A. JUDUL

Model Predator Prey Menggunakan Respon Fungsional Tipe II Dengan

Prey Bersimbiosis Mutualisme Dengan Makhluk Hidup Lain .

B. LATAR BELAKANG

Bumi merupakan planet yang dihuni oleh berbagai makhluk hidup dan

benda mati yang membentuk suatu lingkungan hidup. Di dalam lingkungan hidup,

terjadi interaksi (hubungan timbal balik atau saling mempengaruhi) baik antar

makhluk hidup maupun dengan lingkungannya. Interaksi tersebut dikaji lebih jauh

dalam ekologi, yaitu ilmu yang mempelajari interaksi antar makhluk hidup

maupun dengan lingkungannya (Sugiri Aryanto, 2012).

Ekologi merupakan cabang ilmu biologi yang mempelajari ekosistem. Di

dalam suatu ekosistem, terjadi interaksi baik antar makhluk hidup maupun

dengan lingkungannya. Interaksi antar makhluk hidup dalam suatu ekosistem,

antara lain simbiosis mutualisme (hidup bersama antara dua makhluk hidup yang

berbeda jenis dan saling menguntungkan), kompetisi (persaingan), dan predasi.

Predasi berperan penting dalam dinamika populasi. Oleh karena itu, predasi

menjadi sesuatu yang menarik untuk dipelajari.

Predasi merupakan hubungan antara prey dan predator. Predator adalah

spesies yang memangsa prey. Model matematis mengenai interaksi dua spesies

dalam suatu ekosistem disebut model predator-prey. Model predator prey yang

paling sederhana adalah model Lotka-Volterra oleh Alferd James Lotka tahun

1925 dan Vito Volterra tahun 1926. Model ini merupakan langkah awal untuk

mengetahui perilaku hubungan antara predator dan prey dari sudut pandang

matematika ( La-Gubu, 2011).

Model predator-prey hanya memodelkan hubungan antara prey dan

predator saja, sedangkan pada beberapa ekosistem terdapat interaksi predasi

dimana prey bersimbiosis mutualisme dengan makhluk hidup lain. Ade Afiati

(2001), telah menurunkan model predator-prey dengan prey bersimbiosis

mutualisme dengan makhluk hidup lain ke dalam sistem persamaan diferensial.

Contoh interaksi yang digunakan adalah hewan pengerat yang memangsa benih

1

bunga violet, dan dengan kehadiran semut pekerja yang saling bersimbiosis

mutualisme dengan bunga violet. Model predator-prey yang digunakan adalah

model Lotka-Voltera. Pada model Lotka-Volterra, waktu yang diperlukan

predator untuk menangani prey (handling time) yang meliputi memburu,

membunuh, memakan, dan mencerna tidak diperhatikan. Pada kenyataannya,

predator memerlukan waktu untuk menangani prey. Oleh karena itu, model

Lotka-Volterra dikembangkan dengan memperhatikan waktu yang diperlukan

predator untuk menangani prey. Model predator-prey yang memperhatikan hal

tersebut adalah model predator prey dengan respon fungsional tipe II.

Berdasarkan uraian di atas, penulis tertarik untuk mengkaji model predator-prey

dengan prey bersimbiosis mutualisme dengan makhluk hidup lain dan model

predator-prey yang digunakan adalah model predator-prey dengan respon

fungsional tipe II serta model tersebut diaplikasikan pada hewan pengerat yang

memangsa benih bunga violet dengan kehadiran semut pekerja yang saling

bersimbiosis mutualisme dengan bunga violet.

C. RUMUSAN MASALAH

Berdasarkan latar belakang yang telah diuraikan di atas, maka rumusan

masalah dalam penelitian ini adalah :

1. Bagaimana penurunan model predator-prey menggunakan respon fungsional

tipe II dengan prey bersimbiosis mutualisme dengan makhluk hidup lain?

2. Bagaimana perilaku model predator-prey menggunakan respon fungsional tipe

II dengan prey bersimbiosis mutualisme dengan makhluk hidup lain?

3. Bagaimana perilaku model predator-prey menggunakan respon fungsional tipe

II dengan prey bersimbiosis mutualisme dengan makhluk hidup lain yang

diaplikasikan pada hewan pengerat yang memangsa benih bunga violet dan

bunga violet bersimbiosis mutualisme dengan semut pekerja?

