MKBI_5th2015

Mekanika Kekuatan Bahan I oleh: Yudy Surya Irawan

�YudySuryaIrawan 6- 1

1.3 Hukum Hooke (Hooke’s Law)

� Hukum Hooke ini menjelaskan hubungan antara tegangan dan regangan yang telah dijelaskan

sebelumnya.

� Hukum Hooke dapat dijelaskan dari sudut pandang mikroskopis seperti ditunjukkan dalam

Gambar 1.3.1 berikut ini.

Gambar 1.3.1 Hubungan antara Tegangan dan Regangan � Pada umumnya, benda padat terdiri atas atom-atom yang terikat oleh berbagai macam ikatan

seperti (ikatan logam, ikatan kovalen, ikatan ion dan lain-lain) yang mana pada kondisi

kesetimbangan memiliki jarak antar atom stabil sebesar b0. Seperti ditunjukkan oleh Gambar

1.3.1(a), saat atom dalam kondisi stabil tanpa ada gaya tarik dari luar benda, besarnya gaya tarik

sama dengan gaya tolak. Dengan kata lain besarnya gaya antar atom sebesar nol (0).

� Bila benda dikenakan gaya dari luar P, maka jarak antar atom akan bertambah dari b0 menjadi b1

dengan gaya yang terjadi antar atom sebesar f1 seperti ditunjukkan oleh gambar 1.3.1(a). Pada

gambar 1.3.1(b) ditunjukkan gaya-gaya f1 yang bekerja dalam kesetimbangan untuk

menyetimbangkan benda padat yang dikenai gaya F dari luar.

� Kondisi ini bila dilihat dari sisi makro maka tampak seperti pada Gambar 1.3.1(c) yang mana

gaya-gaya f1 ini bekerja pada suatu luasan A yang menjadi tegangan dalam benda padat

tersebut.

Regangan

Tegangan

Atom

Jarak antar atom

Gaya Tarik

Gaya Tolak



� Kemudian seperti ditunjukkan pada Gambar 1.3.1(a), bila besarnya perpindahan jarak antar atom

(b1 - b0) ternyata cukup kecil dibandingkan dengan b0 atau gaya antar atom f1 tidak terlalu besar

maka garis lengkung C mendekati garis lurus sehingga hubungan antara gaya antar atom dan

besarnya perpindahan antar atom berbanding lurus. Hubungan inilah yang disebut dengan

Hukum Hooke.

� Karena perpindahan berbanding lurus terhadap gaya maka demikian pula halnya dengan

hubungan antara tegangan σ dan regangan ε seperti ditunjukkan pada Gambar 1.3.1(d),

εσ ⋅= E (1.3.1)

dengan E adalah modulus elastisitas (GPa) atau Young’s Modulus (Modulus Young).

� Kemudian persamaan besarnya pertambahan panjang λ menjadi,

l

λε = →→→→

AE

lN

E

ll

⋅

⋅=

⋅=⋅=

σελ (1.3.2)

dengan N : gaya dari luar, E : Modulus elastisitas, A : Luas penampang, l = panjang awal.

� Bila N, E dan A sebuah batang berubah bentuk ke arah memanjang, dengan meninjau bagian

terkecil dari batang tersebut dx maka total dari pertambahan panjangnya adalah :

AE

lNdx

AE

Nd

l

⋅

⋅=

⋅== ∫∫

0

λλ (1.3.3)

� Dengan pemahaman yang sama, maka hubungan antara tegangan geser τ τ τ τ dan regangan geser

γ adalah : γτ G= (1.3.4)

dengan G adalah Modulus Geser Elastis (Shear Elastic Modulus), atau Rasio Kekakuan atau

Modulus elastis lateral

Kemudian dengan melihat persamaan 1.3.3 besarnya

perpindahan geser λλλλ s adalah sebesar :

AG

lFs

⋅

⋅=λ (1.3.5)

dengan F : gaya geser yang bekerja pada luasan A.

