang akan menjadi induk. Setelah induk terpilih,

bangkitkan posisi rekombinasi atau pos secara acak dari selang [1,

panjang kromosom-1]. Tukar kromosom dari induk1 ke induk2 pada

pos yang telah ditentukan. Hasil yang didapat dinamakan anak.

5.2 Mutasi

Setelah mengalami proses rekombinasi, pada anak dapat

dilakukan mutasi. Variabel anak dimutasi dengan menambahkan

nilai random yang sangat kecil, dengan probabilitas rendah. Peluang

mutasi (pm) didefinisikan sebagai presentasi dari jumlah total gen

pada populasi yang mengalami mutasi. Kromosom hasil mutasi harus

diperiksa, apakah masih berada dalam domain solusi, dan bila perlu

bisa dilakukan perbaikan. Mutasi berperan untuk menggantikan gen

yang hilang dari populasi akibat proses seleksi yang memungkinkan

munculnya kembali gen yang tidak muncul pada inisialisasi populasi.

Mutasi terdiri dari mutasi bernilai real dan mutasi bernilai biner.

Mutasi yang akan digunakan pada skripsi ini adalah mutasi biner.

Langkah-langkah dari mutasi biner adalah ;

i. Hitung jumlah gen pada populasi (panjang kromosom dikalikan

dengan ukuran populasi).


64

ii. Tentukan probabilitas mutasi. Pada skripsi ini probabilitas yang

digunakan adalah 0.01, sehingga diharapkan 1% dari jumlah gen

mengalami mutasi.

iii. Secara acak tentukan posisi mutasi, nomor kromosom, nomor bit,

dan bilangan dari selang [0, 1].

iv. Ganti nilai gen (0 ke 1, atau 1 ke 0) dari kromosom yang akan

dimutasi tersebut.

Hasil dari mutasi disebut anak. Hasil dari mutasi dan

rekombinasi dimasukkan ke dalam populasi baru yang kemudian

akan dihitung nilai fitness-nya. Nilai fitness yang terbaik akan masuk

ke dalam populasi sebelumnya Agar populasi tetap konstan, maka

kromosom yang mempunyai nilai fitness yang terburuk akan

digantikan dengan kromosom anak yang mempunyai nilai fitness

terbaik.

6. Penentuan Parameter

Yang dimaksud dengan parameter disini adalah parameter kontrol

Algoritma Genetika, yaitu ukuran populasi (popsize), peluang rekombinasi

(Pc), dan peluang mutasi (Pm). Nilai parameter ditentukan dengan

berdasarkan permasalahan yang akan diselesaikan. Ada beberapa

rekomendasi yang bisa digunakan, antara lain:


65

i. Untuk permasalahan yang memiliki kawasan solusi cukup besar, De

Jong merekomendasikan untuk nilai parameter kontrol:

(uk_populasi; pc; pm) = (50; 0.6; 0.001).

ii. Bila rata-rata fitness setiap generasi digunakan sebagai indikator,

maka Grefenstette merekomendasikan:

(uk_populasi; pc; pm) = (30; 0.95; 0.01).

iii. Bila fitness dari individu terbaik dipantau pada setiap generasi, maka

diusulkan:

(uk_populasi; pc; pm) = (80; 0.45; 0.01).

iv. Ukuran populasi sebaiknya tidak lebih kecil dari 30, untuk

sembarang jenis permasalahan.


66

BAB IV

OPTIMASI FUNGSI TANPA KENDALA DENGAN

ALGORITMA GENETIKA

Pada bab ini akan diberikan contoh-contoh dari permasalahan optimasi pe-

mrograman tak linear fungsi dua variabel tanpa kendala. Permasalahan-perma-

salahan tersebut akan diselesaikan dengan teknik konvensional menggunakan

kalkulus, serta dengan Algoritma Genetika.

Contoh 4.1

Permasalahan optimasi tanpa kendala diberikan sebagai berikut:

Maksimumkan ( ) 2221

2121 2, xxxxxxf ++=

101.0 1 ≤≤ x

95.4 2 ≤≤ x

Temukan nilai optimum dengan menggunakan Algoritma Genetika dan de-

ngan teknik konvensional.

a) Dengan Teknik Konvensional (Kalkulus).

( ) 2221

2121 2, xxxxxxf ++= , dengan 101.0 1 ≤≤ x , 95.4 2 ≤≤ x


67

Gambar 4.1 grafik fungsi ( ) 2221

2121 2, xxxxxxf ++=

Menentukan titik kritis:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

=∇21

21

2222

xxxx

f

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2222

Hf

0)( =∂∂ xf

211 22)( xxxf+=

∂∂ 212 22)( xxxf

+=∂∂

21 220 xx += 21 220 xx +=

21 xx −= 21 xx −=

Titik kritis tidak diketahui.

Berdasarkan teorema 2.1.2, maka


68

Untuk f(0.1, 4.5)

( ) 222 )5.4()5.4()1.0(2)1.0( ++=xf

25.209.001.0 ++=

16.21=

Untuk f(10, 9)

( ) 222 )9()9()10(2)10( ++=xf

81180100 ++=

361=

Nilai maksimum 361, dan nilai minimum 21.16.

b) Dengan Algoritma Genetika.

Representasi Masalah

Misalkan ketepatan angka untuk menyelesaikan permasalahan optimasi di

atas adalah empat tempat setelah desimal. Dan iterasi yang akan dicapai

adalah 100 iterasi. Jumlah populasi yang akan terjadi adalah 10, akan ditentu-

kan berapa bit yang harus digunakan untuk variabel x1 dan x2 :

1716.59]110)1.001[(log]110)atas batasbawah bataslog[( 42421 ≈=+−=+−=m

(10-0.1) ×104 = 99,000

1716 2000,992 ≤<

1615.45]110)5.49[(log]110)atas batasbawah bataslog[( 42421 ≈=+−=+−=m

(9-4.5) ×104 = 45,000


69

1615 2000,452 ≤<

Total bit dalam tiap kromosom (panjang kromosom) adalah (17 + 16)bit = 33

bit.

Untuk rekombinasi dan mutasi akan diuji pada probabilitas rekombinasi

antara 0.2 hingga 0.5, dan mutasi pada probabilitas 0.01 hingga 0.1. Sehingga,

rekombinasi kromosom akan terjadi apabila bilangan acak rekombinasi [0, 1]

lebih kecil atau sama dengan probabilitas rekombinasinya. Begitu pula dengan

mutasi, apabila bilangan acak mutasi [0, 1] lebih kecil atau sama dengan pro-

babilitas mutasi, maka mutasi kromosom akan terjadi. Dari 10 percobaan akan

dicari nilai maksimum yang mempunyai selisih 5% dari teknik konvensional.

Setiap percobaan diuji pada 100 generasi.

Untuk permasalahan maksimum:


70

Pc = 0.2 Nilai Terbesar Pada Banyak Pm 10 kali Percobaan Titik Percobaan

0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

tidak ada yang memenuhi

0.06 348.1101 (9.9578, 8.6999) 1 0.07 347.9697 (9.9578, 8.6999) 2 0.08 348.1439 (9.9587, 8.6953) 1 0.09 0.1 tidak terjadi


2121 2, xxxxxxf ++= dengan

probabilitas rekombinasi 0.2 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1.

0123456789

10

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

Probabilitas Mutasi

Ban

yak

Perc

obaa

n

Gambar 4.2 Grafik terjadinya nilai maksimum ( ) 2221

2121 2, xxxxxxf ++=

dengan probabilitas rekombinasi 0.2 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga

0.1.

Dari tabel 4.1 dan gambar 4.2 terlihat bahwa percobaan terbanyak untuk

mendapatkan solusi terbaik terjadi pada probabilitas mutasi 0.07.


71


0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08


0.09 343.7628 (9.9587, 8.6999) 2 0.1 tidak terjadi




0123456789

10

0.08 0.09 0.1

Probabilitas Mutasi

Ban

yak

Perc

obaa

n


2121 2, xxxxxxf ++=


0.1.




72


0.01 0.02 0.03 0.04 0.05


0.06 348.1439 (9.9587, 8.6999) 1 0.07 348.1439 (9.9587, 8.6999) 1 0.08 348.1491 (9.9587, 8.7001) 2 0.09 335.6864 (9.3393, 8.9824) 1 0.1 347.5269 (9.9421, 86999) 1

Tabel 4.3 Tabel nilai maksimum fungsi dengan probabilitas rekombinasi

0.3 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1.

0123456789

10

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

Probabilitas Mutasi

Ban

yak

Perc

obaa

n


2121 2, xxxxxxf ++=


0.1.




73


0.01 0.02 0.03 0.04 0.05


0.06 358.67 (9.9574, 8.9812) 1 0.07 348.1439 (9.9587, 8.6999) 1 0.08 tidak terjadi 0.09 348.2313 (9.9610, 8.6999) 3 0.1 348.1439 (9.9568, 8.6999) 2




0123456789

10

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

Probabilitas Mutasi

Ban

yak

Perc

obaa

n


2121 2, xxxxxxf ++=


0.1.




