Operasi Hitung Bilangan Bulat dalam Pemecahan MasalahOperasi d. Menjumlahkan bilangan bulat negatif dengan bilangan positif.Contoh-6 + 8 = 2, digambarkan pada garis bilangan

Daftar isi[sembunyikan]

1 Operasi Bilangan Bulat o 1.1 Lambang Bilangan Bulat o 1.2 Menentukan Nilai Tempat Bilangan o 1.3 Himpunan Bilangan Bulat o 1.4 Sifat Perkalian dari Urutan Bilangan Bulat o 1.5 Lawan bilangan bulat o 1.6 Operasi bilangan bulat

1.6.1 Penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat 1.6.2 Perkalian Bilangan Bulat 1.6.3 Pembagian bilangan bulat

o 1.7 Menggunakan Sifat Operasi Hitung Bilangan Bulat 1.7.1 Sifat komutatif 1.7.2 Sifat asosiatif 1.7.3 Sifat distributif (penyebaran)

o 1.8 Operasi Campuran 2 Menentukan FPB dan KPK Beberapa Bilangan Bulat dengan Faktor Prima 3 Pangkat Tiga dan Akar Pangkat Tiga 4 Operasi Hitung Campuran dengan Bilangan Berpangkat

Operasi Bilangan Bulat Lambang Bilangan Bulat

Lambang bilangan bulat bentuk panjangnya merupakan hasil penjumlahan dari perkalian bilangan dengan pemangkatan bilangan 10.Contoh:2.345 = 2.000 + 300 + 40 + 5= 2x103 + 3 x102 + 4 x101 + 5 x 1002.345 = 2 ribuan + 3 ratusan + 4 puluhan + 5 satuan

Menentukan Nilai Tempat Bilangan

Contoh:1) 53.451    Dibaca lima puluh tiga ribu empat ratus lima puluh satu.2) 212.583    Dibaca dua ratus dua belas ribu lima ratus delapan puluh tiga3) 2.523.459    Dibaca dua juta lima ratus dua puluh tiga ribu empat ratus lima puluh sembilan

Himpunan Bilangan Bulat

Bilangan bulat adalah bilangan yang terdiri dari:a Bilangan bulat positif (bilangan asli)b Bilangan nolc. Bilangan bulat negatif (lawan bilangan asli)

Sifat Perkalian dari Urutan Bilangan Bulat

a. Jika a > b, dan c bilangan bulat positif, maka a x c > b x cjika a < b, dan c bilangan bulat positif, maka a x c < b x cContoh1) 6 > 2 dan 6 bilangan bulat positif, maka 6x6 > 2x62) 5 < 7 dan 3 bilangan bulat positif, maka 5x3 < 7x3

b. Jika a > b, dan c bilangan bulat negatif, maka axc < bxcJika a < b, dan c bilangan bulat negatif, maka axc > bxc

Contoh1) -2 >-6 dan -3 (bilangan bulat negatif), maka -2 x (-3) < -6 x (-3)2) -3 < 2 dan -5 (bilangan bulat negatif), maka -3 x (-5) > 2x(-5)

c. Jika a > b atau a < b, dan c adalah bilangan nol, maka axc = bxc = 0Contoh1) 4 > -2, maka 4 x 0 = -2 x 0 = 02) 3 < 5, maka 3 x 0 = 5 x 0 = 0

Lawan bilangan bulat

a. Setiap bilangan bulat mempunyai tepat satu lawan yang juga merupakan bilangan bulatb. Dua bilangan bulat dikatakan berlawanan, apabila dijumlahkan menghasilkan nilai nol.a + (-a) = 0Contoh1) Lawan dari 4 adalah -4, sebab 4 + (-4) = 02) Lawan dari -7 adalah 7, sebab -7 + 7 = 03) Lawan dari 0 adalah 0, sebab 0 + 0 = 0

Operasi bilangan bulat

Penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat

d. Menjumlahkan bilangan bulat negatif dengan bilangan positif.Contoh-6 + 8 = 2, digambarkan pada garis bilangan.

