MATEMATIKA TEKNIK

METODE SIMSON 1/3

Oleh :

A.A. NGURAH AGUNG ANGGA PRADHANA 1591561036

A.A. AYU ISTRI LAKSEMANA DEWI 1591561037

PROGRAM STUDI TEKNIK SIPIL

PASCASARJANA

UNIVERSITAS UDAYANA

2015

METODE SIMSON 1/3

Di samping menggunakan rumus trapesium dengan interval yang lebih kecil, cara lain

untuk mendapatkan perkiraan yang lebih teliti adalah menggunakan polinomial order lebih tinggi

untuk menghubungkan titik-titik data. Misalnya, apabila terdapat satu titik tambahan di antara f

(a) dan f (b), maka ketiga titik dapat dihubungkan dengan fungsi parabola (Gambar 7.5a).

Didapat

I=∫a

b

f ( x ) dx ≈∫a

b

f 2 (x ) dx

Dimana f 2 ( x )=a0+a1 x+a2 x2

Digunakan

(a , f (a ) ) ,( a+b2

, f ( a+b2 )) , (b , f ( b ) ) ,

Ketiga nilai diatas diinput ke persamaan f 2 ( x )=a0+a1 x+a2 x2 sehingga di dapatkan data – data

sebagai berikut :

f ( a )=a0+a1 a+a2 a2

f ( a+b2 )=a0+a1( a+b

2 )+a2( a+b2 )

2

f (b )=a0+a1 b+a2b2

Dari ketiga persamaan diatas, maka nilai a0 , a1, dan a2 didapatkan

a0=a2 f (b )+abf (b )−4 abf ( a+b

2 )+abf (a )+b2 f (a)

a2−2ab+b2

a1=−af (a )−4 af ( a+b

2 )+3 af (b )+3 bf (a )−4 bf ( a+b2 )+bf (b)

a2−2 ab+b2

a2=2( f (a )−2 f ( a+b

2 )+ f (b))a2−2 ab+b2

Sehingga

I ≈∫a

b

f 2 ( x ) dx

I ≈∫a

b

(a0+a1 x+a2 x2)dx

I=[a0 x+a1x2

2+a2

x3

3 ]a

b

I=a0 (b−a )+a1b2−a2

2+a2

b3−a3

3

Substitusi nilai a0 , a1, dan a2

∫a

b

f ( x )dx=b−a6 [ f ( a )+4 f ( a+b

2 )+ f (b)] Simson 1/3 dibagi menjadi 2 bagian segment, dengan panjang masing – masing segment

h=b−a2

Sehingga formula Simsons 1/3 menjadi

∫a

b

f ( x )dx=h3 [ f ( a )+4 f ( a+b

2 )+ f (b)] Pias Banyak pada simsons 1/3

Sama seperti pias banyak pada metode trapesium, jumlah segment pada simpsons 1/3 juga dapat

dibagi menjadi n-pias dan mengaplikasikan formula Simpsons 1/3 berulang – ulang setiap dua

buah pias / segment. Dengan catatan jumlah nilai n diharuskan berupa bilangan genap, sehingga

panjang masing – masing segment menjadi h=b−an

I=∫a

b

f ( x ) dx ≈∫x0

xn

f 2 (x ) dx

Dimana

x0=a

xn=b

∫a

b

f ( x )dx=∫x0

x2

f ( x )dx+∫x2

x4

f (x ) dx+. . ..+∫xn−4

xn−2

f ( x ) dx+∫xn−2

xn

f ( x ) dx

Aplikasikan formula simpsons 1/3 pada setiap interval,

∫a

b

f ( x )dx ≅ x2−x0[ f ( x0 )+4 f ( x1 )+ f ( x2 )6 ]+ x4−x2[ f ( x2)+4 f ( x3 )+ f ( x4 )

6 ]+. . . .+xn−2−xn−4[ f ( xn−2 )+4 f ( xn−3 )+ f ( xn−4 )6 ]+xn−xn−2[ f ( xn )+4 f ( xn−1)+ f ( xn−2 )

6 ] Dengan

x i−x i−2=2h dengan nilai i= 2, 4, . . . , n

∫a

b

f ( x )dx ≅ 2 h[ f ( x0 )+4 f ( x1 )+f ( x2 )6 ]+2 h[ f ( x2 )+4 f ( x3 )+ f ( x4 )