74


0.01 0.02 tidak ada yang memenuhi

0.03 343.6813 (9.8762, 8.6624) 1 0.04 tidak ada yang memenuhi 0.05 348.1439 (9.9587, 8.6999) 2 0.06 tidak ada yang memenuhi 0.07 346.3638 (9.9484, 8.6624) 1 0.08 358.6958 (9.9581, 8.9812) 2 0.09 348.096 (9.9574, 8.6999) 1 0.1 348.1468 (9.9588, 8.6999) 1




0123456789

10

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

Probabilitas Mutasi

Ban

yak

Perc

obaa

n


2121 2, xxxxxxf ++=


0.1.




75


0.01 0.02 0.03 0.04


0.05 348.1439 (9.9587, 8.6999) 1 0.06 348.2249 (9.9433, 8.7175) 1 0.07 348.1496 (9.9588, 8.6999) 1 0.08 359.0371 (9.9484, 8.9999) 1 0.09 349.5406 (9.9961, 8.6999) 2 0.1 348.1439 (9.9587, 8.6999) 1




0123456789

10

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

Probabilitas Mutasi

Ban

yak

Perc

obaa

n


2121 2, xxxxxxf ++=


0.1.




76


0.01 348.14398 (9.9587, 8.6999) 1 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08


0.09 343.3662 (9.8325, 8.6976) 1 0.1 350.2321 (9.9970, 8.7175) 3




0123456789

10

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

Probabilitas Mutasi

Ban

yak

Perc

obaa

n


2121 2, xxxxxxf ++=


0.1.




77

Dari grafik-grafik di atas, terlihat bahwa nilai maksimum yang

mendekati dengan pencarian teknik konvensional serta mengalami percobaan

terbanyak adalah dengan menggunakan probabilitas mutasi 0.08.

Akan dilihat berdasarkan probabilitas mutasi (pada probabilitas mutasi

0.08).

Pm = 0.08 Nilai Terbesar Pada Banyak Pc 10 kali Percobaan Titik Percobaan

0.2 348.1439 (9.9587, 8.6953) 1 0.25 tidak ada yang memenuhi 0.3 348.1491 (9.9587, 8.7001) 2 0.35 tidak ada yang memenuhi 0.4 358.6958 (9.9581, 8.9812) 2 0.45 359.0371 (9.9484, 8.9999) 2 0.5 tidak ada yang memenuhi



probabilitas rekombinasi 0.2-0.5 dan probabilitas mutasi 0.08.

0123456789

10

0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

Probabilitas Rekombinasi

Ban

yak

Perc

obaa

n


2121 2, xxxxxxf ++=

dengan probabilitas rekombinasi 0.2-0.5 dan probabilitas mutasi 0.08.


78

Dari tabel 4.8 terlihat bahwa percobaan terbanyak untuk mendapatkan

solusi terbaik terjadi pada probabilitas rekombinasi 0.4 dan 0.45 dengan pro-

babilitas mutasi 0.08.

Contoh 4.2


( ) 193, 21

322

2121 +−−= xxxxxxf

Temukan nilai optimum dengan menggunakan Algoritma Genetika dan de-

ngan teknik konvensional.

Gambar 4.10 grafik fungsi ( ) 193, 21

322


a) Dengan Teknik Konvensional (Kalkulus)

Menentukan titik kritis:


79

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=∇ 22

21

121

27326xxxxx

f

0)( =∂∂ xf

1211 26)( xxxxf−=

∂∂ 2

2212 273)( xxxf−=

∂∂

)13(0 21 −= xx 22

21 90 xx −=

31atau 0 21 == xx untuk 01 =x , 02 =x

untuk 31

2 =x , 11 ±=x .

f(x) mempunyai tiga titik kritis, yaitu:

)31,1(),3

1,1(),0,0( 321 −=== ppp

Dengan berdasarkan teorema 2.2.6, maka

26)( 111 −=∂∂ xxxf

121 6)( xxxf=

∂∂

222 54)( xxxf−=

∂∂

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=Δ

2221

2111)(

xxf

xxf

xxf

xxf

f x

2

212211⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

∂∂

=xxf

xxf

xxf


80

2121 )6()54)(26( xxx −−−=

2212

1 10832436 xxxx ++−=

Untuk

0)(),0,0(1 =Δ= xfp ; p1 tidak memberikan penyelesaian.

0108)(),31,1(2 >=Δ= xfp ; berdasarkan teorema 2.2.7 )(xfΔ definit

positif.

0108)(),31,1(3 <−=Δ−= xfp ; berdasarkan teorema 2.2.7 )(xfΔ definit

negatif.

Pada titik )31,1(),3

1,1( − akan diuji dengan menggunakan definisi 2.2.11.

xx AQA •= , dengan )(xfA Δ=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−•=

2

1

21

1221

546626

),(xx

xxxx

xx

( ) ( )22

212112121 546 ,626, xxxxxxxxx −+−•=

32

212

21 54412 xxxx −+=

Berdasarkan definisi 2.2.11, maka

Untuk titik )31,1( : ( ) ( ) 063

15443112)(

3>=−+=xAQ adalah pembuat

minimum relatif.


81

Untuk titik )31,1(− : ( ) ( ) 063

15443112)(

3>=−+=xAQ adalah pembuat

minimum relatif.

Mencari nilai optimum

Untuk )31,1(f

( ) 193, 21

322


11).(9.1.3 233

13

12 +−−=

66.0=

Untuk )31,1(−f

( ) 193, 21

322


1)1().(9.)1.(3 233

13

12 +−−−−=

66.0=

Minimum relatif terjadi pada titik )31,1(),3

1,1( − .

b) Dengan Algoritma Genetika

Representasi Masalah






82

1514.2878]110)11[(log]110)atas batasbawah bataslog[( 42421 ≈=++=+−=m

(1+1) ×104 = 20,000

1514 2000,202 ≤<


(1+1) ×104 = 20,000

1514 2000,202 ≤<


bit.





mutasi, apabila bilangan acak mutasi [0, 1] lebih kecil atau sama dengan prob-

abilitas mutasi, maka mutasi kromosom akan terjadi. Dari 10 percobaan akan

dicari nilai maksimum yang mempunyai selisih 0.5% dari teknik konven-

sional. Dan nilai minimum yang mempunyai selisih 5% dari teknik konven-

sional. Setiap percobaan diuji pada 100 generasi.

Untuk permasalahan maksimum:


83


0.01 0.9958 (0.0645, 0.0001) 6 0.02 0.9971 (0.0500, 0.0444) 5 0.03 0.9955 (0.0666, 0.0418) 4 0.04 1 (0.0002, 0.0001) 4 0.05 0.9958 (0.0666, 0.0209) 6 0.06 0.9992 (0.0041, 0.0444) 8 0.07 1 (0.0001, 0.0001) 8 0.08 1 (0.0041, 0.0001) 5 0.09 0.9961 (0.0626, 0.0055) 5 0.1 1 (0.0000, 0.0055) 6

Tabel 4.9 Tabel nilai maksimum fungsi ( ) 193, 21

322

2121 +−−= xxxxxxf den-

gan probabilitas rekombinasi 0.2 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

Probabilitas Mutasi

Ban

yak

Perc

obaa

n

Gambar 4.11 Grafik terjadinya nilai maksimum fungsi

( ) 193, 21

322

2121 +−−= xxxxxxf dengan probabilitas rekombinasi 0.2 dan

probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1.

Dari tabel 4.9 dan gambar 4.11 terlihat bahwa percobaan terbanyak un-

tuk mendapatkan solusi terbaik terjadi pada probabilitas mutasi 0.06 dan

0.07.


84


0.01 0.9957 (0.0666, 0.0165) 5 0.02 0.9957 (0.0666, 0.0110) 5 0.03 0.9983 (-0.0417, 0.0001) 5 0.04 1 (0.0041, 0.0007) 6 0.05 1 (0.0041, 0.0006) 5 0.06 1 (0.0041, 0.0006) 6 0.07 1 (0.0041, 0.0105) 6 0.08 1 (0.0041, 0.0002) 8 0.09 1 (0.0041, 0.0082) 8 0.1 1 (0.0001, 0.0001) 3


322



0.1.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

Probabilitas Mutasi

Ban

yak

Perc

obaa

n


( ) 193, 21

322





0.09.


85


0.01 0.9989 (0.0334, 0.0110) 6 0.02 0.9992 (0.0013, 0.0444) 6 0.03 1 (0.0041, 0.0001) 7 0.04 0.9983 (0.0333, 0.0444) 5 0.05 0.9992 (0.0041, 0.0444) 8 0.06 1 (0.0041, 0.0001) 5 0.07 1 (0.0041, 0.0001) 7 0.08 1 (0.0000, 0.0001) 8 0.09 1 (0.0041, 0.0001) 4 0.1 0.9992 (0.0041, 0.0444) 7

Tabel 4.11 Tabel nilai maksimum ( ) 193, 21

322



0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

Probabilitas Mutasi

Ban

yak

Perc

obaa

n


( ) 193, 21

322





0.08.


