MTE3101_Mengenal_Nombor

Falsafah Pendidikan Kebangsaan

Falsafah Pendidikan Guru

Panduan Pelajar

Pengenalan

Tajuk Pembelajaran

Tajuk 1 : Sistem Pernomboran

1.0 Sinopsis

1.1 Hasil Pembelajaran

1.2 Kerangka Konsep

1.3 Sistem Pernomboran Awal

1.4 Sistem Pernomboran Hindu-Arab

1.5 Sistem Pernomboran Lain.

Tajuk 2 : Teori Asas Nombor

2.0 Sinopsis


2.2 Kerangka Konsep

2.3 Sistem Nombor

Tajuk 3: Nombor Asli

3.0 Sinopsis


3.2 Kerangka Konsep

3.3 Nombor Perdana

3.4 Teorem Asas Aritmetik

3.5 Nombor Modular

3.6 Rekreasi Nombor

Bibliografi

KANDUNGAN MUKA SURAT

ii

Panel Penulis Modul

Ikon Modul

viii

Pengenalan

Modul ini merangkumi tujuh topik daripada Pro Forma Kursus MTE 3101 Mengenal

Nombor. Isi kandungan yang dibincangkan dalam topik ini adalah seperti berikut :

Topik 1 : Sistem Pernomboran

Sistem Pernomboran Awal

Sistem Pernomborab Hindu-Arab

Sistem Pernomboran Lain

Topik 2 : Teori asas Nombor

Sistem Nombor

Takrif

Klasifikasi Set Nombor Nyata

Perwakilan Nombor

Topik 3 : Nombor Asli

Nombor Perdana

Nombor Modular

Teorem Asas Aritmetik

Nombor Rekreasi

Penyelesaian Masalah.

Topik 4: Nombor Nisbah

Ciri-Ciri Asas

Kardinaliti (cardinality) nombor nisbah

Nombor nisbah kompleks dan pecahan berterusan (continued fractions)

Penyelesaian masalah Topik 5 : Nombor Bukan Nisbah

Ciri-Ciri Asas

Punca kuasa dua dan Surd

Penyelesaian masalah

viiii

Topik 6 : Nombor Kompleks

modulus, argumen dan konjugat bagi nombor kompleks

operasi melibatkan nombor kompleks

nombor kompleks dalam bentuk polar

Topik 7 : Penganggaran Kuantiti

pembundaran nombor Tugasan disediakan di akhir modul. Anda digalakkan membaca semua modul dan

melengkapkan tugasan yang diberi. Anda juga diingatkan untuk menyimpan semua

nota dan penyelesaian di dalam folio masing-masing.

Selamat Belajar! Semoga berjaya!

Kod & Nama Kursus: MTE 3101 MENGENAL NOMBOR Kandungan modul ini dibahagi kepada Tujuh(7)) tajuk. Jadual di bawah menjelaskan agihan tajuk-tajuk untuk interaksi bersemuka atau pembelajaran melalui modul.

AGIHAN TAJUK

Bil. Tajuk/Topik Modul (jam)

Jum. Jam

1 Sistem Pernomboran Teori Asas Nombor

Sistem nombor o definisi o klasifikasi set nombor nyata

6 jam

3 jam

9 jam

2 Teori Asas Nombor Sistem nombor

o perwakilan nombor Nombor Asli

Nombor perdana o kebolehbahagi (divisibility) o pemfaktoran nombor perdana- algoritma Euclid

Nombor modular Teorem Asas Aritmetik

(The Fundamental Theorem of Arithmetic)

3 jam

6 jam

9 jam

3 Nombor Asli Nombor rekreasi

o urutan Fibonacci dan Golden Ratio o petak ajaib

Penyelesaian masalah Nombor Nisbah

Ciri-ciri asas Kardinaliti (cardinality) nombor nisbah

6 jam

3 jam

9 jam

4 Nombor Nisbah Nombor nisbah kompleks dan pecahan berterusan

(continued fractions) Penyelesaian masalah

Nombor Bukan Nisbah Ciri-ciri asas Punca kuasa dua dan Surd

o Hukum hasil darab o Hukum hasil bahagi

Penyelesaian masalah

3 jam

6 jam

9 jam

5 Nombor Kompleks modulus, argumen dan konjugat bagi nombor

kompleks operasi melibatkan nombor kompleks nombor kompleks dalam bentuk polar

Penganggaran Kuantiti pembundaran nombor

o nombor bulat o pecahan dan perpuluhan o bentuk piawai o punca kuasa dua dan surd

6 jam

3 jam

9 jam

JUMLAH 45jam 45jam

PANEL PENULIS MODUL PROGRAM PENSISWAZAHAN GURU (MATEMATIK PENDIDIKAN RENDAH)

NAMA KELAYAKAN

HO OEE JOO PENSYARAH KANAN MATEMATIK IPG Kampus Perempuan Melayu Durian Daun 75400 Melaka [email protected]

Kelulusan: M.Ed. (Mathematics Education), UM B.Sc. Hons. With Education (Mathematics), USM Pengalaman: Pensyarah Matematik di IPG Gaya, Kota Kinabalu, Sabah (2 tahun). Pensyarah Matematik di IPG Perempuan Melayu, Melaka (19 tahun). MTDP Master Trainer (Mathematics). Ketua Panitia Matematik di SMK Tamparuli, Tamparuli, Sabah (2 Tahun) Guru Matematik, Matematik Tambahan dan Rampaian Sains (2 tahun) di SMK Tamparuli, Tamparuli, Sabah Guru Matematik, Matematik Tambahan dan Kimia di SM All Saints, Kota Kinabalu, Sabah.

AZIZAH BINTI HJ TENGAH PENSYARAH MATEMATIK [email protected]

Master Sains(Applied Statistics) Bac Sains (Hons) Matematik Diploma Sains Dgn Pendidikan (Matematik) Guru Matematik Tambahan di Sek Men Teknik Kuala Lumpur ( 5 tahun) Guru Matematik Tambahan Di Sek Men Keb Seri Indah Serdang Selangor ( 11 tahun ) Pensyarah Matematik di IPG Kampus Pendidikan Islam ( 5 tahun )

(NAMA) (JAWATAN) (EMEL)

(KELULUSAN) PHD/SARJANA/SARJANA MUDA/DIPLOMA/SIJIL (PENGALAMAN KERJA)

MTE3101 Mengenal Nombor

1

Topik 1 Sistem Pernomboran

1.0 Sinopsis Tajuk ini merangkumi perkembangan sistem pernomboran yang pelbagai bermula dari

sistem pernomboran awal hingga ke sistem pernomboran Hindu-Arab sekarang. Sistem

pernomboran awal yang dibincangkan termasuk Sistem pernomboran Gundalan(Tally),

Sistem pernomboran Roman, Sistem pernomboran Mesir, Sistem pernomboran Mayan dan

sistem pernomboran Babylonian. Di bawah sistem pernomboran Hindu-Arab, bilangan

simbol dan kumpulan dalam pelbagai asas di titikberatkan. Anda juga akan mempelajari

bagaimana untuk menukar dari satu asas kepada asas sepuluh dan sebaliknya.


1. Membandingkan perkembangan Sistem Pernomboran yang pelbagai.

2. Menukarkan asas b kepada asas 10 dan sebaliknya.

1.2 Kerangka konsep

Sistem pernomboran

Sistem pernomboran Awal Sistem pernomboran Yang lain.

Sistem Pernomboran Hindu-Arab

Bilangan simbol dan kumpulan dalam pelbagai asas. Menukar asas b kepada asas 10 dan sebaliknya.


2

1.3 Sistem pernomboran Awal

Pada masa lampau,manusia menggunakan pelbagai cara untuk merekod nombor yang

diperlukan. Sebagai contoh untuk mewakilkan bilangan kambing biri-biri dalam kumpulan,

pengembala kambing mengumpul batu-batu kecil. Dengan memadankan batu-batu kecil

dengan kumpulan kambing, pengembala boleh mengetahui jika ada kambingnya yang

hilang. Ahli Matematik pada masa ini menamakan cara padanan ini sebagai padanan satu

dengan satu.

Kebelakangan ini , manusia menggunakan cara lain untuk merekod barang kepunyaan

mereka. Mereka mengikat tali pada kulit kayu atau melukis tanda gundalan pada batu

untuk memadankan tali dengan tanda gundalan. Sebenarnya, kayu gundalan dan batu-

batu kecil adalah perkembangan penting ke arah penciptaan sistem pernomboran.

Kayu Gundalan

Kemudian manusia mula menggunakan simbol untuk mewakili nombor. Sebagai contoh,

gambar “sayap” digunakan untuk mewakili dua objek. Pada kebanyakan sistem

penomboran awal, manusia membentuk nombor dengan cara mengulangi simbol asas

dan menambah nilai untuk mendapat nombor yang mereka kehendaki. Orang-orang

Egypt, Greek dan Roman menggunakan sistem pernomboran seperti ini. Gambarajah di

bawah memaparkan Sistem Pernomboran Greek..

Pernomboran Greek


3

Orang Hindu menggunakan sistem pernomboran yang lebih tinggi dari yang lain. Ia

mengikut prinsip nilai tempat dan menggunakan sepuluh nombor. Sistem ini berkebang

secara beransur-ansur ke dalam Sistem Hindu-Arab kita sekarang (juga dikenali sebagai

sistem nombor perpuluhan) dan digunakan sekarang di seluruh dunia.

Perkembangan pelbagai Sistem Pernomboran awal ditunjukkan di bawah.

1.3.1 Sistem Pernomboran Gundalan (The Tally Numeration System) Sistem pernomboran ini adalah yang paling mudah di antara semua sistem pernomboran.

Ia terdiri daripada satu garisan tunggal ,mewakili setiap objek yang dikira. Walau

bagaimanapun terdapat dua kelemahan menggunakan sistem ini iaitu (1) nombor yang

besar memerlukan simbol individu yang banyak, (2) sangat sukar untuk membaca nombor

yang terdiri daripada nombor yang besar. Contoh; bolehkah anda dengan cepat

memberitahu apakah nombor yang diwakili oleh tanda gundalan di bawah? Tidak

mudahkan ?

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

Sistem Gundalan di tambahbaik dengan cara “pengumpulan” , di mana gundalan yang

kelima ditandakan dengan dan diletakkan melintang di setiap empat gundalan

supaya menjadi satu kumpulan terdiri daripada lima seperti di bawah:

IIII

Mengumpul adalah cara paling mudah untuk mengenal nombor yang diwakilkan. Dengan

menggunakan teknik pengumpulan, bolehkah anda sekarang beritahu apakah nombor

yang di wakilkan oleh gundalan dalam contoh di atas.

1.3.2 Sistem Pernomboran Mesir ( Around 3400 BC)

Sistem hieroglifik Mesir (The Egyptian hieroglyphic system ) adalah contoh Sistem

Pengumpulan Pernomboran mudah. Nombor-nombor dibentuk dengan menggabungkan

simbol hieroglifik yang ditiru yang mewakili kuasa sepuluh.


4

Sistem pernomboran ini adalah berasaskan tanda gundalan, iaitu

I II III IIII IIIII IIIIII IIIIIII IIIIIIII IIIIIIIII

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Bagaimanapun, selepas 9, mereka memerlukan satu simbol baharu yang memerlukan

“pengumpulan” untuk mewakili set nombor tertentu. Nilai berikutnya ialah ∩ (tulang tumit)

yang mewakili 10.

Angka Mesir menggunakan cara untuk merekod kuantiti adalah berdasarkan asas 10

dengan simbol satu,sepuluh dan kuasa sepuluh berturut-turut. Suatu hieroglifik khusus

digunakan untuk setiap nombor yang berkuasa sepuluh. Bagaimanapun tidak ada simbol

untuk sifar. Oleh itu suatu simbol tertentu dihapuskan di dalam angka bila gandaan

sepuluh bukan sebahagian dari nombor tersebut.

Sebahagian simbol yang digunakan di dalam angka Mesir ditunjukkan di bawah:

Sistem Mesir adalah mengikut sifat penambahan. (additive property); iaitu nilai sesuatu

nombor Sebagai contoh:

Apakah nombor yang diwakili oleh heiroglifik berikut?

Tepat! heiroglifik di atas mewakili nilai 21,346.

Cuba tuliskan 465,123 menggunakan Sistem Pernomboran Mesir. Semoga Berjaya!

1.3.3 Sistem pernomboran Roman (Antara 500 B.C. dan A.D. 100)

Sistem pernomboran Roman adalah lebih canggih berbanding dengan sistem

Pernomboran Mesir. Kelebihannya berbanding Sistem Mesir termasuklah penggunaan:


5

“Prinsip penolakan”(“subtractive principle”) yang membolehkan nombor diwakili

secara lebih ringkas dan

“Prinsip pendaraban (“multiplicative principle”) yang memudahkan untuk

menulis nombor yang bernilai besar.

Jadual berikut menujukkan lapan abjad yang digunakan untuk mewakili nilai berbeza di

dalam sistem Pernomboran Roman dan nilai sepadannya di dalam Sistem Pernomboran

Hindu-Arab.

Angka Roman Angka Hindu-Arab

I 1

V 5

X 10

L 50

C 100

D 500

M 1000

Jadual 1

Peraturan tertentu mesti dipatuhi bila menggunakan Sistem Pernomboran Roman, iaitu:

Hanya simbol I, X, C, dan M boleh diulang, tetapi tidak boleh menulis simbol lebih

daripada 3 kali secara berturut-turut. Jika simbol keempat diperlukan, gunakan

prinsip penolakan.

Bila menggunakan prinsip penolakan, kita hanya boleh menolak I, X, C, dan M

(tidak V, L, atau D – tanpa dengan “5”)

Kita hanya boleh menolak angka daripada 2 angka bersebelahan yang paling tinggi.

(contoh. kita boleh ada IV dan IX, tetapi kita tidak boleh ada IL, IC, ID, IM)

Gunakan palang di atas simbol atau beberapa simbol untuk menandakan

pendaraban dengan 1000 contoh;

V bermakna 5 x 1000 = 5000; IX bermakna 9 x 1000 = 9000

Gunakan palang menegak untuk menandakan pendaraban dengan 100 contoh;

| V | bermakna 5 x 100 = 500 ; | L | bermakna 50 x 1000 x 100 = 5,000,000


6

Contoh contol lain diberi di bawah:

Jika angka Roman disenaraikan sedemikian hingga setiap angka mempunyai nilai lebih

besar dari angka di sebelah kanannya, maka nilai angka boleh didapati menggunakan sifat

penambahan. Setiap angka I, X, C dan M boleh diulang sebanyak tiga kali. Angka-angka

V, L, dan D tidak diulang, contoh:

XVI = ?