2

D. BATASAN MASALAH

Batasan masalah dalam penelitian ini adalah :

a. Populasi predator dan populasi prey bersifat tertutup.

b. Apabila tidak ada interaksi antara predator dan prey maka

pertumbuhan prey mengikuti model logistik dan penurunan predator

mengikuti model Malthus.

c. Model populasi predator-prey yang dikaji terdiri dari satu predator

dan satu prey dan keduanya dipanen dengan laju pemanenan konstan.

d. Pada penelitian ini tidak diambil data faktual, melainkan hanya

dilakukan simulasi menggunakan software Maple 13.

E. TUJUAN

Tujuan penelitian ini adalah :

1. Menentukan dan menggambarkan grafik power dan size of the test.

2. Menganalisis secara analitik dan grafik power dan size of the test pada data

“Pengaruh Lama Perendaman Dalam Asap Cair dan Lama Penyimpanan

Terhadap Kualitas Bandeng Presto Asap”.

F. MANFAAT

1. Memberikan informasi tentang power dan size of the test.

2. Memberikan gambaran kepada pembaca mengenai aplikasi power dan size of

the test pada kasus multivariate simple regression model (MSRM).

G. TINJAUAN PUSTAKA

1. Multivariate Simple Regression Model

Istilah regresi pertama kali diperkenalkan oleh Sir Francis Galton (1822-

1911). Menurut Galton, analisis regresi berkaitan dengan studi ketergantungan

dari suatu variabel tak bebas (dependent variable) pada satu atau lebih variabel

bebas (independent variable). Biasanya, analisis ini dilakukan dengan pendugaan

3

kurva regresi yang digunakan untuk menjelaskan hubungan antara variabel bebas

dengan variabel terikat. Regresi dapat pula digunakan untuk peramalan,

penaksiran, atau pendugaan yang dinyatakan dalam satu fungsi dari sejumlah

faktor-faktor yang menentukan dan mempengaruhi prediksi tersebut.

Model regresi multivariat adalah model regresi dengan lebih dari satu

variabel respon dan satu atau lebih variabel prediktor (Johnson dan Wichern,

1998, 2002). Untuk kasus MSRM pada penelitian ini, variabel respon terdiri dari

dua variabel, sedangkan prediktor adalah tunggal, yang dinyatakan dalam

persamaan :

dan (1.1)

dengan dan , dimana .

Misalkan untuk percobaan ke-j, variabel prediktornya adalah

, variabel responnya adalah , dan himpunan

errornya adalah . Sehingga model matriksnya adalah

(1.2)

(1.3)

(1.4)

4

(1.5)

Dengan demikian model regresi multivariat ini dapat ditunjukkan dalam

bentuk persamaan :

(1.6)

dengan ;

Untuk respon ke-i, secara sederhana dimodelkan sebagai :

(1.7)

dengan estimasi (1.8)

sehingga diperoleh nilai prediksi respon dan residualnya masing-masing adalah

(1.9)

Mengacu pada Johnson (1998), maka untuk

diperoleh atau dan

Residual memenuhi dan

, sehingga dan . Dengan

demikian, dan tidak berkorelasi.

Jika persamaan (1.6) dengan dan error

berdistribusi normal maka adalah estimator maximum likelihood

dari dan yang berdistribusi normal dengan dan

. Pada estimator maximum likelihood independent,

5

maka diberikan oleh dan mengikuti

distribusi .

Pengujian parameter regresi dengan respon lebih dari satu dan respon

tidak bergantung pada menggunakan uji rasio likelihood. Dengan

, , dan , secara umum dapat

dituliskan sebagai . Untuk

, , dan uji rasio likelihood berdasarkan pada extra sum of squares

and cross product

dengan dan .

Rasio likelihood secara umum ditunjukkan oleh

, (1.10)

dimana persamaan (1.10) ekuivalen dengan statistik Wilk’s lambda .

2. Distribusi F

Distribusi F merupakan distribusi probabilitas kontinu sebagai

perbandingan 2 variabel random chi-kuadrat yang independen dengan masing-6

masing dibagi derajat bebasnya. Misalkan dan maka

. Selanjutnya, probability density function (pdf) dari distribusi F adalah

sebagai berikut (Spiegel, 2004) :

(2.1)

dengan v1 dan v2 adalah derajat bebas.

