Jurusan Pendidikan Teknik Informatika

2013

Metode Numerik Solusi Sistem Persamaan Lanjar [lanjutan] Pengampu : Luh Putu Eka Damayanthi, S.Pd., M.Pd

1.1 Determinan

Pada pembahasan matriks balikan kita telah menyinggung sedikit tentang

determinan. Menghitung determinan matriks 2 x 2 sangat mudah. Misalkan matriks A

adalah matriks

=

2221

1211

aa

aaA

determinan matriks A adalah

( ) 211222112221

1211det aaaaaa

aaA −==

Begitupun menghitung determinan untuk matriks 3 x 3

=

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

maka determinannya dihitung dengan aturan Cramer

( )

( ) ( ) ( )312232211331233321123223332211

3231

222113

3331

232112

3332

232211

333231

232221

131211

det

aaaaaaaaaaaaaaa

aa

aaa

aa

aaa

aa

aaa

aaa

aaa

aaa

A

−+−−−=

+−=

=

Menghitung determinan untuk matriks n x n dengan aturan Cramer menjadi tidak praktis

lagi. Metode eliminasi Gauss dapat diterapkan untuk menghitung determinan matriks n

x n. Determinannya dapat dihitung setelah ia ditransformasikan menjadi matriks segitiga

atas U. Pertama-tama kita lihat dulu dua hukum penting determinan.

Hukuk I : det(BC) = det(B) x det(C)

yaitu, determinan dari perkalian dua buah matriks sama dengan perkalian determinan

masing-masing matriks.

Hukum II : det(M) = hasil kali semua elemen diagonal M jika M adalah matriks

segitiga atas atau matriks segitiga bawah.

Jadi, jika semua elemen diagonal matriks adalah satu, maka determinannya sama

dengan satu. Dalam menghitung determinan, pertimbangkan dua kasus berikut: 1) bila

eliminasi Gauss-nya tanpa pivoting dan 2) bila eliminasi Gauss-nya dengan pivoting.

Kasus I : Bila eliminasi Gauss tidak menerapkan tataancang pivoting

Jika pivoting tidak diterapkan, determinan matriks A adalah

det(A) = det(LU) = det(L) x det(U) = det(U) = u11u22u33 ... unn

yang dalam hal ini det(L) = 1, sebab semua elemen diagonal L adalah satu.

Kasus II : Bila eliminasi Gauss menerapkan tataancang pivoting

Tataancang pivoting mengakibatkan pertukaran baris. Dekomposisis LU dengan

pivoting setara dengan mengerjakan dua proses terpisah berikut:

1) Transformasikan matriks A menjadi matriks A’ dengan cara permutasi baris-baris

matriks.

A ’ = PA atau setara dengan A = P-1 A’

2) Dekomposisikan A’ menjadi LU tanpa pivoting

A ’ = LU

Dari (1) dan (2), L dan U dihubungkan oleh

A = P-1 A’ = P-1LU

Determinan A dapat ditulis sebagai

det(A) = det(P-1) x det(L) x det(U)

det(A) = det(P-1) x 1 x det(U)

det(A) = det(P-1) x det(U)

det(A) = α det(U)

yang dalam hal ini α = det(P-1) = -1 atau 1 bergantung pada apakah pivoting sejumlah

bilangan ganjil atau genap. Jika pivoting dilakukan sejumlah kali, maka α dapat ditulis

sebagai

α = (-1)p

yang bernilai 1 untuk p genap dan -1 untuk p ganjil. Karena itu,

det(A) = (-1)p det(U) = (-1)p u11 u22 u33 ... unn

Contoh 1: Hitung determinan matriks A berikut.

−−−−

=132

344

132

A

Jawab:

( ) ( )

−−−−

−−

−−−−

−−−

−−−−

500

120

132

2/6260

120

132

2/2

2/4

132

344

132

2313

12

RRRR

RR

Tidak ada proses pivoting selama eliminasi Gauss, maka

det(A) = (2) (-2) (-5) = 20

Contoh 2: Hitung determinan matriks A berikut.

