Modul_Statika_Struktur_[TM1].docx

7/23/2019 Modul_Statika_Struktur_[TM1].docx

1/19

MODUL PERKULIAHAN

Statika

Struktur

Analisa Vektor

FakultasProgram

Studi

ata!

MukaKode MK Disusun Ole"

Teknik Teknik Mesin

#$$%#$& DR.Ir.Abdul Hamid,M.Eng


2/19

Abstract

Hal yang ini perlu diketahui bahwa definisi

nilai besar moment dari gaya F terhadap O

adalah sebagai vector product dari r =

lengan dan F = gaya adalah:

M0= r F!

"ross product dua unit vector selalu

mengikuti #turan $angan %anan!&yaitu

untuk order alphabet bernilai

positif&sebaliknya bernilai negative'

(embahasan hanya diuraikan dalam sumbu

"artesian')isini penulis tetapkan bahwa

definisi untuk Moment bernilai positif bila

gaya F berputar terhadap titik O berlawanan

arah *arum *am &sebaliknya akan bernilai

negative!'

(embahasan *uga meliputi $eori +arignonbahwa Moment sebuah gaya terhadap

sebuah titik sama dengan *umlah moment

dari komponen,komponen gaya tersebut

terhadap titik itu!'

%unci utama pemecahan masalah dalam

statika struktur -.istem Moment adalah:

.kill dalam membuat sketsa

)iagram /enda /ebas Free /ody)iagram1

Komptensi.etelah memahami materi yang disa*ikanpada modul ini anda diharapkanmampumenghitung dan menganalisa .ystemMoment dengan langkah,langkah:

Skill dalam membuat sketsa Free

Body Digram (Diagram Benda

Bebas) Membuat dan membaca data-data

gaya di FBD:

==n

nyy

n

nxx FFFF11

;

Menerapkan Prinsip System

Moment :

yxOZ FFM +=

'#$( 2

)etaran MesinPusat *a"an A+ar dan eLearning

)2'3r'#bdul Hamid&M'4ng http:55www'mercubuana'ac'id


3/19

1. ANALISISA VEKTOR

1.1 MEKANIKA

Mekanika adalah cabang ilmu fisika yang membahas keadaan benda yang diam atau

bergerak di bawah pengaruh aksi gaya' $ak ada pengetahuan langsung lain yang berperan

lebih besar dalam analisis teknik daripada mekanika'

(enyelidikan pertama mengenai persoalan dinamika dilakukan oleh 6alileo 789,79;1

dalam kaitan dengan percobaannya tentang batu yang *atuh' (erumusan seksama dari

hukum,hukum gerak& seperti halnya hukum gravitasi& dibuat oleh


4/19

u*iannya!& Momentum perubahan politik sangat tergantung pada kondisi ekonomi negara!'

/esara,besaran fisika didefinisikan secara khas& sebagai suatu istilah fisika yang memiliki

makna tertentu' $erkadang besaran fisika tersebut hanya dapat dimengerti dengan

menggunakan bahasa matematik& terkadang dapat diuraikan dengan bahasa sederhana&

tetapi selalu terkait dengan pengukuran baik langsung maupun tidak langsung1' .emua

besaran fisika harus dapat diukur& atau dikuatifikasikan dalam angka,angka' .esuatu yang

tidak dapat dinyatakan dalam angka,angka bukanlah besaran fisika& dan tidak akan dapat

diukur' Mengukur adalah membandingakan antara dua hal& biasanya salah satunya adalah

suatu standar yang men*adi alat ukur' %etika kita mengukur *arak antara dua titik& kita

membandingkan *arak dua titik tersebut dengan *arak suatu standar pan*ang& misalnya

pan*ang tongkat meteran' %etika kita mengukur berat suatu benda& kita membandingkan

berat benda tadi dengan berat benda standar' @adi dalam mengukur kita membutuhkan

standar sebagai pembanding besar sesuatu yang akan diukur' .tandar tadi kemudian

biasanya dinyatakan memiliki nilai satu dan di*adian sebagai acuan satuan tertentu' Balau

kita dapat sekehendak kita menentukan standar ukur& tetapi tidak ada artinya bila tidak sama

di seluruh dunia& karena itu perlu diadakan suatu standar internasional' .elain itu standar

tersebut haruslah praktis dan mudah diproduksi ulang di manapun di dunia ini' sistem

standar internasional ini sudah ada& dan sekarang dikenal dengan .istem 3nternasional .31'

