Modul bentuk pangkat
-
Upload
vino-hidayat -
Category
Education
-
view
13.880 -
download
5
description
Transcript of Modul bentuk pangkat
MENGGUNAKAN ATURAN PANGKAT DALAM MENYELESAIKAN PERMASALAHAN
====================================================
1. BILANGAN BERPANGKAT
Dalam kehidupan sehari-hari sering kita jumpai bilangan yang sangat besar atau sangat kecil. Bentuk bilangan berpangkat ini merupakan salah satu cara untuk menyederhanakan penulisan bilangan-bilangan tersebut, terutama dalam kaitannya dengan perhitungan-perhitungan, misalnya mata pelajaran fisika, kimia, ekonomi dan sebagainya. Untuk lebih jelas tentang bilangan berpangkat, perhatikan pernyataan berikut ini, setelah anda mengetahui sifat-sifat dan aturannya diharapkan anda dapat menggunakan atau menerapkan dalam memecahkan permasalahan yang sedang dihadapi.
Pernyataan “ 2 x 2 x 2 x 2 “ diartikan perkalian berulang bilangan 2 sebanyak 4 faktor dan dinotasikan dengan “ 24 “ dibaca “ 2 pangkat 4 “
2 x 2 x 2 x 2 = 16 ... (1) ⇒ hasil perhitungan2 x 2 x 2 x 2 = 24 ... (2) ⇒ notasi perkalian berulang
Dari (1) dan (2) diperoleh bahwa nilai dari 24 = 16
Untuk sebarang bilangan real a dan bilangan bulat n, maka an didefinisikan sebagai
an = a x a x a x ... x a
sebanyak “ n “ faktor
an disebut bilangan berpangkat, dengan : a adalah bilangan pokok n adalah pangkat dari a
1
Kegiatan Belajar 1
1.1 Mengulang sifat-sifat bilangan dengan pangkat bulat positif dan nol
Jika a ∈ R dengan n dan m bilangan bulat positif , maka berlaku
Sifat 1 : an x am = a n + m
Contoh 1 : Dengan menulis faktor-faktor setiap bilangan, tunjukkan bahwa
a. 24 x 23 = 27
b. 56 x 53 = 59
Penyelesaian :
24 x 23 = ( 2 x 2 x 2 x 2 ) x ( 2 x 2 x 2 ) = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
= 27
Lengkapi jawaban di bawah ini seperti contoh
56 x 53 = ( ... x ... x ... x ... x ... x ... ) x ( ... x ... x ... ) = ... x ... x ... x ... x ... x ... x ... x ... x ... = ...
Jika a ∈R, a ≠ 0 dengan n > m bilangan bulat positif, maka berlaku
Sifat 2 : m
n
aa = an– m
Contoh 2 : Dengan menulis faktor-faktor setiap bilangan, tunjukkan bahwa
a. 3
5
22 = 22 b. 4
7
55 = 53
Penyelesaian :
a. 3
5
22 = 2x 2x2
2x 2x2x2x2
= 2 x 2
2
= 22
Lengkapi jawaban di bawah ini seperti contoh
b. 4
7
55 = ...x ...x...x...
...x ...x...x...x...x...x...
= ... x ... x ... = . . .
....
Jika a ∈ R dengan n dan m bilangan bulat positif , maka berlaku
Sifat 3 : ( an )m = a n m
Contoh 3 :
Dengan menulis faktor-faktor setiap bilangan, tunjukkan bahwa
a. ( 23 )4 = 212 b. ( 52 )3 = 56
Penyelesaian :
a. ( 23 )4 = ( 23 ) x (23 ) x ( 23 ) x ( 23 ) = ( 2 x 2 x 2 ) x ( 2 x 2 x 2 ) x ( 2 x 2 x 2 ) x ( 2 x 2 x 2 ) = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 212
Lengkapi jawaban di bawah ini seperti contoh
b. ( 52 )3 = ( ... ) x ( ... ) x ( ... ) = ( ... x ... ) x ( ... x ... ) x ( ... x ...) = ... x ... x ... x ... x ... x ... = ..... ....