CCCVI = ?

MMCCCLXII = ?

Jika angka yang disenarai sedemikian hingga setiap angka TIDAK mempunyai nilai

yang besar daripada angka disebelah kanannya, maka nilai angka tersebut didapati

menggunakan sifat penambahan dan sifat penolakan. Hanya angka I, X, dan C,

yang boleh ditolak daripada angka lain. Contoh:

IV = ? ; IX = ? ; XL = ? ; XC = ?; CD = ?; CM = ?; CXLIV = ?; MCDLXXI = ?

Selanjutnya penolakan nilai dibenarkan jika nilai bagi angka di sebelah kanan berada

pada baris pertama dan kedua selepas angka sebelah kiri seperti dalam jadual 1.

Sebagai contoh:

XL = ? ; XC = ?

tetapi XD tidak sama dengan 490 kerana X terletak pada baris 3 daripada D di dalam

Jadual di atas.

Apakah 490 menggunakan simbol Roman?

490 = ___________________

Tahniah! Anda berjaya!

Sistem Roman ialah sistem kedudukan ( positional system) kerana kedudukan suatu

nombor boleh memberi kesan pada nilai nombor yang diwakili. Sebagai contoh:

XI ialah sebelas manakala IX ialah sembilan.

Bila menulis nombor besar, Sistem Pernomboran Roman juga menggunakan sifat

pendaraban. Contoh:

IX = 9 x 1000 = 9000 ;

IDICCLXII = 500 x 100 + 100 + 100 + 50 +10 + 2 = 50,262


7

Cuba ini:

Tulis menggunakan angka Roman:

579 4,709 = ___________________________

304,536 8,070 = ___________________________

1.3.4 Sistem Pernomboran Mayan. ( Antara A.D. 300 dan A.D. 900)

Sistem Pernomboran Mayan berasaskan sistem 20 (vigesimal) yang menggunakan hanya

tiga simbol terdiri dari sistem cengkerang, palang dan titik di dalam sistem nilai

menegak.Suatu titik mewakili satu, palang mewakili lima dan cengkerang mewakili sifar.

Carta di bawah menunjukkan kitaran pertama yang lengkap bagi nombor Mayan.

Angka Mayan

Seperti sistem nombor sekarang, nilai tempat digunakan untuk mengembangkan sistem

Mayan bagi mendapatkan nilai yang besar. Bagaimanapun, sistem ini mempunyai dua

perbezaan yang signifikan berbanding sistem kita gunakan sekarang ; iaitu 1) nilai tempat

disusun secara menegak. dan 2) mereka menggunakan asas 20, atau sistem vigesimal.

Baca dan cari maklumat tentang nilai tempat dalam Sistem Mayan berbanding sistem kita

yang menggunakan asas 10. Untuk mendapatkan semua nombor yang lain, Mayan hanya

menggunakan 20 simbol daripada nombor 0 hingga 19 seperti mana kita gunakan simbol

0 hingga 9. Sistem asas 10 mempunyai nilai tempat berikut: 1’s ,10’s, 100’s, 1000’s d.l.l.


8

Bila ditulis sebagai eksponen ia menjadi: 1, 101, 102, 103, d.l.l. Maka, sistem asas 20

mempunyai nilai tempat seperti berikut: 1, 201, 202, 203, d.l.l. Walau bagaimanapun Mayan

mempunyai satu penyimpangan daripada asas 20. Nilai tempat adalah:

1, 20, 20·18, 202·18, 203·18 etc.

Oleh kerana orang Mayan lebih berminat dalam mengira hari dan kalendar tahunan

mereka mempunyai 360 hari, maka adalah lebih sesuai untuk nilai digit ketiga terkecil

menjadi 20·18 = 360 dan bukan 20·20 = 400. Orang Mayan menyusun nombor mereka

untuk menandakan nilai tempat berbeza. Prinsipal berkenaa ditunjukkan di dalam carta di

bawah.

Jumlah di bawah, 31,781,148 ialah versi ringkas untuk nilai di dalam sisitem asas 10

kita.

Nombor yang ditulis dengan ringkas di dalam sistem Mayan ialah: 11.0.14.0.17.8 di

mana nombor yang ditulis antara masa ialah nombor untuk nilai tempat.

Ada dua kelebihan bila menggunakan sistem ini iaitu: 1) Nombor yang besar lebih senang

untuk dinyatakan dan 2) aritmetik mudah untuk diselesaikan oleh pengguna.

Mayan number chart from: http://en.wikipedia.org/wiki/Maya_numerals

= 11(2,880,000) = 31,680,000 = 0·144,000 = 0 = 14·7200 = 100,800 = 0·360 = 0 =17·20 = 340 = 8


9

Proses penambahan mudah boleh dilakukan dengan hanya menggabungkan dua atau

lebih set simbol ( set yang sama) seperti di bawah:

Untuk aritmetik yang lebih rumit, kita boleh meminjam bila mencapai nilai 20 dan bukan 10.

Seperti yang ditunjukkan di bawah.

Kita lihat contoh di bawah:

Contoh:

Tulis sebagai angka Hindu-Arab.

Penyelesaian:

Angka Mayan yang diberi mempunyai empat tempat. dari atas ke bawah, nilai tempatnya

ialah 7200, 360, 20, dan 1.

Mula dengan mewakilkan setiap angka pada setiap baris sebagai angka Hindu-Arab

seperti di bawah:

Darabkan setiap angka Hindu-

Arab dengan nilai tempat yang

berikutnya.

Carikan jumlah hasil

pendaraban ini.


10

Sekarang, nyatakan angka Hindu-Arab berikut menggunkan angka Mayan .

489

1813

1.3.5 Sistem Pernomboran Babylonian (Antara 3000 dan 2000 B.C.)

Sistem ini menggunakan dua angka, iaitu satu dan sepuluh seperti ditunjukkan di bawah.

Gambarajah di bawah menunjukkan Sistem Babylonian iaitu sistem kedudukan asas-60

(sexagesimal) system. Perhatikan bahawa dari nombor 1 hingga 59 ,sistem ini adalah

berulang, iaitu sistem ini adalah sistem penambahan ( additive system).

Angka Babylonian

Walaupun sistem pernomboran Babylonian berkembang pada masa yang sama seperti

sistem Mesir, namun Sistem Babylonian dalah lebih canggih dalam penggunaan nilai

tempat, di mana simbol digunakan untuk mewakili nilai berbeza bergantung kepada tempat

yang ditulis. Kedudukan setiap angka membrti kesan kepada nilainya.

Orang Babylonian meletakkan ruang untuk membezakan nilai tempat dalam angka.

Namun begitu ,ia menyebabkan kekeliruan kerana nilai boleh di salah tafsirkan. Sebagai


11

contoh dua nilai sepuluh dalam Babylonian yang ditulis bersebelahan boleh ditafsirkan

sebagai 20, atau 610 atau mungkin 3060. Dari tahun 300 B.C. berikutnya suatu simbol

berasingan terdiri dari dua segitiga kecil disusun di atas satu sama lain bertindak sebagai

penentu tempat (placeholder) untuk menandakan ruang kosong bagi mengelak kekeliruan.

Walaupun penetu tempat bertindak seolah-olah nombor sifar, orang Babylonian tidak

menganggap sifar sebagai suatu nombor.

Cuba lihat contoh di bawah.

Contoh: Tuliskan sebagai angka Hindu-Arab.

Penyelesaian:

Dari kiri ke kanan, nilai tempat ialah 602, 601, and 1.

Cuba ini.

Tuliskan 4, 571 sebagai angka Babylonian .

1.4 Sistem Pernomboran Hindu-Arab (Sekitar A.D. 800)

Sistem Pernomboran Hindu-Arab yang digunakan hari ini dikembangkan sekitar tahun A.D.

800. Nama ini diperolehi atas sumbangan dari kedua dua orang Hindu dan Arab kepada

sistem ini. Orang Hindu memperkembangkan abjad dan menggunakan huruf untuk

mewakilkan digit dalam sistem pernomboran ini.

7882

226607200

122601136002

1226011602

1)111010(60)110(601112

12

Wakilkan setiap angka sebagai angka Hindu-Arab.

Darabkan setiap angka Hindu-Arab dengan nilai tempat yg sepatutnya.

Carikan jumlah hasildarab ini.


12

Ciri penting dalam sistem ini ialah kita boleh menulis angka bagi sebarang nombor, sama

ada besar atau kecil,menggunakan hanya sepuluh simbol yang disebut digit,

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Perkataan digit bermaksud “jari tangan” atau “jari kaki”. Disebabkan hanya sepuluh

simbol asas yang digunakan,sistem Pernomboran Hindu-Arab dipanggil Sistem

Pernomboran Perpuluhan.

Satu lagi prinsip dalam sistem ini ialah “Pengumpulan sepuluh-sepuluh” (sistem

perpuluhan) dimans sepuluh satu di ganti dengan satu sepuluh, dan sepuluh-sepuluh

diganti dengan satu ratus. seratus sepuluh diganti dengan satu ribu dan seterusnya.

Bilangan objek yang dikumpulkan sedemikian dipanggil asas bagi sistem itu. Oleh itu,

sisitem Hindu-Arab ialah sistem asas sepuluh.

Angka Hindu-Arab boleh ditulis dalam bentuk cerakin ( expanded form), di mana nilai bagi

setiap digit dalam setiap kedudukan adalah jelas. Sebagai contoh, kita menulis 663 dalam

bentuk cerakin sebagai:

663 = (6 x 100) + (6 x 10) + (3 x 1)

= (6 x 102) + (6 x 101) + (3 x 1)

Sistem Pernomboran Hindu-Arab ialah sistem nilai kedudukan atau sistem nilai tempat.

Nilai kedudukan dalam sistem ini berasaskan kuasa 10, seperti ditunjukkan di bawah:

…, 105, 104, 103, 102, 101, 10

Untuk memahami dan menghargai mengapa sistem Hindu-Arab lebih superior berbanding

yang lain dan digunakan di seluruh dunia, baca lebih mengenai sumbangan berikut kepada

sistem ini:

Digits

Pengumpulan sepuluh-sepuluh

Nilai tempat

Penambahan dan pendaraban.


13

Contoh 1:

Tuliskan 3407 dalam bentuk cerakin.

Penyelesaian:

3407 = (3 x 103) + (4 x 102) + (0 x 101) + (7 x 1) , atau

= (3 x 1000) + (4 x 100) + (0 x 10) + (7 x 1)

Contoh 2:

Nyatakan bentuk cerakin berikut sebagai angka Hindu-Arab.l: (7 x 103) + (5 x 101) + (4 x 1).

Penyelesaian:

(7 x 103) + (5 x 101) + (4 x 1) = (7 x 103) + (0 x 102) + (5 x 101) + (4 x 1)

= 7054

Cuba ini.

Tuliskan setiap berikut dalam bentu cerakin.

728,407

60,006,060

Untuk membandingkan perkembangan sistem pernomboran awal, anda perlu mencari

maklumat tentang sistem pernomboran lain. Baca dengan lebih lanjut dan teroka dalam

sesawang untuk mendapat lebih maklumat tentang ini.

Selamat Membaca! Selamat Meneroka!

1.5 Sistem pernomboran Lain.

Pengumpulan sepuluh-sepuluh adalah ciri penting dalam sistem pernomboran Hindu-Arab

dan kita panggil sistem ini sistem asas sepuluh. Asas bagi sitem penomboran mewakili

bilangan simbol yang digunakan dalam pengumpulan. Semua nombor ditulis dalam bentuk

kuasa mengikut asasnya.

1.5.1 Bilangan simbol dan kumpulan dalam pelbagai asas

Bilangan simbol yang digunakan dalam asas tertentu bergantung kepada cara asas itu

dikumpulkan. Selain pengumpulan sepuluh-sepuluh, kita ada pengumpulan dud-dua, lima-


14

lima,dua belas-dua belas atau nombor lain. Untuk asas lebih daripada sepuluh, simbol lain

boleh diperkenalkan. Pengumpulan sebelas-sebelas, atau dua belas-dua belas, simbol lain

seperti huruf T, E dan U mungkin digunakan untuk mewakili nilai sepuluh, sebelas dan dua

belas. Jadual di bawah menunjukkan beberapa contoh pengumpulan asas lain.

Asas Simbol Cara Pengumpulan Notasi

dua

0,1

1011dua

atau

10112

tiga

0, 1, 2

102tiga

atau1023

empat

0, 1, 2, 3

23empat

atau 234

sepuluh 0, 1, 2,

3, 4, 5,

6, 7, 8, 9

11sepuluh

atau 1110

sebelas 0, 1, 2,

3, 4, 5,

6, 7, 8,

9, T

10sebelas

atau 1011

dua

belas

0,1, 2, 3,

4, 5, 6,

7, 8, 9,

T, E

Eduabelas

atau E12

tiga

belas

0,1, 2, 3,

4, 5, 6,

7, 8, 9,

T, E, U

Utigabelas

atau U13

Pengumpulan asas lain


15

Pengumpulan dud-dua,lapan-lapan dan enam belas-enam belas memberi kita gambaran

tentang sistem pernomboran yang di gunakan dalam komputer.

Binary-Quartet/Hexadecimal Conversion

Binary 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

Hexadecimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

Decimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Hubungan antara asas 2, 8 dan 16

Untuk merumuskan sistem pernomboran dengan asas selain daripada sepuluh, kita perlu

mempelajari lebih tentang nombor dan jenis simbol yang digunakan selain mengetahui

cara menukar daripada satu asas (katakan asas b) ke asas 10 dan sebaliknya.

1.5.2 Menukar asas b kepada asas 10 dan sebaliknya.

Untuk menukar asas b kepada asas sepuluh, kita perlu menulis angka dalam bentuk

cerakin. Nombor yang dihasilkan ialah dalam asas sepuluh. Lihat contoh di bawah.

Contoh :

Tukarkan 1011dua kepada asas sepuluh.

Penyelesaian:

1011dua = (1 x 23 )+ (0 x 22)+ (1 x 21) + (1 x 20) = 8 + 0 + 2 + 1 + 0 = 11

Sekarang cuba buat sendiri.

