MODUL 9

MODUL PERKULIAHAN

Matematika III (PD biasa orde 1 dan 2 )

Model Matematika untuk menyelesaikan PD bentuk orde 1 dan orde 2

Fakultas Program Studi Tatap Muka Kode MK Disusun Oleh

Teknik Teknik Sipil 10 MK11059 Hendy Yusman F, M.Pd

Abstract Kompetensi

Persamaan linear orde pertama dan kedua mempunyai penerapan dalam fisika dan rekayasa. Perubahan sistem fisis ke model matematis menjadi suatu keharusan jika ingin menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan hal tersebut. Perubahan tersebut dinamakan pembentukan model.

Agar Mahasiswa dapat :1. Membuat Model matematika2. Menyelesaikan PD bentuk orde 1

dan orde 2

I. Model – model Persamaan diferensial linier orde 1A. Penyelesaian rangkaian R – L

Gambar 1.1 rangkaian

Sebuah rangkaian listrik sederhana terdiri dari sebuah tahanan R(ohm), induksi

L(Henry), dan tegangan E(t)dalam volt yang dirangkai dengan sebuah sumber gaya

eleltromotif (baterei). Hitunglah arus dalam rangkaian setelah t detik I(t), bila diketahui

I(0) = 0, Bila sumber tegangannya E(t) = Eo. Langkah penyelesaian :

a) Perumusan ModelMenurut hokum Kircoff, jumlah tegangan sama dengan gaya elektromotif, E(t) ,yakni :

EL + ER = E(t)

Berdasarkan kenyataan bahwa :

1) Tegangan pada tahanan , ER = Ri

2) Tegangan pada inductor, EL =

Dengan demikian untuk rangkaian seperti di gambar dihasilkan :

Persamaan tersebut adalah persamaan diferensial linier orde sati, dengan P(t) =

‘16 2 Matematika III

Pusat Bahan Ajar dan eLearningHendy Yusman F, M.Pd http://www.mercubuana.ac.id

Dan Q(t) = E(t)…….ingat bentuk PD linier orde satu y’ + p(x)y = q(x) b) Penyelesaian persamaan diferensial Faktor integrasi PD linier adalah

Dengan demikian, penyelesaian umum persamaan diferensial adalah :

Karena diketahui , E(t) = E0

dan I(0) = 0, dari ruas kanan persamaan di atas dihasilkan :

Sehingga penyelesaian umumnya adalah

Karena diketahui I(0) = 0, maka diperolah

Atau

Jadi penyelesaian persamaan diferensialnya adalah :

Atau

Persamaan ini merupakan persamaan yang menyatakan arus dalam rangkaian setelah t

detik

Contoh :



Sebuah rangkaian listrik sederhana dengan L = 2 henry, R = 6 ohm dan sebuah baterei

dengan voltase konstan 12 volt. Jika I = 0 pada saat t= 0(saklar ditutup) tentukan I pada

saat T.

Jawab :Persamaan diferensial adalah :

------------------------ dibagi 2 menjadi

dari persamaan di atas di dapat P(t) = 3 dan Q(t) = 6, sehingga faktor integrasi

Dengan mengalikan faktor integrasi e3t, integralkan dan kalikan dengan e-3t akan didapat

I = e-3t(2e3t + C) = 2 + Ce-3t

Dengan syarat awal I = 0 pada saat t = 0, memberikan C = -2; karena I = 2 – 2e-3t

Selama t bertambah, arus cenderung menuju suatu arus sebesar 2 ampere.

B. Penyelesaian model campuran kimiaDalam sebuah bejana berisi 16 galon air asin yang mengandung 5 pon larutan garam.

Air asin mengalir ke dalam bejana yang mengandung 2 pon larutan garamtiap gallon,

dengan laju 3 galon tiap menit. Campuran dipertahankan merata dengan cara

mengaduk. Air asin mengalir keluar dengan laju 1 galon tiap menit. Berapakah jumlah

garam dalam larutan setelah 4, 5 menit.

a) Perumusan ModelAndaikan X(t) menyatakan jumlah garam pada saat t menit. Menurut hukum kimia,

laju perubahan garam pada saat t sama dengan laju masuk dikurangi dengan laju

keluar, sehingga :

laju masuk – laju keluar

Mengingat :

Laju masuk = [konsentrasi][kecepatan]

= [2 pon/galon][ 3 galon/menit]

= 6 pon/menit

Laju keluar = [konsentrasi][kecepatan]

Dimana kecepatan keluar bejana 1 galon/menit dan



Konsentrasi = jumlah garam pada saat t dibagi jumlah gallon air asin dalam bejana

pada saat t.

