modul matematika berbasis problem based learning pada materi matriks kelas x MIA

MODUL

MATRIKS 2015

MATRIKSModul Matematika Kelas XI Semester 1 1

Matriks: Sekelompok bilangan yang disusun menurut baris dan kolom dalam tanda kurung dan berbentuk seperti sebuah persegipanjang; sebuah kumpulan bilangan atau peubah yang disusun sehingga berbentuk persegi panjang yang bisa digunakan untuk mewakili sistem persamaanInvers: operasi kebalikan dari suatu operasi tertentuInvers Matriks: matriks kebalikan dari suatu matriks persegiKesamaan Matriks: matriks-matriks dengan ordo yang sama dan elemen-elemen yang seletak dari matriks-matriks teersebut sama. Matriks Baris: matriks yang terdiri dari satu barisMatriks Kolom: matriks yang terdiri dari satu kolomMatriks Diagonal: matriks yang seluruh elemennya nol kecuali pada diagonal utamanya tidak semuanya nolMatrik Identitas /: matriks persegi yang semua unsur diagonal utamanya sama Matriks Satuan dengan 1 dan semua unsur yang lainnya sama dengan 0.Matriks Nol: matriks yang semua elemennya nolMatriks Persegi: matriks dengan jumlah baris sama dengan jumlah kolomMatriks Skalar: jika semua elemen-elemen yang terletak pada diagonal utamanya memiliki nilai yang samaMatriks Segitiga Atas: matriks persegi yang elemen-elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nolMatriks Segitiga Bawah: matriks persegi yang elemen-elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol Ordo Matriks: ukuran baris dan kolom pada matriks.

GLOSARIUM

MATRIKS 2015

BERBASIS MODEL PEMBELAJARAN PBL

(Problem Based Learning)

KI 1: Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya.

KI 2: Menghayati dan mengamalkan perilaku jujur, disiplin, tanggungjawab, peduli (gotong royong, kerjasama, toleran, damai), santun, responsif dan pro-aktif dan menunjukkan sikap sebagai bagian dari solusi atas berbagai permasalahan dalam berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam serta dalam menempatkan diri sebagai cerminan bangsa dalam pergaulan dunia.

KI 3: Memahami, menerapkan, dan menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, prosedural, dan metakognitif berdasarkan rasa ingin tahunya tentang

ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah.

KI 4: Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri, bertindak secara efektif dan kreatif, serta mampu menggunakan metoda sesuai kaidah keilmuan.

2.1 Memiliki motivasi internal, kemampuan bekerjasama, konsisten, sikap disiplin, rasa percaya

diri, dan sikap toleransi dalam perbedaan strategi berpikir dalam memilih dan menerapkan

strategi menyelesaikan masalah.

2.2 Mampu mentransformasi diri dalam berpilaku jujur, tangguh mengadapi masalah, kritis dan

disiplin dalam melakukan tugas belajar matematika.

2.3 Menunjukkan sikap bertanggung jawab, rasa ingin tahu, jujur dan perilaku peduli lingkungan.

3.1 Memahami dan menganalisis konsep dasar operasi matriks dan sifat-sifat operasi matriks serta

menerapkannya dalam pemecahan masalah.operasi matriks serta menerapkannya dalam

pemecahan masalah.

4.1 Memadu berbagai konsep dan aturan operasi matriks dan menyajikan model matematika dari

suatu masalah nyata dengan memanfaatkan nilai determinan atau invers matriks dalam

pemecahannya.

KOMPETENSI DASAR

KOMPETENSI INTI

Modul Matematika Kelas XI Semester 1 2

MATRIKS 2015

PETA KONSEP BANGUN DATAR


MATRIKS

Jenis - jenis

Unsur - Unsur

Oprasi

Kolom, Baris

Persegi Panjang

Persegi

Diagonal

Segitiga

Transpos

Identitas

Elemen kolomDeterminan

Elemen Baris

Penjumlahan

Pengurangan

Perkalian

Invers

BAB 1 11

MATRIKS 2015

Gambar 1. Gambar peta konsep Matriks


MATRIKS 2015

A. Petunjuk Penggunaan Modul

Modul ini berisi standar kompetensi memecahkan masalah berkaitan dengan

segi empat dan segitiga.

