MODUL 5

INTEGRASI NUMERIK

1. Tujuan

• Praktikan memahami metode numerik untuk integrasi.

• Praktikan dapat membuat kode sederhana integrasi numerik.

2. Metode Monte Carlo

Metoda integrasi numerik yang optimal untuk integrasi lipat adalah integrasi dengan

mempergunakan bilangan random, yaitu:

� ������ = � − � � ��� �

�

��

�

�

� adalah bilangan random yang dibangkitkan dengan harga ≤ � ≤ �

3. Tugas Pendahuluan

1. Hitung � ������ , � � ��� cos���������

��

� , dan � � � �������������

��

�� secara analitik!

2. Selain metode Monte Carlo, terdapat beberapa metode lain, diantaranya adalah metode

Trapezoid dan metode Simpson. Tuliskan persamaan numerik dari masing-masing

metode! Apakah keunggulan dan kelemahan metode Monte Carlo?

3. Buatlah flow chart untuk perhitungan menggunakan metode Monte Carlo!

4. Sebutkan cara untuk mengeluarkan nilai random di Matlab dengan � ada di interval

1 < � < 2!

4. Langkah Praktikum

• Hitung � ������ , � � ��� cos �� �����

��

� , dan � � � �������������

��

�� menggunakan

metoda Monte Carlo dengan 5 nilai � yang berbeda ( n = 10, 100, 1000, 10000, 100000) !

• Hitung volume silinder menggunakan metode Monte Carlo dengan nilai jari-jari ( r ) dan

tinggi ( Z ) tertentu !

• Hitung volume bola menggunakan metode Monte Carlo dengan jari-jari ( r ) tertentu !

• (*) Hitung � ������ menggunakan metode Trapezoid, dengan n = 1000! (Lakukan

pengulangan perhitungan sebanyak lima kali) !

(*) Kerjakan sebagai tugas tambahan

5. Pengolahan Data

1. Hasil integral menggunakan metode Monte Carlo :

Fungsi N Hasil Numerik Hasil Analitik

10

100

1000

10000

100000

2. Hasil volume Silinder :

Fungsi N R (Jari-jari) Z (Tinggi) Hasil Numerik Hasil Analitik

Silinder 10

1000

100000

Hasil volume Bola :

Fungsi N R (Jari-jari) Hasil Numerik Hasil Analitik

Bola 10

1000

100000

3. Hasil integral Metode Trapezoid :

Fungsi N Hasil Numerik Hasil Analitik

1000

6. Analisa

• Bagaimana hasil integrasi � ������ , � � ��� cos �� �����

��

� , dan � � � �������������

��

��

yang diperoleh menggunakan metode Monte Carlo? Apakah hasil integralnya sama

dengan analitik? Jelaskan!

• Jelaskan source code untuk menghitung volume silinder dan bola menggunakan metode

Monte Carlo!

• (*) Bandingkan hasil integral � ������ menggunakan metode Monte Carlo dan metode

Trapezoid untuk n = 1000 ! ( Untuk setiap metode, lakukan pengulangan sebanyak lima

kali) Bagaimana hasilnya? Jelaskan!