Jika a,b∈R dengan n dan m bilangan bulat positif, maka berlaku
Sifat 4 : (a x b)n = an x bn
Contoh 4 : Dengan menulis faktor-faktor setiap bilangan, tunjukkan bahwa
a. ( 2 x 5 )3 = 23 x 53 b. ( 3 x 7 )4 = 34 x 74
Penyelesaian :
a. ( 2 x 5 )3 = ( 2 x 5 ) x ( 2 x 5 ) x ( 2 x 5 )
3
= ( 2 x 2 x 2 ) x ( 5 x 5 x 5 ) = 23 x 53
Lengkapi jawaban di bawah ini seperti contoh
b. ( 3 x 7 )4 = ( ... x ... ) x ( ... x ... ) x ( ... x ... ) x ( ... x ... ) = ( ... x ... x ... x ... ) x ( ... x ... x ... x ... )
= .... ... x .... ...
Jika a,b∈R dan b ≠ 0 dengan n bilangan bulat positif , maka berlaku
Sifat 5 : n
ba
= nb
na
Contoh 5 : Dengan menulis faktor-faktor setiap bilangan, tunjukkan bahwa
a. 3
25
= 3
3
2
5 b. 5
32
= 5
5
32
Penyelesaian :
a. 3
25
=
25 x
25 x
25
=
2x2x25x5x5
= 3
3
2
5
Lengkapi jawaban di bawah ini seperti contoh
5
32
= ( )
...
... x ( )...... x ( )
...
... x ( )...... x ( )
...
...
=
...x...x...x...x...
...x...x...x...x...
= ......
Pangkat nol dari suatu bilangan
Sifat 6 : Untuk setiap a∈R dan a ≠ 0, berlaku a0 = 1
4
Contoh 6 :
Tunjukkan bahwa 4
4
33 = 30 = 1 ,
a. Dengan menulis faktor-faktor setiap bilangan
b. Dengan menggunakan sifat pembagian bilangan berpangkat
Penyelesaian :
a. 4
4
33 = 3x3x3x3
3x3x3x3 = 1
b. 4
4
33 = 3 4 – 4 = 30
Dari ( a ) dan ( b ) diperoleh bahwa : 30 = 1
Lengkapi jawaban di bawah ini, seperti contoh
a. 5
5
66 = ...x...x...x...x...
...x...x...x...x... = ...
b. 5
5
66 = .... .... – .... = ...
Dari ( a ) dan ( b ) diperoleh bahwa : 60 = 1
Catatan : 00 tidak terdefinisi
LATIHAN 1
5
1. Nyatakan dalam bentuk bilangan berpangkat
a. 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 c. (x – 2) x (x – 2)
b. n x n x n x . . . x n d. (a + b) x (a + b) x {–(a + b)} m faktor
2. Dengan menuliskan faktor-faktornya, nyatakan setiap soal di bawah ini dalam bentuk paling sederhana.
a. 33 x 35 c. 5c3 x 3c2
b. –23 x 22 d. –4y5 x 2y2
3. Bilangan manakah yang mempunyai nilai paling besar 2175 atau 575
4. Dengan menuliskan faktor-faktornya, nyatakan setiap soal di bawah ini dalam bentuk paling sederhana.
a. 2
5
3
3 c. 3
6
4
8
p
p−
b. 2
3
4
4− d. 2
3
3
9
c
c
−−
5. Sederhanakan bentuk bilangan berpangkat di bawah ini.
a. ( 2a2 )4 e. {– (c2 d 3 )}2 i. 410
265
2
4
y
zy
b. 2(a 2 )4 f. (– 2 x 3 y2 )3 j. 3
2
2
3
2
b
a
c. (–3k 3 )2 g. 3
3
2
b
a k. 2
96
128
yx
yx
d. – ( 2k 3 )3 h. 33
65
ca
cal.
5
24
75
cb
ba
Apabila Anda telah selesai mengerjakan soal-soal latihan 1, cocokan jawaban Anda dengan kunci jawaban di bawah ini.
6
Catatan : jangan membaca/melihat jawabannya sebelum Anda mencoba menjawab.
