MITEM FITRIADI

7/22/2019 MITEM FITRIADI

1/13

Dalammatematika,segitiga Pascaladalah suatu aturan geometri padakoefisien binomial

dalam sebuahsegitiga.Ia dinamakan sempenaBlaise Pascaldalam kebanyakan dunia barat,

meskipun ahli matematika lain telah mengkajinya berabad-abad sebelum dia diIndia,Persia,

Cina,danItalia.Barisan segitiga Pascal umumnya dihitung dimulai dengan baris kosong, dan

nomor-nomor dalam barisan ganjil biasanya diatur agar terkait dengan nomor-nomor dalam

baris genap. Konstruksi sederhana pada segitiga dilakukan dengan cara berikut. Di barisannol, hanya tulis nomor 1. Kemudian, untuk membangun unsur-unsur barisan berikutnya,

tambahkan nomor di atas dan di kiri dengan nomor secara langsung di atas dan di kanan

untuk menemukan nilai baru. Jika nomor di kanan atau kiri tidak ada, gantikan suatu kosong

pada tempatnya. Misalnya, nomor satu di barisan pertama adalah 0 + 1 = 1, di mana nomor 1

dan 3 dalam barisan ketiga ditambahkan untuk menghasilkan nomor 4 dalam barisan

keempat.

Setiap nomor dalam segitiga adalah jumlah dua secara terus dengan yang di atas.

Pembinaan ini terkait dengan koefisien binomial olehPeraturan Pascal,yang menyatakan

bahwa jika

adalah koefisien binomial ke-'k dalampengembangan binomialpada (x+ y)n, di manan!

adalahfaktorialn, oleh itu

untuk setiap bilangan bulat bukan negatif ndan mana-mana bilangan bulat kdi antara 0 dan

n.[1]

Segitiga Pascal memiliki pengitlakandimensilebih tinggi. Versi tiga-dimensi disebut

Piramida PascalatauPascal 's tetrahedron, sedangkan versi umum disebutsimpleks Pascal-

ini lihatpiramida,tetrahedrondansimpleks.

Segi tiganya
http://id.wikipedia.org/wiki/Matematikahttp://id.wikipedia.org/wiki/Matematikahttp://id.wikipedia.org/wiki/Matematikahttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Koefisien_binomial&action=edit&redlink=1http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Koefisien_binomial&action=edit&redlink=1http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Koefisien_binomial&action=edit&redlink=1http://id.wikipedia.org/wiki/Segitigahttp://id.wikipedia.org/wiki/Segitigahttp://id.wikipedia.org/wiki/Segitigahttp://id.wikipedia.org/wiki/Blaise_Pascalhttp://id.wikipedia.org/wiki/Blaise_Pascalhttp://id.wikipedia.org/wiki/Blaise_Pascalhttp://id.wikipedia.org/wiki/Sejarah_Indiahttp://id.wikipedia.org/wiki/Sejarah_Indiahttp://id.wikipedia.org/wiki/Sejarah_Indiahttp://id.wikipedia.org/wiki/Sejarah_Iranhttp://id.wikipedia.org/wiki/Sejarah_Iranhttp://id.wikipedia.org/wiki/Sejarah_Iranhttp://id.wikipedia.org/wiki/Cinahttp://id.wikipedia.org/wiki/Cinahttp://id.wikipedia.org/wiki/Italiahttp://id.wikipedia.org/wiki/Italiahttp://id.wikipedia.org/wiki/Italiahttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Peraturan_Pascal&action=edit&redlink=1http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Peraturan_Pascal&action=edit&redlink=1http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Peraturan_Pascal&action=edit&redlink=1http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Pengembangan_binomial&action=edit&redlink=1http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Pengembangan_binomial&action=edit&redlink=1http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Pengembangan_binomial&action=edit&redlink=1http://id.wikipedia.org/wiki/Faktorialhttp://id.wikipedia.org/wiki/Faktorialhttp://id.wikipedia.org/wiki/Faktorialhttp://id.wikipedia.org/wiki/Segitiga_Pascal#cite_note-1http://id.wikipedia.org/wiki/Segitiga_Pascal#cite_note-1http://id.wikipedia.org/wiki/Segitiga_Pascal#cite_note-1http://id.wikipedia.org/wiki/Dimensihttp://id.wikipedia.org/wiki/Dimensihttp://id.wikipedia.org/wiki/Dimensihttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Piramida_Pascal&action=edit&redlink=1http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Piramida_Pascal&action=edit&redlink=1http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Simpleks_Pascal&action=edit&redlink=1http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Simpleks_Pascal&action=edit&redlink=1http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Simpleks_Pascal&action=edit&redlink=1http://id.wikipedia.org/wiki/Piramidahttp://id.wikipedia.org/wiki/Piramidahttp://id.wikipedia.org/wiki/Piramidahttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Tetrahedron&action=edit&redlink=1http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Tetrahedron&action=edit&redlink=1http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Tetrahedron&action=edit&redlink=1http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Simpleks&action=edit&redlink=1http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Simpleks&action=edit&redlink=1http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Simpleks&action=edit&redlink=1http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:PascalTriangleAnimated2.gifhttp://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:PascalTriangleAnimated2.gifhttp://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:PascalTriangleAnimated2.gifhttp://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:PascalTriangleAnimated2.gifhttp://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:PascalTriangleAnimated2.gifhttp://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:PascalTriangleAnimated2.gifhttp://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:PascalTriangleAnimated2.gifhttp://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:PascalTriangleAnimated2.gifhttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Simpleks&action=edit&redlink=1http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Tetrahedron&action=edit&redlink=1http://id.wikipedia.org/wiki/Piramidahttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Simpleks_Pascal&action=edit&redlink=1http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Piramida_Pascal&action=edit&redlink=1http://id.wikipedia.org/wiki/Dimensihttp://id.wikipedia.org/wiki/Segitiga_Pascal#cite_note-1http://id.wikipedia.org/wiki/Faktorialhttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Pengembangan_binomial&action=edit&redlink=1http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Peraturan_Pascal&action=edit&redlink=1http://id.wikipedia.org/wiki/Italiahttp://id.wikipedia.org/wiki/Cinahttp://id.wikipedia.org/wiki/Sejarah_Iranhttp://id.wikipedia.org/wiki/Sejarah_Indiahttp://id.wikipedia.org/wiki/Blaise_Pascalhttp://id.wikipedia.org/wiki/Segitigahttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Koefisien_binomial&action=edit&redlink=1http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika


2/13

Di bawah adalah barisan kosong ke enam belas pada segitiga Pascal:

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

1 9 36 84 126 126 84 36 9

1

1 10 45 120 210 252 210 120 45 10

1

1 11 55 165 330 462 462 330 165 55

11 1

1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66

12 1

1 13 78 286 715 1287 1716 1716 1287 715 286

78 13 1

1 14 91 364 1001 2002 3003 3432 3003 2002 1001 364

91 14 1

1 15 105 455 1365 3003 5005 6435 6435 5005 3003 1365

455 105 15 1

1 16 120 560 1820 4368 8008 11440 12870 11440 8008 4368 1820

560 120 16 1

Segi tiga Pascal dan pengembangan binomial

Segi tiga Pascal menentukan koefisien yang menambahkan dalampengembangan binomial.

Misalnya, timbangkan pengembangan berikutnya.

(x+y)2=x2+ 2xy+y2= 1x2y0+ 2x

1y1+ 1x0y2.

Perhatikan bahwa koefisien adalah angka dalam baris kedua segitiga Pascal: 1, 2, 1. Pada

umumnya, ketika sebuahbinomialsepertix+yditambahkan ke suatubilangan bulatpositif

kita mendapat:

(x+y)n= a0xn+ a1x

n1y+ a2xn2y2+ + an1xy

n1+ anyn,

yaitukoefisienaidalam pengembangan ini adalah tepatnya bilangan dalam baris nsegitigaPascal '. maknanya,

Ini adalahteorema binomial.

Perhatikan bahwa keseluruhandiagonalkanan segitiga Pascal berhubungan dengan koefisien

yndalam pengembangan binomial ini, sedangkan diagonal berikutnya berhubungan dengan

koefisienxyn-1

dan sebagainya.
http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Pengembangan_binomial&action=edit&redlink=1http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Pengembangan_binomial&action=edit&redlink=1http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Pengembangan_binomial&action=edit&redlink=1http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Binomial&action=edit&redlink=1http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Binomial&action=edit&redlink=1http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Binomial&action=edit&redlink=1http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_bulathttp://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_bulathttp://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_bulathttp://id.wikipedia.org/wiki/Koefisienhttp://id.wikipedia.org/wiki/Koefisienhttp://id.wikipedia.org/wiki/Koefisienhttp://id.wikipedia.org/wiki/Teorema_binomialhttp://id.wikipedia.org/wiki/Teorema_binomialhttp://id.wikipedia.org/wiki/Teorema_binomialhttp://id.wikipedia.org/wiki/Diagonalhttp://id.wikipedia.org/wiki/Diagonalhttp://id.wikipedia.org/wiki/Diagonalhttp://id.wikipedia.org/wiki/Diagonalhttp://id.wikipedia.org/wiki/Teorema_binomialhttp://id.wikipedia.org/wiki/Koefisienhttp://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_bulathttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Binomial&action=edit&redlink=1http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Pengembangan_binomial&action=edit&redlink=1


3/13

Untuk melihat bagaimana teorema binomial terkait dengan konstruksi sederhana segitiga

Pascal, pertimbangkan masalah perhitungan koefisien pengembangan (x+ 1)n+1dari segi

koefisien yang berhubungan (x+ 1)n(letakkany= 1 untuk lebih mudah). Anggap setelah itu

bahwa

Sekarang

Dua penjumlahan dapat diatur kembali sebagai berikut:

(karena cara penambahan suatu polinomial ke suatu kekuasaan berhasil, a0= an= 1).

