BAB IVFUNGSI LINEAR

Fungsi : hubungan antara satu variable dengan variable lain yang masing-

masing variable tersebut saling mempengaruhi.

Variable / peubah : suatu besaran yang didalam suatu permasalahan nilainya

dapat berubah-ubah.

Variable bebas ( independent variable ) : peubah yang nilainya tidak

tergantung pada peubah lain dan nilai peubah ini akan menentukan nilai

fungsi yang bersangkutan.

Variable tergantung ( dependent variable ) : peubah yang nilainya tergantung

pada peubah yang lainnya.

Fungsi Linear

Merupakan fungsi yang pangkat tertinggi dari variable bebasnya adalah 1.

Bentuk umumnya adalah :

y = ax + b

Dimana a = koefisien arah

b = konstanta yang merupakan titik potong pada sumbu y

x = variable bebas

y = variable tergantung

Penggambaran Fungsi Linear

1. cara daftar

digunakan untuk melihat perubahan nilai angka dari peubah bebas dan

peubah tergantungnya. Contoh :y = 2x + 10

X 0 1 2 3 4 5 6 7

Y 10 12 14 16 18 20 22 24

y

24

21

18

15

12

10

6

3

0 1 2 3 4 5 6 7 x

2. cara matematis

Dengan cara mencari ciri matematis dari persamaan yang bersangkutan.

Y = 2x + 10

Titik potong sumbu y apabila x = 0 maka y = 2 (0) + 10

= 10

Sehingga titik potong pada sumbu y = ( 0,10 )

Titik potong sumbu x apabila y = 0 maka 0 = 2x + 10

- 2x = 10

x = - 5

sehinnga titik potong pada sumbu x = ( -5,0 )

y = 2x + 10 (0,10)

( -5,0 ) x

Mencari fungsi linear

a. metode dua titik (dwi koordinat )

merupakan metode pembentukan persamaan linear ( garis lurus ) dari dua

buah titik yang diketahui

( Y – Y1) = ( X – X1 )(Y 2 – Y1) (X2 – X1)

Contoh buatlah persamaan garis lurus yang melalui titik A (4,2) dan B (2,6)

Titik A (4,2) X1 = 4 Y1 = 2

Titik B (2,6) X2 = 2 Y2 = 6

(Y - 2) = (X - 4)(6 - 2) ( 2 – 4) 10

(Y – 2) = (X – 4) y = -2x + 10 (4) (-2)

-2y + 4 = 4x – 16

-2y = 4x – 20

y = -2x + 10

0 5 x

b. metode titik potong sumbu

digunakan untuk kasus tertentu, yaitu jika suatu titik A (x1,y1) merupakan

titik potong sumbu Y, misalnya pada titik (0,b) dan titik B (x2,y2)

merupakan titik potong sumbu x misalnya pada (a,0) maka persamaan

garisnya dapat dibentuk sbb:

y / b + x / a = 1

contoh :

apabila diketahui suatu garis dengan titik potong sumbu y adalah (0,6) dan

titik potong sumbu x adalah (4,0), carilah persamaan garisnya

y / b + x / a = 1

y / 6 + x / 4 = 1 x 12

12y / 6 + 12x / 4 = 12

2y + 3x = 12

2y = -3x + 12

y = -3/2 x + 6

c. metode kemiringan garis dan titik

apabila diketahui suatu titik A (x1,y1) dan dilalui oleh suatu garis lurus yang

memiliki kemiringan m, maka persamaannya adalah :

y – y1 = m (x – x1) persamaan garis yang melalui titik (x1,y1) dengan

kemiringan sebesar m. contoh

carilah persamaan garis yang melalui suatu titik (4,2) dan kemiringan -3

y – y1 = m(x – x1)

y – 2 = -3(x – 4 )

