MATEMATIKA BISNIS3 SKS

Oleh : Drs. Budi Rahardjo, MMDra. SP. Sunardiyaningsih, MMMODUL I

Aturan Perkuliahan :Pertemuan dalam 1 semester kewajiban dosen pertemuan maks 15x dan min 13x, kewajiban mahasiswa, kehadiran min 80% dari kehadiran dosen ( kontribusi penilaian =

Ujian Tengah Semester (UTS), pertemuan ke 8 (kontribusi penilaian = 30%Tugas mandiri (kontribusi penilaian = 20%)

Ujian Akhir Semester, terjadwal ( kontribusi penilaian = 40%)

*

Referensi :J.Supranto, Matematika untuk ekonomi dan bisnis, Ghalia Indonesia, Bogor, 2006Edward T.Dowling, Ph.D, Mathematical Methods for Business and Economics, Schaums Outline Series, Mc Graw Hill, 1993Dumairy, Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi, BPPE, Yogyakarta,1999Legowo, Kalkulus Penerapannya Dalam Ekonomi, LPFEUI, 1982

*

Filosofi MatematikaKonsep bilangan 0, ada dan tidak ada / tidak ada dan adaKonsep Alam Raya, sebagai tak terhingga

*

Operasi-operasi bilangan

Pemahaman dasar matematika :Filosofi, mengapa kita harus memahami bilangan?Contoh : 2 + 3 x 4 = .Operasi-operasi bilangan ( x atau . atau , : atau / , + atau -), mempunyai hirarki daya ikat lebih kuat :X dan :+ dan -Perkalian x atau . atau Dalam penulisan : a x b = a.b = ab dan berlaku hukum : ab = ba (komutatif)a(bc) = (ab)c (assosiatif)*

Operasi-operasi bilangan

2. Pembagian : atau / :tidak berlaku hukum komutatif, assosiatif dan distributif

*

Operasi-operasi bilangan

3. Penjumlahan dan PenguranganPenjumlahan berlaku hukum komutatif, assosiatifa + b = b + a dan a + (b+c) = (a+b) + cPengurangan tidak berlaku hukum komutatifDalam penulisan simbol matematika perlu aturan atau kaidah yang benar, contoh :

*

Pemahaman dasara + a = 2aa - a = 0 , Jika a 0

a . a = a2 1

Jika b 0

*

Perpindahan ruas :Perpindahan ruas akan merubah simbul : + menjadi dan x menjadi : Penulisan a x b = ab2 x a artinya 2a

Simbol bilangan dasar untuk akar, jika tidak ditulis berarti mempunyai bilangan dasar 2 artinya *

Penguraian Polinomial

, untuk tanda + , hasil uraian bertanda + , untuk tanda - , hasil uraian bergantian bertanda + dan - Sedangkan nilai koefisien, menggunakan aturan yang dibuat pascal Pangkat 11 1Pangkat 2 1 2 1Pangkat 3 1 3 3 1Pangkat 4 1 4 6 4 1Pangkat 5 1 5 10 10 5 1Dst *

Membentuk faktorial :

Mencari nilai akar persamaan kuadrat x :Bentuk Istimewa 1 :

Syarat :d + e = b dan d.e = e *

Mencari nilai d dan e yang jika dijumlahkan hasilnya -3 dan jika dikalikan hasilnya 2, ternyata bilangan-bilangan tersebut adalah -2 dan -1

Jadi x1 = 1 dan x2 = 2Bentuk Istimewa 2 :

syarat : d + e = b d . e = ac *

Mencari nilai d dan e yang jika dijumlahkan hasilnya 3 dan jika dikalikan hasilnya -4, ternyata bilangan-bilangan tersebut adalah 4 dan -1, sehingga :

jadi 2x -1 = 0 x + 2x1 = x2 = -2

*

Jika dengan kedua cara diatas masih kesulitan, gunakan rumus abc :

Rumus abc sebagai berikut :