1. Penjelasan untuk siswa

Dalam kegiatan belajar dengan sistem modul ini, siswa mempunyai peran

sebagai berikut :

a. Bacalah Modul ini secara berurutan, dari awal sampai akhir.

b. Isilah cek kemampuan. Nilailah apakah anda termasuk pada kategori siswa yang

perlu mempelajari modul ini, jika jawabannya ya, pelajarilah modul ini.

c. Pelajarilah modul ini secara bertahap mulai dari kegiatan belajar 1 sampai

kegiatan belajar 2.

d. Jangan melanjutkan pada kegiatan belajar 2, sebelum mencapai penguasaan

minimal kegiatan belajar 1 (skor minimal 70 %) pada tes formatif 1, dst.

e. Buatlah rencana belajar dengan menggunakan format seperti yang ada pada

modul. Jika belum paham konsultasikan rencana belajar anda dengan guru.

f. Lakukan rencana belajar anda dengan konsekuen hingga mencapai kompetensi

yang diharapkan.

g. Setiap anda mempelajari satu bab kompetensi, mulailah dengan pengetahuan

pendukung (uraian materi), mengerjakan tugas dan mengerjakan kertas kerja

siswa (worksheet).

h. Konsultasikan dengan kelompok atau guru apabila anda menemui kesulitan

untuk mencapai kompetensi.

i. Ikutilah langkah - langkah pembelajaran disetiap kegiatan pembelajaran dengan

baik.

2. Peran Serta Guru :

Dalam kegiatan belajar dengan sistem modul ini, Guru mempunyai peran

sebagai berikut :

a. Membantu siswa menyusun rencana belajar.

b. Mengarahkan siswa agar belajar sesuai dengan rencana yang telah disusun.

c. Membantu siswa memahami dan memecahkan kesulitan yang ada dalam materi,

jika siswa menemui kesulitan.

d. Membantu siswa melaksanakan tugas kelompok agar benar-benar sesuai dengan

tujuan mengerjakan secara kelompok


BAB 2 11

MATRIKS 2015

e. Mencatat semua kegiatan dan kemajuan siswa.

B. Tujuan Akhir Hasil Belajar.

Setelah siswa mempelajari modul ini, diharapkan siswa dapat :

1. Memahami operasi penjumlahan pada matriks dan sifat-sifatnya.

2. Menghitung operasi penjumlahan pada matriks dalam pemecahan masalah.

3. Menggunakan sifat komutatif dan sifat asosiatif penjumlahan matriks dalam pemecahan

masalah.

4. Menghitung operasi pengurangan dua matriks dalam pemecahan masalah.

5. Memahami operasi perkalian dua matriks dan sifat-sifatnya.

6. Menghitung operasi perkalian suatu bilangan real dengan matriks dan perkalian dua

matriks

7. Menggunakan sifat assosiatif dan sifat distributif perkalian matriks dalam pemecahan

masalah.

8. Menentukan nilai determinan matriks dalam pemecahan masalah dan menemukan sifat-

sifatnya.

9. Menentukan nilai invers matriks dalam pemecahan masalah dan menemukan sifat-

sifatnya.

10.Menentukan nilai invers matriks dengan menggunakan metode kofaktor.

11.Menerapkan konsep dan aturan operasi matriks dan menyajikan model

matematika dari suatu masalah nyata

12.Menerapkan konsep dan aturan operasi matriks dari suatu masalah nyata dengan

memanfaatkan nilai determinan atau invers matriks dalam pemecahannya.

Uraian Materi


MATRIKS 2015

Pada bagian ini, kita akan membahas pengertian, jenis – jenis, unsur – unsur, oprasi.

A. Pengertian Matriks dan Ordo Matriks

Toko Donat

Gambar 1. Donat Coklat dan Donat Keju

Deni ingin membeli donat untuk acara ulangtahun pada toko I terdapat 240 donat

coklat dan 180 donat keju, toko II ada 220 donat coklat dan 210 donat keju, sedangkan

toko 3 ada 205 donat coklat dan 205 donat keju. Susunlah dalam tabel agar Deni mudah

menghafal jumlah donat yang ada.

Penyelesaian:

Toko Donat coklat Donat keju

I 240 180

II 220 210

III 205 205

Dari tabel di atas, bila diambil angka-angkanya saja dan ditulis dalam tanda

kurung buka dan kurung tutup , bentuknya menjadi bentuk sederhana inilah yang kita

sebut sebagai matriks.

Menurut Nasoetion (1980:24), suatu matriks merupakan himpunan

unsur-unsur yang disusun berdasarkan penggolongan terhadap dua sifat

yang sering disebut dengan istilah baris dan kolam. Susunan bilangan -

bilangan yang diatur pada baris dan kolom dan letaknya diantara dua

Definisi :


MATRIKS 2015

Berdasarkan pemaparan tersebut maka dapat disimpulkan, Matriks merupakan

susunan bilangan-bilangan yang berbentuk siku-empat terdiri dari baris dan kolom

dengan diapit oleh sepasang kurung siku. Sebagai contoh :

a. [2 2 51 3 15 12 9] dan b. [3 3

1 2]Baris suatu matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang mendatar dalam matriks.

