mailto:grusmayadi@yahoo.co.id

Pelanggan menunggu pelayanan di kasir

Penonton menunggu pelayanan di desk Cineplex XXI

Mahasiswa/i menunggu registrasi dan pembayaran SPP

Penumpang kapal laut menunggu pelayanan loket penjualan tiket

Pengendara kendaraan menunggu pengisian bahan bakar di SPBU

Beberapa produk atau barang menunggu untuk di selesaikan

Sebaran Poisson Distribusi Poisson sering digunakan untuk mentukan peluang sebuah peristiwa yang dalam area kesempatan tertentu diharapkan sangat jarang terjadi

e adalah basis logaritma natural (e = 2.71828...)

k adalah jumlah kejadian suatu peristiwa

k! adalah faktorial dari k

λ adalah bilangan riil positif, atau nilai harapan peristiwa yang terjadi dalam interval tertentu.

Misal, peristiwa yang terjadi rata-rata 2 kali per menit, dan dicari probabilitas jika terjadi peristiwa k kali dalam interval 10 menit, maka digunakan distribusi poisson dengan λ = 10×2 = 20.

Sebagai fungsi k, ini disebut fungsi massa probabilita

Contoh Sebaran Poisson Sambungan telepon

Rata-rata ada 1,4 salah sambung untuk setiap 100 orang penelepon. Contoh berukuran 200 telah diambil.

Jika k = banyak kesalahan per 200 orang penelepon, maka nilai harapan λ = 2,8.

Peluang tidak terjadi salah sambung adalah

Peluang terjadi salah sambung adalah 0,9392

Tugas 1 Peluang seseorang mendapat reaksi buruk setelah disuntik adalah 0,0005. Tentukan peluang dari 4000 orang yang disuntik mendapat reaksi buruk: a) Tidak ada b) Ada 2 orang c) Lebih dari 2 orang, dan d) Tentukan berapa orang diharapkan

yang akan mendapat reaksi buruk

Stuktur Model Antrian 1. Garis tunggu atau sering disebut antrian (queue)

2. Fasilitas pelayanan (service facility)

Garis tunggu/ antrian

1

2

s

Fasilitas Pelayanan

Pelanggan masuk Ke dalam sistem

antrian Pelanggan keluar

dari sistem antrian

STUKTUR SISTEM ANTRIAN

CONTOH SISTEM ANTRIAN

Sistem

Lapangan terbang

Bank

Pencucian Mobil

Bongkar muat barang

Sistem komputer

Bantuan pengobatan darurat

Perpustakaan

Registrasi mahasiswa

Skedul sidang pengadilan

Garis tunggu/antrian

Pesawat menunggu di landasan

Nasabah (orang)

Mobil

Kapal dan truk

Program komputer

Orang

Anggota perpustakaan

Mahasiswa

Kasus yang disidangkan

Fasilitas

Landasan pacu

Teller/CS

Tempat pencucian mobil

Fasilitas bongkar muat

CPU, Printer, dll

Ambulance

Pegawai perpustakaan

Pusat registrasi

Pengadilan

Prosedur Antrian

Komponen sistem antrian

Populasi masukan

• Berapa banyak pelanggan potensial yang masuk sistem antrian

Distribusi kedatangan

• Menggambarkan jumlah kedatangan per unit waktu dan dalam periode waktu tertentu berturut-turut dalam waktu yang berbeda

Disiplin pelayanan

• Pelanggan yang mana yang akan dilayani lebih dulu : a. FCFS (first come, first served) b. LCFS (last come, first served) c. Acak d. prioritas

Fasilitas Pelayanan

• mengelompokkan fasilitas pelayanan menurut jumlah yang tersedia : a. Single-channel b. multiple-channel

Distribusi Pelayanan

• Berapa banyak pelanggan yang dapat dilayani per satuan waktu

• Berapa lama setiap pelanggan dapat dilayani

Kapasitas sistem

pelayanan

• memaksimumkan jumlah pelanggan yang diperkenankan masuk dalam sistem

Karakteristik

sistem lainnya

• pelanggan akan meninggalkan sistem jika antrian penuh, dsb

Persamaan dan Notasi

μ

λ P ❶

P)1(P P nn ❷

λ-μ

λ

P-1

P L ❸

P-1

P

λ)-μ(μ

λ L

22

q ❹

λ-μ

1 W ❺

λ)-μ(μ

λ Wq ❻

n = jumlah pelanggan dalam sistem

Pn = probabilitas kepastian n pelanggan dalam sistem

λ = jumlah rata-rata pelanggan yang datang persatuan waktu

µ = jumlah rata-rata pelanggan yang dilayani per satuan waktu

Po = probabilitas tidak ada pelanggan dalam sistem

p = tingkat intensitas fasilitas pelayanan

L = jumlah rata-rata pelanggan yang diharapkan dlm sistem

Lq = jumlah pelanggan yang diharapkan menunggu dalam antrian

W = waktu yang diharapkan oleh pelanggan selama dalam sistem

Wq = waktu yang diharapkan oleh pelanggan selama menunggu dalam antrian

1/µ = waktu rata-rata pelayanan

1/λ = waktu rata-rata antar kedatangan

S = jumlah fasilitas pelayanan

Contoh PT GTR mengoperasikan satu buah pompa bensin dengan satu operator. Rata-rata tingkat kedatangan kendaraan mengikuti distribusi poisson yaitu 20 kendaraan per jam. Operator dapat melayani rata-rata 25 mobil per jam, dengan waktu pelayanan setiap mobil mengikuti distribusi probabilitas eksponensial. Jika diasumsikan model sistem antrian yang digunakan operator tersebut (M/M/1), hitunglah :

