MODUL 2 Metode Integrasi analisa struktur.Doc

1

Acep Hidayat Kelas PKK Universitas Mercu Buana

MODUL KULIAH : Analisa Struktur 1

SKS : 3

oleh :

Acep Hidayat,ST,MT.

Jurusan Teknik Perencanaan

Fakultas Teknik Perencanaan dan Desain

Universitas Mercu Buana Jakarta

2012

Analisa Struktur I

2


MODUL 2

DEFORMASI LENTUR METODE INTEGRASI

Analisa Struktur I

3


MODUL 2

DEFORMASI LENTUR METODE INTEGRASI

2.1 Pendahuluan

Semua balok akan terdefleksi (atau melentur) dari kedudukannya apabila

terbebani. Dalam struktur bangunan, seperti : balok dan plat lantai tidak boleh melentur

terlalu berlebihan untuk mengurangi/meniadakan pengaruh psikologis (ketakutan)

pemakainya.

Deformasi lentur adalah perubahan bentuk struktur yang disebabkan oleh momen

gaya dalam .Ada beberapa metode yang dapat dipergunakan untuk menyelesaikan

persoalan-persoalan defleksi pada balok. Dalam diktat ini hanya akan dibahas tiga metode,

yaitu metode integrasi ganda (”doubel integrations”), luas bidang momen (”Momen Area

Method”), dan metode luas bidang momen sebagai beban. Metode integrasi ganda sangat

cocok dipergunakan untuk mengetahui defleksi sepanjang bentang sekaligus.

Sedangkan metode luas bidang momen sangat cocok dipergunakan untuk

mengetahui lendutan dalam satu tempat saja. Asumsi yang dipergunakan untuk

menyelesaiakan persoalan tersebut adalah hanyalah defleksi yang diakibatkan oleh gaya-

gaya yang bekerja tegak-lurus terhadap sumbu balok, defleksi yang terjadi relative kecil

dibandingkan dengan panjang baloknya, dan irisan yang berbentuk bidang datar akan

tetap berupa bidang datar walaupun terdeformasi.

2.2 Penurunan Rumus

Pada waktu membahas tegangan lentur (modul 3) kita sudat mendapat hubungan :

M : Momen gaya dalam

R : Jari-jari kelengkungan

E : Elastisitas bahan

I : Momen Inersia penampang

Karena sangat kecil, maka AB’

putaran sudut di B

Analisa Struktur I

4


Pada = OC2 + CB’ =OB2

Mc

B’

Karena yB sangat kecil dibanding 2R YB2 ≈ 0

lendutan di B

Hubungan kelengkungan, putaran sudut, dan lendutan

Perjanjian tanda untuk kelengkungan, putaran sudut, dan lendutan adalah:

Bidang momen : MX+ Bidang momen : MX

+

Dari P⟶Q :dx positif (⟵x+) Dari P⟶Q :dx positif (⟶x+)

d negatif ; Mx+ d positif; Mx-

Analisa Struktur I

5


∴ ∴

Pers. Mx positif (serat bawah tarik) Pers. Mx negatif (serat bawah tekan)

Maka didapat hubungan : = persamaan deferensial deformasi (PDD)⟶

Persamaan ini bila di integrasi sekali (menjadi . ) akam menghasilkan persamaan putaran

sudut. Dan bila diintegrasi lagi (menjadi. y) akan menghasilkan persamaan lendutan. Jadi,

bila suatu elemen struktur denganpembebanan tertentu mempunyai persamaan gaya dalam

(Mx), maka deformasinya (putaran sudut dan lendutan) dapat dihitung.

2.3 Contoh Soal

1.

sebuah balok kantilever dengan EI tertentu

mendapat gaya luar berupa momen pada ujungnya.

Hitung lendutan dan putaran sudut di titik B (

) !

jawab

Bila x kita mulai dari titik B, maka persamaan

gaya dalam momen pada penampang sejauh x

dari B menjadi :

Mx = -M

Persamaan diferensial deformasi :

⟶

Diintegrasi sekali menjadi

Diintegrasi sekali lagi menjadi

Untuk mendapatkan nilai konstanta integrasi C1 dan C2 diperlukan 2 persamaan dari

hasil menghitung harga deformasi yang diketahui (kondisi batas).

