4.1.2.3. Model Geometri Rekahan

Untuk menghitung pengembangan rekahan, diperlukan prinsip hukum konversi

momentum, massa dan energi, serta kriteria berkembangnya rekahan, yang berdasarkan

interaksi batuan, fluida dan distribusi enersi.

Secara umum model geometri perekahan adalah:

1. Model perekahan dua dimensi (2D)

Tinggi tetap, aliran fluida satu dimensi (1D)

2. Model Perekahan pseudo tiga dimensi (3D)

Perkembangan dengan ketinggian bertambah, aliran 1 atau 2D

3. Model 3 dimensi 3D

Perluasan rekahan planar 3D, aliran fluida 2D

Dalam penjelasan di sini hanya akan dibicarakan model perekahan 2D, karena masih

bisa dipecahkan secara manual dengan bantuan matematika atau grafis. 3D memerlukan

komputer canggih atau PC yang canggih tetapi makan waktu agak lama (dan butuh data yang

lengkap mengenai stiffness matrix, variasi stress, dan lain-lain) sedangkan model software

P3DH bisa untuk PC dan dijual oleh beberapa perusahaan antara lain oleh SSI, Meyer &

Assoc. Intercomp, Holditch & Assoc., NSI Technologies Inc dan beberapa yang lain adalah

yang paling umum dipakai saat ini.

Di bawah ini akan dibicarakan tiga model dimensi perekahan, yakni :

Howard & Fast (Pan American) serta diolah secara metematika oleh Carter

PKN atau Perkins, Kern (ARCO) & Nordgren

KGD atau Kristianovich, Zheltov (Russian Model ) lalu diperbaharui oleh Geertsma

dan de Klerk (Shell).

1. PAN American Model

Howard dan Fast memperkenalkan metode ini yang kemudian dipecahkan secara

matematis oleh Carter. Untuk menurunkan pesamaannya maka dibuat beberapa asumsi :

a. Rekahannya tetap lebarnya

b. Aliran ke rekahan linier dan arahnya tegak lurus paa muka rekahan.

c. Kecepatan aliran leak-off ke formasi pada titik rekahan tergantung dari panjang waktu

pada mana titik permukaan tsb mulai mendapat aliran.

d. Fungsi kecepatan v = f(t) sama untuk setiap titik di formasi, tetapi nol pada waktu

pertama kali cairan mulai mencapai titik tersebut.

e. Tekanan di rekahan adalah sama dengan tekanan di titik injeksi di formasi, dan

dianggap konstan.

sayap :

1

42

4)(

22

2 W

tC

W

tcerfce

C

WqtA

Wtci

............ .. ..(4-12)

atau

1

2

4)(

2

2

xxerfce

C

WqtA xi .................................... .(4-13)

Dimana:

wtCx 2 ,

A(t) = luas, ft2 untuk satu sisi pada waktu t

q = adalah laju injeksi, cuft/men,

W = lebar rekahan, ft,

t = waktu injeksi, menit dan

C = total leak off coeffisient = Ct di bab III, ft/V men, dan erfc adalah complementary

error function yang ditabelkan pada Tabel IV-1.

Tabel IV-1.

Complementary Error Function 4).

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0,0 1,0000 0,9887 0,9774 0,9662 0,9549 0,9436 0,9324 0,9221 0,9099 0,8987