JAWABAN LATIHAN 1
1. a. 56 2. a. 38 3. 2175 = ( 27 )25 = 12825
b. nm b. –25 575 = ( 53)25 = 12525
c. (x – 2)2 c. 15c5 Jadi nilai 2175 lebih besar
d. – (a + b)3 d. –8y7 dibanding nilai dari 575
4. a. 33 5. a. 16a 8 e. c4 d 6 i. y 2 z 2
b. – 41 = – 4 b. 2a 8 f. –8x 9y 6 j. 6
6
27
8
b
a
c. –2p 3 c. 9k 6 g. 9
6
b
a k. x 4y 6
d. 3c d. –8k 9 h. a2c3 l. 10
1525
c
ba
Apakah pekerjaan Anda sama seperti jawaban di atas ? Jika ya, berarti Anda paham, bagus ! Apabila pekerjaan Anda belum sama dengan jawaban di atas, segeralah samakan. Jika mengalami kesulitan, diskusikanlah dengan teman-teman Anda atau tanyakan kepada guru pada saat tatap muka. Bangkitkan semangat belajar Anda.
1.2. Mengubah bentuk pangkat negatif ke pangkat positif dan sebaliknya
7
Sifat-sifat yang berlaku pada bilangan berpangkat bulat positif juga berlaku pada bilangan berpangkat bulat negatif atau berpangkat nol kecuali 0n = 0. Untuk bilangan bulat positif n , 0–n tidak terdefinisi
Untuk setiap a∈R, a ≠ 0 dan n bilangan bulat, berlaku
Sifat 7 : a– n = na1 atau a n = na −
1
Untuk pembuktian secara intuitif dengan menulis faktor-faktor setiap bilangan dan menggunakan sifat operasi aljabar pembagian pada bilangan berpangkat, kita dapat menyatakan bentuk pangkat negatif ke pangkat positif dan sebaliknya.
Perhatikan operasi aljabar pembagian bilangan berpangkat berikut :
6
4
55 = 5x5x5x5x5x5
5x5x5x5 = 25
1 ... definisi bilangan berpangkat (1)
6
4
55 = 5 4 – 6 = 5– 2 ... sifat operasi bagi bil. pangkat (2)
Dari (1) dan (2) diperoleh bahwa : 5– 2 = 251
Lengkapi jawaban di bawah ini, seperti contoh
4
3
66 = ...x...x...x...
...x...x... = ... ... (1)
4
3
66 = .... .... – .... = ... ... (2)
Dari (1) dan (2) diperoleh bahwa : ... ... = ...
Perhatikan barisan bilangan di bawah ini
... , 16 , 8 , 4 , 2 , 1 , 21 , 4
1 , 81 , 16
1 , ...
... , 24 , 23 , 22 , 21 , 20 , 2–1 , 2–2 , 2–3 , 2– 4 , ...
Untuk setiap suku dari barisan bilangan pecahan di atas, dapat dinyata kan dalam bentuk bilangan berpangkat bulat negatif , sebagai berikut :
2–1 = 21
2– 2 = 22
1 = 41
8
2– 3 = 32
1 = 81
2– 4 = 421 = 16
1 dst.
Nyatakan dalam bentuk pangkat tiap-tiap suku dari barisan bilangan di bawah ini dengan bilangan pokok 10... , 10.000 , 1.000 , 100 , 10 , 1 , 10
1 , 1001 , 000.1
1 , 000.101 , ...
... , ... , ... , ... , ... , ... , ... , ... , ... , ... , ...
Bilangan positif kecil dan besar dengan pokok 10 , seperti :
10–1 , 10– 2 , 10– 3 , 10– 4 , ... disebut bentuk baku bilangan kecil
1 , 10 , 100 , 1.000 , 10.000, ... disebut bentuk baku bilangan besar
Bentuk umum bilangan baku ditulis : a x 10n , 1≤ a ≤ 10 dan n∈B
Contoh 7 : Nyatakan dalam bentuk baku dari bilangan-bilangan di bawah ini
a. 145.000.000 c. 5,25 x 0,0000064
b. 0,0000096 d. 750.000.000 : 15.000
Penyelesaian :
a. 145.000.000 = 1,45 x 108
b. 0,0000096 = 9,6 x 10–6
c. 525 x 0,0000064 = 5,25 x 102 x 6,4 x 10–6 = 33,6 x 10–4 = 3,36 x 10–3
d. 750.000.000 : 15.000 = 7,5 x 108 : 1,5 x 104 = 5 x 104
Pangkat Pecahan dari suatu bilangan
Sifat-sifat yang berlaku pada bilangan berpangkat bulat positif , nol dan negatif juga berlaku pada bilangan berpangkat rasional pecahan.
