mvcal-BAB3.pdf

Diktat ini disusun berdasarkan “Calculus III” oleh Paul Dawkins, Lamar University dengan penyesuaian berupa penerjemahan, pengurangan dan penambahan dari sumber-sumber lainnya.

DIKTAT KULIAH

KALKULUS PEUBAH BANYAK

(IE-308)

BAB 3 TURUNAN PARSIAL

Diktat ini digunakan bagi mahasiswa

Jurusan Teknik Industri Fakultas Teknik

Universitas Kristen Maranatha

Ir. Rudy Wawolumaja M.Sc

JURUSAN TEKNIK INDUSTRI - FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS KRISTEN MARANATHA

BANDUNG

2012

Rudy Wawolumaja Multivariable Calculus UK Maranatha 2012

Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 44 KALKULUS PEUBAH BANYAK

BAB 3 TURUNAN PARSIAL

3.1. Limit

Dalam fungsi peubah tunggal, dikatakan :

jika,

Dimana,

Adalah limit sebelah kanan dan nilai x ditinjau hanya untuk nilai x yang lebih besar dari a.

Demikian juga,

Adalah limit sebelah kiri dilihat hanya untuk nilai x yang lebih kecil dari a.

Dengan kata lain kita akan mendapatkan bila mendekati L bila x

bergerak menuju (sangat mendekati namun tidak sampai mencapai ) dari kedua

arah (kiri & kanan).

Untuk fungsi peubah ganda, konsepnya sama, hanya proses pengerjaannya agak lebih

panjang dan rumit. Untuk notasi ditetapkan sbb. :

Misal ingin didapat limit dari fungsi dimana x mendekati a dan y mendekati b.

Dapat dituliskan dengan notasi sbb.:

Dalam kuliah dan buku ini akan digunakan notasi yang kedua.

Dengan mencari limit fungsi peubah ganda berarti mencari nilai bila titik

bergerak makin dekat dan lebih dekat lagi ke titik sedemikian sangat mendekati

namun tidak sampai mencapai . Dan seperti konsep limit pada fungsi peubah tunggal,

maka agar suatu limit ada maka fungsi tersebut mencapai suatu nilai yang sama dari segala

arah pendekatan yang ditempuh menuju . Masalahnya bila pada limit fungsi peubah

tunggal hanya ada 2 arah yaitu kiri dan kanan untuk mencapai batas x, maka pada fungsi

peubah ganda/dua ada banyak sekali bahkan tak hingga cara untuk menuju .

Gambar 3.1.



Dengan kata lain, untuk menunjukkan apakah limit suatu fungsi peubah ganda ada atau tidak

secara teknis perlu di cek melalui cara yang tak berhingga. Tetapi dengan menggunakan

konsep kontinuitas / kesinambungan fungsi hal tersebut tidak perlu dilakukan.

Definisi

Suatu fungsi adalah kontinu/sinambung pada titik jika,

Sehingga apabila diketahui suatu fungsi tidak kontinu dititik maka

adalah salah.

Tafsiran fisis secara geometris suatu fungsi kontinu bila graphik garis atau permukaan fungsi

tersebut tidak lubang atau terpotong pada titik tersebut.

Dalam kalkulus 1, bila kita mengetahui suatu fungsi adalah kontinu maka nilai limit fungsi

tersebut didapatkan dengan memasukkan nilai titik kedalam fungsi.

Semua fungsi standard yang kita ketahui kontinu tetap kontinu walaupun sekarang kita

memasukkan lebih dari satu variabel. Yang perlu diperhatikan adalah pembagian dengan 0,

akar bilangan negatif dan logaritma nol atau negatif.

Contoh 3.1.1. Tentukan apakah limit berikut ada atau tidak. Bila ada berapa nilai limit nya.

(a) (b)

(c) (d)

Jawab

(a) Fungsi diatas adalah kontinu pada titik yang diminta, sehingga kita tinggal memasukkan nilai

titik tersebut kedalam fungsi.