Mean dan variansi dari distribusi F adalah

dan

3. Bivariate F Distribution

Menurur Balakrishnan dan Lai (2008), distribusi F bivariat memiliki pdf

gabungan sebagai berikut :

(3.1)

dengan , adalah derajat bebas dan konstanta K adalah :

(3.2)

Koefisien korelasi untuk distribusi F bivariat adalah :

untuk . (3.3)

4. UT, RT, PT, dan PTT

7

Perhatikan pengujian pada model regresi sederhana, yaitu vs

ketika terdapat NSPI pada nilai slope 1 . Pada kasus ini, terdapat

tiga penduga pada , antara lain unspecified, specified, dan uncertain. Dengan

demikian, terdapat tiga uji statistik yang dapat digunakan, yaitu unrestricted test

(UT), restricted test (RT), dan pre-test test (PTT). Pada UT dan RT, masing-

masing dan adalah fungsi untuk pengujian , serta pada PTT,

adalah fungsi untuk pengujian yang didahului uji pre-test (PT) pada slope, dengan

adalah fungsi untuk pengujian vs pada PT. PTT

adalah pilihan diantara UT dan RT. Jika pada PT ditolak maka UT digunakan

untuk pengujian , sedangkan jika diterima maka yang digunakan untuk

pengujian adalah RT. Selanjutnya, UT, RT, PT, dan PTT dijelaskan oleh

Pratikno (2012) seperti berikut.

4.1. Unrestricted Test (UT)

Jika slope 1 tidak diketahui, maka fungsi UT digunakan untuk

pengujian dan UTT adalah uji statistik untuk pengujian 0.H Kemudian dengan

memilih nilai 1 sehingga,

(4.1.1)

dengan 1,

UTn adalah nilai kritis dari UTT pada tingkat signifikansi

1. Jika i

adalah nilai kuantil dan . adalah cumulative distribution function (cdf) dari

distribusi normal, maka

1 ,i i (4.1.2)

untuk 0 1,i i = 1, 2, 3. Sehingga dapat ditulis

(4.1.3)

8

Dengan demikian, untuk fungsi 1, ,UT UT UT

nI T fungsi power dari UT

adalah

10 0 , 0 ,UT UT UT UT

nE P T (4.1.4)

dengan I(A) adalah fungsi indikator dari A dengan nilai 1 jika A terputus, selain

itu bernilai 0.

4.2. Restricted Test (RT)

Jika (diketahui), maka fungsi RT digunakan untuk pengujian.

Untuk pengujian vs , maka RTT adalah uji statistiknya,

sehingga diperoleh

(4.2.1)

dengan 2,

RTn adalah nilai kritis dari RTT pada tingkat signifikansi 2. Dengan

cara yang sama pada UT, maka

(4.2.2)

sehingga untuk fungsi 2, ,RT RT RT

nI T fungsi power dari RT adalah

20 0 , 0 .RT RT RT RT

nE P T (4.2.3)

4.3. Pre-test (PT)

Jika 1 tidak ditentukan, maka fungsi PT digunakan untuk pengujian

hipotesis vs dengan uji statistik ,PTT maka

(4.3.1)

sehingga diperoleh

33 ,1 ,PT PTnP T (4.3.2)

dengan 3,

PTn adalah nilai kritis dari PTT pada tingkat signifikansi 3. Untuk uji

fungsi 3, ,PT PT PT

nI T fungsi power dari PT adalah

9

30 0 , 0 .PT PT PT PT

nE P T (4.3.3)

4.4. Pre-test Test (PTT)

Perumusan fungsi PTT ( PTT ) untuk pengujian vs

, setelah pre-testing (PT) pada nilai yang diduga dari slope,

dituliskan sebagai

3 2 3 1, , , ,, or , .PTT PT PT RT RT PT PT UT UT

n n n nI T T T T (4.4.1)

Fungsi power dari PTT dinotasikan dengan 0 0 ,PTT PTTE dan

diberikan oleh

3 2 3 10 , , 0 , , 0, , .PTT PT PT RT RT PT PT UT UT

n n n nP T T P T T (4.4.2)

5. Power of The Tests

Menurut Wackerly et al. (2008), keabsahan uji dapat diukur dengan

menentukan peluang kesalahan tipe I dan peluang kesalahan tipe II . Di

samping itu, untuk mengevaluasi hasil uji, dapat digunakan power of the test.

Power of the test, , adalah peluang bahwa uji mengarah pada penolakan

untuk pengujian vs ketika nilai parameter yang sebenarnya

berbeda dari . dapat dituliskan sebagai

dengan a adalah nilai dari dalam . Idealnya, uji yang baik memiliki power

mendekati 1 dalam dan mendekati 0 dalam 0H (Casella and Berger, 2002, p.

383).