Kolom suatu matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang tegak dalam matriks.

Bentuk umum :

Secara umum matriks Amxn = [ a11 … a1n

… … …am1 … amn

]Perhatikan bahwa elemen matriks A tersebut berindeks rangkap misalnya a11, yang

artinya matriks A pada baris ke-1 dan kolom ke-1. Untuk lebih jelasnya bentuk umum

seperti :

Amxn = [ aij ]mxn

a11 a1 j …. a1 na21 a2 j …. a2 nai1 aij …. ain

am 1 amj …. amn

m= baris

n= kolom

i = 1,2…m

j= 1,2…n

Matriks dinotasikan dengan huruf capital misalnya A, B, C dan lain-lain. Banyanya

baris dan banyaknya kolom menentukan ukuran dari matriks tersebut yang disebut ordo

Menurut Nasoetion (1980:24), suatu matriks merupakan himpunan

unsur-unsur yang disusun berdasarkan penggolongan terhadap dua sifat

yang sering disebut dengan istilah baris dan kolam. Susunan bilangan -

bilangan yang diatur pada baris dan kolom dan letaknya diantara dua


http://www.p4tkmatematika.org/downloads/smk/Matriks

MATRIKS 2015

matriks. Perhatikan bahwa elemen dari matriks A di atas, misal a21 menyatakan elemen

pada matriks A tersebut terletak pada baris ke 2 dan kolom ke 1. Sedangkan matriks A

berordo mxn dan ditulis Amxn.

B. Macam-macam matriks

Menurut ordonya terdapat berbagai jenis matriks, antara lain.

1. Matriks Persegi

Toko buah

Gambar 2. Toko Buah

Ani ingin membeli buah mangga dan jeruk. pada toko I terdapat 2 kg mangga

dan 4 kg jeruk, toko II ada 3 kg mangga dan 7 kg jeruk. Susunlah ke dalam bentuk

matriks agar Ani mudah menghafal jumlah buah yang ada.

Pengelesaian :

Toko buah Mangga Jeruk

I 2 4

II 3 7

tabel di atas, bila diambil angka-angkanya saja dan ditulis dalam tanda kurung buka

dan kurung tutup [2 43 7].

Matriks yang dihasilkan yaitu matriks yang berordo 2x2 atau banyaknya baris

sama dengan banyaknya kolom. Matriks tersebut disebut matriks persegi.


MATRIKS 2015

Pada suatu matriks persegi ada yang dinamakan sebagai diagonal utama dan

diagonal sekunder. Komponen-komponen yang terletak pada diagonal utama pada

matriks tersebut adalah 2 dan 7 yang berasal dari kiri atas ke kanan bawah.

Sebaliknya, komponen-komponen yang terletak pada diagonal sekunder berasal dari

kiri bawah ke kanan atas.

2. Matriks Baris

Yaitu matriks yang berordo 1xn atau hanya memiliki satu baris.

Contoh: A1x2 = 1 4

3. Matriks Kolom

Yaitu matriks yang hanya memiliki satu kolom.

Contoh C2x1= 23

4. Matriks Tegak

Yaitu matriks yang berordo mxn dengan m>n

Contoh: Q = 4 42 63 1

, Q berordo 3x2 sehingga matriks Q tampak tegak.

5. Matriks Datar

Yaitu matriks yang berordo mxn dengan m<n

Contoh: H= 2 3 165 6 3 , H berordo 2x3 sehingga matriks F tampak datar.

Berdasarkan elemen-elemen penyusunnya terdapat jenis matriks, antara lain :

a. Matriks Nol

Yaitu matriks yang semua elemen penyusunnya adalah nol dan dinotasikan sebagai O.

Contoh: O2x3 = [0 0 00 0 0 ]

b. Matriks Diagonal

Yaitu matriks persegi yang semua elemen diatas dan dibawah diagonal utamanya

adalah nol.

Contoh: F2x2 = [1 00 3 ]

c. Matriks Skalar

Yaitu matriks diagonal yang semua elemen pada diagonalnya sama dan elemen-

elemen selain diagonal utama adalah 0.