Kita sekarang memiliki pernyataan untuk polinomial (x+ 1)n+1dari segi koefisien (x+ 1)n(ini

adalah ais), yaitu kita perlu jika ingin menyatakan suatu baris dari kiri-atas ke kanan-bawahberkoresponden dengan energi yang samax, dan bahwa jangka-a adalah koefisien polinomial

(x+ 1)n, dan kita menentukan koefisien (x+ 1)n+1. sekarang, untuk mana-mana idiberikan

bukan 0 atau n+ 1, pekali jangkaxidalam polinomial (x+ 1)n+1adalah bersamaan dengan ai

(tokoh di atas dan di kanan tokoh untuk ditentukan, sejak ia adalah pada pepenjuru yang

sama) + ai1(tokoh di kanan secara terus pada tokoh pertama). Ini sudah tentu peraturan

mudah untuk pembinaan segitiga Pascal baris-demi-baris.

Adalah tidak susah untuk mengitarkan perdebatan ini ke dalambukti(olehinduksi

matematik)pada teorem binomial.
http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Bukti_%28matematik%29&action=edit&redlink=1http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Bukti_%28matematik%29&action=edit&redlink=1http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Bukti_%28matematik%29&action=edit&redlink=1http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Induksi_matematik&action=edit&redlink=1http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Induksi_matematik&action=edit&redlink=1http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Induksi_matematik&action=edit&redlink=1http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Induksi_matematik&action=edit&redlink=1http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Induksi_matematik&action=edit&redlink=1http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Induksi_matematik&action=edit&redlink=1http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Bukti_%28matematik%29&action=edit&redlink=1


4/13

Suatu akibat menarik pada teorem binomial didapatkan dengan memuatkan dua jenisxdany

bersamaan dengan satu. Dalam kes ini, kita tahu bahawa , dan oleh itu

Maknanya, jumlah kemasukan pada baris ke-npada segitiga Pascal adalah tenaga ke-npada

2.

Referensi

1. ^Pekali binomial adalah secara kebiasaan diletakkan kosong jika ksama adakurang daripada kosong atau lebih besar daripada n.

Artikel bertopikmatematikaini adalah sebuahrintisan.Anda dapat membantu

Wikipedia denganmengembangkannya.

Geometri Euclid

Geometri Euclid merupakan sebuah sistem matematik yang disumbangkan oleh

seorang ahli matematik Yunani bernama Euclid dari Alexandria. Teks Euclid,

Elements merupakan sebuah kajian sistematik yang terawal mengenai geometri. Ia

sudah menjadi salah satu buku-buku yang paling berpengarh di dalam sejarah, samabanyaknya dengan kaedahnya yang mempunyai isi kandungan matematik. Kaedah

cara yang mengandungi andaian satu set aksiom secara intuitif yang sangat menarik,

dan kemudiannya membuktikan banyak usul (teorem-teorem) daripada aksiom-

aksiom berkenaan. Walaupun banyak daripada keputusan-keputusan oleh Euclid

sudah dinyatakan oleh ahli-ahli matematik Yunani sebelumnya, Euclid merupakan

orang yang pertama untuk menunjukkan bagaimana usul-usul ini diletakkan secara

sempurna membentuk satu deduksi dan sistem logik yang komprehensif.

Buku Elements ini bermula dengan geometri satah, yang masih lagi diajar di sekolah

menengah sebagai satu sistem aksioman dan contoh-contoh pembuktian formal yang

pertama. Kemudiannya, Elements merangkumi geometri pepejal dalam tiga dimensi,

dan seterusnya geometri Euclid telah dipanjangkan kepada satu bilangan dimensi

yang terhingga. Kebanyakan daripada Elements menyatakan keputusan-keputusan

dalam apa yang kini disebut sebagai teori nombor, yang boleh dibuktikan menerusi

kaedah geometri.

Selama dua ribu tahun, kata adjektif Euclid tidak diperlukan kerana pada masa itu

tiada geometri lain dapat dibayangkan. Aksiom-aksiom Euclid nampak seperti

sangat jelas sehinggakan apa-apa teorem lain yang dibuktikan daripadanya dianggap
http://id.wikipedia.org/wiki/Segitiga_Pascal#cite_ref-1http://id.wikipedia.org/wiki/Segitiga_Pascal#cite_ref-1http://id.wikipedia.org/wiki/Matematikahttp://id.wikipedia.org/wiki/Matematikahttp://id.wikipedia.org/wiki/Matematikahttp://id.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Rintisanhttp://id.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Rintisanhttp://id.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Rintisanhttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Segitiga_Pascal&action=edithttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Segitiga_Pascal&action=edithttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Segitiga_Pascal&action=edithttp://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:E-to-the-i-pi.svghttp://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:E-to-the-i-pi.svghttp://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:E-to-the-i-pi.svghttp://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:E-to-the-i-pi.svghttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Segitiga_Pascal&action=edithttp://id.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Rintisanhttp://id.wikipedia.org/wiki/Matematikahttp://id.wikipedia.org/wiki/Segitiga_Pascal#cite_ref-1


5/13

benar secara mutlak. Hari ini, bagaimanapun, banyak geometri bukan Euclid sudah

diketahui, yang pertamanya telah dijumpai pada awal abad ke-19. Ia juga tidak boleh

diambil mudah bahawa geometri Euclid hanya menggambarkan ruang fizikal. Satu

implikasi daripada teori Einstein mengenai teori kerelatifan umum bahawa geometri

Euclid merupakan satu anggaran yang baik kepada sifat-sifat ruang fizikal hanyak

sekiranya medan graviti tidak terlalu kuat.