� Untuk material teknik mesin besarnya modulus

elastisitas, E dan modulus elastis geser, G: BAJA adalah sekitar 206 GPa, 82 GPa;

ALUMINIUM adalah sekitar 70 GPa, 26 GPa, TEMBAGA adalah sekitar 120 GPa, 44 GPa.

� Bila suatu benda mendapat tekanan dari segala arah ke permukaannya sebesar p, maka

hubungan antara tekanan p, regangan volume εv dalam HUKUM HOOKE adalah sebagai

berikut: vKp ε= (1.3.6)

dengan K adalah modulus elastisitas volume benda (GPa)



� Hubungan antara modulus elastis geser (Shear modulus) G, modulus elastisitas (Modulus

of Elasticity = Young’s Modulus) , E, dan modulus elastisitas volume (Elastic Modulus of

Volume), K , serta poisson’s ratio, νννν adalah sebagai berikut :

)2-3(1 ,

)1(2 νν

EK

EG =

+= (1.3.7)

Contoh Soal 1.3

Sebuah batang seperti pada gambar berikut ini memiliki modulus elastisitas 206 GPa dan

berpenampang 80 mm2 dibebani gaya-gaya PA, PB, PC dan PD. Jarak AB=500 mm, BC=200 mm,

CD=300 mm. Hitunglah pertambahan panjang dari batang ini.

Penyelesaian:

a) Mencari gaya dalam pada titik E, F dan G.

- Kesetimbangan gaya pada penampang F

Diagram benda bebas dari batang di atas adalah sebagai berikut

dengan arah positif ke arah kanan maka kesetimbangan gaya pada bagian AF :

NF + PB – PA = 0 ; NF = PA – PB = (40 – 50 ) kN= -10 kN yang mana NF = NF’

yang berarti arah NF berlawanan sebagai gaya tekan dengan pengandaian sehingga gambar

yang benar adalah:

- Kesetimbangan gaya pada penampang E : NE= P4=40 kN

- Kesetimbangan gaya pada penampang G

NG = PA – PB + PC = 40-50+30=20 kN atau NG = PD = 20 kN

b) Besarnya tegangan pada penampang E, F dan G adalah:

σE= NE/A = 40,000N/80 mm2 = 500 N/mm2= 500 MPa

σF= NF/A = -10,000N/80 mm2 = -125 N/mm2= -125 MPa

σG= NG/A = 20,000N/80 mm2 = 250 N/mm2= 250 MPa

c) Besarnya regangan pada AB,BC dan CD adalah:

λAB= σE lAB /E = 500 N/mm2 x 500 mm /(260 000 N/mm2) = 1.21 mm

λBC= σF lBC /E = -125 N/mm2 x 200 mm/(260 000 N/mm2) = -0.12 mm

λCD= σG lCD /E = 250 N/mm2 x 300 mm/(260 000 N/mm2) = 0.36 mm

d) Total pertambahan panjang λAD :

λAD = λAB + λBC + λCD = 1.21 mm + -0.12 mm +0.36 mm =1.45 mm



2. Tarik dan Tekan (Tensile and Compression)

2.1 Tegangan dalam Batang yang dikenai Beban Aksial

� Pada bagian ini akan dibahas lebih lanjut tentang tegangan yang bekerja pada balok yang

dikenai gaya aksial dari luar.

� Seperti ditunjukkan dalam Gambar 2.1, bila suatu batang dikenai gaya luar P maka selain timbul

tegangan pada bidang yang tegak lurus gaya, A0 tersebut, juga timbul tegangan pada bidang

yang membentuk sudut θ terhadap penampang batang.

� Seperti terlihat pada gambar akan timbul gaya dalam NC yang juga bekerja pada bidang miring,

A yang besarnya juga sama dengan P. Sehingga besarnya tegangan, p pada luasan A adalah

p = Nc/A = P / A (2.1)

akan tetapi tegangan p ini tidak tegak lurus terhadap luasan A sehingga bukan merupakan

tegangan normal maupun geser namun tegangan resultas pada luasan A yang terdiri atas

komponen tegangan normal dan geser.