Berikut adalah contoh perhitungan power dan size. Misalkan iX

mengikuti distribusi Bernoulli dengan parameter . Kemudian juga mengikuti

distribusi Bernoulli dengan p = , dinotasikan dengan . Uji

dilakukan untuk hipotesis 0 : 0,5H vs dengan daerah penolakan

10

(RR) yaitu 1 10, , : 3 .RR x x Y Uji fungsi power didefinisikan oleh RR

(under ) diberikan sebagai

(5.1)

Uji size adalah nilai fungsi power under 0H , yaitu

(5.2)

Selanjutnya, peluang kesalahan tipe II atau (peluang 0H diterima ketika

benar) diberikan oleh

(5.3)

Size adalah nilai nominal pada hipotesis nol yang konstan, sedangkan

power of the test bergantung pada parameter . Umumnya, uji yang

memaksimalkan fungsi power dan meminimalkan size lebih banyak digunakan

daripada uji lainnya.

H. METODE PENELITIAN

1. Waktu dan Tempat

Penelitian ini akan dilaksanakan selama 5 bulan (Februari – Mei 2012)

di Kampus MIPA UNSOED.

11

2. Prosedur Penelitian

Tahap awal penelitian ini adalah mempelajari beberapa literatur seperti

buku dan jurnal yang berhubungan dengan topik skripsi. Selanjutnya, menyusun

materi yang akan digunakan untuk penelitian ini dari literatur yang telah

dipelajari. Pada penelitian ini, data yang digunakan adalah data sekunder

mengenai pengaruh lama perendaman dalam asap cair dan lama penyimpanan

terhadap kualitas bandeng presto asap. Untuk perhitungan dan penggambaran

grafik power digunakan R package. Kemudian, melakukan analisis analitik rumus

power dan size, serta dilakukan pula analisis secara grafik dari power dan size.

Tahap akhir adalah memilih uji terbaik atas dasar power dan size. Dalam bentuk

diagram alir, keseluruhan tahapan proses rencana penelitian mengenai power of

the test pada model regresi multivariat sederhana ini disajikan dalam Gambar 2.1

berikut :

12

Gambar 2.1 Diagram alir Power of The Test

13

Mulai

Mempelajari literatur

Menyusun materi

Mencari data sekunder

Membuat program untuk perhitungan dan penggambaran grafik power dengan R package

Melakukan analisis analitik rumus power dan size

Melakukan analisis secara grafik dari power dan size

Memilih uji terbaik atas dasar power dan size

Selesai

3. Jadwal Penelitian

Perkiraan jadwal kegiatan penelitian ini dirangkum pada Tabel 3.1

berikut :

Tabel 3.1 Jadwal kegiatan penelitian Tugas Akhir

No. KegiatanBulan

Februari Maret April Mei Juni1 Studi Pustaka          

2Penyusunan Proposal          

3 Penelitian          

4Pembahasan dan Penyusunan Laporan          

5 Seminar Hasil          

I. DAFTAR PUSTAKA

Bancroft, T.A. (1944). On Biases in Estimation Due to The Use of The Preliminary Tests of Significance. Annals Of Mathematical Statistics. 15, 190-204.

Bancroft, T.A. (1964). Analysis and Inference for Incompletely Specified Models Involving The Use of The Preliminary Test(s) of Significance. Biometrics, 20(3), 427-442.

Bancroft, T.A. (1965). Inference for Incompletely, Specified Models in The Physical Sciences (with discussion). Bull 151, Proc. 35 th Section, Beograd, 41, 497-515.

Balakrishnan, N dan Lai, C. D.(2008). Continous Bivariate Distribution, 2nd ed. Springer, New York.

Casella, G. dan Berger, R.L. (2002). Statistical inferenceI, 2nd Ed. Thomson Learning Inc, USA.

Johnson, R.A dan Wichern, D.W. (1998). Applied Multivariate Statistical Analysis. Pearson Education, USA.

Johnson, R.A dan Wichern, D.W. (2002). Applied Multivariate Statistical Analysis. Pearson Education, USA.

14

Pratikno, B. (2012). Tests of Hypotesis for Linear Regression Models with Non Sample Prior Information. Australia.

Spiegel, M.R. (2004). Probabilita dan Statistik, edisi kedua. Penerbit Erlangga, Jakarta.

Saleh, A.K.Md.E. (2006). Theory of Preliminary Test and Stein-Type Estimation with Applications. Wiley, New Jersey.

Saleh, A.K.Md.E. dan Sen, P.K. (1982). Nonparametric Tests for Location After Parameter a Preliminary Tests on Regression. Communication in Statistics-Theory and Methods, 12(16), 1855-1872.

Wackerly, D.D., Mendenhall III, W. dan Scheaffer, R.L. (2008). Mathematical Statistics with application, 7th Ed. Thomson Learning, Inc., Belmont, CA, USA.

15