Tukarkan kepada asas sepuluh.

1110012

12345

307628

54297

652349


16

Menukar asas 10 kepada asas b :

Untuk menukar asas 10 kepada sebarang asas, kita perlu lihat pada suatu pola,

sebagai contoh:

Untuk menukar asas 10 kepada asas 2, kumpulkan dua-dua.

Untuk menukar asas 10 kepada asas 3, kumpulkan tiga-tiga.

Untuk menukar asas 10 kepada asas 4, kumpulkan empat-empat.

Untuk menukar asas 10 kepada asas 5, kumpulkan lima-lima.

Pengumpulan bagi pola di atas dirumuskan dalam jadual di bawah.

Asas Nilai Tempat

2 25 = 32 24 = 16 23 = 8 22 = 4 21 = 2 20 = 1

3 35 = 243 34 = 81 33 = 27 32 = 9 31 = 3 30 = 1

4 45 = 1,024 44 = 256 43 = 64 42 = 16 41 = 4 40 = 1

5 55 = 3,125 54 = 625 53 = 125 52 = 25 51 = 5 50 = 1

8 85 = 32,768 84 =4,096 83 = 512 82 = 64 81 = 6 80 = 1

12 125 =248,832 124 = 20,736 123 = 1,728 122 = 144 121 = 12 120= 1

Carta Nilai tempat

Proses pengumpulan di atas boleh diterjemahkan menggunakan pembahagian mudah.

Berikut adalah contoh untuk menjelaskan proses ini.

Contoh: Tukarkan 53 kepada asas 2

Gunakan proses berikut untuk menukar nombor perpuluhan kepada bentuk binari.

Bahagikan nombor perpuluhan dengan 2 dan ambil bakinya.Ulang proses ini

sehingga mendapat hasil 0.

Nombor binari dibentuk dengan mengambil baki dari bawah ke atas.

5310 => 53 ÷ 2 = 26 baki 1

26 ÷ 2 = 13 baki 0

13 ÷ 2 = 6 baki 1

6 ÷ 2 = 3 baki 0

3 ÷ 2 = 1 baki 1

1 ÷ 2 = 0 baki 1

Baca dari bawah ke atas.


17

Baca dari bawah ke atas ,kita akan dapat 1101012 .

Sekarang, cuba sendiri . Selamat Mencuba!

Tukarkan 678 kepada asas 2

Tukarkan 2345 kepada asas 5

Perkara perlu di buat:

Sub-topik 1.3 dan 1.4

1. Cari maklumat tambahan mengenai tajuk di atas dari sumber berlainan. Anda di

galakkan untuk meneroka sesawang “Numeration Systems”.

2. Tuliskan nota ringkas.

Sub-topik 1.5

1. Rujuk pada ‘Resource Materials’ dan baca Smith, K. J. (2001). “The Nature of

Mathematics”. Pacific Grove CA: Brooks and Cole : muka surat. 129 -140

2. Buat latihan tentang cara menukar asas b kepada asas 10 dan sebaliknya. Anda

boleh pilih soalan yang relevan dari muka surat. 78 – 79 dan muka surat.139 – 140

.


18

Peringatan : Simpan nota dan bahan yang dicetak termasuk penyelesaiannya di dalam portfolia masing-masing.

Rujukan

Musser, G. L., et al.(2006). Mathematics for Elementary Teachers. 7th ed. USA: John Wiley

Smith, K.J. (2001). The Nature of Mathematics. 9th ed. Pacific Grove CA: Brooks /Cole

Thomson Learning

1. The Development of Ancient Numeration Systems:

http://mtl.math.uiuc.edu/projects/2/Wood/frame.htm

2. Mayan Numeration:

http://www.hanksville.org/yucatan/mayamath.html

http://72.40.235.132/search?q=cache:uuG7HTn90kJ:lacosta.cs.txstate.edu/Mmath

lessons/Year3Fall/MayanNumberingsystem.

3. Number bases:

http://www.macdonald.egate.net/CompSci/Pascal/hnumeration.html

Sesawang yang berguna.

MTE3101 Knowing Numbers

26

Topik 7

Penganggaran Kuantiti

7.0 Sinopsis

Tajuk ini merangkumi kemahiran pembundaran nombor nyata termasuk nombor

bulat, pecahan, dan perpuluhan. Definisi bentuk piawai, punca kuasa dua dan surd

juga diberi. Panduan untuk membundarkan nombor dan mencari anggaran yang

baik diberi untuk mengingat kembali apa yang anda telah belajar semasa di

sekolah menengah.


Menganggar kuantiti dengan membundarkan nombor nyata termasuk nombor

bulat, pecahan, dan perpuluhan.

7.2 Kerangka Konsep

7.3 Penganggaran kuantiti

Penganggaran adalah kemahiran matematik yang penting dan ia sangat

berguna dalam kehidupan harian kita. Dengan demikian, kita perlu mengajar

anak-anak kita untuk menganggar wang, panjang masa, jarak, dan lain-lain lagi

Penganggaran Kuantiti

Membundarkan nombor:

Nombor Bulat

Membundarkan nombor:

Pecahan

Bentuk Piawai

Punca Kuasa Dua dan Surd


27

kuantiti fisikal. Pelbagai teknik boleh digunakan untuk menganggar kuantiti

dengan menggunakan panduan tertentu. Proses penganggaran boleh dibuat

dengan mencari anggaran atau penghampiran jawapan . Ia biasanya

melibatkan penggunaan matematik mental.

Pembundaran biasanya digunakan untuk menggantikan nombor yang kompleks

dengan nombor yang mudah. Ia adalah paling berguna untuk membuat

penganggaran dalam pengiraan. Pembundaran sentiasa digunakan untuk

mendapat jawapan sebelum pengiraan tepat dilaksanakan.

7.4 Pembundaran nombor

Kita sentiasa membuat pembundaran semasa membuat anggaran.

Pembundaran memberi jawapan yang hampir. Terdapat beberapa teknik

pembundaran yang boleh digunakan untuk mendapat anggaran. Setiap teknik

melibatkan pembundaran ke nilai tempat yang tertentu. Contohnya, apabila

membundar sesuatu nombor anda mencari gandaan 10 yang terhampir ( atau

ratus yang hampir atau kepada nilai tempat yang hampir). Pembundaran adalah

sejenis penganggaran. Apabila membundar sesuatu nombor, kita sama ada

round up atau round down. Terdapat beberapa peraturan tertentu yang perlu

diikuti apabila membuat pembundaran sama ada nombor bulat, pecahan atau

perpuluhan.

7.4.1 Pembundaran nombor bulat

Nombor bulat boleh dibundar kepada puluh terhampir, ratus terhampir, ribu

terhampir, dan sebagainya. Manakala, nombor perpuluhan boleh dibundarkan

kepada persepuluhan yang hampir, perseratus yang hampir, perseribu yang

hampir, dan sebagainya.

Pembundaran nombor biasanya digunakan untuk permudahkan pengiraan mental.

Nombor yang dibundarkan hanya akan mendapat jawapan yang hampir sahaja

semasa pengiraan dibuat. Terdapat dua sebab yang penting untuk membuat

anggaran: (1) untuk menyelesaikan masalah dengan cepat, atau (2) untuk

menyemak jawapan yang munasabah.


28

Pada garis nombor, anda boleh lihat bagaimana pembundaran nombor

menghampiri nilainya.

Teknik pembundaran yang biasa digunakan di sekolah adalah membundarkan

nombor yang diakhiri dengan 5. Salah satu keburukan kaedah ini adalah anggaran

yang diperoleh apabila terdapat beberapa 5 yang terlibat akan menghasilkan

jawapan yang besar. Contohnya, cari anggaran hasil tambah bagi 35 + 45 + 55 +

65 + 75 akan menghasilkan nilai yang tinggi , lebih sebanyak 25 kalau

dibandingkan dengan nilai tepatnya, 275, kerana 40 + 50 + 60 + 70 + 80 = 300.

Mari kita lihat contoh pembundaran nombor kepada kuasa sepuluh seperti di

bawah:

Contoh:

Populasi England lebih kurang 60 juta. Populasi bagi lima bandar besar, kepada

ratus ribu yang hampir adalah seperti yang ditunjukkan di bawah:

London 6.4 juta

Birmingham 1.0 juta

Liverpool 0.5 juta

Sheffield 0.4 juta

Leeds 0.4 juta

(a) Apakah kemungkinan bilangan populasi terbesar bagi London?

(b) Coventry ialah bandar ke sepuluh besar dengan populasi 0.3 juta.

Anggarkan peratus populasi England yang tinggal di sepuluh bandar

terbesar itu?


29

Penyelesaian

(a) 6.4 juta bersamaan 6 400 000 dan telah dibundarkan kepada ratus ribu

yang hampir. Nombor yang terbesar yang mungkin dibundarkan kepada

6 400 000 ialah 6 449 999. Jika bilangannya 6 450 000, ia akan

dibundarkan kepada 6.5 juta.

(b) Bandar keenam ke bandar kesembilan besar mesti mempunyai populasi

antara 0.3 juta dan 0.4 juta. Kita menganggar min bagi populasi ini

sebanyak 0.35 juta.

Maka,

Jumlah pupulasi dalam 10 bandar terbesar itu

=( 6.4 + 1 + 0.5 + 0.4 + 0.4 + 4 x 0.35 + 0.3) juta

= 10.4 juta

Jadi, peratus populasi dalam 10 bandar terbesar

= x 100%

= 17 % kepada peratus yang hampir.

7.4.2 Pembundaran pecahan dan perpuluhan

Seperti yang tersebut diperingkat awal, nombor perpuluhan boleh dibundarkan

kepada persepuluh ,perseratus, perseribu yang hampir atau kepada lain tempat

perpuluhan yang hampir. Terdapat peraturan yang perlu diikuti apabila

membundarkan nombor kepada suatu tempat perpuluhan yang tertentu.

10.4 60


30

Ikutilah langkah di bawah untuk membundarkan nombor kepada bilangan tempat

perpuluhan yang dikehendaki.

(i) Tambah 1 kepada digit pada tempat perpuluhan itu jika digit di sebelah

kanannya sama atau lebih besar daripada 5.

(ii) Kalau digit di sebelah kanannya kurang daripada 5 biarkan digit tersebut

(iv) Keluarkan digit-digit yang tidak berkaitan.

Apakah nombor yang anda akan dapat apabila anda membundarkan 3.417824

kepada 2 titik perpuluhan? Ya, anda betul! Jawapannya ialah 3.42.

Bagaimana anda membundarkan nombor perpuluhan yang diberi kepada nombor

bulat yang hampir? Bolehkah kita mengguna kaedah yang sama seperti yang

dinyatakan di atas? Adakah peraturan yang sama dipatuhi apabila membundarkan

nombor perpuluhan kepada nombor bulat yang hampir?

Peraturan adalah sama seperti di atas. Dalam perkataan lain, apabila

membundarkan nombor perpuluhan kepada nombor bulat yang hampir, kita

sebenarnya membundarkan nombor itu kepada 0 tempat perpuluhan.

Mari kita lihat contoh di bawah:

Contoh:

6.5489 dibundar kepada nombor bulat yang hampir ialah 7

Cuba buat soalan berikut:

Bundarkan nombor berikut kepada nombor bulat yang hampir.

0.985

325.092

45.7

¼

⅞

Catatan: Apabila membundarkan pecahan, kita perlu menukarnya kepada nombor

perpuluhan dahulu sebelum membundarkannya kepada tempat perpuluhan yang

dikehendaki.


31

Apabila menganggar kuantiti, kita sentiasa menanya diri sendiri, adakah anggaran

kita betul atau salah. Perkara yang penting dalam penganggaran berkaitan dengan

berapa tepat anggaran yang diperoleh. Apabila membundarkan nombor, darjah

ketepatan boleh berubah. Kadang-kadang jawapan yang tepat tidak diperlukan

tetapi anggaran sudah memadai. Kadang-kadang jawapan tepat diperlukan dan

penganggaran tidak perlu.

Tip yang berguna: Jangan membundarkan nombor terlalu awal sehingga jawapan

akhir diperoleh supaya jawapan yang lebih tepat didapati.

Contoh:

Jika kita hendak mencari jawapan untuk jangan membundarkan

sebelum mendarab dengan 4.8. Laksanakan operasi darab itu dahulu

sebelum membundarkan jawapan akhir. Iaitu, jawapan akhir sepatutnya 22.03

kepada 2 tempat perpuluhan bukanlah 22.08.

Darjah ketepatan bagi nombor yang dibundarkan bergantung kepada situasi dan

keperluan pengguna. Contohnya:

Anggaran telah memadai apabila mengira bilangan minuman yang

diperlukan untuk sesuatu majlis.

Jawapan yang tepat diperlukan apabila mengira jumlah dos yang perlu

disuntik pada pesakit. .

Tentukan darjah ketepatan yang diperlukan untuk situasi berikut dengan

menggunakan pilihan yang dibekalkan. Beri sebab untuk pilihan anda.

9.64

2.1 X 4.8

9.64

2.1

A. Setepat yang mungkin

B. Anggaran sudah memadai

C. Anggaran sudah memadai,tetapi ia mesti tepat dan


32

(i) Doktor haiwan menggunakan berat kucing untuk mengira berapa banyak

ubat yang perlu disuntik kepada kucing itu.

(ii) Kontraktor mengira jumlah kayu yang perlu dibeli untuk membina pondok.

(iii) Tukang masak mengira berapa banyak tepung dan gula yang perlu untuk

membuat kek.

(iv) Wartawan mengira bilangan orang yang telah menghadiri pameran Seni

minggu lepas.

Penganggaran adalah penting dalam penyelesaian masalah yang melibatkan

pemikiran mental untuk menentukan jawapan yang munasabah. Menurut kamus

Webster’s New World Dictionary, ‘menganggar’ bermakna ‘membina pendapat atau

penghakiman sesuatu’ atau mengira secara hampir. Maka, perkembangan

kemahiran penganggaran adalah aspek yang penting dalam kelas matematik

kerana ia boleh diaplikasi dalam kehidupan harian kita. Beberapa panduan untuk

penganggaran diberi seperti berikut:

Panduan untuk penganggaran

Cari nombor yang sesuai supaya anda dapat membuat pengiraan secara

mental.

