Oleh : Annisa Dwi Sulistyaningtyas NRP. 1209 100 063

Dosen Pembimbing :

Prof. Dr. Basuki Widodo, M.Sc

JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER SURABAYA

Kebutuhan air bersih meningkat seiring dengan bertambahnya jumlah penduduk. Jumlah penduduk yang setiap tahunnya selalu meningkat seharusnya diimbangi dengan penyediaan air bersih yang sesuai. Sistem perpipaam PDAM mempengaruhi sistem distribusi air bersih yang dialirkan ke perumahan. Pada kenyataannya, masih terdapat kawasan perumahan yang aliran airnya tidak sesuai dengan kebutuhan air yang diperlukan. Selain itu, developers lebih memilih mengembangkan lahan baru yang masih kosong mengakibatkan sistem perpipaan untuk pendistribusian air bersih pada lahan yang sudah ada kurang diperhatikan. Pemodelan distribusi air bersih pada sistem perpipaan membantu mempermudah dalam perhitungan kecepatan aliran air dalam pipa, diameter pipa, dan volume air yang dibutuhkan di suatu kawasan perumahan. Penyelesaian model matematika tersebut menggunakan Metode Beda Hingga Implisit (Alternating Direct Implicit Method) dan hasil tersebut disimulasikan dengan menggunakan Matlab. Hasil simulasi yang diperoleh menunjukkan bahwa semakin besar kecepatan awal dan diameter pipa, semakin besar pula iterasi yang dihasilkan di titik – titik aliran pipa sehingga volume air pada pipa juga semakin besar.

Kebutuhan air bersih semakin meningkat seiring dengan pertambahan jumlah penduduk

Kurang meratanya distribusi air bersih di setiap perumahan

Developers lebih memilih mengembangkan lahan kosong daripada mengembangkan lahan yang sudah ada

1. Bagaimana pengembangan model matematika dari distribusi air bersih pada sistem perpipaan di suatu perumahan.

2. Bagaimana Metode Beda Hingga Implisit dapat diaplikasikan untuk menyelesaikan persamaan model matematika dari sistem distribusi tersebut.

3. Bagaimana visualisasi dari hasil penyelesaian model matematika pada sistem distribusi tersebut.

Data yang digunakan adalah data yang diambil dari PDAM Kota Surabaya.

Area penelitian adalah kawasan perumahan Babatan Mukti Surabaya.

Diameter pipa untuk perumahan Babatan Mukti Surabaya maksimal 300 mm.

Aliran air distribusi menggunakan penjernihan air Karangpilang.

Penyelesaian persamaan differensial menggunakan Metode Beda Hingga Implisit (Alternating Direction Implicit (ADI) Method).

Simulasi numerik dan visualisasi hasil penelitian menggunakan software Matlab.

Diasumsikan bahwa kawasan penelitian adalah kawasan dengan dataran yang rata.

Diasumsikan air mengalir secara kontinu. Diasumsikan tidak ada sumbatan pada masing

– masing pipa distribusi karena bahan pipa dari paralon tebal.

Diasumsikan titik percabangan pipa 90o.

Mengembangkan dan merumuskan model matematika untuk mendapatkan suatu persamaan.

Menyelesaikan model matematika yang telah diperoleh menggunakan Metode Beda Hingga Implisit (Alternating Direction Implicit (ADI) Method).

Menganalisis hasil yang telah diperoleh dengan menggunakan software Matlab.

Sebagai suatu bentuk konstribusi dalam pengembangan ilmu Matematika terapan di bidang sistem perpipaan.

Sebagai dasar pengambilan kebijakan bagi stakeholders yang menggunakan dan memproduksi air bersih, seperti developers dan PDAM.

Sebagai alternatif untuk penyediaan permasalahan sistem perpipaan di suatu kawasan perumahan.

1. BAB I PENDAHULUAN Bab ini menjelaskan latar belakang penyusunan Tugas Akhir, rumusan masalah, batasan masalah, asumsi masalah, tujuan, manfaat, dan sistematika penulisan laporan Tugas Akhir.

2. BAB II TINJAUAN PUSTAKA Bab ini menjelaskan tentang air bersih, sistem perpipaan, persamaan kontinuitas, metode perhitungan numerik yaitu Metode Beda Hingga Implisit (Alternating Direction Implicit (ADI) Method), dan menjelaskan tentang area penelitian yang digunakan untuk pengerjaan Tugas Akhir ini.

3. BAB III METODE PENELITIAN Bab ini menjelaskan tentang tahap – tahap yang dilakukan dalam penyusunan Tugas Akhir ini.

4. BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN Bab ini menjelaskan tentang bagaimana mengembangkan model matematika untuk distribusi air bersih pada sistem perpipaan yang diselesaikan dengan menggunakan Metode Beda Hingga Implisit (Alternating Direction Implicit (ADI) Method) dan analisis terhadap hasil penelitian berdasarkan hasil simulasi yang dilakukan.

5. BAB V KESIMPULAN DAN SARAN Bab ini menjelaskan tentang penarikan kesimpulan dan saran dari hasil analisis dan pembahasan yang telah dilakukan.

A. Definisi Air Bersih Air bersih adalah air yang digunakan untuk keperluan sehari – hari dan akan menjadi air minum setelah dimasak terlebih dahulu. Sebagai batasannya, air bersih adalah air yang memenuhi persyaratan bagi sistem penyediaan air minum.

B. Persyaratan Dalam Penyediaan Air Bersih Persyaratan Kualitas :

a. Persyaratan Fisika b. Persyaratan Kimiawi c. Persyaratan Bakteriologis d. Persyaratan Radioaktifitas

Persyaratan Kuantitas : Penyediaan air bersih ditinjau dari banyaknya air baku yang tersedia dan ditinjau dari standar debit air bersih yang dialirkan ke konsumen sesuai dengan jumlah kebutuhan air bersih

Persyaratan Kontinuitas Air baku untuk air bersih harus dapat diambil terus menerus dengan fluktuasi debit yang relatif tetap, baik pada saat musim kemarau maupun musim hujan

Tabel Konsumsi Air Berdasarkan Kategori Kota

Kategori Kota Jumlah Penduduk (kota)

Konsumsi Air (lt/org/hari)

Metropolitan > 1.000.000 210

Besar 500.000 – 1.000.000

170

Sedang 100.000 – 500.000 150

Kecil 20.000 – 100.000 90

Sumber : Kimpraswil, 2003

C. Sistem Aliran Dalam Pipa Closed conduit : aliran dimana air kontak dengan penampang saluran Open chanel : aliran dengan permukaan bebas pada salurannya Terdapat dua macam aliran yaitu : 1. Aliran Laminer : aliran yang tenang,

terjadi karena partikel – partikel fluidanya bergerak sepanjang lintasan – lintasan lurus, sejajar

