1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Manusia tidak lepas dari berbagai macam permasalahan dalam kehidupan di

dunia. Permasalahan permasalahan tersebut menyangkut berbagai aspek, dimana

dalam penyelesaiannya diperlukan sebuah pemahaman melalui suatu metode dan

ilmu bantu tertentu. Salah satu ilmu bantu yang dapat digunakan adalah

matematika.

Matematika merupakan alat untuk menyederhanakan penyajian dan

pemahaman masalah. Matematika mempunyai bahasa dan aturan yang jelas,

sistematis dan keterkaitan antar konsep yang kuat. Oleh karena itu, banyak

permasalahan di luar bidang matematika yang bisa diselesaikan dengan mudah

menggunakan matematika. Salah satu cabang dari ilmu matematika adalah

pemodelan matematika. Model matematika adalah himpunan dari rumus dan atau

persamaan berdasarkan fenomena nyata dan dibuat dengan harapan bisa

merepresentasikan dengan baik fenomena nyata tersebut menurut ilmu yang

melatarbelakanginya. Melalui model matematika, matematika berusaha

merepresentasikan berbagai fenomena yang terjadi di alam ini. Dalam

perkembangannya, model matematika telah digunakan dalam ilmu fisika, biologi,

kesehatan dan bahkan ilmu-ilmu sosial.

Salah satu persoalan paling penting di dunia adalah proyeksi populasi.

Ukuran dan pertumbuhan populasi dalam suatu negara secara langsung

mempengaruhi keadaan ekonomi, politik, budaya, pendidikan dan lingkungan dari

negara tersebut dan menentukan eksplorasi dan kebutuhan sumber daya alam.

Tidak ada yang ingin menunggu sampai sumber daya ini habis karena ledakan

populasi.

Dengan dibentuknya sebuah model matematika, proyeksi populasi tiap

tahun dapat dilakukan berdasar data sensus penduduk yang sudah ada, sehingga

tidak perlu melaksanakan sensus penduduk tiap tahun. Pemerintah dan sektor

perusahaan selalu membutuhkan gambaran akurat tentang ukuran yang akan

2

datang dari bermacam entitas seperti populasi, sumber daya, kebutuhan dan

konsumsi untuk perencanaan kegiatan.

Salah satu model matematika untuk pertumbuhan populasi adalah model

logistik pertumbuhan populasi (model Verhults). Model ini memasukkan batas

untuk populasinya sehingga jumlah populasi dengan model ini tidak akan tumbuh

secara tak terhingga. Laju pertumbuhan penduduk akan terbatas akan ketersediaan

makanan, tempat tinggal, dan sumber hidup lainnya. Dengan asumsi tersebut,

jumlah populasi dengan model ini akan selalu terbatas pada suatu nilai tertentu.

Pada masa tertentu jumlah populasi akan mendekati titik kesetimbangan

(equilibrium), pada titik ini jumlah kelahiran dan kematian dianggap sama. Laju

pertumbuhan, yaitu nilai yang menggambarkan daya tumbuh suatu populasi

diasumsikan positif, karena mengingat setiap populasi memiliki potensi untuk

berkembang biak.

Indonesia adalah Negara besar dengan jumlah penduduk yang banyak. Agar

tidak terjadi ledakan populasi yang dapat menimbulkan bencana, maka diperlukan

perencanaan untuk pengendalian jumlah populasi, salah satunya bisa dimulai

dengan memprediksi pertumbuhan populasi penduduk Indonesia.

Berdasarkan uraian diatas, maka penulis mengambil judul Penerapan

Model Verhults pada Populasi Penduduk Indonesia.

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang yang diuraikan diatas, permasalahan yang akan

dibahas dalam penelitian ini adalah :

Bagaimana memprediksi jumlah populasi menggunakan model logistik

pertumbuhan populasi?

Bagaimana menentukan daya tampung dan laju pertumbuhan intrinsik

berdasarkan model logistik pertumbuhan populasi ?

1.3 Batasan Masalah

Adapun batasan masalah yang digunakan dalam penelitian ini adalah :

Model pertumbuhan populasi yang dibahas adalah model logistik

pertumbuhan populasi Verhulst.