(b)

Dalam kasus ini fungsi tidak kontinyu sepanjang garis karena pada garis tersebut kita

akan mendapatkan nilai penyebut pembagian = 0. Tapi karena titik yang diminta (5,1) tidak

terdapat dalam garis tersebut, maka

(c) Dalam kasus ini fungsi tersebut tidak kontinyu pada titik yang diminta. Jadi tidak ada limit

pada titik tersebut.



Pendekatan sepanjang garis sumbu x,

Sepanjang garis sumbu y-axis.

Sepanjang garis . Didapat

Menunjukkan tidak ada limit.

(d) Fungsi tidak kontinyu pada titik yang diminta, jadi tidak ada limit.

Hal ini juga dapat ditunjukkan dengan berbedanya nilai limit dengan pendekatan arah yang

berbeda. Kita coba dekati melalui sepanjang garis menuju (0,0) .

Kita coba dengan jalur . Didapat,

Nilai limit tidak ada, karena melalui pendekatan yang ada nilai limit berbeda.



3.2. Turunan parsial

Prolog:

Diketahui sebuah fungsi peubah ganda dan akan ditentukan laju perubahan

fungsi pada titik . Penentuan laju perubahan dilakukan dua tahap; tahap pertama

dengan menahan y tetap (fixed) dan membolehkan x berubah kemudian pada tahp kedua

menahan x tetap dan membolehkan y berubah.

Tahap pertama kita menahan y=b dan membiarkan x bergerak, sehingga kita mendapatkan

Kita mendapatkan fungsi variabel tunggal dan menentukan laju perubahan g(x) pada x=a

dengan menghitung g’(a) yaitu g’(a) = 4a𝑏3.

adalah turunan parsial / partial derivative terhadap x pada titik dan

dinyatakan sebagai

Tahap kedua kita menahan x = a dan membiarkan y bergerak sehingga mendapatkan

adalah turunan parsial / partial derivative terhadap y pada titik dan we

dinyatakan sebagai

Kedua turunan diatas biasa disebut turunan parsial orde pertama / first order partial

derivatives.

Rumusan Formal :

Bila kita melakukan proses turunan parsial fungsi seperti diatas dengan tidak menggunakan

notasi tetapi dengan tetap menggunakan , kita dapat menuliskannya sebagai:

𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 = 4𝑥𝑦3 dan 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 = 6𝑥2𝑦2, yaitu pertama menahan y tetap dan melakukan

turunan terhadap x, setelah itu menahan x tetap dan melakukan turunan terhadap y.

Definisi formal dari kedua turunan parsial tsb adalah sbb.:

Berikut ini beberapa alternatif notasi untuk menyatakan turunan .

Untuk fungsi notasi berikut dapat digunakan sebagai turunan parsial :

Contoh 3.2.1. Dapatkan turunan parsial orde pertama untuk fungsi

(a) (b)



(c) (d)

Jawab :

(a)

(b)

(c)

Untuk memudahkan penurunan persamaan diatas ditulis ulang sebagai,

Petunjuk untuk turunan fungsi natural logarithms, gunakan .

(d)

Gunakan aturan rantai/chain rule yang pernah dipelajari di kalkulus 1 &2, dalam contoh ini

bagaimana menurunkan fungsi eksponensial.



Contoh 3.2.2. Dapatkan turunan parsial orde satu fungsi berikut ini:

(a) (b) (c)

Jawab:

(a)

(b)

(c) Dengan menggunakan prinsip aturan rantai/chain rule didapat,

Turunan implisit dalam turunan parsial

Dari contoh-contoh yang diberikan diatas, dengan menguasai turunan fungsi peubah tunggal

dari kalkulus 1 & 2 maka proses turunan parsial fungsi peubah banyak tidak sulit.

Selanjutnya akan dibahas proses turunan implisit dalam turunan parsial fungsi peubah

banyak.



Contoh 3.2.3. me- review turunan implisit pada fungsi peubah tunggal dan pada contoh

3.2.4. bagaimana penerapannya dalam fungsi peubah banyak.

Contoh 3.2.3. Dapatkan untuk persamaan .