Bentuk umum pangkat pecahan dari suatu bilangan ditulis
9
nm
a , untuk a ∈ R dengan m dan n bilangan bulat
Contoh 8 :
Nyatakan bilangan pangkat di bawah ini dalam bentuk paling sederhana
a. 21
16 c. 32
125 e. 32
63 )8( yx
b. 51
)243(− d. 21
62 )4( −ba
Penyelesaian :
a. 21
16 = 21
2 )4( = 4
b. 51
)243(− = 51
5 )3(− = – 3
c. 32
125 = ...... )5( = ...... = ...
d. 21
62 )4( −ba = 21
622 )2( −ba = .............
e. 32
63 )8( yx = .........32
......... .........).........( =
= ..............
3. OPERASI ALJABAR PADA BENTUK PANGKAT
10
Pada bagian ini akan dibahas berbagai persoalan yang berkaitan dengan bilangan berpangkat positif, nol, negatif dan pecahan. Dalam melakukan operasi aljabar pada bilangan berpangkat, kita dapat memilih dan menggunakan sifat-sifat mana yang cocok digunakan untuk menyelesaikan persoalan yang sedang dihadapi. Perhatikan beberapa contoh soal beserta penyelesaiannya.
Contoh 9 :
Tentukan nilai x, y, z dari ( )
( ) 35
44
)12(.
.)75(
43
1615
= 2x 3 y 5z
Penyelesaian :
( )
( ) 35
44
)12(.
.)75(
43
1615
= 2x 3 y 5z
⇔ 3
5
44
)(.
.)(
4343
44
53253
x
x
xx
= 2x 3 y 5z
⇔ 32
5
2
4
442
)(.
.)(
232
3
2
5353
x
xx
= 2x 3 y 5z
⇔
10
635
16
4484
2
2
2
5353
33 xx
xxx
= 2x 3 y 5z
⇔
68
10
16
128
23
2
2
53
x
x = 2x 3 y 5z
⇔ .5.3.2 12012− = 2x 3 y 5z
Jadi nilai x = –12 , y = 0 dan z = 12
Contoh 10 :
Sederhanakan bentuk operasi aljabar bilangan berpangkat di bawah ini.
11
a. (– 2ab– 3 )2 ( 3a – 2b 7 ) c. 2
12222
:
)()(−
−+
nn
nn
aa
aa x
b.3
1
2
32
−
−
ba d. 22
11
−−
−−
−−
yx
yx, Jika x + y ≠ 0
Penyelesaian :
a. (– 2ab– 3 )2 ( 3a – 2b 7 ) = ( 4a 2b – 6 )( 3a – 2 b 7 )
= 12 a 2 – 2 b 7 – 6
= 12b
b. 3
1
2
32
−
−
ba = 33
63
3
2−
−
b
a = 3
6
27
8−
−
b
a = 6
3
27
8
a
b
c. 2
12222
:
)()(−
−+
nn
nn
aa
aa x = )2(
2442
−−
−+
nn
nn
a
aa x= 2
26
a
a n + = a6n
d. 22
11
−−
−−
−−
yx
yx=
2211
11
yx
yx
−
−
= 22
22
yx
xy
xyxy
−
−
=
−
−
22
22
xy
yxxy
xy
=
+−
−
))(()( 2
xyxyxy
xyxy
= yxxy+
LATIHAN 2
1. Tulislah dalam bentuk 3–n : 91 , 81
1 , 7291
2. Tulislah nilai bilangan berpangkat di bawah ini :
a. 40 , 4–1 , 4– 2 , 4– 3 c. 321
32
32
32 ,,
−−−
b. 20 , 2–4 , 221− , 52
1−
12
3. Nyatakan dalam bentuk pangkat positif dan sederhanakan.
a. 4– 2 c. 2a– 5 e. 421
−x
b. x – 8 d. (2a)–2 f. 221 −x
4. Nyatakan dalam bentuk pangkat positif dan sederhanakan
a. 32 x 3– 3 c. 5– 2 x 2– 4 e. ( 5x– 2 )– 3
b. 34 x 2– 3 d. 2–2 x 2– 3
5. Sederhanakan dan nyatakan dalam bentuk pangkat positif
a.2
2
2
77
−
−b.