Pada struktur kantilever ini, harga lendutan yang sudah diketahui (kondisi/syarat batas)

adalah yA=0 dan A=0 (jepit). Maka :

Analisa Struktur I

6


Syarat batas (1) :

A =

0= M.l + C1⟶ C1 = - Ml

Syarat batas (2) : YA = 0⟵x = l

Sehingga persamaan deformasinya menjadi :

Putaran sudut :

Lendutan :

Menghitung dan yB : titik B x = 0⟶

⟶

2.

Hitung dan YA dari kantilever dengan pembebanan

seperti di samping ini!

Jawab :

X dari titik A

Mx = - P. X = - 3x


∴

Syarat batas (1) :

Analisa Struktur I

7


B =

Syarat batas (2) : YB = 0 X⟵ 3 = 4

Persamaan deformasinya :∴

Putaran sudut :

Lendutan :

Periksa putaran sudut di B :

B =

Menghitung dan YA : x = 0

A =

3.

Hitung dan YB dari kantilever di bawah ini !

Jawab :

Ambil x dari kanan

Mx = - Rx.1/2x = - q . x .1/2 x = - ½ qx2

→Mx = - ½ .2 .x2 = -x2

Persamaan diferensial deformasi:

Analisa Struktur I

8


Syarat batas:

SB (1): = 0 (jepit)→ x = 4

A =

SB (2) : = yA = 0→x = 4

0 = -64 + C2 → C2 = +64

Persamaan deformasi :

Perhitungan deformasi :

4. Hitung dari balok sederhana dengan pembebanan seperti di bawah ini.

Jawab :Analisa Struktur I

9


Reaksi perletakan :

∑MA = 0

+P.3 –VB.5 = 0

+15 – 5 VB = 0 → VB = +3t (↑)

∑V = 0

VA + VB – P = 0

VA + 3 – 5 = 0 → VA = 5 – 3 = 2t (↑)

Persamaan bidang mmomen ( x dari kiri ) pada interval terakhir:

Mx = + VA. x – P(x - 3) = + 2x – 5(x – 3)


Syarat batas

SB (1) : yA = 0 → x = 0

→

SB (2) : yB = 0 → x = 5


Putaran sudut :

Lendutan :

Perhitungan Deformasi :

Analisa Struktur I

10


5. hitung putarannn sudut dan lendutan tengah bentang dari balok dengan

pembebanan seperti di bawah ini.

Jawab :

Reaksi Perletakan : VA = VB =

Persamaan bidang momen (x dari kiri) :

Mx = +VA . x – Rx .1/2 x = +4x – ½.qx2

→Mx = +4x – x2


Analisa Struktur I

11


Syarat batas (SB) :

SB (1) : yA = 0 → x = 0

0 = 0 – 0 + 0 + C2 →C2 = 0

SB (2) : yB = 0 → x = 4



Lendutan di tengah bentang

Analisa Struktur I

12


6. hitung putarannn sudut dan lendutan dari balok sederhana dengan

pembebanan seperti di bawah ini.

Jawab :

R = 5 . 2 = 10 t

Reaksi Perletakan : ∑MA = 0

→ +P . 1 – VB . 4 + R . 4 ½ = 0

4 – 4 ½ + 45 = 0 → VB = +

∑V = 0 VA + VB – P – R = 0

VA + - 4 – 10 = 0 → VA = 14 - =

Persamaan bidang momen : (x diambil dari kiri)

Mx = VA . x – P(x-1) – ½ q(x-2)2 + VB(x-4)

M∴ x = - 4(x-1) – (x-2)2 + (x-4)


- 4(x-1) – (x-2)2 + (x-4)

− –

Syarat batas (SB) :

SB (1) : yA = 0 → x = 0

Analisa Struktur I

13


→ 0 = C2

SB (2) : yB = 0 → x = 4


Periksa : yB = 0 ? → x = 4


Analisa Struktur I

14


→yC = ? → x = 7

→yC = +

Garis elastis/deformasinya adalah :

7. hitung putarannn sudut dan lendutan dari balok sederhana dengan pembebanan

seperti di bawah ini.

Penyelesaian :

Ambil x dari kiri :

Mx = Rx. 12 x = q. x.

