BAB IVFUNGSI LINEAR
Fungsi : hubungan antara satu variable dengan variable lain yang masing-
masing variable tersebut saling mempengaruhi.
Variable / peubah : suatu besaran yang didalam suatu permasalahan nilainya
dapat berubah-ubah.
Variable bebas ( independent variable ) : peubah yang nilainya tidak
tergantung pada peubah lain dan nilai peubah ini akan menentukan nilai
fungsi yang bersangkutan.
Variable tergantung ( dependent variable ) : peubah yang nilainya tergantung
pada peubah yang lainnya.
Fungsi Linear
Merupakan fungsi yang pangkat tertinggi dari variable bebasnya adalah 1.
Bentuk umumnya adalah :
y = ax + b
Dimana a = koefisien arah
b = konstanta yang merupakan titik potong pada sumbu y
x = variable bebas
y = variable tergantung
Penggambaran Fungsi Linear
1. cara daftar
digunakan untuk melihat perubahan nilai angka dari peubah bebas dan
peubah tergantungnya. Contoh :y = 2x + 10
X 0 1 2 3 4 5 6 7
Y 10 12 14 16 18 20 22 24
y
24
21
18
15
12
10
6
3
0 1 2 3 4 5 6 7 x
2. cara matematis
Dengan cara mencari ciri matematis dari persamaan yang bersangkutan.
Y = 2x + 10
Titik potong sumbu y apabila x = 0 maka y = 2 (0) + 10
= 10
Sehingga titik potong pada sumbu y = ( 0,10 )
Titik potong sumbu x apabila y = 0 maka 0 = 2x + 10
- 2x = 10
x = - 5
sehinnga titik potong pada sumbu x = ( -5,0 )
y = 2x + 10 (0,10)
( -5,0 ) x
Mencari fungsi linear
a. metode dua titik (dwi koordinat )
merupakan metode pembentukan persamaan linear ( garis lurus ) dari dua
buah titik yang diketahui
( Y – Y1) = ( X – X1 )(Y 2 – Y1) (X2 – X1)
Contoh buatlah persamaan garis lurus yang melalui titik A (4,2) dan B (2,6)
Titik A (4,2) X1 = 4 Y1 = 2
Titik B (2,6) X2 = 2 Y2 = 6
(Y - 2) = (X - 4)(6 - 2) ( 2 – 4) 10
(Y – 2) = (X – 4) y = -2x + 10 (4) (-2)
-2y + 4 = 4x – 16
-2y = 4x – 20
y = -2x + 10
0 5 x
b. metode titik potong sumbu
digunakan untuk kasus tertentu, yaitu jika suatu titik A (x1,y1) merupakan
titik potong sumbu Y, misalnya pada titik (0,b) dan titik B (x2,y2)
merupakan titik potong sumbu x misalnya pada (a,0) maka persamaan
garisnya dapat dibentuk sbb:
y / b + x / a = 1
contoh :
apabila diketahui suatu garis dengan titik potong sumbu y adalah (0,6) dan
titik potong sumbu x adalah (4,0), carilah persamaan garisnya
y / b + x / a = 1
y / 6 + x / 4 = 1 x 12
12y / 6 + 12x / 4 = 12
2y + 3x = 12
2y = -3x + 12
y = -3/2 x + 6
c. metode kemiringan garis dan titik
apabila diketahui suatu titik A (x1,y1) dan dilalui oleh suatu garis lurus yang
memiliki kemiringan m, maka persamaannya adalah :
y – y1 = m (x – x1) persamaan garis yang melalui titik (x1,y1) dengan
kemiringan sebesar m. contoh
carilah persamaan garis yang melalui suatu titik (4,2) dan kemiringan -3
y – y1 = m(x – x1)
y – 2 = -3(x – 4 )
= -3x + 12
y = -3x + 14
d. metode kemiringan garis dan titik potong sumbu
apabila diketahui suatu titik yang berkoordinat (0,b) merupakan titik potong
dengan sumbu y sebuah garis lurus yang memiliki kemiringan garis m, maka
persamaan garis tersbut adalah y = mx + b, merupakan persamaan garis yang
melalui titik potong sumbu y dengan kemiringan m, contoh :
apabila suatu garis memiliki titik potong dengan sumbu y pada (0,-4) dan
kemiringannya 5 maka bagaimana persamaan garisnya :
y = mx + b
y = 5x – 4
cara mencari titik potong
y1 = 2x + 4
y2 = x + 5
garis pertama y1 = 2x + 4
titik potong dengan sumbu y pada (0,4)
titik potong dengan sumbu x pada (-2,0)
garis kedua y2 = x + 5
titik potong dengan sumbu y pada (0,5)
titik potong dengan sumbu x pada (-5,0)
garis pertama (y1) akan berpotongan dengan garis kedua (y2) saat y1 = y2,
maka :
2x + 4 = x + 5, x = 1
y = 2x + 4 y = 2(1) + 4
Y = 6
Jadi titik potong garis pertama dan garis kedua (1,6)
6
5
4
-5 -2 1
Penerapan dalam ekonomi
fungsi permintaan
dalam fungsi permintaan ini sumbu y diganti dengan P sebagai sumbu harga
dan sumbu x diganti dengan Q sebagai sumbu jumlah (Quantitas) produksi.