86


0.01 0.9971 (0.0500, 0.0444) 6 0.02 0.9958 (0.0666, 0.0193) 6 0.03 0.9996 (0.0208, 0.0082) 7 0.04 1 (0.0042, 0.0001) 6 0.05 0.9975 (0.0500, 0.0001) 2 0.06 1 (0.0041, 0.0006) 5 0.07 0.9997 (0.0187, 0.0014) 7 0.08 1 (0.0041, 0.0001) 7 0.09 1 (0.0000, 0.0001) 8 0.1 1 (0.0002, 0.0001) 7


322



0.1.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

Probabilitas Mutasi

Ban

yak

Perc

obaa

n


( ) 193, 21

322




tuk mendapatkan solusi terbaik terjadi pada probabilitas mutasi 0.09.


87


0.01 0.9975 (0.0500, 0.0001) 5 0.02 1 (0.0041, 0.0009) 6 0.03 0.9992 (0.0041, 0.0444) 4 0.04 1 (0.0041, 0.0001) 3 0.05 1 (0.0041, 0.0110) 6 0.06 0.9992 (0.0041, 0.0444) 7 0.07 0.9992 (0.0041, 0.0444) 5 0.08 1 (0.0041, 0.0110) 9 0.09 0.9992 (0.0041, 0.0444) 5 0.1 0.9993 (0.0041, 0.0418) 6


322



0.1.

0123456789

10

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

Probabilitas Mutasi

Ban

yak

Perc

obaa

n


( ) 193, 21

322






88


0.01 0.9983 (0.0333, 0.0444) 4 0.02 1 (0.0020, 0.0006) 6 0.03 1 (0.0041, 0.0002) 7 0.04 1 (0.0041, 0.0014) 4 0.05 1 (0.0002, 0.0001) 8 0.06 0.9989 (0.0333, 0.0110) 2 0.07 1 (0.0002, 0.0004) 7 0.08 0.9999 (0.0040, 0.0165) 9 0.09 0.9989 (0.0332, 0.0105) 7 0.1 1 (0.0041, 0.0110) 8


322



0.1.

0123456789

10

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

Probabilitas Mutasi

Ban

yak

Perc

obaa

n


( ) 193, 21

322






89


0.01 0.9976 (0.0500, 0.0082) 7 0.02 1 (0.0041, 0.0055) 6 0.03 1 (0.0041, 0.0136) 9 0.04 0.9971 (0.0498, 0.0444) 7 0.05 1 (0.0001, 0.0001) 6 0.06 1 (0.0020, 0.0001) 7 0.07 0.9992 (0.0052, 0.0444) 8 0.08 1 (0.0001, 0.0055) 6 0.09 0.9957 (0.0666, 0.0139) 5 0.1 0.9997 (0.0177, 0.0027) 8


322



0.1.

0123456789

10

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

Probabilitas Mutasi

Ban

yak

Perc

obaa

n


( ) 193, 21

322





Dari gambar di atas, terlihat bahwa pada probabilitas mutasi 0.08

percobaan lebih banyak terjadi untuk mendapatkan solusi optimal.


90

Untuk permasalahan minimum:

Pc = 0.2 Nilai Terkecil Pada Banyak Pm 10 kali Percobaan Titik Percobaan

0.01 0 (-1.0000, 0.0000) 4 0.02 0 (-1.0000, 0.0000) 3 0.03 0 (-1.0000, 0.0000) 4 0.04 0.0002 (-1.0000, 0.0001) 5 0.05 0 (-1.0000, 0.0000) 2 0.06 0 (-1.0000, 0.0000) 4 0.07 0 (-1.0000, 0.0000) 3 0.08 0 (-1.0000, 0.0000) 6 0.09 0 (-1.0000, 0.0000) 4 0.1 0 (-1.0000, 0.0000) 2

Tabel 4.16 Tabel nilai minimum fungsi ( ) 193, 21

322



0123456789

10

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

Probabilitas Mutasi

Ban

yak

Perc

obaa

n

Gambar 4.18 Grafik terjadinya nilai minimum fungsi

( ) 193, 21

322






91


0.01 0 (-1.0000, 0.0000) 4 0.02 0 (-1.0000, 0.0000) 5 0.03 0 (-1.0000, 0.0000) 4 0.04 0 (-1.0000, 0.0000) 4 0.05 0.0002 (-1.0000, 0.0001) 3 0.06 0 (-1.0000, 0.0000) 2 0.07 0 (-1.0000, 0.0000) 2 0.08 0.0004 (-0.9999, 0.0001) 2 0.09 0 (-1.0000, 0.0000) 4 0.1 0 (-1.0000, 0.0000) 3


322



0123456789

10

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

Probabilitas Mutasi

Ban

yak

Perc

obaa

n


( ) 193, 21

322






92


0.01 0 (-1.0000, 0.0000) 5 0.02 0 (-1.0000, 0.0000) 2 0.03 0 (-1.0000, 0.0000) 5 0.04 0 (-1.0000, 0.0000) 1 0.05 0 (-1.0000, 0.0000) 3 0.06 0 (-1.0000, 0.0000) 1 0.07 0 (-1.0000, 0.0000) 3 0.08 0.0413 (-0.9792, 0.0001) 1 0.09 0 (-1.0000, 0.0000) 3 0.1 0 (-1.0000, 0.0000) 6

Tabel 4.18 Tabel nilai minimum ( ) 193, 21

322



0123456789

10

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

Probabilitas Mutasi

Ban

yak

Perc

obaa

n


( ) 193, 21

322






93


0.01 0 (-1.0000, 0.0000) 4 0.02 0 (-1.0000, 0.0000) 1 0.03 0.0084 (-0.9959, 0.0001) 2 0.04 0 (-1.0000, 0.0000) 5 0.05 0.0006 (-0.9998, 0.0001) 2 0.06 0 (-1.0000, 0.0000) 4 0.07 0 (-1.0000, 0.0000) 4 0.08 0 (-1.0000, 0.0000) 6 0.09 0 (-1.0000, 0.0000) 4 0.1 0 (-1.0000, 0.0000) 1


322



0123456789

10

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

Probabilitas Mutasi

Ban

yak

Perc

obaa

n


( ) 193, 21

322






94


0.01 0 (-1.0000, 0.0000) 2 0.02 0 (-1.0000, 0.0000) 3 0.03 0.0002 (-1.0000, 0.0001) 3 0.04 0 (-1.0000, 0.0000) 4 0.05 0 (-1.0000, 0.0000) 4 0.06 0 (-1.0000, 0.0000) 2 0.07 0 (-1.0000, 0.0000) 3 0.08 0 (-1.0000, 0.0000) 1 0.09 0 (-1.0000, 0.0000) 3 0.1 0.0063 (-0.9969, 0.0001) 1


322



0.1.

0123456789

10

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

Probabilitas Mutasi

Ban

yak

Perc

obaa

n


( ) 193, 21

322





0.05.


95


0.01 0 (-1.0000, 0.0000) 3 0.02 0 (-1.0000, 0.0000) 2 0.03 0 (-1.0000, 0.0000) 3 0.04 0 (-1.0000, 0.0000) 4 0.05 0.001 (-0.9334, 0.0001) 3 0.06 0 (-1.0000, 0.0000) 5 0.07 0 (-1.0000, 0.0000) 4 0.08 0 (-1.0000, 0.0000) 6 0.09 0 (-1.0000, 0.0000) 5 0.1 0 (-1.0000, 0.0000) 2


322



0.1.

0123456789

10

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

Probabilitas Mutasi

Ban

yak

Perc

obaa

n


( ) 193, 21

322






96


0.01 0 (-1.0000, 0.0000) 3 0.02 0 (-1.0000, 0.0000) 4 0.03 0 (-1.0000, 0.0000) 4 0.04 0 (-1.0000, 0.0000) 2 0.05 0 (-1.0000, 0.0000) 5 0.06 0.0043 (-0.9980, 0.0001) 1 0.07 0 (-1.0000, 0.0000) 4 0.08 0 (-1.0000, 0.0000) 2 0.09 0 (-1.0000, 0.0000) 1 0.1 0 (-1.0000, 0.0000) 2


322



0.1.

0123456789

10

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

Probabilitas Mutasi

Ban

yak

Perc

obaa

n


( ) 193, 21

322






97

Dari grafik-grafik di atas, terlihat bahwa nilai maksimum dan minimum

yang mendekati dengan pencarian teknik konvensional adalah dengan meng-

gunakan probabilitas mutasi 0.08.

Akan dilihat berdasarkan probabilitas mutasi (pada probabilitas mutasi

0.08).