Modul Matematika Kelas VII Semester 2 10

MATRIKS 2015

Contoh: F2x2 = [3 00 3 ]

d. Matriks Simetri

Yaitu matriks persegi yang setiap elemennya selain elemen diagonal adalah simetri

terhadap diagonal utama, atau matriks dimana susunan elemen-elemen antara matriks

dengan transposenya sama. C=CT; maka C adalah matriks simetris

Contoh: C3x3 = 1 2 32 2 53 5 3

e. Matriks Simetri Miring

Yaitu Matriks simetri yang elemen-elemennya selain elemen diagonal saling

berlawanan.

Contoh: W3x3 = [ 1 −2 32 2 5

−3 −5 3]f. Matriks Identitas (satuan)

Yaitu matriks diagonal yang semua elemen pada diagonal utamanya adalah satu dan

elemen yang lain adalah nol dan dinotasikan sebagai I.

Contoh: I3x3 = [1 0 00 1 00 0 1 ]

g. Matriks Segitiga Atas

Yaitu dikatakan segitiga atas jika aij = 0 untuk i>j dengan kata lain matriks persegi

yang elemen-elemen di bawah diagonal utamanya adalah nol.

Contoh: K3x3 = [2 3 30 1 10 0 8 ]

h. Matriks Segitiga Bawah

Yaitu dikatakan segitiga bawah jika aij = 0 untuk i<j dengan kata lain matriks persegi

yang elemen-elemen di atas diagonal utamanya adalah nol.

Contoh: V3x3 = [2 0 02 1 03 1 8]

i. Matriks Transpose yaitu matriks yang diperoleh dari memindahkan elemen-elemen

baris menjadi elemen pada kolom atau sebaliknya. Transpose suatu matriks

dilambangkan dengan …T, misal transpose matriks B dilambangkan dengan BT


MATRIKS 2015

Contoh: B2x3 = 1 2 30 3 4 , maka BT = [1 0

2 33 4]

Perhatikan bahwa ordo dari BT adalah 3x2. Sehingga pada matriks transpose baris

menjadi kolom dan sebaliknya, kolom menjadi baris.

C. Operasi Matriks dan Sifat-sifatnya

a. Operasi kesamaan

Diketehui matriks sebagai berikut:

Apakah ada matriks yang sama? Dan ada yang tidak sama? Sebutkan!

Penyelesaian:

A = B, A ≠ C, B ≠ C

Dua buah matriks atau lebih dikatakan sama jika dan hanya jika mempunyai ordo

sama dan elemen-elemen yang seletak juga sama.

b. Penjumlahan dan Pengurangan dua Matriks

Diketahui matriks A= [2 14 3], B= [3 1

4 1] tentukan hasil penjumlahan kedua matris

tersebut!

Penyelesaian : A + B = [2 14 3]+[3 1

4 1]= [5 2

8 4] Misal matriks [5 2

8 4] kita namai matriks C.

Penjumlahan Matriks, Jika A + B = C, maka elemen-elemen C diperoleh dari

penjumlahan elemen-elemen A dan B yang seletak, yaitu cij = aij +bij untuk C pada

baris ke-i dan kolom ke-j. sehingga, matriks A dan B dapat dijumlahkan apabila

kedua matriks memiliki ordo yang sama.

Sifat-sifat penjumlahan matriks

1. A+B = B+A (Komutatif)

2. A+(B+C) = (A+B)+C (Assosiatif)

3. A+O = O+A = A

4. (A+B)T = AT+BT


A=¿ (1 2 ¿ ) ¿¿

¿ ¿¿

MATRIKS 2015

5. Ada B sedemikian hingga A + B = B + A = 0 yaitu B = -A

Pengurangan matriks, jika A – B = C, maka elemen-elemen C diperoleh dari

pengurangan elemen-elemen A dan B yang seletak, yaitu cij = aij-bij atau

pengurangan dua matriks dapat dipandang sebagai penjumlahan matriks yaitu A + (-

B)

Contoh: A=[1 24 3], B= [2 3

1 1], maka A-B = [1 24 3]−[2 3

1 1]¿ [−1 −1

3 2 ]c. Perkalian matriks dengan skalar.

Perkalian sebuah matriks dengan skalar, maka setiap unsur matriks tersebut terkalikan

dengan skalar. Msalkan matriks A dikalikan dengan suatu bilangan real k maka kA

diperoleh dari hasil kali setiap elemen A dengan k.

Contoh: A = [−1 −13 2 ] maka 3A = 3 [−1 −1

3 2 ]=[−3 −39 6 ]

Jika a dan b bilangan real (skalar) dan matriks A dan matriks B merupakan dua

matriks dengan ordo sama sehingga dapat dilakukan operasi hitung. Maka berlaku

sifat-sifat perkalian matriks dengan skalar:

1. a(A+B) = aA+aB

2. a(A-B) = aA-aB

3. (a+b)B = aB+bB

4. (a-b)B = aB-bB

5. (ab)B = a(bB)

6. (aB)T = aBT

d. Perkalian Dua Matriks

Dua buah matriks atau lebih (misal matriks AB) dapat dikalikan jika dan hanya jika

jumlah kolom pada matriks A sama dengan jumlah baris pada matriks B. jadi AmxnBnxr

bias didefinisikan, tapi BnxrAmxn tidak dapat didefinisikan.