Pendekatan aksioman

Geometri Euclid merupakan satu sistem aksioman, yang mana semua teorem

(penyataan benar) adalah diambil daripada satu bilangan aksiom-aksiom yang

terhingga. Pada permulaan buku Elements yang pertama, Euclid memberikan lima

postulat (aksiom):

1. Apa-apa dua titik boleh dihubungkan dengan satu garis lurus.

2. Apa-apa tembereng garis lurus boleh dipanjangkan di dalam satu garis lurus.

3. Satu bulatan boleh dilukis dengan menggunakan satu garis lurus sebagai jejari dan

satu lagi titik hujung sebagai pusat.

4. Semua sudut serenjang adalah kongruen.

5. Postulat selari. Jika dua garis bersilangan dengan yang ketiga dalam satu cara

yang jumlah sudut dalaman adalah kurang daripada satu lagi, maka dua garis ini

mesti bersilangan di atas satu sama lain sekiranya dipanjangkan secukupnya.

Aksiom-aksiom ini menggunakan konsep-konsep berikut: titik, tembereng garislurus dan garis, sebahagian daripada satu garis, bularan dengan jejari dan pusat,

sudut serenjang, kongruen, sudut-sudut dalaman dan serenjang, jumlah. Kata-kata

kerja yang berikut muncul: sambung, dipanjangkan, lukis, silang. Bulatan ini

digambarkan dengan menggunakan postulat 3 adalah sangat unik. Postulat-postulat

3 dan 5 hanya boleh digunakan untuk geometri satah; dalam tiga dimensi, postulat 3

mentakrifkan suatu bulatan.

Satu bukti daripada buku Euclid Elements bahawa apabila diberikan satu

tembereng garis, satu segitiga sama wujud termasuklah tembereng sebagai salah

satu daripada tiga sisi. Buktinya adalah dengan cara binaan: Satu segitiga sama

dibuat dengan melukis bulatan dan berpusat pada titik-titik dan , dan dengan

mengambil satu persilangan bulatan sebagai puncak sudut ketiga bagi segitiga

tersebut.

Postulat 5 membawa kepada geometri yang sama sebagai penyataan yang berikut,

dikenali sebagai Aksiom Playfair, yang hanya boleh dipegang hanya konsep di dalam

satah itu:

Menerusi satu titik yang tidak terletak di atas satu garis lurus, hanya satu sahaja


6/13

garis yang boleh dilukis tidak akan bertemu garis yang diberi.

Postulat-postulat 1, 2, 3, dan 5 menegaskan bahawa kewujudan dan keunikan rajah-

rajah geometri, dan peegasan ini adalah satu binaan semulajadi: iaitu, kita tidak

diberitahu bahawa ada perkara tertentu wujud, tetapi kaedah-kaedah diberi untuk

mencipta dengan tidak lebih daripada satu kompas dan satu pinggiran lurus yang

tidak bertanda. Dalam kes ini, geometri Euclid adalah lebih konkrit daripada

kebanyakan sistem-sistem aksiom moden seperti teori set, yang mana kebiasaannya

menegaskan kewujudan objek-objek tanpa mengatakan bagaimana untuk membina

mereka, atau menegaskan kewujudan objek-objek yang tidak boleh dibina di dalam

ruang teori berkenaan.

Sebenarnya, binaan-binaan garis di atas kertas dan sebagainya adalah model-model

objek yang lebih baik ditakrifkan di dalam sistem formal, daripada hanya contoh-

contoh objek berkenaan. Sebagai contoh, satu garis lurus Euclid tidak mempunyai

lebar, tetapi apa-apa garis yang benar akan menjadi lebar.

Elements juga memasukkan lima notasi biasa:

1. Perkara yang sama dengan benda yang sama tetapi juga setara antara satu sama

lain.

2. Jika setara ditambahkan kepada persamaan, maka jumlah keseluruhan juga

adalah setara.

3. Jika setara ditolak daripada persamaan, maka bakinya juga adalah setara.

4. Perkara yang bertembung di antara satu sama lain juga setara antara satu samalain that coincide with one another equal one another.

5. Jumlah keseluruhan juga lebih besar daripada bahagian berkenaan.

Euclid juga menggunakan sifat-sifat lain yang berkaitan dengan magnitud. 1 adalah

satu-satunya bahagian daripada dasar logik yang Euclid lahirkan dengan terang dan

jelas. 2 dan 3 adalah prinsip-prinsip aritmetik; perhatikan bahawa makna-makna

tambah dan tolak di dalam konteks geometri asli ini telah diberi sama seperti

diambil. 1 hingga 4 secara takrifan mempunyai persamaan, yang mana boleh juga

diambil sebagai bahagian pendasaran logik atau sebagai satu keperluan hubungan

kesetaraan , seperti pertembungan, definisi yang sangat teliti. 5 adalah satu prinsip

mereologi. Keseluruhan, sebahagian, dan baki memerlukan takrifan yang tepat.

