MELAKUKAN OPERASI ALJABAR DENGAN

PEMODELAN GEOMETRI DATAR

Untuk Kelas VIII

Sekolah Menengah Pertama Negeri 1 Purwoharjo

Tahun Ajaran 2010 – 2011

Disusunoleh:

1. Betty YulianaWulandari

2. Mamik Sulastri

3. Ratna Yulis Tyaningsih

4. Tria Wulandari

5. Yosep Dwi Kristanto

MODUL

yos3prens.wordpress.com 2

A. Pemodelan Aljabar dalam Geometri Datar

1. Memodelkan Bentuk Konstanta

Perhatikan bentuk di bawah ini.

3 = 3 × (1 × 1)

Bentuk di atas dapat dimodelkan dalam geometri datar sebagai

berikut:

Soal:

Modelkan bentuk di bawah ini dalam bentuk geometri datar.

a. 8 b. 12

c. 5 d. 32

2. Pemodelan Aljabar Bentuk Variabel ke dalam Geometri Datar

Variabel Berpangkat Satu

Contoh:

2𝑥 = (1 × 𝑥) + (1 × 𝑥)

Bentuk di atas dapat dimodelkan ke dalam 2 kali luas daerah

persegi panjang yang masing-masing memiliki 𝑝 = 𝑥, 𝑙 = 1.

1

1 1

1

1

1

1

𝒙 𝒙

1

yos3prens.wordpress.com 3

Soal :

Modelkan bentuk di bawah ini dalam bentuk geometri datar

a. 3𝑥 b. 32𝑥

c. 2𝑦 d. 12𝑦

Variabel berpangkat dua

Contoh :

𝑥2 = 1 × (𝑥 × 𝑥)

Bentuk di atas dapat dimodelkan ke dalam satu kali luas daerah

persegi yang masing-masing memiliki 𝑠 = 𝑥.

Bentuk geometri datarnya adalah

Soal :

Modelkan bentuk di bawah ini dalam geometri datar :

a. 2𝑥2 b. 12𝑥2

c. 5𝑥2 d. 23𝑥2

Dua variabel yang berbeda

Contoh :

3𝑥𝑦 = 3 × (𝑥 × 𝑦)

Bentuk di atas dapat dianalogikan sebagai tiga kali luas persegi

panjang dengan 𝑝 = 𝑥 dan 𝑙 = 𝑦.

𝑥

𝑥

yos3prens.wordpress.com 4

𝑥 𝑥 𝑥

𝑦 𝑦 𝑦

yos3prens.wordpress.com 5

B. Membedakan Tanda Positif dan Negatif dalam Pemodelan Geometri

Datar

Perhatikan bentuk di bawah ini :

2𝑥 dan −2𝑥

2𝑥 dan −2𝑥 memiliki tanda yang berbeda yaitu positif dan negatif.

2𝑥 positif sedangkan −2𝑥 negatif

Untuk membedakan pemodelan 2𝑥 dan −2𝑥 dalam bentuk geometri datar

dapat digunakan dua warna yang berbeda.

Warna biru untuk 2𝑥 dan warna merah untuk −2𝑥

Soal :

Modelkan bentuk di bawah ini dalam geometri datar :

a. −3𝑥 b. 12𝑦

c. 3𝑥 d. −12𝑦

𝑥 𝑥

1 1

−2𝑥

2𝑥

𝑥 𝑥

1 1

yos3prens.wordpress.com 6

C. Melakukan Operasi Aljabar

1. Penjumlahan

Penjumlahan Variabel

Perhatikan uraian di bawah ini!

5𝑥 + 3𝑥 = (5 + 3)𝑥

= 8𝑥

Cermati :

5𝑥 = 5 × (1 × 𝑥)

Bentuk di atas dapat dimodelkan ke dalam lima kali luas daerah

persegi panjang yang masing-masing memiliki 𝑝 = 𝑥, 𝑙 = 1.

3𝑥 = 3(1 × 𝑥)

Bentuk di atas dapat dimodelkan ke dalam tiga kali luas daerah

persegi panjang yang masing-masing memiliki 𝑝 = 𝑥, 𝑙 = 1.