0,1 0,8875 0,8764 0,8652 0,8541 0,8431 0,8320 0,8210 0,8110 0,7991 0,7882

0,2 0,7773 0,7665 0,7557 0,7450 0,7343 0,7237 0,7131 0,7026 0,6921 0,6817

0,3 0.6714 0,6611 0,6509 0,6407 0,6300 0,6206 0,6107 0,6008 0,5910 0,5813

0,4 0,5716 0,5620 0,5525 0,5431 0,5335 0,5245 0,5153 0,5063 0,4973 0,4883

0,5 0,4795 0,4708 0,4621 0,4535 0,4451 0,4367 0,4254 0,4202 0,4121 0,4041

0,6 0,3961 0,3883 0,3806 0,3730 0,3654 0,3550 0,3506 0,3434 0,3362 0,3292

0,7 0,3222 0,3153 0,3086 0,3019 0,2953 0,2888 0,2825 0,2762 0,2700 0,2639

0,8 0,2579 0,2520 0,2462 0,2405 0,2349 0,2283 0,2239 0,2186 0,2133 0,2082

0,9 0,2031 0,1981 0,1932 0,1884 0,1837 0,1791 0,1746 0,1701 0,1658 0,1615

1,0 0,1573 0,1532 0,1492 0,1452 0,1414 0,1376 0,1339 0,1302 0,1267 0,1232

1,1 0,1195 0,1165 0,1132 0,1100 0,1069 0,1039 0,1009 0,0960 0,0952 0,0924

1,2 0,0697 0,0870 0,0845 0,0819 0,0795 0,0771 0,0745 0,0752 0,0703 0,0684

1,3 0,0660 0,0639 0,0619 0,0600 0,0581 0,0562 0,0544 0,0527 0,0510 0,0493

1,4 0,0477 0,0461 0,0446 0,0431 0,0417 0,0403 0,0359 0,0376 0,0363 0,0351

1,5 0,0339 0,0327 0,0316 0,0305 0,0294 0,0284 0,0274 0,0264 0,0255 0,0245

1,6 0,0237 0,0228 0,0220 0,0212 0,0204 0,0196 0,0189 0,0182 0,0175 0,0168

1,7 0,0162 0,0156 0,0150 0,0144 0,0139 0,0133 0,0128 0,0123 0,0118 0,0114

1,8 0,0109 0,0105 0,0101 0,0097 0,0093 0,0089 0,0085 0,0032 0,0078 0,0075

1,9 0,0072 0,0069 0,0066 0,0063 0,0061 0,0055 0,0056 0,0053 0,0051 0,0049

2,0 0,00468 0,00448 0,00428 0,00409 0,00391 0,00374 0,00358 0,00342 0,00327 0,00312

2,1 0,00295 0,00285 0,00272 0,00259 0,00247 0,00236 0,00225 0,00215 0,00205 0,00195

2,2 0,00186 0,00178 0,00169 0,00161 0,00154 0,00146 0,00139 0,00133 0,00126 0,00120

2,3 0,00114 0,00109 0,00103 0,00098 0,00094 0,00089 0,00085 0,00080 0,00076 0,00072

2,4 0,00069 0,00065 0,00062 0,00059 0,00056 0,00053 0,00050 0,00048 0,00045 0,00043

2,5 0,00041 0,00039 0,00037 0,00035 0,00033 0,00031 0,00029 0,00028 0,00026 0,00025

2,6 0,00024 0,00022 0,00021 0,00020 0,00019 0,00018 0,00017 0,00016 0,00015 0,00014

2,7 0,00013 0,00013 0,00012 0,00011 0,00011 0,00010 0,00009 0,00008 0,00008 0,00008

2,8 0,000075 0,000071 0,000067 0,000063 0,000059 0,000056 0,000052 0,000049 0,000046 0,000044

2,9 0,000041 0,000039 0,000036 0,000034 0,000032 0,000030 0,000028 0,000027 0,000025 0,000023

Fracture Efficiency

Dari Persamaan (4-13) dapat diturunkan persamaan untuk fracture efficiency, yaitu

volume rekahan dibagi fluida yang dipompakan atau disebut juga sebagai fluid efficiency.

tqtWAVVEff iif )( ............................................. (4-14)

Substitusikan Persamaan (4-13) ke Persamaan (4-14) maka :

1

2

4

2

2

x

xerfceC

Wq

tq

WEff xi

i

1

2)(

4

2

2

x

xerfcetC

WEff x

1

21 22

xxerfce

xEff x .............................. ..(4-15)

Karena efisiensi hanya merupakan fungsi dari x saja maka bisa diplot versus x

seperti pada Gambar 4.12.

2. PKN dan KGD

PKN adalah model pertama dari 2D yang banyak dipakai dalam analisa setelah tahun

1960-1970. Metode ini digunakan bila panjang (atau dalam) rekahan jauh lebih besar dari

tinggi rekahan (xfhf). Apabila sebaliknya, dimana tinggi rekahan jauh lebih besar dari

kedalamannya (xfhf) maka metode KGD-lah yang harus dipilih. Sebenarnya ada bentuk

lain yang disebut radial atau berbentuk mata uang logam(penny shape) kalau xf = hf, tetapi

jarang dipakai. Gambar 4.13. menunjukkan skematik dari geometri model PKN, dan

Gambar 4.14. menunjukkan skematik dari model KGD.

Dalam Persamaan harga E sering diganti dengan G, yaitu Modulus Shear Elastis yang

hubungannya dengan Modulus Young adalah :

vE

G

12

.......................................................... .(4-16)

Tabel IV-2 menunjukkan persamaan-persamaan yang dibuat berdasarkan metode

PKN dan KGD serta Tabel IV-3 menunjukkan harga dari koefisien-koefisien pada

persamaan tersebut apabila dilakukan perhitungan dengan metode metrik, misalnya panjang

h, L, w dalam meter, sedangkan bila dalam satuan ft, maka harus dibagi dengan 3,28.