=482

063

121

A

Jawab:

⇔

−−

100

040

063

(*)040

100

063

3/2

3/1

482

121

063

32

13

12 RR

RR

RR

Pivoting diterapkan dua kali (p=2), sehingga determinan matriks A adalah

det(A) = (1)2 (3) (4) (1) = 12

1.2 Metode Lelaran untuk Menyelesaikan SPL

Metode eliminasi Gauss melibatkan banyak galat pembulatan. Galat pembulatan

yang terjadi pada eliminasi Gauss (maupun eliminasi Gauss-Jordan) dapat

menyebabkan solusi yang diperoleh “jauh” dari solusi sebenarnya. Gagasan metode

lelaran pada pencarian akar persamaan nirlanjar dapat juga diterapkan untuk

menyelesaikan SPL. Dengan metode lelaran, galat pembulatan dapat diperkecil, karena

kita dapat meneruskan lelaran sampai solusinya seteliti mungkin, sesuai dengan batas

galat yang kita perbolehkan. Dengan kata lain, besar galat dapat dikendalikan sampai

batas yang bisa diterima.

Pandang kembali sistem persamaan lanjar

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

=+++

=+++=+++

...

:

...

...

2211

22222121

11212111

Dengan syarat akk ≠ 0, k = 1, 2, ..., n, maka persamaan lelarannya dapat ditulis sebagai

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

nn

knnn

kn

knnnk

n

knn

kkk

knn

kkk

a

xaxaxabx

a

xaxaxabx

a

xaxaxabx

112211

22

2323121212

11

1313212111

...

:

...

...

−−+

+

+

−−−=

−−−=

−−−=

dengan k = 0, 1, 2, ...

Lelaran dimulai dengan memberikan tebakan awal untuk x1

( )

( )

( )

=

0

02

01

0:

nx

x

x

x

Sebagai kondisi berhenti lelarannya, dapat digunakan pendekatan galat relatif

( ) ( )

( ) ε<−+

+

1

!

ki

ki

ki

x

xx untuk semua i = 1, 2, 3, ..., n

Syarat cukup agar lelarannya konvergen adalah sistem dominan secara diagonal

∑≠=

>n

ijjijii aa

,1

, i = 1, 2, 3, ..., n

Syarat cukup ini berarti bahwa agar lelarannya konvergen, cukup dipenuhi syarat itu.

Jika kondisi tersebut dipenuhi, kekonvergenan dijamin. Namun bila syarat cukup tidak

dipenuhi, lelarannyabelum tentu konvergen. Kekonvergenan juga ditentukan oleh

pemilihan tebakan awal. Tebakan awal yang terlalu jauh dari solusi eksaknya dapat

menyebabkan lelaran divergen.

Ada dua metode lelaran yang akan dibahas, yaitu:

1. Metode lelaran Jacobi

2. Metode lelaran Gauss-Seidel

1.2.1 Metode Lelaran Jacobi

Persamaan lelarannya adalah seperti yang ditulis di atas. Misalkan diberikan tebakan

awal x(0)

Lelaran pertama:

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

nn

nnnnnnnn

nn

nn

a

xaxaxabx

a

xaxaxabx

a

xaxaxabx

011

022

011

22

02

0323

012121

2

11

01

0313

021211

1

...

:

...

...

−−−−−=

−−−=

−−−=

Lelaran kedua:

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

nn

nnnnnnnn

nn

nn

a

xaxaxabx

a

xaxaxabx

a

xaxaxabx

111

122

112

22

12

1323

112122

2

11

11

1313

121212

1

...

:

...

...

−−−−−=

−−−=

−−−=

Rumus umum:

( )

( )

ii

n

ijj

kjiji

ki a

xab

x∑

≠=+

−= ,11 , k = 0, 1, 2, ...

1.2.2 Metode Lelaran Gauss-Seidel

Kecepatan konvergen pada lelaran Jacobi dapat dipercepat bila setiap harga xi yang baru

dihasilkan segera dipakai pada persamaan berikutnya untuk menentukan harga xi+1 yang

lainnya.

Lelaran pertama:

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

44

1343

1242

114141

4

33

0434

1232

113131

3

22

0424

0323

112121

2

11

0414

0313

021211

1

a

xaxaxabx

a

xaxaxabx

a

xaxaxabx

a

xaxaxabx

−−−=

−−−=

−−−=

−−−=

Lelaran kedua:

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

44

2343

2242

214142

4

33

1434

2232

213132

3

22

1424

1323

212122

2

11

1414

1313

121212

1

a

xaxaxabx

a

xaxaxabx

a

xaxaxabx

a

xaxaxabx

−−−=

−−−=

−−−=

−−−=

Rumus umum:

( )

( ) ( )

11

1

1

1

1

1

a

xaxab

x

n

ij

kjij

i

j

kjiji

ki

∑∑+=

−

=

+

+

−−= , k = 0, 1, 2, ...