Jawab:

Dengan selalu mengingat bahwa y adalah fungsi dari x, atau dan dengan demikian

setiap kali menurunkan suatu suku/term yang melibatkan y terhadap x maka diperlukan

untuk menggunakan aturan rantai, berarti perlu dituliskan pada suku/term tersebut.

Langkah ke 1: menurunkan suku/term yang ada pada sisi kiri dan kanan tanda( = )terhadap x.

Langkah ke-2: mendapatkan .

Perlakuan untuk proses turunan implisit fungsi peubah banyak, berlaku serupa dengan proses

turunan implisit pada fungsi peubah banyak. Dalam fungsi yang melibatkan variabel

x, y, dan z dan misal z adalah fungsi x dan y, . Maka ketika kita memproses

turunan z / differensiasi z terhadap x maka aturan rantai/chain rule digunakan dan

dituliskan . Demikian juga dalam proses turunan z / differensiasi z terhadap y maka

perlu ditulis.

Contoh 3.2.4. Dapatkan dan untuk fungsi berikut ini:

(a) (b)

Jawab:

(a)

Untuk mendapatkan . Kedua sisi kiri kanan persamaan kita turunkan terhadap x dengan

selalu menuliskan setiap kita menurunkan z.

Ingat karena maka setiap perkalian x dan z merupakan perkalian dua fungsi x

sehinga teorema aturan turunan perkalian fungsi harus dipakai.



Untuk mendapatkan .

Untuk mendapatkan dilakukan proses yang sama

.

(b)

Untuk mendapatkan .

Untuk mendapatkan .



3.3. Interpretasi Geometris Turunan Parsial

Dalam Kalkulus Peubah tunggal, adalah kemiringan (slope) dari garis singgung /

tangent line terhadap pada atau dapat juga dikatakan sebagai kemiringan

kuva pada x=a. Demikian juga, dan juga adalah kemiringan (slope)

dari garis singgung/tangent lines . Pada Kalkulus Peubah tunggal tangent line menyinggung

lengkungan kurva, dalam kalkulus peubah ganda kita tahu fungsi berupa bidang permukaan,

sehingga ada banyak garis singgung yang dapat menyinggung bidang permukaan pada suatu

titik. Jadi pertanyaannya turunan parsial fungsi ganda merepresentasi kemiringan sudut garis

singgung yang mana? Dalam hal ini turunan parsial adalah kemiringan garis singgung pada

traces atau dapat dikatakan kemiringan dari irisan/traces. (Untuk trace lihat lagi bab fungsi

multivariable)

Definisi traces: Bila level curve adalah irisan permukaan dengan bidang datar

, maka traces suatu permukaan adalah kurva/garis lengkung yang merupakan

penampang irisan dengan bidang datar atau .

Jadi turunan parsial adalah kemiringan trace yaitu irisan dengan bidang

datar pada titik . Demikian juga partial derivative adalah

kemiringan trace yaitu irisan dengan bidang datar pada titik .

Contoh 3.3.1. : Dapatkan kemiringan traces untuk fungsi pada titik

.

Solusi

Gambar sketsa trace untuk irisan bidang dan adalah sbb.:

Gambar 3.2.

Turunan parsial fungsi adalah sbb.:

Dengan memasukkan titik singgung kedalam persamaan kita mendapatkan:

Jadi, garis singgung/ tangent line pada untuk irisan/trace permukaan

dengan bidang datar mempunyai kemiringan/slope sebesar -8. Dan garis singgung/



tangent line pada untuk irisan/ trace permukaan dengan bidang datar

mempunyai kemiringan sebesar -4.

Menentukan persamaan garis singgung dan bidang singgung fungsi peubah ganda.

Kita telah pelajari bahwa garis, bidang dalam 3 Dimensi dapat dinyatakan dalam tiga bentuk

persamaan:

1. bentuk vektor persamaan garis / vector form of the equation of a line.

2. bentuk parametric persamaan garis / parametric form of the equation of a line.

