Modul 7 Getaran Lagrange
5
(Modul 7 – Getaran – Lagrange) Marwan Effendy, ST.MT. – hal 1 Homepage : http://blog.ums.ac.id/effendy Email : [email protected] SISTEM 2 DERAJAT KEBEBASAN (2DOF - MK) Soal 1 Diketahui sistem dua derajat kebebasan berikut : Diketahui massa =10 kg, konstanta pegas =30 N/m. a. Tentukan persamaan gerak sistem den gan memanfaatkan metode Lagrange! b. Carilah frekuensi pribadinya c. Tentukan rasio amplitudonya d. Analisislah persamaan geraknya e. Apabila massa sebelah kiri bergerak 1meter dari kedudukan setimbang statis dan kemudian dilepaskan, maka tentukan perpindahan massa u 1 (t) dan u 2 (t) Solusi Persamaan umum Lagrange i i i i i Q q Ep q Ed q Ek q Ek dt d ............................................................. [1] Ek adalah energi kinetik(akibat gerakan massa); Ep adalah energi potensial pegas(akibat kerja pegas); Ed adalah energi terbuang sistem(akibat kerja redaman); Kasus ini Ed = 0 Qi adalah gaya luar yg bekerja pada sistem (eksitasi); Kasus ini 0 Qi a. Untuk kasus di atas merupakan 2 derajat kebebasan, sehingga persamaan umum Lagra nge dapat dibuat menjadi 2 bentuk, yaitu penurunan terhadap u 1 (t) dan u 2 (t). 0 1 1 1 u Ep u Ek u Ek dt d ............................................................................ [2] 0 2 2 2 u Ep u Ek u Ek dt d ........................................................................... [3] dengan 2 2 2 1 . 2 1 2 1 u m u m Ek ...................................................................................... [4] 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ku u u k ku Ep .................................................................[5] Persamaan 4 dan 5 masuk ke pers 2, maka 0 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 u ku u u k ku u u m u m u u m u m dt d ......................................................................................................................... [6] 0 2 . 2 1 2 . 2 1 0 2 . 2 1 1 2 1 1 1 1 1 u u k u k u m dt d ........................................... [7] 0 . 2 1 1 1 u u k ku u m ................................................................................ [8] 0 2 . 2 1 1 ku ku u m ....................................................................................... [9] m U 1 (t) m U 2 (t) k k k
Transcript of Modul 7 Getaran Lagrange
(Modul 7 – Getaran – Lagrange)
Marwan Effendy, ST.MT. – hal 1Homepage : http://blog.ums.ac.id/effendy Email : [email protected]
SISTEM 2 DERAJAT KEBEBASAN (2DOF - MK)Soal 1Diketahui sistem dua derajat kebebasan berikut :
Diketahui massa =10 kg, konstanta pegas =30 N/m.a. Tentukan persamaan gerak sistem den gan memanfaatkan metode Lagrange!b. Carilah frekuensi pribadinyac. Tentukan rasio amplitudonyad. Analisislah persamaan geraknyae. Apabila massa sebelah kiri bergerak 1meter dari kedudukan setimbang statis dan
kemudian dilepaskan, maka tentukan perpindahan massa u 1(t) dan u2(t)
SolusiPersamaan umum Lagrange
i
iiii
Ep
q
Ed
q
Ek
q
Ek
dt
d
................................ .............................[1]
Ek adalah energi kinetik(akibat gerakan massa);Ep adalah energi potensial pegas(akibat kerja pegas);Ed adalah energi terbuang sistem(akibat kerja redaman); Kasus ini Ed = 0Qi adalah gaya luar yg bekerja pada sistem (eksitasi) ; Kasus ini 0Qi
a. Untuk kasus di atas merupakan 2 derajat kebebasan, sehingga persamaan umum Lagra ngedapat dibuat menjadi 2 bentuk, yaitu penurunan terhadap u 1(t) dan u2(t).