3

1.4 Tujuan Penelitian

Berdasarkan rumusan masalah diatas maka tujuan dari penelitian ini adalah :

Mengetahui hasil prediksi populasi berdasarkan perhitungan model logistik

pertumbuhan populasi (Verhulst).

Menentukan daya tampung dan laju pertumbuhan intrinsik dari suatu populasi

menggunakan model logistik pertumbuhan populasi (model Verhults).

1.5 Metode Penelitian

Penelitian ini dilakukan dengan pendekatan teoritis, dimana penulis

menganalisa jurnal, mengeksplor apa yang ada didalam jurnal dan kemudian

menarik kesimpulan dari penelitian ini.

1.6 Sistematika Penulisan

Adapun sistematika yang dipakai dalam penyusunan studi literatur ini,

adalah sebagai berikut :

BAB I PENDAHULUAN

Bab ini meliputi Latar Belakang Masalah, Rumusan masalah, Batasan

Masalah, Tujuan Penelitian, Metode Penelitian, Sistematika Penulisan dan

Kerangka Berfikir dari studi literatur.

BAB II LANDASAN TEORI

Bab ini akan menguraikan dasar teori yang akan digunakan dalam

penyusunan studi literatur, yang meliputi Persamaan Diferensial dan Model

Pertumbuhan Populasi (model eksponensial pertumbuhan populasi (model

Malthus) dan model logistik pertumbuhan populasi (Verhulst)).

BAB III

Bab ini merupakan bab pembahasan yang merupakan aplikasi teori yaitu

model logistik pertumbuhan populasi (model Verhults) menggunakan studi kasus

pertumbuhan populasi Indonesia.

BAB IV KESIMPULAN DAN SARAN

Dalam bab ini, berisi kesimpulan dan saran yang merupakan hasil yang

telah didapatkan.

4

DAFTAR PUSTAKA

1.7 Kerangka Berfikir

Ledakan pertumbuhan populasi manusia dan penggunaan sumberdaya

secara besar-besaran merupakan penyebab utama kerusakan lingkungan. Kedua

kekuatan utama yang mempengaruhi pertumbuhan populasi, yaitu angka kelahiran

dan angka kematian, dapat diukur dan digunakan untuk memprediksi bagaimana

ukuran populasi akan berubah menurut waktu.

Model eksponensial pertumbuhan populasi menjelaskan suatu pertumbuhan

populasi ideal dalam lingkungan yang tidak terbatas. Model ini memprediksi

bahwa semakin besar suatu populasi akan semakin cepat populasi tersebut

tumbuh. Namun, pertumbuhan eksponensial tidak dapat dipertahankan tanpa batas

dalam populasi apapun. Model logistik, merupakan model yang lebih realistis

membatasi pertumbuhan dengan menyertakan daya tampung, ukuran populasi

yang dapat didukung oleh sumberdaya yang tersedia.

BAB II

LANDASAN TEORI

2.1 Persamaan Diferensial

Banyak hukum-hukum alam yang mendasari perubahan-perubahan di alam

ini dinyatakan dalam bentuk persamaan yang memuat laju perubahan dari suatu

kuantitas, yang tak lain adalah berupa persamaan diferensial.

Persaman diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu atau

beberapa turunan dari suatu fungsi, dengan satu atau lebih peubah yang tak

diketahui. Jika fungsi yang tidak diketahui itu hanya bergantung pada satu peubah

saja, maka persamaan diferensial tersebut dinamakan persamaan diferensial biasa.

Sedangkan jika fungsinya bergantung pada dua atau lebih peubah, maka

persamaan diferensial tersebut dinamakan persamaan diferensial parsial.

Orde dari persamaan diferensial didefinisikan sebagai orde turunan

tertinggi yang terkandung pada persamaan tersebut. Persamaan diferensial orde

5

pertama hanya mengandung . bentuk umum dari persamaan diferensial pertama

dapat dituliskan sebagai ,, = 0, atau biasa di tulis = (,). Arti

fisis diferensial adalah, laju perubahan sebuah peubah terhadap peubah lain.