= -3x + 12

y = -3x + 14

d. metode kemiringan garis dan titik potong sumbu

apabila diketahui suatu titik yang berkoordinat (0,b) merupakan titik potong

dengan sumbu y sebuah garis lurus yang memiliki kemiringan garis m, maka

persamaan garis tersbut adalah y = mx + b, merupakan persamaan garis yang

melalui titik potong sumbu y dengan kemiringan m, contoh :

apabila suatu garis memiliki titik potong dengan sumbu y pada (0,-4) dan

kemiringannya 5 maka bagaimana persamaan garisnya :

y = mx + b

y = 5x – 4

cara mencari titik potong

y1 = 2x + 4

y2 = x + 5

garis pertama y1 = 2x + 4

titik potong dengan sumbu y pada (0,4)

titik potong dengan sumbu x pada (-2,0)

garis kedua y2 = x + 5

titik potong dengan sumbu y pada (0,5)

titik potong dengan sumbu x pada (-5,0)

garis pertama (y1) akan berpotongan dengan garis kedua (y2) saat y1 = y2,

maka :

2x + 4 = x + 5, x = 1

y = 2x + 4 y = 2(1) + 4

Y = 6

Jadi titik potong garis pertama dan garis kedua (1,6)

6

5

4

-5 -2 1

Penerapan dalam ekonomi

fungsi permintaan

dalam fungsi permintaan ini sumbu y diganti dengan P sebagai sumbu harga

dan sumbu x diganti dengan Q sebagai sumbu jumlah (Quantitas) produksi.

Bentuk umum :

Q = -aP + b

Dimana

Q = jumlah barang yang diminta

P = harga barang yang bersangkutan

a = koefisien fungsi permintaan

b = konstanta fungsi permintaan yang bersangkutan

contoh :

diketahui bahwa permintaan suatu barang apabila harga jualnya Rp 160

jumlah barang yang diminta konsumen sebanyak 20 buah, sedangkan

apabila harga jualnya diturunkan menjadi Rp. 120, maka jumlah barang

yang diminta sebanyak 40 buah. Tentukan :

a. bagaimanakah fungsi permintaannya

b. apabila barang tersebut dibagi secara gratis kepada konsumen, berapa

jumlah barang tersebut yang diminta

c. berapa harga maksimum barang tersebut sehingga tidak ada yang

membelinya.

a. P1 = 160, P2 = 120, Q1 = 20, Q2 = 40

P – P1 / P2 – P1 = Q – Q1 / Q2 – Q1

P – 160 / 120 – 160 = Q – 20 / 40 – 20

P – 160 / -40 = Q – 20 / 20

20 P – 3200 = -40Q + 800 = 20 P = -40 Q + 4000 , P = -2Q + 200

Q = -1/2 P + 100

b. apabila dibagi secara gratis, maka P = 0

P = -2Q + 200

0 = -2Q + 200

2Q = 200

Q = 100

c. apabila barang tersebut tidak ada yang membeli (Q = 0) maka harga

maksimum :

P = -2Q + 200

P = -2 (0) + 200

P = 200

Harga max Rp. 200

P

200

160

120 P = -2Q + 200

20 40 100 Q

Keadaan permintaan barang diketahui bahwa ketika harga jualnya Rp. 400

tidak ada barang yang diminta, sedangkan apabila barang tersebut dibagikan

secara cuma-cuma, maka jumlah barang tersebut yang diminta hanya 100

unit. Bagaimanakah persamaan fungsi permintaannya.

y / b + x / a = 1 P / b + Q / a = 1

P = Rp. 400 maka Q = 0 unit titik potong (0,400)

P = Rp. 0 maka Q = 100 unit titik potong (100,0)

P / 400 + Q / 100 = 1 x 400

P + 4 Q = 400

P = -4Q + 400 atau Q = -1/4 P + 100

400

P = -4Q + 400

100

Fungsi Penawaran

Bentuk umum fungsi penawaran

Q = aP + b

Q = jumlah barang yang ditawarkan

P = harga barang yang bersangkutan

a = koefisien fungsi penawaran

b = konstanta fungsi penawaran yang bersangkutan

contoh

sebuah perusahaan konveksi menjual salah satu produknya sebanyak 500

unit dengan harga Rp 1000 perunit. Apabila harganya naik menjadi Rp.

1.200 perunit, maka jumlah barang yang ditawarkan menjadi 900 unit.

Tentukan :

a. bagaimana fungsi penawarannya

b. berapa harga minimal yang ditawarkan produsen

a. persamaan fungsi penawaran.