2
2
4
33
−
c.
3
3
2
54
−
yx d.
2
22
22
32
−−
−
ba
6. Sederhanakan dan nyatakan hasilnya dalam bentuk pangkat negatif
a. 63
25
yaya
b. 2610
25
24
zyy
c. 2
4
3
ba d. 26
24
2 yxyx −
7. Sederhanakan dan nyatakan hasilnya dalam bentuk pangkat positifa. ( 2– 2 + 2–1 + 20 ) –2 d. (–2ab– 3 )( 3a2b–2 )
b.5
:37
25
24
80
81
15
16x
e. 2531
yx−
c.2
4
3
−
−
ba
8. Nyatakan dalam bentuk baku dari bilangan-bilangan di bawah a. 25 : 6.250.000.000 b. 480.000.000 x 25.000.000
Apabila Anda telah selesai mengerjakan soal-soal latihan 2, cocokan jawaban Anda dengan kunci jawaban di bawah ini.
Catatan : jangan membaca/melihat jawabannya sebelum Anda mencoba menjawab.
JAWABAN LATIHAN 2
1. 3–2, 3–4 , 3–6
2. a. 1, 41 , 16
1 , 641 b. 1, 16
1 , 4, 32 c. 23 , 4
9 , 827
3. a. 241
= 161 b. 8
1x c. 5
2a
d. 2)2(1a = 24
1a e.
24x = 4
21 x f. 22
1x
13
4. a. 3– 1 = 31 b. 32
43 = 881 c. 2542
1= 400
1
d. 521
= 321 e. 35
6x =125
6x
5. a. 1 b. 431
c. 9612564
yx
d. 4
44342
a
b = 4
446
a
b
6. a. 42
ya = 2
4
−−
a
y b. 24 −− zy c. 6
8−−
ab
d. 2
42 −− yx
7. a. ( 41 + 2
1 +1)–2 = ( 47 ) –2 = 49
16 b. 2105123272
105123282 =
c. 68
ab d. –6a3b–5 = 5
36b
a− e. 23
5
yx
8. a. 4 x 10-8 b. 1,2 x 1016
Apakah pekerjaan Anda sama seperti jawaban di atas ? Jika ya, berarti Anda paham, bagus ! Apabila pekerjaan Anda belum sama dengan jawaban di atas, segeralah samakan. Jika mengalami kesulitan, diskusikanlah dengan teman-teman Anda atau tanyakan kepada guru pada saat tatap muka. Bangkitkan semangat belajar Anda.
TUGAS 1
1. Tentukan nilai a,b,c,d dari
dcba 7532)125()42()14(
)28()234
42345( =××
×
2. Sederhanakan bilangan berpangkat di bawah ini
a. 2
)1213
31212
25
252.5
(
)(−−
+−
×
×nn
nnn
b. 2
2)
1212
311212
53
5353
(
))((−
×
××+−
+−+−
nn
nnnn
14
c. 3
1
22
2
11
1
1..
−
−
−
−−
− x
x
x
x
x
3. Nyatakan dalam bentuk baku
2
8
000.640
125128
000.1000.100
x
x
4. Berapa digitkah bilangan berpangkat di bawah ini apabila dituliskan dalam bentuk bilangan tidak berpangkat.
a. 210 x 1010 c. 50
4
1028
5
8
x
b. 418 x 5 29
5. Angka satuan manakah yang ditunjukkan oleh bilangan berpangkat a. 777333 b. 31001 x 71002 x 131003
c. 1183281
6. Diketahui bilangan berpangkat A=20022002 , B = 20012002+ 20022001
Bilangan manakah yang nilainya paling besar antara A dan B
15