MODUL PEMBELAJARAN ANALISIS VARIABEL KOMPLEKS 2/22/2012 IKIP BUDI UTOMO MALANG ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI

IDENTITAS MAHASISWA

NAMA : …………………………………

NPM : …………………………………

KELOMPOK : …………………………………

DAFTAR ISI

Kata Pengantar ……………………………………………………………………………………………

Daftar Isi ……………………………………………………………………………………………………

BAB I Bilangan Kompleks

A. Sistem Bilangan Kompleks ……………………………………………………………………5

B. Geometri Bilangan Kompleks…………………………………………………………………12

BAB II Fungsi Peubah Kompleks

A. Fungsi Peubah Kompleks …………………………………………………………………….17

B. Fungsi Elementer ………………………………………………………………………………18

BAB III Turunan Fungsi Peubah Kompleks ………………………………………………………20

BAB IV Pengintegralan Fungsi Peubah Kompleks ……………………………………………..22

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah melimpahkan rahmatnya

sehingga modul pembelajaran matakuliah Analisis Variabel Kompleks ini selesai disusun. Modul

ini digunakan sebagai salah satu media pembelajaran guna menunjang terlaksananya proses

perkuliahan matakuliah Analisis variable kompleks

Mata kuliah Analisis Variabel Kompleks diberikan kepada mahasiswa jurusan

pendidikan matematika setelah mereka menyelesaikan matakuliah prasyarat yaitu kalkulus I

dan kalkulus II . Mata kuliah analisis variable kompleks ini merupakan lanjutan dari matakuliah

kalkulus yang sudah ditempuh mahasiswa pada semester sebelumnya.

Di dalam modul pembelajaran ini terdapat kilasan materi prasyarat, materi yang dibahas,

contoh soal, latihan soal, kegiatan diskusi, dan peta konsep yang dapat memudahkan

mahasiswa memahami keterkaitan antar materi. Modul ini bukan satu-satunya media untuk

belajar bagi mahasiswa, sehingga diharapkan didampingi dengan buku teks, handout, dan

sumber lain yang relevan.

Kritik dan saran yang membangun penulis harapkan dari berbagai pihak demi perbaikan

untuk penyusunan modul berikutnya.

Malang, Februari 2012

Alfiani Athma Putri Rosyadi, M.Pd

A. SISTEM BILANGAN KOMPLEKS

Pada bagian ini akan dijelaskan tentang bilangan kompleks yang merupakan

perluasan dari system bilangan real. Munculnya bilangan kompleks ini dikarenakan

muncul beberapa permasalahan misalnya penyelesaian dari persamaan

yang bukan merupakan anggota dari bilangan real. Oleh karena itu diperlukan

bilangan baru yang dinamakan bilangan kompleks

Misalkan maka adalah bagian riil dari dan adalah bagian khayal

dari dan berturut-turut dinyatakan dengan dan . Bilangan kompleks

disebut bilangan imajiner/khayal murni jika dan . Sedangkan

jika dan maka disebut satuan imajiner/khayal. Kompleks

sekawan atau kawan dari bilangan kompleks adalah bilangan .

Kompleks sekawan suatu bilangan kompleks dinyatakan dengan

Coba diskusikan,

1. Bagaimana jika ?

2. Apakah setiap bilangan real memuat bilangan kompleks? Apakah berlaku

sebaliknya? Jelaskan!

DEFINISI 1.1

Bilangan Kompleks adalah bilangan yang berbentuk dengan dan

adalah satuan khayal dengan

Diskusi

BILANGAN KOMPLEKS

Bentuk operasi dengan bilangan kompleks dapat dikerjakan seperti pada aljabar bilangan

dengan menggantikan bilamana ia muncul.