2. Aliran Turbulen : aliran yang disebabkan oleh partikel – partikel fluida yang bergerak secara random ke segala arah

D. Jaringan Pipa Distribusi Terbagi atas : a. Pipa Primer (Supply Main Pipe) b. Pipa Sekunder (Arterial Main Pipe) c. Pipa Tersier d. Pipa Servis (Service Pipe) E. Persamaan Kontinuitas Persamaan kontinuitas berlaku untuk : a. Untuk semua fluida (gas atau cairan) b. Untuk semua jenis aliran (laminer atau

turbulen) c. Untuk semua keadaan (steady dan

unsteady) d. Dengan atau tanpa adanya reaksi kimia di

dalam aliran tersebut

𝐴𝐴1 : luas penampang bagian pipa yang berdiameter besar 𝐴𝐴2 : luas penampang bagian pipa yang berdiameter kecil 𝑣𝑣1 : laju aliran fluida pada bagian pipa yang berdiameter besar 𝑣𝑣2 : laju aliran fluida pada bagian pipa yang berdiameter kecil L : jarak tempuh fluida Volume fluida yang mengalir pada pipa berdiameter besar :

𝑉𝑉1 = 𝐴𝐴1𝐿𝐿1 = 𝐴𝐴1𝑣𝑣1𝑡𝑡 Volume fluida yang mengalir pada pipa berdiameter kecil :

𝑉𝑉2 = 𝐴𝐴2𝐿𝐿2 = 𝐴𝐴2𝑣𝑣2𝑡𝑡

1. Persamaan Kontinuitas untuk Fluida Tak- termampatkan (incompressible) Pada fluida tak-termampatkan (incompressible), kerapatan alias massa jenis fluida tersebut selalu sama di setiap titik yang dilaluinya. Mengingat bahwa dalam aliran tunak, massa fluida yang masuk sama dengan massa fluida yang keluar, maka :

𝑚𝑚1 = 𝑚𝑚2 𝜌𝜌𝐴𝐴1𝑣𝑣1𝑡𝑡 = 𝜌𝜌𝐴𝐴2𝑣𝑣2𝑡𝑡 𝐴𝐴1𝑣𝑣1 = 𝐴𝐴2𝑣𝑣2

Dimana 𝐴𝐴1 :luas penampang 1 𝐴𝐴2 :luas penampang 2 𝑣𝑣1 :laju aliran fluida pada penampang 1 𝑣𝑣2 :laju aliran fluida pada penampang 2

𝑄𝑄 =𝑉𝑉𝑡𝑡

Dimana 𝑄𝑄 = debit (𝑚𝑚3/𝑠𝑠) 𝑉𝑉 = volume fluida (𝑚𝑚3) 𝑡𝑡 = waktu fluida mengalir (𝑠𝑠)

2.Persamaan Kontinuitas untuk Fluida Termampatkan (compressible)

Untuk kasus fluida yang termampatkan atau compressible, massa jenis fluida tidak selalu sama.

𝑚𝑚1 = 𝑚𝑚2 𝜌𝜌1𝐴𝐴1𝑣𝑣1𝑡𝑡 = 𝜌𝜌2𝐴𝐴2𝑣𝑣2𝑡𝑡

Selang waktu (𝑡𝑡) aliran fluida sama sehingga bisa dihilangkan. Sehingga diperoleh persamaan :

𝜌𝜌1𝐴𝐴1𝑣𝑣1 = 𝜌𝜌2𝐴𝐴2𝑣𝑣2

F. Metode Beda Hingga Diberikan persamaan : 𝜕𝜕2𝑢𝑢𝜕𝜕𝜕𝜕2

+ 𝜕𝜕2𝑢𝑢𝜕𝜕𝜕𝜕2

= 0, 𝜕𝜕2𝑢𝑢𝜕𝜕𝜕𝜕2

+ 𝜕𝜕2𝑢𝑢𝜕𝜕𝜕𝜕2

= 𝜕𝜕2𝑢𝑢𝜕𝜕𝜕𝜕2

, 𝜕𝜕2𝑢𝑢𝜕𝜕𝜕𝜕2

+ 𝜕𝜕2𝑢𝑢𝜕𝜕𝜕𝜕2

= 𝜕𝜕𝑢𝑢𝜕𝜕𝜕𝜕

Variabel 𝑢𝑢 selanjutnya didefinisikan sebagai 𝑢𝑢 = 𝑢𝑢(𝑥𝑥,𝑦𝑦) dan 𝑢𝑢(𝑥𝑥 + ℎ,𝑦𝑦 + 𝑘𝑘) . Berdasarkan deret Taylor mempunyai hubungan sebagai berikut :

𝑢𝑢 𝑥𝑥 + ℎ,𝑦𝑦 + 𝑘𝑘 = 𝑢𝑢 𝑥𝑥,𝑦𝑦 + ℎ 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕

+ 𝑘𝑘 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕

𝑢𝑢 𝑥𝑥,𝑦𝑦 +12!

ℎ 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕

+ 𝑘𝑘 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕

2𝑢𝑢 𝑥𝑥,𝑦𝑦 + ⋯+

1𝑛𝑛−1 !

ℎ 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕

+ 𝑘𝑘 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕

𝑛𝑛−1𝑢𝑢 𝑥𝑥,𝑦𝑦 +

𝑅𝑅𝑛𝑛

𝑅𝑅𝑛𝑛 =1𝑛𝑛!

ℎ𝜕𝜕𝜕𝜕𝑥𝑥

+ 𝑘𝑘𝜕𝜕𝜕𝜕𝑦𝑦

𝑛𝑛

𝑢𝑢 𝑥𝑥 + 𝜉𝜉ℎ,𝑦𝑦 + 𝜉𝜉𝑘𝑘 , 0 < 𝜉𝜉 < 1

(𝑖𝑖 − 1, 𝑗𝑗 + 1) (𝑖𝑖, 𝑗𝑗 + 1) (𝑖𝑖 + 1, 𝑗𝑗 + 1)

(𝑖𝑖 − 1, 𝑗𝑗)

∆𝑦𝑦

(𝑖𝑖, 𝑗𝑗) (𝑖𝑖 + 1, 𝑗𝑗)

(𝑖𝑖 − 1, 𝑗𝑗 − 1) (𝑖𝑖, 𝑗𝑗 − 1) (𝑖𝑖 + 1, 𝑗𝑗 − 1)