0
111
u
Ep
u
Ek
u
Ek
dt
d
................................ ................................ ............[2]
0
222
u
Ep
u
Ek
u
Ek
dt
d
................................ ................................ ...........[3]
dengan2
22
1 .2
1
2
1umumEk ................................ ................................ ......................[4]
22
221
21 2
1
2
1
2
1kuuukkuEp ................................ ................................ .[5]
Persamaan 4 dan 5 masuk ke pers 2, maka
0
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
22
221
21
1
22
21
1
22
21
u
kuuukku
u
umum
u
umum
dt
d
................................ ................................ ................................ .........................[6]
02.2
12.
2
102.
2
1 121
11
11
uukukumdt
d ................................ ...........[7]
0. 2111 uukkuum ................................ ................................ ................[8]
02. 211 kukuum ................................ ................................ .......................[9]
m
U1(t)
m
U2(t) kkk
(Modul 7 – Getaran – Lagrange)
Marwan Effendy, ST.MT. – hal 2Homepage : http://blog.ums.ac.id/effendy Email : [email protected]
Persamaan 4 dan 5 masuk ke pers 3, maka
0
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
22
221
21
2
22
21
2
22
21
u
kuuukku
u
umum
u
umum
dt
d
................................ ................................ ................................ ....................... [10]
02.2
12.
2
102.
2
1 12
121
12
ukuukumdt
d ................................ .....[11]
02212 kuuukum ................................ ................................ ..............[12]
02 212 kukuum ................................ ................................ .....................[13]
Pers 9 dan 13 jika diurutkan sbbPersamaan gerak 1 02. 211 kukuum ................................ .....................[14]
Persamaan gerak 2 02 212 kukuum ................................ .....................[15]
b. Andaikan gerakan adalah periodik dan terdiri dari gerakan h armonis dari berbagaiamplitudo dan frekuensi. Ambil suatu contoh tAu sin . Dari persamaan 14,15dan dengan memisalkan
Simpangan tAu cos1 tBu cos2
Kecepatan tAu sin1 tBu sin2
Percepatan tAu cos21 tBu cos2
2
Diperoleh 0coscos2cos2 tkBtkAtAm ............................ [16]
0cos2coscos2 tkBtkAtBm ............................ [17]
02 2 kBAmk ................................ ................................ ....................[18]
02 2 BmkkA ................................ ................................ ..................[19]
Pers 18 dan 19 bisa dijadikan satu
02
22
2
B
A
mkk
kmk
................................ ................................ ....[20]
Nilai A dan B ada jika Determinan = 0
02
22
2
mkk
kmk................................ ................................ ..........[21]
022 222 kmkmk ................................ ................................ .[22]
0224 242222 kmkmkmk ................................ ...................... [23]
034 2242 kkmm ................................ ................................ ...........[24]
2
222
2
22,1 2
3.44
2
4
m
kmkm
m
km ................................ .......................... [25]
4
22222
2,1 4
12162
m
mkmk
m
k ................................ ................................ [26]
(Modul 7 – Getaran – Lagrange)
Marwan Effendy, ST.MT. – hal 3Homepage : http://blog.ums.ac.id/effendy Email : [email protected]
m
k
m
k
222,1 ................................ ................................ ............................ [27]
s
rad
m
k3
10
301 ................................ ................................ ............[28]
s
rad
m
k3
10
30.332 ................................ ................................ ...........[29]
c. Rasio amplitudo ditentukan dari pers 18 dan 19
13.1030.2
30
2 2211
1
mk
k
B
A................................ .......................... [30]
atau
1
30
3.1030.2222
1
1
1
k
mk
B
A ................................ .......................... [31]
sedangkan
13.1030.2
30
2 2222
2
mk
k
B
A................................ ........................... [32]
1
30
3.1030.22 222
2
2
k
mk
B
A ................................ ........................... [33]
d. Penyelesaian umum persamaan gerakan terdiri dua gerakan harmonis dengan frekuensi
