RISET OPERASIONALRISET OPERASIONAL

Mikhratunnisa, S.Si.,M.Si.Email: mikhratunnisa.14@gmail.comMikhratunnisa, S.Si.,M.Si.Email: mikhratunnisa.14@gmail.com

JURUSAN TEKNOLOGI INDUSTRI PERTANIAN

FAKULTAS TEKNOLOGI PERTANIAN

UNIVERSITAS TEKNOLOGI SUMBAWA

METODE SIMPLEKSMETODE SIMPLEKS

Persoalan program linier tidak selalu sederhana karenamelibatkan banyak kendala dan banyak variabel, sehinggatidak mungkin diselesaikan dengan metode grafik. Olehkarena itu serangkaian prosedur matematik (aljabarlinier) diperlukan untuk mencari solusi dari persoalanyang rumit tersebut. Prosedur yang paling luas digunakanadalah metode simpleks.

Persoalan program linier tidak selalu sederhana karenamelibatkan banyak kendala dan banyak variabel, sehinggatidak mungkin diselesaikan dengan metode grafik. Olehkarena itu serangkaian prosedur matematik (aljabarlinier) diperlukan untuk mencari solusi dari persoalanyang rumit tersebut. Prosedur yang paling luas digunakanadalah metode simpleks.

Bentuk standar

Maksimumkan/minimumkan:

Fungsi Pembatas/kendala:

nnXCXCXCXCZ ...

332211

Bentuk standar

Maksimumkan/minimumkan:

Fungsi Pembatas/kendala:

mnmnmmm

nn

nn

bXaXaXaXa

bXaXaXaXa

bXaXaXaXa

...

...

...

332211

22323222121

11313212111

Kendala utama masalah program linier dapat berbentukatau atau

Kendala yang berbentuk pertidaksamaan diubah menjadi persamaansebagai berikut:

1). . Dalam ruas kiri disisipkan sedemikian

hingga dipenuhi : dengan

2). . Dalam ruas kanan disisipkan sedemikian

hingga atau dengan

Dimana dan disebut peubah/variabel pengetat (slack

variable).

p

jijij bxa

1

p

jijij bxa

1

p

jijij bxa

1

p

jijij bxa

1is

p

jiijij bSxa

10is

Kendala utama masalah program linier dapat berbentukatau atau

Kendala yang berbentuk pertidaksamaan diubah menjadi persamaansebagai berikut:

1). . Dalam ruas kiri disisipkan sedemikian

hingga dipenuhi : dengan

2). . Dalam ruas kanan disisipkan sedemikian

hingga atau dengan

Dimana dan disebut peubah/variabel pengetat (slack

variable).

p

jiijij bSxa

10is

p

jijij bxa

1it

p

jiijij tbxa

1

p

jiijij btxa

10it

is it

Tabel Simpleks

Peubah/ variabel lengkap

koefisien teknis

suku tetap (tak negatif)

Koefisien ongkos

Peubah/variabel yang menjadi basis dalam tabel yang

ditinjau

Koefisen ongkos milik peubah/variabel basis

(hasil kali dengan kolom )

(hasil kali dengan )

selisih dengan

:j

x:

ija

:i

b

:i

x

Keterangan :

:j

c

Peubah/ variabel lengkap

koefisien teknis

suku tetap (tak negatif)

Koefisien ongkos

Peubah/variabel yang menjadi basis dalam tabel yang

ditinjau

Koefisen ongkos milik peubah/variabel basis

(hasil kali dengan kolom )

(hasil kali dengan )

selisih dengan

ic

ix:

jc

m

i ijijacz

1:

ija

m

i iibcZ

1: i

ci

b

:jj

cz j

zj

c

Apabila tabel bersangkutan belum optimum dan terpilih sebagaibasis baru maka disusun kolom yang diperoleh dengan:

hanya untuk

Langkah – langkah Simpleks:1. Menyusun tabel awal dengan matriks tersusut Gauss-Jordan dan

2. Menguji keoptimuman Tabel. Bila belum optimum lanjut ke langkah3.

3. Memperbaiki tabel. Dalam hal ini memilih peubah/variabel baruyang masuk menjadi basis, dan memilih peubah/variabel lama yangharus keluar (diganti).