P1 = 1000, P2 = 1200, Q1 = 500, Q2 = 900

P – P1 / P2 – P1 = Q – Q1 / Q2 – Q1

Maka

P – 1000 / 1200 – 1000 = Q – 500 / 900 – 500

P – 1000 / 200 = Q – 500 / 400

400 P – 400.000 = 200 Q – 100.000

400 P = 200 Q + 300.000

P = 1/2Q + 750 atau Q = 2P – 1500

P

750

-1500 0 Q

b. dari gambar diatas terlihat bahwa harga minimal yang ditawarkan

produsen adalah Rp. 750

keseimbangan pasar (market equilibrium)

merupakan keadaan dimana pada tingkat harga tertentu jumlah barang yang

diminta (Qd) sama dengan jumlah barang yang ditawarkan (Qs)

contoh

fungsi permintaan (Qd) P : -1/2Q + 40

fungsi penawaran (Qs) P : 1/2Q + 10

carilah keseimbangan pasar :

Qd = Qs

-1/2 Q + 40 = 1/2 Q + 10

Q = 30 unit

P = ½ Q + 10

= ½ (30) + 10

= Rp 25

Berarti harga keseimbangan pasar pada saat harga Rp 25 perunit dengan

kuantitas 30 unit.

P

40 (30,25)

25

-20 30 80

Pengaruh pajak

Didalam matematika ekonomi, pajak yang dibicarakan adalah pajak tidak

langsung yaitu pajak penjualan. Dasar pengenaannya atas dasar perunit atau

dasar prosentase.

1. Pajak perunit.

Yaitu pajak yang besarnya tetap untuk setiap unit penjualan. Pajak ini

langsung dibebankan pada harga jualnya. Fungsi penawaran akan akan

bergerak dengan adanya pajak.

Ex. Diketahui Qs = P : 1/4Q + 4

Qd = P : -1/4Q + 25

Pajak perunit Rp 6

a. hitunglah harga dan kuantitas pada keseimbangan pasar sebelum pajak

b. hitung harga dan kuantitas pada keseimbangan pasar sesudah pajak

c. besarnya total pajak diterima pemerintah, pajak ditanggung konsumen

dan pajak ditanggung produsen.

a. MEQ.

Qs = Qd

1/4 Q + 4 = -1/4 Q + 25

1/2Q = 21

Q = 42 unit

P = 1/4 Q + 4

= 1/4(42) + 4

= Rp. 14,5

b. MEQ ‘

Qs ‘ = P : 1/4Q + 4 + 6

: 1/4Q + 10

Qs ‘ = Qd

1/4Q + 10 = -1/4Q + 25

1/2Q = 15

Q’ = 30 unit

P’ = 1/4Q + 10

P’ = 1/4 (30) + 10

= Rp. 17,5

c. Pajak yang ditanggung konsumen (tk) = (P1 – P0)

Pajak yang ditanggung produsen (tp) = (t – tk) atau

(tp) = t – (P1 – P0)

Pajak yang diterima pemerintah (tg) = (t x Q1)

Dimana t = besarnya pajak perunit

P1 = harga keseimbangan setelah pajak

P0 = harga keseimbangan sebelum pajak

Q1 = kuantitas / jumlah keseimbangan setelah pajak

tg = Rp 6 x 30

= Rp 180

tk = (17,5 – 14,5) x 30

= Rp 3 x 30

= Rp 90

tp = Rp 180 – Rp 90

= Rp 90

Grafik :

P

(Qd)

25

17,5 MEQ’

14,5 MEQ

-40 -16 0 30 42 100 Q

2. Pajak prosentase.

Adalah pajak yang dikenakan sebesar prosentase tertentu dari penerimaan

penjualan produk

Fungsi penawaran bergeser sebesar prosentase tersebut untuk setiap jumlah

produk yang ditawarkan.

Qs ‘ = Qs (1 + r)

Contoh

Diketahui Qs = P : 1/4 Q + 10

Qd = P : -1/2 Q + 30

Pajak 20 %

Ditanya : a. keseimbangan sebelum pajak

b. keseimbangan sesudah pajak

c. pajak perunit

Jawab

a. MEQ

Qs = Qd

1/4Q + 10 = -1/2Q + 30

3/4Q = 20

Q = 80/3 = 26,67 unit

P = 1/4Q + 10

= 1/4 x 80/3 + 10

= 50/3 = Rp. 16,67

b. MEQ’

(Qs’) P = (1/4Q + 10) (1 + 20%)