Konsentrasi =

=

Maka laju keluar bejana adalah

Dengan demikian persamaan diferensialnya dapat ditulis menjadi bentuk umum

Persamaan linier orde satu, yaitu :

Atau

Dari persamaan tersebut didapat :

P(t) = dan Q(t) = 6 dan syarat x(0) = 12

b) Penyelesaian Persamaan diferensial Dari P(t) didapat faktor integrasi :

Sehingga solusi umum persamaan diferensial linier adalah :

Atau

Karena diketahui x(0) = 12, maka dihasilkan :

Sehinngga didapat solusi khusus adalah :



Selanjutnya untuk t = 4,5, dihasilkan :

Jadi jumlah garam dalam larutan setelah 4,5 menit adalah 34 pon.

II. Model Persamaan Diferensial linier Orde 2A. Model pada rangkaian listrik

Sebuah rangkaian listrik yang terdiri dari sebuah tahanan R(ohm), sebuah kumparan

L(henry) dan sebuah kapasitor C(farad) dan sebuah baterei yang menyediakan E(t)

volt. Hukum Kirchoff untuk rangkaian ini adalah :

Arus I = dQ/dt, diukur dalam ampere, memenuhi persamaan yang diperoleh dengan

pendiferensialan hukum Kirchoff terhadap t, yaitu :

Contoh :Tinjau rangkaian listrik pada gambar di bawah ini dengan sebuah resistor, induktor

dan capasitor.

Tentukan muatan Q dan arus I sebagai fungsi waktu t di dalam sebuah rangkaian

RCL, jika R = 16, L = 0,02, C = 2 x 10-4 dan E = 12. Anggap bahwa Q = 0 dan I = 0 di

t = 0 (pada waktu saklar ditutup.



Jawab :Dari hukum Kirchoff :

Dari persamaan bantu mempunyai akar

Sehingga

Qh = e-400t(C1cos 300t + C2 sin 300t)

Solusi khususnya adalah Qp = 2,4 x 10-3, didapat solusi umumnya adalah :

Q = 2,4 x 10-3 + e-400t(C1cos 300t + C2 sin 300t)

Dengan syarat awal yang kita ketahui didapat C1= -2,4 x 10-3 dan C2 = -3,2 x 10-3, kita

simpulkan

Q = 10-3 [2,4 - e-400t(2,4 cos 300t + 3,2 sin 300t)

Dengan pendifenrensialan didapat :

B. Getaran Harmonik SederhanaHukum Hooke : F = -ky, k adalah konstanta pegas, y = koordinat y dari p

Hukum Kedua Newton : F = ma = (w/g) a, dengan w berat benda , a percepatan dan

konstanta percepatan karena gravitasi (g = 32 kaki per detik .detik atau 0,98 m

perdetik-detik), jadi

Persamaan tersebut adalah persamaan diferensial dari gerak tersebut, Jika dimisalkan

kg/w = B2, maka persamaan menjadi :

Solusi umumnya :

y = C1cos Bt + C2sinBt



Syarat y = y0 dan y’ = 0 pada saat t= 0 menentukan C1 dan C2 masing-masing berupa y0 dan

0, jadi y = y0 cos Bt

contoh :Bila sebuah benda seberat 5 pon dikaitkan pada titik paling rendah P pada suatu pegas

yang bergantung tegak, benda tersebut menyebabkan pegas itu bertambah panjang 6 inci,

benda 5 pon itu diganti dengan benda 20 pon, dan sistem ini dibiarkan mencapai

keseimbangan. Jika benda 20 pon itu ditarik kebawah sejauh 2 kaki dan kemudian

dilepaskan, berikan gambaran tentang gerak titik paling rendah P pada pegas itu.