∆𝑥𝑥

Pola Beda Hingga

Titik dalam ruang atau grid (𝑖𝑖, 𝑗𝑗) dan titik – titik grid terdekat digambarkan pada tersebut. Pengembangan deret Taylor di sekitar titik 𝑢𝑢𝑖𝑖,𝑗𝑗 akan menghasilkan 𝑢𝑢𝑖𝑖−1,𝑗𝑗 = 𝑢𝑢𝑖𝑖,𝑗𝑗 − ∆𝑥𝑥𝑢𝑢𝜕𝜕 +

∆𝑥𝑥 2

2! 𝑢𝑢𝜕𝜕𝜕𝜕 −∆𝑥𝑥 3

3! 𝑢𝑢𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕 +∆𝑥𝑥 4

4! 𝑢𝑢𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕

𝑢𝑢𝑖𝑖+1,𝑗𝑗 = 𝑢𝑢𝑖𝑖,𝑗𝑗 + ∆𝑥𝑥𝑢𝑢𝜕𝜕 + ∆𝜕𝜕 2

2!𝑢𝑢𝜕𝜕𝜕𝜕 + ∆𝜕𝜕 3

3!𝑢𝑢𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕 + ∆𝜕𝜕 4

4!𝑢𝑢𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕

Dalam hal ini 𝑢𝑢𝜕𝜕 = 𝜕𝜕𝑢𝑢/𝜕𝜕𝑥𝑥 dan 𝑢𝑢𝜕𝜕𝜕𝜕 = 𝜕𝜕2𝑢𝑢/𝜕𝜕𝑥𝑥2. Semua turunan dievaluasi pada titik (𝑖𝑖, 𝑗𝑗) . Berdasar cara yang sama diperoleh turunan dengan orde yang lebih tinggi. 𝜕𝜕𝑢𝑢𝜕𝜕𝜕𝜕

= 𝑢𝑢𝑖𝑖+1,𝑗𝑗−𝑢𝑢𝑖𝑖,𝑗𝑗∆𝜕𝜕

+ 0(∆𝑥𝑥) forward difference 𝜕𝜕𝑢𝑢𝜕𝜕𝜕𝜕

= 𝑢𝑢𝑖𝑖,𝑗𝑗−𝑢𝑢𝑖𝑖−1,𝑗𝑗

∆𝜕𝜕+ 0(∆𝑥𝑥) backward difference

𝜕𝜕𝑢𝑢𝜕𝜕𝜕𝜕

= 𝑢𝑢𝑖𝑖+1,𝑗𝑗−𝑢𝑢𝑖𝑖−1,𝑗𝑗

2∆𝜕𝜕+ 0[ ∆𝑥𝑥 2] central difference

𝜕𝜕2𝑢𝑢𝜕𝜕𝜕𝜕2

=𝑢𝑢𝑖𝑖−1,𝑗𝑗−2𝑢𝑢𝑖𝑖,𝑗𝑗+𝑢𝑢𝑖𝑖+𝑢𝑢𝑖𝑖+1,𝑗𝑗

(∆𝜕𝜕)2+ 0[ ∆𝑥𝑥 2]

G. Alternating Direct Implicit (ADI) Method Metode Alternating Direct Implicit (ADI) adalah metode beda hingga yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial berbentuk parabolik dan eliptik. Misal diberikan sistem persamaan diferensial biasa : 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝜕𝜕

= (𝐴𝐴1 + 𝐴𝐴2)𝑈𝑈

𝑈𝑈 0 = 𝑈𝑈0 dimana 𝑈𝑈(𝑡𝑡) adalah vektor berdimensi N. 𝑈𝑈𝑚𝑚+1 = 𝑈𝑈𝑚𝑚 + ∆𝜕𝜕

2[ 𝐴𝐴1 + 𝐴𝐴2 𝑈𝑈𝑚𝑚+1 + 𝐴𝐴1 + 𝐴𝐴2 𝑈𝑈𝑚𝑚]

H. Metode Volume Hingga 1. Hukum kekekalan massa untuk suatu volume kendali dapat dinyatakan dengan persamaan (Apsley, 2005) :

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡

𝜌𝜌∀ + � 𝜌𝜌𝑢𝑢𝐴𝐴𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓

= 0

2. Hukum kekekalan momentum untuk suatu volume kendali dapat dinyatakan dengan persamaan (Apsley, 2005) :

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡

𝜌𝜌∀𝑢𝑢 + � 𝜌𝜌𝑢𝑢𝐴𝐴𝑢𝑢𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓

= 𝐹𝐹

I. Area Penelitian Lokasi area penelitian yang digunakan untuk penelitian dalam Tugas Akhir ini adalah perumahan Babatan Mukti Surabaya. Perumahan ini terletak di Jalan Raya Menganti, Wiyung, Surabaya, Jawa Timur.

Diagram Sistem Perpipaan Perumahan Babatan Mukti Surabaya

A. Persamaan Massa dan Momentum pada Pipa Pada pipa terdapat dua jenis aliran, yaitu aliran lurus dan aliran menikung. Pipa yang aliran airnya menikung diasumsikan bahwa pipanya berbentuk busur seperempat lingkaran.

X

Y

𝑟𝑟 𝜃𝜃

Transformasi Koordinat Kartesian ke Koordinat Polar

Dalam koordinat Kartesians diketahui bahwa 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 = 𝑟𝑟2

Maka dalam koordinat tabung dinyatakan dalam bentuk 𝑟𝑟,𝜃𝜃, dan 𝑧𝑧, yaitu : 𝑥𝑥 = 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝜃𝜃,𝑦𝑦 = 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝜃𝜃,𝜃𝜃 = 𝑎𝑎𝑟𝑟𝑟𝑟𝑡𝑡𝑎𝑎𝑛𝑛 𝜕𝜕

𝜕𝜕, 𝑧𝑧 = 𝑧𝑧

sehingga untuk 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕

= 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝜃𝜃, 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕

= 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝜃𝜃, 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕

= 0, 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕

= −𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝜕𝜕𝜕𝜕

, 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕

= 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑠𝑠𝜕𝜕𝜕𝜕

, 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕

= 0, 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕

= 0, 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕

= 0

Oleh karena itu, bentuk determinan jacobi nya adalah :

𝐽𝐽 =

𝜕𝜕𝑟𝑟𝜕𝜕𝑥𝑥

𝜕𝜕𝜃𝜃𝜕𝜕𝑥𝑥

𝜕𝜕𝑧𝑧𝜕𝜕𝑥𝑥

𝜕𝜕𝑟𝑟𝜕𝜕𝑦𝑦

𝜕𝜕𝜃𝜃𝜕𝜕𝑦𝑦

𝜕𝜕𝑧𝑧𝜕𝜕𝑦𝑦

𝜕𝜕𝑟𝑟𝜕𝜕𝑧𝑧

𝜕𝜕𝜃𝜃𝜕𝜕𝑧𝑧

𝜕𝜕𝑧𝑧𝜕𝜕𝑧𝑧

atau ditulis dengan

𝐽𝐽 =𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝜃𝜃

−𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝜃𝜃𝑟𝑟

0

𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝜃𝜃𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝜃𝜃𝑟𝑟