4. Selanjutnya kembali ke langkah-2 dst. Sampai diperoleh penyelesaianoptimum.

kx

iR

ik

i

i a

bR 0

ika

ija

0i

b

Apabila tabel bersangkutan belum optimum dan terpilih sebagaibasis baru maka disusun kolom yang diperoleh dengan:

hanya untuk

Langkah – langkah Simpleks:1. Menyusun tabel awal dengan matriks tersusut Gauss-Jordan dan

2. Menguji keoptimuman Tabel. Bila belum optimum lanjut ke langkah3.

3. Memperbaiki tabel. Dalam hal ini memilih peubah/variabel baruyang masuk menjadi basis, dan memilih peubah/variabel lama yangharus keluar (diganti).

4. Selanjutnya kembali ke langkah-2 dst. Sampai diperoleh penyelesaianoptimum.

0i

b

Contoh 1 (pola maksimum baku):Sekelompok petani transmigran mendapatkan 6 ha yang dapatditanami padi, jagung, dan palawija lain. Karena keterbatasansumberdaya petani harus menentukan berapa bagian yangharus ditanami padi dan berapa yang harus ditanami jagung,sedang palawija lain ternyata tidak menguntungkan. Dalamsatu masa tanam tenaga yang tersediahanya 1590 jam-orang,pupuk juga terbatas, tidak lebih dari 480 kg, sedangkan airdan sumber daya lainnya dianggap cukup tersedia. Diketehuipula bahwa untuk menghasilkan 1 kuintal padi diperlukan 12jam-orang tenaga dan 4 kg pupuk, dan untuk 1 kuintal jagungdiperlukan 9 jam-orang tenaga dan 2 kg pupuk. Kondisi tanahmemungkinkan menghasilkan 20 kuintal padi per ha atau 50kuintal jagung per ha. Pendapatan patani 1 kuintal padi adalahRp32.000 sedang 1 kuintal janggung Rp20.000, dan dianggapbahwa semua hasil tanamnya selalu habis terjual. Masalah bagipetani ialah bagaimanakah rencana (program) produksi yangmemaksimumkan pendapatan total?

Contoh 1 (pola maksimum baku):Sekelompok petani transmigran mendapatkan 6 ha yang dapatditanami padi, jagung, dan palawija lain. Karena keterbatasansumberdaya petani harus menentukan berapa bagian yangharus ditanami padi dan berapa yang harus ditanami jagung,sedang palawija lain ternyata tidak menguntungkan. Dalamsatu masa tanam tenaga yang tersediahanya 1590 jam-orang,pupuk juga terbatas, tidak lebih dari 480 kg, sedangkan airdan sumber daya lainnya dianggap cukup tersedia. Diketehuipula bahwa untuk menghasilkan 1 kuintal padi diperlukan 12jam-orang tenaga dan 4 kg pupuk, dan untuk 1 kuintal jagungdiperlukan 9 jam-orang tenaga dan 2 kg pupuk. Kondisi tanahmemungkinkan menghasilkan 20 kuintal padi per ha atau 50kuintal jagung per ha. Pendapatan patani 1 kuintal padi adalahRp32.000 sedang 1 kuintal janggung Rp20.000, dan dianggapbahwa semua hasil tanamnya selalu habis terjual. Masalah bagipetani ialah bagaimanakah rencana (program) produksi yangmemaksimumkan pendapatan total?

Tabel Produksi Tani

SumberPer kuintal Batas

Sumber SatuanPadi Jagung

tanah 0,02 0,05 6 ha

Tenaga 12 9 1590 Jam-orang

pupuk 4 2 480 kg

pendapatan 32 20 Rp 1000pendapatan 32 20 Rp 1000

Misalkan x : banyak kuintal padi yang diproduksiy : banyak kuintal jagung yang diproduksi

Mencari x dan y yang memenuhi:

dan memaksimumkan

0

0

2402

53034

60052

y

x

yx

yx

yx

Mencari x dan y yang memenuhi:

dan memaksimumkan

0

0

2402

53034

60052

y

x

yx

yx

yx

yxf 2032

Penyelesaian :

Dengan menambah tiga peubah/variabel pengetat r, s, dan tsoal akan menjadi berbentuk kanonik sbb:2x + 5y + r = 6004x + 3y + s = 5302x + y + t = 240

Penyelesaian :

Dengan menambah tiga peubah/variabel pengetat r, s, dan tsoal akan menjadi berbentuk kanonik sbb:2x + 5y + r = 6004x + 3y + s = 5302x + y + t = 240

