Mari belajar geometri datar

GEOMETRI DATARKelompok V

Disusun Oleh:•Teguh Pribadi Saputra•Melati Nur Aflaha

•Putri Binti Sholikhah•Tri Kusyanti

•Yenny Putri Yulianti•Juwita Gus Pratiwi

PHYTAGORAS

DALIL PHYTAGORAS

• Rumus phytagoras adalah rumus yang sering di pakai dalam pelajaran matematika di sekolah.

• Kadang kita di buat bingung dengan rumus phytagoras matematika, bagaimana cara membuktikan kebenarannya?

• Kurang lebih uraian tentang rumus phytagoras seperti di bawah ini.

• Rumus asli phytagoras:

c b

a

Pembuktian dalil phytagoras • 4 buah segitiga siku-siku.

Perhatikan gambar di samping. 4 segitiga di samping adalah segitiga yang sama.

• Mempunyai sisi-sisi a, b dan c. dan sisi c merupakan sisi miring dari segitiga tersebut.

• Ketiga segitiga disampingnya adalah hasil rotasi 90, 180 dan 270 derajat dari segitiga pertama.

• Segitiga-segitiga tersebut kita atur sedemikian sehingga membentung persegi dengan sisi c seperti gambar disamping.

a

b c

c b

a

TRIPLE PHYTAGORAS• PengertianJika x, y, dan r merupakan sisi-sisi segitiga dan memenuhi persamaan X2 + Y2 = R2

maka segitiga tersebut pastilah siku-siku, dan dikatakan x, y, dan z adalah tripel pythagoras.

Rumus

• Sebuah segitiga ABC dimana A = 6 B = 8 C = 10

c2 = a2 + b2

10 2 = 8 2 + 6 2

100 = 64 + 36100 = 100

Jadi, segitiga ABC adalah siku-siku

222 abc

B

A

C

DALIL MINELAUS• MINELAUS adalah teorema

tentang segitiga dalam  geometri pesawat . Mengingat ABC segitiga, dan transversal yang melintasi garis BC, AC dan AB pada titik-titik D, E, dan F masing-masing, dengan D, E, dan F yang berbeda dari A, B dan C, kemudian

• Persamaan ini menggunakan panjang ditandatangani segmen, dengan kata lain AB panjang diambil menjadi positif atau negatif tergantung pada apakahA adalah ke kiri atau kanan B di beberapa orientasi tetap baris. Misalnya, AF / FB didefinisikan sebagai memiliki nilai positif ketika F adalah antara A dan B dan negatif sebaliknya.

• dan Kebalikannya juga benar: Jika poin D, E dan F yang dipilih pada BC, AC dan AB masing-masing maka D, E dan F adalah collinear.

1EA

CEX

DC

BDX

FB

AF

1EA

CEX

DC

BDX

FB

AF

Dalil de cevaTeorema Ceva

merupakan teorema tentang segitiga dalam 

geometri Euclidean pesawat. Mengingat AB

C segitiga, biarkan garis AO, BO dan CO ditarik dari simpul ke

titik O yang umum untuk memenuhi sisi

yang berlawanan di D, E, dan F  masing-masing. Kemudian

Persamaan ini menggunakan panjang ditandatangani segmen, dengan kata lain AB  panjang diambil menjadi positif atau negatif tergantung pada apakah A adalah ke kiri atau kanan B  di beberapa orientasi tetap baris. 

Misalnya, AF  / FB didefinisikan sebagai memiliki nilai positif ketika F  adalah antara A dan B dan negatif sebaliknya.

Teorema ini sangat mirip dengan teorema Menelaus dalam persamaan mereka hanya berbeda dalam tanda.

1.. EA

CE

DC

BD

FB

AF

LINGKARAN

Pengertian Lingkaran

Lingkaran adalah garis lengkung yang bertemu

kedua ujungnya dan semua titik yang terletak pada

garis lengkung itu jaraknya sama jauh terhadap sebuah

titik tertentu.

unsur-unsur lingkaran

O

Pusat lingkaran

EG

A

B

C

D

diameter

Jari-jari lingkaran

Tali busur

Busur kecil

juring

tembereng

apotema

Keliling dan Luas Lingkaran

Keliling lingkaran• Rumus

• K = π d atau K=2

π r

Dimana, d = diameter r = jari-jariπ = 3,14 atau

22/7

CoSo :Hitunglah keliling lingkaran yang panjang jari-jarinya 17,5 cm dengan π = 3,14Jawab : r = 17,5 cm K = 2 π r

= 2 × 3,14 ×17,5

= 110Jadi, keliling lingkaran tersebut adalah 110 cm

Luas Bidang Lingkaran Untuk setiap lingkaran berlaku rumus berikut:

Luas = atau

Luas =

Dimana, r = jari-jarid = diameter π =3,14

CoSo Hitunglah luas lingkaran yang panjang jari-jarinya 7 cm, untuk π = 3,14

Jawab:

r = 7 cm

π = 3,14

L =3,14 × 7 × 7

= 154

• Jadi luas lingkaran tersebut adalah 154

Hubungan Dua Lingkaran

1. Saling Asing

2. Bersinggungan Dalam

3. L1 di dalam L2

4. Bersinggungan luar

5. berpotonga

n

Garis singgung persekutuan dua buah

lingkaran

Sifat-sifat Garis Singgung Persekutuan

• Garis Singgung suatu lingkaran adalah suatu garis yang memotong lingkaran hanya pada satu titik.• Garis Singgung suatu lingkaran tegak lurus dengan jari-jari lingkaran yang melalui titik singgungnya.

Garis Singgung Persekutuan Dalam Dua Lingkaran

• Rumus : d2 = p2 - ( r1 + r2 )2

Dimana :d : panjang garis singgung persekutuan

dalamp : jarak pusat lingkaran pertama dan

lingkaran kedua

( r1 , r2 ) : jari-jari lingkaran pertama dan lingkaran kedua

 

Contoh Soal• Dua buah lingkaran yang pusatnya di P dan Q masing-

masing berjari jari 7 cm dan 3 cm. jika jarak P dan Q = 14 cm, tentukan panjang garis singgung persekutuan dalam.?

Jawab: Dik: - P = 7 cm

- Q = 3 cm- Jarak P ke Q = 14 cm, maka p = 14- Panjang garis singgung persekutuan dalamnya = d

cm

d2 = p2 – (r1 + r2)2

d2 = 142 – ( 7 + 3 )2

d2 = 196 – 100d2 = 96d = = 9,8 cm

Garis Singgung Persekutuan Luar Dua Lingkaran

Rumus : L2 = p2 - ( r1 - r2 )2

Keterangan : L : panjang garis singgung persekutuan luarp : jarak pusat lingkaran pertama dan lingkaran kedua( r1 , r2 ) : jari-jari lingkaran pertama dan

lingkaran kedua

Dua lingkaran yang bersinggungan di luar

• luar Dalam kedudukan seperti ini dapat dibuat satu buah garis singgung persekutuan dalam, yaitu n dan dua garis singgung persekutuan luar, yaitu l dan m.

D

n

M C

B

AL

Dua lingkaran yang bersinggungan di dalam

• dalam Untuk kedudukan seperti ini dapat dibuat satu buah garis singgung persekutan luar, yaitu k dengan titik singgung A

k

A

Melukis garis singgung persekutuan dua lingkaran

Melukis Garis Singgung Persekutuan dalam

• Langkah 1 Lukis lingkaran A1

berpusat di titik P dengan jari-jari R dan lingkaran A2  berpusat di titik Q dengan jari-jari r (R > r). Hubungkan titik P dan Q

• Langkah 2Lukis busur lingkaran berpusat di titik P dan Q sehingga saling berpotongan di titik M dan N, dan Hubungkan titik M dengan titik N sehingga memotong garis PQ di titik T

P

A2A1

r rQ

QP r r

A2A1

T

N

M

• Langkah 3

Lukislah lingkaran yang terpusat di T dengan jari-jari PT

• Langkah 4Lukislah busur lingkaran yang terpusat di P dan jari-jari R + r sehingga memotong lingkaran yang terpusat di T pada titik A dan B, dan hubungkan titik P dengan A dan B sehingga memotong lingkaran di titik C dan D

M

T Q

N

P

M

Q

N

TP

A

B

C

D

• Langkah 5

Lukislah busur lingkaran dari C dengan jari-jari AQ sehingga memotong lingkaran yang berpusat di Q pada titik E.

Lukislah busur lingkaran dari D dengan jari-jari AQ sehingga memotong lingkaran yang berpusat di Q pada titik F.

• Langkah 6

Hubungkan titik C dengan F dan titik D dengan E,garis CF dan garis DE adalah garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran yang berpusat di P dan Q

Q

F

E

D

A

C

B

PQ

F

E

D

C

B

A

P

Melukis Garis Singgung Persekutuan Luar

• Langkah 1Buatlah dua lingkaran dengan pusat di M dan N dengan jari-jari R dan r, kemudian hubuingkan M dan N (R > r)

• Langkah 2Lukislah busur lingkaran yang berpusat di M dan N dengan panjang lebih besar dari ½ MN, sehingga berpotongan di A dan B, lalu hubungkan A dan B sehingga memotong MN di C