3. Bentuk simetrik persamaan garis / symmetric equations of the line.

Dalam bab Fungsi Vektor telah dibahas bahwa : Semua Fungsi Multivariabel dapat

dinyatakan dalam Fungsi Vektor !!!!!!!.

Untuk menyatakan persamaan suatu garis dalam bentuk vector, maka kita membutuhkan

suatu titik pada garis tersebut dan vector arah. Untuk menentukan titik dalam 3 D kita

memasukkan kedalam koodinat (a,b, f(a,b)).

Berikut kita menentukan garis singgung pada titik tersebut:

Bila kita mempunyai permukaan / surface yang dinyatakan dengan z= f(x,y), maka kita

dapat menyatakan nya dalam bentuk fungsi vector: 𝑟 𝑥, 𝑦 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥, 𝑦, 𝑓(𝑥, 𝑦) . Kita akan mendapatkan tangent vector dengan mendifferensiasi fungsi vector terhadap x ,

yang berarti dalam persoalan kita dengan mendifferensiasi fungsi irisan permukaan

𝑟 𝑥, 𝑦 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥, 𝑦, 𝑓(𝑥, 𝑦) dengan bidang datar y=b.

Irisan yang kita dapat adalah: 𝑟 𝑥, 𝑏 = 𝑥, 𝑏, 𝑧 = 𝑥, 𝑏, 𝑓(𝑥, 𝑦)

Vektor tangent untuk trace/irisan dengan y constant (y=b) adalah:

𝑟𝑥 (𝑥, 𝑦) = 1,0, 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) .

Dengan mendifferensiasi fungsi vector terhadap y , yaitu mendifferensiasi fungsi irisan

permukaan 𝑟 𝑥, 𝑦 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥, 𝑦, 𝑓(𝑥, 𝑦) dengan bidang datar x=a.

Irisan yang kita dapat adalah: 𝑟 𝑎, 𝑦 = 𝑎, 𝑦, 𝑧 = 𝑎, 𝑦, 𝑓(𝑥, 𝑦) Vektor tangent untuk trace/irisan dengan x constant (x=a) adalah:

𝑟𝑦 (𝑥, 𝑦) = 0,1, 𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦) .

Kedua tangent vector 𝑟𝑥 𝑥, 𝑦 = 1,0, 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 , 𝑟𝑦 (𝑥, 𝑦) = 0,1, 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) yang didapat

adalah vector arah yang dari garis singgung yang ingin dicari.

Persamaan garis singgung dengan irisan fungsi vector dan y=b adalah:

𝑟 𝑡 = 𝑎, 𝑏, 𝑓(𝑎, 𝑏) + 𝑡 1,0, 𝑓𝑥(𝑎, 𝑏) Persamaan garis singgung dengan irisan fungsi vector dan x=a adalah:

𝑟 𝑡 = 𝑎, 𝑏, 𝑓(𝑎, 𝑏) + 𝑡 0,1, 𝑓𝑦(𝑎, 𝑏)

Menentukan bidang singgung:

Dalam bab persamaan bidang, persamaan bidang dinyatakan sebagai dot product:

𝑛 . 𝑟 − 𝑟0 = 0, dimana 𝑛 adalah vector normal bidang dan 𝑟0 adalah titik pada bidang.

𝑛 = 𝐴, 𝐵, 𝐶 , 𝑟 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 , 𝑟0 = 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 𝐴, 𝐵, 𝐶 . 𝑥, 𝑦, 𝑧 − 𝑥0, 𝑦0 , 𝑧0 = 0 𝐴, 𝐵, 𝐶 . 𝑥 − 𝑥0 , 𝑦 − 𝑦0, 𝑧 − 𝑧0 = 0

𝐴 𝑥 − 𝑥0 + 𝐵 𝑦 − 𝑦0 + 𝐶 𝑧 − 𝑧0 = 0



Dalam persoalan kita mencari bidang singgung, perlu dicari titik pada bidang 𝑟0 dan vector

normal bidang 𝑛 . Titik pada bidang yang merupakan titik singgung dengan permukaan adalah: (a,b, f(a,b))

yang kita tuliskan (𝑥0 , 𝑦0, 𝑧0) . Vektor posisi 𝑟0 = 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 . Vektor normal 𝑛 didapat dengan perkalian silang (cross product) dari vector tangent:

𝑛 = 𝑟𝑥 x 𝑟𝑦 , sehingga didapat

𝑛 = 𝑖 𝑗 𝑘

1 0 𝑓𝑥0 1 𝑓𝑦

= - 𝑓𝑥 𝑖 - 𝑓𝑦 𝑗 + 1 𝑘 = − 𝑓𝑥 , − 𝑓𝑦 , 1

𝑛 . 𝑟 − 𝑟0 = 0 − 𝑓𝑥 , − 𝑓𝑦 , + 1 . 𝑥 − 𝑥0, 𝑦 − 𝑦0, 𝑧 − 𝑧0 = 0

− 𝑓𝑥 𝑥 − 𝑥0 − 𝑓𝑦 𝑦 − 𝑦0 + 𝑧 − 𝑧0 =0

Sehingga persamaan bidang singgung adalah : 𝑧 − 𝑧0 = 𝑓𝑥 𝑥 − 𝑥0 + 𝑓𝑦 𝑦 − 𝑦0

Contoh 3.3.2.

Tuliskan persamaan bidang singgung dengan permukaan di titik .

Titik singgung adalah:

Persamaan garis singgung pada irisan/trace permukaan dengan bidang datar .

Persamaan garis singgung pada irisan/trace permukaan dengan bidang datar .

Bidang singgung:

𝑛 = 𝐴, 𝐵, 𝐶 = 8,4,1 , sehingga persamaan bidang singgung :

8 𝑥 − 𝑥0 + 4 𝑦 − 𝑦0 + 𝐶 𝑧 − 𝑧0 = 0



3.4.Turunan parsial orde tinggi.

Untuk fungsi variable ganda, dapat diturunkan beberapa kali, misal turunan parsial

orde satu adalah fungsi dari x dan y, maka turunan itu bisa diturunkan lagi. Berikut ini notasi

yang digunakan :

Contoh 3.4.1. Dapatkan turunan orde dua untuk .

Turunan orde satu adalah:

Turunan orde satu diturunkan lagi sehingga didapat turunan orde dua:

Dari contoh diatas kita mendapatkan : . Hal ini bukan kebetulan dan untuk semua

kasus berlaku, dan hal ini dinyatakan dalam Teorema Clairut.

Teorema Clairaut

Bila f didefinisikan pada D dan memiliki titik . Bila fungsi dan adalah

kontinu pada D maka,

Contoh 3.4.2. Verifikasi Teorema Clairaut untuk .

Keduanya sama.

Teorema Clairut dapat diperluas untuk turunan orde ketiga dan seterusnya untuk orde yang

lebih tinggi.



Sehingga

Teorema ini juga berlaku tidak hanya untuk fungsi variable ganda, tetapi juga untuk fungsi

variable 3 , 4 dan seterusnya (multivariable umumnya).

Sehingga bila memenuhi syarat kontinu berlaku Secara umum bila memenuhi syarat kontinuitas, Teorema Clairut berlaku untuk fungsi

multivariable dan turunan orde tinggi.

Contoh 3.4.3. (a) Dapatkan untuk

(b) Dapatkan untuk

Jawab

(a) , , , ,

(b) , ,



3.5. Differentials

Diketahui fungsi maka differential dz atau df adalah :

dz = 𝑓𝑥 dx + 𝑓𝑥 dy atau df = 𝑓𝑥 dx + 𝑓𝑥 dy

Rumusanl diatas dapat diperluas kefungsi variable 3 atau lebih..

Contoh diketahui fungsi maka differential dw adalah:

Contoh 3.5.1. Hitung differential untuk fungsi berikut ini

(a)

(b)

(a)

(b)

Catatan : Terkadang differential disebut juga total differentials.