Pm = 0.08 Nilai Terbesar Pada Banyak Pc 10 kali Percobaan Titik Percobaan

0.2 1 (0.0041, 0.0001) 5 0.25 1 (0.0041, 0.0002) 8 0.3 1 (0.0000, 0.0001) 8 0.35 1 (0.0041, 0.0001) 7 0.4 0.9999 (0.0040, 0.0165) 9 0.45 1 (0.0001, 0.0055) 6 0.5 1 (0.0041, 0.0110) 9


322



0

1

2

3

45

6

7

8

9

10

0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

Prob ab ili t as R ekombinasi


( ) 193, 21

322

2121 +−−= xxxxxxf dengan probabilitas rekombinasi 0.2-0.5

dan probabilitas mutasi 0.08.


98

Pm = 0.08 Nilai Terbesar Pada Banyak

Pc 10 kali Percobaan

Titik Percobaan

0.2 0 (-1.0000, 0.0000) 6 0.25 0.0004 (-0.9999, 0.0001) 2 0.3 0.0413 (-0.9792, 0.0001) 1 0.35 0 (-1.0000, 0.0000) 6 0.4 0 (-1.0000, 0.0000) 6 0.45 0 (-1.0000, 0.0000) 2 0.5 0 (-1.0000, 0.0000) 6


322



0123456789

10

0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5


Ban

yak

Perc

obaa

n


( ) 193, 21

322

2121 +−−= xxxxxxf dengan probabilitas rekombinasi 0.2-0.5

dan probabilitas mutasi 0.08.


tuk mendapatkan solusi terbaik terjadi pada probabilitas rekombinasi 0.45

dengan probabilitas mutasi 0.08.


99

Contoh 4.3


Maksimumkan ( ) )(121

22

21, xxexxxf +−=

23 1 ≤≤− x

20 2 ≤≤ x

Gambar 4.27 grafik fungsi ( ) )(121

22

21, xxexxxf +−=

Temukan nilai maksimum dengan menggunakan teknik konvensional dan

a) Dengan Teknik Konvensional (Kalkulus)

Menentukan titik kritis :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+=∇

+−

+−

)(2

21

)(211

22

21

22

21

2)2(

xx

xx

exxexxf

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

++−

+−++−−=

+−+−

+−+−

)(2121

)(22

21

)(121

)(1

21

31

22

21

22

21

22

21

22

21

)1(4)21(2

)2(2)1(2xxxx

xxxx

exxxexx

exxxexxxHf

0)( =∂∂ xf


100

)(2111

22

21)2()( xxexxxf +−+=

∂∂ )(

2212

22

212)( xxexxxf +−−=

∂∂

)(211

22

21)2(0 xxexx +−+= 2

)(2

21

22

2120 xxexx +−−=

Titik kritis sulit untuk dicari.

)).(( xxx HfQA •=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

++−

+−++−−•=

+−+−

+−+−

2

1)(2

121)(2

221

)(121

)(1

21

31

21 )1(4)21(2

)2(2)1(2),( 2

221

22

21

22

21

22

21

xx

exxxexx

exxxexxxxx

xxxx

xxxx

)(321

32

312

31

22

31

22

211

21

31

41

22

21)482 ,24222( xxexxxxxxxxxxxxxx +−++−−−++−−=

Berdasarkan definisi 2.2.11, maka

Untuk titik (-3, 0)

92345 ))3()3(2)3(2)3.(2( −−+−+−−−−= eQA

9)954162486( −−−−= e

003.0 >= adalah pembuat minimum relatif.

Untuk titik (2, 2)

−++−−−++−−= eQA ))2()2()2()2()2()2()2()2()2(( 695662456

8)645123264644163264( −++−−−++−−= e

011.0 >= adalah pembuat minimum relatif.

Pada titik (-3, 0) dan (2, 2) atau pada titik batas selang tidak terjadi nilai mak-

simum, sehingga pada permasalahan ini pembuat maksimum tidak dapat

diketahui.


101

Berdasarkan teorema 2.1.2, maka akan dilihat titik minimum pada titik batas

selang.

Untuk f(-3, 0)

( ) )0)3(( 2

)3( +−−−= ef x

-0.00037=

Untuk f(2, 2)

( ) )44()2( +−= ef x

0.00067=

b) Dengan Algoritma Genetika

Pada permasalahan contoh 4.3 dengan menggunakan teknik konvensional

tidak diketahui pembuat nilai maksimumnya, maka dengan Algoritma Ge-

netika diharapkan pembuat maksimum dapat diketahui sehingga nilai mak-

simum (relatife) dari permasalahan ini dapat dicari.






(2+3) ×104 = 50,001

1716 2001,502 ≤<


102

1514.28]110)02[(log]110)atas batasbawah bataslog[( 42421 ≈=+−=+−=m

(2-0) ×104 = 20,001

1514 2001,202 ≤<


bit.





mutasi, apabila bilangan acak mutasi [0, 1] lebih kecil atau sama dengan prob-

abilitas mutasi, maka mutasi kromosom akan terjadi. Setiap percobaan dilaku-

kan untuk 100 generasi. Dari 10 percobaan didapatkan nilai maksimum 0.3679

pada titik (-1, 0) atau (1,0).


103

Pc = 0.2 Banyak Pm Percobaan

0.01 5 0.02 5 0.03 4 0.04 4 0.05 2 0.06 2 0.07 4 0.08 5 0.09 3 0.1 3

0

2

4

6

8

10

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

Probabilitas Mutasi

Ban

yak

Perc

obaa

n

Tabel 4.25 Tabel nilai mak-simum fungsi ( ) )(

1

22

21 xxexf +−=x

dengan probabilitas rekom-binasi 0.2 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1.


22

21 xxexf +−=x dengan prob-

abilitas rekombinasi 0.2 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1.


tuk mendapatkan solusi terbaik terjadi pada probabilitas mutasi 0.01, 0.02, dan

0.08.


0.01 4 0.02 5 0.03 3 0.04 4 0.05 4 0.06 4 0.07 3 0.08 3 0.09 4 0.1 4

0

2

4

6

8

10

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

Probabilitas Mutasi

Ban

yak

Perc

obaa

n


1

22

21 xxexf +−=x



22






104


0.01 6 0.02 4 0.03 3 0.04 5 0.05 5 0.06 3 0.07 4 0.08 5 0.09 5 0.1 4

0

2

4

6

8

10

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

Probabilitas Mutasi

Ban

yak

Perc

obaa

n


1

22

21 xxexf +−=x



22






0.01 4 0.02 4 0.03 1 0.04 7 0.05 5 0.06 3 0.07 6 0.08 4 0.09 6 0.1 5

0

2

4

6

8

10

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

Probabilitas Mutasi

Ban

yak

Perc

obaa

n


1

22

21 xxexf +−=x den-



22






105


0.01 6 0.02 4 0.03 5 0.04 4 0.05 4 0.06 4 0.07 5 0.08 7 0.09 5 0.1 2

0

2

4

6

8

10

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

Probabilitas Mutasi

Ban

yak

Perc

obaa

n


1

22




22






0.01 4 0.02 5 0.03 5 0.04 5 0.05 5 0.06 4 0.07 7 0.08 8 0.09 3 0.1 6

0

2

4

6

8

10

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

Probabilitas Mutasi

Ban

yak

Perc

obaa

n


1

22

21 xxexf +−=x den-

gan probabilitas rekombi-nasi 0.45 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1.


22






106


0.01 4 0.02 6 0.03 6 0.04 6 0.05 6 0.06 3 0.07 6 0.08 7 0.09 5 0.1 5

0

2

4

6

8

10

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

Probabilitas Mutasi

Ban

yak

Perc

obaa

nTabel 4.31 Tabel nilai mak-simum fungsi ( ) )(

1

22




22

21 xxexf +−=x dengan pro-

babilitas rekombinasi 0.5 dan probabilitas mutasi 0.01 hingga 0.1.



Akan dilihat berdasarkan probabilitas mutasi:

Pm = 0.01 Banyak Pc Percobaan

0.2 5 0.25 4 0.3 6

0.35 4 0.4 6

0.45 4 0.5 4

0

2

4

6

8

10

0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5


Ban

yak

Perc

obaa

n


1

22


probabilitas mutasi 0.01 dan probabilitas rekombinasi 0.2 hingga 0.5.


22


babilitas mutasi 0.01 dan probabilitas rekombinasi 0.2 hingga 0.5.


tuk mendapatkan solusi terbaik terjadi pada probabilitas rekombinasi 0.3 atau

0.4.


107


0.2 5 0.25 3 0.3 4 0.35 4 0.4 4 0.45 5 0.5 6

0

2

4

6

8

10

0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5


Ban

yak

Perc

obaa

n


1

22




22




tuk mendapatkan solusi terbaik terjadi pada probabilitas rekombinasi 0.5.


0.2 4 0.25 3 0.3 3 0.35 1 0.4 5 0.45 5 0.5 6

0

2

4

6

8

10

0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5


Ban

yak

Perc

obaa

n


1

22




22






108


0.2 4 0.25 4 0.3 5

0.35 7 0.4 4

0.45 5 0.5 6

0

2

4

6

8

10

0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5


Ban

yak

Perc

obaa

n


1

22




22





Pm = 0.05 Banyak Pc

Percobaan 0.2 2 0.25 4 0.3 5 0.35 5 0.4 4 0.45 5 0.5 6

0

2

4

6

8

10

0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5


Ban

yak

Perc

obaa

n


1

22




22






109


0.2 2 0.25 4 0.3 3 0.35 3 0.4 4 0.45 4 0.5 3

0

2

4

6

8

10

0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5


Ban

yak

Perc

obaa

n


1

22




22




tuk mendapatkan solusi terbaik terjadi pada probabilitas rekombinasi 0.25,

0.4, dan 0.45.