N

NMC

B

A

M

• Langkah 3Lukislah lingkaran yang terpusat di C dengan jari-jari CM

• Langkah 4Lukislah busur lingkaran yang berpusat di M dengan jari-jari R– r, sehingga memotong lingkaran yang berpusat di C di titik D dan E, lalu hubungkan M dengan D dan M dengan E sehingga memotong lingkaran yanf berpusat di M di titik P dan R.

v NMC

A

B

NC

B

AP

D

R

E

M

Langkah 5Lukislah busur lingkaran dari P dengan jari-jari DN, sehingga memotong lingkaran yang terpusat di N di titik Q, Lukislah busur lingkaran dari R dengan jari-jari DN, sehingga memotong lingkaran yang terpusat di N di titik S

Langkah 6Hubungkan P dengan Q dan R dengan S, garis PQ dan garis RS adlah garis singgung persekutuan luar dua lingkaran yang berpusat di M dan N

D

E

R

C NM

Q

S

P

D

P

S

Q

NME

R

C

PANJANG SEGMEN GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN

DUA BUAH LINGKARAN

Panjang segmen garis persekutuan luar dua lingkaran sama dengan akar kuadrat dari

selisih kuadrat jarak kedua pusat lingkaran terhadap

kuadrat dari selisih panjang jari-jari kedua lingkaran.

Segitiga dan lingkaran

Lingkaran luar segitiga

• Lingkaran luar segitiga adalah lingkaran yang terletak di luar segitiga dan melalui ketiga titik sudut segitiga tersebut. Titik pusat lingkaran luas segitiga adalah titik potong ketiga garis sumbu sisi-sisi segitiga.

• gambar

O

c

ba

C

BA

contoh

• Rumus• Contoh

L. seg i t iga = 24

Berapakah jar i - jar i l ingkar luar seg i t iga (R)

Jawab:

segitigaL

abcR

..4

6

8

R

QP

segitigaL

abcR

..4

10

596

48024.4

10.8.6

Lingkaran Dalam Segitiga

• Lingkaran dalam suatu segitiga adalah lingkaran yang terletak didalam segitiga dan menyinggung ketiga sisinya.

• Titik pusat lingkaran dalam segitiga merupakan titik potong ketiga garis bagi sudut suatu segitiga.

• Rumus jari-jari lingkaran dalan segitiga

• Dimana: S = ½ (a+b+c)

• Gambar

a

bO

cA B

C

))()(( csbsasR

Contoh soal

• Berapakah jari-jari lingkaran dalam segitiga, dimana AB = 6 BC = 8, dan AC = 10

Lingkaran singgung dari segitiga

• Misal garis ab merupakan garis singgung lingkaran pada titik b, sehingga jari – jari ob tegak lurus terhadap garis singgung ab, maka panjang oa dapat dihitung dengan teorema pytagoras

B A

0

•

CONTOH SOAL

• Pada gambar disamping, garis AB merupakan garis singgung. Panjang OA = 13 dan jari – jari OB =5 cm. Hitunglah panjang garissinggung AB ?

•

B A

0

Jawab

Jadi, panjang garis singgung AB = 12 cm

A O

A

169

AB = 12 cm

Sifat segi empat tali busur

• Jumlah sudut yang berhadapan pada setiap segi empat tali busur adalah 1800.

• P + R = 1800

• Q + S = 1800

• Hasil kali diagonalnya = jumlah perkalian sisi-sisi yang berhadapan.

• PR x QS = (PQ x RS) +

( PS x QR)

P

S

R

Q

R

P

S

Q

• Hasil kali bagian-bagian diagonalnya sama.

• AE x CE = BE X DE

• CONTOH• Pada gambar disamping, segiempat PQRS

merupakan segiempat tali busur. Panjang PQ = 12 cm, QR = 8cm, SR = 11 cm, PR = 17 cm, dan QS = 14 cm. Hitunglah panjang PS

JAWABPR x QS = ( PQ x SR ) + ( PS x QR)17 X 14 = (12X11)+(PSX10) 238 = 132+10PS238 – 132 = 10PS PS =

•A

DC

B

E

O

P Q

RS 11

14

17

12

10o

Sifat segi empat garis singgung1. PersegiCiri-ciri :• Memiliki 4 sisi sama

panjang• Diagonalnya

membentuk sudut siku-siku

• Sisi yang berhapan sejajar

• Semua sudutnya siku – siku

• Keliling : 4 x sisi• Diagonal dari sisi

kuadrat ditambah sisi kuadrat

d

a

a

2. Persegi PanjangCiri-ciri :• Sisi yang berhadapan sama

panjang dan sejajar• Semua sudutnya siku-siku• Kedua diagonalnya saling

membagi sama panjang

• Luas : panjang x lebar• Keliling : 2(p+l)