Bentuk umum :
Q = -aP + b
Dimana
Q = jumlah barang yang diminta
P = harga barang yang bersangkutan
a = koefisien fungsi permintaan
b = konstanta fungsi permintaan yang bersangkutan
contoh :
diketahui bahwa permintaan suatu barang apabila harga jualnya Rp 160
jumlah barang yang diminta konsumen sebanyak 20 buah, sedangkan
apabila harga jualnya diturunkan menjadi Rp. 120, maka jumlah barang
yang diminta sebanyak 40 buah. Tentukan :
a. bagaimanakah fungsi permintaannya
b. apabila barang tersebut dibagi secara gratis kepada konsumen, berapa
jumlah barang tersebut yang diminta
c. berapa harga maksimum barang tersebut sehingga tidak ada yang
membelinya.
a. P1 = 160, P2 = 120, Q1 = 20, Q2 = 40
P – P1 / P2 – P1 = Q – Q1 / Q2 – Q1
P – 160 / 120 – 160 = Q – 20 / 40 – 20
P – 160 / -40 = Q – 20 / 20
20 P – 3200 = -40Q + 800 = 20 P = -40 Q + 4000 , P = -2Q + 200
Q = -1/2 P + 100
b. apabila dibagi secara gratis, maka P = 0
P = -2Q + 200
0 = -2Q + 200
2Q = 200
Q = 100
c. apabila barang tersebut tidak ada yang membeli (Q = 0) maka harga
maksimum :
P = -2Q + 200
P = -2 (0) + 200
P = 200
Harga max Rp. 200
P
200
160
120 P = -2Q + 200
20 40 100 Q
Keadaan permintaan barang diketahui bahwa ketika harga jualnya Rp. 400
tidak ada barang yang diminta, sedangkan apabila barang tersebut dibagikan
secara cuma-cuma, maka jumlah barang tersebut yang diminta hanya 100
unit. Bagaimanakah persamaan fungsi permintaannya.
y / b + x / a = 1 P / b + Q / a = 1
P = Rp. 400 maka Q = 0 unit titik potong (0,400)
P = Rp. 0 maka Q = 100 unit titik potong (100,0)
P / 400 + Q / 100 = 1 x 400
P + 4 Q = 400
P = -4Q + 400 atau Q = -1/4 P + 100
400
P = -4Q + 400
100
Fungsi Penawaran
Bentuk umum fungsi penawaran
Q = aP + b
Q = jumlah barang yang ditawarkan
P = harga barang yang bersangkutan
a = koefisien fungsi penawaran
b = konstanta fungsi penawaran yang bersangkutan
contoh
sebuah perusahaan konveksi menjual salah satu produknya sebanyak 500
unit dengan harga Rp 1000 perunit. Apabila harganya naik menjadi Rp.
1.200 perunit, maka jumlah barang yang ditawarkan menjadi 900 unit.
Tentukan :
a. bagaimana fungsi penawarannya
b. berapa harga minimal yang ditawarkan produsen
a. persamaan fungsi penawaran.