Jawab :Langkah pertama kita tentukan konstanta pegas. Hukum Hooke, F = ks, dengan s jarak

pegas direntang, sehingga 5 = k(1/2), atau k = 10. Sekarang letakkan titik awal

keseimbangan setelah benda 20 pon dikaitkan. Kita mengetahui bahwa y = y0cosBt, dalam

hal ini

y0 = 2 dan B2 = kg/w = (10)(32)/10 = 16, disimpulkan bahwa

y = 2 cos 4t

Gerak P adalah gerak harmonik sederhana dengan perioda ½ π dan amplitudo 2 kaki.

Artinya P berosilasi ke atas dan ke bawah dari 2 kaki di bawah 0 hingga 2 kaki di atas 0

kemudian kembali 2 kaki di bawah 0 setiap ½ π ≈1,57 detik.

a. Getaran TeredamPersamaan diferensial masalah tersebut adalah :

Dengan mengandaikan E = qg/w dan B2 = kg/w, persamaan ini dapat dinyatakan :

Untuk hal ini terdapat tiga kasus yang harus ditinjau :

1. Kasus I : E2 – 4B2 < 0, akar persamaan bantu adalah bilangan kompleks, dinyatakan

sebagai –a ± Bi,dengan a dan B positif. Penyelesaian umumnya adalah :



Y = e-at(C1cosBt + C2sin Bt)

Atau

Y = Ce-at sin(Bt + c)

e-at disebut faktor redam

2. Kasus II : E2 – 4B2 > 0,akar persamaan bantu –a1 dan –a2 . Penyelesaian umumnya

adalah

3. Kasus III : E2 – 4B2 = 0, mempunyai akar persamaan bantu kembar –a .

Penyelesaian umumnya adalah :

Contoh :Jika suatu gaya redam dengan q = 0,2 diberlakukan pada sistem, tentukan

persamaan geraknya.

Jawab :E = qg/w

= (0,2)(32)/20 = 0,32

B2 = (10)(32)/20 = 16, sehingga harus diselesaikan :

Persamaan bantu r2 + 0,32r + 16 = 0 mempunyai akar

Sehingga

Y = e-0,16t(C1cos 4t + C2sin4t)

Syarat y = 2 dan y’ = 0 pada saat t =0, akan didapat C1= 2 dan C2 = 0,08, hasilnya

adalah :

Y = e-0,16t(2 cos 4t + 0,08 sin4t)



Soal Latihan

1. Dengan menggunakan gambar berikut tentukan :

a. I sebagai suatu fungsi t, dengan anggapan saklar ditutup dan I = 0 pada saat

t = 0.

b. Arus keadaan stabil sebagai suatu fungsi waktu .

2. Suatu pegas dengan konstanta pegas k sebesar 20 pon perkaki dibebani dengan

benda 10 pon dan dibiarkan mencapai keseimbangan . Kemudian diangkat 1 kaki

dan dilepaskan. Tentukan persamaan gerak dan periode.(gesekan diabaikan)

3. Sebuah pegas dengan konstanta pegas k sebesar 20 pon perkaki dibebani

dengan benda 10 pon dan dibiarkan mencapai keseimbangan . Kemudian ditarik

1 kaki ke bawah dan dilepaskan. Jika benda itu mengalami sutu gaya redam

dalam pon sama dengan sepersepuluh kecepatan, tentukan persamaan gerak.

4. Tentukan muatan Q pada kapasitornya sebagai fungsi waktu jika S adalah

rangkaian tertutup pada waktu t=0. Dimana E=1V, R=106Ω, C=10-6F. Asumsikan

kapasitor tersebut awalnya belum bermuatan.



Daftar Pustaka:

1. Frank. Ayres J.R.,Kalkulus Diferensial dan Integral, Erlangga, Jakarta, 2009.2. Kreyzig, Erwin. Advanced Engineering Mathematics 10th edition, 2009 3. Prayudi, Matematika Teknik,Graha Ilmu, Yogyakarta 20064. Purcell,Edwin J., Kalkulus jilid II, Erlangga, Jakarta, 20065. Stroud, K.A.,Matematika Teknik, Jilid II, Erlangga, jakarta, 2008



MODUL 9

Documents

Transcript of MODUL 9