1.2 KONSEP-KONSEP DASAR

%onsep,konsep dan definisi,definisi yang tepat merupakan landasan untuk mempela*ari me,

kanika& dan harus dimengerti terlebih dahulu'

Ruang adalah daerah geometri yang ditempati oleh benda yang posisinya digambarkan

oleh pengukuran linear dan anguler relatif terhadap sistem koordinat' Antuk persoalan tiga

dimensi& niang membutuhkan tiga koordinat bebas& sedangkan untuk persoalan dua dimensi

diperlukan hanya dua koordinat sa*a'

aktu adalah ukuran peristiwa yang berurutan dan merupakan besaran dasar dalamdinamika' Baktu tidak dapat dimasukkan langsung dalam analisis persoalan statika'

'#$( 4




5/19

Massa adalah ukuran kelembaman benda& yang merupakan penghambat terhadap

perubahan kecepatan' Massa merupakan t*al penting untuk persoalan statika karena massa

*uga merupakan sifat setiap benda yang mengalami gaya tarik,menarik dengan benda lain'

!aya adalah aksi suatu benda terhadap benda lain' .uatu gaya cenderung menggerakkan

se,buah benda menurut arah ker*anya' #ksi sebuah gaya dicirikan oleh besarannya, ara"

ker#anya, dan titik ker#anya$ 6aya adalah besaran vector

Partikel$ .ebuah benda yang dimensinya dapat diabaikan disebut partikel' #pabila dimensi

sebuah benda tidak sesuai dengan gambaran posisinya atau aksi gaya yang dikenakan

padanya& benda tersebut dapat diperlakukan sebagai partikel'

Benda tegar$ .ebuah benda dianggap tegar *ika gerakan relatif antar bagian,bagiannya

dapat diabaikan langsung' .ebagai contoh& perhitungan tarikan tension1 pada kabel yang

menyangga tiang penggerek mobil dalam keadaan mengangkut beban pada dasarnya tak

terpengaruh oleh regangan pada komponen struktural tiang tersebut' (ada tiang tersebut

kita dapat memperlakukannya sebagai benda tegar' .tatika terutama membahas

perhitungan'gaya luar yang beker*a pada benda tegar yang berada dalam kondisi

kesetimbangan' Antuk menentukan tegangan dan regangan dalam& karakteristik deformasi

dari material bahan tiang tersebut harus dianalisis'

1.3 SKALAR DAN VEKTOR

Dua Dimensi

)alam 3lmu Mekanika didiskripsikan dua *enis besaran& yaitu skalar dan vektor' /esaran

hanya me,nun*ukkan besarnya sa*a' .perti waktu& volume& kerapatan& la*u& cnergi& dan

massa adalah contoh suatu besaran' .edangka vektor memiliki arah& selain besar& dan

harus mematuhi hukum *a*aran gen*ang pen*umlahan'"ontoh vektor adalah perpindahan&

kecepatan& percepatan& momen& dan momentum'

.ebagai contoh yang mudah untuk dipahami dari sebuah vektor adalah vektor posisi' Antukmenentukan posisi sebuah titik relatif terhadap titik yang lain& kita harus memiliki sistem

'#$( 5




6/19

koordinat' )alam ruang berdimensi tiga& dibutuhkan sistem koordinat& C& y& D untuk

mendiskripsikan posisi suatu titik relatif terhadap suatu titik asal O1' +ektor posisi suatu titik

(& relatif terhadap titik asal digambarkan di bawah ini'

.ebuah %ektor bebas adalah vektor yang aksinya tidak dibatasi atau dikaitkan dengansebuah garis yang tunggal dalam ruang' .ebagai contoh& *ika sebuah benda bergerak tanpa

rotasi& maka gerakan atau pergeseran setiap titik pada benda tersebut dapat dianggap

sebagai sebuah vektor& dan vektor ini akan menggambarkan besaran dan arah pergeseran

setiap titik pada benda tersebut'

.ebuah %ektor geser adalah vektor di mana suatu garis tunggal dalam ruang harus diperta,

hankan sepan*ang besaran vektor tersebut beker*a' /ila kita membahas aksi luar dari suatu

gaya pada sebuah benda tegar& gaya tersebut dapat dikenakan pada sembarang titik

sepan*ang garis ker*anya tanpa mengubah efeknya pada benda secara keseluruhan dan

karenanya dapat dipan,dang sebagai vektor geser'