𝑥 𝑥

𝑥 𝑥

𝑥

1

1

1

1

1

𝑥 𝑥 𝑥

1 1 1

yos3prens.wordpress.com 7

5𝑥 + 3𝑥 = 𝐿𝐴 + 𝐿𝐵

= 5𝑥 + 3𝑥

= (5 + 3)𝑥

= 8𝑥

Penjumlahan Konstanta

Carilah 1 + 3 = 1 × (1 × 1) + 3 × (1 × 1)

Sehingga dapat dimodelkan seperti gambar di bawah ini:

5 × (1 × 𝑥)

3 × (1 × 𝑥)

(5 + 3) × (1 × 𝑥)

𝑥

1

1

1

1 1

1

1

1

1

3 × (1 × 1) 1 × (1 × 1)

(1 + 3) × (1 × 1)

yos3prens.wordpress.com 8

Jadi 1 + 3 = 4

Penjumlahan Bentuk Polinomial yang Lebih Kompleks

Carilah (𝑥2 + 5𝑦 + 6) + (𝑥 − 2𝑥2 + 3𝑦2 + 7)

Sehingga dapat dimodelkan seperti gambar di bawah ini:

𝑥

𝑥

𝑦

5 × 1 3 × 1

1

1

𝑥

1

7 × 1

1

𝑥 𝑥

𝑥

𝑦

𝑦

1

1

yos3prens.wordpress.com 9

2. Pengurangan

Perhatikan ilustrasi di bawah ini.

(3𝑥2 + 2𝑥𝑦 − 3𝑦2) − (𝑥2 + 2𝑥𝑦 − 2𝑦2)

= 3𝑥2 − 𝑥2 + 2𝑥𝑦 − 2𝑥𝑦 − 3𝑦2 − (−2𝑦2)

= 3𝑥2 + (−𝑥2) + 2𝑥𝑦 + (−2𝑥𝑦) + (−3𝑦2) + 2𝑦2

= �3 + (−1)�𝑥2 + �2 + (−2)�𝑥𝑦 + ((−3) + 2)𝑦2

= 2𝑥2 − 𝑦2

= 2𝑥2 + (−𝑦2)

Operasi pengurangan aljabar di atas dapat dimodelkan kedalam geometri

datar sebagai berikut.

yos3prens.wordpress.com 10

3. Perkalian

a. Perkalian Konstanta dengan Konstanta

Contoh:

2 × 3 = 2 × (1 × 1) × 3 × (1 × 1)

Sehingga bentuk di atas dapat dimodelkan sebagai berikut.

yos3prens.wordpress.com 11

b. Perkalian Konstanta dengan Variabel

Contoh:

5𝑥 = 5 × (1 × 1) × (1 × 𝑥)

Sehingga bentuk di atas dapat dimodelkan sebagai berikut.

…

…

…

…

…

Sehingga dari 1 dan 2 diperoleh bahwa 5𝑥 dapat dimodelkan dengan

dua cara,

a. Balok (1 × 𝑥) disusun 5 kali ke bawah, ditulis

(1 × 𝑥) × 5 = 𝑥 × 5 = 𝑥5.

b. Balok 5 × (1 × 1) dikalikan 𝑥 satuan ke kanan, ditulis

5 × (1 × 1) × 𝑥 = 5 × 𝑥 = 5𝑥.

1

2

yos3prens.wordpress.com 12

Jadi 5𝑥 = 𝑥5 (sifat komutatif).

Sifat komutatif ini berlaku juga untuk perkalian konstanta dengan

konstanta. Kenapa?

c. PerkalianVariabel dengan Variabel

𝑥 × 𝑥 = (1 × 𝑥) × (1 × 𝑥)

… … …

… …

… … … …

… …

Sehingga dari gambar di atas 𝑥 × 𝑥 dapat dimodelkan dengan 3

cara yang berbeda.

1. Pada gambar 1, banyaknya persegi panjang1 × 𝑥 adalah 𝑥

buah ke bawah. Sehingga luas keseluruhan adalah banyaknya

persegi panjang dikali luas persegi panjang 1 × 𝑥.

𝐿𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑥 × (1 × 𝑥) = 𝑥2.

2. Pada gambar 2 hampir sama dengan sebelumnya, tetapi

persegi panjang 1 × 𝑥 dikalikan sebanyak 𝑦 ke bawah.

3. Pada gambar 3, luas daerah keseluruhan adalah banyaknya

persegi satuan 1 × 1 dikalikan dengan luas persegi satuan.

1

2 3

𝑥

𝑥

𝑥 × (1 × 𝑥)

(1 × 𝑥) × 𝑥 (𝑥 × 𝑥) × (1 × 1)

yos3prens.wordpress.com 13

Ada 𝑥 persegi satuan ke kanan dan ke bawah sehingga

banyak persegi satuan keseluruhan adalah 𝑥 × 𝑥 = 𝑥2.

Sedangkan luas persegi satuan 1 × 1 = 1. Jadi, luas

keseluruhannya: (𝑥 × 𝑥) × (1 × 1) = 𝑥2 × 1 = 𝑥2.

𝑥 × 𝑦 = (1 × 𝑥) × (1 × 𝑦).