Contoh: 200 ÷ 5.8 ≈ 200 ÷ 5 lebih baik daripada 200 ÷ 6

Contoh:

( ≈ bermakna ‘menghampiri’ )

Mencari nombor yang boleh dibahagi

.

Contoh:

Apabila mendarab atau membahagi jangan menghampirkan nombor

kepada sifar.

Guna 0.1, 0.01 atau 0.001, dan lain-lain.

72.6 x 347.05 0.86 ≈ (100 x 350) ÷ 1

12 x 500 4 ≈ = 1500

12.46 x 486.21 3.78


33

Contoh:

105.6 x 0.014 sepatutnya tidak dianggarkan sebagai 100 x 0. Ia lebih baik

mengguna 100 x 0.01 atau 100 x , yang menghasilkan anggaran 1.

Apabila mendarab dua nombor, cuba membundarkan one up dan one

down.

Apabila membahagi dua nombor, cuba membundarkan dua nombor up atau

down.

Contoh: Lebih baik menganggar 4.5 x 3.5 sebagai 5 x 3 atau 4 x 4 daripada

5 x 4 kerana 4.5 x 3.5 = 15.75. Lagipun 5 x 3 = 15 atau 4 x 4 = 16 kedua-

duanya memberi anggaran yang lebih dekat dengan jawapan tepat jika

dibandingkan dengan 5 x 4 = 20.

Contoh: Lebih baik menganggar sebagai daripada

kerana

yang lebih dekat dengan jawapan tepat kalau dibanding dengan = 9

( Catatan: Biasanya terdapat lebih daripada satu anggaran yang mungkin

sebagai jawapan )

7.5 Bentuk piawai

Bentuk piawai adalah satu cara untuk menulis nombor yang sangat besar atau

sangat kecil dalam bentuk yang lebih senang dan kemas. Sebagai contoh, 10³ =

1000, jadi 4 × 10³ = 4000 . Maka, 4000 boleh ditulis sebagai 4 × 10³. Nombor yang

lebih besar daripada contoh itu juga boleh ditulis dengan menggunakan bentuk

piawai.

83.2 8.5

= 9.79 (2 t.p.) dan = 10 memberi anggaran

81 9

83.2 8.5

80 8

81 9

80 8

1 100


34

Nombor yang kecil juga boleh ditulis dalam bentuk piawai tetapi indeksnya akan

menjadi negatif (contoh di atas indeksnya adalah positif 3).

Bentuk am nombor dalam bentuk piawai boleh ditulis seperti ditunjukkan di

bawah:

Ahli sains dapat mengesan jarak dari bumi ke planet yang lain dan mengukur berat

bumi dalam kilogram dan sebagainya. Semua ukuran ini adalah sangat besar.

Mereka menggunakan notasi saintifik seperti yang ditunjukkan di atas untuk

menulis ukuran yang besar itu. Nilai A ialah nombor perpuluhan antara 1 dan 10,

termasuk 1; iaitu , 1 ≤ A < 10. Secara ringkas, notasi saintifik atau juga dikenali

bentuk piawai adalah satu kaedah menulis nombor dalam bentuk perpuluhan yang

berada dalam lingkungan 1 dan 10 darab dengan kuasa 10. Sebagai contoh,

10,592 ditulis sebagai 1.0592 × 104 dalam bentuk notasi saintifik. Bukan sahaja

ahli sain, malahan ahli matematik dan jurutera juga munggunakan kaedah ini untuk

mewakili nombor yang sangat besar atau sangat kecil.

Beberapa contoh ukuran menggunakan notasi saintifik atau bentuk piawai diberikan

di bawah:

Halaju cahaya ialah 2.99792458×108 m/s .

Jisim elektron lebih kurang

0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 910 938 22 kg. Dalam notasi

saintifik, ia ditulis sebagai 9.109 382 2×10-31 kg

Jisim bumi lebih kurang 5,973,600,000,000,000,000,000,000 kg. Dalam

notasi saintifik, ia ditulis sebagai 5.9736×1024 kg.

Perimeter bumi menghampiri 40,000,000 m. Dalam notasi saintifik, ia ditulis

sebagai 4×107 m.

Notasi saintifik atau bentuk piawai juga dikenali notasi eksponen. Sebagai

kesimpulan notasi saintifik digunakan untuk menulis nombor yang sangat besar

atau sangat kecil.

A x 10n di mana 1 A <10 dan n ε Integer


35

Carta di bawah menunjukkan lain contoh untuk mewakili nombor dalam notasi

saintifik atau bentuk piawai.

Notasi nombor perpuluhan yang biasa

Notasi saintifik

300 3×102

4,000 4×103

5,720,000,000 5.72×109

−0.000 000 006 1 −6.1×10−9

Sebagai kesimpulan, nombor dalam bentuk piawai boleh dibundarkan kepada tempat perpuluhan yang tertentu.

Mari kita lihat contoh yang lain.

Contoh 1

Tulis 81 900 000 000 000 dalam bentuk piawai.

81 900 000 000 000 = 8.19 × 1013

Catatan: 1013 kerana titik perpuluhan telah bergerak 13 tempat ke kiri untuk

mendapat nombor 8.19.

Contoh 2

Tulis 0.000 001 2 dalam bentuk piawai.

0.000 001 2 = 1.2 × 10-6

10-6 kerana titik perpuluhan telah bergerak 6 tempat ke kanan untuk mendapat 1.2

Sekarang, selesaikan yang berikut:

Tulis dalam bentuk piawai. Bundarkan jawapan anda ke 2 tempat perpuluhan.

7 891 124

0.000 005 437

124 809


36

Bermain dengan kalkulator!

Kalkulator juga boleh digunakan dengan senang untuk menolong anda menulis

nombor yang sangat besar atau sangat kecil dalam bentuk piawai. Anda biasanya

menaip nombor dengan menggunakan kalkulator dalam bentuk piawai seperti

berikut:

Taipkan nombor pertama yang terletak di antara 1 dengan 10. Tekan EXP .

Taipkan kuasa nombor yang dikehendaki. Teruskan penerokaan anda.

Manipulasi dalam bentuk piawai

Contoh dibawah menerangkan maksud di atas:

Contoh Jika nilai bagi p dan q ialah 8 × 105 dan 5 × 10-2 masing-masing, kira (i) p x q ;

(ii) p ÷ q. Beri jawapan dalam bentuk piawai.

Penyelesaian

(i) Darab 8 x 5 dan 105 × 10-2 .

Maka, 8 × 5 × 105 × 10-2 = 40 × 103

(Ingat: 105 × 10-2 = 103)

Jawapan di atas bukan dalam bentuk piawai kerana 40 tidak ditulis dalam

lingkungan 1 hingga 10. Jadi jawapan yang sepatutnya ialah 4 × 104 atau 4.0 x

104 .

(ii) Kali ini, bahagi 8 dengan 5 dahulu kemudian darab dengan hasil bahagi apabila

105 dibahagi oleh 10-2 .

(8 ÷ 5) × (105 ÷ 10-2) = 1.6 × 107


37

Sekarang cuba yang berikut:

Kira dan memberi jawapan dalam bentuk piawai. Bundarkan jawapan anda

kepada 2 tempat perpuluhan.

67 X 1289

8942 ÷ 0.127

7.6 Punca kuasa dua dan surd

Punca kuasa dua bagi nombor tertentu ialah suatu nombor, apabila didarab

dengan dirinya sendiri akan menghasilkan nombor yang diberikan itu. Punca kuasa

dua adalah operasi songsangan bagi kuasa dua. Sebagai contoh, punca kuasa dua

bagi 9 ialah 3, kerana 3 darab dengan diri sendiri akan mendapat 9.

Simbol di bawah menunjukkan simbol punca kuasa dua.

Ini adalah simbol khas yang bermakna punca kuasa dua. Ia

nampak seperti tanda betul ( tick).

Ia dipanggil sebagai radical, dan digunakan dalam matematik.

Sebagai contoh, anda boleh menulis dalam bentuk ini: . Ia dibaca

sebagai “punca kuasa dua bagi 9 sama dengan 3”.

Punca kuasa dua bagi nombor yang lain

Adalah mudah mencari punca kuasa dua bagi kuasa dua sempurna ( contoh: 4, 9,

25, 36 ...), tetapi agak sukar untuk mencari punca kuasa dua bagi nombor yang

bukan kuasa dua sempurna. Sebagai contoh, apakah nilai punca kuasa dua bagi

10?

Penyelesaian

Apa yang kita perlu buat adalah dengan mencari nombor tertentu dan darabkan diri

sendiri untuk mendapat 10. Oleh kerana 3 × 3 = 9 dan 4 × 4 = 16, kita boleh

menganggarkan bahawa jawapannya berada di antara 3 dan 4. Untuk meneruskan

mencari jawapan ini boleh mengambil masa yang panjang.


38

Sebagai contoh,

Cuba 3.5: 3.5 × 3.5 = 12.25

Cuba 3.2: 3.2 × 3.2 = 10.24

Cuba 3.1: 3.1 × 3.1 = 9.61

Dari atas, kita dapat meneka bahawa jawapan berada dalam lingkungan 3.1 dan

3.2 . Anggaran yang munasabah adalah lebih kurang 3.15 .

Kalau disemak dengan kalkulator, kita akan mendapat jawapan seperti berikut:

3.1622776601683793319988935444327

Tetapi, dalam kes ini,digit-digit itu akan bersambung panjang tanpa pola. Maka ,

jawapan daripada kalkulator pun merupakan anggaran sahaja! Untuk

permudahkan jawapan, ia boleh dibundarkan kepada nilai tempat tertentu, misalan

3 tempat perpuluhan atau lebih. Berdasarkan nombor di atas, apakah nilai bagi √10

dalam bentuk piawai jika dibundarkan kepada 3 tempat perpuluhan? Betul! Ia

bernilai 3.162 .

Jawapan untuk punca kuasa dua bagi nombor bukan kuasa dua sempurna

sentiasa dibundarkan kepada 2 atau lebih tempat perpuluhan.

Bolehkah anda membundarkan punca kuasa dua bagi 10 kepada 2 titik perpuluhan

atau 1 titik perpuluhan?

Apakah nilai jika ia dibundarkan kepada nombor bulat yang terhampir?

Jawapannya ialah 3 tetapi ia sebenarnya nilai punca kuasa dua bagi 9 bukan 10!

Jadi, kita akan mendapat anggaran yang agak rendah maka ia tidak tepat. Dengan

demikian, membundar nombor kepada nombor bulat yang hampir akan

menghasilkan jawapan yang agak rendah.

Surd adalah nombor yang tidak dapat dipermudahkan tanpa tanda punca kuasa

dua atau punca kuasa tiga atau punca kuasa nombor yang lain. Dalam perkataan

lain, terdapat nombor yang ditulis dalam bentuk punca kuasa dua atau punca kuasa

nombor yang. Kita menulis nombor dalam bentuk surd kerana nombor berkenaan

boleh ditulis sampai tidak terhingga apabila ditulis dalam bentuk perpuluhan,


39

seperti punca kuasa dua bagi 10 yang dibincang di atas. Jadi nombor tersebut

menjadi tidak cermat ditulis. Kita juga boleh menganggar nilai bagi surd..

Sebagai contoh, √2 ( dibaca sebagai punca kuasa dua bagi 2) tidak dapat

dipermudahkan lagi jadi ia adalah surd tetapi √4 (punca kuasa dua bagi 4) boleh

dipermudahkan menjadi 2, maka ia bukan surd. Carta di bawah memberi

gambaran yang lebih jelas mengenai surd:

Nombor Dipermudahkan Sebagai titik perpuluhanSurd atau bukan?

√2 √2 1.4142135(etc) Surd

√3 √3 1.7320508(etc) Surd

√4 2 2 Bukan surd

√(1/4) 1/2 0.5 Bukan surd 3√(11) 3√(11) 2.2239800(etc) Surd 3√(27) 3 3 Bukan surd 5√(3) 5√(3) 1.2457309(etc) Surd

Apa yang dilihat di atas, surd mempunyai nombor perpuluhan yang tidak terhingga

dan digitnya tidak berulang dengan demikian surd merupakan Nombor Bukan

Nisbah.

Perkara yang menarik:

Adakah anda tahu asal usul perkataan "Surd" ?

Lebih kurang 820 T.M., ahli matematik Persian, al-Khwarizmi, di mana kita

memperoleh nama “Algorithm", menamakan nombor bukan nisbah, (Irrational),

“inaudible". Kemudian ia diperjemahkan ke bahasa Latin surdus ("pekak" atau

"bisu"). Jadi, "Surd" juga dikenal sebagai "Irrational" yang bermakna tidak waras,

tetapi sekarang ia digunakan untuk punca kuasa nombor bukan nisbah.


40

Sekarang, cuba lihat contoh berikut:

Contoh:

Anggarkan nilai bagi √29.

Penyelesaian

Oleh kerana √29 terletak di antara √25 = 5 dan √36 = 6 maka nilai bagi √29

adalah antara 5 dan 6.

Cuba soalan berikut:

Anggarkan surd yang diberi di bawah. Semak jawapan anda dengan

menggunakan kalkulator dan membundarkan jawapan anda kepada 2 tempat

perpuluhan.

√37

√230

√0.0078

√0.01 569

Perkara yang perlu dibuat:

1. Rujuk pada Bahan Resos dan baca nota mengenai “Place value, Ordering and

Rounding” dalam Tipler, M. J. et al. (2003). New national framework

mathematics. ( pp. 26 – 33 and 67–72.)

Lengkapkan tugasan pada ms. 29 dan ms. 67

Buat latihan daripada Exercise 6 pada ms. 69 – 72.

2. Cari lagi latihan berkaitan dengan penganggaran kuantiti dari bahan resos yang

lain seperti internet atau buku. Buatlah latihan yang diperoleh.

Tahniah! Anda telah sampai ke penghujung modul ini.

Selamat belajar dan semoga anda berjaya !


41

Rujukan

Tipler, M. J. et al. (2003). New national framework mathematics. United Kingdom:

Nelson Thornes Limited.

Laman web:

1. Pembundaran nombor::

http://www.enchantedlearning.com/math/rounding/

2. Anggaran dan pembundaran nombor perpuluhan:

http://www.math.com/school/subject1/lessons/S1U1L3GL.html#

GCSE Maths/www.mathsrevision.net/gcse/pages324e.html?page=43 ?

