Oleh: Adhi Kurniawan

SEKOLAH TINGGI ILMU STATISTIK

PERTEMUAN 11-MPC 2 PRAKTIK

Penentuan Ukuran Sampel Pada Two Stage Sampling

Ukuran Sampel

Biaya (Cost)

Varians

dipengaruhi oleh

Tujuan Survei: Menduga karakteristik populasi dengan presisi yang baik (varians kecil) dan biaya sekecil mungkin. Varians kecil ukuran sampel besar biaya besar Biaya kecil ukuran sampel kecil varians besar

Oleh karena itu, penentuan ukuran sampel harus memperhitungkan fungsi biaya dan fungsi varians agar diperoleh ukuran sampel yang optimum

Penentuan ukuran sampel dapat dilakukan dengan 2 kondisi: 1. Fixed cost (biaya ditetapkan) Dengan biaya tertentu yang ditetapkan (tersedia), ditentukan ukuran sampel yang meminimumkan varians 2. Fixed varians (varians ditetapkan) Dengan besarnya varians ditetapkan, ditentukan ukuran sampel yang meminimumkan biaya

› Fungsi Biaya 𝐶 = 𝑐1𝑛 + 𝑐2𝑛𝑚

𝐶: biaya total yang dipengarugi oleh besar sampel

𝑐1 : rata-rata biaya per psu

𝑐2 : rata-rata biaya per ssu

𝑛 : jumlah sampel psu

𝑚 : rata-rata jumlah sampel ssu per psu

› Fungsi Varians

𝑉 =𝑉1𝑛+𝑉2𝑛𝑚

𝑉1 : varians pada pengambilan sampel tahap pertama

𝑉2 : varians pada pengambilan sampel tahap kedua

Penentuan Ukuran Sampel Pada Two Stage Sampling

Equal PSU Size

› Jika jumlah ssu untuk masing-masing psu sama (𝑀𝑖 = 𝑀)dan penarikan sampel tahap pertama dilakukan secara SRS sebanyak 𝑛 dari 𝑁 unit psu , selanjutnya pada tahap kedua dilakukan pengambilan sampel sebanyak 𝑚 dari 𝑀 unit ssu secara SRS maka:

𝑉 =𝑉1𝑛+𝑉2𝑛𝑚

𝑉 𝑦 =1 − 𝑓1𝑛𝑆12 +1 − 𝑓2𝑛𝑚𝑆22 =1

𝑛𝑆𝑢2 +1

𝑛𝑚𝑆22 −1

𝑁𝑆12

Keterangan:

𝑓1 =𝑛

𝑁

𝑓2 =𝑚

𝑀

𝑆12 =

1

𝑁 − 1 𝑌 𝑖 − 𝑌

2𝑁

𝑖=1

→ 𝑑𝑖𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑠𝑖 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑠12 =

1

𝑛 − 1 𝑦 𝑖 − 𝑦

2

𝑛

𝑖=1

𝑆22 =

1

𝑁(𝑀 − 1) 𝑌𝑖𝑗 − 𝑌 𝑖

2𝑀

𝑗=1

𝑁

𝑖=1

→ 𝑑𝑖𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑠𝑖 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑠22 =

1

𝑛(𝑚 − 1) 𝑦𝑖𝑗 − 𝑦 𝑖

2𝑚

𝑗=1

𝑛

𝑖=1

𝑆𝑢2 = 𝑆1

2 −1

𝑀𝑆22 → 𝑑𝑖𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑠𝑖 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑠𝑢

2 = 𝑠12 −1

𝑀𝑠22

Penentuan Ukuran Sampel Pada Two Stage Sampling

Equal PSU Size

› Fixed cost:

Ukuran sampel yang optimum:

𝑈𝑘𝑢𝑟𝑎𝑛 𝑠𝑎𝑚𝑝𝑒𝑙 𝑡𝑎ℎ𝑎𝑝 𝑘𝑒𝑑𝑢𝑎 → 𝑚0 =𝑉2𝑐1

𝑉1𝑐2=𝑆2𝑆𝑢

𝑐1𝑐2

Atau

𝑚0 =(1 − 𝜌)

𝜌

𝑐1𝑐2 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝜌 > 0 ; 𝑚0 = 𝑀 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝜌 ≤ 0

𝑈𝑘𝑢𝑟𝑎𝑛 𝑠𝑎𝑚𝑝𝑒𝑙 𝑡𝑎ℎ𝑎𝑝 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑎𝑚𝑎 → 𝑛0 =𝐶𝑉1𝑐1

𝑉1𝑐1 + 𝑉2𝑐2=

𝐶

𝑐1 + 𝑐2𝑚0

𝐶: biaya yang dipengaruhi oleh ukuran sampel (𝐶 = 𝐶𝑇 − 𝐶0)

𝐶𝑇 : biaya total yang tersedia

𝐶0 : overhead cost (biaya tetap, tidak dipengaruhi oleh ukuran sampel)

Penentuan Ukuran Sampel Pada Two Stage Sampling

Catatan:

𝑆12 ≅1

𝑀𝑆2 1 + 𝑀 − 1 𝜌

𝑆22 ≅ 𝑆2 1 − 𝜌 𝑆𝑢2 ≅ 𝑆2𝜌

Equal PSU Size

› Fixed varians:

Ukuran sampel yang optimum:

𝑈𝑘𝑢𝑟𝑎𝑛 𝑠𝑎𝑚𝑝𝑒𝑙 𝑡𝑎ℎ𝑎𝑝 𝑘𝑒𝑑𝑢𝑎 → 𝑚0 =𝑉2𝑐1

𝑉1𝑐2=𝑆2𝑆𝑢

𝑐1𝑐2

Atau

𝑚0 =(1 − 𝜌)