Banyak kegunaan praktis persamaan diferensial biasa dapat diturunkan

kedalam bentuk

= () ...(2.1)

dengan manipulasi aljabar murni. Maka dapat diintegralkan kedua sisi terhadap ,

diperoleh

= + (2.2)

Dikiri dapat dapat diubah kepada sebagai variabel dari pengintegralan. Dengan

kalkulus, = , maka

= + (2.3)

Jika dan adalah fungsi kontinu, integral di (2.3) ada, dan dengan

mengevaluasinya diperoleh solusi umum dari (2.1). Metode penyelesaian

persamaan direfensial biasa ini disebut metode variabel terpisah , dan (2.1)

disebut persamaan terpisah , karena di (2.3) variabel sekarang terpisah : hanya

muncul dikanan dan hanya dikiri. [6]

2.2 Model Pertumbuhan Populasi

Kedua kekuatan utama yang mempengaruhi pertumbuhan populasi, yaitu

angka kelahiran dan angka kematian, dapat diukur dan digunakan untuk

memprediksi bagaimana ukuran populasi akan berubah menurut waktu. [8]

2.2.1 Model Eksponensial

Model eksponensial merupakan model pertumbuhan yang sangat sederhana.

Model eksponensial pertumbuhan populasi menjelaskan suatu populasi ideal

dalam lingkungan yang tidak terbatas. Pada model ini individu berkembang tidak

dibatasi oleh lingkungan seperti kompetisi dan keterbatasan akan suplai makanan.

Laju perubahan populasi dapat dihitung jika banyaknya kelahiran, kematian dan

migrasi diketahui.

Prediksi bahwa jumlah populasi akan tumbuh secara eksponensial pertama

kali dicetuskan oleh Malthus (1798) [1]. Populasi yang tumbuh secara

6

eksponensial pertama kali diamati terjadi di alam bebas. Dinamika populasi dapat

di aproksimasi dengan model ini hanya untuk periode waktu yang pendek saja.

Mengasumsikan bahwa laju pertumbuhan populasi terhadap waktu

berbanding lurus dengan jumlah populasi yang ada. [2]

Misalkan () menyatakan jumlah populasi pada saat dan diketahui

bahwa jumlah populasi saat = 0 = 0 adalah 0 , maka model matematikanya

dapat dituliskan :

= ; dimana konstan (2.4)

Berikut ini adalah solusi jumlah populasi pada saat atau ()

berdasarkan (2.4) :

=

ln = +

() = +

() = .

() = 1

Karena 0 = 0 = 1(0) = 1 , maka :

= () ...(2.5)

dimana

: daya tumbuh suatu populasi (intrinsic growth rate) / perbedaan antara angka

kelahiran dan kematian per kapita ( = angka kelahiran tahunan perkapita angka

kematian tahunan per kapita) / laju pertumbuhan populasi per kapita.

Persamaan (2.5) dikenal sebagai Model Eksponensial pertumbuhan

populasi / Model pertumbuhan populasi Malthus.

Dari (2.5) dapat diperoleh :

(0) = 0

ln (0) =

0

=

()

(2.6)

Jika solusi (2.5) ditampilkan dalam bentuk grafik, maka didapatkan dua

grafik berikut :

7

Dari Gambar.2.1 jelas bahwa untuk > 0 diperoleh lim = . Jika

hasil ini dikaitkan dengan jumlah suatu populasi, maka akan menimbulkan pertanyaan :

dapatkah suatu populasi berkembang sampai pada jumlah tak-hingga?

= 0

0

0

Gambar.2.1

Grafik Pertumbuhan Eksponensial

Grafik untuk > 0

= 0

0

0

Gambar.2.2

Grafik Pertumbuhan Eksponensial

Grafik untuk < 0

8

Gambar.2.2, untuk < 0 akan didapatkan lim = 0, yang mana jika

dikaitkan dengan jumlah populasi nampaknya hasil ini cukup logis. Suatu populasi akan

mendekati kepunahan (akan habis) jika laju pertumbuhannya negatif.