3.6. Aturan Rantai Berikut notasi pada single variable, yang menyatakan bila F fungsi x yang dapat dinyatakan

sebagai F fungsi dari g dan g fungsi dari x , maka turunannya dinyatakan sebagai F’(x)

dengan rumusan:

Notasi alternatif adalah sbb.:

Bila y = f(x) dan x = g(t) maka 𝑑𝑦

𝑑𝑡=

𝑑𝑦

𝑑𝑥 𝑑𝑥

𝑑𝑡

Untuk fungsi dua variabel, ada beberapa kemungkinan.

Kasus 1 : , , diminta untuk menghitung .

Aturan rantai untuk kasus ini adalah sbb.:

Contoh 3.6.1. Hitung untuk (a) , ,

(b) , ,

Solution

(a) , ,

Dengan men substitusi x dan y dengan t kita mendapatkan:

Soal diatas lebih mudah dikerjakan dengan mensubstitusi x dan y dengan t dari awal,

pengerjaan diatas adalah untuk menunjukkan penggunaan aturan rantai.

Dengan mensubstitusi x dan y dengan t dari awal, kita mendapatkan:

Hasilnya sama.

(b) , ,

Dalam kasus ini menggunakan aturan rantai akan lebih mudah daripada mensubstitusi x dan

y dari awal.



Berikut ini variasi dari kasus, dimana

Maka aturan rantai untuk adalah:

Dimana :

Contoh 3.6.2. Hitung untuk ,

Kasus 2 : , , dan diminta dan .

Contoh 3.6.3. Dapatkan dan untuk , , .

Aturan rantai untuk .

Aturan rantai untuk .



Berikut ini rumusan umum Aturan Rantai

Jika z adalah fungsi n variabel, , dan variabel tersebut adalah fungsi dari m

variabel, . Maka untuk setiap variabel , maka:

Untuk memudahkan pengerjaan aturan rantai untuk setiap situasi maka diagram pohon

sebaiknya digunakan.

Contoh penggunaan diagram pohon dalam pengerjaan aturan rantai / chain rule untuk

diketahui bahwa , , .

Berikut diagram pohon untuk kasus ini:

𝜕𝑧

𝜕𝑠=

𝜕𝑧

𝜕𝑥 𝜕𝑥

𝜕𝑠+

𝑑𝑧

𝑑𝑦 𝜕𝑦

𝜕𝑠

𝜕𝑧

𝜕𝑡=

𝜕𝑧

𝜕𝑥 𝜕𝑥

𝜕𝑡+

𝑑𝑧

𝑑𝑦 𝜕𝑦

𝜕𝑡

Contoh 3.6.4. Gunakan tree diagram untuk menuliskan chain rule untuk turunan.

(a) untuk , , , dan

(b) untuk , , ,dan

(a)Diagram pohon untuk dimana , , , dan

Sehingga:

(b) Diagram pohon untuk



dimana , , dan

Sehingga :

Contoh 3.6.5. Dapatkan untuk bila dan .

Solution Turunan pertama:

Turunan kedua :

Dengan menggunakan aturan perkalian turunan didapat:

Kita perlu menentukan dan .

Kita menulis ulang hasil aturan rantai pertama, sebagai:

(1)

Rumusan persamaan (1) diatas dapat ditafsirkan sebagai rumusan untuk men differensiasi

sembarang fungsi x dan y terhadap yang memenuhi syarat dan .

Dan kita tahu bahwa turunan parsial orde satu, dan , adalah fungsi x dan y dan syarat

dan berlaku, sehingga kita dapat menggunakan persamaan (1) dengan

mensubstitusi f dengan 𝜕𝑓

𝜕𝑥 dan

𝜕𝑓

𝜕𝑦 :



persamaan (1)

Sehingga kita dapat menghitung .

Dan dapat menghitung .

Dengan memasukkan dan kedalam persamaan yang telah didapat:

Kita mendapatkan:

Turunan Implisit.

Suatu fungsi dituliskan dalam bentuk dimana . Untuk mendapatkan

dengan mendifferensi sehingga didapat :



Contoh 3.6.6. Dapatkan untuk .