𝜌

𝑐1𝑐2 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝜌 > 0 ; 𝑚0 = 𝑀 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝜌 ≤ 0

𝑈𝑘𝑢𝑟𝑎𝑛 𝑠𝑎𝑚𝑝𝑒𝑙 𝑡𝑎ℎ𝑎𝑝 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑎𝑚𝑎 → 𝑛0 =𝑉1𝑐1 + 𝑉2𝑐2

𝑉𝑐1𝑉1

𝑉: besarnya varians yang ditetapkan

Penentuan Ukuran Sampel Pada Two Stage Sampling

Tentukan jumlah sampel ssu yang optimum dan isikan pada tabel berikut (Asumsi: Fixed Cost, 𝑪 = 𝟒𝟎𝟎𝟎, 𝒄𝟐 = 𝟏)

Berdasarkan tabel di atas, tentukan jumlah sampel psu yang optimum dan isikan pada tabel di berikut

Penentuan Ukuran Sampel Pada Two Stage Sampling

𝒄𝟏𝒄𝟐 Koefisien korelasi Intraklaster 𝝆

0,01 0,03 0,05 0,08 0,10

2 … … … … …

3 … … … … …

5 … … … … …

7 … … … … …

10 … … … … …

𝒄𝟏𝒄𝟐 Koefisien korelasi Intraklaster 𝝆

0,01 0,03 0,05 0,08 0,10

2 … … … … …

3 … … … … …

5 … … … … …

7 … … … … …

10 … … … … …

𝑚0

𝑛0

Latihan:

Suatu perkebunan jeruk terdiri dari 500 petak, masing-masing petak memuat 10 pohon jeruk. Suatu pilot survei dilakukan dengan mengambil sampel sebanyak 5 petak secara SRS WOR, kemudian pada tahap kedua dilakukan pengambilan sampel sebanyak 4 pohon jeruk dari tiap petak terpilih. Data jumlah buah jeruk pada pohon dan petak terpilih sebagai berikut:

Jika untuk survei mendatang, biaya yang tersedia adalah 12.000, biaya tetapnya diperkirakan sebesar 2000, biaya observasi tiap pohon sebesar 3, dan biaya observasi tiap petak sebesar 24, tentukan ukuran sampel yang optimum untuk survei mendatang !

Penentuan Ukuran Sampel Pada Two Stage Sampling

Petak Pohon

1 2 3 4

1 15 12 18 15

2 20 24 26 30

3 24 18 22 10

4 16 14 18 12

5 18 20 24 28

Unequal PSU Size

› Fungsi Varians

𝑉 =𝑉1𝑛+𝑉2𝑛𝑚

𝑉1 : varians pada pengambilan sampel tahap pertama

𝑉1 = 𝑁2𝑆𝑏2 , bila penarikan sampel tahap pertama SRS

𝑉1 = 𝑌𝑖2

𝜋𝑖− 𝑌2 , bila penarikan sampel tahap pertama PPS

𝑁

𝑖=1

𝑉2 : varians pada pengambilan sampel tahap kedua

𝑉2 = 𝑀𝑖2𝑆𝑖2 =𝑁

𝑛 𝑀𝑖2𝑆𝑖2

𝑚𝑖

𝑁

𝑖=1

, bila penarikan sampel tahap kedua SRS

𝑁

𝑖=1

𝑉2 = 1

𝜋𝑖 𝑌𝑖𝑗2

𝜋𝑖𝑗− 𝑌𝑖2

𝑀𝑖

𝑗=1

, bila penarikan sampel tahap kedua PPS

𝑁

𝑖=1

Penentuan Ukuran Sampel Pada Two Stage Sampling

Fixed Cost

› Ukuran sampel optimum dengan kendala varians minimum (diusahakan sekecil mungkin dengan

biaya telah ditentukan) adalah sebagai sebagai berikut :

𝑚0 =𝑉2𝑐1

𝑉1𝑐2 dan 𝑛0 =

𝐶𝑉1𝑐1

𝑉1𝑐1 + 𝑉2𝑐2 ; 𝐶 ditentukan

Fixed varians

› Bila varians (tingkat presisi), misalnya 𝑉 telah ditetapkan, maka ukuran yang optimum adalah:

𝑚0 =𝑉2𝑐1

𝑉1𝑐2 𝑑𝑎𝑛 𝑛0 =

𝑉1𝑐1 + 𝑉2𝑐2

𝑉𝑐1𝑉1

› Ukuran sampel tahap kedua yang optimum dapat juga dinyatakan dalam kaitannya dengan intra-

class correlation (rho), yaitu :

𝑚0 =𝑐1

𝑐2

1−𝜌

𝜌

Penentuan Ukuran Sampel Pada Two Stage Sampling

LATIHAN

It is proposed to estimate the average household expenditure per week on durable goods in a area containing 500 villages. A sample of n villages is to be selected with replacement proportional to the number of households in the village. From a selected village 𝑚 households selected at random are to be asked to report expenditure on durable goods. A preliminary estimate of the mean is known to be 30 drachmas. The variance of the sample average is given by

𝑉 =128

𝑛+1500

𝑛𝑚

The cost function is known to be 350 = 2𝑛 + 𝑛𝑚. Find the values of 𝑛 and 𝑚 which minimize the variance for the specified cost. Calculate the minimum variance.

TERIMA KASIH Have A Nice Sampling