= (1/4Q + 10) (1 + 0,2)

= (1/4Q + 10) (1,2)

= (1/4Q + 10) (6/5)

(Qs’) P = 3/10 Q + 12

Qs’ = Qd

3/10Q + 12 = -1/2Q + 30

8/10Q = 18

Q’ = 180/8 = 22,5 unit

P = 3/10Q + 12

= 3/10 x 180/8 + 12

P’ = Rp. 18,75

c. Pajak/unit = P’ x % Pajak 100% + % Pajak

= Rp. 18,75 x 20% / 120%

= Rp. 3,125

Qs 30 18,75 MEQ ‘ 16,75 MEQ 12

10

-40 22,5 26,67 60

II. Subsidi

Yaitu bantuan yang diberikan pemerintah kepada produsen atau distributor

barang agar harga jual produk menjadi lebih murah daripada harga

sebelumnya. Subsidi hanya berpengaruh terhadap fungsi penawaran.

Contoh :

Qs P = 1/4Q + 10

Qd P = -1/4Q + 25

Subsidi perunit Rp 6

Ditanya : a. keseimbangan pasar sebelum subsidi

b. keseimbangan pasar setelah subsidi

c. subsidi pemerintah

d. grafik

a. MEQ

Qs = Qd

1/4Q + 10 = -1/4Q + 25

1/2Q = 15

Q = 30 unit

P = 1/4Q + 10

= 1/4x30 + 10

= Rp 17,5

b. MEQ’

(QS’) - P = 1/4Q + 10 – 6

= 1/4Q + 4

QS’ = Qd

1/4Q + 4 = -1/4Q + 25

1/2Q = 21

Q’ = 42 unit

P = 1/4Q + 4

= 1/4x(42) + 4

P’ = Rp 14,5

c. Sg = Q’ x Rp 6,-

= 42 x Rp 6,-

= Rp 252,-

Sk = (Rp 17,5 – Rp 14,5) x 42

= Rp 126,-

Sp = Rp 252 – Rp 126

= Rp 126,-

Qs

Qd Qs’

25

17,5

14,5

-40 -16 30 42 100 Q

Break Event Point (BEP)

Adalah suatu keadaan yang menunjukkan bahwa perusahaan tidak

memperoleh laba maupun rugi.

Manfaat BEP :

Dapat digunakan sebagai alat perencanaan laba

Dapat digunakan untuk mendeteksi faktor-faktor yang menyebabkan

perusahaan menderita kerugian.

Unsur-unsur BEP :

1. Fixed cost (FC) = Biaya Tetap

Yaitu biaya yang jumlahnya tetap untuk seluruh jumlah barang yang

dihasilkan.

2. Variable cost (VC) = Biaya Variable

Yaitu biaya yang berubah sesuai dengan perubahan jumlah barang

produksi.

3. Total cost (TC) = total biaya ---- TC = FC + VC

4. Total revenue (TR) = total pendapatan ----- TR = P x Q

Syarat analisis BEP

1. biaya produksi didalam perusahaan harus dapat digolongkan kedalam

biaya tetap dan biaya variable.

2. biaya variable secara total berubah sebanding dengan volume

produksi, tetapi biaya variable perunit tetap

3. harga jual perunit tidak mengalami perubahan selama periode analisa

Contoh :

Diket FC = Rp 12.200.000,-

VC/unit = Rp 14.000,-

P/unit = Rp 18.000,-

Ditanya a. jumlah unit untuk BEP

b. Bila jumlah barang 10.000 unit, tentukan rugi atau laba

c. Grafik

jawab :

a. TC = TR

FC + VC = P x Q

12.200.000 + 14.000Q = 18.000Q

12.200.000 = 4.000Q

Q = 3050 unit

BEP unit : 3050

BEP (Rp) = BEP unit x P/u

= 3050 x 18.000

= Rp.54.900.000,-

b. TC = FC + VC

= 12.200.000 + (14.000 x 10.000)

= 12.200.000 + 140.000.000

= Rp. 152.200.000

TR = P x Q

= 18.000 x 10.000

= 180.000.000

TR > TC = Laba

Laba = 180.000.000 – 152.200.000

= Rp. 27.800.000

TR TC

54,9 juta BEP dalam rupiah

VC 12,2 juta FC

BEP dalam unit

3050