A B AB

mxn nxr = mxr

sehingga hasil kali matriks AB berordo mxr.


MATRIKS 2015

Catatan:

Perkalian 2 matriks AB dapat didefinisikan, jika banyaknya kolom matriks

A = banyaknya baris matriks B.

Hasil kali dua matriks AB adalah suatu matriks dengan banyaknya baris =

banyaknya baris matriks A dan banyaknya kolom = banyaknya kolom matriks

B.

Pada umumnya AB ≠ BA

Apabila A suatu matriks persegi maka A2 = A.A ; A3 = A2.A ;

A4 = A3.A dan seterusnya.

Apabila AB=BC maka tidak dapat disimpulkan bahwa A = C.

Apabila AB=0 maka tidak dapat disimpulkan bahwa A=0 atau B=0

Contoh perkalian matriks:

1. Perkalian matriks berordo 1xa dengan ax1

A = 1 2 3 dan B = 321

, A1x3B3x1 = [(1x3) + (2x2) + (3x1)]

= [10]

Hasil kalinya merupakan matriks berordo 1x1.

2. Perkalian matriks berordo ax1 dengan 1xa

A= 123

dan B = 1 2 3 , A3x1B1x3 = [1x 1 1 x2 1x 32x 1 2 x2 2x 33x 1 3 x2 3 x3]

= [1 2 32 4 63 6 9]

Hasil kalinya merupakan matriks berordo 3x3.

3. Perkalian matriks berordo mxn dengan matriks nxr

A = [2 51 3], B = 1 2 3

3 1 2

A2x2B2x3 = [2 51 3] 1 2 3

3 1 2

AB = (2 x 1 )+(5 x 3) (2 x2 )+(5 x1) (2 x3 )+(5 x 2)(1 x 1)+(3 x 3) (1 x2 )+(3 x1) (1 x 3 )+(3 x 2)

= 17 9 169 5 9


MATRIKS 2015

Sifat-sifat perkalian matriks dengan matriks antara lain :

1. A(BC) = (AB)C

2. A(B+C) = AB + AC

3. (B+C)A = BA + CA

4. A(B-C) = AB – AC

5. (B-C)A = BA – CA

6. a(BC) = (aB)C = B(aC)

7. AI = IA = A

D. Determinan, Adjoin dan Invers Matriks

a. Determinan.

Untuk setiap matriks persegi terdapat suatu bilangan tertentu yang disebut

determinan. Determinan matriks adalah jumlah semua hasil perkalian elementer yang

bertanda dari A dan dinyatakan dengan det(A) atau |A| (Howard Anton, 1991 : hal 67).

Yang diartikan dengan sebuah hasil perkalian elementer bertanda dari suatu matriks A

adalah sebuah hasil perkalian elementer pada suatu kolom dengan +1 atau -1.

Untuk mengetahui tanda +1 atau -1dalam menentukan determinan suatu matriks yaitu

dengan menggunakan permutasi sesuai besar peringkat matriks tersebut dan ada atau

tidaknya invers pada hasil permutasi peringkat matriks tersebut.

Invers terjadi pada suatu permutasi jika terdapat bilangan yang lebih besar

mendahului bilangan yang lebih kecil pada kolom. Jika banyak invers genap dan nol

maka tanda +1 dan jika banyak invers ganjil maka tanda -1.

Misal :

1. Determinan untuk ordo 2x2 maka bentuk matriks seperti ini :

[a11 a12a21 a 22] permutasi dari bilangan bulat 1 dan 2 diambil bersama adalah 2! = 2

yaitu 1 2 dan 2 1 (untuk kolom) sedangkan baris menjadi patokan dan selalu berurut.

Sehingga determinan dari matriks berordo 2x2 adalah +1(a11.a22)-1(a12.a21) = a11.a22 –

a12.a21. jika matriks dalam bentuk [a bc d ] maka untuk mencari determinannya lebih

dikenal dengan bentuk ad – bc.