.ebuah %ektor tetap adalah vektor di mana sebuah titik ker*a tunggal ditentukan& dan oleh

karena itu vektor tersebut menempati posisi khusus dalam ruang' #ksi sebuah gaya pada

benda yang dapat berubah bentuk atau benda tak,tegar harus ditentukan oleh sebuah

vektor tetap pada titik ker*a gaya yang bersangkutan' )alam hal ini gaya dan perubahan

bentuk di dalam benda tadi akan bergantung pada titik ker*a gaya dan besar gaya serta

garis ker*anya'

.ebuah vektor + & seperti dalam 6ambar 7'7 digambarkan dengan sepotong garis& yang

mempunyai arah vektor yang digambarkan oleh u*ung panah' (an*ang bagian garis berarah

tersebut mewakili besaran vektor E+ dan ditulis dengan huruf miring tercetak tipis &$

'#$( 6




7/19

6ambar 7,7

@ika menulis persamaan vektor kita harus selalu membedakan secara matematis antara

vektor dan skalar' )isarankan bahwa dalam semua tulisan tangan& perbedaan tanda yang

dipakai untuk tiap,tiap besaran vektor harus *elas seperti garis bawah& &, atau sebuah panah

di atas simbol& &, untuk menggantikan huruf tebal dalam cetakan' #rah vektor + dapat diukur

dengan sudut ' dari beberapa arah acuan yang diketahui'


8/19

.elisih +7,+;antara kedua vektor tersebut dapat diperoleh dengan menambah ,+;pada +i

sebagaimana diperlihatkan dalam 6ambar & di mana prosedur segitiga atau *a*aran

gen*ang dapat digunakan' .elisih +7 antara kedua vektor tersebut dinyatakan oleh

persamaan vektor'

v =v1- v

6ambar 7';

di mana tanda kurang menun*ukkanpengurangan %ektor$

.etiap dua vektor atau lebih yang *umlahnya sama dengan vektor + dapat dikatakan

sebagai komponen vektor tersebut' %arena itu vektor,vektor +7 dan + ;dalam 6ambar a

adalah komponen dari +& masing,masing dalam arah 7 dan ;' /iasanya paling mudahmenguraikan komponen vektor yang saling tegaklurus& dan ini disebut komponen persegi

pan#ang$ +ektor,vektor +C dan +y pada 6ambar b merupakan komponen,komponen dan

y dari +' )emikian *uga dalam 6ambar c& & dan +yadalah komponen* dan y* dari +'

6ambar 7''

'#$( 8




9/19

6ambar 7''

@ika dinyatakan dalam komponen persegi pan*ang& arah vektor terhadap sumbu +

ditentukan oleh:

x

y

V

V1

tan

=

.ebuah vektor + dapat dinyatakan secara matematis dengan mengalikan besarnya& &

dengan sebuah vektor n yang besarnya satu satuan dan arahnya berimpit dengan +' @adi

V= Vn

)alam cara ini besar dan arah vektor sangat mudah untuk dimasukkan ke dalam sebuah

pernyataan matematis' )alam banyak persoalan& khususnya persoalan tiga dimensi& adalah

lebih mudah

'#$(




10/19

!ambar 1."

@ika komponen persegi pan*ang dari +& 6ambar 758& dinyatakan dengan vektor,vektor

satuan i& *& dan k yang merupakan vektor,vektor dalam arah -, -y dan ,D& berturut,turut&

dengan besar satu,satuan' @umlah vektor dari komponen,komponen ini ditulis

kVjViVV zyx ++=

.ekarang kita mensubstitusikan cosinus arab 5& m, dan n dari + yang didefinisikan dengan

5 = cos I& m cos I n cos ',

@adi kita dapat menuliskan besar komponen,komponen + sebagai

di mana

Vx=lV Vy=mV Vz=nV

V2

= Vx2

+ Vy2

+ Vz2

'#$( !"