3. Punca kuasa dua dan surd:

http://www.mathsisfun.com/square-root.html


18

Topik 2

Teori Asas Nombor

2.0 Sinopsis Topik ini merangkumi jenis-jenis sistem nombor dan memfokus kepada takrif sistem

nombor, mengklasifikasi set nombor Nyata dan perwakilan nombor. Sistem nombor dalam

topik ini merujuk kepada Nombor Nyata termasuk set nombor asli, Nombor Bulat, Integer,

Nombor Nisbah dan Nombor bukan Nisbah.


1. Menjana satu set nombor kepada set nombor yang lain.

2. Mencirikan nombor Asli, nombor nisbah , nombor bukan nisbah dan nombor nyata.

2.2 Kerangka Konsep

2.3 Sistem Nombor

Teori Nombor ialah salah satu cabang tertua dalam matematik tulin dan memfokus kepada

kajian tentang nombor asli. Aritmetik diajar di sekolah kepada kanak-kanak dan dimulakan

dengan mempelajari nombor dan operasi nombor. Set nombor pertama diperkenalkan

kepada kanak-kanak ialah set nombor yang boleh bilang atau nombor asli.

Di dalam matematik, sistem nombor ialah suatu set nombor. Kanak-kanak mula

mempelajari nombor asli : 1,2,3, ............... dengan empat operasi asas iaitu operasi

penambahan,penolakan,pendaraban dan pembahagian. Kemudian, nombor bulat 0,1,2, ....

diperkenalkan, diikuti oleh integer termasuk nombor negatif. Langkah seterusnya

termasuklah nombor nisbah dan nombor bukan nisbah. Secara ringkasnya sistem nombor

merangkumi topik nombor asli, nombor bulat,integer,nombor nisbah dan nombor bukan

nisbah dan nombor nyata.

Nombor Nyata

Nombor Asli

Nombor Bulat

Nombor bukan nisbah

Nombor Nisbah

Integer


19

Dengan mempelajari sistem nombor, ia boleh membantu anda untuk memahami dengan

lebih baik teori asas nombor di dalam topik seterusnya.

2.3.1 Takrif

Untuk menjadi guru matematik yang baik, kita perlu menguasai pengetahuan yang

mendalam tentang sistem nombor yang berbeza. Adalah suatu kemestian untuk tahu

mentakrifkan set nombor yang berlainan.

Nombor Nyata

Apakah dia nombor nyata?

Suatu nombor nyata merujuk kepada sebarang nombor yang terletak pada garisan

nombor .Nombor nyata mengandungi semua nombor nisbah ( iaitu nombor perpuluhan

berulang yang infiniti, nombor positif, negatif dan sifar) bersama dengan satu set nombor

dipanggil nombor bukan nisbah. Dalam lain perkataaan, set nombor nyata ialah set

semua nombor yang diwakilkan oleh nombor perpuluhan infiniti.

Di sekolah, nombor boleh bilang diajar terlebih dahulu, diikuti oleh nombor bulat,pecahan

dan integer. Hubungan antara set nombor ini ditunjukkan di bawah.

Setiap anak panah mewakili “ialah subset bagi”, sebagai contoh, set nombor boleh bilang

ialah subset bagi suatu set nombor bulat, dan seterusnya. Kedua dua nombor pecahan

dan integer menjana sistem nombor bulat.

Nombor boleh bilang

(Nombor Asli)

Nombor Bulat

Pecahan

Integer


20

Gambarajah di atas boleh dijanakan untuk merangkumi set nombor nisbah seperti di

bawah:

Mari kita ulangkaji takrif untuk set nombor yang berlainan seperti rumusan yang

ditunjukkan dalam jadual di bawah. Takrif ditulis menggunakan set notasi. Penggunaan

simbol { } ,dipanggil “kurungan” menandakan set tertutup dan terbuka bagi pungutan atau

kumpulan nombor-nombor. Tiga titik selepas nombor 3 menandakan pola adalah

berterusan.

Takrif bagi set nombor-nombor

Nama Set Nota dan contoh

Nombor Asli

{1, 2, 3, . . .} mewakili semua nombor boleh bilang bermula dengan 1

Nombor bulat

{0, 1, 2 , 3, . . .} Bermula dengan sifar termasuk semua nombor asli.

Integer {0, ±1, ±2, ±3,. . .} termasuk nombor bulat negatif, 0 dan positif.

Nombor nisbah

{ | p dan q adalah integer, q ≠ 0 }

Dibaca sebagai p per q, di mana p dan q adalah integer,q ≠ 0 .

Nombor nisbah boleh ditulis dalam bentuk perpuluhan, iaitu sama ada perpuluhan terhad atau berulang. Contoh:

67.03

25.0

2

1 dan

di mana palang di atas 67 bermaksud nombor 6 dan 7 ditulis berulang iaitu 0.67676767676......

Nombor bukan nisbah

{x | x ialah nombor perpuluhan tak berulang dan tak terhad. }

Contoh:

pi (∏) ≈ 3.14159. . , ; e ≈ 2.71828… ; √2 , etc.

Nombor nyata

{x | x boleh ditulis sebagai nombor perpuluhan.}

Dibaca sebagai semua nombor x, sedemikian hingga x boleh ditulis sebagai perpuluhan.

Nombor boleh bilang

Nombor Bulat

Pecahan

Integer

Nombor Nisbah

p q


21

2.3.2 Klasifikasi set nombor nyata.

Di dalam matematik, jenis nombor yang berlainan dikumpulkan bersama dan diberi nama

khusus. Adalah mustahak untuk memahami organisasi set nombor ini.

Nombor nyata boleh diklasifikasikan di bawah set nombor yang berlainan. Perhatikan

senarai nombor yang ada dalam jadual di atas.

Apakah yang dapat anda perhatikan?

Bila kita melihat senarai ke bawah, suatu set baru akan mengandungi semua set nombor di

atasnya. Sebagai contoh,Nombor bulat mengandungi nombor asli di dalamnya.

Hakikatnya, suatu set nombor bulat mengandungi semua nombor asli bersama satu

nombor baharu iaitu sifar. Jika kita terus lihat senarai ke bawah, nombor menjadi lebih

“rumit”. Pecahan diperkenalkan sebagai sebahagian daripada satu yang menyeluruh.

Pada masa yang sama, bila kita belajar mengenai hutang dan nombor negatif, kita mula

menggunakan integer.

Daripada penerangan di atas, tentang set yang berlainan yang terdapat dalan sistem

nombor nyata, kita boleh lihat bagaimana suatu set nombor mempunyai hubungan antara

satu sama lain dan diklasifikasikan secara progresif. Sekarang bolehkah anda

menerangkan hubungan antara set?


22

Hubungan antara set nombor ditunjukkkan dalam gambarajah venn di bawah.

Uji kefahaman anda!

1. Tentukan sama ada pernyataan berikut betul atau salah. Beri sebab bagi jawapan anda.

i. Setiap integer ialah nombor nisbah..

ii. Setiap nombor nisbah adalah juga nombor bukan nisbah.

iii. Setiap nombor asli ialah suatu integer.

iv. Setiap integer ialh nombor asli.

2. Pertimbangkan set nombor berikut:

{ - √81, - 0.315, 1, 3 , ⅞, 23, 6∏, 27, √3, 89.4, 100 000 }

Klasifikasikan dan senaraikan nombor berikut di atas mengikut set yang betul.

i Nombor asli

ii Nombor Bulat

Nombor Nisbah

Nombor Nisbah

Nombor Bulat

Integer

Nombor Asli

Nombor bukan Nisbah

1,2,3....

0

4

3

-1 -2 -3

11.23

245.3

2 3.1427....


23

iii integer

iv Nombor nisbah

v Nombor bukan nisbah

vi Nombor Nyata.

2.3.3 Perwakilan Nombor

Selain menggunakan set notasi untuk mewakili pelbagai jenis nombor nyata, kita juga

boleh menggunakan abjad atau huruf untuk mewakilkan set nombor nyata.

Ini ditunjukkan dalam jadual di bawah.

Nama bagi set nombor Simbol yang mewakili set

Nombor asli N

Nombor Bulat W

Integer Z

Nombor Nisbah Q

Nombor Bukan Nisbah Q'

Nombor Nyata R

Nombor nyata juga boleh diwakilkan menggunakan garisan nombor. Menulis nombor

pada garisan nombor memudahkan kita untuk mengenalpasti nombor yang kecil dan yang

besar. Susunan nombor nyata adalah secara tertib pada garisan nombor. Titik disusun

secara tertib supaya nombor yang besar terletak di sebelah kanan sifar dan nombor kecil

berada di sebelah kiri, seperti yang ditunjukkan di bawah.

Garisan Nombor

Nombor Negatif (-) Nombor Positif (+)


24

Nombor di sebelah kanan lebih besar daripada nombor di sebelah kiri.

8 lebih besar daripada 5 1 lebih besar daripada -1 Tetapi perhatikan bahawa -8 lebih kecil daripada -5

Garisan nombor di atas menunjukkan

Setiap nombor nyata berpadanan dengan jarak pada garisan nombor, yang

bermula dengan sifar di titik tengah.

Nombor negatif mewakili jarak ke kiri daripada sifar, dan nombor positif ialah jarak

ke kanan.

Anak panah di hujung menandakan garisan adalah berterusan di kedu dua arah.

Contoh : garisan nombor berikut menunjukkan set bagi Nombor asli.

Cuba wakilkan set nombor lain yang dibincangkan di atas menggunakan garisan nombor.

Kesimpulannya, Nombor Nyata terdiri daripada perkara berikut:

Nombor Nisbah + Nombor bukan Nisbah

Semua titik terletak pada garisan nombor.

Semua jarak yang mungkin terletak pada garisan nombor. Perbincangan di atas bertujuan membantu anda untuk mengenali dan mencirikan set

nombor berlainan yang terdapat dalam sistem nombor nyata. Di harap anda telah

mendapat kefahaman yang mendalam tentang sistem nombor dan bersedia untuk topik

seterusnya. SELAMAT BELAJAR!

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11


25


1. Rujuk pada “ Resource Materials” dan baca nota tentang ‘Numbers and

Numeration’.

2. Cari sesawang yang bertajuk ‘Classification of number systems’.

Cetak maklumat dari seswang tersebut dan simpan dalam portfolio

anda.

Rujukan

Sesawang yang relevan:

1. Number theory:

http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/index/11-XX.html

2. Number Systems:

http://www.jamesbrennan.org/algebra/numbers/real_number_system.htm

3. The Real Number System:

http://www.jamesbrennan.org/algebra/numbers/real_number_system.htm

4. Whole Numbers and Integers

http://www.mathsisfun.com/whole-numbers.html


26

Topik 3

Nombor Asli

3.0 Sinopsis Topik ini mengenai Nombor Asli yang merangkumi Nombor Perdana,Nombor

Modular,Teorem Asas Arithmetik dan rekreasi nombor. Dalam Nombor Perdana peraturan

kebolehbahagi dan pemfaktoran perdana dengan menggunakan pokok faktor

dititikberatkan. Cara yang lain untuk mencari gandaan sepunya terkecil dan faktor sepunya

terbesar khasnya untuk nombor besar dicari dengan menggunakan Algoritma Euclidean.

Manakala, Nombor Modular melibatkan operasi asas dan aplikasinya dalam kehidupan

juga dibincangkan. Perkaitan antara Nombor Fibonacci dengan Nisbah Keemasan (Golden

Ratio) dan alam semula jadi akan dibincangkan dan diaplikasikan dalam rekreasi nombor

dan penyelesaiaan masalah.


1. Menggunakan peraturan kebolehbahagi untuk menentu faktor bagi sesuatu nombor.

2. Mencari hasil darab faktor perdana bagi sesuatu nombor dengan menggunakan pokok faktor.

3. Mengguna algoritma Euclidean untuk mencari gandaan sepunya terkecil dan faktor sepunya terbesar.

4. Menggunakan Nombor Modular untuk menyelesaikan masalah harian.

5. Mengaplikasi nombor Fibonacci, nisbah Keemasan dan petak abjad dalam rekreasi nombor dan penyelesaian masalah.


27

3.2 Kerangka Konsep

3.3 Nombor Perdana 3.3.1 Bahagi

Katakan a dan b adalah sebarang nombor bulat dengan keadaan a ≠ 0. Kita kata a bahagi

b, dan ditulis sebagai a │b jika dan hanya jika terdapat satu nombor bulat x dengan

keadaan ax = b. Simbol a │b bermakna a tidak bahagi b.

Dalam perkataan lain, a bahagi b jika dan hanya jika a adalah faktor bagi b. Apabila a

bahagi b, kita juga katakan a adalah pembahagi (divisor) bagi b, b adalah gandaan

(multiper) bagi a, dan b boleh dibahagi oleh a.

Contoh:

Faktor bagi 12 adalah 1, 2, 3, 4, dan 12 kerana 1 x 12 = 12, 2 x 6 = 12, 3 x 4 = 12.

Pembahagi 12 = 1, 2, 3, 4, 12 ( sama dengan faktor)

Gandaan bagi 12= 12,24,36,...


28

Tentukan sama ada yang berikut benar atau palsu. Jelaskan.

(i) 3 │12 (ii) 8 adalah pembahagi bagi 96

(iii) 216 adalah gandaan bagi 6 (iv) 7 bahagi 34

Penyeleasaian

(i) Benar. 3 │12 kerana 3.4.= 12

(ii) Benar. 8 adalah pembahagi bagi 96 kerana 8. 12 = 96

(iii) Benar. 216 adalah gandaan bagi 6 kerana 6. 36 = 216

(iv) Palsu. 7 │34 kerana tiada nombor bulat x dengan keadaan 7 x = 34

3.3.2 Kebolehbahagi

Pernahkah anda lihat atau fikir bagaimana seseorang dapat menentukan sesuatu nombor itu boleh dibahagi dengan nombor tertentu secara cepat dan pantas? Pasti anda berasa ghairah, bukan?

Mari kita lihat ujian kebolehbahagi bagi nombor yang besar sertai contohnya.

Ujian Kebolehbahagi Contoh

Sesuatu nombor boleh dibahagi oleh 2 jika digit akhirnya ialah 0, 2, 4, 6 or 8.

168 boleh dibahagi oleh 2 kerana digit akhirnya ialah 8.

Sesuatu nombor boleh dibahagi oleh 3 jika jumlah semua digit boleh dibahagi oleh 3.