P1 = 1000, P2 = 1200, Q1 = 500, Q2 = 900
P – P1 / P2 – P1 = Q – Q1 / Q2 – Q1
Maka
P – 1000 / 1200 – 1000 = Q – 500 / 900 – 500
P – 1000 / 200 = Q – 500 / 400
400 P – 400.000 = 200 Q – 100.000
400 P = 200 Q + 300.000
P = 1/2Q + 750 atau Q = 2P – 1500
P
750
-1500 0 Q
b. dari gambar diatas terlihat bahwa harga minimal yang ditawarkan
produsen adalah Rp. 750
keseimbangan pasar (market equilibrium)
merupakan keadaan dimana pada tingkat harga tertentu jumlah barang yang
diminta (Qd) sama dengan jumlah barang yang ditawarkan (Qs)
contoh
fungsi permintaan (Qd) P : -1/2Q + 40
fungsi penawaran (Qs) P : 1/2Q + 10
carilah keseimbangan pasar :
Qd = Qs
-1/2 Q + 40 = 1/2 Q + 10
Q = 30 unit
P = ½ Q + 10
= ½ (30) + 10
= Rp 25
Berarti harga keseimbangan pasar pada saat harga Rp 25 perunit dengan
kuantitas 30 unit.
P
40 (30,25)
25
-20 30 80
Pengaruh pajak
Didalam matematika ekonomi, pajak yang dibicarakan adalah pajak tidak
langsung yaitu pajak penjualan. Dasar pengenaannya atas dasar perunit atau
dasar prosentase.
1. Pajak perunit.
Yaitu pajak yang besarnya tetap untuk setiap unit penjualan. Pajak ini
langsung dibebankan pada harga jualnya. Fungsi penawaran akan akan
bergerak dengan adanya pajak.
Ex. Diketahui Qs = P : 1/4Q + 4
Qd = P : -1/4Q + 25
Pajak perunit Rp 6
a. hitunglah harga dan kuantitas pada keseimbangan pasar sebelum pajak
b. hitung harga dan kuantitas pada keseimbangan pasar sesudah pajak
c. besarnya total pajak diterima pemerintah, pajak ditanggung konsumen
dan pajak ditanggung produsen.
a. MEQ.
Qs = Qd
1/4 Q + 4 = -1/4 Q + 25
1/2Q = 21
Q = 42 unit
P = 1/4 Q + 4
= 1/4(42) + 4
= Rp. 14,5
b. MEQ ‘
Qs ‘ = P : 1/4Q + 4 + 6
: 1/4Q + 10
Qs ‘ = Qd
1/4Q + 10 = -1/4Q + 25
1/2Q = 15
Q’ = 30 unit
P’ = 1/4Q + 10
P’ = 1/4 (30) + 10
= Rp. 17,5
c. Pajak yang ditanggung konsumen (tk) = (P1 – P0)
Pajak yang ditanggung produsen (tp) = (t – tk) atau
(tp) = t – (P1 – P0)
Pajak yang diterima pemerintah (tg) = (t x Q1)
Dimana t = besarnya pajak perunit
P1 = harga keseimbangan setelah pajak
P0 = harga keseimbangan sebelum pajak
Q1 = kuantitas / jumlah keseimbangan setelah pajak
tg = Rp 6 x 30
= Rp 180
tk = (17,5 – 14,5) x 30
= Rp 3 x 30
= Rp 90
tp = Rp 180 – Rp 90
= Rp 90
Grafik :
P
(Qd)
25
17,5 MEQ’
14,5 MEQ
-40 -16 0 30 42 100 Q
2. Pajak prosentase.
Adalah pajak yang dikenakan sebesar prosentase tertentu dari penerimaan
penjualan produk
Fungsi penawaran bergeser sebesar prosentase tersebut untuk setiap jumlah
produk yang ditawarkan.