Model ini memprediksi bahwa semakin besar suatu populasi akan semakin cepat

populasi tersebut tumbuh.

2.2.2 Model Logistik

Model ini merupakan penyempurnaan dari model eksponensial dan pertama

kali diperkenalkan oleh Pierre Verhulst pada tahun 1838. [1]

Model pertumbuhan eksponensial mengasumsikan sumberdaya yang tidak

terbatas, model ini merupakan kasus yang tidak pernah ditemukan di dunia nyata

ini. Karena setiap populasi tumbuh dan tumbuh sehingga jumlahnya semakin

besar, peningkatan kepadatan populasi bisa mempengaruhi kemampuan individu

untuk mengambil sumberdaya yang mencukupi untuk pemeliharaan,

pertumbuhan, dan reproduksi. Populasi hidup dari jumlah sumberdaya yang

terbatas, dan ketika populasi menjadi semakin padat, masing-masing individu

mendapat bagian sumberdaya yang semakin kecil. Akhirnya, terdapat suatu batas

dari jumlah individu yang dapat menempati suatu habitat. Para ahli ekologi

mendefinisikan daya tampung (carrying capacity) sebagai ukuran populasi

maksimum yang dapat ditampung oleh suatu lingkungan tertentu tanpa ada

pertambahan atau penurunan ukuran populasi selama periode waktu yang relatif

lama. [8] Daya tampung yang disimbolkan dengan

adalah ciri lingkungan,

dengan demikian daya tampung bervariasi terhadap waktu dan ruang dengan

keberlimpahan sumberdaya yang terbatas.

Kepadatan dan keterbatasan sumberdaya dapat mempunyai dampak yang

besar pada laju pertumbuhan populasi. Jika individu tidak mendapatkan

sumberdaya yang mencukupi untuk bereproduksi, angka kelahiran per kapita akan

menurun. Jika mereka tidak memperoleh cukup energi untuk mempertahankan

diri mereka sendiri, angka kematian per kapita akan meningkat. Suatu penurunan

dalam angka kelahiran tahunan per kapita atau suatu peningkatan dalam angka

kematian tahunan per kapita akan mengakibatkan laju pertumbuhan populasi yang

lebih kecil.

9

Model ini memasukkan batas untuk populasinya sehingga jumlah populasi

dengan model ini tidak akan tumbuh secara tak terhingga. Laju pertumbuhan

penduduk akan terbatas akan ketersediaan makanan, tempat tinggal, dan sumber

hidup lainnya. Dengan asumsi tersebut, jumlah populasi dengan model ini akan

selalu terbatas pada suatu nilai tertentu. Pada masa tertentu jumlah populasi akan

mendekati titik kesetimbangan (equilibrium), pada titik ini jumlah kelahiran dan

kematian dianggap sama. [5]

Verhulst menunjukkan bahwa pertumbuhan populasi tidak hanya

bergantung pada ukuran populasi tetapi juga pada sejauh mana ukuran ini dari

batas atasnya seperti daya tampung. Dia memodifikasi model Malthus

(eksponensial) untuk membuat ukuran populasi sesuai baik untuk populasi

sebelumnya dengan syarat

, dimana dan disebut koefisien vital dari

populasi.

Suatu model logistik diawali dengan model pertumbuhan eksponensial dan

menciptakan suatu ekspresi yang mengurangi nilai ketika meningkat. Jika

ukuran populasi maksimum yang dapat dipertahankan adalah

, maka

akan memberikan petunjuk berapa banyak individu tambahan yang dapat

ditampung oleh lingkungan tersebut, dan

=

memberikan petunjuk

berapa fraksi

yang masih tersedia untuk pertumbuhan populasi.