*

Nilai : a = 2 , b = 3 dan c = - 2

Jadi nilai x1 = dan x2 = -2

*

PersamaanNilai Variabel suatu Polinomial :Studi Kasus : Tentukan nilai x

2x 6 = 03x = 124x - 3 = 9

*Catatan : banyaknya nilai / akar variabel x, tergantung dari pangkat tertinggi polinomial tersebut

Skema bilangan

*

PERTIDAKSAMAANInterval x > a, adalah himpunan semua bilangan riil x > aInterval x a , adalah himpunan semua bilangan riil x aInterval a < x < b, adalah himpunan semua bilangan riil x antara a dan b

a bInterval a x b, adalah himpunan bilangan riil x antara a dan b, juga memuat bilangan a dan b

*

Pertidaksamaan

Studi Kasus

* (x-1)(x-3)>0X-1< 3-x+ 4 > 3

Nilai mutlakJika x adalah bilangan riil maka :

, untuk x 0

, untuk x 0

, karena -5 < 0 *

Hubungan Nilai Mutlak dan PertidaksamanJika x bilangan riil :Jika , |x| a maka harga x berada pada interval x < -a atau x > a, untuk a 0Jika , |x| a maka harga x berada pada interval x -a atau x a, untuk a 0

*

Latihan SoalSoal :1. Tentukan harga x :a. 3x-12 = 4 c.b. d.

2. Tentukan harga x :

a.c. b. d.

*

BILANGAN NAPIER/EKSPONENSIAL (e)Bilangan e yang besarnya = 2,718281528459.Bilangan e banyak digunakan dalam rumus-rumus fisika teknik, ekonomi maupun ilmu lainnya.Untuk ekonomi, fungsi ini biasa diganakan untuk perubahan yang sangat dratis

FUNGSIDefinisi :Jika setiap harga yang diberikan variabel x menentukan harga varibel y, maka y disebut sebagai fungsi dari xBerdasar bentuk :1. Fungsi Eksplisit : y = f(x), x = var bebas dan y = var terikatContoh : y = 4x +1

2. Fungsi Implisit : f(x,y) = 0Contoh : 4x-y-1 =0

FUNGSIJENIS-JENIS FUNGSI :1. Fungsi Aljabar :

2. Fungsi Irrasional :

3. Fungsi Pecahan :

4. Fungsi Logaritma : ket : ln x =

5. Fungsi Eksponensial : ket : e = 2,718281528459 = bilangan eksponensial

Fungsi Lebih dari satu variabel bebas

Pada kenyataan dilapangan, jarang terjadi bahwa yang mempengaruhi variabel terikat hanyalah satu varibel bebasPada kejadian ekonomi, variabel terikat dipengaruhi oleh banyak varibel bebasSecara umum fungsi dinyatakan := varibel bebas. Z = variable terikatContoh : Y= produksi padi x1 = pupuk, x2= curah hujan, x3 = areaY = hasil penjualan x1 =biaya promosi, x2 = tingkat harga

KEMIRINGAN GARIS LURUSKemiringan (Gradien)Kemiringan garis lurus melaui titik (x1,y1) dan (x2,y2) : y

KEMIRINGAN GARIS LURUSBentuk persamaan garis lurus (linier)y = b + mx atau Ax + By + C = 0

m > 0, garis monoton berjalan dari kiri bawah kekanan atas

m < 0, garis monoton berjalan dari kiri atas kekanan bawah

m = 0 , garis mendatar atau stasioner

m = , garis vertikal

PERSAMAAN GARIS LURUSPersamaan garis lurus melalui satu titik (x1, y1) dan kemiringan m

Persamaan garis lurus melalui dua titik (x1,y1) dan (x2, y2)

STUDI KASUSTentukan kemiringan garis lurusy = 1 2xc. y = 52y + 3x = 8d. x = 2Tentukan persamaan garis lurus melalui titik (1,2) dan kemiringan m = Tentukan persamaan garis lurus melalui titik ( -1,0) dan (3,1)Tentukan persamaan garis lurus melalui titik (1,4) dan sejajar garis 3x =2y5. Tentukan persamaan garis lurus melalui titik (2, -1) dan tegak lurus garis 4x + 3x = 246. Gambar dan tentukan titik potongnyaa. 2x + 3y = 30 & 2y -3x=0b. 4x 2y + 10 = 0 & y = 20 5x