00 0 1

1. Persamaan Kekekalan Massa Berdasarkan rumus yang tertulis pada Tugas Akhir “Kajian Karakteristik Sedimentasi di Pertemuan Dua Sungai Menggunakan Metode Meshles Local Petrov-Galerkin dan Simulasi Fluent” (Sholikin,M. 2011), diperoleh persamaan kekekalan massa sebagai berikut : 𝜕𝜕𝜕𝜕∀𝜕𝜕𝜕𝜕

+ 𝑢𝑢𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝜃𝜃 + 𝑣𝑣𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝜃𝜃 𝜕𝜕𝜕𝜕∀𝜕𝜕𝜕𝜕

+ 𝑣𝑣𝑓𝑓𝑐𝑐𝑠𝑠𝜕𝜕𝜕𝜕

− 𝑢𝑢𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕𝜕𝜕∀𝜕𝜕𝜕𝜕

+𝜌𝜌∀𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝜃𝜃 𝜕𝜕𝑢𝑢

𝜕𝜕𝜕𝜕+ 𝜌𝜌∀𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝜃𝜃 𝜕𝜕𝑣𝑣

𝜕𝜕𝜕𝜕+ 𝜌𝜌∀ 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑠𝑠𝜕𝜕

𝜕𝜕𝜕𝜕𝑣𝑣𝜕𝜕𝜕𝜕− 𝜌𝜌∀ 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝜕𝜕

𝜕𝜕𝜕𝜕𝑢𝑢𝜕𝜕𝜕𝜕

= 0 (1) Karena aliran pipa merupakan aliran incompressible, maka 𝜌𝜌 = konstan :

𝐷𝐷𝜌𝜌∀𝐷𝐷𝑡𝑡

= 0

Jika dijabarkan, dapat ditulis sebagai : 𝜕𝜕𝜕𝜕∀𝜕𝜕𝜕𝜕

+ 𝛻𝛻𝜌𝜌𝐴𝐴.𝑈𝑈 = 0 Atau dapat dinyatakan dengan 𝜕𝜕𝜕𝜕∀𝜕𝜕𝜕𝜕

= − 𝜕𝜕𝑢𝑢𝜕𝜕𝜕𝜕𝜌𝜌𝐴𝐴𝜕𝜕𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝜃𝜃 + 𝜕𝜕𝑣𝑣

𝜕𝜕𝜕𝜕𝜌𝜌𝐴𝐴𝜕𝜕𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝜃𝜃𝜌𝜌𝜌𝜌 + 𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕𝜕𝜕𝜌𝜌𝐴𝐴𝜕𝜕𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝜃𝜃 (2)

Untuk ∀= 𝐴𝐴.𝑈𝑈. 𝑡𝑡. cos𝜃𝜃 atau ∀= 𝐴𝐴. 𝑟𝑟. cos𝜃𝜃 Dengan : ∀ = volume fluida 𝐴𝐴 = luas permukaan 𝑈𝑈 = kecepatan aliran fluida 𝑡𝑡 = waktu 𝜃𝜃 = sudut yang dibentuk oleh pipa maka : 𝜕𝜕∀𝜕𝜕𝜕𝜕

= 𝜕𝜕𝑢𝑢𝜕𝜕𝜕𝜕𝐴𝐴𝜕𝜕𝑡𝑡 −𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝜃𝜃 + 𝜕𝜕𝑣𝑣

𝜕𝜕𝜕𝜕𝐴𝐴𝜕𝜕𝑡𝑡 −𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝜃𝜃 + 𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕𝜕𝜕𝐴𝐴𝜕𝜕𝑡𝑡 −𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝜃𝜃 (3)

𝜕𝜕∀𝜕𝜕𝜕𝜕

= 𝐴𝐴𝜕𝜕𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝜃𝜃 + 𝐴𝐴𝜕𝜕𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝜃𝜃 + 𝐴𝐴𝜕𝜕𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝜃𝜃 (4)

Selanjutnya, karena pipa yang dikaji berbentuk menikung maka bentuk 𝑢𝑢 = (𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑧𝑧) diubah menjadi 𝑢𝑢 = (𝑟𝑟,𝜃𝜃, 𝑧𝑧) dalam koordinat tabung. Dengan menggunakan turunan total, maka diperoleh persamaan : 𝜕𝜕𝑢𝑢𝜕𝜕𝜕𝜕

= 𝜕𝜕𝑢𝑢𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕

+ 𝜕𝜕𝑢𝑢𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕

+ 𝜕𝜕𝑢𝑢𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕

, 𝜕𝜕𝑣𝑣𝜕𝜕𝜕𝜕

= 𝜕𝜕𝑣𝑣𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕

+ 𝜕𝜕𝑣𝑣𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕

+ 𝜕𝜕𝑣𝑣𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕

, 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕

= 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕

+ 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕

+ 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕

Dari perhitungan pada determinan jacobian sebelumnya, maka dapat ditulis 𝜕𝜕𝑢𝑢𝜕𝜕𝜕𝜕

= 𝜕𝜕𝑢𝑢𝜕𝜕𝜕𝜕𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝜃𝜃 + 𝜕𝜕𝑢𝑢

𝜕𝜕𝜕𝜕−𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝜕𝜕𝜕𝜕

, (5)

𝜕𝜕𝑣𝑣𝜕𝜕𝜕𝜕

= 𝜕𝜕𝑣𝑣𝜕𝜕𝜕𝜕𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝜃𝜃 + 𝜕𝜕𝑣𝑣

𝜕𝜕𝜕𝜕𝑓𝑓𝑐𝑐𝑠𝑠𝜕𝜕𝜕𝜕

, (6) 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕

= 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕

.