Viskositas dalam kPa.men dan kalau di cp harus dikali terlebih dahulu dengan 1,67 10-8 . K

dalam kPav cm maka kalau dalam

Tabel IV-2

Persamaan-persamaan untuk Mencari Panjang Rekahan L,

Lebar Rekahan Maksimum w, dan Tekanan Injeksi p dan

Dianggap Laju Injeksi Konstan 4)

Model Geometri

L(t)

W(0,t) (0,t) - H

Model PKN 5/4

5/1

4f

3o

1 th)v1(

qGC

5/4

5/1

f

2o

2 tGh

q)v1(C

4/1

3

3o

f

3

)v1(

LGq

H

C

Model KGD 3/2

4/1

3f

3o

4 th)v1(

qGC

3/1

4/1

3f

3o

5 tGh

q)v1(C

4/1

23

3fo

f

4

L)v1(

hGq

H2

C

unit disini maka psi v in harus dikali dengan 10,99. G dan dalam kPa, sedangkan kalau

dalam psi maka harus dikali dengan 6,896.

Tabel IV-3

Harga C1 sampai C6 pada Tabel IV-2 4)

Model Geometri

C Satu

Sayap Dua

Sayap

PK

C1 0,60 0,395

C2 2,64 2,00

C3 3,00 2,52

PKN

C1 0,68 0,45

C2 2,50 1,89

C3 2,75 2,31

KGD

C1 0,68 0,48

C2 1,87 1,32

C3 2,27 1,19

Dalam persamaan untuk model-model di atas, model PKN mempunyai irisan

berbentuk elips di muka sumur. Lebar maksimum terletak di tengah-tengah elips tersebut dan

harganya sama dengan nol untuk batas paling atas dan paling bawah. Model KGD lebarnya

sama sepanjang rekahannya dan berbentuk setengah elips di ujungnya. Tinggi rekahan sama

dengan tebal reservoir dan dan tekanan dianggap konstan pada irisan vertikal. Sifat reaksi

batuannya adalah bereaksi secara vertikal. Model KGD lebarnya sama (seperti segiempat)

sepanjang rekahannya dan berbetuk setengah elips diujungnya. Dalam hal ini tinggi rekahan

juga diambil sama dengan tebal reservoir. Di sini tiffness batuan bekerja horizontal. Dengan

model KGD (Halliburton) maka rekahannya relatif lebih pendek, lebih lebar, serta

konduktivitasnya akan lebih besar dari PKN.

Harga w yang maksimum dapat dihitung dengan persamaan dalam Tabel IV-2 tadi,

tetapi untuk harga lebar rekahan rata-rata w, maka w tadi harus dikalikan dengan faktor

geometri, yang besarnya 59.04

, karena = 0,75 (Economides/ Hills/Economides), tetapi

di SPE Mon. No.12, w =2/3 w(0) untuk PKN dan 8/15 w(0) untuk KGD (atau GdK dibuku

SPE Mon. No.12).

Dari persamaan pada tabel-tabel di atas terlihat misalnya tebal rekahan adalah fungsi

dari laju injeksi dan viskositas. Untuk PKN kenaikkan laju injeksi sebesar dua kali akan

menaikan lebar rekahan sebesar 1,3 kali. Sedangkan bila ditingkatkan menjadi dua kali

viskositas akan menaikan lebar rekahan sebesar 1,1 kali.

G

RqvCw 01

)1()0(

...................................... ..(4-17)

di mana :

untuk PKN C1 = 1,4

untuk KGD C1 = 2,15.

Tinggi Rekahan dalam batuan Menurut SPE. Mon. No. 12, untuk Griffith crack-stability,

dapat diturunkan di mana Kc = critical stress intensity factor dengan KKc2

, dengan

pengaruh gaya gravitasi diabaikan. Dan bilamana 11 HpP dan 22 HpP maka

dapat diturunkan persamaan :

fhh

hc

fgh

hPKhh

12

122

2sin

......................... ..(4-18)

Selanjutnya bilamana harga hf (lihat Gambar 4.15.) relatif sangat besar, maka dapat

diturunkan persamaan mengenai perbandingan antara tinggi rekahan hR dan jarak barier

diatas dan dibawahnya hf

12

2

2sin

HH

fg

Phhh

.............................. (4-19)

atau

12

11sinHH

Hfg

Phh

............................ (4-20)

Metode di atas digunakan untuk metode PKN kalau stress di atas dan di bawahnya

diketahui. Misalnya suatu lateral stress minimum stress katakan 2750 psi (19 Mpa) di target

batuan, dan batuan di atas dan di bawahnya (bariernya) misalnya 3045 psi (21 Mpa). Tekanan

rekah 2900 psi (29 Mpa) maka dengan Persamaan (4-19) akan didapat

.71,050,02sin fR hh Tetapi andaikan untuk stress dan tekanan yang sama, hf =

1,181 in. (3103 cm), maka dari Persamaan (4-18) maka .77,056,02sin fR hh

Jadi dalam hal ini, rekahan akan keluar dari formasi dan merekahkan juga barier di atas dan

di bawahnya sebesar 30-40% dan hal ini umum terjadi.