1. Tingkat intensitas (kegunaan) pelayanan (p)

2. Jumlah rata-rata kendaraan yang diharapkan dalam sistem (L)

3. Jumlah kendaraan yang diharapkan menunggu dalam antrian (Lq)

4. Waktu yang diharapkan oleh setiap kendaraan selama dalam sistem (menunggu pelayanan) (W)

5. Waktu yang diharapkan oleh setiap kendaraan untuk menunggu dalam antrian (Wq)

Mobil antri menunggu pelayanan

1 pompa bensin melayani 25 mobil per

jam

Kedatangan mobil, 20 per

jam

Mobil Keluar

SPBU BANJARBARU

Fasilitas Pelayanan

Penyelesaian

λ = 20 dan µ = 25

1. Tingkat intenstas (kegunaan) pelayanan (p)

80,025

20

μ

λ p

Ini berarti operator: • sibuk melayani kendaraan selama 80% dari waktunya, sedangkan • 20% dari waktunya (1 – p) (idle time) digunakan operator untuk

istirahat, dll

atau,42025

20

λ-μ

λ L

480,01

80,0

p-1

p L

Angka tersebut menunjukkan operator dapat mengharapkan 4 mobil berada dalam sistem

2. Jumlah rata-rata kendaraan yang diharapkan dalam sistem (L)

20,3125

400

)2025(25

)20(

λ)-μ(μ

λ Lq

22

Angka tersebut menunjukkan mobil yang menunggu untuk dilayani dalam antrian sebanyak 3,20 kendaraan

menit 12atau jam 20,025

1

2025

1

λ-μ

1 W

Angka tersebut menunjukkan waktu rata-rata kendaraan menunggu dalam sistem selama 12 menit

menit 9,6atau jam 16,0125

20

)2025(25

20

λ)-μ(μ

λ Wq

Angka tersebut menunjukkan waktu rata-rata kendaraan menunggu dalam antrian selama 9,6 menit

3. Jumlah kendaraan yang diharapkan menunggu dalam antrian (Lq)

4. Waktu yang diharapkan oleh setiap kendaraan selama dalam sistem (menunggu pelayanan) (W)

5. Waktu yang diharapkan oleh setiap kendaraan untuk menunggu dalam antrian (Wq)

Tugas 2. Hubungan antara L, Lq, W dan Wq

L = λ W

Lq = λ Wq

W = Wq + 1/µ

Buktikan Rumus tersebut

Tugas3. Manajer sebuah Restoran Fried Chicken, akhir-akhir ini merasa prihatin

dengan antrian drive true yang panjang. Beberapa pelanggannya mengadu tentang waktu menunggu yang lama, oleh karena itu manajer mengkhawatirkan kemungkinan kehilangan pelanggan.

Analisis dengan teori antrian diketahui, tingkat kedatangan rata-rata langganan selama periode puncak adalah 50 orang per jam. Sistem pelayanan satu per satu dengan waktu rata-rata 1 orang 1 menit.

Pertanyaan : a)Tingkat kegunaan (intensitas) bagian pelayanan restoran (p) ? b)Jumlah rata-rata kendaraan yang diharapkan dalam sistem (L) c) Jumlah kendaraan yang diharapkan menunggu dalam antrian (Lq) d)Waktu yang diharapkan oleh setiap kendaraan selama dalam sistem (menunggu

pelayanan) (W) e)Waktu yang diharapkan oleh setiap kendaraan untuk menunggu dalam antrian (Wq)

MULTIPLE-CHANNEL MODEL (M/M/s)

Dalam Multiple-Channel Model, fasilitas yang dimiliki lebih dari satu. Huruf (s) menyatakan jumlah fasilitas

pelayanan

Contoh Unit gawat darurat (UGD) rumah sakit berisikan tiga bagian ruangan yang terpisah untuk setiap kedatangan pasien. Setiap ruangan memiliki satu orang dokter dan satu orang jururawat. Seorang dokter dan jururawat rata-rata dapat merawat 5 orang pasien per jam. Apabila pasien yang dihadapi hanya luka-luka ringan, mereka dapat melayani 12 pasien per jam. Laporan statistik pasien rumah sakit tersebut menunjukkan bahwa kedatangan dan penyelesaian pelayanan mengikuti distribusi Poisson.

Pasien menunggu dalam antrian untuk

berobat s

3 saluran pelayanan 1 team mengobati rata-rata 15 pasien perjam

Pasien datang (rata-rata 12

pasien per jam)

Pasien pergi setelah menerma

pengobatan

Model UGD

s

s

Sistem : (M/M/3) λ = 12 s = 3 µ = 5 p = 12/3(5) = 0,8

µ = rata-rata tingkat pelayanan untuk setiap fasilitas pelayanan

sμ

λ p

2

s

o

p)-(1s!

p)μ

λ(P

Lq

1-s

0n

sn

o

)sμ

λ-(1s!

)μ

λ(

n!

)μ

λ(

P

s n 0 ),P(n!

)μ

λ(

s n ),P(ss!

)μ

λ(

n

o

n

o-sn

n P

jika

jika

λ

Lq Wq

μ

1 WqW

μ

λ LqλWL

Penyelesaian

)04,0(6

)80,0)(824,13(20,0

)15

12-(13!

)15

12()

5

12(0,20

p)-(1s!

p)μ

λ(P

Lq2

5

2

s

o

pasien 216,90,24

21184,2 Lq

menit 46atau jam 0,768 12

216,9

λ

Lq Wq

menit 58atau jam 0,968 5

10,768

μ

1 WqW

11,6212(0,968)λW L

Subsistem 1 Subsistem 2

Model Networks Sistem Seri

Sistem Paralel

Referensi Sujana. 1989. Metode Statistika. Pen. Tarsito Bandung.

508 hal.