168 boleh dibahagi oleh 3 kerana jumlah digitnya ialah 15 (1+6+8=15), dan 15 boleh dibahagi oleh 3

Sesuatu nombor boleh dibahagi oleh 4 jika dua digit akhir nombor itu dibahagi 4.

316 boleh dibahagi oleh 4 kerana 16 boleh dibahagi oleh 4.

Sesuatu nombor boleh dibahagi oleh 5 jika digit akhir ialah 0 atau 5.

195 boleh dibahagi oleh 5 kerana digit akhirnya ialah 5.

Sesuatu nombor boleh dibahagi oleh 6 jika nombor itu boleh dibahagi oleh 2 DAN 3.

168 boleh dibahagi oleh 6 kerana nombor 168 boleh dibahagi oleh 2 DAN 3.

Sesuatu nombor boleh dibahagi oleh 8 jika tiga digit akhir boleh dibahagi oleh 8.

7,120 boleh dibahagi oleh 8 kerana 120 boleh dibahagi oleh 8.

Sesuatu nombor boleh dibahagi oleh 9 jika jumlah semua digit boleh dibahagi oleh 9.

549 boleh dibahagi oleh 9 kerana jumlah semua digit ialah 18 (5+4+9=18), dan 18 boleh dibahagi oleh 9.


29

Sesuatu nombor boleh dibahagi oleh 10 jika digit akhirnya ialah 0.

1,470 boleh dibahagi oleh 10 kerana digit akhirnya ialah 0.

Adakah anda sudah faham begitu mudah untuk menguji kebolehbahagi sesuatu nombor dengan mengingati beberapa peraturan di atas?

Nyatakan nombor-nombor yang boleh membahagi nombor berikut:

1. 450

2. 102,

3. 168,

4. 535,

5. 144,

6. 256

3.3.3 Algoritma Euclidean

Dalam sekolah menengah anda telah didedahkan cara mencari gandaan sepunya terkecil

(GSTK) dan faktor sepunya terbesar(FSTB) (sila rujuk buku teks Matematik Tingkatan

1) .Terdapat satu cara lain untuk mencari GSTK dan FSTB khasnya untuk nombor yang

besar. FSTB boleh dicari dengan mengaplikasi algoritma bahagi secara berulang.Cara ini

dipanggil Algoritma Euclidean. FSTB bagi dua integer boleh dicari dengan membahagi

pembahagi dengan baki secara berulang sehingga mendapat baki 0. FSTB adalah baki

terakhir yang bukan sifar dalam algoritma ini. Contoh berikut menunjukkan algoritma

Euclidean:

Contoh:

Cari FSTB bagi 81 dan 57 dengan menggunakan cara Algoritma Euclidean:

(Algoritma ini menggunakan nombor yang lebih kecil membahagi nombor yang lebih besar

secara berulang dan cari bakinya)

FSTB(81,57), 81 = 1(57) + 24 57 = 2(24) + 9 24 = 2(9) + 6 9 = 1(6) + 3 6 = 2(3) + 0.


30

(Mendapat baki 0 menunjukkan langkah akhir dalam algoritma Euclidean)

Jadi FSTB(81,57) = 3 iaitu baki terakhir yang bukan sifar. 3 adalah faktor bagi 6.

Keputusan di atas diperoleh berdasarkan algoritma Euclidean asas yang dinyatakan di bawah:

Berdasarkan contoh di atas, FSTB (81,57) = FSTB(57,24) =FSTB(24,9)= FSTB(9,6) =

FSTB(6,3).

Seterusnya, gandaan sepunya terkecil boleh dicari dengan menggunakan rumus berikut:

Maka,, GSTK (81,57) = 3

57.81= 1539

Cari FSTB bagi pasangan nombor berikut dengan menggunakan algoritma

Euclidean dan seterusnya mencari GSTK bagi pasangan nombor tersebut.

(a) FSTB(239, 51) ;

(b) FSTB(1403,549) ;

(c) FSTB(2160,999) ;

(d) FSTB (819,322)

Jika a dan b adalah integer, di mana a ≠ 0, dan

b = a q + r, di mana q dan r adalah integer,

maka FSTB(a,b) =FSTB(a,r)

GSTK (a,b) = ),(

.

baFSTB

ba


31


Rujuk bahan resos dan baca

1. S.Groves (2006). Exploring Number and Space. Deakin University. Divisibility: m.s 201-205

2. S Groves (2006).Topic 2 – The natural numbers- Additional notes. Prime

Factorization: The Euclidean Logarithm

3. Buat Tutorial 3.

4. Cari sumber yang lain untuk membuat latihan yang berkaitan.

3.4 Teorem Asas Aritmetik

Sebelum kita faham teorem di atas kita perlu faham beberapa definisi penting yang akan

dibincangkan di bawah

Definisi Nombor Perdana

Nombor perdana adalah integer positif p, dimana p > 1 (p lebih besar daripada 1) jika

ia hanya boleh dibahagi oleh nombor positif 1 dan p (dirinya sendiri).

Dalam perkataan yang lain, nombor perdana adalah nombor yang mempunyai hanya dua

faktor sahaja.

Maksud boleh dibahagi ialah, apabila dibahagi akan menghasilkan integer (rujuk atas) .

Definisi Nombor Komposit (Composite Number)

Nombor komposit adalah integer q, dimana q > 1 dan boleh dibahagi dengan nombor

selain 1 dan dirinya sendiri.Biasanya nombor komposit boleh ditulis sebagai hasil darab

nombor perdana. Sebagai contoh : 30 = 2×3×5

Dalam 10 integer positif pertama, 2,3,5,7 adalah nombor perdana dan 4,6,8,9,10 adalah

nombor komposit (composite number). Integer 2 adalah satu-satunya nombor perdana

yang genap (even). Cuba fikir kenapa 1 bukan nombor perdana?


32

3.4.1 Teorem Asas Aritmetik (TAR) memberitahui kita hubungan antara nombor komposit

dengan nombor perdana. Teorem ini menyatakan bahawa

Apa maksud kenyataan di atas? Mari kita melihat contoh berikut:

60 = 2 × 2 × 3 × 5 atau = 3 x 5 x 2 x 2

TAR memberitahui kita bahawa tiada cara untuk memfaktorkan 60 dalam nombor perdana

yang lain selain daripada yang ditulis di atas. Pemfaktoran ini adalah unik. Susunan faktor

adalah tidak penting. ( Adalah benar kita boleh faktor 60 menjadi 4 x 15 tetapi 4 dan 15

bukan nombor perdana).

Seterusnya, mari kita lihat cara yang mudah untuk menulis sebarang nombor komposit

dalam bentuk hasil darab nombor perdana.

3.4.2 Pokok Faktor

Bahagian ini menerangkan cara menulis nombor komposit dalam bentuk hasil darab

nombor perdana dengan menggnakan pokok faktor.

40 630

2 20 2 315

2 10 3 105

2 5 3 35

5 7

Gambarajah di atas menunjukkan pokok faktor bagi 40 dan 630. Pokok faktor ini dibina

dengan mencari satu faktor dahulu dengan menggunakan peraturan kebolehbahagi yang

telah anda belajar dalam bahagian 3.3.2. Setiap faktor itu mungkin nombor perdana atau

komposit. Jika nombor itu komposit teruskan pemfaktoran sehingga ia tidak dapat

difaktorkan.

Jadi, 60 = 2 x 2 x 2 x 5 ( atau 23 x 5)

Nombor asli boleh difaktorkan secara unik sebagai hasil darab nombor

perdana dalam cara yang unik.


33

dan 630 =2 x 3 x 3 x 5 x 7 (atau 2 x 32 x 5 x 7)

(Hasil darab faktor yang ditulis dalam kurungan itu adalah notasi eksponen.)

Dengan demikian kita boleh merumuskan bahawa,

Cari pemfaktoran perdana bagi (a) 200, (b) 75, (c) 36 dan tuliskan jawapan

dalam bentuk notasi eksponen.

3.4.3 Konjektur Goldbach

Pernahkah anda dengar tentang konjektur Golbach? Konjektur ini berkaitan dengan

nombor perdana. Konjektur Goldbach berbunyi seperti berikut:

Contoh:

4 = 2 +2, 10 = 3 + 7 atau 5 + 5, 100 = 89 + 11

Perhatikan nombor-nombor yang ditambahkan adalah nombor perdana.

Bolehkah anda memberi contoh-contoh yang lain? Ataupun anda boleh membuktikan konjektur ini salah?

Semua nombor asli genap yang besar daripada 2 boleh ditulis sebagai

jumlah 2 nombor perdana.

Jika m adalah nombor komposit, maka terdapat nombor perdana p1 , p2 ,..., pn dengan keadaan m = p1 x p2 x ...x pn Ini dipanggil pemfaktoran perdana bagi m.


34


1. Baca dari Bahan Resos: “The Fundamental Theorem of Arithmetic” in Susie

Groves (2006). Exploring Space and Numbers – Study Guide. p.24.

2. Baca dari Bahan Resos: “Prime Numbers” in Richard J.B. Number Systems: An

elementary approach. p. 142 – 145

3. Buat sipnosis dari bacaan “Ryan’s primes” in B. Juraschek & A.S. Evans (2000).

4. Cari sumber yang lain untuk membuat latihan yang berkaitan.

Selamat belajar dan Selamat meneroka!

Peringatan: Anda digalakkan melayari laman web atau cari dari buku rujukan di pusat sumber untuk meningkatkan pemahaman anda. Segala latihan yang dibuat perlu dimasukkan dalam portfolio masing-masing.

3.5 Nombor Modular

Dalam bahagian ini kita akan membincang tentang aritmetik jam, operasi asas yang

melibatkan aritmetik jam dan kekongruenan mod. Aritmetik modular adalah matematik

yang hanya menggunakan set nombor yang finit. Banyak masalah boleh diselesaikan

dengan menggunakan nombor modular antaranya menentukan hari apa yang anda lahir

pada tahun tertentu, mencari kod rahsia, hari tertentu pada tarikh tertentu dan sebagainya.

3.5.1 Aritmetik Jam

Aritmetik jam (atau modular) adalah aritmetik yang anda buat pada jam.

Pada jam - 12 (12-hour clock), terdapat 12 nombor iaitu 1, 2,3,4,5,6,7,8,9.10,11 dan 12.

Biasanya kita mengguna nama piawai untuk nombor-nombor pada jam, dan mula dengan

0 bukan 1. Maka nama piawai pada jam-12 kita guna 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11.


35

Untuk memudahkan kefahaman anda kita menggunakan jam-12 di atas untuk membuat

aritmetik yang mudah.

Jika sekarang pukul 3 (3 o’clock) dan kita tambah 5 jam dan jam akan menunjukkan pukul

8 (8 o’clock), jadi kita tulis 3 + 5 = 8. Tetapi jika sekarang pukul 11 dan kita tambah 5 jam

dan jam akan menunjukkan pukul 4 (4 o’clock), jadi kita perlu menulis 11 + 5 = 4 bukan 16

kerana tidak terdapat nombor 16 pada jam-12.

Setiap kali kita melepasi 12, kita membilang jam mulai 1 semula. Jika kita menambah

nombor dengan cara kita menambah jam dengan menggunakan jam, kita sebenarnya

melakukan aritmetik jam. Maka, dalam jam aritmetik 8 + 6 = 2 kerana 6 jam selepas pukul

8 adalah pukul 2.

Dengan menggunakan model jam di atas sebagai panduan, lengkapkan Jadual 1 di

bawah.


36

Jadual 1 Penambahan pada Jam-12

+ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1 1

2

3 5

4

5

6 12

7 7

8 11

9 7

10

11

12 1

Apakah yang anda perhatikan nilai-nilai yang diperoleh dalam Jadual 1? Apa yang anda

telah lakukan ialah menambah nombor berdasarkan jam-12 dan elemen-elemen dalam

jadual itu adalah finit yang terdiri daripada set {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}.

Berdasarkan Jadual 1 yang anda telah lengkap, selesaikan soalan berikut:

1.� 7 + 6 = _____

2.� 11 + 7 = _____

3.� 3 + 6 = _____

4.� 5 + 12 = _____

5. 7 + 13 = _____

6.� 12 + 9 = _____

7.� 1 + 8 = _____

8. 9 + 4 = _____


37

3.5.2 Operasi Asas Aritmetik Jam

Penolakan, pendaraban, dan pembahagian dalam aritmetik jam boleh ditakrifkan

sebagaimana dalam aritmetik biasa

(a) Penolakan : a – b = x bermakna a = b + x

(b) Pendaraban : a x b = ab bermakna b + b +... + b

tambah a kali

(c) Pendaraban sifar : Jika a = 0, maka a x b = 0 x b = 0

(d) Pembahagian : a ÷ b = a / b = x bermakna a = bx mempunyai songsang

pendaraban

Dengan menggunakan takrifan operasi asas aritmetik jam seleasaikan soalan berikut

berdasarkan jam-12.

(i) 4 – 9 (ii) 4 x 9 (iii) 4 ÷ 7 (iv) 4/9

Penyelesaian

(i) 4 – 9 = x

Bermakna 4 = 9 + x.

Dari Jadual 1, x = 7

(ii) 4 x 9 bermakna 9 + 9 + 9 + 9 =12 ( dari Jadual 1)

(iii) 4 ÷ 7 = y

Bermakna 4 = 7 y

Dengan cara cuba jaya, 7 x 1 = 7; 7 x 2 = 2; 7 x 3 = 9; 7 x 4 = 4.

Maka y = 4

(iv) 4/9 = t

Bermakna 4 = 9 t

Dengan cara cuba jaya, 9 x 1 =9; 9 x 2 = 6; 9 x 3 = 3; 9 x 4 = 12;

9 x 5 =9; 9 x 6 = 6; 9 x 7 = 3; 9 x 8 = 12;

9 x 9 =9; 9 x 10 = 6; 9 x 11 = 3; 9 x 12 = 12

Oleh kerana tiada nilai t apabila 9 t = 4, maka 4/9 tidak wujud.


38

Pertimbangankan sistem matematik berdasarkan jam-5 dengan set finitnya = {0, 1, 2, 3,

4}. Proses penambahan pada jam-5 adalah sama dengan jam-12 kecuali nombor-nombor

dalam set ini adalah {0, 1, 2, 3, 4}.

Laksanakan proses penambahan dan pendaraban untuk jam-5 (modulo 5 arithmetic)

dengan melengkapkan Jadual 2 dan Jadual 3 masing-masing.