Geometri Euclid adalah pembelajaran geometri yang didasarkan pada definisi,

teorema/aksioma (titik, garis dan bidang) dan asumsi-asumsi dari seorang

matematikawan yunani (330 B.C) yakni Euclid.

Buku Euclid yang berjudul Element adalah buku pertama yang membahas tentang

geometri secara sistemetis. Banyak penemuan-penemuan Euclid telah didahului oleh

matematikawan Yunani, tatapi penemuan itu tidak terstruktur dengan rapi seperti


7/13

yang dilakukan Euclid. Euclid membuat pola deduktif secara komprehensif untuk

membentuk geometri. Pendekatan dari Euclid terdiri dari pembuktian semua

teorema dari aksioma-aksiomanya.

Geometri Euclid mempelajari bidang datar. Kita dapat dengan mudah

menggambarkannya dalam bidang datar. Kita bisa menggunakan buku atau kertas

untuk mengetahui konsep-konsep dari geometri Euclid. Dalam bidang datar kita

tahu bahwa: .

1. Jarak terpendek dari dua titik adalah sebuah garis (dari dua buah titik bisa tepat

dibuat satu garis).

2. Jumlah sudut dalam segitiga adalah 180 derajat

3. Konsep dari jarak antar garis dapat diilustrasikan seperti pada gambar ini.

Geometri Euclides sering disebut juga geometri parabolik, yaitu geometri yang

mengikuti satu himpunan proposisi yang didasarkan pada lima postulat Euclid yang

telah didefinisikan dalam bukunya The Elements. Lebih khusus, geometri Euclid

berbeda dari jenis geometri lain dalam dalil kelima, sering disebut dengaan postulat

paralel. Non-Euclidean geometri menggantikan postulat kelima ini dengan salah

satu dari dua alternatif postulat dan mengarah ke geometri hiperbolik atau geometri

eliptik. Ada dua jenis geometri Euclidean: geometri bidang, yang merupakan dimensi

Euclidean geometri-dua, dan geometri padat, yang merupakan dimensi Euclidean

geometri-tiga.

Lima postulat Euclid dapat dinyatakan sebagai berikut :

1) Hal ini dimungkinkan untuk menggambar segmen garis lurus bergabung dengan

dua titik.

2) Hal ini dimungkinkan untuk selamanya memperpanjang himpunaniap segmen

garis lurus secara terus menerus dalam garis lurus.

3) Mengingat himpunaniap segmen garis lurus, adalah mungkin untuk

menggambarlingkaran memiliki segmen sebagai jari-jari dan satu titik akhir sebagai

pusatnya.

4) Semua sudut kanan sama satu sama lain atau kongruen.

5) Jika dua garis yang ditarik sehingga mereka berpotongan sepertiga sedemikian

rupa sehingga jumlah dari sudut interior pada satu sisi kurang dari dua sudut yang

tepat, maka mereka dua baris, jika diperpanjang cukup jauh, harus berpotongan satu

sama lain pada sisi tertentu.

Dalil kelima dikenal sebagai postulat paralel. Paralel ini menyatakan bahwa postulat

diberikan himpunan tiap segmen garis lurus dan titik tidak bahwa segmen garis, ada


8/13

satu dan hanya satu garis lurus yang melewati titik itu dan tidak pernah memotong

baris pertama, tidak peduli seberapa jauh segmen garis yang diperpanjang.

Meskipun kelima postulat Euclid tidak dapat dibuktikan sebagai teorema, selama

bertahun-tahun banyak bukti diklaim diterbitkan. Banyak usaha yang ditujukan

untuk merumuskan teorema untuk mendalilkan ini karena diperlukan untuk

membuktikan hasil penting dan itu tidak tampak sebagai intuitif sebagai dalil-dalil

lainnya. Lebih dari dua ribu tahun penelitian dalil kelima ditemukan untuk menjadi

independen dari empat lainnya. Ini adalah postulat kelima ini yang harus terus

untuk geometri untuk dipertimbangkan Euclidean.

Pada tahun 1826 Nikolay Lobachevsky dan pada tahun 1832 Jnos Bolyai,

dikembangkan secara independennon-Euclidean geometri yang konsisten diri

sepenuhnya di mana postulat kelima tidak menjadi pegangan. Johann Carl Friedrich

Gauss pernah menemukan ini tapi hasilnya tidak dipublikasikan. Euclid berusaha

menghindari menggunakan postulat kelima dan berhasil dalam proposisi pertama

28 The Elements, tetapi untuk proposisi 29 ia membutuhkannya. Bagian dari

geometri yang dapat diturunkan hanya dengan menggunakan empat pertama

postulat Euclid kemudian dikenal sebagai geometri absolut. Sebagaimana

dinyatakan di atas, dalil kelima dan karenanya paralel dalil menggambarkan

geometri Euclidean. Jika bagian dari postulat paralel diganti dengan garis tidak ada

yang melewati titik geometri maka elips atau bulat dijelaskan.Jika bagian daripostulat paralel diganti dengan minimal dua baris ada terjadilah bahwa melalui titik

bahwa maka geometri hiperbolik dijelaskan.