Qs ‘ = Qs (1 + r)
Contoh
Diketahui Qs = P : 1/4 Q + 10
Qd = P : -1/2 Q + 30
Pajak 20 %
Ditanya : a. keseimbangan sebelum pajak
b. keseimbangan sesudah pajak
c. pajak perunit
Jawab
a. MEQ
Qs = Qd
1/4Q + 10 = -1/2Q + 30
3/4Q = 20
Q = 80/3 = 26,67 unit
P = 1/4Q + 10
= 1/4 x 80/3 + 10
= 50/3 = Rp. 16,67
b. MEQ’
(Qs’) P = (1/4Q + 10) (1 + 20%)
= (1/4Q + 10) (1 + 0,2)
= (1/4Q + 10) (1,2)
= (1/4Q + 10) (6/5)
(Qs’) P = 3/10 Q + 12
Qs’ = Qd
3/10Q + 12 = -1/2Q + 30
8/10Q = 18
Q’ = 180/8 = 22,5 unit
P = 3/10Q + 12
= 3/10 x 180/8 + 12
P’ = Rp. 18,75
c. Pajak/unit = P’ x % Pajak 100% + % Pajak
= Rp. 18,75 x 20% / 120%
= Rp. 3,125
Qs 30 18,75 MEQ ‘ 16,75 MEQ 12
10
-40 22,5 26,67 60
II. Subsidi
Yaitu bantuan yang diberikan pemerintah kepada produsen atau distributor
barang agar harga jual produk menjadi lebih murah daripada harga
sebelumnya. Subsidi hanya berpengaruh terhadap fungsi penawaran.
Contoh :
Qs P = 1/4Q + 10
Qd P = -1/4Q + 25
Subsidi perunit Rp 6
Ditanya : a. keseimbangan pasar sebelum subsidi
b. keseimbangan pasar setelah subsidi
c. subsidi pemerintah
d. grafik
a. MEQ
Qs = Qd
1/4Q + 10 = -1/4Q + 25
1/2Q = 15
Q = 30 unit
P = 1/4Q + 10
= 1/4x30 + 10
= Rp 17,5
b. MEQ’
(QS’) - P = 1/4Q + 10 – 6
= 1/4Q + 4
QS’ = Qd
1/4Q + 4 = -1/4Q + 25
1/2Q = 21
Q’ = 42 unit
P = 1/4Q + 4
= 1/4x(42) + 4
P’ = Rp 14,5
c. Sg = Q’ x Rp 6,-
= 42 x Rp 6,-
= Rp 252,-
Sk = (Rp 17,5 – Rp 14,5) x 42
= Rp 126,-
Sp = Rp 252 – Rp 126
= Rp 126,-
Qs
Qd Qs’
25
17,5
14,5
-40 -16 30 42 100 Q
Break Event Point (BEP)
Adalah suatu keadaan yang menunjukkan bahwa perusahaan tidak
memperoleh laba maupun rugi.
Manfaat BEP :
Dapat digunakan sebagai alat perencanaan laba
Dapat digunakan untuk mendeteksi faktor-faktor yang menyebabkan
perusahaan menderita kerugian.
Unsur-unsur BEP :
1. Fixed cost (FC) = Biaya Tetap
Yaitu biaya yang jumlahnya tetap untuk seluruh jumlah barang yang
dihasilkan.
2. Variable cost (VC) = Biaya Variable
Yaitu biaya yang berubah sesuai dengan perubahan jumlah barang
produksi.
3. Total cost (TC) = total biaya ---- TC = FC + VC
4. Total revenue (TR) = total pendapatan ----- TR = P x Q
Syarat analisis BEP
1. biaya produksi didalam perusahaan harus dapat digolongkan kedalam
biaya tetap dan biaya variable.
2. biaya variable secara total berubah sebanding dengan volume
produksi, tetapi biaya variable perunit tetap
3. harga jual perunit tidak mengalami perubahan selama periode analisa
Contoh :
Diket FC = Rp 12.200.000,-
VC/unit = Rp 14.000,-
P/unit = Rp 18.000,-
Ditanya a. jumlah unit untuk BEP
b. Bila jumlah barang 10.000 unit, tentukan rugi atau laba
c. Grafik
jawab :
a. TC = TR
FC + VC = P x Q
12.200.000 + 14.000Q = 18.000Q
12.200.000 = 4.000Q
Q = 3050 unit
BEP unit : 3050
BEP (Rp) = BEP unit x P/u
= 3050 x 18.000
= Rp.54.900.000,-
b. TC = FC + VC
= 12.200.000 + (14.000 x 10.000)
= 12.200.000 + 140.000.000
= Rp. 152.200.000
TR = P x Q
= 18.000 x 10.000
= 180.000.000
TR > TC = Laba
Laba = 180.000.000 – 152.200.000
= Rp. 27.800.000
TR TC
54,9 juta BEP dalam rupiah
VC 12,2 juta FC
BEP dalam unit
3050
Top Related