Contoh:

Jika matriks A = [2 14 3] maka det (A) = |A| = (2x3) – (1x4) = 6 – 4 = 2

2. Determinan untuk ordo 3x3


MATRIKS 2015

Maka bentuk matriks seperti [a11 a12 a13a21 a 22 a23a31 a 32 a33], permutasi dari bilangan bulat 1, 2

dan 3 diambil bersama adalah 3! = 6 yaitu 123, 132, 213, 231, 312, dan 321

(untuk kolom) sedangkan baris menjadi patokan dan selalu berurut. Sehingga

determinan dari matriks berordo 3x3 adalah +1(a11.a22.a33)-1(a11.a23.a32)-

1(a12.a21.a31)+1(a12.a23.a31)+1(a13.a21.a32)-1(a13.a22.a31).

Untuk mempermudah dalam mencari determinan maka berlaku :

a) Metode Sarrus

Misal matriks A = [a b cd e fg h i ]

a bd eg h

- - - + + +

Maka |A| = aei + bfg + cdh – ceg – afh – bdi.

Cara ini hanya berlaku pada matriks berordo 3x3.

Contoh: D = [1 2 23 1 21 2 3]

Maka det (D) = |D| adalah [1 2 23 1 21 2 3]1 2

3 11 2

|D| = (1x1x3) + (2x2x1) + (2x3x2) – (2x1x1) – (1x2x2) – (2x3x3)

= 3 + 4 + 12 – 2 – 4 – 12 = 0

b) Metode Minor dan Kofaktor

Minor suatu matriks A dilambangkan dengan Mij adalah matriks bagian dari A

yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemennya pada baris ke-i

dan elemen-elemen pada kolom ke-j.

Contoh:

A= [1 2 10 2 12 0 2] maka :

M11 = [1 2 10 2 12 0 2] =[2 1

0 2]


MATRIKS 2015

M12 = [1 2 10 2 12 0 2] = [0 1

2 2]

M13 = [1 2 10 2 12 0 2] = [0 2

2 0]M11, M12 dan M13 merupakan submatriks hasil ekspansi baris ke-1 dari matriks

A. Kofaktor suatu elemen baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A

dilambangkan dengan α ij = (-1)i+j ¿ Mij∨¿, dari matriks A tersebut kofaktor a11

dilambangkan dengan α11 yaitu

(-1)i+j ¿ Mij∨¿

Untuk mencari det(A) dengan metode minor dan kofaktor cukup mengambil

satu ekspansi saja misal ekspansi baris ke-1atau kolom ke-1.

Sehingga

Contoh :

H = [1 2 10 2 12 0 2], untuk mencari |H| dengan metode minor dan kofaktor adalah

harus mencari determinan minornya terlebih dahulu yang diperoleh dari ekspansi

baris ke-1, yaitu det(M11), det(M12), det(M13), maka,

|M11| = (2x2)-(1x0) = 4

|M12| = (0x2)-(1x2) = -2

|M13| = (0x0)-(2x2) = -4

|H| = h11α11 + h12α12 + h13α13

= h11.(-1)1+1|M11| + h12.(-1)1+2|M12| + h13.(-1)1+3|M13|

= (1.4) + (2.(-1.-2)) + (1.-4)

= 4 + 4 – 4 = 4

b. Adjoin matriks

Adalah transpose dari kofaktor-kofaktor matriks tersebut, dilambangkan dengan adj A

= (αij)T

Contoh

H = [1 2 10 2 12 0 2] kita telah mengetahui sebelumnya α11= 4, α12= 2,

α13= -4,


MATRIKS 2015

α21= (-1)2+1 |2 10 2|=¿ -4, α22= (-1)2+2 |1 1

2 2|=¿ 0

α23= (-1)2+3|1 22 0|=4 ,α31= (-1)3+1 |2 1

2 1| = 0

α32= (-1)3+2 |1 10 1|=¿-1, α33= (-1)3+3 |1 2

0 2| = 2

maka adj H = [α 11 α 21 α 31α 12 α 22 α 32α 13 α 23 α 33] = [ 4 −4 0

2 0 −1−4 4 2 ]

c. Invers Matriks

Jika A dan B matriks persegi nxn sedemikian hingga AB=BA=I, B disebut invers A

(B=A-1) dan A disebut invers B (A=B-1) sehingga berlaku

A A-1= A-1A=I, I adalah identitas.

Invers matriks A dirumuskan A-1 = 1

¿ A∨¿¿ . Adj(A)

Pembuktian :

Misal matriks 2x2, matriks A= [a bc d ] dan misalkan invers matriks A adalah A-1=

[ x yu v ]. Berdasarkan pengertian invers matriks, maka berlaku AA-1=I, dengan I

matriks identitas.