11/19

perlu dtingat bahwa ./ m./ n. 7'

#artesian #oor$inate S%stem

(ertimbangkan perpindahan sangat kecil kecil dsJbetween dua poin (7 dan (; ')alam

"artesian koordinat vektor ini dapat didekomposisi men*adi

.ebuah infinitesimal area element dari permukaan kubus kecil adalah diberikan sbb:

d0ddy

4lemen arial sebenarnya vektor dimana arah vektor tegak lurus terhadap bidang

didefinisikan oleh daerah ' %arena ada pilihan arah& kita akan memilih vektor daerah untuk

selalu menun*uk ke arah luar dari permukaan tertutup & yang didefinisikan oleh aturan

tangan kanan ' @adi untuk di atas & vektor daerah sangat kecil adalah

'#$( !!




12/19

kdxdyAd =

.ebuah infinitesimal volume element Fig'below1 dalam "artesian coordinates ditun*ukkan

sbb:

dxdydzdV=

#%&in$rica& #oor$inates

%ami pertama memilih asal dan sumbu yang kita sebut sumbu D dengan vektor satuan

menun*uk di D , arah meningkat' (ermukaan tingkat poin seperti yang mendefinisikan

pesawat' %ami akan memilih koordinat untuk titik di pesawat sebagai berikut '

$he coordinateKmeasures *arak dari D yang sumbu ke titik ('


13/19

%edua kami mengkoordinasikan tindakan *arak sudut sepan*ang lingkaran ' %ita perlu

memilih beberapa titik acuan untuk menentukan sudut koordinat ' %ami memilih referensi

ray & sinar horisontal mulai dari asal dan memperluas ke G N sepan*ang arah horisontal ke

kanan' )alam sistem koordinat %artesius khas & ray referensi kami adalah C , arah positif 1 '%ami mendefinisikan sudut koordinat untuk titik sebagai berikut ' %ami menggambar sinar

dari asal ke ' %ami mendefinisikan sebagai sudut dalam arah berlawanan antara ray

referensi horisontal dan sinar dari asal ke titik ( & lihat 6ambar di bawah 1

.emua titik,titik lain yang terletak pada sinar dari asal ke infinity melewati ( memiliki nilai

yang sama dari P ' Antuk setiap titik sewenang,wenang& P dapat mengambil nilai,nilai dari '

(ada 6ambar di bawah ini & kami menggambarkan lainnya tingkat permukaan untuk

sudut koordinat '

'#$( !3




14/19

%oordinat K & P 1 di pesawat disebut pesawat koordinat polar ' %ami memilih dua vektor unit

pesawat pada titik sebagai berikut ' %ami memilih untuk menun*uk ke arah peningkatan &

radial dari sumbu D ' %ami memilih untuk menun*uk ke arah increasingP ' +ektor satuan inipoin dalam arah berlawanan & bersinggungan dengan lingkaran ' .istem yang lengkap

koordinat kami ditun*ukkan pada 6ambar ;' ' .istem koordinat ini disebut silinder sistem

koordinat ' 3ntinya kami telah memilih dua arah & radial dan tangensial di pesawat dan arah

tegak lurus ke pesawat'

%etika mengacu pada setiap titik sewenang,wenang di pesawat & kita menulis vektor satuan

sebagai dan & mengingat bahwa mereka dapat berubah ke arah seperti yang kita bergerak di

sekitar pesawat & men*aga tidak berubah ' @ika kita perlu membuat referensi ke saat ini

berubah properti & kami akan menulis vektor satuan sebagai fungsi eksplisit waktu $ & dan P '

@ika #nda diberi koordinat polar K & P 1 dari titik di pesawat & koordinat "artesian C & y 1

dapat ditentukan dari koordinat transformasi :

.ebaliknya& *ika #nda diberi koordinat "artesian C & y 1 & koordinat polar K & P 1 dapatdirepresentasikan sebagai

(erhatikan bahwa K Q 0 sehingga #nda selalu perlu mengambil akar kuadrat positif '

(erhatikan *uga bahwa tanP = tan P G R 1 ' Misalkan maka C S 0 dan y S 0 ' Maka titik C &

,y 1 akan sesuai dengan P sudut G R '

+ektor satuan *uga terkait dengan transformasi koordinat

'#$( !4




15/19

)engan hal yang sama&

(erbedaan penting antara koordinat silinder dan koordinat "artesian melibatkan pilihanvektor satuan ' Misalkan kita menganggap titik yang berbeda di pesawat ' +ektor satuandalam koordinat "artesian pada titik memiliki besar yang sama dan titik dalam arah yangsama dengan vektor satuan di ' .etiap dua vektor yang sama besarnya dan titik dalam arahyang sama adalah sama T oleh karena itu