6 ]+. . . .+2h[ f ( xn−2 )+4 f ( xn−3 )+ f ( xn−4 )6 ]+2 h[ f ( xn )+4 f ( xn−1 )+f ( xn−2 )

6 ]

∫a

b

f ( x )dx ≅ h3 [ f ( x0 )+4 {f ( x1 )+ f ( x3)+ .. .+ f ( xn−1 ) }+2 {f ( x2 )+ f ( x4 )+. . .+ f ( xn−2 )}+ f ( xn) ]

∫a

b

f ( x )dx ≅h3 [ f ( x0 )+4 ∑

i=1i=ganjil

n−1

f ( x i )+2 ∑i=2

i=genap

n−2

f ( x i )+ f (xn)] Sehingga

∫a

b

f ( x )dx ≅b−a3n [ f ( x0 )+4 ∑

i=1i=ganjil

n−1

f ( x i )+2 ∑i=2

i=genap

n−2

f ( x i )+ f (xn)]

Contoh soal:

Gunakan metode simpsons 1/3 untuk menghitung, I=∫

0

4

e x dx .

Penyelesaian eksak:

Bentuk integral diatas dapat diselesaikan secara analitis:

I =∫0

4

ex dx=[ex ]04=[e4−e0 ]=53 ,598150 .

Penyelesaian simpsons 1/3

Dengan menggunakan formula simpsons 1/3 maka luas bidang adalah:

Ai=b−a

6[ f (a )+4 f (c ) + f (b )] = 4−0

6(e0+ 4e2+ e4 ) = 56 , 7696 .

Kesalahan terhadap nilai eksak:

ε t=53 ,598150− 56 , 769653 ,598150

×100 %= −5 , 917 % .

Penyelesaian simson 1/3 banyak pias:

Dengan menggunakan persamaan (7.19) maka luas bidang adalah:

I = 13

[ e0+ e4+ 4( e1+ e3 ) + 2 e2 ] = 53 ,863846.

Kesalahan terhadap nilai eksak:

ε t=53 , 598150−53 , 86384653 , 598150

×100 % = 0,5 %.

Skala 1:100000

0 105

6

3

15

9

Contoh soal:

Menghitung Luas Daerah Berdasarkan Gambar

• Untuk menghitung luas integral di peta di atas, yang perlu dilakukan adalah menandai

atau membuat garis grid pada setiap step satuan h yang dinyatakan dalam satu kotak. Bila

satu kotak mewakili 1 mm, dengan skala yang tertera maka berarti panjangnya adalah

100.000 mm atau 100 m.

• Pada gambar di atas, mulai sisi kiri dengan grid ke 0 dan sisi kanan grid ke n (dalam hal

ini n=16). Tinggi pada setiap grid adalah sebagai berikut:

Penyelesaian :

∫a

b

f ( x )dx ≅b−a3n [ f ( x0 )+4 ∑

i=1i=ganjil

n−1

f ( x i )+2 ∑i=2

i=genap

n−2

f ( x i )+ f (xn)] a = 0 ; b = 16 ; n = 16

∫0

16

f ( x )dx ≅ 16−03n [ f ( x0 )+4 f ( x1 )+2 f ( x2 )+4 f ( x3 )+2 f ( x4 )+4 f ( x5 )+2 f ( x6 )+4 f ( x7 )+2 f ( x8 )+4 f ( x9 )+2 f ( x10 )+4 f ( x11)+2 f ( x12 )+4 f ( x13 )+2 f ( x14 )+4 f ( x15)+2 f ( x16 ) ]

∫0

16

f ( x )dx ≅ 16−03.16

[0+4 (1 )+2 (2.5 )+4 (4.5 )+2 (6 )+4 (7 )+2 (6.5 )+4 (6 )+2 (6 )+4 (6.5 )+2 (6.5 )+4 (6 )+2 (5.5 )+4 (3.5 )+2 (3 )+4 (3 )+2 (0 ) ]

∫0

16

f ( x )dx ≅ 13

[ 0+4+5+18+12+28+13+24+12+26+13+24+11+14+6+12+0 ]

∫0

16

f ( x )dx ≅ 13

. 222

∫0

16

f ( x )dx ≅ 74 satuan