Dengan mensubstitusikan Persamaan (2) – (6) ke Persamaan (1) dan karena 𝜌𝜌 adalah densitas air, maka 𝜌𝜌 ≠ 0, sehingga persamaan kekekalan massa dapat dinyatakan sebagai berikut : 𝜕𝜕𝑢𝑢𝜕𝜕𝜕𝜕

−𝐴𝐴𝜕𝜕𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠2𝜃𝜃 − 𝐴𝐴𝜕𝜕𝑡𝑡𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝜃𝜃𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝜃𝜃𝑣𝑣𝑓𝑓𝑐𝑐𝑠𝑠𝜕𝜕𝜕𝜕

− 𝑢𝑢𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝜕𝜕𝜕𝜕

+ ∀𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝜃𝜃 +𝜕𝜕𝑢𝑢𝜕𝜕𝜕𝜕

𝐴𝐴𝜕𝜕𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝜃𝜃𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝜕𝜕𝜕𝜕

+ 𝐴𝐴𝜕𝜕𝑡𝑡𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛2𝜕𝜕𝜕𝜕

𝑣𝑣𝑓𝑓𝑐𝑐𝑠𝑠𝜕𝜕𝜕𝜕

− 𝑢𝑢𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝜕𝜕𝜕𝜕

− ∀ 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝜕𝜕𝜕𝜕

+𝜕𝜕𝑣𝑣𝜕𝜕𝜕𝜕

−𝐴𝐴𝜕𝜕𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝜃𝜃𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝜃𝜃 + ∀𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝜃𝜃 + 𝜕𝜕𝑣𝑣𝜕𝜕𝜕𝜕

−𝐴𝐴𝜕𝜕𝑓𝑓𝑐𝑐𝑠𝑠2𝜕𝜕𝜕𝜕

+ ∀ 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑠𝑠𝜕𝜕𝜕𝜕

+𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕

−𝐴𝐴𝜕𝜕𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝜃𝜃 − 𝐴𝐴𝜕𝜕𝑡𝑡𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝜃𝜃𝑣𝑣𝑓𝑓𝑐𝑐𝑠𝑠𝜕𝜕𝜕𝜕

− 𝑢𝑢𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝜕𝜕𝜕𝜕

+𝑢𝑢𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝜃𝜃 + 𝑣𝑣𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝜃𝜃 𝐴𝐴𝜕𝜕𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝜃𝜃 + 𝐴𝐴𝜕𝜕𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝜃𝜃 + 𝐴𝐴𝜕𝜕𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝜃𝜃 = 0

2. Persamaan Kekekalan Momentum Berdasarkan rumus yang tertulis pada Tugas Akhir “Kajian Karakteristik Sedimentasi di Pertemuan Dua Sungai Menggunakan Metode Meshles Local Petrov-Galerkin dan Simulasi Fluent” (Sholikin,M. 2011), diperoleh persamaan kekekalan momentum sebagai berikut :

𝜌𝜌∀𝑈𝑈 𝜕𝜕𝑣𝑣𝜕𝜕𝜕𝜕

+ 𝑣𝑣 𝜕𝜕𝜕𝜕∀𝑑𝑑𝜕𝜕𝜕𝜕

+ 𝜌𝜌∀𝑈𝑈𝑢𝑢 𝜕𝜕𝑣𝑣𝜕𝜕𝜕𝜕

+ 𝜌𝜌∀𝑈𝑈𝑣𝑣 𝜕𝜕𝑢𝑢𝜕𝜕𝜕𝜕

𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝜃𝜃 + 𝜌𝜌∀𝑈𝑈𝑢𝑢 𝜕𝜕𝑣𝑣𝜕𝜕𝜕𝜕

+ 𝜌𝜌∀𝑈𝑈𝑣𝑣 𝜕𝜕𝑢𝑢𝜕𝜕𝜕𝜕

𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝜕𝜕𝜕𝜕

+

𝑢𝑢𝑣𝑣𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝜃𝜃 𝜕𝜕𝜕𝜕∀𝑑𝑑𝜕𝜕𝜕𝜕

− 𝑢𝑢𝑣𝑣𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕𝜕𝜕∀𝑑𝑑𝜕𝜕𝜕𝜕

+ 2𝜌𝜌∀𝑈𝑈𝑣𝑣𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝜃𝜃 𝜕𝜕𝑣𝑣𝜕𝜕𝜕𝜕− 2𝜌𝜌∀𝑈𝑈 𝑣𝑣𝑓𝑓𝑐𝑐𝑠𝑠𝜕𝜕

𝜕𝜕𝜕𝜕𝑣𝑣𝜕𝜕𝜕𝜕

+ 𝑣𝑣2𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝜃𝜃 𝜕𝜕𝜕𝜕∀𝑑𝑑𝜕𝜕𝜕𝜕

+

𝑣𝑣2𝑓𝑓𝑐𝑐𝑠𝑠𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕𝜕𝜕∀𝑑𝑑𝜕𝜕𝜕𝜕

= − 𝑔𝑔𝜌𝜌∀𝑈𝑈𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝜃𝜃 𝜕𝜕𝜕𝜕∀𝑑𝑑𝜕𝜕𝜕𝜕

− 𝑔𝑔𝜕𝜕∀𝑑𝑑𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕𝜕𝜕∀𝑑𝑑𝜕𝜕𝜕𝜕

+ 𝑔𝑔𝜌𝜌∀𝑈𝑈𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝜃𝜃 𝜕𝜕𝜕𝜕∀𝑑𝑑𝜕𝜕𝜕𝜕

+ 𝑔𝑔𝜕𝜕∀𝑑𝑑𝑓𝑓𝑐𝑐𝑠𝑠𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕𝜕𝜕∀𝑑𝑑𝜕𝜕𝜕𝜕

+

𝑔𝑔 𝜌𝜌∀𝑈𝑈 2(𝑆𝑆𝜕𝜕 + 𝑆𝑆𝜕𝜕) (7)

dengan : 𝜌𝜌 = massa jenis air ∀ = volume air 𝑢𝑢 = kecepatan aliran pipa pada sumbu x 𝑣𝑣 = kecepatan aliran pipa pada sumbu y 𝑔𝑔 = percepatan gravitasi 𝑟𝑟 = jari – jari pipa 𝑆𝑆𝜕𝜕 = kemiringan dasar saluran pada sumbu x 𝑆𝑆𝜕𝜕 = kemiringan dasar saluran pada sumbu y

a. Persamaan Kekekalan Momentum pada Arah Sumbu x Pada aliran incompressible berlaku

𝐷𝐷𝜌𝜌∀𝑢𝑢𝐷𝐷𝑡𝑡

= 𝐹𝐹

Jika dijabarkan dapat ditulis sebagai 𝜕𝜕𝜕𝜕∀𝑢𝑢𝜕𝜕𝜕𝜕

+ 𝛻𝛻𝜌𝜌𝐴𝐴.𝑈𝑈.𝑢𝑢 = 𝐹𝐹

Atau dapat dinyatakan dengan 𝜕𝜕𝜕𝜕∀𝑢𝑢𝜕𝜕𝜕𝜕

= 𝐹𝐹 − 𝜕𝜕𝑢𝑢𝜕𝜕𝜕𝜕𝜌𝜌𝐴𝐴𝜕𝜕𝑢𝑢𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝜃𝜃 + 𝜕𝜕𝑣𝑣