.ebuah sistem "artesian koordinat sistem koordinat yang unik di mana himpunan vektor

satuan pada titik,titik yang berbeda dalam ruang yang sama ' )alam koordinat polar & vektor

satuan di dua titik yang berbeda tidak sama karena mereka menun*uk ke arah yang berbeda

' %ami menun*ukkan ini pada 6ambar di bawah '

In#ni$esimal %ine Elemen$

(ertimbangkan perpindahan sangat kecil kecil dsJ antara dua titik (7 dan (; 6ambar dibawah 1 ' +ektor ini dapat didekomposisi men*adi

'#$( !5




16/19

3nfinitesimal #rea 4lement

(ertimbangkan elemen area sangat kecil pada permukaan silinder radius K6ambar dibawah1

#rea elemen ini mempunyai besaran:

#re elemen sebenarnya vektor dimana arah vektor titik tegak lurus terhadap bidang

didefinisikan oleh daerah ' %arena ada pilihan arah& kita akan memilih vektor daerah untuk

selalu menun*uk ke arah luar dari permukaan tertutup ' @adi untuk permukaan silinder &

vektor daerah sangat kecil adalah d#

'#$( !6




17/19

?uas area elemen ini ditun*ukkan oleh vector

3nfinitesimal +olume 4lement

.ebuah elemen ber,volume yang sangat kecil 6ambar bawah 1 diberikan oleh

Sp'erica& #oor$inates

%ami pertama memilih asal' %emudian kita memilih koordinat spherical&yang mengukur *arak

radial dari titik asal ke titik' %oordinat berkisar di nilai dari' Himpunan titik,titik yang memiliki

nilai konstan untuk adalah bola tingkat permukaan1'

'#$( !7




18/19

.etiap titik pada bola dapat didefinisikan oleh dua sudut I& P1 dan r' %ami akan menentukan

sudut ini sehubungan dengan pilihan koordinat "artesian C& y& D1' .udut I didefinisikan

sebagai sudut antara sumbu D positif dan sinar dari asal ke titik' (erhatikan bahwa nilai,nilai

D (& I1 hanya berkisar 0L IL R' .udut P didefinisikan dengan cara yang sama untuk

koordinat polar1 sebagai sudut di antara sumbu positif dan proyeksi di C,Cy bidang sinar dari

asal ke titik' %oordinat sudut P dapat mengambil nilai,nilai dari 0L P ;R'

%oordinat bola r& I& P1 titik yang ditun*ukkan pada 6ambar di bawah ini' %ami memilih

vektor satuan pada titik sebagai berikut' /iarkan titik radial *auh dari asal& dan titik

bersinggungan dengan lingkaran di ( positif r& I& P1 arah pada bidang yang dibentuk oleh

theD sumbu dan sinar dari asal ke titik' "atatan yang menun*uk ke arah peningkatan D (& I&

I1' %ami memilih untuk menun*uk ke arah peningkatan ( P& P1' Anit poin vektor

bersinggungan dengan lingkaran dalam Cy berpusat pada Dy,aCis' +ektor satuan ini *uga

ditun*ukkan pada 6ambar di bawah ini

(i)ure .pherical coordinates

3f you are given spherical coordinates r,I&P1 of a point in the plane& the "artesian

coordinates ,y,1) can be determined from the coordinate transformations

'#$( !8




19/19

"onversely& if you are given the "artesian coordinates,y,1)& the spherical coordinates

r,I&P1 can be determined from the coordinate transformations

$he unit vectors also are related by the coordinate transformations

)aftar (ustaka

7'@'?' Meriam&?'6' %raige&$ony Mulia& ! Mekanika $eknik,.tatika @ilid 3 !&4disi

%edua&(enerbit 4rlangga &@akarta&7UVV'

;'@'?'Meriam&?'6' %raige&$ony Mulia& Mekanika $eknik,)inamika @ilid 33 !&4disi

%edua&(enerbit 4rlangga &@akarta&7UVV'

'4'('(opov&Wainul #stamar&! Mekanika $eknik &4disi /aru&(enerbit 4rlangga&@akarta&7UV9'

'

Modul_Statika_Struktur_[TM1].docx

Documents

Transcript of Modul_Statika_Struktur_[TM1].docx