Seperti dinyatakan di atas, dua jenis geometri Euclidean, geometri bidang dan

geometri padat, yang jelas berbeda. Geometri bidang adalah bagian dari geometri

dalam ruang dua dimensi yang berhubungan dengan gambaran dari bidang, seperti

garis, lingkaran dan poligon. Geometri padat adalah bagian dari geometri dalam

ruang tiga-dimensi yang berhubungan dengan makanan padat, seperti polyhedra,

bola, dan garis dan bidang. Dalam kedua jenis kelima postulat Euclidean geometri

Euclid sesuai, tetapi masing-masing menggambarkan tokoh dalam berbagai jenis

ruang. Ruang Euclidean adalah ruang semua-tuple n bilangan real dan

dilambangkan sebagai R^n. Ruang ini adalah ruang vektor dan memiliki dimensi

topologi (Lebesgue dimensi meliputi) n (lihat topologi). Contravariant dan jumlah

kovarian yang himpunanara dalam ruang Euclidean. R^1 adalah garis yang nyata,

yaitu garis dengan skala tetap yang nomor sesuai dengan poin yang unik pada baris.

Generalisasi garis nyata di-dimensi ruang dua disebut bidang Euclidean dan

dinotasikan R^2.


9/13

Geometri Euclides

Geometri Euclides sering disebut juga geometri parabolik, yaitu geometri yang

mengikuti satu himpunan proposisi yang didasarkan pada lima postulat Euclid yang

telah didefinisikan dalam bukunya The Elements. Lebih khusus, geometri Euclid

berbeda dari jenis geometri lain dalam dalil kelima, sering disebut dengaan postulat

paralel. Non-Euclidean geometri menggantikan postulat kelima ini dengan salah

satu dari dua alternatif postulat dan mengarah ke geometri hiperbolik atau geometri

eliptik. Ada dua jenis geometri Euclidean: geometri bidang, yang merupakan dimensi

Euclidean geometri-dua, dan geometri padat, yang merupakan dimensi Euclidean

geometri-tiga.

Lima postulat Euclid dapat dinyatakan sebagai berikut :

1) Hal ini dimungkinkan untuk menggambar segmen garis lurus bergabung dengan

dua titik.

2) Hal ini dimungkinkan untuk selamanya memperpanjang himpunaniap segmen

garis lurus secara terus menerus dalam garis lurus.

3) Mengingat himpunaniap segmen garis lurus, adalah mungkin untuk

menggambarlingkaran memiliki segmen sebagai jari-jari dan satu titik akhir sebagai

pusatnya.

4) Semua sudut kanan sama satu sama lain atau kongruen.

5) Jika dua garis yang ditarik sehingga mereka berpotongan sepertiga sedemikianrupa sehingga jumlah dari sudut interior pada satu sisi kurang dari dua sudut yang

tepat, maka mereka dua baris, jika diperpanjang cukup jauh, harus berpotongan satu

sama lain pada sisi tertentu.

Dalil kelima dikenal sebagai postulat paralel. Paralel ini menyatakan bahwa postulat

diberikan himpunan tiap segmen garis lurus dan titik tidak bahwa segmen garis, ada

satu dan hanya satu garis lurus yang melewati titik itu dan tidak pernah memotong

baris pertama, tidak peduli seberapa jauh segmen garis yang diperpanjang.

Meskipun kelima postulat Euclid tidak dapat dibuktikan sebagai teorema, selama

bertahun-tahun banyak bukti diklaim diterbitkan. Banyak usaha yang ditujukan

untuk merumuskan teorema untuk mendalilkan ini karena diperlukan untuk

membuktikan hasil penting dan itu tidak tampak sebagai intuitif sebagai dalil-dalil

lainnya. Lebih dari dua ribu tahun penelitian dalil kelima ditemukan untuk menjadi

independen dari empat lainnya. Ini adalah postulat kelima ini yang harus terus

untuk geometri untuk dipertimbangkan Euclidean.


10/13

Pada tahun 1826 Nikolay Lobachevsky dan pada tahun 1832 Jnos Bolyai,

dikembangkan secara independennon-Euclidean geometri yang konsisten diri

sepenuhnya di mana postulat kelima tidak menjadi pegangan. Johann Carl Friedrich

Gauss pernah menemukan ini tapi hasilnya tidak dipublikasikan. Euclid berusaha

menghindari menggunakan postulat kelima dan berhasil dalam proposisi pertama

28 The Elements, tetapi untuk proposisi 29 ia membutuhkannya. Bagian dari

geometri yang dapat diturunkan hanya dengan menggunakan empat pertama

postulat Euclid kemudian dikenal sebagai geometri absolut. Sebagaimana

dinyatakan di atas, dalil kelima dan karenanya paralel dalil menggambarkan

geometri Euclidean. Jika bagian dari postulat paralel diganti dengan garis tidak ada

yang melewati titik geometri maka elips atau bulat dijelaskan.Jika bagian dari

postulat paralel diganti dengan minimal dua baris ada terjadilah bahwa melalui titik

bahwa maka geometri hiperbolik dijelaskan.