� Bila digambarkan posisi dari tegangan p pada luasan A maka dapat dilihat pada gambar 2.1(c) di

atas. Yang mana tegangan p dapat diuraikan menjadi tegangan normal σ dan tegangan geser τ

pada bidang A yang membentuk sudur θ terhadap luasan A0.

Sedangkan hubungan antara A0 dan A adalah A = A0/cos θ, sehingga besarnya tegangan normal

σ dan tegangan geser pada luasan A adalah :

( )

( )(2.3) 2sin

2sin

cos/sinsin

(2.2) coscoscos/

coscos

0

0

2

0

0

θσ

θθ

θθτ

θσθθ

θθσ

====

====

A

P

A

Pp

A

P

A

Pp

yang mana σ0 adalah tegangan normal pada bidang A0 sebesar P/A0.

� Sehingga bila batang ditarik maka tegangan normal menjadi maksimum saat θ = 0 sebesar σ0.

Sedangkan tegangan geser menjadi maksimum saat θ = 45o yang mana besarnya adalah 1/2

dari σ0. Jadi dalam perencanaan batang yang dikenai beban aksial, baik tegangan geser

maupun tegangan normal yang bekerja harus lebih kecil dari tegangan normal dan geser ijinnya.

Gambar 2.1 Tegangan yang terjadi pada bidang miring



� Kemudian bila pada suatu kondisi besarnya tegangan geser = 0 maka tegangan normal yang

terjadi disebut sebagai tegangan utama (principal stress).

Seperti ditunjukkan pada gambar 2.1 (a) tegangan utamanya hanya pada satu arah, maka

kondisi ini disebut tegangan uniaksial atau tegangan satu sumbu (uniaxial stress). Sedangkan

biaxial stress untuk tegangan utamanya pada dua sumbu yang saling tegak lurus dan triaxial

stress untuk tiga tegangan utamanya bekerja saling tegak lurus pada suatu benda.

2.2 Batang yang dikenai Beban Berat Sendiri

� Hingga bagian sebelumnya telah dikenalkan gaya yang dikenakan pada permukaan benda atau

disebut sebagai gaya permukaan (surface force).

� Selain gaya permukaan terdapat gaya berat, gaya sentrifugal ( f = m.v2/r, m: massa, v :

kecepatan, r : jari-jari lingkaran benda yang belok ). Meskipun benda ini dibagi sekecil apapun,

pada bagian dalam benda tersebut masih bekerja gaya dalam, oleh sebab itu gaya-gaya ini

disebut gaya benda atau gaya volume (body force).

� Kemudian besarnya tegangan dan regangan yang terjadi pada benda yang mengalami gaya

benda tersebut dapat dilihat pada penjelasan berikut.

� Misalkan suatu batang dengan massa jenis ρρρρ, modulus elastisitas E, luas penampang A dan

memiliki panjang l digantung di atap seperti ditunjukkan pada Gambar 2.2(a).

� Bila batang tersebut dibagi menjadi dua dengan memotongnya sepanjang x dari bawah batang,

sehingga diagram benda bebas dan kesetimbangan gaya yang terjadi ditunjukkan pada

Gambar 2.2 (b). Pada bagian ini massa adalah ρ A x, sehingga berat batang sepanjang x

adalah ρ g A x yang mana arah gaya berat ini ke bawah menuju pusat bumi.

� Karena berada dalam keadaan setimbang maka besarnya gaya dalam Nx sama besar dengan

gaya berat ini yaitu

Nx = ρ⋅ g⋅ A⋅ x (2.4)

� Besarnya tegangan pada penampang berjarak x dari bawah ini adalah

σx = Nx / A = ρ⋅ g⋅ x (2.5)

Sehingga untuk seluruh batang (x= l ) besarnya tegangan normal adalah

σl = Nl / A = ρ⋅ g⋅ l (2.6)

Gambar 2.2 Tegangan yang terjadi akibat gaya berat



Contoh 2.1:

Misalkan batang pada Gambar 2.2 di atas adalah baja dengan massa jenis 7800 kg/m3, dan

kekuatan tariknya σu ( tegangan maksimum yang terjadi saat material ditarik dengan gaya tarik satu

sumbu) adalah 500 MPa. Maka panjang maksimum yang aman adalah :

l = σu/ ρ⋅ g = (500 x 106 N/m2 )/ (7800x9.8) N/m3 = 6540 m

sehingga bila kabel atau kawat baja dengan diameter yang sama dimasukkan dalam laut, panjang

kabel tidak dapat melebihi panjang tersebut di atas karena akan mengalami patahan akibat gaya

berat sendiri meskipun terdapat pula gaya dari ombak perbedaan suhu dan lain-lain yang juga

dapat mempengaruhi panjang kawat yang aman sehingga menjadi lebih pendek dari perhitungan

sederhana di atas.

� Sedangkan besarnya pertambahan panjang dari batang tersebut di atas adalah sebagai berikut.

Berhubung gaya dalam Nx berubah seiring dengan besarnya x maka persamaan berikut tidak

dapat digunakan.

AE

lN

E

ll

⋅

⋅=

⋅=⋅=

σελ

seperti ditunjukkan gambar 2.2 (d) gaya yang bekerja pada bagian dx adalah Nx’ pada bagian

bawah dan Nx + dNx pada bagian atas dalam kondisi tarik. Mengingat dNx sangat kecil

dibandingkan dengan Nx maka gaya tarik bagian atas dapat dianggap sama dengan Nx.

Sehingga besarnya pertambahan panjang untuk bagian dx adalah :

dxE

gxdx

EA

Nd x ρλ == (2-7)

Sehingga total pertambahan panjang dari batang yang tergantung adalah

E

gldx

E

gxl

2

2

0

ρρλ == ∫ (2-8)

Contoh 2.2

Suatu batang sepanjang l, berpenampang A pada salah satu ujungnya diputar dengan kecepatan

sudut ϖ. Bila batang memiliki massa jenis ρ dan modulus elastisitas E maka berapakah besar

pertambahan panjangnya λ.

Penyelesaian :

- Gaya yang timbul = N = gaya sentrifugal (sentripetal) = m ⋅ v2/r atau m⋅ ϖ2⋅r

dengan m: massa (kg), ϖ : kecepatan putar sudut (rad/sec) dan r = jari-jari perputaran yang mana

dalam hal ini sebesar panjang batang l.

ϖ

l

pusat

Luas penampang, A

Modulus Elastisitas, E



Besarnya gaya dalam sepanjang x = gaya sentrifugal sepanjang x adalah

Nx = mx⋅ ϖ2⋅x

Sedangkan gaya dalam atau gaya sentrifugal yang terjadi pada bagian dx yang berjarak x dari

pusatnya adalah sebesar dNx :

dNx = mx⋅ ϖ2⋅r = ρ ⋅Α⋅dx⋅ϖ2⋅x = ρ ⋅Α⋅x⋅ϖ2⋅dx

Besarnya gaya dalam total N untuk bagian antara x dan l yang diputar terhadap pusat adalah :

( )22222

2

22xl

AAxdxAxN

l

x

l

x

−=

== ∫

ϖρϖρϖρ

Kemudian besarnya pertambahan panjang pada dx adalah :

dxE

xl

EA

xlA

EA

Ndxd

2

)(

2

)(222222 −

=−

==ρϖϖρ

λ

Besarnya total pertambahan panjang :

E

l

E

l

E

l

E

l

E

xx

E

ldx

E

xld

ll l

36

2

623

3

3222

)(32323232

00

3222

0

222 ρϖρϖρϖρϖρϖρϖρϖλλ ==−

×=

×−=

−== ∫ ∫

Sehingga didapatkan besarnya total pertambahan panjang adalah : E

l

3

32ρϖ

ϖ dx

l

x

pusat dNx

MKBI_5th2015

Documents

Transcript of MKBI_5th2015