𝜕𝜕𝜕𝜕𝜌𝜌𝐴𝐴𝜕𝜕𝑢𝑢𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝜃𝜃 + 𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕𝜕𝜕𝜌𝜌𝐴𝐴𝜕𝜕𝑢𝑢𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝜃𝜃 (8)

Dengan mensubstitusikan Persamaan (2) – (6) dan Persamaan (8) ke Persamaan (7), maka diperoleh persamaan kekekalan momentum ke arah sumbu x sebagai berikut : ∀𝑢𝑢 𝜕𝜕𝑣𝑣

𝜕𝜕𝜕𝜕+

𝜕𝜕𝑢𝑢𝜕𝜕𝜕𝜕

−𝑢𝑢𝑣𝑣𝐴𝐴𝜕𝜕𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠2𝜃𝜃 + 2∀𝑢𝑢𝑣𝑣𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝜃𝜃 + 𝑢𝑢2𝑣𝑣𝜕𝜕

+ 𝑔𝑔𝜕𝜕∀𝑢𝑢2

𝜕𝜕𝐴𝐴𝜕𝜕𝑡𝑡𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝜃𝜃𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛2𝜃𝜃 + ∀𝑣𝑣2𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝜃𝜃 + −𝑔𝑔𝜕𝜕∀𝑢𝑢2

𝜕𝜕− 𝑢𝑢𝑣𝑣2

𝜕𝜕𝐴𝐴𝜕𝜕𝑡𝑡𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠2𝜃𝜃𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝜃𝜃 + 𝑔𝑔𝜌𝜌∀2𝑢𝑢 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝜃𝜃 + 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝜃𝜃 +

𝜕𝜕𝑢𝑢𝜕𝜕𝜕𝜕

𝑢𝑢𝑣𝑣𝜕𝜕𝐴𝐴𝜕𝜕𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝜃𝜃𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝜃𝜃 + −𝑔𝑔𝜕𝜕∀𝑢𝑢2

𝜕𝜕2− 𝑢𝑢2𝑣𝑣

𝜕𝜕2𝐴𝐴𝜕𝜕𝑡𝑡𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛3𝜃𝜃 + ∀ 𝑣𝑣2𝑓𝑓𝑐𝑐𝑠𝑠𝜕𝜕

𝜕𝜕+ 𝑢𝑢𝑣𝑣2

𝜕𝜕2+ 𝑔𝑔𝜕𝜕∀𝑢𝑢2

𝜕𝜕2𝐴𝐴𝜕𝜕𝑡𝑡𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝜃𝜃𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛2𝜃𝜃 + 𝑔𝑔𝜕𝜕∀2𝑢𝑢

𝜕𝜕𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝜃𝜃 + 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝜃𝜃 +

𝜕𝜕𝑣𝑣𝜕𝜕𝜕𝜕

−𝑢𝑢𝑣𝑣𝐴𝐴𝜕𝜕𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝜃𝜃𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝜃𝜃 + ∀𝑢𝑢2𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝜃𝜃 + 𝑢𝑢𝑣𝑣𝜕𝜕

+ 𝑔𝑔𝜕𝜕∀𝑢𝑢2

𝜕𝜕𝐴𝐴𝜕𝜕𝑡𝑡𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛3𝜃𝜃 + 2∀𝑢𝑢𝑣𝑣𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝜃𝜃 + −𝑔𝑔𝜕𝜕∀𝑢𝑢2

𝜕𝜕− 𝑢𝑢𝑣𝑣2

𝜕𝜕𝐴𝐴𝜕𝜕𝑡𝑡𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝜃𝜃𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛2𝜃𝜃 +

𝜕𝜕𝑣𝑣𝜕𝜕𝜕𝜕

− 𝑢𝑢𝑣𝑣𝜕𝜕𝐴𝐴𝜕𝜕𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠2𝜃𝜃 + ∀𝑢𝑢2 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝜕𝜕

𝜕𝜕+ 𝑢𝑢2𝑣𝑣

𝜕𝜕2+ 𝑔𝑔𝜕𝜕∀𝑢𝑢2

𝜕𝜕2𝐴𝐴𝜕𝜕𝑡𝑡𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝜃𝜃𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛2𝜃𝜃 − 2∀𝑢𝑢 𝑣𝑣𝑓𝑓𝑐𝑐𝑠𝑠𝜕𝜕

𝜕𝜕+ −𝑔𝑔𝜕𝜕∀𝑢𝑢2

𝜕𝜕2− 𝑢𝑢𝑣𝑣2

𝜕𝜕2𝐴𝐴𝜕𝜕𝑡𝑡𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠2𝜃𝜃𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝜃𝜃 +

𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕

−𝑢𝑢𝑣𝑣𝐴𝐴𝜕𝜕𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝜃𝜃 + 𝑢𝑢2𝑣𝑣𝜕𝜕

+ 𝑔𝑔𝜕𝜕∀𝑢𝑢2

𝜕𝜕𝐴𝐴𝜕𝜕𝑡𝑡𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛2𝜃𝜃 + −𝑔𝑔𝜕𝜕∀𝑢𝑢2

𝜕𝜕− 𝑢𝑢𝑣𝑣2

𝜕𝜕𝐴𝐴𝜕𝜕𝑡𝑡𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝜃𝜃𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝜃𝜃 +

𝑣𝑣𝐹𝐹 + 𝑢𝑢2𝑣𝑣𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝜃𝜃 + 𝑢𝑢𝑣𝑣2𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝜃𝜃 + 𝑔𝑔𝜌𝜌∀𝑢𝑢2𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝜃𝜃 − 𝑔𝑔𝜌𝜌∀𝑢𝑢2𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝜃𝜃 𝐴𝐴𝜕𝜕𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝜃𝜃 + 𝐴𝐴𝜕𝜕𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝜃𝜃 + 𝐴𝐴𝜕𝜕𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝜃𝜃 − 𝑔𝑔 ∀𝑢𝑢 2 𝑆𝑆𝜕𝜕 + 𝑆𝑆𝜕𝜕 = 0

b. Persamaan Kekekalan Momentum Pada Arah Sumbu 𝑦𝑦 Seperti halnya pada arah sumbu 𝑥𝑥, berlaku

𝜕𝜕𝜕𝜕∀𝑣𝑣𝜕𝜕𝜕𝜕

+ 𝛻𝛻𝜌𝜌𝐴𝐴.𝑈𝑈.𝑣𝑣 = 𝐹𝐹

Jika dijabarkan dapat ditulis sebagai 𝜕𝜕𝜕𝜕∀𝑣𝑣𝜕𝜕𝜕𝜕

= 𝐹𝐹 − 𝜕𝜕𝑢𝑢𝜕𝜕𝜕𝜕𝜌𝜌𝐴𝐴𝜕𝜕𝑣𝑣𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝜃𝜃 + 𝜕𝜕𝑣𝑣