OPERASI-OPERASI DASAR BILANGAN KOMPLEKS

1. Penjumlahan

2. Pengurangan

3. Perkalian

4. Pembagian

Himpunan semua pasangan terurut dengan operasi tertentu yang sesuai didefinisian

sebagai system bilangan kompleks. Sistem bilangan kompleks tersebut dinotasikan dengan

Buktikan teorema 1.1 dengan menggunakan sifat-sifatt operasi dasar bilangan kompleks yang

sudah Anda pahami!

TEOREMA 1.1

Sistem bilangan kompleks merupakan suatu lapangan (field) sehingga

mempunyai sifat komutatif, assosiatif, distributive perkalian terhadap penjumlahan,

mempunyai unsur identitas, dan mempunyai unsure balikan/invers

Diskusi

Operasi konjuget (bilangan kompleks sekawan) pada system bilangan kompleks

disajikan pada teorema berikut.

Buktikan teorema 1.2 dengan menggunakan sifat-sifat bilangan kompleks sekawan dan operasi

dasar bilangan kompleks yang sudah Anda pahami!

TEOREMA 1.2

Diberikan bilangan . Operasi konjuget pada system bilangan kompleks

antara lain sebagai berikut.

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

Diskusi

1. Nyatakan dalam bentuk

a.

b.

c.

2. Buktikan bahwa hasil kali dua bilangan kompleks sama dengan nol jika dan

hanya jika paling sedikit satu dari dua bilangan itu adalah nol

Latihan Soal

B. GEOMETRI BILANGAN KOMPLEKS

Bilangan kompleks dapat dikaitkan dengan titik di bidang

datar dan sebaliknya. Dalam prakteknya antara bilangan kompleks dan

titik tidak dibedakan, sehingga dapat menyatakan bilangan dengan titik

. Dalam hal ini bidang datar tersebut diberi nama bidang kompleks atau

bidang . Sumbu dan sumbu masing-masing disebut sumbu real dan sumbu

imajiner. Selain itu, bilangan kompleks dapat pula dipandang sebagai

vector pada bidang datar yang berpangkal di titik pusat dan berujung pada titik

. Argumen yang kemudian ditulis dengan didefinisikan sebagai salah

satu sudut yang manapun yang dibentuk oleh vector dengan sumbu nyata positif.

Sehingga adalah suatu sudut sedemikian rupa sehingga dan

Bilangan kompleks pada bidang kompleks dapat digambarkan

seperti di bawah ini

Gambar 1.1

Sumbu Imajiner

1. Carilah sehingga dan

2. Carilah sehingga dan

Latihan Soal

Carilah sifat-sifat yang lain dari , kemudian buktikan sifat-sifat tersebut!

SIFAT-SIFAT

Untuk setiap dua bilangan kompleks dan , berlaku sifat-sifat berikut:

1.

2.

Diskusi

Argumen bilangan kompleks bukanlah besaran yang tunggal. Setiap

mempunyai takhingga banyaknya argumen yang berbeda antara satu dengan yang

lain dengan kelipatan . Dengan demikian argument suatu bilangan kompleks

didefinisikan

Sebarang bilangan kompleks dapat ditulis dalam bentuk

yang sering ditulis dengan dan bentuk kutub

bilangan kompleks

A. FUNGSI PEUBAH KOMPLEKS

Definisi fungsi kompleks mirip dengan definisi fungsi real, yaitu dengan

menggantikan peubah bebas dengan dan peubah tak bebas dengan . Suatu

lambang misalnya yang dapat mempunyai arti sesuatu unsur dari suatu himpunan

bilangan kompleks dinamakan suatu peubah kompleks.

Jika pada setiap nilai yang merupakan suatu peubah kompleks dapat

diandaikan terdapat satu atau lebih nilai peubah kompleks , kita mengatakan

bahwa adalah suatu fungsi dari dan ditulis atau . Peubah

dinamakan suatu peubah bebas sedangkan dinamakan peubah tak bebas. Nilai

suatu fungsi di ditulis . Jadi jika , maka

Dalam fungsi kompleks itu terdapat fungsi bernilai tunggal dan fungsi bernilai

banyak. . Jika hanya satu nilai dikaitkan pada setiap nilai dari , kita mengatakan

bahwa adalah suatu fungsi bernilai banyak dari .