Perkalian Bilangan Bulat

Perkalian adalah penjumlahan berulang sebanyak bilangan yang dikalikan.Contoh:2 x 3 - 3 + 3 = 6

Perhatikan gambar di bawah ini, ya!

Sifat-sifat perkalian suatu bilangan

a. Perkalian bilangan positif dengan bilangan positif, hasilnya positif.Contoh:1) 4 x 5 = 5 + 5 + 5 + 5 = 202) 7 x 8 = 563) 12 x 15 = 180b Perkalian bilangan positif dengan bilangan negatif, hasilnya negatif.   Contoh:    1) 4 x (-5) = (-5) + (-5) +(-5) +(-5) = -20    2) 7 x (-8) = -56    3) 12 x (-15) = -180c. Perkalian bilangan negatif dengan bilangan positif, hasilnya negatif.    Contoh:    1) -4 x 5 = -(5 + 5 + 5 + 5) = -20.    2) -7 x 8 = -56    3) -12x 15 = -180d. Perkalian bilangan negatif dengan bilangan negatif, hasilnya positif.    Contoh:    1) -4 x (-5) = -[-5 + (-5) + (-5) + (-5)] = -[-20] = 20    2) -7 x (-8) = 56    3) -12 x (-15) = 180    Kesimpulan:

Pembagian bilangan bulat

Pembagian merupakan operasi kebalikan dari perkalianContoh12 : 4 = 3, karena 4 x 3 = 12 atau 3 x 4 = 1242 : 7 = 6, karena 7 x 6 = 42 atau 6 x 7 = 42

Sifat-sifat pembagian bilangan bulata. Pembagian bilangan positif dengan bilangan positif, hasilnya positif    Contoh    1) 63 : 7 = 9    2) 143 : 11 = 13b. Pembagian bilangan positif dengan bilangan negatif, hasilnya negatif    Contoh:    1) 63 : (-9) = -7    2) 72 : (-6) = -12c. Pembagian bilangan negatif dengan bilangan positif, hasilnya negatif    Contoh:    1) -63 : 7 = -9    2) -120 : 10 = -12d. Pembagian bilangan negatif dengan bilangan negatif, hasilnya positif.

    Contoh:    1) -72 : (-8) = 9    2) -120 : (-12) = 10

Menggunakan Sifat Operasi Hitung Bilangan Bulat

Sifat komutatif

Sifat komutatif (pertukaran) pada penjumlahan dan perkalian.a + b = b + aa x b = b x a, berlaku untuk semua bilangan bulat

Contoh:1) 2 + 4 = 4 + 2 = 62) 3 + 5 = 5 + 3 = 83) 4 x 2 = 2 x 4 = 84) 3 x 2 = 2 x 3 = 6

Sifat asosiatif

Sifat asosiatif (pengelompokan) pada penjumlahan dan perkalian.(a + b) + c = a + (b+c)(a x b) x c = a x (bxc), berlaku untuk semua bilangan bulat

Contoh:1) (2+4) + 6 = 2 + (4+6) = 122) (3+6) + 7 = 3 + (6+7) = 163) (3x2) x 4 = 3 x (2x4) = 244) (3x5) x 2 = 3 x (5x2) = 30

Sifat distributif (penyebaran)

a x (b + c) = (a x b) + (a x c), yang berlaku untuk semua bilangan bulat.

Contoh1) 4 x (5 + 2) = (4 x 5) + (4 x 2) = 282) 5 x (7 + 3) = (5 x 7) + (5 x 3) = 50

Operasi Campuran

Aturan dalam mengerjakan operasi campuran adalah sebagai berikut.1 .Operasi dalam tanda kurung dikerjakan terlebih dahulu.2. Perkalian dan pembagian adalah setara, yang ditemui terlebih dahulu dikerjakan terlebih dahulu.3. Penjumlahan dan pengurangan adalah setara, yang ditemui terlebih dahulu dikerjakan terlebih

dahulu.4. Perkalian atau pembagian dikerjakan lebih dahulu daripada penjumlahan atau    pengurangan.