21 dan . Oleh karena itu gerakan massa dinyatakan
22112221111 3cos3coscoscos tAtAtAtAtu [34]
22112221112 3cos3coscoscos tBtBtBtBtu [35]Dari pers 30 dan 32 diperoleh A1=B1 sedangkan A2=-B2, sehingga pers 34 dan 35 menjadi
22111 3cos3cos tAtAtu ................................ ........................ [36]
22112 3cos3cos tAtAtu ................................ ....................... [37]e. Ke empat konstanta pers 36 dan 37 dievaluasi dengan empat buah kondisi awal, yaitu
101 u , 002 u , 001 u , dan 002 u . Untuk 021 maka
22111 3cos3cos tAtAtu ................................ ........................ [38]
0cos0cos1 21 AA , shg 211 AA
22112 3cos3cos tAtAtu ................................ ....................... [39]
0cos0cos0 21 AA , shg 21 AA
22111 3sin33sin3 tAtAtu ................................ ................[40]
0sin30sin30 21 AA
22112 3sin33sin3 tAtAtu ................................ ................[41]
0sin30sin30 21 AA
2
121 AA ................................ ................................ ................................ ...[42]
Maka gerakan massa adalah
tttu 3cos2
13cos
2
11 ................................ ................................ .............[43]
tttu 3cos2
13cos
2
12 ................................ ................................ .............[44]
(Modul 7 – Getaran – Lagrange)
Marwan Effendy, ST.MT. – hal 4Homepage : http://blog.ums.ac.id/effendy Email : [email protected]
Soal 2Diketahui sistem dua derajat kebebasan didapatkan sbb :
Diketahui massa =10 kg, konstanta pegas =30 N/m.a. Tentukan persamaan gerak sistem den gan memanfaatkan metode Lagrange!b. Carilah frekuensi pribadinya
Solusi 2Persamaan umum Lagrange
i
iiii
Ep
q
Ed
q
Ek
q
Ek
dt
d
................................ .............................[1]
a. Untuk kasus di atas merupakan 2 derajat kebebasan, sehingga persamaan umum Lagrangedapat dibuat menjadi 2 bentuk, yaitu penurunan terhadap u 1(t) dan u2(t).
0
1111
u
Ep
u
Ed
u
Ek
u
Ek
dt
d
................................ ............................ [2a]
0
2222
u
Ep
u
Ed
u
Ek
u
Ek
dt
d
................................ ............................ [2b]
dengan2
22
1 2
1
2
1umumEk ................................ ................................ .................... [3a]
22
221
21 2
1
2
1
2
1kuuukkuEp ................................ ............................... [3b]
22
221
21 2
121
21
ucuucucEd ................................ ................................ . [3c]
Persamaan 3a, 3b dan 3c masuk ke pers 2a, maka
0
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1.
2
1
2
1.
2
1
2
1
1
22
221
21
1
22
221
21
1
22
21
1
22
21
u
kuuukku
u
ucuucuc
u
umum
u
umum
dt
d
................................ ................................ ................................ .........................[4]
02.2
12.
2
12.
2
12.
2
102.
2
1 121
11
121
11
11
uukukuucucumdt
d [5]
0. 2112111 uukkuuucucum ................................ .....................[6]
022. 21211 kukuucucum ................................ ................................ ...[7]
ccc
kkk
m
U1(t)
m
U2(t)
(Modul 7 – Getaran – Lagrange)
Marwan Effendy, ST.MT. – hal 5Homepage : http://blog.ums.ac.id/effendy Email : [email protected]
Persamaan 3a, 3b dan 3c masuk ke pers 2a, maka
0
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1.
2
1
2
1.
2
1
2
1
2
22
221
21
2
22
221
21
2
22
21
2
22
21
u
kuuukku
u
ucuucuc
u
umum
u
umum
dt
d
................................ ................................ ................................ .........................[8]
02.2
12.
2
12.
2
12.
2
102.
2
1 11
121
12
121
12
ukuukucuucumdt
d [9]
0. 2212212 kuuukucuucum ................................ .................[10]
022. 21212 kukuucucum ................................ ................................ ...[11]
Pers 7 dan 11 jika diurutkan sbb, dan inilah solusinyaPersamaan gerak 1 022. 21211 kukuucuum ................................ . [12a]
Persamaan gerak 2 022. 21212 kukuucucum ................................ .[12b]
b. Frekuensi pribadi ditentukan ketika tidak dipasang redaman, shg jawaban sama dng no 1
s
rad
m
k3
10
301 ................................ ................................ .......... [13a]
s
rad
m
k3
10
30.332 ................................ ................................ .........[13b]