[a bc d ][ x y

u v ]=[1 00 1]

[ax+bu ay+bvcx+du cy+dv ]=[1 0

0 1]Berdasarkan kesamaan matriks maka diperoleh:

ax + bu = 1 (1)

cx + du = 0 (2)

ay + bv = 0 (3)

cy + dv = 1 (4)

dari persamaan-persamaan dilakukan eleminasi untuk menentukan nilai x, y, u, dan v.

ax + bu = 1 xd adx + bdu = d

cx + du = 0 xb bcx + bdu = 0

adx – bcx = d


MATRIKS 2015

x(ad-bc) = d

x = d

ad−bc

substitusikan x pada persamaan (2), sehingga diperoleh u =−c

ad−bc , dengan cara yang

sama seperti diatas, akan diperoleh juga y = −b

ad−bc , dan v= a

ad−bc . Dengan

demikian A-1= [ dad−bc

−bad−bc

−cad−bc

aad−bc ] =

1ad−bc [ d −b

−c a ], dengan ad-bc≠0

Maka invers matriks A=[a bc d ]adalah A-1=

1ad−bc [ d −b

−c a ]Sehingga rumus invers matriks adalah A-1 =

1¿ A∨¿¿ . Adj(A)

Setelah telah selesai membahas materi matriks di atas, ada beberapa hal penting sebagai

kesimpulan yang dijadikan pengangan dalam mendalami dan membahas materi lebih

lanjut, antara lain:

1. Matriks adalah susunan bilangan-bilangan dalam baris dan kolom.

2. Sebuah matriks A ditransposkan menghasilkan matriks Atmatriks A berubah menjadi

elemen kolom matriks A ditrasposkan kembali, hasinya menjadi matriks A atau (A

dengan elemen baris . Dengan demikian matriks

3. Penjumlahan sebarang matriks dengan matriks identitas penjumlahan hasilnya matriks

itu sendiri. Matriks identitas penjumlahan adalah matriks nol.

4. Dalam operasi penjumlahan dua matriks berlaku sifat komutatif dan assosiatif, misal

jika A dan B adalah matriks, maka

a. A + B = B + A

b. A + (B + C) = (A + B) + C

5. Hasil kali sebuah matriks dengan suatu skalar atau suatu bilangan real k akan

menghasilkan sebuah matriks baru yang berordo sama dan memiliki elemenelemenk

kali elemen-elemen dari matriks semula.

6. Dua buah matriks hanya dapat dikalikan apabila banyaknya kolom dari matriksyang

dikali sama dengan banyaknya baris dari matriks pengalinya.

7. Hasil perkalian matriks A dengan matriks identitas perkalian, hasilnya adalah matriks

A.

8. Perkalian dua atau lebih matriks, tidak memenuhi sifat komutatif. Tetapi perkalian

matriks dengan skalar memenuhi sifat komutatif dan assosiatif. Misal jika k adalah

Rangkuman


BAB 3 11

MATRIKS 2015

MATRIKS

Petunjuk :

a. Kerjakanlah lembar evaluasi dengan baik dan jangan bekerja sama dengan siswa lain.

b. Lembar evaluasi digunakan untuk mengukur kemampuan siswa.

c. Evaluasi dikerjakan setelah semua materi dan uji kompetensi selesai.

d. Evaluasi dikerjakan dalam waktu 60 menit dan dikumpulkan kepada guru.

I. Untuk soal Nomor 1 sampai dengan Nomor 10 berikut ini, pilihlah satu jawaban yang

paling tepat!

1. Diketahui matriks A dan B berordo 3x3

A = ¿ ( 6 −2 −3 ¿ ) (−1 1 0 ¿ ) ¿¿

¿ dan

B= ¿ ( x x+ y y+z ¿ ) ( z−a b b+2 c ¿ ) ¿¿

¿

Evaluasi

Setelah telah selesai membahas materi matriks di atas, ada beberapa hal penting sebagai

kesimpulan yang dijadikan pengangan dalam mendalami dan membahas materi lebih

lanjut, antara lain:

1. Matriks adalah susunan bilangan-bilangan dalam baris dan kolom.

2. Sebuah matriks A ditransposkan menghasilkan matriks Atmatriks A berubah menjadi

elemen kolom matriks A ditrasposkan kembali, hasinya menjadi matriks A atau (A

dengan elemen baris . Dengan demikian matriks

3. Penjumlahan sebarang matriks dengan matriks identitas penjumlahan hasilnya matriks

itu sendiri. Matriks identitas penjumlahan adalah matriks nol.