d

p

L

Diagonal : akar dari panjang kuadrat ditamba lebar kuadrat

3. Jajar GenjangCiri-ciri :• Sisi yang berhadapan sama

panjang dan sejajar• Sudut yang berhadapan

sama besar• Dua sudut yang berdekatan

berjumlan 180• Luas : a x t (tinggi harus

tegak lurus dengan alas)• Keliling : jumlas sisi-

sisinya

a

4. Belah KetupatCiri – cirinya :• Semua sisinya sama panjang• Sudut yang berhadapan

sama besar• Sisi yang berhadapan

sejajar• Diagonalanya saling tegak

lurus• Jumlah sudut yang

berdekatan 18o0

• Luas : 1/2 x diagonal 1 x diagonal 2

• Keliling : jumlah sisi-sisinya• Diagonal : manggunakan

Phytagoras.

C

A

D B

5. Layang-LayangCiri-ciri:• Setiap sisi yang sepasang-

pasang sama panjang• Diagonalnya saling

berpotongan dan tegak lurus

• Sudut yang berhadapan sama besar (sudut RSP dan sudut PQR).

S

R

Q

P

• Luas : 1/2 x diagonal 1 x diagonal 2

• Keliling : jumlah sisi-sisinya• Diagonal: manggunakan

Phytagoras

6. Trapesium Ada beberapa jenis trapesium : Trapesium sama kaki, trapesium siku-siku dan trapesium sembarang

• Ciri-ciri trapesium sama kaki :• Memiliki sepasang sisi sejajar• Sisi yang tidak sejajar

panjangnya sama

Luas trapesium : 1/2 x jumlah sisi sejajar x tinggiKeliling : jumlah semua sisinya

Ciri-ciri trapesium siku-siku : • Memiliki sepasang sisi

sejajar• Memiliki dua sudut siku-siku

Ciri-ciri trapesium sembarang:• Memiliki sepasang sisi

sejajar• Keempat sisinya tidak sama

panjang

Tempat kedudukan

• . KEDUDUKAN TITIK terhadap GARIS

Titik terletak di dalam garis

Titik terletak di luar garis

• Kedudukan Titik terhadap Bidang

A

B

Titik A terletak pada bidang α

Titik B terletak di luar bidang α

α α . A

. B

Kedudukan garis terhadap garis

Dua garis sejajar

Dua garis berpotongan

Dua garis bersilangan

• Kedudukan garis terhadap bidang

A B

CD

E F

GH

• Garis terletak pada bidang

Garis AB terletak pada bidang ABCD dan bidang ABEF

• Garis memotong/menembus bidang

Garis AG memotong bidang DCGH, bidang BCGF Garis DP menembus bidang EFGH di P

• garis sejajar bidang

Garis AE // bidang DCGH

P

Kedudukan bidang terhadap bidang lain

• Dua bidang sejajar

Bidang ABCD// EFGH

Bidang BCGF// ADEH

• Dua bidang berpotongan

Bidang ABCD berpotongan bidang BDFH

Bidang BFHD berpotongan bidang ACEG A

H G

FE

D C

B

Simetri lipat dan simetri putar

• Simetri Lipat adalah jumlah lipatan yang dapat dibentuk oleh suatu bidang datar menjadi 2 bagian yang sama besar.

• Simetri Putar adalah jumlah putaran yang dapat dilakukan terhadap suatu bangun datar di mana hasil putarannya akan membentuk pola yang sama sebelum diputar, namun bukan kembali ke posisi awal.

Jumlah simetri lipat dan simetri putar• Bangun datar nama bangun simetri lipat simetri putar•

Persegi 4 4

Segitiga sama kaki 1 1

Segitiga sama sisi 3 3

Segitiga siku-siku tidak ada 1

Jajar genjang tidak punya 1 trapesium tidak ada 1

lingkaran tak hingga tak hingga

http://mathmagics.wordpress.com/2009/12/21/teorema-ceva-dan-menelaus/

http://rumadimatematika.blogspot.com/2010/06/segiempat-tali-busur-rumadi.html

http://www.crayonpedia.org/mw/BSE:Garis_Singgung_Lingkaran_8.2_(BAB_7)

http://rumus-matematika.blogspot.com/2007/12/rumus-pythagoras.html

http://soerya.surabaya.go.id/AuP/eDU.KONTEN/edukasi.net/Matematika/Dalil.Pytagoras/pembuktian.htmlhttp://organisasi.org/simetri_lipat_dan_simetri_putar_matematika

http://cerdasmapel.blogspot.com/2010/10/simetri-lipat-dan-simetri-putar.html

http://mahasuryaa.wordpress.com/2012/01/01/bangun-ruang-dan-bangun-datar/

Referensi