Contoh fungsi bernilai tunggal adalah dengan

FUNGSI PEUBAH KOMPLEKS

DEFINISI 2.1 (Fungsi Bernilai Tunggal)

Diberikan himpunan dan . Fungsi kompleks bernilai tunggal

adalah suatu aturan yang memasangkan setiap dengan tepat

satu yang dinotasikan dengan

Contoh: .

B. FUNGSI ELEMENTER

Selanjutnya akan dibicarakan berbagai macam fungsi elementer. Dasar

permbicaraan yang digunakan adalah memperluas fungsi elementer real yang

telah dikenal dalam kalkulus sehingga berlaku untuk fungsi kompleks.

Fungsi Linear

Fungsi yang berbentuk dengan disebut fungsi linear. Jika

dan , fungsi disebut fungsi konstan, jika disebut

fungsi identitas.

Fungsi Bilinear

Fungsi yang berbentuk dengan bilangan bulat tak

negative dan konstanta kompleks disebut fungsi suku banyak. Jika

dan adalah fungsi suku banyak, maka fungsi yang berbentuk

DEFINISI 2.2 (Fungsi Bernilai Banyak)

Diberikan himpunan dan . Fungsi kompleks bernilai banyak

adalah suatu aturan yang memasangkan setiap dengan

paling sedikit satu dan terdapat yang di dua pasangkan dengan

paling sedikit dua

disebut fungsi rasional. Jika dan ,

maka fungsi rasional

dan disebut fungsi bilinier

Fungsi Eksponen

Fungsi yang berbentuk disebut fungsi eksponen. Fungsi

eksponen dapat ditulis dalam bentuk

Pada bagian ini dibicarakan definisi fungsi kompleks yang pembahasannya serupa dengan

definisi turunan untuk fungsi real yang telah dikenal baik pada kalkulus. Oleh karena itu, akan

dimulai dengan turunan fungsi kompleks di satu titik yang sudah disajikan pada definisi berikut

Misalkan maka , maka didefinisikan sebagai berikut.

TURUNAN FUNGSI PEUBAH KOMPLEKS

DEFINISI 3.1

Diberikan fungsi terdefinisi pada dan . Turunan fungsi di

Didefinisikan dengan

Jika limit ini ada

DEFINISI 3.2

Diberikan fungsi terdefinisi pada . Turunan fungsi di pada

Didefinisikan dengan

Jika limit ini ada

Latihan soal

Misalkan fungsi terdefinisikan dengan , carilah

Sebelum mempelajari pengintegralan kompleks, terlebih dahulu diperkenalkan konsep

dasar yang akan dipergunakan dalam pengintegralan kompleks. Konsep-konsep topologi

elementer seperti kurva mulus, lintasan dan orientasi suatu lintasan; definisi dan cara-cara

menghitung integral garis yang merupakan dasar dalam penghitungan integral kompleks.

LINTASAN

Kurva di bidang datar dapat dinyatakan dalam bentuk parameter yaitu:

dengan dan ,

dan kontinu pada . Kurva disebut kurva mulus jika dan kontinu pada selang

tertutup

bagian jika di dalam dan berlaku dan kontinu bagian demi bagian pada

. Kurva mulus bagian demi bagian disebut lintasan

INTEGRAL GARIS

Misalkan , adalah kurva mulus dan permukaan terbatas

yaitu paling sedikit terdefinisi pada kurva . Kontruksi integral garis

1. Buatlah partisi untuk selang dengan titik pembagian

2. Kurva terbagi atas bagian yaitu

3. Pilih

4. Definisikan

5. Tentukan

PENGINTEGRALAN FUNGSI PEUBAH KOMPLEKS

Jika limit ini ada, maka terintegralkan pada . Dalam kasus terintegralkan pada ,

integral garis dari pada didefinisikan dengan

Tuliskan sifat-sifat