Persamaan yang telah dimodifikasi menggunakan syarat baru adalah :

=

=

22

= 2

= (2.7)

Model ini merupakan persamaan diferensial nonlinear yang mempunyai solusi :

2=

1

1

+

=

1

1

+

= +

( ( )) = + (2.8)

Diketahui bahwa jumlah populasi saat = 0 = 0 adalah 0 , maka:

=1

(ln0 ln( 0))

10

Dengan mensubstitusi nilai , persamaan (2.8) menjadi :

1

(ln ln( )) = +

1

(ln0 ln( 0))

1

(ln ln( )) (ln0 ln( 0)) =

0

0=

(0)

0()=

Dengan melakukan pengeksponensialan pada kedua ruas, diperoleh :

(0)

0()=

0 = ( 0)

0 0

= ( 0)

0 = 0 + (0

)

0 = ( 0 + 0

)

=0

0+0 (bagi dengan 0

)

=

1+ 00

1

=

1+

01

1

() =

+

(2.9)

Persamaan (2.9) dikenal sebagai Model Logistik pertumbuhan populasi /

Model pertumbuhan populasi Verhulst .

Jika persamaan (2.9) dilimitkan sebagai , didapatkan (untuk > 0) :

= =

..(2.10)

Verhulst menjelaskan bagaimana parameter dan

dapat diperkirakan dari

populasi () dalam tiga yang berlainan tetapi dengan jarak tahun yang sama. [1]

Jika 0 adalah populasi pada saat = 0 , 1 pada saat = 1 dan 2 pada saat = 2,

maka dari persamaan (2.9) dapat diperoleh :

Ambil = 1, sehingga adalah 1

1 =

1+ 0

1 (1)

11

=

1+

01

=

1+ 00

=

0+

0

0

=0

(0+0 )

1 =0

0+0

1

1 =

0+0

0

=

+

00

0

1

1=

1 +

0

=

..(2.11)

Ambil = 2, sehingga adalah 2 dengan cara yang sama diperoleh :

=

..(2.12)

Bagi (2.12) oleh (2.11) untuk mengeliminasi

, diperoleh :

12 =

1

22

0

1 =

1

1

0

1 + =

1

22

01

1

0

=

022

0201

01

=01(02

2 )

02(01 )

=1(02

2 )

2(01 )

=0112

2

0212

12

=0112

2

0 212

0212

0212

02 12 = 01 12

2 (02 12)

02 12

2 = 01 122 02 +12

02 12

= 01 02

02 +12

= 01 +02

(1

2

0

2) = 01 +02

=0201

1202

=()

() ..(2.13)

Substitusi (2.13) ke (2.11), maka :

1

0(21)

2(10) =

1

1

0(21)

2(10)

0

2(10)

2(10)0(21)

2(10) =

2(10)1(21)

12(10)

=

2(10)1(21)

12(10)

2(10)0(21)

2(10)

=2(10) 2(10)1(21)

12(10) 2(10)0(21)

=120212+1

2

1(120202+01)

=1

202

1(01202+12)

=

(+)

..(2.14)

Dengan mensubstitusi (2.14) ke (2.10) , diperoleh :

= =

=(+)

..(2.15)

Ketika ukuran suatu populasi berada dibawah daya tampungnya,

pertumbuhan populasi akan berjalan cepat menurut model logistik, akan tetapi

ketika mendekati

, pertumbuhan populasi akan menjadi lambat.

13

Untuk > 0 berlaku lim =

, sehingga disimpulkan bahwa grafik

dari (2.9) mempunyai asimtot mendatar =

. Grafik solusi untuk kasus

dapat dilihat pada Gambar.2.3

Dapat dilihat bahwa kurva logistik adalah -shaped dan mempunyai titik

infleksi ketika =

2 . (dihasilkan dari

2

2= =0). [3]

Sedangkan untuk

< 0 , > 0 grafik solusinya adalah :

() =

1 +

0

1

() =

1 +

0

1

0

0

()

Gambar.2.3

Grafik pertumbuhan logistik yang Naik

2

() =

1 +

0

1

0

()

Kasus

< 0 , > 0

Gambar.2.4

Grafik pertumbuhan Logistik yang Menurun

14

Untuk < 0 didapatkan solusi yang tidak stabil, yaitu tidak mengarah pada

titik kesetimbangan tertentu. Himpunan grafik solusinya adalah sebagai berikut :

Dari (2.9) dapat diperoleh nilai dengan cara sebagai berikut :

() =

1+

0

1

=

1

01

=

1

01

=

..(2.16)

Persamaan (2.16) adalah nilai yang menunjukkan waktu ketika mencapai

setengah dari batas populasi maksimum. [1]

Gambar.2.5

Solusi Model Pertumbuhan Logistik dengan < 0

() =

1 +

0

1

()

Kasus < 0

15

Model pertumbuhan logistik memberikan pengertian akan jumlah populasi

maksimum atau minimum sebagai titik jenuh pertumbuhannya.