Persamaan diatas dituliskan dalam bentuk F(x,y) = 0.

Sehingga dengan menggunakan formula 𝑑𝑦

𝑑𝑥= −

𝐹𝑥

𝐹𝑦 diperoleh

Untuk kasus fungsi dituliskan dalam dimana z = f (x,y) ,dicari dan .

Untuk mendapatkan maka dilakukan differensiasi terhadap x dan memperlakukan y

sebagai konstan. Kita melakukan pernurunan dengan menggunakan aturan rantai, sehingga

didapat:

Dengan memasukkan 𝜕𝑥

𝜕𝑥= 1 dan

𝜕𝑦

𝜕𝑥= 0 kedalam persamaan didapat:

Contoh 3.6.7. Dapatkan dan untuk .

Persamaan diatas dituliskan dalam bentuk F(x,y,z) = 0.

Maka

sehingga

Dan sehingga



3.7. Turunan Berarah

Turunan parsial dan , menyatakan laju perubahan dari f bila kita merubah

x (dengan menahan y tetap) dan merubah y (dengan menahan x tetap). Pada bagian ini kita

akan mempelajari bagaimana perubahan f bila kita membolehkan x dan y berubah bersamaan.

Ada banyak cara untuk membolehkan x dan y berubah bersamaan. Misalnya x berubah lebih

cepat dari y. Misalnya pada suatu titik . Kita merubah x dengan laju positif dua kali

lebih cepat dari laju perubahan positif y.

Dalam turunan parsial kita mendefinisikan bahwa laju perubahan f yang dinyatakan dengan

adalah dalam arah vector 1,0 , sedangkan laju perubahan f yang dinyatakan dengan

adalah dalam arah vector 0,1 . Dan misalnya ingin diketahui laju perubahan f

dalam arah . Ada banyak vektor yang menyatakan arah 2,1 , bisa vektor

,

Maka agar tetap konsisten maka kita nyatakan vektor arah perubahan dinyatakan dalam unit

vektor. Definisi unit vektor adalah vektor yang memiliki panjang =1.

Bila kita mempunyai vektor , maka panjang vektor (magnitude) dinyatakan

sebagai : .

Jadi untuk contoh , unit vektor yang panjang =1 dan arah yang sama adalah 2

5,

1

5 .

Terkadang kita menyatakan arah perubahan x dan y sebagai suatu sudut. Misalnya, berapa

laju perubahan f dalam arah .

Unit vektor yang mewakili arah ini adalah: .

Berikut definisi dari Turunan Berarah:

Definisi

Laju perubahan dalam arah vektor unit disebut turunan berarah dan

ditulis dengan notasi . Definisi dari turunan berarah adalah,

Definisi diatas secara teknis dan praktis akan sangat sulit menghitung limitnya. Perlu dicari

suatu cara agar dapat lebih mudah menghitung turunan berarah.

Berikut ini diuraikan proses penurunan suatu rumusan yang lebih praktis untuk menghitung

directional derivatives.

Suatu fungsi peubah tunggal didefinisikan :

dimana , , a , dan b adalah suatu bilangan tetap.

Maka berdasarkan definisi turunan fungsi perubah tunggal didapat,

dan turunan pada adalah:

Bila kita substitusi didapat,



Jadi kita mendapatkan hubungan sbb.:

(1)

Bila ditulis ulang sebagai:

Dari aturan rantai didapat:

(2)

Dengan memasukkan didapat dan sehingga bila kita masukkan

kedalam persamaan (2), kita mendapatkan :

(3)

Persamaan (1) sama dengan persamaan (3), sehingga:

Bila 𝑥0 dan 𝑦0 disubstitusi dengan x dan y (sebagai variabel) kita mendapatkan rumus /

formula sbb. :

Rumusan diatas lebih praktis dan sederhana dari definisi limit turunan berarah.

Rumusan yang sama dapat diperluas untuk fungsi lebih dari 2 variabel.

Misal untuk fungsi , turunan berarah dari dalam arah unit vektor

adalah,

Contoh 3.7.1. Tentukan turunan berarah untuk soal dibawah ini .