Persamaan Kuadrat (Parabola)*

Bentuk Umum : Bentuk Kebalikan :Ciri-ciri :Ciri-ciri :a>0, D>0 a0 A>0, D>0A>0, D0, D

PERSAMAAN KUADRATLangkah untuk menggambar kurva parabola :

Bentuk sederhana ( b atau c = 0) gunakan cara coba-coba artinya tentukan titik titik sembarang yang dilalui kurva (min 3 titik)

Selidiki arah parabola, terbuka atas/bawah atau kanan/kiri

Selidiki apakah mempunyai titik potong dengan sumbu x dan sumbu y

Carilah puncaknya

Gambarkan kurvanya

*

Studi KasusGambarkan kurva dibawah ini :1.

2.

3.

4.

5.

*

Fungsi PecahanBentuk Umum :

Langkah menggambar kurva :Tentukan sumbu asimtotnya (asimtot artinya memotong sumbu di tak terhingga) X =

*

Fungsi Pecahany = c + dx = 0

Titik potong dengan sumbu x y = 0a + bx = 0

Titik potong dengan sumbu y x = 0

Tentukan titik-titik yang lain

Gambar kurva

*

Contoh kurva hyperbola (fungsi pecahan)Gambar kurva dari fungsi 2y xy + x 3 = 0 Jawab :2y xy = 3 x y (2 x) = 3 x a = 3 , b = -1 , c = 2 dan d = -1Assimtot : x = y =

Titik potong : sb x y = 0 maka x = 3 sb y x = 0 maka x = 1 Titik-titik lain

Catatan : ambilah angka-angka disebelah kiri dan kanan assimtot y yaitu x = 2

*

X1-145y21

Contoh kurva hyperbola (fungsi pecahan)Gambar :2y xy + x 3 = 0Oxy122y xy + x 3 = 0*

Studi KasusGambarkan kurva :

1.

2.

3.

4. xy - 2 = 0

*

LingkaranPersamaan lingkaran berpusat di O(0,0) dan jari-jari r

Panjang jari-jari Persamaan Lingkaran berpusat di (a,b) dan Jari-jari RrxyxyOO(a,b)abR*

Tugas 1 :Tentukan persamaan grs lurus melalui A(1,3) dana. Sejajar 2x 3y = 10b. Tegak lurus 3x + 4y =15Gambarkan kurva dibawah ini :2.

3.

4.

5.

*

Tugas 1Gambarkan kurva :

6.

7.

8.

9.

10.

*

Univ. Budi LuhurPertemuan 1*Univ. Budi LuhurUniv. Budi LuhurPertemuan 1*Univ. Budi LuhurUniv. Budi Luhur*Univ. Budi LuhurUniv. Budi Luhur*Univ. Budi LuhurUniv. Budi Luhur*Univ. Budi LuhurUniv. Budi Luhur*Univ. Budi LuhurUniv. Budi Luhur*Univ. Budi LuhurUniv. Budi Luhur*Univ. Budi LuhurUniv. Budi LuhurContoh soal ada di Word*Univ. Budi LuhurUniv. Budi Luhur*Univ. Budi LuhurUniv. Budi Luhur*Univ. Budi LuhurUniv. Budi LuhurContoh soal ada di word*Univ. Budi LuhurUniv. Budi LuhurLatihan Soal sebagai penugasan atau latihan di kelas*Univ. Budi LuhurUniv. Budi LuhurSetiap ciptaanNya ada fungsinya masing-masing, atau masing-masing mempunyai misi*Univ. Budi Luhur*Univ. Budi LuhurContoh dapat diambil *Univ. Budi LuhurStudi Kasus : sebagai contoh yang dikerjakan dosen di kelas*Univ. Budi LuhurStudi Kasus : sebagai contoh yang dikerjakan dosen di kelas*