BAB III

PENERAPAN MODEL VERHULTS

PADA POPULASI PENDUDUK INDONESIA

Salah satu persoalan paling penting di dunia adalah proyeksi populasi.

Ukuran dan pertumbuhan populasi dalam suatu negara secara langsung

mempengaruhi keadaan ekonomi, politik, budaya, pendidikan dan lingkungan dari

negara tersebut dan menentukan eksplorasi dan kebutuhan sumber daya alam.

Tidak ada yang ingin menunggu sampai sumber daya ini habis karena ledakan

populasi.

Dengan dibentuknya sebuah model matematika, proyeksi populasi tiap

tahun dapat dilakukan berdasar data sensus penduduk yang sudah ada, sehingga

tidak perlu melaksanakan sensus penduduk tiap tahun. Pemerintah dan sektor

perusahaan selalu membutuhkan gambaran akurat tentang ukuran yang akan

datang dari bermacam entitas seperti populasi, sumber daya, kebutuhan dan

konsumsi untuk perencanaan kegiatan.

Indonesia merupakan Negara kepulauan yang berdasarkan posisi garis

lintang dan garis bujur berada diantara 60 LU 110 LS dan 950 BT 1410 BT.

Secara geografis Indonesia terletak diantara dua samudera dan dua benua, yaitu

Samudera Pasifik dan Samudera Hindia, serta Benua Asia dan Benua Australia.

Topografi wilayah Indonesia sangat bervariasi, hal tersebut berpengaruh pada

kehidupan masyarakatnya. Masyarakat Indonesia merupakan masyarakat yang

majemuk, dimana Indonesia memiliki berbagai macam bahasa, agama, mata

pencaharian, suku bangsa dan lain-lain.

Indonesia juga merupakan Negara besar dengan jumlah penduduk yang

banyak. Agar tidak terjadi ledakan populasi yang dapat menimbulkan bencana,

maka diperlukan perencanaan untuk pengendalian jumlah populasi, salah satunya

bisa dimulai dengan memprediksi pertumbuhan populasi pendudukIndonesia.

16

Studi literatur ini memusatkan pada aplikasi model logistik pertumbuhan

populasi (model Verhults) untuk memprediksi pertumbuhan populasi Indonesia

menggunakan data dari tahun 1987 sampai 2010.

Data jumlah penduduk Indonesia dari tahun 1987 sampai dengan 2010

berdasarkan katalog BPS (Badan Pusat Statistik) : 3101015. [4]

Tabel.3.1 Jumlah penduduk Indonesia (ribu), 1987-2010

Sumber : Badan Pusat Statistik

Tahun Populasi Tahun Populasi

1987 170653 1999 207437

1988 173472 2000 205132

1989 176336 2001 207995

1990 179379 2002 210898

1991 182940 2003 213841

1992 186043 2004 216826

1993 189136 2005 219852

1994 192217 2006 222747

1995 195283 2007 225642

1996 198320 2008 228523

1997 201353 2009 231370

1998 204393 2010 237556

Gambar.3.1

Grafik jumlah populasi penduduk sebenarnya dari tahun 1987 sampai 2010

17

Berdasarkan pada populasi dari tahun 1987 sampai 2010 pada Tabel.3.1 ,

misal = 0,1,2 mewakili masing-masing tahun 1987, 1988 dan 1989 . Maka

0,1,2 berturut-turut adalah 170653, 173472 dan 176336.

Substitusi 0,1 dan 2 kedalam persamaan (2.15) diperoleh :

= lim =

= 1(01202+12)

1202

=173472( 170653 173472 2 170653 176336 +(173472)( 176336)

(173472)2( 170653 176336 )

=1.446928564 1012

267376

= 5411587.293

ini merupakan prediksi daya tampung (carring capacity) atau ukuran populasi

penduduk maksimum yang dapat ditampung Indonesia.