Pm = 0.07 Banyak Pc

Percobaan 0.2 4 0.25 3 0.3 4 0.35 6 0.4 5 0.45 7 0.5 6

0

2

4

6

8

10

0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5


Ban

yak

Perc

obaa

n


1

22




22






110


0.2 5 0.25 3 0.3 5

0.35 4 0.4 7

0.45 8 0.5 7

0

2

4

6

8

10

0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5


Ban

yak

Perc

obaa

n


1

22




22





Pm = 0.09 Banyak Pc

Percobaan 0.2 3 0.25 4 0.3 5 0.35 6 0.4 5 0.45 3 0.5 5

0

2

4

6

8

10

0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5


Ban

yak

Perc

obaa

n


1

22




22






111


0.2 3 0.25 4 0.3 4 0.35 5 0.4 2 0.45 6 0.5 5

0

2

4

6

8

10

0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5


Ban

yak

Perc

obaa

n


1

22

21 xxexf +−=x de-

ngan probabilitas mutasi 0.1 dan probabilitas rekombi-nasi 0.2 hingga 0.5.


22





Dari grafik-grafik di atas, terlihat bahwa nilai optimum akan lebih ba-

nyak tercipai jika menggunakan probabilitas rekombinasi 0.5 dengan pro-

babilitas mutasi 0.08.


112

BAB V

PENUTUP

A. Kesimpulan

Berdasarkan penelitian pada skripsi ini, hasil yang optimum terjadi karena

ada beberapa kromosom yang terkena mutasi atau rekombinasi serta

Algoritma Genetika merupakan salah satu teknik pencarian optimasi yang

baik. Karena hasil yang didapat dengan menggunakan Algoritma Genetika

mendekati nilai yang didapat dengan menggunakan teknik konvensional

(berkisar antara 0.5% hingga 5%) dan juga ketika dengan teknik konvensional

sulit untuk dicari titik kritisnya sehingga nilai optimumnya tidak didapatkan,

dengan Algoritma Genetika nilai optimum tetap tercapai namum nilai

optimum tersebut belum tentu nilai optimum mutlak.

Berdasarkan hasil Algoritma Genetika dalam penyelesaian contoh-contoh

pada bab IV, nilai optimum mungkin akan lebih cepat tercapai apabila

probabilitas rekombinasi untuk memilih apakah terjadi rekombinasi atau tidak

sebesar 0.5, dan probabilitas mutasi untuk memilih apakah terjadi mutasi atau

tidak sebesar 0.08. Namun probabilitas tersebut belum tentu merupakan yang

paling baik, karena Algoritma Genetika merupakan sistem yang dalam

prosesnya selalu acak, sehingga hasil yang didapat belum tentu sama untuk

setiap percobaan.

Karena Algoritma Genetika dapat diprogramkan dengan komputer, maka

dalam penyelesaiannya tentu saja lebih cepat dari pada teknik konvensional.


113

Dan bila permasalahan optimasi yang terjadi melibatkan banyak variabel

(lebih dari dua variabel), jelas terlihat bahwa dengan teknik konvensional

permasalahan tersebut sulit diselesaikan. Oleh sebab itu, Algoritma Genetika

merupakan salah satu teknik yang baik untuk menyelesaikannya.

B. Saran

Penyelesaian optimasi yang dikaji pada skripsi ini lebih kepada

permasalahan optimasi untuk R2, sehingga penulis menganjurkan untuk

mengkaji lebih dalam untuk permalasalahan optimasi di Rn.

Algoritma genetika yang digunakan dalam skripsi ini untuk rekombinasi

dan mutasi menggunakan metode satu titik, sehingga penulis menganjurkan

untuk mencoba metode rekombinasi atau mutasi lain yang mungkin akan

menghasilkan nilai optimum yang lebih baik.


114

DAFTAR PUSTAKA

Gen,Mitsuo & Cheng,Runwei. (1997). Genetic Algorithms And Engingering

Design. New York: John Wiley & Sons.Inc.

Griffiths, David F. (1996). An Introduction to MATLAB (version 2.2). Sweden:

Department of Mathematics, The University Dundee DD1 4HN.

Haeussler, Ernest F. & Paul, Richard S. (1996). Introduction Mathematical

Analysis For Business, Economics, and the life and social sciences.

New Jersey: Prentice Hall International Inc.

Kusumadewi,Sri. (2003). Artificial Intelligence (Teknik dan Aplikasinya).

Yogyakarta: Graha Ilmu.

Nissen, Volker & Biethan, rgoJ && . (1995). Evolutionary Algorithms in Management

Applications. Berlin: Springer – Verlag.

Peressini, Anthony L., Sulivan, Francis E., Uhl, J. J.(1998). The Mathematics of

Nonlinear Programming. New York: Springer – Verlag.

Purcel, Edwin J. & Varberg, Dale. (…). Kalkulus dan Geometri Analitis (Edisi

Kelima). Jakarta: Erlangga.

Setya Budi, Wono. (2001). Kalkulus Peubah Banyak dan Penggunaannya.

Bandung: ITB.

Sriwindono, Haris. (2006). Pengantar Algoritma Genetika. Yogyakarta: FMIPA –

Ilmu Komputer, USD.


115

Suyanto. (2005). Algoritma Genetika dalam MATLAB. Yogyakarta: Andi Offset.

Taha, Hamdy A. (1976). Operation Research an Introduction (second edition).

New York: Macmillan Publishing Co., Inc.


116

LAMPIRAN

Flowchart Algoritma Genetika Untuk Menyelesaikan Optimasi Fungsi Dua

Variabel

mulai

Input data

inspop

i=1

Hitung fitness

crossover

mutasi

Populasi Anak

Hitung fitnes anak

Populasi baru =populasi awal

?max

max

awalfitnesanakfitnesatau

awalfitnesanakfitnes

<

>

Jika max, populasi awalyang bernilai min digantidengan kromosom anak.

Dan sebaliknya untukmin.

i = i + 1

i = generasi?

Selesai

?mm Pa ≤

?cc Pa ≤

Tidak

Tidak

Ya

Ya

Ya

Ya

Tidak

Tidak


117

Listing Program MenuAG2var.m

function MenuAG2var

clear;

pil4=0;

clc;

fprintf('===============================================\n')

fptintf('Program Untuk Mencari Nilai Optimum Fungsi Dua

Variabel Dengan Algoritma Genetika\n')

fprintf('1. Crossover menggunakan metode penyilangan satu

titik, dengan probabilitas crossover untuk mencari

orang tua adalah 0.25\n')

fprintf('2. Mutasi menggunakan metode penyilangan satu

titik, dengan probabilitas mutasi untuk mencari

orang tua adalah 0.01\n')

fprintf('3. Seleksi yang digunakan untuk memilih kromosom

anak untuk dimasukkan ke populasi baru menggunakan

mencari fitness yang terbaik\n')

fprintf('===============================================\n')

while pil4~=3

fprintf('\nPilih Jenis Permasalahan\n')

fprintf('1. Permasalahan Maksimum\n')

fprintf('2. Permasalahan Minimum\n')

fprintf('3. Keluar\n')

pil4=input('Masukkan menu yang anda inginkan : ');

fprintf('\n')

switch pil4

case 1


118

fprintf('Input Data\n')

jml_pop=input('Masukkan jumlah populasi = ');

tel=input('Masukkan ketelitian = ');

Pc=input('Masukkan probabilitas terjadinya

crossover = ');

Pm=input('Masukkan probabilitas terjadinya

mutasi = ');

fprintf('Range pertama :\n')

ba1=input('Masukkan bilangan awal = ');

bb1=input('Masukkan bilangan akhir = ');

fprintf('Range kedua :\n')



Algoritma_genetika_maks(jml_pop,tel,Pc,Pm,ba1,b

b1,ba2,bb2);

case 2

fprintf('Input Data\n')

jml_pop=input('Masukkan jumlah populasi = ');

tel=input('Masukkan ketelitian = ');

Pc=input('Masukkan probabilitas terjadinya

crossover = ');

Pm=input('Masukkan probabilitas terjadinya

mutasi = ');

fprintf('Range pertama :\n')



fprintf('Range kedua :\n')



Algoritma_genetika_min(jml_pop,tel,Pc,Pm,ba1,bb

1,ba2,bb2);


119

case 3

end

end

Listing Program Untuk Inisialisasi Populasi

InisialisasiPopulasi.m %===========================================================

%Membangkitkan sejumlah UkPop kromosom, masing-masing

%kromosom berisi bilangan biner (0 dan 1) sejumlah JumGen

%

%Output :

% UkPop : ukuran populasi atau jumlah kromosom dalam

%populasi

% JumGen : jumlah gen dalam kromosom

%

%Input :

% Populasi : kumpulan kromosom, matriks berukuran UkPop x

%JumGen

%

%

%===========================================================

function Populasi = InisialisasiPopulasi(UkPop,JumGen);

Populasi = fix(2*rand(UkPop,JumGen));


120

Inis1.m %===========================================================

%Inisialisasi populasi pada variabel pertama berupa

%kromosom, kromosom tersebut berisi bilangan

%biner 0 atau 1 dan berisi bilangan desimal.