Seperti dinyatakan di atas, dua jenis geometri Euclidean, geometri bidang dan

geometri padat, yang jelas berbeda. Geometri bidang adalah bagian dari geometri

dalam ruang dua dimensi yang berhubungan dengan gambaran dari bidang, seperti

garis, lingkaran dan poligon. Geometri padat adalah bagian dari geometri dalam

ruang tiga-dimensi yang berhubungan dengan makanan padat, seperti polyhedra,

bola, dan garis dan bidang. Dalam kedua jenis kelima postulat Euclidean geometri

Euclid sesuai, tetapi masing-masing menggambarkan tokoh dalam berbagai jenisruang. Ruang Euclidean adalah ruang semua-tuple n bilangan real dan

dilambangkan sebagai R^n. Ruang ini adalah ruang vektor dan memiliki dimensi

topologi (Lebesgue dimensi meliputi) n (lihat topologi). Contravariant dan jumlah

kovarian yang himpunanara dalam ruang Euclidean. R^1 adalah garis yang nyata,

yaitu garis dengan skala tetap yang nomor sesuai dengan poin yang unik pada baris.

Generalisasi garis nyata di-dimensi ruang dua disebut bidang Euclidean dan

dinotasikan R^2.

7 Tokoh Ilmuwan Matematika Islam

1.Al-Khawarizm

Mungkin kita sudah sering mendengar istilah algoritma, Dalam kamus besar bahasa

Indonesia algoritma berarti prosedur sistematis untuk memecahkan masalah matematis dalamlangkah-langkah terbatas. Sebenarnya nama algoritma diambil dari nama julukan penemunya


11/13

yaitu al-Khawarizmi seorang matematikawan muslim yang dilahirkan di Khawarizm,

Uzbekistan.

Al-Khawarizmi (Khawarizm,Uzbekistan, 194 H/780 M-Baghdad, 266 H/850 M). Ilmuwan

muslim, ahli di bidang ilmu matematika, astronomi, dan geografi. Nama lengkapnya adalah

Abu Jafar Muhammad bin Musa al-Khawarizmi dan di barat ia lebih dikenal dengan nama

Algoarisme atau Algorisme.Dalam bukunya al-Khawarizmi memperkenalkan kepada dunia ilmu pengetahuan angka 0

(nol) yang dalam bahasa arab disebut sifr. Sebelum al-Khawarizmi memperkenalkan angka

nol, para ilmuwan mempergunakan abakus, semacam daftar yang menunjukkan satuan,

puluhan, ratusan, ribuan, dan seterusnya, untuk menjaga agar setiap angka tidak saling

tertukar dari tempat yang telah ditentukan dalam hitungan. Akan tetapi, hitungan seperti ini

tidak mendapat sambutan dari kalangan ilmuwan Barat ketika itu dan mereka lebih tertarik

untuk mempergunakan raqam al-binji (daftar angka arab, termasuk angka nol), hasil

penemuan al-khawarizmi. Dengan demikian angka nol baru dikenal dan dipergunakan orang

Barat sekitar 250 tahun setelah ditemukan al-Khawarizmi.

2. Al-Kindi

Al-Kindi hidup pada masa penerjemahan besar-besaan karya-karya Yunani ke dalam bahasa

Arab. Dan memang, sejak didirikannya Bayt al-Hikmah oleh al-Mamun, al-Kindi sendiri

turut aktif dalam kegiatan penerjemahan ini. Di samping menerjemah, al-Kindi juga

memperbaiki terjemahan-terjemahan sebelumnya. Karena keahlian dan keluasan

pandangannya, ia diangkat sebagai ahli di istana dan menjadi guru putra Khalifah al-Mutasim, Ahmad.

Ia adalah filosof berbangsa Arab dan dipandang sebagai filosof Muslim pertama. Memang,

secara etnis, al-Kindi lahir dari keluarga berdarah Arab yang berasal dari suku Kindah, salah

satu suku besar daerah Jazirah Arab Selatan. Salah satu kelebihan al-Kindi adalah

menghadirkan filsafat Yunani kepada kaum Muslimin setelah terlebih dahulu mengislamkan

pikiran-pikiran asing tersebut.

Al-Kindi telah menulis hampir seluruh ilmu pengetahuan yang berkembang pada saat itu.

Tetapi, di antara sekian banyak ilmu, ia sangat menghargai matematika. Hal ini disebabkan

karena matematika, bagi al-Kindi, adalah mukaddimah bagi siapa saja yang ingin

mempelajari filsafat. Mukaddimah ini begitu penting sehingga tidak mungkin bagi seseorang

untuk mencapai keahlian dalam filsafat tanpa terlebih dulu menguasai matematika.Matematika di sini meliputi ilmu tentang bilangan, harmoni, geometri dan astronomi.

3.Al-Karaji

Di era keemasan Islam, para ilmuwan Muslim memang telah menguasai bidang hidrologi.

Penguasaan di bidang ini meliputi masalah penyediaan berbagai sarana air bersih,

pengendalian gerakan air, serta penemuan berbagai teknologi hidrologi.


