OPTIMASI FUNGSI MULTIVARIATOPTIMASI FUNGSI MULTIVARIATTANPA DAN DENGAN KENDALATANPA DAN DENGAN KENDALA

Prepared by :

W. Rofianto

MATEMATIKA

EKONOMI DAN BISNIS

MINGGU XII

ROFI©2010

ROFI©2010

KONDISI MAKSIMUM DAN MINIMUM RELATIF

DEFINISI

Fungsi y = f(x1,x2, …,xn) maksimum relatif pada x1 = a1,x2 = a2, …, xn = an jika pada semua titik (x1,x2, …,xn)

yang “cukup dekat” dengan (a1,a2, …,an) � f(a1,a2,

…,an) ≥ f(x1,x2, …,xn)

Fungsi y = f(x1,x2, …,xn) minimum relatif pada x1 = a1, x2

= a2, …, xn = an jika pada semua titik (x1,x2, …,xn) yang“cukup dekat” dengan (a1,a2, …,an) � f(a1,a2, …,an) ≤

f(x1,x2, …,xn)

ROFI©2010

OPTIMASI FUNGSI n-VARIABEL

Titik Kritis pada fungsi n-variabel bebas diuji dengan Hessian matrix.

Untuk fungsi f(x1,x2, …,xn) maka Hessian matrix-nya merupakan

matriks bujur sangkar dengan dimensi (nxn).

=

nnnnn

n

n

xxxxxxxx

xxxxxxxx

xxxxxxxx

ffff

ffff

ffff

H

...

...............

...

...

321

2322212

1312111

SYARAT TITIK EKSTRIM

fx1 = 0, fx2= 0, …, fxn = 0

ROFI©2010

OPTIMASI FUNGSI n-VARIABEL

Dari Hessian matrix dapat dibentuk sebanyak n submatriks yang

determinannya dinamakan principal minor (dilambangkan dengan ∆i).

Submatrix ke n merupakan matriks Hessian itu sendiri, Hn = H.

( )111 xx

fH =

=

2212

2111

2

xxxx

xxxx

ff

ffH

=

332313

322212

312111

3

xxxxxx

xxxxxx

xxxxxx

fff

fff

fff

H

ROFI©2010

OPTIMASI FUNGSI n-VARIABEL

Kondisi karakteristik titik ekstrim relatif

Untuk nilai-nilai titik kritis yang telah diperoleh dan seluruh derivatiforde kedua adalah kontinyu :

• Titik kritis merupakan titik maksimum relatif jika :

∆1 < 0, ∆2 > 0, ∆3 < 0, …

• Titik kritis merupakan titik minimum relatif jika :

∆1 > 0, ∆2 > 0, ∆3 > 0, …

• Jika tidak satupun kondisi tersebut terpenuhi tidak ada kesimpulanyang dapat ditarik. Analisis lebih jauh di sekitar titik kritis perludilakukan untuk mengetahui karakteristiknya

ROFI©2010

OPTIMASI FUNGSI n-VARIABEL

Contoh penentuan titik kritis beserta karakteristiknya :

f(x1,x2,x3) = -2x13 + 6x1x3 + 2x2 – x2

2 – 6x32 + 5

−

−

−

=

1206

020

6012 1x

H

Uji karakteristik menggunakan matriks hessian :

Pertama dicari terlebih dahulu lokasi titik kritisnya :

fx1 = -6x12 + 6x3 = 0 x1 = 0 x1 = ½

fx2 = 2 – 2x2 = 0 x2 = 1 dan x2 = 1

fx3 = 6x1 – 12x3 = 0 x3 = 0 x3 = ¼

Jadi titik kritis terjadi pada (0,1,0,6) dan (½, 1, ¼, 6 ¼).

ROFI©2010

OPTIMASI FUNGSI n-VARIABEL

Untuk titik (0,1,0,6):

maka ∆1 = 0

maka ∆2 = 0

maka ∆3 = 72

Karena kondisi ini tidak memenuhi salah satu kriteria karakteristik

titik kritis maka tidak dapat disimpulkan karakteristik untuk titik

(0,1,0,6).

( ) 0)0(121 =−=H

−=

20

002H

−

−=

1206

020

600

3H

ROFI©2010

OPTIMASI FUNGSI n-VARIABEL

Untuk titik (½, 1, ¼, 6 ¼):

maka ∆1 = -6

maka ∆2 = 12

maka ∆3 = -72

Karena ∆1< 0, ∆2 > 0, ∆3 < 0, maka dapat disimpulkan bahwa titik

(½, 1, ¼, 6 ¼) merupakan titik maksimum relatif.

−

−=

20

062H

−

−

−

=

1206

020

606

3H

6))2

1(12(

1−=−=H

ROFI©2010

OPTIMASI FUNGSI BIVARIAT DENGAN KENDALA

Permasalahan optimasi suatu fungsi tujuan (objective function)

dengan kondisi batas tertentu (constrains) dapat diselesaikan

dengan metode Lagrange multiplier.