%

%Masukan:

% jml_pop = Banyaknya populasi yang akan

%diinisialisasikan

% ba = Batas bawah

% bb = Batas atas

% tel = Ketelitian

%

%Keluaran:

% x1des = Kromosom variabel1 yang bernilai desimal

% x1bin = Kromosom variabel1 yang bernilai biner

% m1 = Panjang kromosom

%

%===========================================================

function [x1des,x1bin,m1]=Inis1(jml_pop,ba,bb,tel)

m=log2(((bb-ba)*10^tel)+1);

m1=ceil(m);

banyak=1;

while banyak<=jml_pop

Populasi=InisialisasiPopulasi(1,m1);

a=1;

hasil=0;

for y=m1:-1:1

if(Populasi(1,a)==1)

hasil=hasil+2^y;


121

end

a=a+1;

end

akhir=ba+(hasil*(bb-ba)/((2^tel)-1));

if akhir>=ba & akhir<=bb

generate(banyak,1)=akhir;

banyak=banyak+1;

end

end

x1des=[generate];

[x1bin_baru]=dec2bin_pop(ba,bb,x1des,m1);

x1bin=[x1bin_baru];

Inis2.m %==========================================================

%Inisialisasi populasi pada variabel kedua berupa kromosom,

%kromosom tersebut berisi bilangan

%biner 0 atau 1 dan berisi bilangan desimal.

%

%Masukan:

% jml_pop = Banyaknya populasi yang akan

%diinisialisasikan

% ba = Batas bawah

% bb = Batas atas

% tel = Ketelitian

%

%Keluaran:

% x2des = Kromosom variabel1 yang bernilai desimal

% x2bin = Kromosom variabel1 yang bernilai biner

% m2 = Panjang kromosom

%

%===========================================================


122

function [x2des,x2bin,m2]=Inis2(jml_pop,ba,bb,tel)

m=log2(((bb-ba)*10^tel)+1);

m2=ceil(m);

banyak=1;

while banyak<=jml_pop

Populasi=InisialisasiPopulasi(1,m2);

a=1;

hasil=0;

for y=m2:-1:1

if(Populasi(1,a)==1)

hasil=hasil+2^y;

end

a=a+1;

end

akhir=ba+(hasil*(bb-ba)/((2^tel)-1));

if akhir>=ba & akhir<=bb

generate(banyak,1)=akhir;

banyak=banyak+1;

end

end

x2des=[generate];

[x2bin_baru]=dec2bin_pop2(ba,bb,x2des,m2);

x2bin=x2bin_baru;

Listing Program Mengitung Fitness

Hitungfitness.m ============================================================

%Menghitung nilai fitness kromsom variabel 1 dan variabel 2

%


123

%Masukan:

% hasil : Nilai desimal dari kromosom variabel1 dan

%variabel2

%

%Keluaran:

% hit : Nilai fungsi dari tiap-tiap kromosom

%=========================================================

function hit=hitungfitness(hasil)

%hit=hasil(:,1).^2+2*hasil(:,1).*hasil(:,2)+hasil(:,2).^2;

%hit=hasil(:,1).^3+hasil(:,2).^3-3.*hasil(:,1)-

12.*hasil(:,2)+20;

%hit=hasil(:,1).^4+hasil(:,2).^4-hasil(:,1).^2-

hasil(:,2).^2+1;

%hit=3.*(hasil(:,1).^2).*hasil(:,2)-9.*(hasil(:,2).^3)-

(hasil(:,1).^2)+1;

hit=3.*((hasil(:,1)).^2).*hasil(:,2)-(9.*(hasil(:,2)).^3)-

((hasil(:,1)).^2)+1;

Listing Program Mengurutkan Kromosom Dari Fitness Maksimum ke

Fitness Minimum

Urut_krom.m %===========================================================

%Urutkan kromosom berdasarkan nilai fungsi fitnesnya

%

%Masukan:

% uk_pop = banyaknya populasi

% kromosom_populasi_awal = populasi kromosom sebelumnya

% fungsi_fitnes = nilai fitnes masing-masing

kromosom

%


124

%Keluaran:

% urut_kromosom = kromosom yang telah diurutkan

%berdasarkan nilai fitnesnya dari yang terbesar hingga yang

%terkecil

%===========================================================

function [urut_kromosom]=urut_krom(uk_pop,fungsi_fitnes,

kromosom_ populasi_awal)

for i=1:uk_pop-1

for j=i+1:uk_pop

if fungsi_fitnes(i,:) < fungsi_fitnes(j,:)

temp_fitnes1=fungsi_fitnes(i,:);

temp_krom=kromosom_populasi_awal(i,:);

fungsi_fitnes(i,:)=fungsi_fitnes(j,:);

kromosom_populasi_awal(i,:)=kromosom_populasi_awal(

j,:);

fungsi_fitnes(j,:)=temp_fitnes1;

kromosom_populasi_awal(j,:)=temp_krom;

end

end

end

urut_kromosom=[kromosom_populasi_awal];

Listing Program Mengubah Kromosom Dari Bentuk Biner ke Bentuk

Desimal

populasi_baru_desimal.m %==========================================================

%Mengubah variabel biner (0 dan 1) ke dalam bentuk desimal.

%

%Input:

% a1 = Batas bawah variabel1


125

% b1 = Batas atas variabel1

% n1 = Panjang kromosom variabel1

% p1 = Populasi kromosom variabel1

% a2 = Batas bawah variabel2

% b2 = Batas atas variabel2

% n2 = Panjang kromosom variabel2

% p2 = Populasi kromosom variabel2

%

%Output:

% x1des_baru : Kromosom variabel1 dalam bentuk desimal

%sebanyak jumlah

% populasi

% x2des_baru : Kromosom variabel2 dalam bentuk desimal

%sebanyak jumlah

% populasi

%===========================================================

Function[x1des_baru,x2des_baru]=populasi_baru_desimal(a1,b1,

n1,p1,a2,b2,n2,p2)

[x1des_baru]=bin2dec_pop(a1,b1,n1,p1);

[x2des_baru]=bin2dec_pop2(a2,b2,n2,p2);

bin2dec_pop.m

%==========================================================


%

%Input:

% a = Batas bawah

% b = Batas atas

% n = Panjang kromosom variabel1

% p = Populasi

%

%Output:


126

% x1des_baru = Kromosom variabel1 dalam bentuk desimal

%sebanyak jumlah populasi

%

%Contoh:

% bin2dec_pop(2,8,10,'0010111010')

%

% x1des_baru=3.0909

%===========================================================

function [x1des_baru]=bin2dec_pop(a,b,n,p)

x=bin2dec(p);

k=b-a;

l=(2^n)-1;

decx1=a+x*(k/l);

x1des_baru=[decx1];

bin2dec_pop2.m

%==========================================================


%

%Input:

% a = Batas bawah

% b = Batas atas

% n = Panjang kromosom variabel1

% p = Populasi

%

%Output:

% x1des_baru = Kromosom variabel1 dalam bentuk desimal

%sebanyak jumlah populasi

%

%Contoh:

% bin2dec_pop(2,8,10,'0010111010')


127

%

% x1des_baru=3.0909

%===========================================================

function [x1des_baru]=bin2dec_pop2(a,b,n,p)

x=bin2dec(p);

k=b-a;

l=(2^n)-1;

decx1=a+x*(k/l);

x1des_baru=[decx1];

Listing Program Crossover

Seleksi_crossover.m %===========================================================

%Meng-crossover kromosom parent yang telah dipilih secara

%acak untuk menghasilkan kromosom baru, yaitu kromsom anak.

%

%Input:

% L = Panjang kromosom

% jml = Jumlah populasi

% populasi = Populasi kromosom sebelumnya

%

%Output:

% populasi_baru_Cbiner = Populasi baru kromosom setelah

%di crossover/kromosom anak.

%===========================================================

Function [offspring]=seleksi_crossover(L,jml,populasi)

brs=[];

k=0;


128

pos2=randint(1,1,[1,L]);

if pos2==0

pos2=1;

end

acak=rand(jml,1);

t=acak<0.25;

ind=find(t==1);

brs=ind;

if length(brs)<2

acak=rand(jml,1);

t=acak<0.25;

while t==0

acak=rand(jml,1);

t=acak<0.25;

end

ind=find(t==1);

brs=ind;

if length(brs)==1

brs2=brs;

brs(2)=brs2;

end

end

parent=[populasi(brs(1),:); populasi(brs(2),:)]

partisi1=parent(:,1:pos2);

partisi2=parent(:,pos2+1:L);


129

offspring1=[partisi1(1,:),partisi2(2,:)];

offspring2=[partisi1(2,:),partisi2(1,:)];

offspring=[offspring1;offspring2]

Listing Program Mutasi

mutasi.m %===========================================================

%Mengantikan gen dengan cara mengubah nilai '0' menjadi '1'

%dan sebaliknya.