Jadual 2 Penambahan pada jam-5

+ 0 1 2 3 4

0

1

2

3

4

Jadual 3 Pendaraban pada jam-5

x 0 1 2 3 4

0

1

2

3

4

Proses penambahan atau pendaraban di atas juga dikenali modulo 5 atau mod 5

Dari Jadual 3, didapati

4 + 9 = 3 dan 2 + 1 = 3

Maka, 4 + 9 = 2 + 1

Untuk menjadi pernyataan di atas benar, kita menggunakan notasi berikut:

4 + 9 = 2 + 1, (mod 5)

Dibaca sebagai “ 4 + 9 adalah kongruen kepada 2 + 1, mod 5.” Dengan demikian

kekongruenan mod m ditakrifkan seperti berikut:


39

Kekongruenan Mod m

Contoh

Tentukan pernyataan berikut sama ada benar atau palsu.

(i) 3 ≡ 8, (mod 5) (ii) 3 ≡ 53, (mod 5) (iii) 3 ≡ 19, (mod 5)

Penyelesaian

(i) 3 ≡ 8, (mod 5) kerana 8 – 3 = 5, dan 5 adalah gandaan bagi 5.

(ii) 3 ≡ 53, (mod 5) kerana 53 – 3 = 50, dan 50 adalah gandaan bagi 5.

(iii) 3 ≡ 19, (mod 5) kerana 19 – 3 = 16, dan 16 bukan gandaan bagi 5.

Terdapat cara yang lain untuk menentukan sama ada dua nombor itu kongruen mod m.

Bahagikan setiap nombor dengan m dan semak bakinya. Jika baki mereka adalah sama

maka nombor-nombor itu kongruen mod m. Contoh, 3 ÷ 5 bakinya 3, dan 53 ÷ 5 bakinya 3

juga, jadi 3 ≡ 53, (mod 5).

Contoh:

Selesaikan persamaan berikut.

1. 4 + 9 ≡ x, (mod 5) 2. 15 + 92 ≡ x, (mod 5) 3. 2 + 4 ≡ x, (mod 5)

4. 2 – 4 ≡ x, (mod 5) 5. 7 x 5 ≡ x, (mod 7) 6. 3 – 5 ≡ x, (mod 12)

Penyelesaian

1. 4 + 9 = 13 ≡ 3, (mod 5)

Maka, x = 3.

(Panduan: 13 ÷ 5 dan dapatkan bakinya)

2. 15 + 92 = 107 ≡ 2, (mod 5)

Maka, x = 2.

3. 2 + 4 =6 ≡ 1, (mod 5)

Maka, x = 1.

Nombor nyata a dan b adalah kongruen modulo m, a ≡ b, (mod m), jika beza a dan

b adalah gandaan bagi m.


40

4. 2 – 4 ≡ 7 – 4, (mod 5) kerana 2 ≡ 7, (mod 5)

≡ 3 , (mod 5).

Maka, x = 3

5. 7 x 5 =35 ≡ 0, (mod 7)

Maka, x = 0

6, 3 – 5 = 15 – 5, (mod 12) kerana 3 ≡ 15, (mod 12)

≡ 10, (mod 12)

Maka, x = 10.

Contoh:

Februari 2011 mempunyai 28 hari dan 1 Februari adalah hari Selasa. Tentukan hari

apakah pada 13 Februari dan 28 Februari ?

Penyelesaian

Bina jadual berikut:

Hari Selasa Rabu Khamis Jumaat Sabtu Ahad Isnin

Hari

(mod 7)

1

2

3

4

5

6

0

Hari Selasa kita letak nilainya 1 kerana 1 hb bersamaan 1≡ 1, (mod 7).

Maka 14 Feb , 13 ≡ 6, (mod 7)

Jadi, 14 Feb jatauh pada hari Ahad (rujuk jadual di atas)

Untuk 28 Feb, 28 ≡ 0, (mod 7)

Maka, 28 Feb jatuh pada hari Isnin.


41

Untuk melihat aplikasi modulo aritmetik dalam kehidupan harian yang lain sila baca contoh

5 dan 6 dalam “Clock Arithmetic” and “Modulo Five Arithmetic” in Smith

(2001). The Nature of Mathematics, p.216 – 221. m.s 220 dan 221 masing-masing.

1. Pernyataan mana yang benar?

(a) 5 + 8 ≡ 1, (mod 6); (b) 5 + 4 ≡ 1, (mod 7); (c) 108 ≡ 12 , (mod 8)

2. Selesaikan:

(a) 9 + 6, (mod 5); (b) 7 -11, (mod 12); (c) 4 x 3, (mod 5)

(d) 1 ÷ 2, (mod 5)

3. Cari nilai x jika (i) x – 2 ≡ 3, (mod 6); (ii) 3x ≡ 2, (mod 7);

(iii) x ÷ 4 ≡ 5, (mod 9)

4. 1 Mac 2011 jatuh pada hari Selasa. Bina jadual modulo 7 untuk bulan Mac.

Seterunya, tentukan hari apakah (i) 9 Mac, (ii) 22 Mac dan (iii) 31 Mac ?


1. Baca dari Bahan Resos: “Clock Arithmetic” and “Modulo Five Arithmetic” in Smith

(2001). The Nature of Mathematics, p.216 – 221 dan Modular Arithmetic p.118 - 134

2. Buat latihan dari “Problem Solving” in Smith (2001). The Nature of Mathematics. 9th

ed. p. 225-226

3. Baca “A card trick” in Miller, Heeren & Hornsby (1990). Cuba helah dengan kawan

anda.Tuliskan satu ringkasan bagaiman helah aritmetik modular boleh digunakan

untuk menerangkan helah itu.

SELAMAT BELAJAR!

Peringatan: Segala latihan yang dibuat perlu dimasukkan dalam portfolio masing-masing.


42

Rujukan

S.Groves (2006). Exploring Number and Space. Deakin University. Divisibility: m.s 201-205

S Groves (2006).Topic 2 – The natural numbers- Additional notes. Prime Factorization: The Euclidean Logarithm

“The Fundamental Theorem of Arithmetic” in Susie Groves (2006). Exploring Space and Numbers – Study Guide. p.24

“Prime Numbers” in Richard J.B. Number Systems: An elementary approach. p. 142 – 145

“Clock Arithmetic” and “Modulo Five Arithmetic” in Smith (2001). The Nature of Mathematics, p.216 – 221 dan Modular Arithmetic p.118 - 134

“Problem Solving” in Smith (2001). The Nature of Mathematics. 9th ed. p. 225-226

Laman web yang berkaitan:

1. Aritmetik Jam (clock arithmetics):

http://www-math.cudenver.edu/~wcherowi/clockar.html

2. Matematik Modular: http://www.shodor.org/succeedhi/succeedhi/modularmath/introduction.html

3. Kekongruenan modulo: http://syssci.atu.edu/math/faculty/finan/4033/absalg10.pdf

4. “Encode and decode secret messages” http://www.antilles.k12.vi.us/math/cryptotut/modarithmetic.htm


Topik 6

Nombor Kompleks

6.0 Sinopsis Topik ini mengenai nombor kompleks. Konsep modulus, argumen dan konjugat

bagi nombor kompleks akan diperkenalkan. Operasi asas melibatkan nombor

kompleks dan menukaran nombor kompleks daripada bentuk kordinat kepada

bentuk polar dan sebaliknya juga akan dibincangkan.

6.1 Hasil Pembelajaran 1. Menentukan modulus, argumen dan konjugat bagi nombor kompleks.

2. Melaksanakan operasi asas pada nombor kompleks

3. Menukar nombor kompleks daripada bentuk kordinat kepada bentuk polar dan sebaliknya.

6.2 Kerangka Konsep

Nombor Kompleks

Modulus Argumen Konjugat

Operasi asas pada nombor kompleks

Pertukaran nombor kompleks:

bentuk kordinat ke bentuk polar dan

sebaliknya


6.3 Nombor Kompleks Perhatikan persamaan berikut:

x2 = - 1

Apakah penyelesaian di atas? Pasti anda akan kata tiada penyelesaian untuk

soalan di atas kerana x = √ -1. Nombor ini dikenal sebagai nombor khayalan oleh

ahli matematik pada zaman dahulu. Pada peringkat awal ahli matematik tidak

menerima jawapan ini. Lama kelamaan didapati banyak aplikasi matematik

memerlukan penggunaan nombor ini, maka mereka perlu membesarkan set

nombor nyata untuk membentuk satu set yang lebih besar iaitu nombor kompleks.

Kewujudan nombor kompleks ini membenarkan penyelesaian untuk apa-apa

persamaan yang boleh ditulis. Nombor kompleks bergantung kepada nombor i ,

ditakrif sebagai

i = √ - 1 atau i 2 = -1

Nombor i bukan nombor nyata kerana tiada nombor nyata kuasa duanya adalah

negatif. Nombor i, dan gandaan sebarang nombor nyata bukan sifar dengan i

dipanggil nombor khayalan.

Contoh nombor khayalan termasuk

I, - 4i, 2

3i, i √2, -πi,

dan sebagainya.

6.3.1 Takrif Nombor Kompleks

Hasil tambah satu nombor nyata dan sebarang gandaan nombor nyata dengan i

dipanggil nombor kompleks. Nombor kompleks boleh ditulis dalam bentuk

Kartesan,

z = x + y i

di mana x dan y adalah bahagian nyata dan bahagian khayalan bagi nombor

kompleks masing-masing.


Contoh-contoh nombor kompleks adalah seperti yang ditunjukkan di bawah:

2 + 5i, -3 - 2i, 4 + √2 i, 0 + 8i ( = 8i ) , 9 + 0i ( = 9 )

6.4 Modulus, Argumen dan Konjugat bagi Nombor Kompleks

Pada akhir abab kelapan belas, Casper Wessel dari Norway dan Jean Robert

Argand dari Switzerland mewakili nombor kompleks z = x + y i dengan

menggunakan gambarajah seperti yang ditunjukkan di bawah:

y

• P(x,y)

r

y

θ

O x x

Perhatikan bahawa nombor kompleks, z = x + yi diwakili pada satah dengan titik

P(x,y). Satah itu dirujuk sebagai satah kompleks dan gambarajah sebegitu

dipanggil gambarajah Argand (nama di bawah Jean Robert Argand). Perwakilan

nombor kompleks z = x + yi dengan spesifikasi kordinat Kartesan (Cartesian)

dipanggil bentuk Kartesan atau bentuk segi empat (rectangular) atau bentuk

algebra bagi nombor kompleks.

Sebarang titik pada paksi-x mewakili nombor nyata dan sebarang titik pada paksi-y

mewakili nombor khayalan. Nombor kompleks, z = x + yi juga boleh diwakili

dengan vektor OP. Panjang OP, r , dipanggil modulus bagi z dan diwakili oleh

│z│.

Saiz putaran, θ bagi z dipanggil amplitud atau argumen. Ia biasa ditulis sebagai

Arg z dan dalam unit radian. Sudut putaran itu boleh mengambil θ ± 2nπ di mana

n adalah sebarang nombor integer. Nilai Arg z yang berada dalam lingkungan -π <

θ < π dikenal sebagai argumen principal. Sudut putaran dalam arah lawan jam

dari paksi-x adalah positif dan sudut putaran dalam arah jam dari paksi-x

adalah negatif.


Dengan merujuk kepada gambarajah di atas,modulus r boleh dicari dengan

menggunakan teorem Pythagoras:

Dengan menggunakan nisbah trigonometri,

Mari kita lihat bagaimana mengaplikasi rumus di atas untuk mencari modulus dan

argumen bagi nombor kompleks.

Contoh 1: Cari modulus dan argumen bagi nombor kompleks z = 3 + 4i dengan

bantuan gambarajah Argand .

y

Penyelesaian: (3,4)

z = 3 + 4i

θ

Modulus bagi z, │z│= √ (32 + 42) O 3 x

= √ 25

= 5

Arg z, θ = tan-1 (4/3)

= 0.927 radian kerana (3,4) berada pada sukuan pertama.

Contoh 2: Cari modulus dan argumen bagi nombor kompleks z = - 3 – 4i dengan

bantuan gambarajah Argand.

r = √ (x2 + y2)

Arg z, θ = tan-1 ( y/x), -π < θ < π


Penyelesaian: y

z = - 3 – 4i -3 O

θ x

Modulus bagi z, │z│= √ [( -3)2 + (- 4)2]

(-3,-4) -4

= 5

Arg z, θ = tan-1 (-4/-3)

= 0.927 radian tetapi (-3,-4) berada pada sukuan ketiga

Maka, θ = -(π – 0.927) radian

= - (3.141- 0.927) radian , [π =3.141]

= - 2.214 radian

Jawapan adalah negatif kerana sudut diukur dalam arah jam dan -π < θ < π.

Contoh 3: Cari modulus dan argumen bagi nombor kompleks z = -4 + 2i

Penyelesaian: y

z = -4 + 2i

(-4,2)

Modulus bagi z, │z│= √ [(-4)2 +(22)]

= √ 20 = √4 √5 x

= 2 √5

Arg z, θ = tan-1 ( 2/ -4)

= 0.4643 tetapi (-4,2) berada pada sukuan kedua

Maka, θ = π – 0.4643

= 2.678

O

θ


Contoh 4: Cari modulus dan argumen bagi nombor kompleks z = 5 – 4i

Penyelesaian: y

z = 5 – 4i

x

Modulus bagi z, │z│= √ [(52) + (-4)2]

= √ 41

(5,-4)

Arg z, θ = tan-1 (5

4 )

= -0.675 radian

Jawapan adalah negatif kerana sudut diukur dalam arah jam.

Contoh 5: Jika a = 2 – i dan b = 1 + 3i , cari modulus dan argumen bagi

(a) 2a – b, (b) a + 2b, dan (c) -a - i b

Penyelesaian:

2a – b = 2 (2 – i ) – (1 + 3i)

= 3 – 5i

Modulus bagi 2a – b, │2a – b│= √ (32) + (-52)

= √ 34

Arg (2a –b) = tan-1 (-5/3)

= -1.030

Jawapan adalah negatif kerana 2a – b = 3 – 5i berada dalam sukuan keempat.

Cuba anda selesaikan untuk soalan (b) dan (c) .