(a) dimana dan adalah unit vektor dengan arah .

(b) dimana dengan arah .

Jawab :

(a) . Unit vektor arah adalah:



Jadi,

Dengan memasukan titik (2,0) kepersamaan didapat:

(b) Perlu dicari unit vektor arah, vektor dicari panjangnya.

Jadi vektor diatas bukan unit vektor. Sehingga perlu vektor arah tersebut

dikonversi menjadi unit vektor arah, yaitu dengan membaginya dengan panjang vektor,

sehingga didapat:

Maka turunan berarah adalah:

Rumusan turunan berarah dapat dituliskan dalam beberapa versi :

Turunan berarah ditulis sebagai dot product antara gradient vektor f dengan unit vektor arah

. Dimana gradient f atau gradient vektor f didefinisikan sebagai,

∇𝑓 = 𝑓𝑥 , 𝑓𝑦 , 𝑓𝑧 atau ∇𝑓 = 𝑓𝑥 , 𝑓𝑦 Atau bila menggunakan notasi basis vektor dituliskan:

∇𝑓 = 𝑓𝑥 𝑖 + 𝑓𝑦 𝑗 + 𝑓𝑧𝑘 atau ∇𝑓 = 𝑓𝑥 𝑖 + 𝑓𝑦 𝑗 + 𝑓𝑧𝑘

Dengan definisi gradient , maka turunan berarah dapat dituliskan sebagai:

Atau juga dengan notasi sbb.: dimana atau

Contoh 3.7.2. Tentukan turunan berarah.



(a) untuk dalam arah .

(b) untuk at arah

.

Solusi

(a)

Jadi :

(b)

Unit vektor arah:

Jadi, directional derivative pada titik yang dimaksud adalah:

Teorema 1

Nilai maximum dari (atau laji perubahan maximum fungsi ) adalah

dan terjadi dalam arah .

Bukti

Karena adalah unit vector, bentuk perkalian titik adalah

dimana adalah sudut antara gradient dan .,

maka nilai maximum yang mungkin adalah pada nilai = 1 yaitu pada . Jadi nilai



maximum adalah dan terjadi pada sudut antara gradient dan adalah

nol, dengan kata lain pada kondisi mempunyai arah yang sama dengan gradient, .

Contoh 3.7.3. Misalkan ketinggian bukit diatas permukaan laut dinyatakan dalam fungsi

. Pada titik dalam arah manakah yang paling menanjak

atau menurun ? Berapakah nilai maximum kemiringan pada titik ini?

Jawab Persamaan fungsi diatas menunjuk pada bentuk elliptic paraboloid dengan mulut terbuka

kebawah.

Perubahan maximum laju perubahan kemiringan adalah pada

Nilai kemiringan maximum pada titik ini adalah,

Vektor arah , mempunyai kedua komponen negative artinya arah perubahan

maximum adalah kearah pusat.

Teorema 2

Vektor gradient adalah orthogonal (atau tegak lurus) terhadap level curve

pada titik . Demikian juga, vektor gradient adalah

orthogonal terhadap level surface pada titik .

Bukti

Bila S adalah level surface yang dinyatakan dan bila dimana P

ada di S. Dan bila C adalah suatu kurva pada S dan melewati P , yang dinyatakan dalam

bentuk persamaan vektor . Sehingga pada t = sehingga

, yaitu vektor posisi P . Dan karena C ada pada S sehingga setiap titik

pada C harus memenuhi persamaan S. Yaitu,

Dengan menerapkan Aturan Rantai / Chain Rule didapat kan :

(4)

dan sehingga persamaan (4) menjadi,

At, this is,

Perkalian titik diatas menyatakan, bahwa vektor gradient pada P , , adalah

orthogonal terhadap vektor tangent , , untuk setiap kurva C yang melewati P dan

terletak pada permukaan S dan karena itu harus juga orthogonal terhadap permukaan S.

mvcal-BAB3.pdf

Documents

Transcript of mvcal-BAB3.pdf