%

%Masukan:

% ba1 = Batas bawah variabel1

% bb1 = Batas atas variabel1

% ba2 = Batas bawah variabel2

% bb2 = Batas atas variabel2

% pop_des= Populasi kromosom dalam bentuk desimal

% w = Banyaknya populasi

% y = Panjang kromosom

% q1 = Panjang kromosom variabel1

% pop = Populasi berupa kromosom yang bernilai biner 0

%atau 1

%

%Keluaran:

% x1bin_mut = Kromosom variabel1 berbentuk biner

% x2bin_mut = Kromosom variabel2 berbentuk biner

%

%===========================================================

function [x1binn, x2binn,x1dess,x2dess]=mutasi(ba1,bb1,ba2,

bb2,w,y,q1,q2,pop,popdes)

tot_bit=w*y;


130

bnyk_mut=tot_bit*0.01;

h=ceil(bnyk_mut);

for i=1:h

acak(i)=rand;

pos_bit(i)=acak(i)*tot_bit;

pos_bit1(i)=ceil(pos_bit(i));

no_krom(i)=ceil(pos_bit1(i)/y);

%t=find(no_krom(i+1)==no_krom(i))

no_krom1(i)=floor(pos_bit1(i)/y);

no_bit(i)=pos_bit1(i)-(no_krom1(i)*y);

if no_bit(i)==0

no_bit(i)=1;

end

end

pos_bitt=pos_bit1';

pos_bit1=pos_bitt;

no_kromm=no_krom';

no_krom=no_kromm;

no_bitt=no_bit';

no_bit=no_bitt;

acakk=acak';

acak=acakk;

pop_mutasi=[pos_bit1 no_krom no_bit acak];

parent_mutasi=pop(no_krom,:)

off_mut=pop(no_krom,:);

for i=1:h

if parent_mutasi(i,no_bit(i))=='1'

off_mut(i,no_bit(i))='0';


131

end

if parent_mutasi(i,no_bit(i))=='0'

off_mut(i,no_bit(i))='1';

end

end

offspring_mut=off_mut

x1binn=[offspring_mut(:,1:q1)];

x2binn=[offspring_mut(:,q1+1:y)];

[x1des_baru,x2des_baru]=populasi_baru_desimal(ba1,bb1,q1,x1b

inn,ba2,bb2,q2,x2binn);

x1dess=[x1des_baru];

x2dess=[x2des_baru];

Listing Program Mencari Nilai Optimum (Maksimum dan Minimum)

Algoritma_genetika_maks.m %===========================================================

%Mencari nilai maksimum untuk setiap generasi

%

%Input :

% jml_pop = Banyaknya populasi

% tel = Ketelitian

% Pc = Probabilitas crossover untuk menentukan

%terjadi atau tidak crossover

% Pm = Probabilitas mutasi untuk menentukan terjadi

%atau tidak mutasi

% ba1 = batas bawah variabel1

% bb1 = batas atas variabel1



%=========================================================


132

function Algoritma_genetika_maks(jml_pop,tel,Pc,Pm,ba1,bb1,

ba2,bb2)

clc;

fprintf('MEMAKSIMUMKAN\n\n')

gener=input('Masukkan generasi yang akan terjadi = ');

z=0;

[x1des,x1bin,m1]=Inis1(jml_pop,ba1,bb1,tel);


L=m1+m2;

populasi_desimal=[x1des x2des];

populasi_biner=[x1bin x2bin];

fitness_populasi=hitungfitness(populasi_desimal);

while z~=gener

fprintf('\n\nGENERASI KE-%d\n',z+1)

Populasi_Desimal=populasi_desimal;

Populasi_Biner=populasi_biner;

[urut_kromosom]=urut_krom(jml_pop,fitness_populasi,Popu

lasi_Desimal);

PopulasiAwal_desimal=urut_kromosom;


lasi_Biner);

PopulasiAwal_biner=urut_kromosom;

acakC=rand;

acakM=rand;

if acakC<=Pc

fprintf('\nTERJADI CROSSOVER\n')

[offspring]=seleksi_crossovermaks(L,jml_pop,Populas

iAwal_biner)


133

x1bin_anak=[offspring(:,1:m1)];

x2bin_anak=[offspring(:,m1+1:L)];

[x1des_baru, x2des_baru]=populasi_baru_desimal

(ba1,bb1,m1,x1bin_anak,ba2,bb2,m2,x2bin_anak);

populasiAnak_desimalC=[x1des_baru x2des_baru];

populasiAnak_binerC=[x1bin_anak x2bin_anak];

end

if acakC>Pc

populasiAnak_desimalC=[];

populasiAnak_binerC=[];

end

if acakM<=Pm

fprintf('\nTERJADI MUTASI\n')

[x1binn, x2binn,x1dess,x2dess]=mutasi(ba1,bb1,ba2,

bb2,jml_pop,L,m1,m2,PopulasiAwal_biner,PopulasiAwal

_desimal);

populasiAnak_binerM=[x1binn x2binn];

populasiAnak_desimalM=[x1dess x2dess];

end

if acakM>Pm

populasiAnak_desimalM=[];

populasiAnak_binerM=[];

end

populasiAnak_desimal=[populasiAnak_desimalC;

populasiAnak_desimalM];

populasiAnak_biner=[populasiAnak_binerC;populasiAnak_bi

nerM];

[f,k]=size(populasiAnak_desimal);

if f~=0

fitness_anak=hitungfitness(populasiAnak_desimal);


134

maksimum_fitness_awal=max(fitness_populasi);

t=find(fitness_anak>maksimum_fitness_awal);

indek=t;

[c,d]=size(t);

if t==find(fitness_anak>maksimum_fitness_awal)

PopulasiAwal_desimal(jml_pop+1-c:

jml_pop,:)=[populasiAnak_desimal(indek,:)];

PopulasiAwal_biner(jml_pop+1-

c:jml_pop,:)=[populasiAnak_biner(indek,:)];

end

end

if f==0

fprintf('\nTIDAK TERJADI CROSSOVER DAN MUTASI\n')

end

populasi_desimal=PopulasiAwal_desimal;

x1des_populasi=populasi_desimal(:,1);


populasi_biner=PopulasiAwal_biner;


maks=max(fitness_populasi);

k=find(fitness_populasi==maks);

fprintf('Nilai Maksimum %5.4f, Terjadi Pada:\n',maks)

Kromosom_biner=populasi_biner(k,:)

fprintf('Di titik : (%5.4f, %5.4f) \n',x1des_popula

si(k),x2des_populasi(k))

z=z+1;

end

fprintf('\n=============================================\n')

fprintf('HASIL AKHIR\n')


135

Populasi_Desimal_Akhir=populasi_desimal;

Populasi_Biner_Akhir=populasi_biner;

fprintf('\n')



fprintf('Di titik : (%5.4f, %5.4f) \n',x1des_populasi(k),

x2des_populasi(k))

pil3=0;

while pil3~=3

fprintf('\nMenu\n')

fprintf('1. Lanjutkan Mencari Generasi Baru (Kembali

Looping)\n')

fprintf('2. Lanjutkan Untuk Mencari Nilai Minimum\n')

fprintf('3. Kembali Ke Permasalahan\n')


fprintf('\n')

switch pil3

case 1

[Populasi_Desimal_Akhir, Populasi_Biner_Akhir]=

Looping_maks(Populasi_Desimal_Akhir,Populasi_Bi

ner_Akhir,L,ba1,bb1,m1,ba2,bb2,m2,jml_pop,Pc,Pm

);

case 2


Looping_minim(Populasi_Desimal_Akhir,Populasi_B

iner_Akhir,L,ba1,bb1,m1,ba2,bb2,m2,jml_pop,Pc,P

m);

case 3

MenuAG2var;


136

end

end

Algoritma_genetika_min.m %===========================================================

%Mencari nilai minimum untuk setiap generasi

%

%Input :


% tel = Ketelitian

% Pc = Probabilitas crossover untuk menentukan


% Pm = Probabilitas mutasi untuk menentukan terjadi

%atau tidak mutasi



% ba2 = batas atas variabel2


%=========================================================

function Algoritma_genetika_min(jml_pop,tel,Pc,Pm,ba1,bb1,

ba2,bb2)

clc;

fprintf('MEMINIMUMKAN\n\n')


z=0;



L=m1+m2;

populasi_desimal=[x1des x2des];

populasi_biner=[x1bin x2bin];


137


while z~=gener





lasi_Desimal);

PopulasiAwal_desimal=urut_kromosom;


lasi_Biner);