𝜕𝜕𝜕𝜕𝜌𝜌𝐴𝐴𝜕𝜕𝑣𝑣𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝜃𝜃 + 𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕𝜕𝜕𝜌𝜌𝐴𝐴𝜕𝜕𝑣𝑣𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝜃𝜃 (9)

Dengan mensubstitusikan Persamaan (2) – (6) dan Persamaan (9) ke Persamaan (7), maka diperoleh persamaan kekekalan momentum ke arah sumbu y sebagai berikut :

∀𝑣𝑣 𝜕𝜕𝑣𝑣𝜕𝜕𝜕𝜕

+ 𝜕𝜕𝑢𝑢𝜕𝜕𝜕𝜕

−𝑣𝑣2𝐴𝐴𝜕𝜕𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠2𝜃𝜃 + ∀𝑣𝑣2𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝜃𝜃 + 𝑢𝑢𝑣𝑣2

𝜕𝜕+ 𝑔𝑔𝜕𝜕∀𝑣𝑣2

𝜕𝜕𝐴𝐴𝜕𝜕𝑡𝑡𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝜃𝜃𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛2𝜃𝜃 + −𝑔𝑔𝜕𝜕∀𝑣𝑣2

𝜕𝜕− 𝑣𝑣3

𝜕𝜕𝐴𝐴𝜕𝜕𝑡𝑡𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠2𝜃𝜃𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝜃𝜃 +

𝜕𝜕𝑢𝑢𝜕𝜕𝜕𝜕

𝑣𝑣2

𝜕𝜕𝐴𝐴𝜕𝜕𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝜃𝜃𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝜃𝜃 + ∀𝑣𝑣2

𝜕𝜕𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝜃𝜃 + −𝑔𝑔𝜕𝜕∀𝑣𝑣2

𝜕𝜕2− 𝑢𝑢𝑣𝑣2

𝜕𝜕2𝐴𝐴𝜕𝜕𝑡𝑡𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛3𝜃𝜃 + 𝑣𝑣3

𝜕𝜕2+ 𝑔𝑔𝜕𝜕∀𝑣𝑣2

𝜕𝜕2𝐴𝐴𝜕𝜕𝑡𝑡𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝜃𝜃𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛2𝜃𝜃 +

𝜕𝜕𝑣𝑣𝜕𝜕𝜕𝜕

−𝑣𝑣2𝐴𝐴𝜕𝜕𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝜃𝜃𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝜃𝜃 + 2∀𝑢𝑢𝑣𝑣𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝜃𝜃 + 𝑢𝑢𝑣𝑣2

𝜕𝜕+ 𝑔𝑔𝜕𝜕∀𝑣𝑣2

𝜕𝜕𝐴𝐴𝜕𝜕𝑡𝑡𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛3𝜃𝜃 + 3∀𝑣𝑣2𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝜃𝜃 + −𝑔𝑔𝜕𝜕∀𝑣𝑣2

𝜕𝜕− 𝑣𝑣3

𝜕𝜕𝐴𝐴𝜕𝜕𝑡𝑡𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝜃𝜃𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛2𝜃𝜃 + 𝑔𝑔𝜌𝜌∀2𝑣𝑣 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝜃𝜃 + 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝜃𝜃 +

𝜕𝜕𝑣𝑣𝜕𝜕𝜕𝜕

− 𝑣𝑣2

𝜕𝜕𝐴𝐴𝜕𝜕𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠2𝜃𝜃 + 𝑢𝑢𝑣𝑣2

𝜕𝜕2+ 𝑔𝑔𝜕𝜕∀𝑣𝑣2

𝜕𝜕2𝐴𝐴𝜕𝜕𝑡𝑡𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝜃𝜃𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛2𝜃𝜃 − ∀ 𝑣𝑣2𝑓𝑓𝑐𝑐𝑠𝑠𝜕𝜕

𝜕𝜕+ −𝑔𝑔𝜕𝜕∀𝑣𝑣2

𝜕𝜕2− 𝑣𝑣3

𝜕𝜕2𝐴𝐴𝜕𝜕𝑡𝑡𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠2𝜃𝜃𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝜃𝜃 + 𝑔𝑔𝜕𝜕∀2𝑣𝑣

𝜕𝜕𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝜃𝜃 − 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝜃𝜃 +

𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕

−𝑣𝑣2𝐴𝐴𝜕𝜕𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝜃𝜃 + 𝑢𝑢𝑣𝑣2

𝜕𝜕− 𝑔𝑔𝜕𝜕∀𝑣𝑣2

𝜕𝜕𝐴𝐴𝜕𝜕𝑡𝑡𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛2𝜃𝜃 + 𝑔𝑔𝜕𝜕∀𝑣𝑣2

𝜕𝜕− 𝑣𝑣3

𝜕𝜕𝐴𝐴𝜕𝜕𝑡𝑡𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝜃𝜃𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝜃𝜃 +

𝑣𝑣𝐹𝐹 + 𝑢𝑢𝑣𝑣2𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝜃𝜃 + 𝑣𝑣3𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝜃𝜃 + 𝑔𝑔𝜌𝜌∀𝑣𝑣2 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝜃𝜃 + 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝜃𝜃 𝐴𝐴𝜕𝜕𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝜃𝜃 + 𝐴𝐴𝜕𝜕𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝜃𝜃 + 𝐴𝐴𝜕𝜕𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝜃𝜃 − 𝑔𝑔 ∀𝑣𝑣 2 𝑆𝑆𝜕𝜕 + 𝑆𝑆𝜕𝜕 = 0

c. Persamaan Kekekalan Momentum pada Arah Sumbu 𝑧𝑧 Seperti halnya pada arah sumbu 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑦𝑦, berlaku

𝜕𝜕𝜕𝜕∀𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕

+ 𝛻𝛻𝜌𝜌𝐴𝐴.𝑈𝑈.𝑤𝑤 = 𝐹𝐹

Jika dijabarkan dapat ditulis sebagai 𝜕𝜕∀𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕

= 𝐹𝐹 − 𝜕𝜕𝑢𝑢𝜕𝜕𝜕𝜕𝐴𝐴𝜕𝜕𝑤𝑤𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝜃𝜃 + 𝜕𝜕𝑣𝑣

𝜕𝜕𝜕𝜕𝐴𝐴𝜕𝜕𝑤𝑤𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝜃𝜃 + 𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕𝜕𝜕𝐴𝐴𝜕𝜕𝑤𝑤𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝜃𝜃 (10)

Dengan mensubstitusikan Persamaan (2) – (6) dan Persamaan (10) ke Persamaan (7), maka diperoleh persamaan kekekalan momentum ke arah sumbu z sebagai berikut :