12/13

Ilmuwan Muslim pada masa itu telah mampu mengintegrasikan, mengadaptasi dan

memperbaiki teknik irigasi dan metode distribusi air warisan dari keahlian lokal atau

peradaban kuno. Pada awal abad ke-8 M, peradaban Islam telah menguasai teknologi mesin

air.

Hal itu diungkapkan Mohammed Abattouy dalam karyanya bertajuk Muhammad Al-Karaji:

A Mathematician Engineer from the Early 11th Century. Menurut Abattouy, pengusaanteknologi mesin air di dunia Islam telah melahirkan sebuah revolusi pertanian yang berbasis

pada penguasaan di bidang hidrologi.

Sejarawan sains modern memandang al-Karaji sebagai ahli matematika berkaliber tertinggi.

Karyanya yang kekal pada bidang matematika masih diakui hingga hari ini, yakni mengenai

kanonik tabel koefisien binomium (dalam pembentukan hukum dan perluasan bentuk).

Al-Karaji dianggap sebagai ahli matematika terkemuka dan pandang sebagai orang pertama

yang membebaskan aljabar dari operasi geometris yang merupakan produk aritmatika Yunani

dan menggantinya dengan jenis operasi yang merupakan inti dari aljabar pada saat ini.

Karyanya pada aljabar dan polynomial memberikan aturan pada operasi aritmatika untuk

memanipulasi polynomial. Dalam karya pertamanya di Prancis, sejarawan matematika Franz

Woepcke (dalam Extrait du Fakhri, traite dAlgbre par abou Bekr Mohammed Ben Alhacan

Alkarkhi, Paris, 1853), memuji Al-Karaji sebagai ahli matematika pertama di dunia yang

memperkenalkan teori aljabar kalkulus

Al-Karaji menginvestigasikan koefisien binomium segitiga Pascal. Dia juga yang pertama

menggunakan metode pembuktian dengan induksi matematika untuk membuktikan hasilnya,

ia berhasil membuktikan kebenaran rumus jumlah integral kubus, yang sangat penting

hasilnya dalam integral kalkulus.

4. Al-Batani

Zaman keemasan Islam juga melahirkan pakar-pakar di bidang trigonometri. Mereka antara

lain adalah Al-Battani (850-929), Al-Biruni (973-1050), dan Umar Khayyam. Al-Battani atau

Muhammad Ibn Jabir Ibn Sinan Abu Abdullah dikenal sebagai bapak trigonometri. Ia lahir di

Battan, Mesopotamia, dan meninggal di Damaskus pada tahun 929. Al-Battani adalah tokoh

bangsa Arab dan gubernur Syria. Dia merupakan astronom Muslim terbesar dan ahli

matematika ternama.

Al-Battani melahirkan trigonometri untuk level lebih tinggi dan orang pertama yang

menyusun tabel cotangen.

5. Al-Biruni

Al-Biruni adalah peletak dasar-dasar trigonometri modern. Dia seorang filsuf, ahli geografi,

astronom, ahli fisika, dan pakar matematika. Enam ratus tahun sebelum Galgeo, Al-Birunitelah membahas teori-teori perputaran (rotasi) bumi pada porosnya.


13/13

Al-Biruni juga memperkenalkan pengukuran-pengujuran geodesi dan menentukan keliling

bumi dengan cara yeng lebih akurat. Dengan bantuan matematika, dia dapat menentukan arah

kiblat dari berbagai macam tempat di dunia.

6. Umar Khayam

Selain itu, tokoh matematika lain yang tak kalah terkenal adalah Umar Khayyam. Kendati ia

lebih dikenal sebagai seorang penyair, namun Umar Khayyam memiliki kontribusi besar

dalam bidang matematika, terutama dalam bidang aljabar dan trigonometri. Ia merupakan

matematikawan pertama yang menemukan metode umum penguraian akar-akar bilangan

tingkat tinggi dalam aljabar, dan memperkenalkan solusi persamaan kubus.

7. Ibnu Sina

seorang tokoh cendekiawan muslim yang besar di bidang kedokteran, seorang ilmuwan yang

magnum opus-nya berjudul Canon (al-Qanun fi al-Tibb) menjadi buku teks kedokteran di

universitas-universitas Eropa selama lebih dari 5 abad. Selain itu, dia juga seorang ahli

geologi, ahli matematika (termasuk aljabar yang merupakan kesatuan dari eksponen), ahli

fisika, penyair, psikolog, ilmuwan, tentara, negarawan, dan seorang guru. Lahir di daerah

Bukhara, Asia Tengah, pada tahun 981 Masehi. Bakat dan ketekunannya yang besar

mengantarkan menjadi dokter yang diakui masyarakat Bukhara pada usia17 tahun. Bagi

banyak orang, beliau adalah Bapak Pengobatan Modern. Dia juga pendiri Avicennian

logika dan filosofis dari sekolah Avicennism, yang berpengaruh pada kaum Muslim dan

sekolah pemikir

MITEM FITRIADI

Documents

Transcript of MITEM FITRIADI