Dari persamaan (2.13), dengan mensubstitusi 0,1 dan 2 diperoleh :

=0(21)

2(10)

=170653(176336173472)

176336(173472170653)

=488750192

497091184

= 0.9832220398

= ln 0.9832220398

= 0.016920304

= 1.692030459%

ini mengimplikasikan bahwa laju pertumbuhan populasi penduduk Indonesia

diperkirakan 1.692030459% pertahun.

Untuk memperoleh prediksi populasi, substitusi nilai 0, dan

kedalam

persamaan (2.9) sebagai berikut :

=

1+ 0

1

=5411587.293

1+ 5411 587 .293

170653 1 (0.9832220398 )

18

Tabel.3.2 Jumlah penduduk Indonesia (ribu), 1987-2010

Populasi sebenarnya dan populasi prediksi berdasarkan model Verhults.

Tahun Populasi

Sebenarnya

Prediksi

Populasi Tahun

Populasi

Sebenarnya

Prediksi

Populasi

1987 170653 170653 1999 207437 207598

1988 173472 173472 2000 205132 211002

1989 176336 176335 2001 207995 214460

1990 179379 179245 2002 210898 217972

1991 182940 182200 2003 213841 221539

1992 186043 185203 2004 216826 225162

1993 189136 188254 2005 219852 228842

1994 192217 191352 2006 222747 232579

1995 195283 194500 2007 225642 236375

1996 198320 197698 2008 228523 240229

1997 201353 200946 2009 231370 244144

1998 204393 204246 2010 237556 248119

Gambar.3.2

Grafik jumlah populasi prediksi berdasarkan model Verhults

Kurva logistik mempunyai titik infleksi ketika =

2 . [3]

2= 2705793.647

19

Dari persamaan (2.16) diperoleh nilai sebagai berikut :

=

1

0

1

=

5411 587.2932705793.647

1

5411 587.293

1706531

0.016920304

=3.424622827

0.016920304

= 202.3972399

202

Jadi, populasi penduduk Indonesia diprediksikan menjadi 2705793.647 pada

tahun 2202.

BAB IV

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan

Dari kajian studi literatur yang telah dilakukan, maka dapat disimpulkan

bahwa sebagai berikut :

Model logistik pertumbuhan populasi (model Verhults) adalah :

() =

1+

0

1 (9)

dimana :

() : jumlah populasi pada saat

: daya tampung / carrying capacity (ukuran populasi maksimum yang dapat

ditampung oleh suatu lingkungan tertentu tanpa ada pertambahan atau penurunan

ukuran populasi selama periode waktu yang relatif lama).

: daya tumbuh suatu populasi (intrinsic growth rate) / perbedaan antara angka

kelahiran dan kematian per kapita ( = angka kelahiran tahunan perkapita angka

20

kematian tahunan per kapita) / laju pertumbuhan populasi per kapita dan

diasumsikan positif.

Dengan model logistik pertumbuhan populasi (model Verhults)

diprediksikan daya tampung untuk populasi Indonesia adalah 5411587.293 .

Berdasarkan model ini, laju pertumbuhan populasi Indonesia adalah

1.692030459% pertahun, dan populasi akan mencapai 2705793.647 pada tahun

2202.

4.2 Saran

Dalam kajian studi literatur ini, penulis hanya membahas model logistik

pertumbuhan populasi (model Verhults) untuk prediksi pertumbuhan populasi di

Indonesia. Dari kajian studi literatur yang telah dilakukan, pembaca dapat

memperhatikan kelebihan dan kekurangan dari model logistik pertumbuhan

populasi (model Verhults), sehingga diharapkan bagi yang akan menyusun studi

literatur mengenai pemodelan matematika khususnya model matematika untuk

pertumbuhan populasi, modifikasi dari pertumbuhan logistik pertumbuhan

populasi atau model pertumbuhan populasi lainnya dapat dijadikan sebagai bahan

penulisan selanjutnya.