PopulasiAwal_biner=urut_kromosom;

acakC=rand;

acakM=rand;

if acakC>=Pc


[offspring]=seleksi_crossover(L,jml_pop,Populasi

Awal_biner)



[x1des_baru, x2des_baru]=populasi_baru_desimal(

ba1,bb1,m1,x1bin_anak,ba2,bb2,m2,x2bin_anak);



end

if acakC<Pc



end


138

if acakM==Pm




_desimal);



end

if acakM~=Pm



end

populasiAnak_desimal=[populasiAnak_desimalC; populasi

Anak_desimalM];

populasiAnak_biner=[populasiAnak_binerC;populasiAnak_

binerM];


if f~=0

fitness_anak=hitungfitness(populasiAnak_desimal);

minimum_fitness_awal=min(fitness_populasi);

t=find(fitness_anak<=minimum_fitness_awal);

indek=t;

[c,d]=size(t);

if t==find(fitness_anak<=minimum_fitness_awal)

PopulasiAwal_desimal(jml_pop+1-c:jml_pop,:)=

[populasiAnak_desimal(indek,:)];

PopulasiAwal_biner(jml_pop+1-c:jml_pop,:)=

[populasiAnak_biner(indek,:)];

End


139

end

if f==0


end

populasi_desimal=PopulasiAwal_desimal;



populasi_biner=PopulasiAwal_biner;


minim=min(fitness_populasi);

k=find(fitness_populasi==minim);

fprintf('Nilai Minimum %5.4f, Terjadi Pada:\n',minim)


fprintf('Di titik : (%5.4f, %5.4f) \n',x1des_populasi

(k),x2des_populasi(k))

z=z+1;

end

fprintf('\n=============================================\n')


Populasi_Desimal_Akhir=populasi_desimal;

Populasi_Biner_Akhir=populasi_biner;

fprintf('\n')




x2des_populasi(k))

pil2=0;

while pil2~=3

fprintf('\nMenu\n')


140

fprintf('1. Lanjutkan Mencari Generasi Baru (Kembali

Looping)\n')

fprintf('2. Lanjutkan Untuk Mencari Nilai Maksimum\n')

fprintf('3. Kembali Ke Menu Permasalahan\n')


fprintf('\n')

switch pil2

case 1


Looping_minim(Populasi_Desimal_Akhir,Populasi_B

iner_Akhir,L,ba1,bb1,m1,ba2,bb2,m2,jml_pop,Pc,P

m);

case 2


Looping_maks(Populasi_Desimal_Akhir,Populasi_Bi

ner_Akhir,L,ba1,bb1,m1,ba2,bb2,m2,jml_pop,Pc,Pm

);

case 3

MenuAG2var;

end

end

Listing Program Looping

Looping_maks.m %===========================================================

%Kembali mencari nilai minimum untuk setiap generasi

%

%Input :


141

% Populasi_DA = populasi akhir tiap generasi dalam bentuk

%desimal

% Populasi_BA = populasi akhir tiap generasi dalam bentuk

%biner

% L = panjang kromosom



% m1 = panjang kromosom variabel1



% m2 = panjang kromosom variabel


% Pc = probabilitas crossover untuk menentukan


% Pm = probabilitas mutasi untuk menentukan

%terjadi atau tidak mutasi

%

%Output:

% Populasi_Desimal_Akhir = populasi akhir setelah looping

%dalam bentuk desimal

% Populasi_Biner_Akhir = populasi akhir setelah looping

%dalam bentuk biner

%=========================================================

function [Populasi_Desimal_Akhir, Populasi_Biner_Akhir]=

Looping_maks(Populasi_DA,Populasi_BA,L,ba1,bb1,m1,ba2,bb2,m2

,jml_pop,Pc,Pm)

fprintf('MEMAKSIMUMKAN\n\n')

z=0;

x1des=[Populasi_DA(:,1)];


x1bin=[Populasi_BA(:,1:m1)];

x2bin=[Populasi_BA(:,m1+1:L)];


142

populasi_desimal=[x1des x2des]

populasi_biner=[x1bin x2bin]

fitness_populasi=hitungfitness(populasi_desimal)


while z~=gener




lih=size(Populasi_Biner,2);

popul2=Populasi_Biner(:,1:lih);

selis=L-lih;

if L<lih

[x1bin,x2bin]=cek_panjang(L,Populasi_Biner,m1,m2,lih)

Populasi_Biner=[x1bin x2bin];

End

if L>lih

[x1bin,x2bin]=cek_panjang(L,Populasi_Biner,m1,m2,lih)

Populasi_Biner=[x1bin x2bin];

end


lasi_Desimal);

PopulasiAwal_desimal=urut_kromosom


lasi_Biner);

PopulasiAwal_biner=urut_kromosom

acakC=rand;

acakM=rand

if acakC>=Pc



143

[offspring]=seleksi_crossover(L,jml_pop,PopulasiAwa

l_biner)



[x1des_baru, x2des_baru]=populasi_baru_desimal

(ba1,bb1,m1,x1bin_anak,ba2,bb2,m2,x2bin_anak);

populasiAnak_desimalC=[x1des_baru x2des_baru]

populasiAnak_binerC=[x1bin_anak x2bin_anak]

end

if acakC<Pc



end

if acakM==Pm




_desimal);

populasiAnak_binerM=[x1binn x2binn]

populasiAnak_desimalM=[x1dess x2dess]

end

if acakM~=Pm



end


Anak_desimalM]


nerM]


144


if f~=0

fitness_anak=hitungfitness(populasiAnak_desimal)

maksimum_fitness_awal=max(fitness_populasi);

t=find(fitness_anak>maksimum_fitness_awal);

indek=t;

[c,d]=size(t);

if t==find(fitness_anak>maksimum_fitness_awal)





end

end

if f==0


end

populasi_desimal=PopulasiAwal_desimal



populasi_biner=PopulasiAwal_biner


maks=max(fitness_populasi);

k=find(fitness_populasi==maks);

z=z+1;

end

fprintf('\n=============================================\n')


Populasi_Desimal_Akhir=populasi_desimal

Populasi_Biner_Akhir=populasi_biner


145

fprintf('\n')


Kromosom=k



x2des_populasi(k))

fprintf('\n=============================================\n')

Looping_minim.m %===========================================================

%Kembali mencari nilai minimum untuk setiap generasi

%

%Input :

% Populasi_DA = populasi akhir tiap generasi dalam bentuk

%desimal

% Populasi_BA = populasi akhir tiap generasi dalam bentuk

%biner

% L = panjang kromosom



% m1 = panjang kromosom variabel1



% m2 = panjang kromosom variabel


% Pc = probabilitas crossover untuk menentukan


% Pm = probabilitas mutasi untuk menentukan

%terjadi atau tidak mutasi

%

%Output:

% Populasi_Desimal_Akhir = populasi akhir setelah looping

%dalam bentuk desimal


146

% Populasi_Biner_Akhir = populasi akhir setelah looping

%dalam bentuk biner

%=========================================================

function [Populasi_Desimal_Akhir, Populasi_Biner_Akhir]=

Looping_minim(Populasi_DA,Populasi_BA,L,ba1,bb1,m1,ba2,bb2,m

2,jml_pop,Pc,Pm)

fprintf('MEMINIMUMKAN\n\n')

z=0;



x1bin=[Populasi_BA(:,1:m1)];

x2bin=[Populasi_BA(:,m1+1:L)];

populasi_desimal=[x1des x2des]

populasi_biner=[x1bin x2bin]



while z~=gener





lasi_Desimal);

PopulasiAwal_desimal=urut_kromosom


lasi_Biner);

PopulasiAwal_biner=urut_kromosom

acakC=rand;

acakM=rand;


147

if acakC>=Pc


[offspring]=seleksi_crossover(L,jml_pop,PopulasiAwa

l_biner)



[x1des_baru, x2des_baru]=populasi_baru_desimal(ba1,

bb1,m1,x1bin_anak,ba2,bb2,m2,x2bin_anak);



end

if acakC<Pc



end

if acakM==Pm




_desimal);



end

if acakM~=Pm



end


Anak_desimalM]


148


nerM]


if f~=0

fitness_anak=hitungfitness(populasiAnak_desimal)

minimum_fitness_awal=min(fitness_populasi);

t=find(fitness_anak<=minimum_fitness_awal);

indek=t;

[c,d]=size(t);

if t==find(fitness_anak<=minimum_fitness_awal)





End

end

if f==0


end

populasi_desimal=PopulasiAwal_desimal



populasi_biner=PopulasiAwal_biner


minim=min(fitness_populasi);

k=find(fitness_populasi==minim);

z=z+1;

end


149

fprintf('\n============================================\n')


Populasi_Desimal_Akhir=populasi_desimal

Populasi_Biner_Akhir=populasi_biner

fprintf('\n')




x2des_populasi(k))

fprintf('\n=============================================\n')


OPTIMASI FUNGSI TANPA KENDALA DENGAN ALGORITMA...

Documents

Transcript of OPTIMASI FUNGSI TANPA KENDALA DENGAN ALGORITMA...