…

…

Soal

Modelkan bentuk perkalian aljabar di bawah ini.

a. (𝑥 + 1)𝑦

Petunjuk: 𝑥 + 1 = 1 × (𝑥 + 1) = (1 × 𝑥) + (1 + 1).

Dengan model,

𝑦

𝑥

…

𝑥 × (1 × 𝑦)

(1 × 𝑦) × 𝑥 (𝑥 × 𝑦) × (1 × 1)

yos3prens.wordpress.com 14

b. (𝑥 + 1)(𝑥 − 1)

c. 2𝑥 × 3𝑥

d. 5𝑥𝑦 × 2𝑥𝑦

4. Pemfaktoran

Sebelumnya sudah dikerjakan bentuk(𝑥 + 3)(𝑥 − 1). Nilai dari

(𝑥 + 3)(𝑥 − 1) adalah 𝑥2 + 2𝑥 − 3. Kemudian 𝑥 + 3 dan 𝑥 − 1 disebut

faktor-faktor dari 𝑥2 + 2𝑥 − 3.

Contoh lainnya adalah

a. 𝑥2 + 5𝑥 + 6 = (𝑥 + 3)(𝑥 + 2)

b. 𝑥2 + 𝑥 − 6 = (𝑥 + 3)(𝑥 − 2)

c. 2𝑥2 + 5𝑥 + 2 = (2𝑥 + 1)(𝑥 + 2)

Sekarang masalahnya bagaimana cara memodelkan pemfaktoran bentuk

aljabar di atas.

Perhatikan contoh (a).

𝑥2 + 5𝑥 + 6 adalah penjumlahan dari 𝑥2, 5𝑥, dan 6 sehingga dapat

dimodelkan seperti di bawah ini.

𝑥

1

1

yos3prens.wordpress.com 15

Pada pembahasan sebelumnya sudah dibahas mengenai perkalian bentuk-

bentuk aljabar. Dalam pemfaktoran juga menggunakan operasi perkalian

aljabar. Sehingga pemodelan operasi perkalian aljabar sebelumnya juga

digunakan dalam pemfaktoran. Dalam pemodelan perkalian aljabar, hasil

dari perkalian selalu dimodelkan dalam bentuk persegipanjang. Pada

contoh kali ini, 𝑥2 + 5𝑥 + 6 adalah hasil perkalian dari faktor-faktornya

sehingga pemodelan 𝑥2 + 5𝑥 + 6 seharusnya berbentuk persegi panjang.

Dari model 𝑥2 + 5𝑥 + 6 di atas tidak berbentuk persegi panjang

sehingga pemodelan di atas harus disusuns demikian rupa agar berbentuk

persegi panjang.

Diperoleh bentuk di bawah ini.

Atau seperti yang dimodelkan

dibalik halman ini.

yos3prens.wordpress.com 16

Jadi, 𝑥2 + 5𝑥 + 6 = (𝑥 + 2)(𝑥 + 3) = (𝑥 + 3)(𝑥 + 2)

yos3prens.wordpress.com 17

KUNCI JAWABAN AKTIVITAS SISWA

MELAKUKAN OPERASI ALJABAR DENGAN

PEMODELAN GEOMETRI DATAR

yos3prens.wordpress.com 18

AKTIVITAS 1

a.

b.

c.

d.

8

5

𝟏𝟐

𝟑𝟐

Model 8

Model 5

Model 12

Model 32

yos3prens.wordpress.com 19

AKTIVITAS 2

a.

b.

c.

d.

Model 12𝑦

Model 2𝑦

Model 32𝑥

Model 3𝑥

yos3prens.wordpress.com 20

AKTIVITAS 3

a.

b.

c.

d.

Model 2𝑥2

Model 12𝑥2

Model 5𝑥2

Model 23𝑦2

yos3prens.wordpress.com 21

AKTIVITAS 4

a.

b.

c.

d.

Model 2𝑥𝑦

Model −5𝑥𝑦

Model 58𝑥𝑦

Model −34𝑥𝑦

yos3prens.wordpress.com 22

AKTIVITAS 5

a.

b.

c.

d.

yos3prens.wordpress.com 23

AKTIVITAS 6

a

b

c

d

yos3prens.wordpress.com 24

AKTIVITAS 7

a.

b.

c.

yos3prens.wordpress.com 25

d.

yos3prens.wordpress.com 26

AKTIVITAS 8

a.

+

=

yos3prens.wordpress.com 27

b.

yos3prens.wordpress.com 28

AKTIVITAS 9

a.

b.

yos3prens.wordpress.com 29

yos3prens.wordpress.com 30

AKTIVITAS 10

a. b.

AKTIVITAS 11

a.

b.

yos3prens.wordpress.com 31

AKTIVITAS 12

a. b.

c.

yos3prens.wordpress.com 32

AKTIVITAS 13

a.

b.