Pernahkah anda dengar konjugat kompleks? Pasangan nombor kompleks dalam

bentuk x + y i dan x – y i dipanggil konjugat kompleks. Apabila z = x + y i maka

konjugat kompleksnya boleh diwakili oleh z’ , z* atau z = x – y i.

Cuba fikir bagaimana mewakil konjugat, z = x – y i. dalam gambarajah

Argand.

θ


Jadual di bawah menunjukkan contoh-contoh nombor kompleks dan konjugatnya.

Nombor kompleks, z Konjugat kompleks, z

2 + 3i 2 – 3i

3 – 4i 3 + 4i

-1 + 5i -1 - 5i

-5 -6i -5 +6i

(2+ 3i)

(2- 3i)

Latihan:

1. Plot gambarajah Argand dan cari modulus dan argumen bagi setiap

nombor kompleks berikut :

(i) z = 2 + 5 i, (ii) z =-4, (iii) z = -3 + 3 i, (iv) -6 – i √13

2. Jika z1 = 3 -2 i dan z2 = -2 + i, cari argumen dan modulus bagi setiap

berikut:

(a) z1 + z2, (b) z2 – z1, (c) z1 z2 dan (d) z1/ z2


1.Jawab soalan dari Bahan Resos: Mullan, E. et.al. (2001). Maths in action:

Mathematics 2. Exercise 3: No. 2, 3, 5

2. Cari dari buku rujukan yang lain dan selesaikan soalan berkaitan dengan

modulus, argumen dan konjugat.

3.Mengumpul maklumat berkaitan dengan modulus dan argumen bagi

nombor kompleks daripada laman web. Cetak dan masuk bahan tersebut

dalam folio anda.

4. Baca dan fahami nota dari laman web:

http://www.purplemath.com/modules/complex.htm

http://www.usna.edu/MathDept/CDP/ComplexNum/Module_3/ComplexPlane.htm


Peringatan: Anda digalakkan melayari laman web atau cari dari buku rujukan di pusat sumber untuk meningkatkan pemahaman anda. Segala latihan yang dibuat perlu dimasukkan dalam portfolio masing-masing.

6.5 Operasi Asas pada Nombor Kompleks

Operasi ke atas nombor kompleks adalah sama dengan cara kita melaksanakan

operasi atas nombor nyata. Mari kita lihat bagaimana operasi asas pada nombor

kompleks dapat dilaksanakan.

(a) Penambahan dan penolakan

Apabila menggabungkan nombor kompleks dengan menggunakan operasi

tambah atau tolak, bahagian nyata dan bahagian khayalan diasingkan kepada

dua kumpulan.

Sebagai contoh, (2 + 4i) + (3 – i) = (2 + 3) + (4i – i)

= 5 + 3i

(5 + 4i) – (2 + 3i) =(5 – 2) + (4i – 3i)

= 3 + i

(b) Pendaraban

Mengaplikasikan hukum taburan ke atas dua nombor kompleks untuk

mendapat hasil darabnya.

Sebagai contoh, (2 + 3i)(4 – 2i) = 8 – 4i +12i – 6 i 2

= 8 + 8i – 6 (-1), i 2 = - 1

= 14 + 8i

(2 + 4i)(2 – 4i) = 4 -8i +8i - 16 i 2

= 4 – 16(-1)

= 20

Perhatikan hasil darab bagi contoh kedua di atas adalah nombor nyata. Adakah

anda perasan bahawa pasangan nombor itu adalah nombor konjugat.


Pada amnya, hasildarab sebarang pasangan nombor kompleks konjugat

menghasilkan nombor nyata. Mari kita lihat buktinya di bawah:

(a + bi) (a – bi) = a2 –abi +abi – b2i 2

= a2 + b2 , i 2 = -1

(c) Pembahagian

Pembahagian secara langsung nombor kompleks tidak boleh dilaksanakan

tetapi kita boleh mendarab pengangka dan penyebutnya dengan konjugat

penyebutnya.

Contoh 1:

i1

i + 3

= i1

i + 3

x i1

i - 1

(darab dengan konjugat penyebutnya)

= 2

2

1

23

i

ii

= 2

24 i

= 2 – i

Contoh 2:

Tuliskan i31

1

dalam bentuk a + bi di mana a, b R

i31

1

=

i31

1

x

i

i

31

31

= 22 31

31

i

= 10

31 i

= i10

3

10

1


Contoh seterusnya:

Diberi z1 = 3 + 2i dan z2 = 4 + 3i, cari (i) z1 + z2 , (ii) z1 - z2 , (iii) z1z2

Penyelesaian

(i) z1 + z2 = (3 + 2i) + (4 + 3i) = 7 + 5i

(ii) z1 - z2 = (3 + 2i) - (4 + 3i) = -1 – i

(iii) z1z2 = (3 + 2i)(4 + 3i) = 12 + 9i + 8i + 6i2

= 12 + 9i + 8i – 6

= 6 + 17i

Cuba latihan berikut:

1. Ungkapkan setiap berikut dalam bentuk a + b i:

(a) 5 + √- 4, (b) 1 - √- 9, (c) -3 + √- 12

(Panduan: √-1 = i)

2. Ringkaskan setiap berikut:

(a) i 4 , (b) 1/ i 3

3. Ringkaskan yang berikut:

(a) (4 + 5 i) + (3 – 2 i), (b) (8 - 6 i) - (2 – 5 i), (c) i (5 + 8 i)

(d) 2i (3 - 2 i), (e) (2 + 3 i)(2 - 3 i), (f) (3 – 4 i)2

4. Tuliskan dalam bentuk a + b i:

(a) 1/(1+ 2 i), (b) 1 + i / (1 – i), (c) 2 + i/ (3 + i) (d) 3 – i / (1 – 2i)

5. Diberi bahawa z = 1 -2i, cari

(a) z’ – z, (b) zz’, (c) z/z’, (d) (1/z)’


. 1. Buat latihan tambahan berkaitan dengan operasi pada nombor

kompleks dari Bahan Resos ,Exercise 9.1 Ho, S.T. et.al.(2000).

College mathematics syllabus c. m.s 184 dan 185.

2. Rujuk Bahan Resos dan baca berkaitan dengan nombor kompleks

dan selesaikan soalan.


6.6 Nombor Kompleks dalam Bentuk Polar/ Kutub

Daripada nota sebelum ini, kita telah melihat nombor kompleks ditulis dalam

bentuk kordinat Kartesan iaitu z = x + yi. Adakah terdapat cara yang lain untuk

menulis nombor kompleks?

Dengan merujuk kepada gambarajah Argand perhatikan kedudukan titik P (x,y) dan

sudut θ dalam radian dan modulus, r , bagi z = x + yi.

y

• P(x,y)

r

θ

x

Jika ( r, θ) adalah kordinat polar bagi z , maka

x = r kos θ dan y = r sin θ di mana -π < θ< π

Dengan demikian nombor kompleks z = x + yi boleh ditulis dalam bentuk

z = r kos θ + r sin θ

= r (kos θ + sin θ) di mana r =│z│, θ = arg z

Notasi bentuk polar ini, z= r (kos θ + sin θ) dipanggil bentuk trigonometri

Sudut θ boleh dalam unit darjah atau radian.

Satu lagi bentuk polar nombor kompleks adalah dalam notasi berikut,

Diketahui bahawa, z = r (kos θ + i sin θ) dan ei θ = kos θ + i sin θ

Maka, z = r ei θ, di mana r =│z│, θ = arg z

e= 2.71828...

Notasi bentuk polar ini, z = r ei θ dipanggil bentuk eksponen.

θ dalam radian


Pada amnya nombor kompleks boleh ditulis dalam tiga bentuk :

Bentuk trigonometri dan bentuk eksponen bagi nombor kompleks adalah dikenali

bentuk polar.

Mari kita lihat bagaimana menulis nombor kompleks dalam bentuk polar apabila

nombor kompleks ditulis dalam bentuk piawai, z = x + yi atau bentuk Kartesan dan

sebaliknya.

6.6.1 Pertukaran nombor kompleks dalam bentuk Kartesan ke dalam bentuk

trigonometri dan sebaliknya

Tukar nombor kompleks dalam bentuk Kartesan ke bentuk trigonometri

Contoh 1

Tuliskan nombor kompleks (i) 7 – 5i dan (ii) 2 + 2i dalam bentuk trigonometri, r

(kos θ + sin θ)

Penyelesaian

(i) Kita perlu mencari r and θ :

Untuk mencari θ, kita cari sudut tirus, dahulu:

1. z = x + yi. bentuk Kartesan atau bentuk piawai 2. z= r (kos θ + sin θ) bentuk trigonometri 3. z = r ei θ bentuk eksponen


7 – 5i berada dalam sukuan ke-4,maka

θ = 360° - 35.54° = 324.46°

Gantikan nilai θ=324.46° dan r = 8.6 ke r (kos θ + sin θ)

Jadi, 7 – 5i = 8.6 (cos 324.5° + i sin 324.5°)

(ii) 2 + 2i

Cari r dan θ :

r = √ (22 + 22) = √8 = 2 √2

Untuk mencari θ, cari sudut tirus, dahulu

= tan-1(2/2) = 45°

Oleh kerana 2 + 2i berada dalam sukuan pertama,

Maka θ = 45°

Gantikan nilai θ= 45° dan r = 2 √2 ke r (kos θ + sin θ)

Jadi, 2 + 2i = 2 √2 (kos 45° + i sin 45°)

Tukar nombor kompleks dalam bentuk trigonometri ke bentuk Kartesan Contoh 2 Tulis 3(kos 232°+ isin 232°) dalam bentuk Kartesan, a + bi

Penyelesaian

Kita hanya perlu meringkaskan ungkapan itu:

3(kos 232° + i sin 232°)

= 3 kos 232° + i (3sin 232°)

= -1.85 - 2.36i kerana 232° berada dalam sukuan ketiga

Peringatan: Sentiasa lakarkan gambarajah Argand supaya anda tahu di mana sudut itu berada untuk menolong anda mencari nilai yang betul untuk kos θ dan sin θ.


6.6.2 Pertukaran nombor kompleks dalam bentuk Kartesan ke dalam bentuk

eksponen dan sebaliknya

Tukar nombor kompleks dalam bentuk Kartesan ke bentuk eksponen

Contoh 1

Tukar nombor kompleks (i) , (ii) -2 + 2i dan (iii) - i dari bentuk Kartesan

ke bentuk eksponen

Penyelesaian

(i) Cari nilai r dan θ dahulu bagi 1 +√3 i

Katakan z = 1 +√3 i

Oleh kerana tan 60° = √3 dan 1 +√3 i berada dalam sukuan pertama, pilih θ= 60°.

Gantikan nilai r = 2 dan θ= 60° ke rumus bentuk eksponen, z =r ei θ

Maka 1 +√3 i = 2 ei 60°

= 2 ei π/3 , (60°=π/3)

(ii) Cari nilai r dan θ dahulu bagi -2 + 2i

Katakan z = -2 + 2i

Jadi, r = √ [(-2)2 + (22)] = 2 √2,


tan θ = y/x = 2/-2 = -1

Sudut tirus, θ = 45°= ¼ π

Oleh kerana nilai tan θ adalah negatif dan -2 + 2i berada dalam sukuan kedua,

Maka, θ = π - ¼ π = ¾ π

Gantikan nilai r = 2√2 dan θ=¾ π ke rumus bentuk eksponen, z =r ei θ

Maka -2 + 2i = 2√2 ei 3/4π

(iii) Cari nilai r dan θ dahulu bagi - i. y

Katakan z = i = 0 - i

Jadi, r = √ (02 + 12) = 1 x

tan θ = y/x = - 1/0 = - z= -i

Sudut tirus, θ = 90° = π/2

Oleh kerana z = - i berada dalam sukuan ketiga, maka θ = - π/2

Gantikan nilai r = 1 dan θ= - π/2 ke rumus bentuk eksponen, z =r ei θ

Maka, - i = e- iπ/2

Tukar nombor kompleks dalam bentuk eksponen ke bentuk Kartesan

Contoh 2

Tuliskan z = 40 ei 1.3 dalam bentuk Kartesan, z = a + bi

Penyelesaian

Tuliskan z = 40 ei 1.3 dalam bentuk trigonometri, z = r (kos θ + i sin θ)

z = 40( kos 1.3 + i sin 1.3) , θ = 1.3 , r= 40 dan eiθ = (kos θ + i sin θ)

= 40 (0.2675 + i 0.9636)

= 10.70 + 38.54 i

θ


Contoh 3

Tukar nombor kompleks dalam bentuk Kartesan. Penyelesaian

:

Latihan:

1. Ungkapkan dalam bentuk r (kos θ + i sin θ) untuk setiap berikut:

(a) z = 2 – 2i, (b) z = 3 + i, (c) z = -√3/3 + (1/3)i, (d) 5i

2. Ungkapkan dalam bentuk a + bi untuk setiap berikut:

(a) 2(kos 30° + i sin30°), (b) –(kos π/3 – i sin π/3), (c) -3 (kos 45° + i sin 45°)

3. Tuliskan dalam beutuk eksponen untuk setiap berikut:

(a) 1 + i, (b) 2 – 3 i, (c) -2 -2 i, (d) - 1 + 2i


1. Rujuk Bahan Resos dan baca berkaitan dengan nombor kompleks

dalam bentuk polar dan selesaikan soalan.

2. Mengumpul maklumat berkaitan dengan nombor kompleks dalam

bentuk polar daripada laman web. Cetak dan masuk bahan tersebut

dalam porfolio anda.


Rujukan

Ong Beng Sim,(2003). Mathematics for STPM Pure Mathematics. Shah

Alam.Fajar Bakti Sdn Bhd.

Nicholson,W.K. (2002) Linear Algebra with Applications. 4th ed. McGraw Hill .

Michael Sullivan (1999). Algebra and Trigonometry. Mullan, E. et.al. (2001). Maths in action: Mathematics 2 Ho, S.T. et.al.(2000). College mathematics syllabus c. Laman web yang berkaitan http://en.wikipedia.org/wiki/complex_numbers http://mathworld.wolfram.com/ComplexNumber

http://www.sosmath.com/complex/number/polar/polar.html

3. Jawab soalan 3,11,17,19,21,23,25,27,35 and 45 (ms 731-Michael

Sullivan (1999)) Algebra and Trigonometry.

SELAMAT BELAJAR DAN SELAMAT MENEROKA!

MTE3101_Mengenal_Nombor

Documents

Transcript of MTE3101_Mengenal_Nombor