Misalkan suatu permasalahan

Maksimisasi (atau minimisasi) y = f(x1,x2)

dengan kendala g(x1,x2) = k

Informasi tersebut dapat ditulis kembali sebagai fungsi komposit

yang disebut lagrangian function dengan tambahan variabel λ

(Lagrange multiplier).

L(x1,x2, λ) = f(x1,x2) – λ[g(x1,x2) – k)]

ROFI©2010

OPTIMASI FUNGSI BIVARIAT DENGAN KENDALA

Syarat titik kritis : Lx1 = 0 Lx2 = 0 Lλ = 0

Pengujian karakteristik titik kritis dapat dilakukan dengan

bantuan matriks bordered hessian.

Kondisi maksimum/minimum relatif

I. Jika ∆B > 0, maka titik kritis merupakan titik maksimum

II.Jika ∆B < 0, maka titik kritis merupakan titik minimum

=

22122

21111

210

xxxxx

xxxxx

xx

B

LLg

LLg

gg

H

ROFI©2010

OPTIMASI DENGAN KENDALA

Contoh :

Carilah titik kritis dari kondisi fungsi berikut dan tentukan

karakteristiknya:

f(x1,x2) = x12 + 3x1x2 - 6x2 dengan kendala x1 + x2 = 42

Jawab :

Bentuk fungsi Lagrange :

L(x1,x2,λ) = x12 + 3x1x2 – 6x2 – λ(x1 + x2 – 42)

Syarat titik kritis :

Lx1 = 0 � 2x1 + 3x2 – λ = 0 ….. (1)

Lx2 = 0 � 3x1 – 6 – λ = 0 ….. (2)

Lλ = 0 � – x1 – x2 + 42 = 0 ….. (3)

ROFI©2010

Eliminasi (1) dan (2)

2x1 + 3x2 – λ = 0

3x1 – 6 – λ = 0

-x1 + 3x2 + 6 = 0 ….. (4)

Eliminasi (3) dan (4)

– x1 – x2 + 42 = 0

– x1 + 3x2 + 6 = 0

– 4x2 + 36 = 0

x2 = 9

Substitusi x2 pada (3)

– 9 – x2 + 42 = 0

x1 = 33

Substitusi fungsi tujuan

f(33, 9) = 1926

Uji karakteristik titik kritis

∆B = 4 positif � max relatif

Jadi titik kritis adalah (33,9,1926) yang merupakan titik maksimum relatif

=

031

321

110

BH

ROFI©2010

INTERPRETASI λ

Fungsi Lagrange : L(x1,x2, λ) = f(x1,x2) – λ[g(x1,x2) – k)]

Dengan demikian λ dapat diinterpretasikan sebagai

tingkat perubahan sesaat pada nilai fungsi Lagrange

apabila konstanta k pada persamaan constraintberubah.

λ==∂

∂kL

k

L

ROFI©2010

CONTOH

Jika angka penjualan suatu barang (z) dipengaruhi oleh besarnya

belanja iklan TV (x) dan besarnya belanja iklan radio (y) sesuai

fungsi :

z = 4000x + 6000y – 5x2 – 10y2 – 10xy

x dan y dalam jutaan rupiah. Berdasarkan fungsi tersebut :

a. Berapakah sebaiknya alokasi belanja iklan di TV dan radio agar

dicapai angka penjualan maksimum dan buktikanlah

b. Berapakah angka penjualan maksimum yang dapat dicapai?

c. Berapakah masing-masing besarnya alokasi belanja iklan di TV

dan radio agar diperoleh angka penjualan maksimum, bila total

biaya iklan dibatasi sebesar Rp. 300 juta dan buktikanlah

d. Berapakah angka penjualan maksimum yang dapat dicapai

dengan pembatasan tersebut

ROFI©2010

ANTIDERIVATIVE

Antiderivative = kebalikan dari diferensial

Jika f ‘ (x) = 4, berapakah f(x) = ?

f(x) = 4x ?

f(x) = 4x + 8?

f(x) = 4x – 8?

f(x) = 4x + C

f(x) = 4x - 8

f(x) = 4x + 8

f(x) = 4x

x

y

ROFI©2010

KAIDAH INTEGRAL

INDEFINITE INTEGRAL

Jika f adalah fungsi kontinyu,

Dengan catatan F’(x) = f(x)

Pelajari Rule 1 sampai Rule 9 (Budnick 18.2)

∫ += CxFdxxf )()(

ROFI©2010

CONTOH

Cx +3

Cx

+3

3

Cx

+6

3

∫ =dx31.

∫ =dxx 22.

∫ =dxx

2

2

3.

=+−∫ dxxx )674(24. Cx

xx++− 6

2

7

3

423