0;0;0;0;0 tsryx

tsryxf 0002032

TabelTabel awalawal

32 20 0 0 0

000

rst

242

531

100

010

001

600530240

0 0 0 0 0 Z=0

ic j

c

jixx \

ox y r s t

ib

iR

jz 0 0 0 0 0 Z=0

-32 -20 0 0 0 Z=0j

z

jjcz

Menguji keoptimuman:Bila masih ada yang negatif maka tabel belum maksimum.

jjcz

Tabel sudah maksimum bila untuk semua j0jj

cz

Belumoptimum

Memperbaiki tabel

Pilih k dengan yang paling kecil, makaterpilih untuk masukmenjadi basis

0kk

czk

x

Pilih p dengan yang terkecil, maka terpilih untukkeluar dari basis

pR p

x

32 20 0 0 0

0032

rsx

001

41

1/2

100

010

-1-21/2

36050120

9050240

32 16 0 0 16 Z=3840

ic j

c

jixx \ x y r s t

ib

iR

jz 32 16 0 0 16 Z=3840

0 -4 0 0 16 Z=3840j

z

jjcz

311

322

33

2

421

EEE

EEE

EE

32 20 0 0 0

02032

ryx

001

010

100

-41

-1/2

7-23/2

1605095

32 20 0 4 8 Z=4040

ic j

c

jixx \

ox y r s t

ib

iR

jz 32 20 0 4 8 Z=4040

0 0 0 4 8 Z=4040j

z

jjcz

233

211

21

4

EEE

EEE

Sehingga(x,y)=(95,50) dengannilai f maks =4040

Peubah SemuContoh 2:Menentukan x, y, z tak negatif yang memenuhi

dan memaksimumkanDengan menyisipkan dua peubah pengetat a dan b diperolehbentuk kanonik dari soal tersebut sbb:x + y + 2z + a = 122x – 6y – z - b = 4Agar tabel awal sudah memuat penyelesaian basis yang layakmaka pada persamaan kedua disisipkan lagi satu peubah c(peubah semu), sehingga kendala utama berbunyi:

462

122

zyx

zyx

zyxf 868

Peubah SemuContoh 2:Menentukan x, y, z tak negatif yang memenuhi

dan memaksimumkanDengan menyisipkan dua peubah pengetat a dan b diperolehbentuk kanonik dari soal tersebut sbb:x + y + 2z + a = 122x – 6y – z - b = 4Agar tabel awal sudah memuat penyelesaian basis yang layakmaka pada persamaan kedua disisipkan lagi satu peubah c(peubah semu), sehingga kendala utama berbunyi:

x + y + 2z + a = 122x – 6y – z - b + c = 4 dengan 0c

Syarat perlu agar soal asli mempunyai penyelesaian optimumialah: “Dalam tabel optimum peubah semu c harusbernilai nol”

Agar peubah semu c segera bernilai nol maka disusun fungsitujuan baru dengan bentuk:

dengan M bilangan positif yang cukup besar.Maff

Jadi untuk contoh 2, fungsi tujuan menjadi :

Tabel simpleks untuk contoh 2 sbb:Mabazyxf 00868

Pola MinimumDalam soal yang berpola minimum fungsi tujuan akan makindiperkecil menuju ke nilai minimumnya, maka beberapapetunjuk akan berlawanan dengan petunjuk dalamsola berpolamaksimum.

Tabel Awal : penyisipan peubah pengetat dan peubah semusama dengan pola maksimum, kecuali dalam menyusun fungsitujuan baru bila ada peubah peubah semu yang masuk.

Tabel Awal : penyisipan peubah pengetat dan peubah semusama dengan pola maksimum, kecuali dalam menyusun fungsitujuan baru bila ada peubah peubah semu yang masuk.

Bila ada peubah semu c masuk maka disusun fungsitujuan baru (M posistif besar)Maff

Ciri Optimum: tabel sudah optimum bilauntuk semua j

0jj

cz

PerbaikiTabel: untuk mrmilih peubah yang masukmenjadi basis.Pilih yang paling besar, makaterpilih untuk masuk menjadi basis .

0kk

cz

kx

ik

i

i a

bR

iRMenyusun seperti pada pola maksimum, yaitu

dengan , kemudian untuk memilih

basis yang keluar.

0ik

a

SoalSoal 11Seorang pengusaha mebel memproduksi lemari dan mejadengan bahan-bahan mentah besi, kayu dan paku. Kebutuhanbahan per unit produksi dan batas maksimum persediaanbahan untuk satu masa produksi dan besar laba dari penjualanper unitnya dapat dilihat dalam tabel berikut.

Soal 2

Soal 3

Soal 4

Soal 5