4. Dalam operasi penjumlahan dua matriks berlaku sifat komutatif dan assosiatif, misal

jika A dan B adalah matriks, maka

a. A + B = B + A

b. A + (B + C) = (A + B) + C

5. Hasil kali sebuah matriks dengan suatu skalar atau suatu bilangan real k akan

menghasilkan sebuah matriks baru yang berordo sama dan memiliki elemenelemenk

kali elemen-elemen dari matriks semula.

6. Dua buah matriks hanya dapat dikalikan apabila banyaknya kolom dari matriksyang

dikali sama dengan banyaknya baris dari matriks pengalinya.

7. Hasil perkalian matriks A dengan matriks identitas perkalian, hasilnya adalah matriks

A.

8. Perkalian dua atau lebih matriks, tidak memenuhi sifat komutatif. Tetapi perkalian

matriks dengan skalar memenuhi sifat komutatif dan assosiatif. Misal jika k adalah


MATRIKS 2015

Jika A = B, tentukan nilai a,b,c,d,e,f,x,y dan z.

2. Diketahui matriks P dan Q yang berordo 2x2

P = ¿ (2 x− y 3x ¿ ) ¿¿

¿ dan

Q = ¿ ( 7 −4 ¿ )¿¿

¿ Jika P = Qt

, tentukan x3− y3

.

3. Ditentukan matriks-matriks A = ¿ (1 2¿ ) ¿

¿¿

, carilah matriks

a. 2A b. -2B c. 25 (A+B) d. (5A-2B)t

4. Jika H adalah matriks berordo 3x3, tentukan matriks H dari persamaan berikut:

( 2 −3 5 ¿ ) (−1 0 4 ¿ ) ¿¿

¿¿

5. Tentukan hasil perkalian matriks berikut:

a.(3 4 ) ¿ (2 −1 3 ¿ )¿

¿¿

b.

( 4 8 −9¿ ) ( 1 −6 4 ¿ )¿¿

¿¿

c.

(−6 3 ¿ ) ( 3 6 ¿ )¿¿

¿¿

6. Ditentukan matriks-matriks P = ¿ (−1 2 ¿ ) ¿

¿¿,

Q = ¿ (4 −1 ¿ ) ¿¿

¿ dan

R = ¿ (−3 0 ¿ ) ¿¿

¿. Carilah

matriks P(QR ) , ( PQ ) R , ( PQ )t dan Pt Qt

7. Selesaikan setiap persamaan berikut:

a.

(2 5¿ )¿¿

¿¿b.

(1 2 0 ¿ ) ¿¿

¿¿

8. Ditentukan matriks A = ¿ (1 2¿ )¿

¿¿. Carilah matriks A

2 , A3 , dan A4.


MATRIKS 2015

9. Jika A = [1 32 4] dan I, matriks satuan ordo dua, maka A2 - 2A + I adalah

10. Diketahui matriks A = [1 24 3] dan matriks Identitas. Tentukan nilai x supaya matriks

A - xI merupakan matriks singular!

11. Diket A = [ x+ y xy x− y ] B ¿ [ 1 −1

2x

−2 y 3 ] , jika At =B. tentukan nilai x?

12. Tentukan determinan dari :

A = [16 −516 −5 ]

B = [ 2 9 160 0 024 16 8 ]

C = -6 1 -3 -12 4 -2 2 3-2 -1 -1 -1 2 1 1 9


BAB 4 11

MATRIKS 2015

PENUTUP

Sebagai tindak lanjut dari serangkaian kegiatan belajar dalam Modul Matematika Berbasis

Model Pembelajaran ini adalah :

Jika hasil evaluasi terhadap penguasaan kompetensi mencapai ≥ 70% maka siswa dapat

melanjutkan ke modul berikutnya. Tentu aja setelah memperoleh rekomendasi dari guru

mata pelajaran matematika yang terkait ataupun dari guru pembimbing.

Sebaliknya jika siswa masih belum dapat mencapai penguasaan kompetensi 70% maka

siswa dinyatakan belum kompeten dan siswa harus mengulang evaluasi tersebut.

Sebaiknya, perlu diadakan penelusuran terhadap penggunaan penguasaan kompetensi

dengan cara mengulang lagi tahap – tahap kegiatan belajar yang belum tuntas.


MATRIKS 2015


MATRIKS 2015

DAFTAR PUSTAKA

Kemendikbud. 2013. Buku Guru Matematika Kelas X.Jakarta : KemendikbudSuprapto, dkk. 2011. Matematika Untuk SMA/MA Kelas X Semester 2. Kudus : Pustaka

Indah.


MATRIKS 2015


modul matematika berbasis problem based learning pada materi matriks kelas x MIA

Education

Transcript of modul matematika berbasis problem based learning pada materi matriks kelas x MIA