∀𝑤𝑤 𝜕𝜕𝑣𝑣𝜕𝜕𝜕𝜕

+ 𝜕𝜕𝑢𝑢𝜕𝜕𝜕𝜕

−𝑣𝑣𝑤𝑤𝐴𝐴𝜕𝜕𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠2𝜃𝜃 + ∀𝑤𝑤𝑣𝑣𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝜃𝜃 + 𝑢𝑢𝑣𝑣𝜕𝜕𝜕𝜕

+ 𝜕𝜕𝑔𝑔∀𝜕𝜕2

𝜕𝜕𝐴𝐴𝜕𝜕𝑡𝑡𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝜃𝜃𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛2𝜃𝜃 + −𝑣𝑣2𝜕𝜕

𝜕𝜕− 𝜕𝜕𝑔𝑔∀𝜕𝜕2

𝜕𝜕𝐴𝐴𝜕𝜕𝑡𝑡𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠2𝜃𝜃𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝜃𝜃 +

𝜕𝜕𝑢𝑢𝜕𝜕𝜕𝜕

𝑣𝑣𝜕𝜕𝜕𝜕𝐴𝐴𝜕𝜕𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝜃𝜃𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝜃𝜃 + ∀𝑣𝑣𝑤𝑤 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝜕𝜕

𝜕𝜕+ −𝑢𝑢𝑣𝑣𝜕𝜕

𝜕𝜕2− 𝜕𝜕𝑔𝑔∀𝜕𝜕2

𝜕𝜕2𝐴𝐴𝜕𝜕𝑡𝑡𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛3𝜃𝜃 + 𝑣𝑣2𝜕𝜕

𝜕𝜕2+ 𝜕𝜕𝑔𝑔∀𝜕𝜕2

𝜕𝜕2𝐴𝐴𝜕𝜕𝑡𝑡𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝜃𝜃𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛2𝜃𝜃 +

𝜕𝜕𝑣𝑣𝜕𝜕𝜕𝜕

−𝑣𝑣𝑤𝑤𝐴𝐴𝜕𝜕𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝜃𝜃𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝜃𝜃 + ∀𝑢𝑢𝑤𝑤𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝜃𝜃 + 2∀𝑣𝑣𝑤𝑤𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝜃𝜃 + 𝑢𝑢𝑣𝑣𝜕𝜕𝜕𝜕

+ 𝜕𝜕𝑔𝑔∀𝜕𝜕2

𝜕𝜕𝐴𝐴𝜕𝜕𝑡𝑡𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛3𝜃𝜃 + −𝑣𝑣2𝜕𝜕

𝜕𝜕− 𝜕𝜕𝑔𝑔∀𝜕𝜕2

𝜕𝜕𝐴𝐴𝜕𝜕𝑡𝑡𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝜃𝜃𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛2𝜃𝜃 +

𝜕𝜕𝑣𝑣𝜕𝜕𝜕𝜕

− 𝑣𝑣𝜕𝜕𝜕𝜕𝐴𝐴𝜕𝜕𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠2𝜃𝜃 + +∀𝑢𝑢𝑤𝑤 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝜕𝜕

𝜕𝜕− 2∀𝑣𝑣𝑤𝑤 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑠𝑠𝜕𝜕

𝜕𝜕+ 𝑢𝑢𝑣𝑣𝜕𝜕

𝜕𝜕2+ 𝜕𝜕𝑔𝑔∀𝜕𝜕2

𝜕𝜕2𝐴𝐴𝜕𝜕𝑡𝑡𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝜃𝜃𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛2𝜃𝜃 + − 𝑣𝑣2𝜕𝜕

𝜕𝜕2− 𝜕𝜕𝑔𝑔∀𝜕𝜕2

𝜕𝜕2𝐴𝐴𝜕𝜕𝑡𝑡𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠2𝜃𝜃𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝜃𝜃 +

𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕

∀𝑢𝑢𝑣𝑣𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝜃𝜃 + ∀𝑣𝑣2𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝜃𝜃 + 𝜌𝜌𝑔𝑔∀2𝑤𝑤 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝜃𝜃 + 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝜃𝜃 + 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕

∀𝑣𝑣2 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑠𝑠𝜕𝜕𝜕𝜕

+ 𝜌𝜌𝑔𝑔∀2𝑤𝑤 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑠𝑠𝜕𝜕𝜕𝜕

− 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝜕𝜕𝜕𝜕

+𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕

−𝑣𝑣𝑤𝑤𝐴𝐴𝜕𝜕𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝜃𝜃 + 𝑢𝑢𝑣𝑣𝜕𝜕𝜕𝜕

+ 𝜕𝜕𝑔𝑔∀𝜕𝜕2

𝜕𝜕𝐴𝐴𝜕𝜕𝑡𝑡𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛2𝜃𝜃 + −𝑣𝑣2𝜕𝜕

𝜕𝜕− 𝜕𝜕𝑔𝑔∀𝜕𝜕2

𝜕𝜕𝐴𝐴𝜕𝜕𝑡𝑡𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝜃𝜃𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝜃𝜃 +

𝑣𝑣𝐹𝐹 + 𝑢𝑢𝑣𝑣𝑤𝑤𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝜃𝜃 + 𝑣𝑣2𝑤𝑤𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝜃𝜃 + 𝜌𝜌𝑔𝑔∀𝑤𝑤2 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝜃𝜃 + 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝜃𝜃 𝐴𝐴𝜕𝜕𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝜃𝜃 + 𝐴𝐴𝜕𝜕𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝜃𝜃 + 𝐴𝐴𝜕𝜕𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝜃𝜃 − 𝑔𝑔 ∀𝑤𝑤 2 𝑆𝑆𝜕𝜕 + 𝑆𝑆𝜕𝜕 = 0

B. Penyelesaian Numerik Berdasarkan rumus yang tertulis pada Tugas Akhir “Kajian Karakteristik Sedimentasi di Pertemuan Dua Sungai Menggunakan Metode Meshles Local Petrov-Galerkin dan Simulasi Fluent” (Sholikin,M. 2011), persamaan kekekalan massa yang berlaku pada pipa yang alirannya menikung adalah sebagai berikut :

𝜕𝜕ℎ𝜕𝜕𝑡𝑡

+𝜕𝜕ℎ𝑢𝑢𝜕𝜕𝑥𝑥

+𝜕𝜕ℎ𝑣𝑣𝜕𝜕𝑦𝑦

= 0

karena ℎ = konstan, maka persamaan tersebut dapat ditulis :

𝜕𝜕𝑢𝑢𝜕𝜕𝜕𝜕

+ 𝜕𝜕𝑣𝑣𝜕𝜕𝜕𝜕

= 0

dapat ditulis dengan,

𝜕𝜕𝑢𝑢𝜕𝜕𝜕𝜕

= − 𝜕𝜕𝑣𝑣𝜕𝜕𝜕𝜕

(11)