Program 1. Metode Lelaran Gauss-Seidel

procedure Gauss_Seidel(A:matriks; b:vektor; n:integ er; var x:vektor);

{ Menghitung solusi sistem persamaan lanjar Ax = b dengan metode Gauss-Seidel. Diandaikan lelaran selalu konvergen

K.Awal : A dan b sudah terdefinisi harganya; x sudah berisi vektor tebakan awal

K.Akhir : x berisi solusi SPL } const epsilon = 0.000001; var i,j:integer; konvergen : boolean; sigma1, sigma2 : real; xlama:vektor; begin repeat for i:=1 to n do begin xlama[i]:=x[i]; {simpan nilai x[i] sebelum nya} sigma1:=0; for j:=1 to i-1 do sigma1:=sigma1 + a[i,j]*x[j]; sigma2:=0; for j:=i+1 to n do sigma2:=sigma2 + a[i,j]*x[j]; x[i]:=(b[i]-sigma1-sigma2)/a[i,i]; {a[i ,i]<>0} end; {periksa kekonvergenan} konvergen:=true; i:=1; while (konvergen) and (i<=n) do begin {bila salah satu dari x[i], i=1,2,...,n tid ak memenuhi abs(xlama[i]-x[i])<epsilon berart i lelaran belum konvergen} if abs(xlama[i]-x[i])>epsilon then konvergen:=false; {belum konvergen} {end if} i:=i+1; end; until konvergen; end;

Contoh 1. Tentukan solusi SPL

1552

2184

74

=++−−=+−

=+−

zyx

zyx

zyx

dengan nilai awal P0 = (x0, y0, z0) = (1, 2, 2)

(solusi sejatinya adalah (2, 4, 3))

Jawab:

a) Metode lelaran Jacobi

Persamaan lelarannya:

5

2158

4214

7

1

1

1

rrr

rrr

rrr

yxz

zxy

zyx

−+=

−+=

−+=

+

+

+

Lelarannya:

( )

( )000.3

5

21215

375.38

21421

75.14

227

1

1

1

=−+=

=++=

=−+=

z

y

x

( )

( )

....

025.35

375.375.1215

875.38

00.3375.3421

84375.14

00.3375.37

2

2

2

=−+=

=−+=

=−+=

z

y

x

x19 = 2.00000000

y19 = 4.00000000

z19 = 3.00000000

b) Metode lelaran Gauss-Seidel

Persamaan lelarannya:

5

2158

4214

7

1

1

1

rrr

rrr

rrr

yxz

zxy

zyx

−+=

−+=

−+=

+

+

+

Lelarannya:

( )

( )000.3

5

75.375.1215

75.38

275.1421

75.14

227

1

1

1

=−+=

=++=

=−+=

z

y

x

( )

( )

....

98625.25

968375.395.1215

968375.38

95.295.1421

95.14

95.275.37

2

2

2

=−+=

=−+=

=−+=

z

y

x

x10 = 2.00000000

y10 = 4.00000000

z10 = 3.00000000

Latihan Menghitung:

1. Diberikan sistem persamaan lanjar Ax = b dengan A dan b sebagai berikut:

−−

−

=

2146

1224

8452

1321

A

−=

4

2

8

10

b

a. Tentukan solusinya dengan metode eliminasi Gauss

b. Tentukan determinan matriks A

c. Tentukan solusinya dengan metode eliminasi Gauss-Jordan

d. Tentukan solusinya dengan metode matriks balikan

e. Tentukan solusinya dengan metode dekomposisi LU

f. Tentukan solusinya dengan metode lelaran Gauss-Seidel

g. Tentukan solusinya dengan metode lelaran Jacobi

Terapkan strategi pivoting untuk (a), (b), (c), (d), dan (e).

2. Diberikan SPL Ax = b

−=

421

4350

30001002

A

=1

10

200

b

Tentukan solusinya sampai 4 angka bena dengan:

a. Metode eliminasi Gauss tanpa penskalaan

b. Metode eliminasi Gauss dengan penskalaan

3. Pecahkan sistem persamaan lanjar berikut dengan metode eliminasi Gauss:

( )200332000

622.15065.1500122.6

=+=+

yx

yxi

( )132

05.1001.1

=+=+

yx

yxii

a. Tanpa pivoting (naif)

b. Dengan pivoting

Referensi:

Rinaldi Munir, 2002. Metode Numerik untuk Teknik Informatika Edisi Kedua (Revisi). Bandung: Departemen Teknik Informatika, Fakultas Teknologi Industri, Institut Teknologi Bandung