12 x =

12 .q.x2

Mx = 12 .3.x2

= 32 x2

Analisa Struktur I

15



EI d2 y

dx2

= - Mx = - (32 x2)

EI dydx = -

32 .

13 x3 + C1

= -12

x3+C1

EI y = -12 .

14 . x4 + C1x + C2

EI y = -18 . x4 + C1x + C2

Syarat batas:

1) A = 0 x = 0

EI dydx I A = -

12

x3+C1

= -12 .03 + C1

0 = C1

2) A = yA = 0 x = 0

EI yA = -18 . x4 + C1x + C2

= -18 . 04 + 0 + C2

0 = C2

3) Persamaan deformasi:

EI dydx = -

12

x3

EI y = -18 . x4

4) Perhitungan deformasi:

1) B = ? x = 4

EI

dydx I B = -

12 x3

= -

12 43

EI B = - 32

B = -

32EI

Analisa Struktur I

16


EI yB = -

18 x4

EI yB = -

18 .44

EI yB = - 32

yB = -

32EI

8. Hitung A, B, yc dari balok sederhana dengan pembebanan seperti di bawah ini!

Penyelesaian:

Reaksi perletakan:

MB = 0

- (P. 2) – (VA . 5) = 0

- (5.2) – 5VA = 0

VA =

105

VA = 2 t ( )

V = 0

VA + VB - P = 0

2 + VB – 5 = 0

VB = 3 t ( )

Persamaan bidang momen ( x dari kanan) pada interval terakhir:

Mx = VB. x – P (x – 2)

= 3x – 5 ( x – 2)

Analisa Struktur I

17



- EI

d2 ydx2

= Mx

- EI

d2 ydx2

= 3x – 5 (x – 2)

- EI

dydx = 3.

12 x2 + 5.

12 (x - 2)2 + C1 =

32 x2 +

52 (x - 2)2 + C1

- EI y =

32 .

13 x3 -

52 .

13 (x – 2)2 + C1x + C2

Syarat batas (SB):

1) yB = 0 x = 0

- EI yB =

12 x3 -

56 (x – 2)2 + C1x + C2

- EI yB =

12 03 -

56 (0 – 2)2 + C1.0 + C2

C2 = 0

2) yA = 0 x = 5

- EI yA =

12 x3 -

56 (x – 2)2 + C1x + C2

- EI yA =

12 53 -

56 (5 – 2)2 + C1.5 + C2

- EI yA =

1252 -

453 + 5C1 + 0

5C1 = -

802

C1 = - 8

Persamaan deformasi:

Putaran sudut : - EI

dydx =

32 x2 -

52 (x - 2)2 + C1

Lendutan : - EI y =

12 x3 -

56 (x – 2)2 + C1x + C2

Perhitungan deformasi:

A = ? x = 5

Analisa Struktur I

18


- EI

dydx I A =

32 x2 -

52 (x - 2)2 + C1

=

32 52 -

52 (5 - 2)2 – 8

=

752 -

452 -

162 =

142

- EI

dydx = 7

A = -

7EI

B = ? x = 0

- EI

dydx B =

32 x2 -

52 (x - 2)2 + C1

- EI

dydx B =

32 02 -

52 (0 - 2)2 - C1

- EIB = -8

B =

8EI

C = yc ? x = 2

- EI yc =

12 x3 -

56 (x – 2)2 + C1x + C2

- EI yc=

12 23 -

56 (2 – 2)2 + C1.2 + C2

- EI yc =

82 -

322

- EI yc= - 12

yc =

12EI

C = yc ? x = 2

- EI yc =

12 x3 -

56 (x – 2)2 + C1x + C2

- EI yc=

12 23 -

56 (2 – 2)2 + C1.2 + C2

Analisa Struktur I

19


- EI yc =

82 -

322

- EI yc= - 12

yc =

12EI

Daftar Pustaka

1. Chu Kia Wang, “Statically Indeterminate Structures”, Mc

Graw-Hill, Book Company, Inc.

2. Kinney, J.S. “Indeterminate Structural Analysis”, Addison-Wesley

Publishing Co.

Analisa Struktur I

Kelas PKK MK Analisa Struktur 1

Teknik Sipil Universitas Mercu Buana20

MODUL 2 Metode Integrasi analisa struktur.Doc

Documents

Transcript of MODUL 2 Metode Integrasi analisa struktur.Doc