P ada perkalian bilangan bulat  terdapat aturan perkalian tanda dengan tententuan :    (+) x (+) = (+)    (+) x (-)  = (-)    (-)  x (+  = (-)    (-)  x (-) = (+)Dalam operasi pembagian bilangan bulat juga berlaku aturan, sebagai berikut :    (+) : (+) = (+)    (+) : (-)  = (-)    (-) : (+)  = (-)    (-) : (-)   = (+)

Contoh1. a. 20 + 30 – 12 = 50 – 12 = 38    b. 40 – 10 - 5 = 30 – 5 = 25    c. 40 - (10 - 5) = 40 – 5 = 35 

2. a. 600 : 2O : 5 = 30 : 5 = 6     b. 600 : (20 : 5) = 600 : 4 = 150    c. 5 x 8 : 4 = 40 : 4 = 10

3. a. 5 x (8 + 4) = 5 x 12 = 60    b. 5 x 8 -4 = 40 – 4 = 36    c. 5 x (8 – 4) = 5 x 4 = 20

Bilangan Bulat dengan Faktor PrimaFPB dan KPKSetiap bilangan dapat ditulis sebagai hasil kali faktor-faktor primanya. Kita mulai dengan membagi bilangan tersebut dengan bilangan prima 2, 3, 5, 7, 11, 13 dan seterusnya. Contoh :Tuliskan faktorisasi prima dari 18!Jawab: Mulailah dengan membagi 18 dengan 2, 3, 5 dan seterusnya melalui pohon faktor berikut :

Jadi, faktorisasi prima dari 18 = 2 x 3 x 3 = 2 x 32

Contoh :Tuliskan faktorisasi prima dari 180!

Kita dapat mencari FPB dan KPK beberapa bilangan dengan menentukan faktor-faktor primanya. Contoh :Carilah FPB dan KPK dari 40 dan 60

Jawab : Bagilah kedua bilangan dengan bilangan prima mulai dari 2, 3, 5 dan seterusny, secara bersamaan seperti berikut ini.

FPB dicari dari hasil kali bilangan prima di kiri (dilingkari) yang habis membagi kedua bilangan. Jadi, FPB dari 40 dan 60 adalah 2 x 2 x 5 = 4 x 5 = 20

KPK dicari dari hasil kali semua bilangan prima di kiri (termasuk yang tidak dilingkari). Jadi, KPK dari 40 dan 60 adalah 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 4 x 6 x 5 = 4 x 30 = 120.

Pangkat Tiga dan Akar Pangkat Tiga Perpangkatan merupakan perkalian berulang

Contoh :22 = 2 x 2 = 4

33 = 3 x 3 x 3 = 9 x 3 = 27

Operasi akar pangkat tiga dapat dijelaskan sebagai berikut:

Bilangan berapakah apabila dipangkatkan tiga hasilnya 8? Jawabannya adalah 2. Dalam hal ini, kita mencari akar pangkat tiga dari delapan yang kita tulis 3√8 = 2 (dibaca akar pangkat 3 dari 8 adalah 2).

Contoh:3√27 = 3, karena 3 x 3 x 3 = 9 x 3 = 27

Untuk mencari akar pangkat 3 dari bilangan yang cukup besar, dapat dicari dengan bantuan bilangan pangkat 3.

13 = 1

23 = 8

Contoh:

Operasi Hitung Campuran dengan Bilangan BerpangkatAturan dalam melakukan operasi hitung campuran adalah sebagai berikut.

1. Operasi dalam tanda kurung, selalu dikerjakan terlebih dahulu.

2. Perpangkatan atau penarikan akar dikerjakan terlebih dahulu daripada perkalian atau pembagian.3. Perkalian dan pembagian adalah setara, yang ditemui terlebih dahulu dikerjakan terlebih dahulu.4. Penjumlahan dan pengurangan adalah setara, yang ditemui terlebih dahulu

dikerjakan terlebih dahulu.

5. Perkalian atau pembagian dikerjakan lebih dahulu daripada penjumlahan atau pengurangan.

Contoh:1. 53 – 23 = 125 – 8 = 1172. 33 x 43 = 27 x 64 = 1.728